Taller de calculo multivariable

CALCULO MULTIVARIABLE
Mag. Lácides Baleta
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
Grupo 05
Ortiz Chinchilla Jesús David

TALLER DE CÁLCULO MULTIVARIABLE
DOCENTE: Mag Lácides Baleta
GRUPO 05
1. En las siguientes funciones de los ejercicios verifique la existencia de
máximos y de mínimos locales, así como de puntos silla. Calcule el
valor de cada función en estos puntos.
=>
=>
* + ;
[( ) ]
[( ) ]
[( ) ]
Para todos los enteros , concluimos que (* + ) son todos los
puntos sillas.

GRUPO 05
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
[ ]
[ ]
[ ]
=> Es un mínimo local
[ ]
[ ]
[ ]
=> Es un punto silla

GRUPO 05
=>
( ) => ( )
[ ] => ,
( ) ( )
[ ]
[ ]
[ ]
=> Es un máximo local
[ ]
[ ]
[ ]
=> Es un punto silla

GRUPO 05
2. En los siguientes problemas, utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para
encontrar los extremos con restricciones de la función dada.
( )
=>
=> ( ) => =>
=> => ,
=> Máximo
=> Mínimo
=> Máximo
=> Mínimo
( )
No tiene máximos Ni mínimos

GRUPO 05
( )
3
, ,
Máximo
( )
, ,
Máximo

GRUPO 05
( )
( ) ( )
=>
=>
, √ , √
√ √ √ Máximo
, √ , √
√ √ √ Mínimo

GRUPO 05
( )
( )
=> =>
=> =>
√
,
√
,
√
√ √
√
3,0824 Mínimo
√
,
√
,
√
√ √
√
Máximo

GRUPO 05
3. Problemas de máximos y mínimos.
( )
( )
( )
( )
L=0
( )

GRUPO 05
( ) ( )
( ) ̂ ̂ ̂
( ) ̂ ̂ ̂
√
√
√
(
√ √ √
)
(
√ √ √
)
(
√ √ √
)

GRUPO 05
(
√ √ √
)
(
√ √ √
)
(
√ √ √
)
(
√ √ √
)
(
√ √ √
)

GRUPO 05
4. Calcule las siguientes integrales iteradas.
∫ [ ( )]
∫ [ ( ) ( )]
[ ( ) ( )]
∫ [ ]
∫ [ ]
[ ]
∫ [ √ ]|
∫ [ √ ]
*
( )
+|

GRUPO 05
5. Trace la región acotada por las rectas y las curvas dadas; luego exprese el área de la
región como una integral doble iterada y evalúe la integral.
Z=0
Y=4
∫ ∫
∫ |
∫ ( )
|
A=32/3
Cilindro
Planos x=24
x=0
z=0
∫ ∫
∫ |
∫
A=4

GRUPO 05
cilindro
Planos y=z
x=0
z=0
∫ ∫
√
∫ √
d)
√
∫ ∫
√
∫ √

GRUPO 05
e) paraboloide
Dentro del cilindro
∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( )
∫ ( ) | ∫ ( ) |
∫ ( ) ∫ ( )
f) encerrado por
z=0
∫ ∫
√
∫ √
√ |

GRUPO 05
6. Use coordenadas polares para hallar el volumen del sólido.
∫ ∫ *√ +
∫ [( ) ]|
∫ [( ) ( ) ]
∫ [ ]
∫ [ ]
√ ∫
√
∫ ∫ ( )
√
∫ ( ) |√
∫ ( ( ))
∫
V= 9π

GRUPO 05
∫ ∫ (√ )
√
∫ ( ( ) |√
( √ )|
( √ )

GRUPO 05
7. Encuentre la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región D y tiene la
función de densidad dada 

∫ ∫ ∫ | ∫
|
∫ ∫ ∫ | ∫
|
∫ ∫ ∫ | ∫
| ( ) ; ( ) ( ) ( )

GRUPO 05
∫ ∫ ( )
∫ | ∫ ( ) |
| ( ) ( )
∫ ∫ ( )
∫ ∫ ∫ |
∫ ( ) ( ) |
( ) ( )
∫ ∫ ( ) ∫ |
∫ ( ) |
( ) ( ) ( )

GRUPO 05
∫ ∫ ∫ |
∫ ( ) ∫ ( ) |
|
∫ ∫ ∫ |
∫ ( ) ∫ ( )
|
∫ ∫ ∫ |
∫ ( ) ∫ ( )
∫ ( )
|
( ̅ ̅) ( ) ( )

GRUPO 05
8. Evalúe la integral iterada.
∫ ∫ ∫
∫ ∫ |
∫ ∫ ∫ [ ] |
∫ [ ( )] |

GRUPO 05
∬ (∫ ) Dx dy
=∫ ∫ |
∫ ∫ ( )√
√
=∫ ∫ (
√
) ∫ ( )|√
=∫ |√
∫ ( ( ) ( ) ⁄
)
= (3 - 3 – 2
⁄
⁄
) | = - - ⁄
|
=1- -
1

GRUPO 05
Z=0 y Z =x+y
V= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ |
√√
dydx
=∫ ∫ ( ) ∫ ∫ )√√
dydx
=∫ ( + x ) |√
dx=∫ ( ⁄ ) - ( ) - ( ) dx
=∫ +
⁄
- - dx= + ⁄
- - |
=
Y=𝑥
X=𝑦

GRUPO 05
9. Use coordenadas cilíndricas.
Limites
Z - 0-4
P- 0-2
Q- 0 - 2𝜫
X= PcosØ
Y=PsenØ
Z=z
= +
V= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ] | dpd Ø
V=∫ ∫ (16- ) dpdØ = ∫ [16 - ] | dØ
V= ∫ dØ = Ø | = 𝜫

GRUPO 05
Z= 4- -
X=PcosØ
Z= Ƶ
= +
V=∫ ∫ ∫ ( )
V=∫ ∫ ∫ (
⁄
cosØ+ senØ+Ƶp) dƵdpdØ
V=∫ ∫
⁄
cosØƵ + senØƵ + p | dp d Ø
V=∫ ∫
⁄
cosØ (4- )+ senØ (4- )+ (4- ) dpdØ
V=∫ ∫
⁄
cos Ø - cosØ + 4 sen Ø - senØ+ (16-8 + )
dØdØ
V=∫
⁄
cosØ - cosØ +4 senØ - senØ+ (16p- + ) | dØ
V=∫
⁄
cosØ - cos Ø + senØ- senØ+ (32+ + dØ

GRUPO 05
X=PcosØ
Y=PcosØ
Ƶ=Ƶ
+ =
V=∫ ∫ ∫
( )
cosØ dƵdpdØ
=∫ ∫ cosØƵ |
( )
dpdØ
=∫ ∫ cosØ (p (cosØ+senØ)+5) dpdØ
=∫ ∫ ( ) cosØ dpdØ
=∫ cosØ (cosØ+senØ)+5 cosØ | dØ
=∫ ( ( Ø + cosØ+ senØ) 5 cosØ-
( Ø+cosØsenØ)+ (2) cosØ)
=∫ ( Ø+cosØsenØ)+ cosØ]dØ= 𝜫

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