Este documento presenta una introducción a los conceptos de límites y continuidad en cálculo diferencial. Contiene varios ejercicios resueltos sobre análisis de límites de funciones, incluyendo funciones trigonométricas y límites cuando la variable tiende al infinito. El objetivo es desarrollar una mejor comprensión de estas nociones básicas del análisis matemático a través de un aprendizaje colaborativo y la solución de problemas.

1. CALCULO DIFERENCIAL
TRABAJO COLABORATIVO 2
POR
AHMED BERRIO Cod.
ADIER ARNORIS VÉLEZ VELASQUEZ Cód. 98.601.683
CARLOS ALBERTO AGUIRRE ALZATE Cod.
TUTOR
JORGE RENDON
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA -UNAD-
MEDELLÍN
2014

2. INTRODUCCIÓN
El siguiente trabajo colaborativo dos tiene por objetivo desarrollar algunos ejercicios
sobre análisis de límites y continuidad, vistos en el cálculo diferencial de la unidad
2, a través de un aprendizaje basado en problemas, en donde el estudiante
desarrollará por fases un taller con el propósito de alcanzar un mayor o nuevo
conocimiento en la solución de problemas de sucesiones y progresiones los cuales
les servirá para darnos aplicación en nuestra área específica.
Debemos comprender que los conceptos de límites y continuidades de una función
son dos de los conceptos básicos del análisis matemático ya que entre otras cosas,
nos permiten conocer mejor la forma y propiedades de las funciones reales.
Además, el concepto de límite es básico en la definición del concepto de derivada
de una función, acá en las primeras páginas resolveremos en grupo colaborativo,
varios límites cuando la variable x tiende a cero, también hallaremos algunos límites
de funciones trigonométricas, y por ultimo resolveremos algunos límites cuando x
tiende al infinito, para luego presentar las experiencias del grupo, a manera de
conclusión.

3. ACTIVIDADES
Lim
√9+x−3
x
=
√9+0−3
0
=
3
3
=
0
0
INDETERMINADA
X 0
Multiplico por la conjugada
√9+𝑥−3
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥−0
√9+𝑥−3
𝑥
.
√9+𝑥 +3
√9+𝑥 +3
lim
x−0
x
x(√9+x +3)
√(9 + 𝑥)(√9 + 𝑥) + 3√9 + 𝑥 − 3√9 + 𝑥 − 9
√(9 + 𝑥)1.(9 + 𝑥)1 − 9
√9 + 𝑥)2 − 9 = (9 + 𝑥) − 9 = 𝑥
lim
𝑥−0
1
√9+𝑥+3
=
1
√9+0+3
=
1
6

4. √4 − 2
(4)3 − 64
=
0
0
√ 𝑥 − 2
𝑥3 − 64
.
√ 𝑥 + 2
√ 𝑥 + 2
lim
𝑥−4
𝑥 − 4
(𝑥3 − 64)(√ 𝑥 + 2
=
0
0
𝑥3
− 64 = 𝑥3
− 43
= ( 𝑥 − 4)( 𝑥2
+ 4𝑥 + 16)
lim
𝑥−4
(𝑥 − 4)
(𝑥 − 4)(𝑥2 + 4𝑥 + 16)(√ 𝑥 + 2)
lim
𝑥−4
1
(𝑥2 + 4𝑥 + 16)(√ 𝑥 + 2
=
1
(42 + 16 + 16)(√4 + 2
=
1
48,5(4)
=
𝟏
𝟏𝟗𝟐

5. lim
𝑥−0
1
𝑥 + 3
−
1
3
𝑥
=
1
0 + 3
−
1
3
0
=
0
0
lim
𝑥−0
3 − (𝑥 − 3)
3(𝑥 − 3)
𝑥
lim
𝑥−0
3 − (𝑥 − 3)
3(3 − 3)
𝑥
1
=
6−0
0
=
6
0
= −
𝟏
𝟗

6. lim
𝑥−4
√1+2(4)−3
√(4)−2−√2
=
√2.(4)+1−3
(4)−2−√2
=
3−3
√2−2
=
0
0
Indeterminada
Conjugamos (a+b)(a-b)=𝑎2
− 𝑏2
lim
𝑥−4
√1 + 2𝑥 − 3
√ 𝑥 − 2 − √2
.
√1 + 2𝑥 + 3
√1 + 2𝑥 + 3
.
√ 𝑥 − 2 + √2
√ 𝑥 − 2 + √2
lim
𝑥−4
[(
√(1+2𝑥)2
[(√(𝑥−2)2 −
(3)2]
(√2)2)2]
.
(√ 𝑥−2+√2)
(√1+2𝑥+3)
lim
𝑥−4
(1 + 2𝑥 − 9)
(𝑥 − 2 − 2)
.
√ 𝑥 − 2 + √2
(√1 + 2𝑥 + 3)
lim
𝑥−4
(2𝑥 − 8)
(𝑥 − 4)
.
(√ 𝑥 − 2 + √2
(√1 + 2𝑥 + 3)
Factorizamos (2x-8=2(x-4)
lim
𝑥−4
2(𝑥 − 4)(√ 𝑥 − 2 + √2
( 𝑥 − 4)(√1 + 2𝑥 + 3
lim
𝑥−4
2(√ 𝑥 − 2 + √2
√1 + 2𝑥 + 3
=
2(√(4) − 2 + √2
√1 + 2(4) + 3
=
2(√2 + √2
3 + 3
=
2.2√2
6
=
4√2
6
=
2√2
3

7. lim
𝑥−𝜋
𝜋 − 𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
=
𝜋 − 𝜋
𝑠𝑖𝑛𝜋
=
0
0
Cambio de variable U=𝜋 − 𝑥
𝑥 − 𝜋 − 𝑈 − 0 𝑥 = 𝜋 − 𝑈
lim
𝑥−𝜋
𝜋 − 𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
= lim
𝑈−0
𝜋 − (𝜋 − 𝑢)
sin(𝜋 − 𝑢)
lim
𝑢−0
𝑢
sin(𝜋 − 𝑢)
Sin (𝜋 − 𝑢) = 𝑠𝑖𝑛𝜋. 𝑐𝑜𝑠𝑢 − 𝑐𝑜𝑠𝜋. 𝑠𝑖𝑛𝑢 = 0 − (−1)𝑠𝑖𝑛𝑢 = 𝑠𝑖𝑛𝑢
lim
∅−∅
𝑠𝑖𝑛
∅
= 1
lim
∅−∅
1 − 𝑐𝑜𝑠∅
∅
= 0
lim
𝑢−0
𝑢
𝑠𝑖𝑛𝑢
= lim
𝑢−0
𝑢
𝑢
𝑠𝑖𝑛𝑢
𝑢
=
1
1
= 1

8. lim
𝑋−0
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛4𝑥
= lim
𝑋−0
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
4𝑠𝑖𝑛4𝑥
4𝑥
lim
𝑥−0
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥
4.lim
𝑥−0
.
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛4𝑥
4𝑥
=
1. (1)
4. (1)
=
𝟏
𝟒

9. 𝐥𝐢𝐦
𝒙−∞
√ 𝒙 𝟐 − 𝟑
𝒙
√ 𝒙 𝟑 + 𝟏
𝟑
𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙−∞
√
𝒙 𝟐 − 𝟑
𝒙 𝟐
√
𝒙 𝟑 + 𝟏
𝒙 𝟑
𝟑
𝐥𝐢𝐦
𝒙−∞
√ 𝟏 −
𝟑
𝒙 𝟐
√ 𝟏 +
𝟏
𝒙 𝟑
𝟑
=
√ 𝟏 − 𝟎
√ 𝟏 + 𝟎𝟑
=
𝟏
𝟏
= 𝟏

10. 8º 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
√ 𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝒙 aplicamos conjugada ∴
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
[√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙−𝒙][√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙+𝒙]
(√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙+𝒙)
Vemos como el numerador es un producto notable
de la forma 𝒂 𝟐
− 𝒃 𝟐
= ( 𝒂 − 𝒃)( 𝒂 + 𝒃) ∴
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙)
𝟐
−𝒙 𝟐
(√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙+𝒙)
=
𝒙 𝟐+𝟒𝒙−𝒙 𝟐
(√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙+𝒙)
=
𝟒𝒙
(√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙+𝒙)
Dividimos por 𝒙 → 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟒𝒙
𝒙
(√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙+𝒙)
𝒙
=
𝟒
(√ 𝒙 𝟐+𝟒𝒙
𝒙 𝟐
)+
𝒙
𝒙
=
𝟒
(√ 𝟏+
𝟒
𝒙
)+𝟏
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟒
(√ 𝟏+
𝟒
𝒙
)+𝟏
=
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
( 𝟒)
[√ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
( 𝟏)+ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
(
𝟒
𝒙
)]+ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
( 𝟏)
=
𝟒
(√𝟏+𝟎)+𝟏
=
=
𝟒
(√ 𝟏) + 𝟏
=
𝟒
𝟐
= 𝟐
∴ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
√ 𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝒙 = 𝟐

12. 10º- Demuestre que 𝐥𝐢𝐦
𝑥→𝑜
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
= 1
Partimos de 2 límites trigonométricos básicos:
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0 Por que sin(0) = 0
lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 Por que COS(0) = 1
Luego basados en la circunferencia trigonométrica analizamos que:

13. Segmento 𝑶𝑨 = 𝑿
Deducimos de la gráfica que: sen 𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝑡𝑎𝑛𝑥 decimos que menor o igual
puesto que para 𝑥 = 0 ∴ 𝑠𝑒𝑛(0) ≤ 0 ≤ tan(0)
0 0
Tomamos la expresión y la dividimos por 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
≤
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
≤
𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
Y como 𝑡𝑎𝑛𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
Entonces:
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
≤
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
≤
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
∴ : 1 ≤ 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
1
: 1 ≤
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
≤
1(𝑠𝑒𝑛𝑥)
(𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑐𝑜𝑠𝑥)
= 1 ≤
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
≤
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
senx
Tanx
0
A
𝑅 = 1

14. Invertimos la expresión buscando la función requerida
1 ≥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
≥
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
Aplicamos ley de límites
[ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟏] ≥ [ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙
] ≥ [ 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎
𝒄𝒐𝒔𝒙]
𝟏 𝟏
Así pues por el teorema del sanduché o también llamado de intercalación
el 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙
= 𝟏
Por tanto queda comprobado el ejercicio.

15. CONCLUSIONES
En este segundo momento de cálculo diferencial, hemos aprendido que es
indispensable tener claros los conceptos fundamentales de la matemática básica
vistas en los cursos anteriores, para incursionar en matemáticas más complejas,
tales como el manejo de sistema numérico, de las expresiones algebraicas, de las
funciones y sus correspondientes gráficas y de la Trigonometría.
Este segundo trabajo colaborativo, nos permitió reconocer la importancia del
cálculo, como un resultado natural de la aplicación del algebra y de la geometría
analítica a ciertos problemas de la física y de la geometría, en nuestro quehacer
profesional y cotidiano. Es entonces el cálculo diferencial una rama de la
matemática que tiene mucho que aportarle a nuestras carreras profesionales, a
través del uso de herramientas virtuales y herramientas de ecuaciones
matemáticas, para ayudarnos en el desarrollo y comprobación de los ejercicios.

16. REFERENCIAS
 Stewart, J., Redlin,L., Watson,S., (2012).Precálculo,matemática
para el cálculo. México D.F. Pág. 783. Disponible
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2222/libro.php?libroId=331#
 Modulo_Calculo_Diferencial_I_2010_Unidad_1
 http://www.matematica.ciens.ucv.ve/labfg/mat3/ssmat3.pdf
 Wolfram, Recuperado el 20 de octubre de 2014 de
http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+sqrt%28x%5E2-
3%29%2Fsqrt+%28x%5E3%2B1%29++as+-%3Einfinity
 Limites trigonométricos, recuperado el 20 de octubre de 2014 de
http://matematica1.com/category/limites-trigonometricos/