Presentacion que describe la obtencion del polinomio de interpolacion de lagrange y del metodo de regresion lineal.

1. Facultad de Ingeniería Mecánica
Eléctrica, U.V., zona Xalapa
Métodos Numéricos
Interpolación de Lagrange y
Regresión Lineal
MC. Ing. Rafael Campillo Rodríguez
Interpolación Correlación
Lagrange Regresión Lineal

2. Interpolación
Definición General. Dados n+1 puntos que corresponden a los
datos:
y los cuales se representan gráficamente como puntos en el
plano cartesiano,

3. Interpolación (Cont.)
Si existe una función f(x) definida en el intervalo [x0,xn] (donde
suponemos que x0 < x1 < x2 < …< xn ), y tal que f(xi) = yi para i
= 0,1,2,…,n , entonces a f(x) se le llama una Función de
Interpolación de los datos, cuando es usada para aproximar
valores dentro del intervalo, y se le llama Función de
Extrapolación de los datos, cuando está definida y es usada
para aproximar valores fuera del intervalo.

4. Interpolación (Cont.)
Evidentemente pueden existir varios tipos de funciones que
interpolen los mismos datos; por ejemplo, trigonométricas,
exponenciales, polinomiales, combinaciones de éstas, etc.
El tipo de interpolación que uno elige, depende generalmente
de la naturaleza de los datos que se están manejando, así
como de los valores intermedios que se están esperando.
Un tipo muy importante es la interpolación por funciones
polinomiales. Puesto que evidentemente pueden existir una
infinidad de funciones polinomiales de interpolación para una
misma tabla de datos, se antepone el requisito de que el
polinomio de interpolación, sea único.

5. Interpolación (Cont.)
Definición. Un polinomio de interpolación es una función
polinomial que además de interpolar los datos, es el de menor
grado posible.
Caso n=0: Tenemos los datos:
En este caso, tenemos que f(x)=y0 (polinomio constante) es el
polinomio de menor grado tal que f(x0) = y0, por lo tanto, éste es el
polinomio de interpolación.

6. Interpolación (Cont.)
Caso n=1: Tenemos los datos:
En este caso, el polinomio de interpolación es la función lineal
que une a los dos puntos dados. Por lo tanto, tenemos que:
y1 y0
f ( x) y0 (x x0 )
x1 x0
Es el polinomio de interpolación.

7. Interpolación (Cont.)
La siguiente gráfica representa este caso:
y1 y0
f ( x) y0 (x x0 )
x1 x0
Observación: Vemos que en el polinomio de interpolación del
caso n=1 se encuentra como primer término, y0 , que es el
polinomio de interpolación del caso n=0.

8. Interpolación (Cont.)
Caso n=2: Tenemos los datos:
Para este caso, el polinomio de interpolación va a ser un
polinomio de grado 2. Tomando en cuenta la observación
anterior, intuímos que el polinomio de interpolación tendrá una
estructura como sigue:
y1 y0
f ( x) y0 (x x0 ) + término cuadrático
x1 x0
Igual que antes, el polinomio se conforma por los términos del
caso n=1 mas los de la parte correspondiente a n=2.

9. Interpolación (Cont.)
Por lo tanto, planteamos el polinomio de interpolación como
sigue:
f ( x) b0 b1 ( x x0 ) b2 ( x x0 )( x x1 )
Si asignamos x = x0, se anulan los valores de b1 y b2,
quedándonos el resultado:
f ( x0 ) b0
Como se debe de cumplir que f(x0) = y0, entonces:
y0 b0

10. Interpolación (Cont.)
Si asignamos x = x1, el valor de b2 queda anulado, resultando
lo siguiente:
f ( x1 ) b0 b1 ( x1 x0 )
Como se debe cumplir que f(x1) = y1, y ya sabemos que y0 = b0,
entonces:
y1 b0 b1 ( x1 x0 )
De lo cual obtenemos el valor para b1:
y1 y0
b1
x1 x0

11. Interpolación (Cont.)
Asignando x = x2, vamos a obtener:
f ( x2 ) b0 b1 ( x2 x0 ) b2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
Como se debe cumplir que f(x2) = y2, y ya sabemos que y0 = b0
y además sabemos que b1 = (y1 – y0) / (x1 – x0), sustituímos
estos datos para después despejar el valor de b2:
y1 y0
y2 y0 ( x2 x0 ) b2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
x1 x0

12. Interpolación (Cont.)
De la cual podemos hacer un despeje parcial para lograr la
siguiente igualdad :
y1 y0
y2 y0 ( x2 x0 )
x1 x0
b2 ( x2 x0 )
x2 x1
Ahora en el numerador del miembro izquierdo de la igualdad, le
sumamos un cero (-y1 + y1), de tal manera que no se altere la
igualdad:

13. Interpolación (Cont.)
A continuación, aplicamos un poco de álgebra para así obtener
los siguientes resultados:

14. Interpolación (Cont.)
Y finalmente despejando a b2 vamos a obtener :
y2 y1 y1 y0
x2 x1 x1 x0
b2
x2 x0
Por lo tanto, el polinomio de interpolación para este caso es:

15. Interpolación (Cont.)
Observación: Vemos que efectivamente el polinomio de
interpolación contiene al del caso anterior, más un término extra
que es de un grado mayor.
Pero además vemos que cada uno de los coeficientes del
polinomio de interpolación, se forman a base de cocientes de
diferencias de cocientes de diferencias, etc.

16. Interpolación (Cont.)
Esto da lugar a la definición de diferencias divididas finitas de
Newton.
Un método que nos evita el cálculo de dichas diferencias
divididas finitas y es algorítmicamente mas susceptible de ser
programado en cualquier lenguaje de computación es el
Método de interpolación de Lagrange.

17. Lagrange
Recordemos que Interpolación es, a partir de una serie de
puntos, obtener una ecuación cuya curva pase por todos ellos o
lo más cerca posible.
En el método de Lagrange, se utiliza una ecuación que aunque
se va alargando conforme mas puntos se quieran unir, es
siempre del mismo tamaño y de la misma forma por lo que una
de sus ventajas es que es más claro y fácil de hacer.
El método de Lagrange se compone por una serie de
sumandos, cada uno se "arma" tomando como referencia cada
uno de los puntos a interpolar empezando desde el primero.

18. Lagrange (Cont.)
Al final, si se tienen n números para unir, la ecuación resultante
tendrá como grado n-1 así, si se quieren unir 3 puntos, la
ecuación que resulta tiene grado 2.
El planteamiento del Polinomio de Lagrange es el siguiente:
Nuevamente tenemos los datos,

19. Lagrange (Cont.)
El polinomio de interpolación de Lagrange se plantea como
sigue:
P( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x)  ynln ( x)
Donde los polinomios li (x) se llaman los polinomios de
Lagrange, correspondientes a la tabla de datos.
Como se debe satisfacer que P(x0) = y0, esto se cumple si
l0 ( x0 ) 1 y li ( x0 ) 0 para toda i 0.
Como se debe satisfacer que P(x1) = y1, esto se cumple si
l1 ( x1 ) 1 y li ( x1 ) 0 para toda i 0.

20. Lagrange (Cont.)
Y así sucesivamente, veremos finalmente que la condición
Pn xn yn se cumple si ln xn 1 y li xn 0 para toda i n.
Para ser más claros, analicemos detenidamente el polinomio
para l0 ( x ) :
De acuerdo al análisis anterior vemos que deben cumplirse las
siguientes condiciones para l0 ( x ) ,
l0 ( x0 ) 1 y l0 ( x j ) 0 para toda j 0

21. Lagrange (Cont.)
Por lo tanto, planteamos l0 ( x ) como sigue:
lo x c x x1 x x2  x xn
Con esto se cumple la segunda condición sobre l0 ( x ) .
La constante c se determinará para hacer que se cumpla la
primera condición:
l0 x0 1 1 c x0 x1 x0 x2  x0 xn
1
c
x0 x1 x0 x2  x0 xn

22. Lagrange (Cont.)
Por lo tanto el polinomio l0 ( x ) queda definido como:
x x1 x x2  x xn
l0 x
x0 x1 x0 x2  x0 xn
Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange
donde, basados en lo anterior, podemos deducir que:
(x x j )
i j
li ( x)
( xi xj ) para j = 1,…,n
i j

23. Correlación
El Análisis de Correlación es el método utilizado en la
práctica con el objetivo de determinar la fuerza de la
relación o dependencia lineal que existe entre dos
variables.
El Análisis de Correlación es una herramienta de uso
previo al Análisis de Regresión, que se estudia mas
adelante, con el fin de realizar predicciones en alguna
de las dos variables.
El Análisis de Correlación determinará si vale la pena
realizar dicha regresión.

24. Correlación (Cont.)
Lo que se requiere para determinar la fuerza de la
relación lineal es un indicador que cumpla con las
siguientes características:
1) No ser dependiente de las unidades de medida; que no le
afecten unidades de las variables.
2) Que su valor sea 1 si los puntos presentan una perfecta
correlación lineal positiva.
3) Que su valor sea -1 si los puntos presentan una perfecta
correlación lineal negativa.
4) Que su valor sea 0 si no hay correlación lineal entre las
dos variables.

25. Correlación (Cont.)
A este indicador se le llama “Coeficiente de Correlación
de Pearson” y se le denota por r.
Si el valor resultante de r es igual a 1 o a -1, entonces
existirá una correlación lineal ó relación lineal perfecta
entre las dos variables.
Si r=0, no existe correlación ó relación lineal entre las
dos variables. Sin embargo, hay que hacer notar que a
pesar de que r puede valer cero, no necesariamente
significa una falta de relación entre x e y (puede ser una
relación no-lineal de grado mayor).

26. Correlación (Cont.)
Existe una Fórmula para el cálculo del Coeficiente de
Correlación de Pearson (r) basada en el concepto de la
Suma de Cuadrados para un conjunto de datos:
n
n
( xi )2
SSx xi2 i 1
i 1 n

27. Correlación (Cont.)
En esta ocasión estamos tratando con datos Bivariados
(x,y), donde SSx es la suma de cuadrados para x, y
entonces SSy denotará la Suma de Cuadrados para y;
es decir:
n
n
( yi )2
i 1
SSy yi2
i 1 n

28. Correlación (Cont.)
Si se reescribe la fórmula de la suma de cuadrados para
que incluya a y en lugar de elevar x al cuadrado, se
tendría:
n n
n
( xi ) ( xi )
i 1 i 1
xi xi
i 1 n
n n
n
( xi ) ( yi )
i 1 i 1
xi yi
i 1 n

29. Correlación (Cont.)
La fórmula resultante es conocida como Suma de
Productos Cruzados y se denotará por SSxy:
n n
n
( xi ) ( yi )
i 1 i 1
SSxy xi yi
i 1 n

30. Correlación (Cont.)
Finalmente, los valores de SSx, SSy y SSxy se utilizan
para encontrar la expresión para evaluar el Coeficiente
de Correlación de Pearson (r):
SSxy
r SSx SSy

31. Correlación (Cont.)
El Coeficiente de Correlación de Pearson (r) deberá de
ser considerado sólo como un valor de referencia de la
fuerza de relación lineal entre x e y.
Un valor alto de r no implica necesariamente la
existencia de una relación de causa-efecto entre las dos
variables, pues ambas pueden haber sido influidas por
otras variables de tipo externo.
r solo indica tendencia de variación que no siempre
implicará relación directa entre x e y.

32. Regresión Lineal
El Análisis de Regresión es el método utilizado para
estudiar la relación entre dos o mas variables y para
poder predecir valores en una de ellas.
Si el Coeficiente de Correlación de Pearson resulta ser
un valor alto (cerca de 1 o -1), puede ser deseable
describir la relación de las variables en términos de una
ecuación matemática.
Hacer la determinación de dicha ecuación para definir la
relación lineal existente, requiere de efectuar el
denominado Análisis de Regresión.

33. Regresión Lineal (Cont.)
Matemáticamente, una relación lineal entre x e y, se
define por la ecuación y = b + mx; donde m es la
pendiente de la recta y la constante b representa el
valor de la intercepción con el eje y.
El objetivo, entonces, es encontrar una ecuación de este
tipo denominada Ecuación de Regresión la cual puede
ser utilizada con propósitos predictivos.
El problema es poder determinar los valores
correspondientes para m y b en dicha ecuación, para
cualquier caso dado.

34. Regresión Lineal (Cont.)
Si se construye una gráfica de dispersión de los datos y
buscamos la línea recta que sea lo mas “cercana” a
todos los puntos, se tiene:
Recta de Regresión
5
4
Valores de Y
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6
Valores de X
Esta recta se representa por: ŷ = b + mx

35. Regresión Lineal (Cont.)
Para la recta de regresión, cada punto presenta una
distancia vertical, error o desviación, por arriba o por
debajo de ella.
El método para encontrar la recta de mejor ajuste se
llama Método de los Mínimos Cuadrados.
Este método encuentra la recta para la cual la Suma de
los Cuadrados de los Errores, denotada por SSE, tiene
un valor mínimo.

36. Regresión Lineal (Cont.)
Por ejemplo, si e1 es la desviación del primer punto a la
recta ŷ=b+mx, entonces la distancia vertical
corresponde al error de usar la recta para predecir al
valor y1 usando x1.
Entonces, se tiene que la expresión ei = yi – ŷi nos da el
valor del error al predecir el i-ésimo valor de y usando
el i-ésimo valor de x.
Por lo que debe de cumplirse para el método de los
mínimos cuadrados que ∑ei2 sea de valor mínimo:

37. Regresión Lineal (Cont.)
Para los cinco puntos del ejemplo en la gráfica anterior:
5
ei 2 e12 e2 2 e32 e4 2 e52
i 1
5
ˆ
ei 2 ( y1 y1 )2 ( y2 ˆ
y2 ) 2 ( y3 ˆ
y3 ) 2 ...
i 1
De aquí que:
n n
SSE ei 2
( yi ˆ
yi )2
i 1 i 1

38. Regresión Lineal (Cont.)
La obtención de la Recta de Regresión no es un proceso
de prueba y error para seleccionar la mejor recta según
el criterio de los mínimos cuadrados.
La determinación de las constantes m y b en la ecuación
de la recta ŷ=b+mx, y que hagan que SSE tenga un
valor mínimo, es un proceso algebraico y de cálculo
complejo, del cuál, para fines prácticos, solamente
tomaremos sus resultados.

39. Regresión Lineal (Cont.)
Las fórmulas resultantes del mencionado proceso
algebraico y de cálculo que se obtienen para las
constantes m y b para la Recta de Regresión del método
de Mínimos Cuadrados son:
SS xy
m SS x
b y mx

40. Regresión Lineal (Cont.)
Un detalle muy interesante al efectuar el proceso de
regresión es que el punto definido por los valores
promedio ( x, y ) siempre se encontrará localizado
sobre la recta óptima obtenida, actuando como “punto
de equilibrio” o “centroide” de los datos.
Hay que tener mucho cuidado al tratar de hacer
predicciones para valores alejados de la variable x a los
contenidos en la muestra.
Como recomendación general, sólo deben usarse
valores de x iguales o cercanos a los de la muestra para
predicciones confiables.