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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
La Transformada de Laplace
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
E-mail: mitagi@gmail.com - mitagi@hotmail.com
http://migueltarazonagiraldo.com/
Octubre del 2019
1. INTRODUCCIÓN
Entre las transformaciones más usuales que operan con funciones f(x) cumpliendo condiciones adecuadas en
I=[a, b], para obtener otras funciones en I, están por ejemplo :
 La operación D de derivación :  D ( ) ( )f x f x 
 La operación I de integración :   
x
a
td)t(f)x(fI
 La transformación Mg definida por :  M ( ) ( ) ( )g f x g x f x 
siendo g(x) una función concreta.
En cada caso, hay que asignar alguna restricción a las funciones f(x) a las que se aplica una transformación
dada. Así, en el primer ejemplo, f(x) debe ser derivable en un cierto intervalo, etc.
Las tres transformaciones citadas son lineales, es decir, que verifican:
       2122112211 c,c)x(fTc)x(fTc)x(fc)x(fcT
Una clase importante dentro de las transformaciones lineales, son las llamadas transformaciones integrales.
Se consideran las funciones f(x) definidas en un intervalo finito o infinito a  x  b y se escoge una función
fija K(s, x) de la variable x y el parámetro s. Entonces la correspondiente transformada integral está dada por:
 T ( ) K( , ) ( ) d F( )
b
a
f x s x f x x s 
La función K(s, x) se llama núcleo de la transformación T. Se muestra fácilmente que T es lineal,
cualquiera que sea la K(s, x).
En la matemática aplicada se estudian varios casos especiales de transformadas integrales, adaptadas a la
resolución de diversos problemas: transformada de Fourier, transformada de Fourier de seno, ídem de
coseno, transformada de Hankel, de Mellin, etc.
Se trata de estudiar ahora la transformación de Laplace especialmente indicada para simplificar el proceso
de resolver problemas de valor inicial, cuyas ecuaciones diferenciales sean lineales, y primordialmente
cuando se incluyen funciones discontinuas. Es muy utilizada en teoría de circuitos.
2
Antes de entrar en sus aplicaciones, se va a comenzar introduciendo esta transformada de Laplace así como
sus propiedades fundamentales y más útiles.
2. DEFINICIÓN Y TRANSFORMADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES
Definición.- Sea f(t) definida en ( 0,  ). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la función l
[f(t) = F(s), definida por la integral
  0
( ) e ( ) d F( )L st
f t f t t s


  … (1)
Deberá existir la integral impropia y dependiente del parámetro s, es decir, deberá ser convergente para
ciertos valores de s. Sólo entonces podrá decirse que existe la transformada de Laplace de f(t), o que f(t) es 
- transformable.
Nota El parámetro s se considerará aquí real. Es esto suficiente para las aplicaciones con ecuaciones
diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es
necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo.
Ejemplo 1: Sea f(t) = 1 , t  0
 L 1 1
1
0 0
0
     





  





 






 e d lim e d lim
e
lim
est st
st s
t t
s s s





 L 1
1
0 
s
s, pues la integral diverge para s  0
Nota Si fuese complejo s, es decir, s s s 1 2i , entonces  e e e cos isen( i )   
  st s s t s t
s t s t1 2 1
2 2 y la
integral impropia anterior sólo converge si s1 > 0 , es decir Re (s) > 0.
Ejemplo 2: Sea f(t) = eat
, t  0
( )
0 0
e e e eat st at s a t
dt dt
 
  
         . Es el caso anterior cambiando s por s - a.
Luego:
1
,at
e s a
s a
     

Ejemplo 3: Sea f(t) = ta
, a  R , t  0
0
e da st a
t t t


       . Cambio: st = x . Entonces: t =
x
s
, d
d
t
x
s
 y
3
1 0
1
e da x a
a
t x x
s



       Luego:
1
( 1)
0 1a
a
a
t si s a
s 
 
      
En particular:
 L t
n
s
s n Nn
n
  
!
1
0  L t
s
s 
1
02  L 1
1
0 
s
s,
Ejemplo 4: Sea f(t) = cos at ó f(t) = sin at t  0
 L cos cosat e at dtst
  
0
= Integrando dos veces por partes 
 L cos ,at
s
s a
s

2 2
0 . Análogamente:   0,ns 22
L 

 s
as
a
ati
Podría obtenerse mejor así: Trabajando como en los ejemplos 1 y 2, sustituyendo a por ai (a  ), resulta:
 L e
i
iat
s a


1
, para Re (s - ai) > 0 , es decir s > 0 si s es real.
Por tanto:  L e
iiat s a
s a


2 2
, s > 0
Luego
   
   
L L
L L
cos Re (e ) Re
i
,
sen Im (e ) Im
i
,
i
i
at
s a
s a
s
s a
s
at
s a
s a
a
s a
s
at
at
 





 











2 2 2 2
2 2 2 2
0
0
Ejemplo 5: Sea la función escalón unidad u (t - a) o función de Heaviside.
u (t - a) =
0
1
0
,
,
( )
t a
t a
a






Es  L u t a( ) =
     






  
 
 e ( ) d e d
est st
a
st
a
u t a t t
s0
e
,


as
s
s 0
En particular:
   L Lu t
s
s( ) ,  1
1
0
4
3. EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA
En los ejemplos anteriores se ha visto por cálculo directo que la integral 1 existe realmente para las
funciones consideradas, en algún intervalo de valores de s. Pero eso no ocurre así siempre. Por ejemplo, la
integral impropia de 1 no converge para ningún valor de s si f(t) =
1
t
ó f(t) = et 2
, por crecer estas
funciones demasiado rápido cuando t  0+
o t   respectivamente. Afortunadamente existe la
transformada para la mayor parte de las funciones que aparecen en aplicaciones donde intervienen
ecuaciones diferenciales lineales.
Se trata ahora de establecer un conjunto razonable de condiciones que garanticen la existencia de
transformada para las funciones que las cumplen.
a) Definición:
“Se dice que f(t) es seccionalmente continua ( o continua a trozos) en [ ,  = I , si f(t) es continua en
todos los puntos de I, excepto quizá en un nº finito de ellos, en los que f(t) deberá tener límites laterales
finitos”
“Se dice que f(t) es seccionalmente continua en [0 , , si lo es en [ 0, T ,  T > 0”
Si f(t) es seccionalmente continua en [ , , es integrable en [ , 
b) Definición
“Se dice que f(t) es de orden exponencial  cuando t  , si existen constantes positivas M, T tales que:
f t e tt
( ) M T  
”
Es decir que f(t) no crece más rápido que
una función de la forma M et
.
Son por ejemplo de orden exponencial las
funciones 1, eat
, tn
, sen bt, cos bt, tn
eat
,
eat
cos bt,... .
No lo es et2
, pues crece más rápidamente que et
, cualquiera que sea  ya que :
lim
e
e
lim e ( )
t
t
at t
t t a
 

  
2
  t
f (t )
5
c) Notación: Se designará con el símbolo A, al conjunto de funciones f(t), tales que:
 Son seccionalmente continuas en [0,)
 Son de orden exponencial cuando t  
d) Teorema de existencia
“Si f(t)  A, entonces existe L [f,  s mayor que un cierto  “
Es decir que f(t)  A es condición suficiente para que exista L [f(t) y además, al menos para todo s > .
Demostración
f(t) de orden exponencial   M , T > 0 y   R   f(t)  < M et
 t > T
e ( )d
T 

st
f t t0
converge  s pues e-st
f(t) es seccionalmente continua en [0 , T.
Es  e-st
f(t)  < M e-(s-)t
 t > T
y  Me d Me d
M
lim e
M( )
T
( ) ( )   

 
   



s t s t s t
t t
s s
si s 

 
 
0 0
>
Luego e ( )dT


st
f t t converge absolutamente si s > .
Por tanto, existe L [f(t) = e ( )d e ( )d
T
T
 
 st st
f t t f t t si s0
> 
Notas
 Puede demostrarse además que el dominio de definición de F(s) es de la forma (so , ) ó [so , ).
 No se cumple en general el recíproco del teorema, es decir que la condición no es necesaria.
Así por ejemplo, f(t) = t-1/2
 A , pues tiene discontinuidad infinita en t = 0 y por tanto no es
seccionalmente continua en [0, T . Pero tiene transformada, pues : L [t-1/2
 =
( )
0
1
2
1
2
s s


, >s
4. PROPIEDAD DE LINEALIDAD
Para hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales.
 A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y
producto por escalar.
 Sea F el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (so,) ó [so,). También es espacio
vectorial real, si dadas dos funciones F, G  F , se define F+G en la forma usual, en la intersección de los
dominios de F y G. Se considerarán además como iguales dos funciones en F ,si coinciden en un intervalo
de la forma ( , ).
6
 Entonces L es aplicación del espacio vectorial A en el F.
Con estas consideraciones, se verifica:
Teorema
L es un operador lineal, es decir: Si f, g tiene transformada inversa de Laplace para s > , y a , b  ,
entonces af+bg tiene transformada para s >  y
L [af(t)+bg(t) = a L [ f(t) + b L [ g(t) s > 
En efecto:
   L af bg s af t bg t t a f t t b g t tst st st
       
  ( ) e ( ) ( ) d e ( )d e ( )d0 0 0
=    a f t b g t aF s bG sL L( ) ( )  ( ) ( ) , s >  c.q.d.
Ejemplo 6:  Calcular atL sen2
Es       L L L Lsen
cos
cos2 1 2
2
1
2
1 2at
at
at



   =
 




 


1
2
1
4
2
4
02 2
2
2 2
s
s
s a
a
s s a
s
( )
,
Ejemplo 7:    Calcular at y atL LCh Sh
 L LCh
e e
,at
s a s a
s
s a
s a
at at






 






 



2
1
2
1 1
2 2
Análogamente  L Sh ,at
a
s a
s a

2 2
5. PROPIEDADES DE TRASLACIÓN Y CAMBIO DE ESCALA
a) Primera propiedad de traslación:
Si f  A y L [f(t) = F(s), s > , entonces L [e at
f(t) = F(s-a), s - a > 
En efecto: L [e at
f(t) = e ( )d F( )( ) 
  s a t
f t t s a0
s - a > 
Ejemplo 8:  Calcular btat
L e cos
7
   
 
L Le cos cos ,at
s a
s a
bt bt
s
s b
s a
s a b
s a 



 


2 2 2 2
Ejemplo 9:  Calcular tt
L e3 4
   L Le
!
( )
,

 

 3 4 4
3 5
4
3
3t
s
t t
s
s
b) Segunda propiedad de traslación
Nota previa: La función u(t-a)·f(t-a) =
0 ,
f( ) ,
t a
t a t a

 



es la obtenida por traslado de f(t) a unidades a
la derecha, tomando además el valor 0, para t < a
Si f  A y L [f(t) = F(s), s > .>.0, entonces para a > 0 :
L [f(t-a)·u(t-a) (s)= e-as
F(s), s > 
En efecto :  L ( - )f t a u t a f t a u t a t f t a tst st
a
( ) e ( ) ( ) d e ( ) d      
 0
=
(Cambio )x t a 
   
 e ( ) d e F( )( )s x a as
f x x s0
c.q.d.
Nota: Estos desplazamientos surgen en la práctica cuando hay tiempos de retraso en la alimentación de
energía a sistemas eléctricos (la alimentación ocurre en t = a > 0) El factor e -as
que aparece en la
transformada, se llama factor de retardo
Ejemplo 10:  Calcular g t siendo g tL ( ) ( ) 
0 1
1 13
t
t t

 


( )
Es g(t) = f(t-1)·u(t-1) con f(t) = t3
Por tanto:    L Lg t t
s
ss
s
( ) e
e !
,  

3
4
3
0
c) Cambio de escala
Si f  A y L[f(t) = F(s), (s > ), entonces L[f(at) =
1
a
F
s
a





 , s > a
8
En efecto:  L ( )f at f at t
at x
a
f x x
a
s
a
st
s
a
x









 
 e ( )d
( )
e ( )d F0 0
1 1
6. TRANSFORMADA DE DERIVADAS E INTEGRALES
a) Transformada de derivadas
Sea f(t) continua en (0,) y de orden exponencial  y sea f´ seccionalmente continua en [0,). Entonces
L [f´(t) = s F(s) - f(0+
), (s > )
S.D.
Si se cumplen las condiciones anteriores, salvo que f(t) tiene discontinuidad por salto en t = a > 0 ,
entonces :
L[ f´(t) = s F(s) - f(0+
) - e-as
[f(a+
)-f(a-
)
Análogo si existen varias discontinuidades por salto.
S.D.
Si f, f’ , ... , f(n-1)
son continuas en (0,) y de orden exponencial  y f(n)
es seccionalmente continua en
[0,), entonces :
L [f(n)
(t)] (s) = sn
F(s) - sn-1
f(0+
) - sn-2
f’(0+
) - ··· - f(n-1)
(0+
) , (s > )
Así para n = 2
L [f’’ (t)] = s L [f’] - f’ (0+
) = s [ s F(s) - f (0+
)] - f’(0+
) 
 L [f’’ (t)] = s2
F(s) - s f (0+
) - f’(0+
).
En general, inducción.
Aquí se intuye la utilidad de la transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. Se
reemplaza la “derivación respecto a t “, por “multiplicación por s”, transformándose una ecuación diferencial
con coeficientes constantes, en una algebraica.
Ejemplo 11:    Calcular at usando la resion para fL Lsen , exp 
Para f(t) = sen at es : f (t) = a cos t, f (t) = - a2
sen at, f(0) = 0, f (0) = a
Luego  L f =
   
   





aatisfsffs
atiaatia
nsL)0()0(
nsns
22
22
L
LL
Por tanto :     aatisatia  nsns LL 22
.
Es decir:   22
nsL
as
a
ati


9
b) Transformada de integrales
Si f  A, entonces
 
 
L
L
f x dx
s
s
f x dx
s
s s
f x dx
t
a
t a
( )
F( )
( )
F( )
( )
0
0
1

 

 






Demostración para el caso particular en que f sea continua en 0,):
Sea f x dx g t
t
( ) ( )0  . Entonces :  g t f t( ) ( ) , g(0) = 0 y g(t) continua en [0,).
Luego  L  g t( )
 L f t s
s s
( ) F( )
G( )




 0
Por tanto: G(s) =  L f x x
s
s
t
( )d
F( )
0  c.q.d.
También:      L L Lf x x f x dx f x dx
s
s s
f x dxa
t t a a
( )d ( ) ( )
F( )
( )      0 0 0
1
7. MULTIPLICACIÓN POR tn Y DIVISIÓN POR t
a) Multiplicación por tn
Si f  A y  L ( )f t s F( ) (s > ), entonces  L t f t
s
sn n
n
n
( ) ( )
d
d
F( ) 1 (s > ),
Por ser f  A, puede mostrarse que es aplicable la regla de Leibniz en lo que sigue:
   
d F
d
d
d
e ( )d
T. Leibniz d
d
e ( ) d e ( )d ( )
s s
f t t
s
f t t tf t t t f tst st st
      
  0 0 0
L
Por inducción se muestra la fórmula general para la derivada n-ésima.
Ejemplo 12: Calcular L[t sen at y L[t cos at
   
 
L Lt at
s
at
s
a
s a
as
s a
ssen
d
d
sen
d
d
,   



2 2 2 2 2
2
0
   
 
L Lt at
s
at
s
s
s a
s a
s a
scos
d
d
cos
d
d
,   




2 2
2 2
2 2 2
0
b) División por t
10
Si f  A y   L f t s F( ) , entonces L f t
t
u us
( )
F( )d



 

 , si existe lim
( )
t
f t
t 
0
finito
En efecto:
Sea g (t) =
f t
t
( )
. Entonces: f(t) = t·g(t). Luego F(s) = 
d
d
G( )
s
s , de donde G(s) =  F( )du ua
s
.
Como según veremos es lim G( )
s
s

 0 , resulta:
 G( ) F( )d F( )d F( )ds u u u u u ua s s
   
  
   c.q.d.
Ejemplo 13: Calcular
x
x
x
t
L 1
0








e
d
Es  L L L-1 1 1 1
10
e
d
e
e d
 

 





   
x
t
t
t
sx
x
s t s
s
=
1 1 1
1
1
1
1 1
s s s
s
s
s
s s
s
ss
s







 




 


 d ln ln , s > 0
Ejemplo 14: Calcular I
t t
t
t


cos cos
d
6 4
0
Es I =  L -
L -
cos cos
cos cos
6 4
6 4
0
0
t t
t
t t ds
s



  



=
s
s
s
s
s
s
s2 20
2
2
0
2
36 16
1
2
36
16
1
2
36
16
1
2
6
4







 


   





 


 d ln ln ln ln
2
3
8. COMPORTAMIENTO DE F(s) EN s = 0 Y s = 
(Tan sólo enunciados)
a) Comportamiento de F(s) cuando s  
Si f(t)  A, entonces: lim F( )
s
s

 0
11
b) Teorema de valor inicial o primer teorema tauberiano
Si f(t)  A, entonces: lim F( ) lim ( )
s t
s s f t
 
 
0
, si existen estos límites
c) Teorema de valor final o segundo teorema tauberiano
Si f(t)  A, entonces: lim F( ) lim ( )
s t
s s f t
 

0
si existen finitos estos límites
Ejemplo 15: Comprobar el teorema de valor inicial para la función f(t) = 3 - 2 cos t
Es F(s) = L [3-2cos t =
3 2
12
s
s
s


lim F( ) , lim ( )
s t
s s f t
 
 1 1
0
9. TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNCIONES ESPECIALES
a) Transformada de funciones periódicas
Si f  A y es periódica con periodo T, entonces:   0
e ( ) d
( )
1 e
L
T
st
sT
f t t
f t





En efecto:  L f t f t t f t tst st
nT
n T
n
n
( ) e ( ) d e ( ) d I
( )
   


  0
1
0 0
Es: I e ( ) d e ( ) d e e ( ) d
( ) ( )( )
n
st
nT
n T s x nTT snT sxT
f t t f x nT x f x x
t x nT
=     
  
 
 
1
0 0
        

  


L f t f x x
f x xsT sT sxT
sxT
sT
( ) e e ... e ( ) d
e ( ) d
e
1
1
2
0
0
c.q.d.
Ejemplo 16:  Hallar f t siendo f t
t
t
y con periodoL ( ) ( ) 
 
 



1 0 1
0 1 2
2
Es: T = 2
e ( ) d e ( ) d d  
     stT st st
f t t f t t e t0 0
1
1
2
0
=
e e 



 
st s
s s0
1
1
12
Luego:  
   
L f t
s s s
s
s s
s
s
( )
e
( e ) e
e
e








 
1
1
1
1 1
2
Puede hacerse de otro modo, expresado f(t) en términos de la función escalón.
Evidentemente es: f(t) = u(t) - u(t-1) + u(t-2) - u(t - 3) + ... , t > 0
Como  L u t a
s
s
as
( )
e
( )  

0 , resulta:
   L f t
s s
s s s
s
( ) e e e ...
e
     

  

1
1
1 1
1
2 3
b) Función escalón unitario
Ya se definió la función escalón unitario ( o función de Heaviside) como :
u t
t
t
( ) 





0 0
1 0
ó u t a
t a
t a
( ) 





0
1
(a > 0)
También se estableció que:  L u t
s
( ) 
1
y  L u t a
s
as
( )
e
 

La función escalón, junto con la segunda propiedad de traslación o desplazamiento, son muy útiles en el
tratamiento de funciones seccionalmente continuas.
Ejemplo 17:
Hallar  L f t( ) , siendo f t
t
t
t
( ) 

  






3 2
1 2 5
2 5
Es f(t) = 3 u(t) - 4 u(t - 2) + 3 u(t - 5)
Luego  F( ) e es
s
s s
   1
3 4 32 5
Ejemplo 18:  Hallar g t u t aL ( ) ( )
Por la propiedad segunda de traslación es:    L Lf t a u t a f tas
( ) ( ) e ( )   
.
En el caso del ejemplo, la f(t) tal que g (t) = f (t-a) es f(t) = g(t + a).
Por tanto :    L Lg t u t a g t aas
( ) ( ) e ( )  
13
c) Funciones impulso y función (t) de Dirac
 Se entiende por función impulso I ( ) t
la I t
t
t
 


( ) 
 





1
0
0
Puede servir de modelo para representar una fuerza o
excitación de magnitud constante
1

, que actúa sobre un
sistema durante un tiempo , desde t = 0 , proporcionando
al sistema un impulso total unitario I ( )d

t t0
1 
Se verifica:
 
I ( )d d
I ( ) e d
e e




 

  
t t t
t t
s s
sst
st s
0 0
0
0
1
1
1 1 1


 
 

 
 



 









L
 En la función impulso anterior, haciendo disminuir el tiempo  durante el que actúa la fuerza o excitación
1

, puede considerarse la situación que se produce cuando la fuerza imparte un impulso unitario al sistema,
en un tiempo arbitrariamente pequeño, a partir de t = 0, lo que podría designarse como impulso unitario
instantáneo en t = 0 . (El impulso podría no ser unitario y en otro instante t = a)
Se utiliza esta idea en sistemas mecánicos, circuitos eléctricos, etc. Por ejemplo, el golpe de un martillo, o
una carga concentrada en un punto de una viga. Para estos casos de fuerzas violentas de corta duración, o
sobre una pequeña sección, suele usarse la llamada función delta de Dirac (t) o función impulso unitario
instantáneo en t = 0. Es una función ficticia, aproximada por I ( ) t cuando   0+
.
No puede hablarse de lim I ( )


 
0
t pues no existe dicho límite, pero aprovechando que lim I ( )d




 
0 0
1t t y
 lim I ( ) lim
e
lim
e






 




 
0 0 0
1
1L =t
s
s
s
s s
, se describe (t) por medio de:
 
0 0
( ) ; ( ) d 1 , ( ) 1
0
Lt
t t t t
t
  



  
 

Nota:
Para establecer la (t), suele partirse de la 

n
nx
x
n
( ) e  2
, para la cual también ( ) dx x

  1
Literalmente, no tiene sentido lo anterior, pues si una función es nula en todos los puntos, menos en uno, su
integral en (-, ) es nula. No es por tanto (t) una función en el sentido habitual. Es un caso particular de lo
que en la matemática se conoce como una función generalizada o distribución.
14
Sin embargo la descripción de (t) que se ha hecho en el recuadro ultimo, sugiere bien la idea de la situación
limite de I ( ) t . Además, tras las justificaciones matemáticas mostradas por Laurent Schwartz, puede
operarse con (t) en varias cuestiones sobre integrales y sobre transformadas de Laplace, de manera análoga
a lo establecido para las funciones de la familia A.
También puede usarse en forma análoga la (t-a) para describir un impulso unitario instantáneo en t = a.
Es:    ( ) ; ( )d ; ( ) et a
t a
t a
t a t t a as
 

 



   
 

0
1 L
Se verifica también:
( ) ( )d ( ) ( ) intt a f t t f a si f t es continua en ervalo que contenga a t a  


Y ( )d ( )x a x u t a
t
  
Nota: Se observa que  L ( )t  1 cumple que  lim ( )
s
t

 L  1 0
No contradice la propiedad lim F( )
s
s

 0 , pues (t)  A.
Bibliografía
- W. E. Boyce y R. C. DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Limusa,
Mexico, 1996.
- F. Marcellán, L. Casasús y A. Zarzo, Ecuaciones diferenciales. Problemas lineales y aplicaciones,
McGraw—Hill, 1990.
Referencias
https://www.migueltarazonagiraldo.com/

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Transformada de laplace

  • 1. 1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA La Transformada de Laplace Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E-mail: mitagi@gmail.com - mitagi@hotmail.com http://migueltarazonagiraldo.com/ Octubre del 2019 1. INTRODUCCIÓN Entre las transformaciones más usuales que operan con funciones f(x) cumpliendo condiciones adecuadas en I=[a, b], para obtener otras funciones en I, están por ejemplo :  La operación D de derivación :  D ( ) ( )f x f x   La operación I de integración :    x a td)t(f)x(fI  La transformación Mg definida por :  M ( ) ( ) ( )g f x g x f x  siendo g(x) una función concreta. En cada caso, hay que asignar alguna restricción a las funciones f(x) a las que se aplica una transformación dada. Así, en el primer ejemplo, f(x) debe ser derivable en un cierto intervalo, etc. Las tres transformaciones citadas son lineales, es decir, que verifican:        2122112211 c,c)x(fTc)x(fTc)x(fc)x(fcT Una clase importante dentro de las transformaciones lineales, son las llamadas transformaciones integrales. Se consideran las funciones f(x) definidas en un intervalo finito o infinito a  x  b y se escoge una función fija K(s, x) de la variable x y el parámetro s. Entonces la correspondiente transformada integral está dada por:  T ( ) K( , ) ( ) d F( ) b a f x s x f x x s  La función K(s, x) se llama núcleo de la transformación T. Se muestra fácilmente que T es lineal, cualquiera que sea la K(s, x). En la matemática aplicada se estudian varios casos especiales de transformadas integrales, adaptadas a la resolución de diversos problemas: transformada de Fourier, transformada de Fourier de seno, ídem de coseno, transformada de Hankel, de Mellin, etc. Se trata de estudiar ahora la transformación de Laplace especialmente indicada para simplificar el proceso de resolver problemas de valor inicial, cuyas ecuaciones diferenciales sean lineales, y primordialmente cuando se incluyen funciones discontinuas. Es muy utilizada en teoría de circuitos.
  • 2. 2 Antes de entrar en sus aplicaciones, se va a comenzar introduciendo esta transformada de Laplace así como sus propiedades fundamentales y más útiles. 2. DEFINICIÓN Y TRANSFORMADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES Definición.- Sea f(t) definida en ( 0,  ). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la función l [f(t) = F(s), definida por la integral   0 ( ) e ( ) d F( )L st f t f t t s     … (1) Deberá existir la integral impropia y dependiente del parámetro s, es decir, deberá ser convergente para ciertos valores de s. Sólo entonces podrá decirse que existe la transformada de Laplace de f(t), o que f(t) es  - transformable. Nota El parámetro s se considerará aquí real. Es esto suficiente para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo. Ejemplo 1: Sea f(t) = 1 , t  0  L 1 1 1 0 0 0                             e d lim e d lim e lim est st st s t t s s s       L 1 1 0  s s, pues la integral diverge para s  0 Nota Si fuese complejo s, es decir, s s s 1 2i , entonces  e e e cos isen( i )      st s s t s t s t s t1 2 1 2 2 y la integral impropia anterior sólo converge si s1 > 0 , es decir Re (s) > 0. Ejemplo 2: Sea f(t) = eat , t  0 ( ) 0 0 e e e eat st at s a t dt dt               . Es el caso anterior cambiando s por s - a. Luego: 1 ,at e s a s a        Ejemplo 3: Sea f(t) = ta , a  R , t  0 0 e da st a t t t          . Cambio: st = x . Entonces: t = x s , d d t x s  y
  • 3. 3 1 0 1 e da x a a t x x s           Luego: 1 ( 1) 0 1a a a t si s a s           En particular:  L t n s s n Nn n    ! 1 0  L t s s  1 02  L 1 1 0  s s, Ejemplo 4: Sea f(t) = cos at ó f(t) = sin at t  0  L cos cosat e at dtst    0 = Integrando dos veces por partes   L cos ,at s s a s  2 2 0 . Análogamente:   0,ns 22 L    s as a ati Podría obtenerse mejor así: Trabajando como en los ejemplos 1 y 2, sustituyendo a por ai (a  ), resulta:  L e i iat s a   1 , para Re (s - ai) > 0 , es decir s > 0 si s es real. Por tanto:  L e iiat s a s a   2 2 , s > 0 Luego         L L L L cos Re (e ) Re i , sen Im (e ) Im i , i i at s a s a s s a s at s a s a a s a s at at                     2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 Ejemplo 5: Sea la función escalón unidad u (t - a) o función de Heaviside. u (t - a) = 0 1 0 , , ( ) t a t a a       Es  L u t a( ) =                   e ( ) d e d est st a st a u t a t t s0 e ,   as s s 0 En particular:    L Lu t s s( ) ,  1 1 0
  • 4. 4 3. EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA En los ejemplos anteriores se ha visto por cálculo directo que la integral 1 existe realmente para las funciones consideradas, en algún intervalo de valores de s. Pero eso no ocurre así siempre. Por ejemplo, la integral impropia de 1 no converge para ningún valor de s si f(t) = 1 t ó f(t) = et 2 , por crecer estas funciones demasiado rápido cuando t  0+ o t   respectivamente. Afortunadamente existe la transformada para la mayor parte de las funciones que aparecen en aplicaciones donde intervienen ecuaciones diferenciales lineales. Se trata ahora de establecer un conjunto razonable de condiciones que garanticen la existencia de transformada para las funciones que las cumplen. a) Definición: “Se dice que f(t) es seccionalmente continua ( o continua a trozos) en [ ,  = I , si f(t) es continua en todos los puntos de I, excepto quizá en un nº finito de ellos, en los que f(t) deberá tener límites laterales finitos” “Se dice que f(t) es seccionalmente continua en [0 , , si lo es en [ 0, T ,  T > 0” Si f(t) es seccionalmente continua en [ , , es integrable en [ ,  b) Definición “Se dice que f(t) es de orden exponencial  cuando t  , si existen constantes positivas M, T tales que: f t e tt ( ) M T   ” Es decir que f(t) no crece más rápido que una función de la forma M et . Son por ejemplo de orden exponencial las funciones 1, eat , tn , sen bt, cos bt, tn eat , eat cos bt,... . No lo es et2 , pues crece más rápidamente que et , cualquiera que sea  ya que : lim e e lim e ( ) t t at t t t a       2   t f (t )
  • 5. 5 c) Notación: Se designará con el símbolo A, al conjunto de funciones f(t), tales que:  Son seccionalmente continuas en [0,)  Son de orden exponencial cuando t   d) Teorema de existencia “Si f(t)  A, entonces existe L [f,  s mayor que un cierto  “ Es decir que f(t)  A es condición suficiente para que exista L [f(t) y además, al menos para todo s > . Demostración f(t) de orden exponencial   M , T > 0 y   R   f(t)  < M et  t > T e ( )d T   st f t t0 converge  s pues e-st f(t) es seccionalmente continua en [0 , T. Es  e-st f(t)  < M e-(s-)t  t > T y  Me d Me d M lim e M( ) T ( ) ( )              s t s t s t t t s s si s       0 0 > Luego e ( )dT   st f t t converge absolutamente si s > . Por tanto, existe L [f(t) = e ( )d e ( )d T T    st st f t t f t t si s0 >  Notas  Puede demostrarse además que el dominio de definición de F(s) es de la forma (so , ) ó [so , ).  No se cumple en general el recíproco del teorema, es decir que la condición no es necesaria. Así por ejemplo, f(t) = t-1/2  A , pues tiene discontinuidad infinita en t = 0 y por tanto no es seccionalmente continua en [0, T . Pero tiene transformada, pues : L [t-1/2  = ( ) 0 1 2 1 2 s s   , >s 4. PROPIEDAD DE LINEALIDAD Para hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales.  A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y producto por escalar.  Sea F el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (so,) ó [so,). También es espacio vectorial real, si dadas dos funciones F, G  F , se define F+G en la forma usual, en la intersección de los dominios de F y G. Se considerarán además como iguales dos funciones en F ,si coinciden en un intervalo de la forma ( , ).
  • 6. 6  Entonces L es aplicación del espacio vectorial A en el F. Con estas consideraciones, se verifica: Teorema L es un operador lineal, es decir: Si f, g tiene transformada inversa de Laplace para s > , y a , b  , entonces af+bg tiene transformada para s >  y L [af(t)+bg(t) = a L [ f(t) + b L [ g(t) s >  En efecto:    L af bg s af t bg t t a f t t b g t tst st st           ( ) e ( ) ( ) d e ( )d e ( )d0 0 0 =    a f t b g t aF s bG sL L( ) ( )  ( ) ( ) , s >  c.q.d. Ejemplo 6:  Calcular atL sen2 Es       L L L Lsen cos cos2 1 2 2 1 2 1 2at at at       =           1 2 1 4 2 4 02 2 2 2 2 s s s a a s s a s ( ) , Ejemplo 7:    Calcular at y atL LCh Sh  L LCh e e ,at s a s a s s a s a at at                    2 1 2 1 1 2 2 Análogamente  L Sh ,at a s a s a  2 2 5. PROPIEDADES DE TRASLACIÓN Y CAMBIO DE ESCALA a) Primera propiedad de traslación: Si f  A y L [f(t) = F(s), s > , entonces L [e at f(t) = F(s-a), s - a >  En efecto: L [e at f(t) = e ( )d F( )( )    s a t f t t s a0 s - a >  Ejemplo 8:  Calcular btat L e cos
  • 7. 7       L Le cos cos ,at s a s a bt bt s s b s a s a b s a         2 2 2 2 Ejemplo 9:  Calcular tt L e3 4    L Le ! ( ) ,      3 4 4 3 5 4 3 3t s t t s s b) Segunda propiedad de traslación Nota previa: La función u(t-a)·f(t-a) = 0 , f( ) , t a t a t a       es la obtenida por traslado de f(t) a unidades a la derecha, tomando además el valor 0, para t < a Si f  A y L [f(t) = F(s), s > .>.0, entonces para a > 0 : L [f(t-a)·u(t-a) (s)= e-as F(s), s >  En efecto :  L ( - )f t a u t a f t a u t a t f t a tst st a ( ) e ( ) ( ) d e ( ) d        0 = (Cambio )x t a       e ( ) d e F( )( )s x a as f x x s0 c.q.d. Nota: Estos desplazamientos surgen en la práctica cuando hay tiempos de retraso en la alimentación de energía a sistemas eléctricos (la alimentación ocurre en t = a > 0) El factor e -as que aparece en la transformada, se llama factor de retardo Ejemplo 10:  Calcular g t siendo g tL ( ) ( )  0 1 1 13 t t t      ( ) Es g(t) = f(t-1)·u(t-1) con f(t) = t3 Por tanto:    L Lg t t s ss s ( ) e e ! ,    3 4 3 0 c) Cambio de escala Si f  A y L[f(t) = F(s), (s > ), entonces L[f(at) = 1 a F s a       , s > a
  • 8. 8 En efecto:  L ( )f at f at t at x a f x x a s a st s a x             e ( )d ( ) e ( )d F0 0 1 1 6. TRANSFORMADA DE DERIVADAS E INTEGRALES a) Transformada de derivadas Sea f(t) continua en (0,) y de orden exponencial  y sea f´ seccionalmente continua en [0,). Entonces L [f´(t) = s F(s) - f(0+ ), (s > ) S.D. Si se cumplen las condiciones anteriores, salvo que f(t) tiene discontinuidad por salto en t = a > 0 , entonces : L[ f´(t) = s F(s) - f(0+ ) - e-as [f(a+ )-f(a- ) Análogo si existen varias discontinuidades por salto. S.D. Si f, f’ , ... , f(n-1) son continuas en (0,) y de orden exponencial  y f(n) es seccionalmente continua en [0,), entonces : L [f(n) (t)] (s) = sn F(s) - sn-1 f(0+ ) - sn-2 f’(0+ ) - ··· - f(n-1) (0+ ) , (s > ) Así para n = 2 L [f’’ (t)] = s L [f’] - f’ (0+ ) = s [ s F(s) - f (0+ )] - f’(0+ )   L [f’’ (t)] = s2 F(s) - s f (0+ ) - f’(0+ ). En general, inducción. Aquí se intuye la utilidad de la transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. Se reemplaza la “derivación respecto a t “, por “multiplicación por s”, transformándose una ecuación diferencial con coeficientes constantes, en una algebraica. Ejemplo 11:    Calcular at usando la resion para fL Lsen , exp  Para f(t) = sen at es : f (t) = a cos t, f (t) = - a2 sen at, f(0) = 0, f (0) = a Luego  L f =              aatisfsffs atiaatia nsL)0()0( nsns 22 22 L LL Por tanto :     aatisatia  nsns LL 22 . Es decir:   22 nsL as a ati  
  • 9. 9 b) Transformada de integrales Si f  A, entonces     L L f x dx s s f x dx s s s f x dx t a t a ( ) F( ) ( ) F( ) ( ) 0 0 1             Demostración para el caso particular en que f sea continua en 0,): Sea f x dx g t t ( ) ( )0  . Entonces :  g t f t( ) ( ) , g(0) = 0 y g(t) continua en [0,). Luego  L  g t( )  L f t s s s ( ) F( ) G( )      0 Por tanto: G(s) =  L f x x s s t ( )d F( ) 0  c.q.d. También:      L L Lf x x f x dx f x dx s s s f x dxa t t a a ( )d ( ) ( ) F( ) ( )      0 0 0 1 7. MULTIPLICACIÓN POR tn Y DIVISIÓN POR t a) Multiplicación por tn Si f  A y  L ( )f t s F( ) (s > ), entonces  L t f t s sn n n n ( ) ( ) d d F( ) 1 (s > ), Por ser f  A, puede mostrarse que es aplicable la regla de Leibniz en lo que sigue:     d F d d d e ( )d T. Leibniz d d e ( ) d e ( )d ( ) s s f t t s f t t tf t t t f tst st st          0 0 0 L Por inducción se muestra la fórmula general para la derivada n-ésima. Ejemplo 12: Calcular L[t sen at y L[t cos at       L Lt at s at s a s a as s a ssen d d sen d d ,       2 2 2 2 2 2 0       L Lt at s at s s s a s a s a scos d d cos d d ,        2 2 2 2 2 2 2 0 b) División por t
  • 10. 10 Si f  A y   L f t s F( ) , entonces L f t t u us ( ) F( )d        , si existe lim ( ) t f t t  0 finito En efecto: Sea g (t) = f t t ( ) . Entonces: f(t) = t·g(t). Luego F(s) =  d d G( ) s s , de donde G(s) =  F( )du ua s . Como según veremos es lim G( ) s s   0 , resulta:  G( ) F( )d F( )d F( )ds u u u u u ua s s           c.q.d. Ejemplo 13: Calcular x x x t L 1 0         e d Es  L L L-1 1 1 1 10 e d e e d               x t t t sx x s t s s = 1 1 1 1 1 1 1 1 s s s s s s s s s ss s                   d ln ln , s > 0 Ejemplo 14: Calcular I t t t t   cos cos d 6 4 0 Es I =  L - L - cos cos cos cos 6 4 6 4 0 0 t t t t t ds s          = s s s s s s s2 20 2 2 0 2 36 16 1 2 36 16 1 2 36 16 1 2 6 4                          d ln ln ln ln 2 3 8. COMPORTAMIENTO DE F(s) EN s = 0 Y s =  (Tan sólo enunciados) a) Comportamiento de F(s) cuando s   Si f(t)  A, entonces: lim F( ) s s   0
  • 11. 11 b) Teorema de valor inicial o primer teorema tauberiano Si f(t)  A, entonces: lim F( ) lim ( ) s t s s f t     0 , si existen estos límites c) Teorema de valor final o segundo teorema tauberiano Si f(t)  A, entonces: lim F( ) lim ( ) s t s s f t    0 si existen finitos estos límites Ejemplo 15: Comprobar el teorema de valor inicial para la función f(t) = 3 - 2 cos t Es F(s) = L [3-2cos t = 3 2 12 s s s   lim F( ) , lim ( ) s t s s f t    1 1 0 9. TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNCIONES ESPECIALES a) Transformada de funciones periódicas Si f  A y es periódica con periodo T, entonces:   0 e ( ) d ( ) 1 e L T st sT f t t f t      En efecto:  L f t f t t f t tst st nT n T n n ( ) e ( ) d e ( ) d I ( )         0 1 0 0 Es: I e ( ) d e ( ) d e e ( ) d ( ) ( )( ) n st nT n T s x nTT snT sxT f t t f x nT x f x x t x nT =             1 0 0                L f t f x x f x xsT sT sxT sxT sT ( ) e e ... e ( ) d e ( ) d e 1 1 2 0 0 c.q.d. Ejemplo 16:  Hallar f t siendo f t t t y con periodoL ( ) ( )         1 0 1 0 1 2 2 Es: T = 2 e ( ) d e ( ) d d        stT st st f t t f t t e t0 0 1 1 2 0 = e e       st s s s0 1 1
  • 12. 12 Luego:       L f t s s s s s s s s ( ) e ( e ) e e e           1 1 1 1 1 2 Puede hacerse de otro modo, expresado f(t) en términos de la función escalón. Evidentemente es: f(t) = u(t) - u(t-1) + u(t-2) - u(t - 3) + ... , t > 0 Como  L u t a s s as ( ) e ( )    0 , resulta:    L f t s s s s s s ( ) e e e ... e            1 1 1 1 1 2 3 b) Función escalón unitario Ya se definió la función escalón unitario ( o función de Heaviside) como : u t t t ( )       0 0 1 0 ó u t a t a t a ( )       0 1 (a > 0) También se estableció que:  L u t s ( )  1 y  L u t a s as ( ) e    La función escalón, junto con la segunda propiedad de traslación o desplazamiento, son muy útiles en el tratamiento de funciones seccionalmente continuas. Ejemplo 17: Hallar  L f t( ) , siendo f t t t t ( )            3 2 1 2 5 2 5 Es f(t) = 3 u(t) - 4 u(t - 2) + 3 u(t - 5) Luego  F( ) e es s s s    1 3 4 32 5 Ejemplo 18:  Hallar g t u t aL ( ) ( ) Por la propiedad segunda de traslación es:    L Lf t a u t a f tas ( ) ( ) e ( )    . En el caso del ejemplo, la f(t) tal que g (t) = f (t-a) es f(t) = g(t + a). Por tanto :    L Lg t u t a g t aas ( ) ( ) e ( )  
  • 13. 13 c) Funciones impulso y función (t) de Dirac  Se entiende por función impulso I ( ) t la I t t t     ( )         1 0 0 Puede servir de modelo para representar una fuerza o excitación de magnitud constante 1  , que actúa sobre un sistema durante un tiempo , desde t = 0 , proporcionando al sistema un impulso total unitario I ( )d  t t0 1  Se verifica:   I ( )d d I ( ) e d e e           t t t t t s s sst st s 0 0 0 0 1 1 1 1 1                          L  En la función impulso anterior, haciendo disminuir el tiempo  durante el que actúa la fuerza o excitación 1  , puede considerarse la situación que se produce cuando la fuerza imparte un impulso unitario al sistema, en un tiempo arbitrariamente pequeño, a partir de t = 0, lo que podría designarse como impulso unitario instantáneo en t = 0 . (El impulso podría no ser unitario y en otro instante t = a) Se utiliza esta idea en sistemas mecánicos, circuitos eléctricos, etc. Por ejemplo, el golpe de un martillo, o una carga concentrada en un punto de una viga. Para estos casos de fuerzas violentas de corta duración, o sobre una pequeña sección, suele usarse la llamada función delta de Dirac (t) o función impulso unitario instantáneo en t = 0. Es una función ficticia, aproximada por I ( ) t cuando   0+ . No puede hablarse de lim I ( )     0 t pues no existe dicho límite, pero aprovechando que lim I ( )d       0 0 1t t y  lim I ( ) lim e lim e               0 0 0 1 1L =t s s s s s , se describe (t) por medio de:   0 0 ( ) ; ( ) d 1 , ( ) 1 0 Lt t t t t t             Nota: Para establecer la (t), suele partirse de la   n nx x n ( ) e  2 , para la cual también ( ) dx x    1 Literalmente, no tiene sentido lo anterior, pues si una función es nula en todos los puntos, menos en uno, su integral en (-, ) es nula. No es por tanto (t) una función en el sentido habitual. Es un caso particular de lo que en la matemática se conoce como una función generalizada o distribución.
  • 14. 14 Sin embargo la descripción de (t) que se ha hecho en el recuadro ultimo, sugiere bien la idea de la situación limite de I ( ) t . Además, tras las justificaciones matemáticas mostradas por Laurent Schwartz, puede operarse con (t) en varias cuestiones sobre integrales y sobre transformadas de Laplace, de manera análoga a lo establecido para las funciones de la familia A. También puede usarse en forma análoga la (t-a) para describir un impulso unitario instantáneo en t = a. Es:    ( ) ; ( )d ; ( ) et a t a t a t a t t a as                0 1 L Se verifica también: ( ) ( )d ( ) ( ) intt a f t t f a si f t es continua en ervalo que contenga a t a     Y ( )d ( )x a x u t a t    Nota: Se observa que  L ( )t  1 cumple que  lim ( ) s t   L  1 0 No contradice la propiedad lim F( ) s s   0 , pues (t)  A. Bibliografía - W. E. Boyce y R. C. DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Limusa, Mexico, 1996. - F. Marcellán, L. Casasús y A. Zarzo, Ecuaciones diferenciales. Problemas lineales y aplicaciones, McGraw—Hill, 1990. Referencias https://www.migueltarazonagiraldo.com/