Aritmética t3

75
Formamos personas capaces de aportar al mundo.
Alumno(a): _________________________
ARITMÉTICA
Aprendizajes esperados
7
NÚMEROS PRIMOS II
• Determine la cantidad de divisores de cualquier número así como los múltiplos de los divisores
de dicho número.
• Determine el producto y la suma de las inversas de los divisores de cualquier número.
SECUENCIA DE NÚMEROS PRIMOS
Un número natural es primo cuando sus únicos divisores son él mismo y la unidad.
La secuencia de números primos empieza así:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; ...
Durante mucho tiempo se discutió si la secuencia de números primos es infinita o no. La respuesta es que sí, ya que si:
p1, p2, ..., pn
son los primeros números primos, entonces el número:
1 2
N 1
n
p p p
= ⋅ ⋅ +

también será primo.
Los números primos son desconcertantes por la irregularidad con que aparecen; irregularidad que parece no obedecer a ninguna
fórmula, es decir, no es posible expresar el término general de la secuencia de los números primos por medio de una fórmula.
Existen, no obstante, algunas fórmulas que permiten obtener números primos, si bien de forma limitada. La primera de ellas,
debida a Euler, es:
2
41
n
a n n
= + +
Esta fórmula conduce a números primos cuando se sustituye n por cualquier número entero comprendido entre 0 y 39. Para n
= 40, n = 41, por el contrario, se obtiene, respectivamente:
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
40 40 40 41 40 40 1 41 40 40 1 40 1 40 1 40 1 41
a
= + += + += + + += + +=
( ) ( )
2
41 41 41 41 41 41 1 41 41 42 41 41 42 41 41 42 1 41 43
a = + + = + + = ⋅ + = ⋅ + = + = ⋅
Otras fórmulas que permiten obtener números primos son las siguientes:
( )
2
2 29 0; 1; 2; ; 28
n
a n n
= + = 
( )
2
17 0; 1; 2; ; 16
n
a n n n
= + + = 
( )
2
3 3 23 0; 1; 2; ; 21
n
a n n n
= + + = 
Las fórmulas, convenientemente aplicadas, conducen a números primos, “pero no necesariamente consecutivos”. Si aplicamos
la de Euler, comprobamos que empieza en el 41, pero se salta, por ejemplo, el 59.
Estrategias motivadoras

ARITMÉTICA
Formación Preuniversitaria
76 Educamos en Mente, Cuerpo y Alma.
Organizador visual
NÚMEROS
NÚMEROS PRIMOS NÚMEROS COMPUESTOS
SUMA DE DIVISORES DEL NÚMERO
PRODUCTO DE DIVISORES DEL NÚMERO
SUMA DE INVERSAS DE LOS DIVISORES
DEL NÚMERO
( )( )( )
N
CD 1 1 1
= α + β + θ +
1 1 1
N
–1 –1 – 1
SD
– 1 – 1 – 1
a b c
a b c
α+ β+ θ+
= ⋅ ⋅
CDN
2
N
PD N
=
N
N
SD
SID
2
=
N
, y :
, y
a b c
a b c primos
α β θ
+
= ⋅ ⋅
α β θ∈ 
DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA CANTIDAD DE DIVISORES

ARITMÉTICA
77
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
(TEOREMA DE GAUSS)
Conocido también como la descomposición canónica de
un número y expresa que todo número entero mayor que
la unidad se puede descomponer como la multiplicación
de sus factores primos diferentes entre sí; elevados a
exponentes enteros positivos.
Esta descomposición canónica es única.
Ejemplos:
10 = 2 × 5
24 = 23 × 3
39 = 3 × 13
56 = 23 × 7
120 = 23 × 3 × 5
180 = 22 × 32 × 5
666 = 2 × 32 × 37
1001 = 7 × 11 × 13
Entonces la descomposición canónica de N será:
N a b c
α β γ
= ⋅ ⋅
... (DC)
Donde:
a, b y c : factores primos
, y
α β γ : enteros positivos
CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO (CD)
Para determinar la cantidad de divisores de un número,
analizaremos los siguientes números:
{ }
2
3 divisores
4 2 1; 2; 4
= =




{ }
3
4 divisores
8 2 1; 2; 4; 8
= =




{ }
2
3 divisores
9 3 1; 3; 9
= =




{ }
4 divisores
10 2 5 1; 2; 5; 10
= × =




{ }
4
5 divisores
16 2 1; 2; 4; 8; 16
= =

{ }
2
6 divisores
12 2 3 1; 2; 3; 4; 6; 12
= × =




{ }
3
8 divisores
24 2 3 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
= × =

Se observa que la cantidad de divisores de un número
es igual al exponente del factor primo aumentado en la
unidad. Y si son dos o más factores se agrega la unidad a
cada exponente y se multiplican los resultados.
Entonces:
Dado el número:
N a b c
α β γ
= ⋅ ⋅
... (DC)
Donde:
, y
( )( )( )
N
CD 1 1 1
⇒ = α + β + γ +
Ejemplos:
Calcule la cantidad de divisores de 80.
Resolución:
Descomponiendo canónicamente el número 80.
80 2
40 2
20 2
10 2
5 5
1
4
80 2 5
= ×
1
( )( )
( )( )
80
80
80
CD 4 1 1 1
CD 5 2
CD 10 divisores
= + +
=
=
* Halle la cantidad de divisores de 150.
150
75
25
5
1
2
3
5
5
2
150 2 3 5
= × ×
1
1
( )( )( )
( )( )( )
150
150
150
CD 1 1 1 1 2 1
CD 2 2 3
CD 12 divisores
= + + +
=
=
Marco teórico

ARITMÉTICA
* Halle la cantidad de divisores de 180.

180 =
180

( )( )( )
( )( )( )
180
180
180
CD ..... 1 ..... 1 ..... 1
CD
CD
= + + +
=
=
También se consideran las siguientes expresiones:
N SIMPLES COMPUESTOS
CD CD CD
= +
N PRIMOS COMPUESTOS
CD CD CD 1
= + +
Ejemplos:
Halle la cantidad de divisores primos, simples y
compuestos de los números.
A)

( )( )( )
( )( )( )
3
120
120
120
PRIMOS
SIMPLES
COMPUESTOS
120 2 3 5
CD 3 1 1 1 1 1
CD 4 2 2
CD 16 divisores
CD 3
CD 4
CD 12
= × ×
= + + +
=
=
=
=
=
B)

( )( )( )
( )( )( )
220
220
220
PRIMOS
SIMPLES
COMPUESTOS
220
CD ..... 1 ..... 1 ..... 1
CD
CD
CD
CD
CD
= × ×
= + + +
=
=
=
=
=
SUMA DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO
Dado el número:
N a b c
α β γ
= ⋅ ⋅
Donde:
, y
La suma de los divisores será igual:
1 1 1
N
– 1 – 1 – 1
SD
– 1 – 1 – 1
a b c
a b c
α+ β+ γ+
   
=    
   
   
Ejemplos:
Halle la suma de los divisores de los siguientes números:
A)
4
240 2 3 5
= × ×

( )( )( )
5 2 2
240
240
240
240
2 – 1 3 – 1 5 – 1
SD
2 – 1 3 – 1 5 – 1
31 8 24
SD
1 2 4
SD 31 4 6
SD 744
   
=    
   
   
   
=    
   
=
=
B)
2
150 2 3 5
= × ×

( )( )( )
2 2 3
150
150
150
2 – 1 3 – 1 5 – 1
SD
2 – 1 3 – 1 5 – 1
SD 3 4 31
SD 372
   
=    
   
   
=
=
C) 140 = × ×

( )( )( )
140
140
140

SD
SD
SD
   
=    
   
=
=
OBSERVACIONES IMPORTANTES
• Divisores propios de un número
Son todos los divisores de un número excepto el mismo
número.

ARITMÉTICA
79
Ejemplos:
a) { }
10 1; 2; 5
=
b) { }
12 1; 2; 3; 4; 6
=
c) { }
15 1; 3; 5
=
• Número perfecto
Un número se denomina perfecto; cuando la suma de
sus divisores propios es igual al número.
Ejemplos:
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
Existe una fórmula que nos permite calcular todos los
números perfectos.
( )
1
Número
primo
Número perfecto 2 2 – 1
1
n n
n n
+
=
∈ ∧ ≥





Ejemplos:
Si n = 1 ( )
1 2
2 2 – 1 6
⇒ =
Si n = 2 ( )
1 3
2 2 – 1 28
⇒ =
Si n = 3 ( )
3 4
2 2 – 1
⇒
Aquí no se cumple, ya que el paréntesis da como
resultado 15 y no es un número primo.
• Número defectuoso
Un número se denomina defectuoso cuando la suma
de sus divisores propios es menor al número.
Ejemplos:
10 = 1 + 2 + 5 = 8 < 10
15 = 1 + 3 + 5 = 9 < 15
22 = 1 + 2 + 11 = 14 < 22
• Número abundante
Un número se denomina abundante cuando la suma
de sus divisores propios es mayor al número.
Ejemplos:
12 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 15 > 12
18 = 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21 > 18
24 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36 > 24
PRODUCTO DE DIVISORES DE UN NÚMERO
Sea el número N.
N a b c
α β γ
= ⋅ ⋅
El producto de sus divisores sera igual a:
CDN
N
PD = N
Ejemplos:
Halle el producto de los divisores del número:
a)
2 2
300 2 5 3
= × ×

( )( )( )
( )( )( )
300
300
300
18
300
9
300
CD 2 1 2 1 1 1
CD 3 3 2
CD 18 divisores
PD 300
PD 300
= + + +
=
=
=
=

b) 250 = ×

( )( )
250
250
250
250
250
CD 1 1
CD
CD
PD
PD
= + +
=
=
=
=

SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE
UN NÚMERO
Sea el número:
( )
N DC
a b c
α β γ
= ⋅ ⋅
La suma de las inversas de los divisores de un número sera
igual a:
N
N
SD
SID
N
=

ARITMÉTICA
Ejemplo:
Halle la suma de los números de los divisores del número:
a) 500 : 22 × 53

2+1 3 1
500
2 – 1 5 – 1
SD
2 – 1 5 – 1
7 156
1092
+
= ×
= ×
=

500 2 3
1092 7 156
SID
500 2 5
273

125
×
= =
×
=
b) 240 : 24 × 3 × 5
SD240 = 744 (del problema anterior)

240
3
4
744
SID
240
2 3 31

2 3 5
=
× ×
=
× ×
SID240 =
1. Halle la suma de los divisores
o
20 del número 600.
Resolución:
Sabemos que 600: ( )
3 2
2 3 5 20 2 3 5
20 1 = 20
20 2 = 40
20 3 = 60
20 5 = 100
20 6 = 120

× × = × × ×
= ×
= ×
= ×
= ×
= ×
=




20 10 = 200
20 15 = 300
20 30 = 600
×
= ×
= ×
SDde600queson
o
20 ( )
SD30
30
20 1 2 3 5 7 10 15 80
20 SD
20 72
1440
= + + + + + + +
= ×
= ×
=




En general:
de N que son múltiplos de N/2
SD SD
a a
= ⋅
2. ¿Cuántos divisores de 840000 son múltiplos de 15?
Resolución:
Sabemos que: 840000
( )
6 4
6 3
Genera a los múltiplos de 15
2 3 5 7
3 5 2 5 7
= × × ×
= × × ×





( )( )( )
o
15
CD 6 1 3 1 1 1
7 4 2
56
= + + +
= × ×
=
3. Halle el producto de divisores de 300 que con 13.
Resolución:
300: 12 30
12 1
12 2
12 3
12 5
divisores de 30
12 6
12 10
12 15
12 30
×
× 

× 

×

× 

× 

×

× 

× 

( )
o
de 360 que son 12
8
8
30
8 4
PD 12 1 12 2 12 30
12 1 2 3 30
12 PD
12 30
= × × × ×
= × ×
= ×
= ×


En general:
CDN
o N/
de N que son
PD PD
a
a
a
a
= ⋅

Ejercicios resueltos

ARITMÉTICA
81
LOS PERFECTOS
Hasta la fecha se conocen aproximadamente 1000 parejas
de números amigos, aunque su hallazgo ha sido tarea de
miles de años. Desde los pitagóricos, hubo que esperar hasta
1636 para que Pierre Fermat encontrara la siguiente pareja
de amigos. 17296 y 18416, algo alejados de 220 y 284.
Fermat y Descartes redescubrieron una fórmula para calcular
números amigos que ya era conocida por un astrónomo árabe
en el siglo IX. Descartes, usando dicha fórmula, encontró a
la pareja amistosa 9363584 y 9437056. El gran Euler tuvo
un gazapo, en sus cálculos cuando construyó una tabla con
64 parejas de amigos, de los que más tarde se demostraría
que una pareja era de falsos amigos. Resulta muy curioso
que en 1867 un joven italiano de 16 años, desconocido
científicamente, NICOLÁS
PAGANINI encontró que
1 1 8 4 y 1 2 1 0 e r a n
amigos... los siguientes
a 220 y 284 y se
les pasó a todos los
matemáticos.
Como hemos visto, el 6 es un número perfecto y además es
el más pequeño que existe. A partir de aquí los matemáticos
se pusieron a la busca y captura de los siguientes perfectos,
comprendiendo muy pronto que son números muy escasos
y muy difíciles de encontrar. Los siguientes perfectos son 28,
496 y 8128.
Por otro parte, no se ha encontrado ningún PERFECTO
IMPAR y es posible que no exista, pero es algo que no sabemos
a ciencia cierta, por eso, al decir perfecto solamente referimos
a los números perfectos pares. Fue como no, EUCLIDES el
que estudió los números perfectos exhaustivamente en el
LIBRO VIII de sus Elementos. Fiel a su sagacidad, Euclides
postuló que si el número anterior a una potencia de 2 es
primo (por ejemplo, 7 es el anterior a la potencia 23 = 8,
entonces al multiplicarla por la potencia anterior del 2 (en
este caso, 22 = 4) obtenemos siempre un número perfecto
(observa que 4 × 7 = 28 es perfecto). Otro ejemplo, 25 =
32, 32–1 = 31, que es primo. Según Euclides, al multiplicar la
potencia anterior de 2, 24 = 16, por 31 se obtiene 496, ¡que
también es perfecto! Dos mil años más tarde, otro genio que
ya conoces, Leonhard Euler, demostró que todos los números
perfectos pares se obtienen de la misma forma.
En la actualidad, se conocen 39 números perfectos, la
mayoría de ellos calculados con potentes ordenadores, ya
que muchos de ellos ocupan cientos de páginas.
2n–1(2n–1) es perfecto si 2n–1 es primo
Leonhard Euler
(1707-1783)
Pierre de Fermat
(1601-1665)
René Descartes
(1596-1650)

ARITMÉTICA
EL COMETA
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
X
El cometa utiliza menos líneas para determinar los números primos.
El cometa es un modelo que ha sido arreglado con círculos concéntricos para hacerlo más mnemotécnico. Su
forma recuerda a los objetos astronómicos conocidos desde la Antigüedad. La figura está formada por curvas periódicas
que tienen una amplitud máxima en el origen de la recta numérica. Cada curva intercepta a un número y a todos sus
múltiplos impares. La figura se puede trazar con regla y compás, o sino, utilizando la gráfica de otra función periódica,
por ejemplo; la gráfica de la función trigonométrica coseno. Los números pares no se tienen en cuenta. Los curvas
correspondientes a los números compuestos impares son opcionales. En este modelo no aparecen todos los divisores de
los números naturales. El modelo utiliza una menor cantidad de líneas para determinar los números primos. Se destaca
en forma especial la ubicación de los primos gemelos.
En la figura se distinguen 2 zonas: En la cabeza del cometa los números primos mayores a 2 aparecen interceptados
únicamente por una curva, mientras que en la cola del cometa los primos son los números que no son interceptados.
El diagrama es eficaz en la determinación de primos y compuestos hasta el número anterior al cuadrado del número
primo siguiente al último número dibujado dentro de la cabeza. Por ejemplo el diagrama dibujado arriba es eficaz hasta
el número 168 = (13 ×13) –1. Para prolongar su eficacia hay que agregarle más curvas. El modelo puede tener una
extensión infinita.

ARITMÉTICA
83
* Sean los números:
N = 102 × 152
M = 15 × 20 × 21
1. ¿Cuántos divisores primos tiene N?
Rpta.: 4
2. ¿Cuántos divisores compuestos tiene N?
Rpta.: 49
3. ¿Cuántos divisores primos tiene N . M?
Rpta.: 4
4. ¿Cuántos divisores compuestos tiene N . M?
Rpta.: 345
5. ¿Cuántos de los divisores de N son múltiplos de 2?
Rpta.: 30
6. ¿Cuántos de los divisores de M son impares?
Rpta.: 18
7. ¿Cuántos de los divisores de M . N son múltiplos de 7?
Rpta.: 175
8. ¿Cuántos de los divisores de M . N son múltiplos de 5
pero no de 2?
Rpta.: 60
9. Si 100n tiene 121 divisores en total, calcule el valor de
x.
Rpta.: 10
10. Si A = 23 . 32 . 5x tiene 44 divisores compuestos, halle
el valor de x.
Rpta.: 1
11. Si C = 5x . 6 tiene 20 divisores múltiplos de 2, halle x.
Rpta.: 9
12. Si 2
D 2 15x
= ⋅ tiene 25 divisores impares, halle el valor
de x.
Rpta.: 4
13. Un número tiene 22 divisores y su cubo 64 divisores.
¿Cuántos divisores tiene la raíz cúbica?
Rpta.: 8
14. ¿Cuántos ceros debe tener N para que tenga 72
divisores?
ceros
N 5000 0
x
= 




Rpta.: 6
15. ¿Cuál es el valor de n si 15 . 18n tiene la mitad de los
divisores de 30n?
Rpta.: 7
16. Halle p si
2 2 1 2 2 2 3
5 5 5 5
p p p p
+ + +
+ + + tiene 156
divisores.
Rpta.: 6
Ejercicios propuestos
Práctica I

ARITMÉTICA
Nivel I
* Si: A = 10 × 30 × 56
B = 10 × 18 × 48
1. ¿Cuántos divisores simples tiene A?
A) 3 B) 4 C) 5 D)
6 E) 7
2. ¿Cuántos divisores compuestos tiene B?
A) 5 B) 4 C) 1 D)
7 E) 3
3. ¿Cuántos divisores compuestos tiene A . B?
A) 80 B) 79 C) 65
D) 91 E) 69
4. ¿Cuántos divisores múltiplos de 25 tienen A . B?
A) 230 B) 250 C) 260
D) 241 E) 230
Nivel II
5. Si 2x . 15 tiene 20 divisores, halle x.
A) 2 B) 3 C) 5 D)
4 E) 6
6. Si 34 . 10x tiene 76 divisores compuestos, halle el valor
de x.
A) 1 B) 2 C) 5 D)
3 E) 6
7. Se tiene 2x . 3y . 13 tiene 80 divisores múltiplos de 3,
halle x.
A) 6 B) 7 C) 8 D)
10 E) 9
Nivel III
8. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por 12 el
número 150 para que el producto resultante tenga 540
divisores?
A) 81 B) 22 C) 25
D) 32 E) 29
9. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 1210 – 128?
A) 615 B) 612 C) 620
D) 642 E) 652
10. ¿Cuántos divisores de 4800 son múltiplos de 5 pero no
de 3?
A) 13 B) 12 C) 10
D) 16 E) 14
DESAFÍO
11. Si
o o
5, 11 y 5,
abc cba bca
= = = ¿cuántos divisores
tiene abc ?
A) 15 B) 18 C) 13
D) 16 E) 12
12. Si N a b
α β
= ⋅ tiene la cuarta parte de divisores de 21N
quien posee 55 divisores compuestos, determine la
cantidad de divisores de N sabiendo que es PESI con
18y.
A) 14 B) 16 C) 15
D) 18 E) 12
Autoevaluación

ARITMÉTICA
85
• Alumno(a) : ______________________________________________________________
• Curso : ____________________________________________ • Aula : __________
• Profesor : ______________________________________________________________
1. ¿Cuántosdivisoressimplestiene
4 2 2
N 20 13 18 ?
= × ×
A) 1 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
2. ¿Cuántos divisores tiene 15 × 80 × 10?
A) 48 B) 50 C) 60
D) 24 E) 42
3. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 480?
A) 10 B) 20 C) 30
D) 25 E) 32
4. Halle x si 2x . 153 tienen 32 divisores.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
5. Si 3y . 103 tiene 44 divisores compuestos, halle el valor
de y.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
6. Si 2x . 152 . 102 . 3x tiene 245 divisores, halle el valor
de x.
A) 15 B) 4 C) 9
D) 7 E) 24
7. Si a y b son números primos absolutos, ¿cuánto debe
valer x para que
1 3
N x x
a b
+ +
= ⋅ tenga 48 divisores?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
8. Halle la suma de cifras de N 14 30n
= ⋅ y M 21 15n
= ⋅
si la suma de la cantidad de divisores es 96.
A) 9 y 18 B) 10 y 15
C) 12 y 18 D) 15 y 14
E) 10 y 18
9. ¿Cuántos ceros hay que colocar a la derecha de 275
para que el número resultante tenga 70 divisores?
A) 2 B) 4 C) 6
D) 3 E) 5
10. Determine el valor de n sabiendo que 12 . 15n tiene
60 divisores.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

ARITMÉTICA
* Si A = 23 × 32 × 5
1. Halle la suma de divisores de A.
Rpta.: 1170
2. Halle el producto de divisiones de A.
Rpta.: 36012
3. Halle la suma de las inversas de la cantidad de divisores
de A.
Rpta.: 13/4
4. Halle la suma de los divisores del cuadrado de A/10.
Rpta.: 3751
5. Halle la suma de los divisores de 30 que son múltiplos
de 2.
Rpta.: 48
6. Halle la suma de las inversas de los divisores de 24,
que son múltiplos de 3.
Rpta.: 45
7. Halle el producto de los divisores de 36 que son
múltiplos de 3.
Rpta.: 84
8. Indique si los siguientes números son defectuosos o
abundantes.
A) 14 B) 60 C) 48
D) 28 E) 220
Rpta.: 14, 60 y 28
9. Halle la suma de divisores del menor número de 3
cifras.
Rpta.: 217
10. Indique qué pares de números son amigos.
A) 22 y 30 B) 15 y 20 C) 12 y 15 D)
200 y 100 E) 220 y 284
Rpta.: 220 y 284
11. Encuentre la suma de divisores del siguiente número
narcicsta: 153.
Rpta.: 3757
12. Halle el producto de divisores del siguiente número
curioso: 36.
Rpta.: 69
13. Halle la suma de los divisores de los siguientes números
sociables:
12496, 14288, 15472
e indique por qué se les llama así.
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
14. Halle x si la suma de divisores de 22 . 3x es 91.
Rpta.: 2
15. Halle el valor de p si A = 32p + 32p + 1 + 32p + 2 tiene
182 como suma de divisores.
Rpta.: 1
16. Si se sabe que la suma de divisores de 33 . 5x es 837
más que la suma de divisores que 32 . 5x, halle el valor
de x.
Rpta.: 2
Práctica II

ARITMÉTICA
87
Nivel I
* Sea A = 15 × 20 × 7
1. ¿Cuántos divisores simples tiene A?
A) 2 B) 3 C) 5
D) 6 E) 4
2. ¿Cuánto suman los divisores de A?
A) 6944 B) 446 C) 5425
D) 3241 E) 2030
3. ¿Cuál es el producto de divisores de A?
A) 1500036 B) 210021 C) 150018
D) 120018 E) 210018
4. ¿Cuál es la suma de los inversos de A?
A) 248/75 B) 75/248 C) 6944/7
D) 152/7 E) 343/8
Nivel II
5. ¿Cuál es la suma de los divisores de A que son
múltiplos de 5?
A) 1120 B) 112 C) 142
D) 1320 E) 2200
6. Indique el producto de divisores de A que son
múltiplos de 3.
A) 4902 B) 70018 C) 210018
D) 150018 E) 160018
7. Indique qué números son defectuosos.
I) 4 II) 6 III) 8
A) solo I B) solo II C) solo III
D) I y II E) I y III
Nivel III
8. Indique qué números son abundantes.
I) 14 II) 18 III) 20
A) solo I B) solo II C) solo III
D) todos E) II y III
9. Indique el producto de divisores de 104.
A) 1040 B) 1080 C) 1020
D) 1025 E) 10100
10. Halle el valor de x en
2
2 5x
⋅ si tiene 56 como suma
de divisores.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
DESAFÍO
11. Indique el producto de divisores de 2 2
N 2 3 50.
= × ×
A)
25 21
6 2
× B) ( )21
2 3
×
C)
36 24 12
2 3 5
× × D) ( )24
2 3 5
× ×
E) ( )
18
2
2 3 5
× ×
12. Halle la suma de divisores compuestos de:
M = 5 × 10 × 15
A) 342 B) 428 C) 361
D) 372 E) 380
Autoevaluación

ARITMÉTICA
• Alumno(a) : ______________________________________________________________
• Curso : ____________________________________________ • Aula : __________
• Profesor : ______________________________________________________________
1. Si A = 23 × 5, halle la suma de divisores de A.
A) 35 B) 25 C) 42
D) 36 E) 56
2. Si B = 10 × 15, halle el producto de divisores de B.
A) 1506 B) 1202 C) 1403
D) 1508 E) 1505
3. Halle la suma de divisores de A que son múltiplos de
3. (A = 48)
A) 90 B) 91 C) 95
D) 97 E) 93
4. Halle el producto de divisores de B que son múltiplos
de 2. (B = 30)
A) 24 B) 36 C) 12
D) 50 E) 48
5. Si C = 3 × 5, halle el producto de los divisores de C.
A) 125 B) 240 C) 250
D) 153 E) 225
6. Halle el valor de p si la suma de divisores de N es 248.
2 2 1 2 2
N 2 2 2
p p p
+ +
= + +
A) 1 B) 2 C) 3 D)
4 E) 5
7. Halle el producto de divisores de 24.
A) 242 B) 246 C) 2410
D) 248 E) 244
8. Halle la suma de los inversos de los divisores de 100.
A) 2,71 B) 2,91 C) 2,17
D) 2,15 E) 2,16
9. Halle la suma de los divisores de
o
6 del número 72.
A) 144 B) 150 C) 168
D) 160 E) 180
10. Halle la suma de los inversos de los divisores de
o
10 de
400.
A) 0,125 B) 0,225 C) 0,300
D) 0,715 E) 0,850

ARITMÉTICA
89
8
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
• Conceptualize al máximo común divisor.
• Calcule el MCD mediante formas prácticas.
• Establezca las propiedades para el MCD y aplicarlos en la resolución de problemas.
Su vida es poco conocida, salvo que vivió en ALEJANDRÍA, Egipto. Proclo el último de los grandes filósofos griegos, quien
vivió alrededor del 450 d.C., es la principal fuente. Se nos ha transmitido la imagen de un hombre de estudio, genial, modesto
y escrupulosamente honrado, siempre pronto a reconocer el trabajo original de otros y visiblemente amable y paciente.
Existen algunos otros datos poco fiables. Algunos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naúcrates y se barajan
tres hipótesis:
1. Euclides fue un personaje histórico que escribió ‘Los Elementos’ y otras obras atribuidas a él.
2. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las
obras completas de Euclides, incluso escribiendo libros a nombre de Euclides después de su muerte.
3. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre
Euclides del personaje histórico Euclides de Megara que había vivido unos cien años antes.
En su obra titulada “LOS ELEMENTOS”, Euclides comenzó a escribir una descripción exhaustiva de las matemáticas, tarea
colosal aún en su tiempo. Su obra consta de trece libros. Los libros VII, VIII y IX
son aritméticos y dan una descripción interesante de la teoría de números. Se
introducen los números primos y compuestos, distinción relativamente tardía;
también, por primera vez, el MCD y el MCM de los números.
El MCD se puede hallar a través de las divisiones sucesivas. Por ejemplo,
para calcular el máximo común divisor de 2366 y 273 se podría utilizar la
siguiente secuencia de operaciones:
1. 2366 entre 273 es 8 y sobran 182.
2. 273 entre 182 es 1 y sobran 91.
3. 182 entre 91 es 2 y sobra 0.
Es a partir de este proceso que Euclides esquematiza este proceso de una
manera práctica y sencilla es la proposición 2 del libro VII de su libro ‘Elementos’,
por lo que posteriormente será llamado el ALGORITMO DE EUCLIDES. Tiene
numerosas aplicaciones en teoría de números y ciencias de la computación.
¿Cuál era el esquema que Euclides utilizó para hallar el MCD? Averígualo.
EUCLIDES

ARITMÉTICA
1. Concepto
Se denomina “máximo común divisor” de un conjunto
de números enteros positivos, al mayor de los divisores
que tienen en común dichos números.
Ejercicio:
Es necesario llenar 2 cilindros de agua de 80 L y 24 L
respectivamente. ¿Cuál es la mayor capacidad del balde
que podremos utilizar para llenarlas con cantidades
exactas de baldes?

80 L
24 L
BALDES
(Capacidad)
BALDES
(Cantidad total)
1 L
2 L
4 L
8 L
80 + 24 104

40 + 52
12
20 + 6
26
10 + 13
3
MCD
Observemos:
24 L: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
80 : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 16 ; 20 ; 40 ; 80
L
El mayor divisor
común
Divisores
MCD(24; 80) = 8
Ejemplo:
Si el MCD de 120 y 160 es 40, ¿cuántos divisores
tendrán en común 120 y 160?
Resolución:
Número de divisores Número de divisores
de 120 y 160 del MCD
=
MCD(120; 160) = 40
Organizador visual
(MCD)
DESCOMPOSICIÓN
CANÓNICA
ALGORITMO DE
EUCLIDES
DESCOMPOSICIÓN
SIMULTANEA
Ejemplo:
32 - 40 2
16 - 20 2
8 - 10 2
4 - 5 2
MCD(32; 40) = 23
Ejemplo:
A = 2 × 3 × 5
B = 2 × 3 × 7
3
3 2
2
2
MCD(A, B) = 2 × 3
2
Ejemplo:
1 2 2
280 200 80 40

80 40 0
MCD(250; 200) = 40
Marco teórico

ARITMÉTICA
91
C) Por el algoritmo de Euclides
Llamado también por divisiones sucesivas. Este
método consiste en:
“Dados 2 enteros positivos se divide el mayor
entre el menor, si la división origina residuo
entonces se divide el número menor entre el
residuo obtenido, si la división resulta ser
nuevamente inexacta, se divide al anterior entre el
nuevo residuo, ..., y así sucesivamente, hasta que
el residuo resulte ser igual ser igual a “cero”, el
MCD será el residuo que hizo de divisor por última
vez”.
Podemos utilizar el siguiente esquema:

q1
q2
q3
q4
A B r1
r2
r3 MCD
r1
r2
r3
0
Cocientes
sucesivos
Residuos
⇒
⇒
A: mayor número
B: menor número
Ejemplo: Calcule el MCD(70; 15).
4 1 2
70 15 MCD
10 5
10 5 0
÷ ÷ ÷
MCD(70; 15) = 5
Ejemplo:
Los cocientes sucesivos que se obtuvieron al
calcular el MCD de 2 números por el algoritmo de
Euclides fueron 2; 1; 3. Si dichos números se
diferencian en 70 unidades, calcule suMCD.
Resolución:

2 1 3
11d 4d MCD
3d d
3d d 0
Cocientes
sucesivos
Residuos
⇒
⇒
Luego se reemplaza: 11d – 4d = 70
d = 10
MCD = d = 10
Hallemos CD de 40.
( )( )
3 1
40
40
40 2 5
CD 3 1 1 1
CD 8
= ×
⇒ = + +
=
120 y 160 tienen en común 8 divisores.
2. Formas de calcular el MCD
Ejemplo: Calcular el MCD de 360 y 240.
A) Por descomposición simultánea
360 - 240
180 - 120
90 - 60
45 - 30
15 - 10
3 - 2
2
2
2
3
5
sacamos mitad
sacamos mitad
sacamos mitad
sacamos tercia
sacamos quinta
×
Observamos que 3 y 2 son PESI entonces:
MCD(360; 240) = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
= 120
El producto de todos los
factores (divisores) comunes
extraídos es el MCD de dichos
números.
B) Por descomposición canónica

360
36
18
9
3
1
2 × 5
2
2
3
3
240
24
12
6
3
1
2 × 5
2
2
2
3
3 2
360 2 3 5
= × × 4
240 2 3 5
= × ×
MCD(360; 240) 3 2
2 3 5
120
= × ×
=
Para el uso de este método previamente se debe
tener la descomposición canónica de todos los
números. El MCD es el producto de todos los
factores primos comunes elevados a su menor
exponente.

ARITMÉTICA
3. Propiedades
1. Si dos números enteros positivos son primos entre
sí, entonces se cumple que el MCD es igual a 1.
Si 6 y 25 son PESI, entonces:
MCD(6; 25) = 1
Si
( )
A y B son PESI
MCD A; B 1
=
2. Si un número entero es múltiplo de otro número
positivo, entonces el MCD de ambos será igual al
menor.
Si ( )
o
18 6 MCD 18; 6 6
=
⇒ =
Si
( )
o
A = B; A y B
MCD A; B B
+
∈
=

3. Si dos o más números enteros positivos son
multiplicados o se dividen por un mismo número,
entonces el MCD queda multiplicado o dividido
respectivamente por dicho número.
Si ( )
MCD 12; 8 4, entonces
=
×3 ×3 ×3
( )
MCD 36; 24 12, entonces
=
MCD(9; 6) = 3
4
÷ 4
÷ 4
÷

Si ( )
( )
MCD A; B; C , K
MCD KA; KB; KC K
A B C
MCD ; ;
K K K K
d
d
d
= ∈
=
 
=
 
 

Entonces
4. Si dos o más números son divididos entre el MCD
de dichos números entonces los cocientes obtenidos
en cada división resultan primos entre sí.
Si: MCD(60; 48; 32) = 12
Luego:
60 48 36
5; 4; 3
12 12 12
= = =
Nos damos cuenta que: 5; 4 y 3 son PESI.
Si ( )
MCD A; B; C
A B C
; ;
, y son PESI.
d
p q r
d d d
p q r
=
= = =
5. Si ( )
MCD A; B P
MCD(C; D) Q
MCD(A; B; C; D) MCD(P; Q)
=
=
⇒ =
“La música es la aritmética de los sonidos, como la
óptica es la geometría de la luz”.
Claude Debussy

ARITMÉTICA
93
1. Los cocientes sucesivos que se obtuvieron al calcular el
MCD de 2 números por el algoritmo de Euclides fueron
1; 3; 2 y 4. Si dichos números suman 355, halle el mayor
número.
A) 100 B) 120 C) 140 D)
200 E) 240
Resolución:
Asumimos que el MCD(A; B) = d; se realiza la
reconstrucción.
MCD(A; B)
1 3 2
A d
9d 4d d
Cocientes 4
B 9d 4d
0
“Se asume un MCD hallado y se empieza del final hasta
llegar al número mayor”.
Así: B 3 9 4 31
A 1 B 9 40
d d d
d d
= × + =
= × + =
Por dato: A B 355 A = 40 × 5
71 355 A = 200
5
d
d
+ =
=
=

Rpta.: D
2. Si: MCD(A; 2B) = 24
MCD(3B; 5C) = 18
halle el MCD(3A; 6B; 10C).
A) 24 B) 36 C) 48 D)
12 E) 18
Resolución:
Si: ( )
3
MCD A; 2B 24
×
=





( )
MCD 3A; 6B 72
=
y al: ( )
2
MCD 3B; 5C 18
×
=



MCD (6B; 10C) = 36
Entonces:

( ) ( )
MCD 3A; 6B; 10C MCD 72; 36
= 36
=
Rpta.: B
3. Halle 2 números (A y B) que cumplen que su MCD es
9 y el producto entre ellos es 1620 si A + B < 100.
A) 15 y 30 B) 18 y 45 C) 9 y 36 D)
21 y 18 E) 36 y 45
Resolución:
Sean A y B los números:
A = MCD × q1
B = MCD × q2
PESI
Por dato: MCD(A; B) = 9.......... (1)
A × B = 1620.
........... (2)
Reemplazando en (2):
1 2
1 2
1 2
A B 1620
9 9 1620
81 1620
20

1 20 Son PESI
4 5
q q
q q
q q
× =
× =
× × =
× =
↓ ↓
× →
× 
Cumplen:
A = 9; B = 180
A = 36; B = 45
Si A + B < 100, entonces:
A = 36
B = 45
Rpta.: E

ARITMÉTICA
Halle el MCD de los siguientes números y con el resultado encontrarás el color en la CLAVE con el que pintar el número del
dibujo que corresponde a cada operación.
1. 1225 y 490 =
2. 900 y 1386 =
3. 150 y 1200 =
4. 180 y 325 =
5. 240 y 495 =
6. 30 y 40 =
7. 150 y 72 =
8. 462 y 198 =
9. 225 y 693 =
10. 126, 392 y 462 =
CLAVES
6 = naranja 15 = marrón
9 = verde oscuro 5 = amarillo
18 = verde claro 14 = gris
66 = rosa 245 = azul
10 = blanco 150 = rojo

ARITMÉTICA
95
1. Calcule el MCD de 48; 24 y 16.
Rpta.: 8
2. Calcule el MCD 20; 70 y 150.
Rpta.: 10
3. Si: A = 22 × 3 × 5
B = 2 × 32
halle el MCD (A, B).
Rpta.: 6
4. Si: A = 24 × 3 × 52
B = 2 × 55
C = 32 × 72 × 112
calcule la suma de cifras de MCD(A, B, C).
Rpta.: 6
5. Halle el MCD de 40 y 30. Dar como resultado la suma
de cocientes sucesivos.
Rpta.: 4
6. Halle el MCD de 45 y 35. Dar como resultado la suma
de residuos sucesivos.
Rpta.: 15
7. Calcule el MCD de 4; 16; 32 y 64.
Rpta.: 4
8. Si: A = 22 × 3
B = 32 × 5 × 72
C = 52 × 113
calcule el MCD(A; B) + MCD(B; C).
Rpta.: 8
9. Si el MCD de 3K y 4K es 30, halle K2.
Rpta.: 900
10. Si el MCD de 6K2 y 36 K2 es 34, halle K2 + K.
Rpta.: 12
11. El MCD de 2K; 4K; 8K y 16K es 8. Dé como respuesta
la suma del mayor y menor número.
Rpta.: 72
12. El MCD de 2K2; 5K5; 7K7; 11K11 y 19K19 es 36. Halle
3K + 2.
Rpta.: 20
13. Dos cilindros de 75 L y 100 L se necesita ser vaciados
para lo cual se utiliza un envase de máxima capacidad.
Sin que sobre ni falte nada, ¿cuántos envases necesito?
Rpta.: 7
14. Se tiene 3 cuerdas de 40 m; 72 m y 96 m; se desea
cortarlos en partes iguales más pequeñas sin que sobre
cuerda. ¿Cuál es la menor cantidad de partes que se
logra obtener?
Rpta.: 26
15. Para llenar tres envases de 12; 18 y 24 litros se
necesita un balde de máxima capacidad. ¿Cuál será la
capacidad del envase si se utiliza una cantidad exacta
de envases?
Rpta.: 6
16. ¿Cuál es la mayor longitud de una regla con la que se
puede medir exactamente tres cintas de 120 cm; 180
cm y 240 cm?
Rpta.: 60 cm
Práctica I

ARITMÉTICA
Nivel I
A) 25 B) 10 C) 25
D) 5 E) 15
2. Si: A = 28 × 37 × 52
B = 3 × 52 × 7
calcule el MCD de A y B.
A) 15 B) 75 C) 8 D)
78 E) 2
3. Halle el MCD de 70 y 50. Dé como respuesta la suma
de cocientes.
A) 2 B) 3 C) 5 D)
30 E) 10
4. Si: A = 22 × 3 × 72
B = 33 × 7 × 11
C = 22 × 7
halle MCD(A, B) + MCD(B, C).
A) 14 B) 21 C) 7 D)
11 E) 28
Nivel II
5. Halle el MCD de 3K; 9K; 27 K y 81K. Dar como
respuesta K3 + K2 + K si el MCD es 6.
A) 8 B) 14 C) 12
D) 16 E) 20
6. El MCD de K3; K4; K5 y K6 es 64. Halle el valor de K.
A) 2 B) 6 C) 8 D)
64 E) 4
7. El MCD de 3K2; 6K2 y 9K2 es 75. Halle el valor de 2K.
A) 35 B) 15 C) 25
D) 5 E) 10
Nivel III
8. Un promotor de eventos tiene en su almacén una caja
de 36 copas y otra con 48 copas; desea colocarlos en
paquetes que contengan el máximo número de copas,
sin que falte ni sobre ninguno. ¿Cuántos paquetes de
copas obtendrá?
A) 2 B) 4 C) 5 D)
7 E) 6
9. ¿Cuál es el mayor número entero positivo que divide
exactamente a 80 y 48?
A) 2 B) 4 C) 16
D) 8 E) 10
10. Dos cintas de 120 m y 160 m de longitud se quiere
dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud
posibles. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo?
A) 20 B) 30 C) 35
D) 40 E) 60
DESAFÍO TU HABILIDAD
11. Si el MCD de los términos de una fracción equivalente a
7/16 es 19, halle la diferencia positiva de sus términos.
A) 171 B) 161 C) 151
D) 181 E) 201
12. ElMCDde ( ) ( ) ( )
!; – 1 !; – 2 !; ; – 20 !
a a a a
 es720.
Calcule la suma de cifras de a.
A) 8 B) 9 C) 7 D)
6 E) 5
Autoevaluación

ARITMÉTICA
97
• Alumno(a) : ______________________________________________________________
• Curso : ____________________________________________ • Aula : __________
• Profesor : ______________________________________________________________
A) 16 B) 27 C) 160
D) 60 E) 32
2. Si: A = 23 × 32 × 112
B = 25 × 52 × 113
C = 33 × 74 × 11
calcule la suma de cifras del MCD de A, B y C.
A) 2 B) 11 C) 12
D) 3 E) 6
3. Halle el MCD de 52; 53; 54 y 55. Dé como respuesta
la suma de cifras.
A) 25 B) 5 C) 6
D) 55 E) 7
4. Halle el MCD de 85 y 70. Dé como resultado la suma
de cocientes sucesivos.
A) 30 B) 5 C) 10
D) 4 E) 8
5. Halle el MCD de 150 y 130. Dé como resultado el
producto de cocientes sucesivos.
A) 9 B) 30 C) 15
D) 10 E) 12
6. Si el MCD de 12K y 15K es 150, halle el valor de K.
A) 150 B) 50 C) 25
D) 5 E) 20
7. El MCD de 4K2 y 2K2 es 8. Halle el valor de K.
A) 4 B) 8 C) 6
D) 10 E) 2
8. El MCD de 2K; 2K2; 2K3; 2K4 y 2K5 es 32. Halle 5K.
A) 16 B) 24 C) 50
D) 60 E) 80
9. Es necesario llenar 2 cilindros de agua de 80 L y 24
L respectivamente, ¿cuál es la máxima capacidad
del balde que podremos utilizar para llenarlas con
cantidades exactas de baldes?
A) 8 B) 13 C) 4
D) 6 E) 12
10. Dos cintas de 12 m y 16 m de longitud se quiere dividir
en pedazos iguales y de la mayor longitud posible.
¿Cuál será la longitud de cada pedazo?
A) 2 B) 3 C) 4
D) 6 E) 8

ARITMÉTICA
1. ¿Cuántos divisores comunes tendrán 2 números si su
MCD es 18?
Rpta.: 6
2. Si A y B son dos números enteros consecutivos; además
MCD(A, B) = C, calcule
2
7
.
1
c
c
+
+
Rpta.: 4
3. Si A = 6B y A; B
+
∈  y además MCD(A; B) = 15,
calcule A + B.
Rpta.: 105
4. Si el MCD(54K; 63K) = 90, halle el MCD(30K; 35K).
Rpta.: 50
5. ¿Cuántos divisores comunes tendrán 3 números, si su
MCD es 54?
Rpta.: 8
6. Si R – S = 1; R y S
+
∈  y además MCD(R; S) = T,
calcule
2
3T T
.
T
+
Rpta.: 4
7. Si A = 8B; A y B
+
∈  y además MCD(AQ, B) = 20,
calcule A + B.
Rpta.: 180
8. Si el MCD(4K; 12K) = 28, halle el MCD(63; 3K).
Rpta.: 21
9. Si MCD(5A; 7B) = 30 y MCD(7A; 5B) = 210, halle el
MCD(A; B)
Rpta.: 30
10. Si MCD(10A; 14B) = 60 y MCD(14A; 10B) = 420,
halle el MCD de (A, B).
Rpta.: 30
11. Si el MCD(A; 3B) = 20, halle el MCD de 5A y 15B.
Rpta.: 100
12. Si MCD(5A; B) = 35, halle el MCD
B
A; .
5
 
 
 
Rpta.: 7
13. Calcule la suma de 2 números PESI si al calcular MCD
se obtuvieron como cocientes sucesivos el 2; 5; 3 y 2
respectivamente.
Rpta.: 118
14. Si: A = 45 × 60n
B = 45n × 60
MCD(A, B) = 22 × 34 × 53
calcule el valor de n.
Rpta.: 2
15. Si la suma de los cuadrados de 2 números es 80 y el
MCD de los dos números es 4, halle el mayor de los
números.
Rpta.: 8
16. Si ( )
MCD 3 4; 0 9,
a bc = halle a + b + c.
Rpta.: 11
Práctica II

ARITMÉTICA
99
Nivel I
1. ¿Cuántos divisores comunes tendrán 3 números si su
MCD es 15?
A) 4 B) 9 C) 6
D) 8 E) 2
2. Al hallar el MCD de a y (a + 1) da como resultado
m.
Calcule 2m + 4.
A) 4 B) 2 C) 8
D) 10 E) 6
3. Si el MCD de 12K y 15K es 21, halle el MCD de 2K
y 35.
A) 14 B) 21 C) 7
D) 16 E) 12
4. Si A = 3B; A y B
+
∈  y además MCD(A; B) = 10,
halle A – B.
A) 20 B) 10 C) 30
D) 15 E) 40
Nivel II
5. Si el MCD(6A; 11B) = 40 y MCD(11A; 6B) = 160,
halle el MCD(A; B).
A) 40 B) 20 C) 60
D) 160 E) 80
6. Si MCD(3K, 5K) = 14,
halle el MCD de 9K y 15K.
A) 14 B) 28 C) 7
D) 21 E) 42
7. Si MCD
A B
; 4,
6 9
 
=
 
 
halle el MCD de
A
2
y
B
.
3
A) 8 B) 12 C) 6
D) 9 E) 10
Nivel III
8. Si ( )
MCD 2 ; 5; 3 9,
a b c = halle a + b + c.
A) 12 B) 10 C) 8
D) 9 E) 17
9. Calcular la suma de 2 números PESI, cuyos cocientes
sucesivos al calcular su MCD se obtuvieron 3; 2 y 1.
A) 13 B) 15 C) 17
D) 12 E) 10
10. Si MCD ( )
!; !; 3! K,
ab m = halle K.
A) ab B) m C) 3m
D) 8 E) 6
DESAFÍO
11. SiMCD ( ) ( ) ( )
( )
A!; A 1 !; A 2 !; A 10 ! 24,
+ + + =

halle el valor de A.
A) 8 B) 7 C) 6
D) 5 E) 4
12. Si:
14 cifras
22 cifras
A 999 99
B 999 99
=
=










halle el MCD de A y B.
A) 20 B) 40 C) 80
D) 10 E) 70
Autoevaluación

ARITMÉTICA
• Alumno(a) : ______________________________________________________________
• Curso : ____________________________________________ • Aula : __________
• Profesor : ______________________________________________________________
1. ¿Cuántos divisores comunes tiene 2 números si su MCD
es 25?
A) 25 B) 5 C) 10
D) 8 E) 3
2. Si R – S = 1, R y S ,
+
∈ y además MCD(R, S) = C,
halle
5 C
.
3
c +
A) 2 B) 5 C) 6 D)
3 E) 4
3. Si A = 2B, A y B ,
+
∈ y además MCD(A, B) = 6,
calcule A + B.
A) 6 B) 12 C) 24
D) 18 E) 36
4. Si MCD(7K; 9K) = 8, halle el MCD de 24 y 15K.
A) 12 B) 20 C) 24
D) 15 E) 8
5. Si MCD(15A; 19B) = 42 y MCD(19A; 15B) = 168,
halle el MCD de A y B.
A) 168 B) 7 C) 6 D)
14 E) 42
6. Si MCD(15A; 24B) = 27, halle el MCD de 5A y 8B.
A) 9 B) 15 C) 27
D) 18 E) 24
7. Si MCD de
A
5
y
B
5
es 4, halle el MCD de A y B.
A) 4 B) 5 C) 10
D) 15 E) 20
8. Si ( )
MCD 14 ; 7 ; 3; 5 1 9,
c r i s = halle c + r + i + s.
A) 16 B) 15 C) 12
D) 14 E) 18
9. Si A = 7B, A y B ,
+
∈ y además MCD(A; B) = 8,
calcule A – B.
A) 48 B) 8 C) 56
D) 40 E) 64
10. Si el MCD de 12K y 18K es 30, halle el valor de K.
A) 30 B) 5 C) 18
D) 12 E) 15

ARITMÉTICA
101
9
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
• Conceptualice al máximo común múltiplo.
• Calcule el MCM mediante formas prácticas.
• Establecezca las propiedades para MCM y aplicarlos en la resolución de problemas concretos.
PROBLEMA DIDÁCTICO
Tres autos participan en una prueba de velocidad en un
autódromo que tiene tres pistas concéntricas, la pista de
mayor longitud es un cuadrado de 300 m de lado, la pista
de menor longitud también es un cuadrado de 150 m de
lado y la pista intermedia es circular que tiene una longitud
de 720 m. El primer auto recorre la longitud cuadrada mayor
con una velocidad de 80 m/s y el tercer auto recorre la pista
cuadrada menor con una velocidad de 75 m/s. Los puntos
de partida de los tres pistas están en línea recta, de manera
que pasen por los vértices de los cuadrados y por el centro
común. Calcule el tiempo que transcurre para que los tres
autos se encuentren por séptima vez en el punto de partida,
además el segundo auto recorre la pista circular con una
velocidad de 60 m/s.
Resolución:
* De los datos tenemos (velocidades)

A
B
C
80 m/s
60 m/s
75 m/s
v
v
v
=
=
=

* Tiempo(s) en dar una vuelta.

A
300 4
15 s
80
t
×
= =

B
720
12 s
60
t
= =

C
150 4
8 s
75
t
×
= =
Luego el tiempo común para el encuentro de A; B y C por
primera vez en la posición inicial, está dado por el MCM de
15; 12 y 8.
Es decir, cada 120 s se encuentran en la posición inicial.
Se encuentran por 7.a vez en:
120 × 7 = 849 s < > 14 min
A
B
C

ARITMÉTICA
(MCM)
Múltiplos: Decimos que un número es múltiplo de otro
número si lo contiene un número entero de veces.
Los múltiplos de un número se obtiene multiplicando dicho
número por los números naturales: 1; 2; 3; 4; ....
Ejemplo:
En una iglesia hay 2 campanas y hoy han sido tocadas
simultáneamente. Si cada 3 y la otra cada 4 días, ¿después
de qué tiempo volverás a ser tocadas simultáneamente?
3 6 9 12
3
días
3
días
3
días
3
días ...
4 8 12
4
días
4
días
4
días ...
HOY
Observamos:
: 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; ...
3
días
: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; ...
4
días
menor múltiplo
común
múltiplos
MCM(3; 4) = 12
Podemos decir que:
Los múltiplos comunes de un conjunto de números
son también múltiplos de su MCM.
Aplicación
¿Cuántos múltiplos comunes menores a 100 poseen los
números 2; 3 y 5?
Organizador visual
(MCM)
DESCOMPOSICIÓN
CANÓNICA
RELACIÓN ENTRE
MCM - MCD
DESCOMPOSICIÓN
SIMULTANEA
Ejemplo:
32 - 40 2
16 - 20 2
8 - 10 2
4 - 5 2
1 - 5 5
1 - 1
Y
MCD(32, 40) = 25 × 5
Ejemplo:
A = 2 × 3 × 5
B = 2 × 3 × 5 × 7
3
2
2
MCD(A, B) = 2 × 3 × 5 × 7
2 2 3
MCD(A, B) = 10
MCD(A, B) = 60
A × B = MCD(A, B) × MCM(A, B)
A × B = MCD(A, B) × MCM(A, B)
= 600
Marco teórico

ARITMÉTICA
103
Características del MCM de un grupo de números
Si de un grupo de números, cada uno de ellos es divisor del
mayor de los números entonces el MCM es dicho número.
Ejemplo:
MCM(5; 10; 90) = 90
MCM(60; 240; 480) =
El MCM de dos números primos entre sí (PESI) es el producto
de dichos números.
MCM (8; 9) = 8 × 9 = 72
MCM (10; 21) =
MCM (13; 20) =
Métodos para determinar el MCM
A. Por descomposición simultánea
Para calcular el MCM de varios enteros, se disponen
los números en fila y se extraen sus divisores comunes
y no comunes, el MCM es el producto de los divisores
encontrados.
Ejemplo:
Halle el MCM de 18; 24 y 30.
18 24 30 2
9 12 15 3
3 4 5 3
1 4 5 4
1 1 5 5
1 1 1
×

Luego MCM(15; 24; 30) = 2 × 3 × 3 × 4 × 5
= 360
Aplicación
Calcula el MCM de 80; 120 y 180.
B. Por descomposición canónica
Dados varios enteros y obtenida su descomposición
canónica de cada uno, el MCM es igual al producto de
los divisores primos comunes y no comunes elevados
a su mayor exponente.
A= 22 × 32 × 5
B= 2 × 34 × 7
MCM(A; B) = 2 3
× × ×
Aplicación
Hallar el MCM de A, B y C, donde:
A= 25 × 32 × 53
B= 23 × 34 × 52 × 72
C=24 × 36 × 5 × 11
MCM (A; B; C) =
Relación de MCD y MCM para 2 números
A×B=MCD(A; B)×MCM(A; B)
El producto de dos números
enteros positivos siempre es
igual al producto de su MCD
por su MCM.
Dados los números 24 y 30,
calcule su MCD y su MCM,
verifique si se cumple.

ARITMÉTICA
1. Si:
MCM(5k; 6k; 7k) = 8400
halle k.
A) 20 B) 30 C) 40
D) 50 E) 60

Resolución:
MCM(5k; 6k; 7k) = 8400

MCM(5 ; 6 ; 7 )= 8400
k k k
k × MCM(5; 6; 7) = 8400
k × =
k
210 400
8
= 40
Rpta.: C
2. La suma de dos números es 50 y su MCM es 60.
Halle el mayor de los números.
A) 25 B) 20 C) 30
D) 35 E) 40

Resolución:
* MCD(a; b) = d
* a + b = 50
* d × q1 + d × q2=50
= ×


= ×

1
2
Sabemos
a d q
b d q
d q d q
+ × =50
1 2
d q q
× × =60
1 2
MCM( ; )= 60
a b
....
....
1
2
( )
Dividiendo ÷
1 2 :

1 2
1 2
5
6
q q
q q
+
=
×
q
1
= 3
q
2
= 2
Mayor = 3 × 10 d = 10
Mayor = 30
Rpta.: C
3. Se construye un cubo compacto utilizando ladrillos
de las siguientes dimensiones: 12 cm× 6 cm × 5 cm.
¿Cuántos ladrillos como mínimo habrá que utilizar?
A) 100 B) 180 C) 320
D) 450 E) 600
Resolución:
L = 60 Lado = 60 cm
L = MCM(12; 6; 5)
°
L
L
L=
12
5
6
L
°
°
°
°

N.º de ladrillos = ( )( )( )
60 60 60 600
12 6 5
=
Rpta.: E

ARITMÉTICA
105
Halle el MCM de los siguientes números y con el resultado encontrarás el color en la CLAVE con el que pintar el número del
dibujo que corresponde a cada operación.
1. 1225 y 490 =
2. 900 y 1386 =
3. 150 y 1200 =
4. 180 y 325 =
5. 240 y 495 =
6. 30 y 40 =
7. 150 y 72 =
8. 462 y 198 =
9. 225 y 693 =
10. 126, 392 y 462 =
CLAVES
17325 = naranja
11700 = marrón oscuro
69300 = verde oscuro
120 = amarillo
1386 = morado
7920 = marrón claro
1800 = rosa
2450 = azul
38808 = blanco
1200 = rojo

ARITMÉTICA
1. Calcule el MCM de 60; 80 y 100.
Rpta.: 1200
2. Determine el menor entero positivo que es divisible por
5; 2 y 9.
Rpta.: 90
3. Si: A = 2 × 32 × 5
B = 22 × 3
halle el MCM de A y B.
Rpta.: 180
4. Si: A = 32 × 7
B = 23 × 7
calcule la suma de cifras del MCM de A y B.
Rpta.: 9
5. Calcule el MCM de 4; 16; 32 y dé como respuesta el
producto de sus cifras.
Rpta.: 6
6. Calcule el MCM (A; B) + MCD (B; C) si:
A = 23 × 5 × 7
B = 52 × 7
C = 72 × 11 × 13
Rpta.: 1407
7. Halle la suma de cifras del MCM de 3; 32; 33; 34 y 35.
Rpta.: 9
8. Calcule el MCM de 30 y 24.
Rpta.: 120
9. Si el MCM de 3K y 4K es 36, halle K2.
Rpta.: 9
10. Si el MCM de 2K2 y 3K3 es 48, halle el valor de K.
Rpta.: 2
11. Si el MCM de los términos de una fracción equivalente a
5/6 es 120, halle la suma de sus términos de la fracción.
Rpta.: 44
12. Si el MCM de 2K; 4K; 8K y 16K es 80, halle la suma
de cifras de K3.
Rpta.: 8
13. ¿Cuál será la menor distancia que podrá medir
utilizando indistintamente una cinta métrica de 8; 6 y
5 metros de largo?
Rpta.: 120
14. En un aeropuerto se observa que 2 aviones salen cada
4 y 6 días respectivamente. Si el día de hoy salieron
juntos, ¿dentro de cuántos días volverán a salir juntos
por segunda vez?
Rpta.: 24
15. Hoy las 3 campanas de una iglesia han sido tocadas
simultáneamente. Si en adelante serán tocadas cada
7; 4 y 10 días respectivamente, ¿después de cuántos
días volverán a tocar juntos?
Rpta.: 140
16. Cristina se comprometió ayudar a Mirelly cada 4 días, a
Anderson cada 5 días y a Mariano cada 6 días. ¿Cada
cuántos días ayudará a sus 3 amigos el mismo día?
Rpta.: 60
Práctica I

ARITMÉTICA
107
Nivel I
A) 120 B) 100 C) 80
D) 60 E) 150
2. Calcule la suma del MCD de 60 y 80 con el MCM de
30 y 40. Dé como respuesta la suma de cifras.
A) 10 B) 12 C) 6 D)
5 E) 8
3. Calcule el MCM de 32; 64; 128 y 256. Dé como
respuesta el producto de sus cifras.
A) 30 B) 40 C) 13
D) 12 E) 60
4. Determine el MCM de A y B si:
A = 210 × 35 × 56
B = 211 × 32 × 52 × 7
A) 210 × 32 × 56 × 7
B) 211 × 35 × 57 × 7
C) 211 × 35 × 5
D) 210 × 32 × 56
E) 211 × 35 × 56 × 7
Nivel II
5. Si el MCM de 3K; 4K y 5K es 180, halle K.
A) 1 B) 2 C) 3 D)
4 E) 5
6. Si el MCM de K, K2; K3 y K4 es 81, halle (K + 1)2.
A) 49 B) 36 C) 25
D) 12 E) 16
7. El MCM de los términos de la fracción equivalente a
2/3 es 72. Halle el mayor de los términos.
A) 36 B) 24 C) 12
D) 48 E) 60
Nivel III
8. Dos camiones hacen el servicio de transporte de
mercadería en aduanas, uno cada 6 días y el otro cada
10 días salen del local. Si hoy salen juntos, ¿dentro de
cuántos días volverán a salir por tercera vez juntos?
A) 90 B) 50 C) 15
D) 30 E) 120
9. Olinda compra una Coca Cola cada 4 km y compra un
paquete de galletas cada 10 km. ¿Cuántos kilómetros
debe recorrer para comprar ambos productos?
A) 4 B) 10 C) 20
D) 40 E) 24
10. ¿Cuál será la menor distancia que se podrá medir
utilizando indistintamente una regla de 20; 30 y 45 cm?
A) 180 B) 20 C) 30
D) 90 E) 60
DESAFÍO
11. Si: MCD(21A; 3B) = 12
MCM(91A; 13B) = 10920
halle la suma de cifras de A . B.
A) 10 B) 12 C) 14
D) 16 E) 18
12. Calcule K2 si:
13 5 8
MCM K; K; K 520
7 7 7
 
=
 
 
A) 40 B) 42 C) 46
D) 49 E) 50
Autoevaluación

ARITMÉTICA
• Alumno(a) : ______________________________________________________________
• Curso : ____________________________________________ • Aula : __________
• Profesor : ______________________________________________________________
A) 20 B) 600 C) 5200
D) 420 E) 2100
2. Si: A = 32 × 7
B = 23 × 3 × 72
halle el MCM de A y B. Dé como respuesta al suma
de cifras.
A) 19 B) 20 C) 16
D) 15 E) 18
3. Calcule el MCM de 5; 25; 125 y 625.
A) 5 B) 125 C) 625
D) 225 E) 600
A) 200 B) 4000 C) 600
D) 300 E) 400
5. Si el MCM de 5K y 7K es 175, halle el valor de K.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
6. Si: A = 52 × 7
B = 23 × 5
calcule la suma de cifras del MCM de A y B.
A) 6 B) 3 C) 4
D) 5 E) 7
7. Si el MCM de 3K; 9K; 27K y 81K es 162, halle la
suma de cifras de K4.
A) 7 B) 6 C) 5
D) 8 E) 4
8. Determine el menor entero positivo que es divisible
por 3; 7 y 9.
A) 189 B) 64 C) 169
D) 140 E) 144
9. Carlos, por trabajo, se reúne con Raúl cada 3 días y
con Marco cada 4 días. Si hoy se reunió con ambos,
¿dentro de cuántos días se volverán a reunir los tres
por segunda vez?
A) 12 B) 7 C) 14
D) 24 E) 48
10. ¿Cuál es la menor longitud que debe tener una varilla
para que se pueda dividir en trozos de 24 cm; 29 cm
o 45 cm de longitud sin que sobre ni falte nada?
A) 900 cm B) 1000 cm
C) 1080 cm D) 1280 cm
E) 1180 cm

ARITMÉTICA
109
1. Si MCM(A; B) = 23x × 32y × 55z, donde:
A = 22 × 32
B = 26 × 510
halle x + y + z.
Rpta.: 5
2. Si MCM(A; B) = 22x × 33y × 54z × 7, donde:
A = 22 × 39 × 510 × 7
B = 24 × 36 × 520
halle x + y + z.
Rpta.: 10
3. Si MCM(A; B) = 22x × 33y × 54z × 11, donde:
A = 22 × 312 × 510 × 11
B = 24 × 36 × 516
halle x + y + z.
Rpta.: 12
4. Si MCM(a; 2b) = 30, determine el MCM (6a; 12b).
Rpta.: 180
5. Si
K 2K
MCM ; 10,
5 5
 
=
 
 
halle MCM(3K; 6K).
Rpta.: 150
6. ¿Cuántos divisores tiene el MCM de A y B?
A = 23 × 5
B = 52 × 7
Rpta.: 24
A = 23 × 52 × 7
B = 53 × 72 × 11
Rpta.: 96
8. ¿Cuántos divisores pares tiene el MCM de A; B y C?
A = 23 × 53 ; B = 2 × 52 ; C = 24 × 7
Rpta.: 32
9. Halle A . B si:
MCM (3A; 2B) = 120
MCD (3A; 2B) = 8
Rpta.: 160
10. Halle A . B si MCM(A; B) = 240 y MCD(A; B) = 20.
Rpta.: 4800
11. EL MCD(x; 60) = 12 el MCM(60; x) = 120, calcule el
valor de x.
Rpta.: 24
12. Se trata de formar un cubo con ladrillos cuyas
dimensiones son: 20 cm; 15 cm y 6 cm. ¿Cuántos
ladrillos son necesarios para formar el cubo más
pequeño posible?
Rpta.: 120
dimensiones son: 12 cm, 15 cm y 10 cm. ¿Cuántos
pequeño posible?
Rpta.: 120
14. Mirelly visita a su mamá cada 6 días y Anderson cada
7 días. Si coinciden el 14 de marzo, ¿cuál será la fecha
de su próxima visita?
Rpta.: 25 de abril
15. Mariana va al club cada 10 días y Olinda cada 12 días.
Si hoy que es primero de mayo, coinciden en el club,
¿cuál será la fecha que volverían a coincidir?
Rpta.: 30 de junio
16. En un aeropuerto se observa que 2 aviones salen cada
6 y 10 días. Si el 4 de marzo salieron juntos, ¿cuál será
la próxima fecha que saldrán nuevamente juntos?
Rpta.: 3 de abril
Práctica II

ARITMÉTICA
Nivel I
A = 24 × 39 × 7
B = 26 × 33 × 7
halle x + y + z.
A) 6 B) 8 C) 5 D) 9 E) 7
2. Si MCM ; 27,
3 3
a b
 
=
 
 
halle el MCM(2a; 2b).
A) 18 B) 9 C) 27 D) 15 E) 20
A = 24 × 55 × 112
B = 28 × 515
halle x + y + z.
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 10
A = 23 × 52 ; B = 2 × 53 × 7
A) 30 B) 36 C) 32 D) 40 E) 42
Nivel II
5. El MCD(x; 20) = 4 y el MCM(20; x) = 60. Calcular el
valor de x.
A) 12 B) 15 C) 4 D) 60 E) 20
6. Halle el valor de K si:
MCM(2A; 2B) = 12K; MCM(A; B) = 9K – 12
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
7. Se trata de formar un cubo con bloques cuyas
dimensiones son 30 cm; 20 cm y 10 cm. ¿Cuántos
bloques serán necesarios tener como mínimo?
A) 48 B) 40 C) 30 D) 24 E) 36
Nivel III
8. Raquel visita a su mamá cada 7 días y Miriam cada 3
días. Si coinciden el 20 de abril, ¿cuál será la fecha de
su próxima visita juntos?
A) 10 de mayo B) 11 de mayo
C) 9 de mayo D) 12 de mayo
E) 13 de mayo
9. ¿Cuántos divisores pares tiene el MCM de A y B?
A = 32 × 5 × 73
B = 24 × 3 × 5
A) 64 B) 96 C) 69
D) 72 E) 81
10. ¿Cuántos divisores impares tiene el MCM de A y B?
A = 28 × 32 × 74
B = 24 × 3 × 52
A) 16 B) 24 C) 48
D) 56 E) 45
DESAFÍO
11. Sabiendo que:
A = 12B
MCM(A; B) + MCD(A; B) = 780
calcule A – B.
A) 659 B) 660 C) 661
D) 663 E) 664
12. Un móvil se desplaza con velocidad constante
recorriendo primero 180 km y luego 240 km. Si el
MCM de los tiempos empleados es 96 horas, ¿cuántas
horas se han demorado en total?
A) 52 h B) 56 h C) 58 h
D) 50 h E) 55 h
Autoevaluación

ARITMÉTICA
111
• Alumno(a) : ______________________________________________________________
• Curso : ____________________________________________ • Aula : __________
• Profesor : ______________________________________________________________
A = 29 × 57
B = 52 × 74
halle x + y + z.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
2. Si MCM(A, B, C) = 23x × 52y × 7z × 11, donde:
A = 23 × 54 × 73
B = 52 × 73 × 11
C = 26 × 56 × 11
halle x . y . z.
A) 25 B) 20 C) 16
D) 9 E) 18
3. Si MCM ; ; 15,
3 3 3
a b c
 
=
 
 
calcule el MCM de 2a; 2b
y 2c.
A) 30 B) 90 C) 60
D) 45 E) 75
A = 24 × 72 × 113
B = 75 × 112
A) 20 B) 120 C) 60
D) 80 E) 90
5. Si: MCM(a; 2b) = K
MCM(2a; 4b) = 6K – 20
halle el valor de K.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 3 E) 4
6. Halle A × B si MCM(A; B) = 15 y MCD(A; B) = 5.
A) 105 B) 95 C) 60
D) 75 E) 45
7. Halle A×B si MCM(2A; 2B)=80 y el MCD(2A;
2B)=15.
A) 150 B) 200 C) 100
D) 300 E) 400
8. Mariano va de compras a Plaza Vea cada 5 días y a
Metro cada 7 días, hoy 15 de junio fue a los dos. ¿En
qué fecha ira nuevamente a los dos supermercados?
A) 19 de julio
B) 26 de junio
C) 1 de julio
D) 15 de julio
E) 20 de julio
dimensiones son: 15 cm; 8 cm y 12 cm. ¿Cuántos
pequeño posible?
A) 800 B) 1200 C) 120
D) 1000 E) 1100
10. Renato se compromete a estudiar con Josselyn cada
3 días y con Mafer cada 5 días. Si el 16 de mayo se
reunen los tres, ¿en qué fecha se vuelven a reunir los
tres amigos?
A) 31 de mayo
B) 29 de mayo
C) 30 de mayo
D) 2 de junio
E) 1 de junio

ARITMÉTICA
CLAVES
CLAVES
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN 1
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
E E E
B E C
B E C D D
B
AUTOEVALUACIÓN 2
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
E E A
B C C
E A A A C
E
AUTOEVALUACIÓN 1
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
E D D
C A A
E B E B E
C
AUTOEVALUACIÓN 2
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
B E E
A E C
A E A A E
C
AUTOEVALUACIÓN 1
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
A A A
C B D
A D E C E
E
AUTOEVALUACIÓN 2
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
E B E
B B B
E A C A C
A

Aritmética t3

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