SERIES ARIMA

1. Fabian Guisao Usuga
Taller de series de tiempo
1) En un modelo AR (1):
𝑦𝑡 = 𝜃0 + 𝜃1 𝑦𝑡−1 + 𝜀𝑡
si hacemos la predicción para h periodos adelante
Se puede demostrar que
𝑦𝑡+ℎ =
(1 − 𝜃1
ℎ
)
(1 − 𝜃1)
𝜃0 + 𝜃1
ℎ
𝑦𝑡−1 + 𝜀𝑡
2.) Considere un proceso AR(2)
𝑦𝑡 = 1𝑦𝑡−1 − 0.5𝑦𝑡−2 + 𝜀𝑡
Hallar las ecuaciones (de yule Walker) para las cuales los valores del correlograma son
𝑝(1) = 0.666, 𝑝(2) = 0.1666, 𝑝(3) = −0.1666, 𝑝(4) = −0.1666
En Excel extienda esta formulación hasta unos 12 periodos y grafique el correlograma y
explique este proceso
3.) Considere la siguiente ecuación
yt=0+1t+ut, ut=𝛼1ut-1+𝛼2ut-2+𝛼3ut-3+t
Cuál sería la ecuación que se debe estimar para probar la existencia de la raíz unitaria,.
Argumente su respuesta
4.) Investigue sober los test de Phillips-Perron, Kwiatowski – Phillips - Schmidt -
Shin (KPSS), ADF. Argumente
5.) el sistema de ecuaciones que resulta para realizar la estimación de máximo
verosimilitud condicional es lineal. Para un proceso AR(1) se prueba que la función
de verosimilitud condicional, sería:
L*=f(y2, y3,..., yn/y1)=f(y2/y1)f(y3/y2)...f(yn/yn-1)
Bajo normalidad, se tiene que
f(yt/yt-1)= e σ/2)yαmy(
σ2Π
1 22
1tt 
 
 halle el logaritmo de la función de verosimilitud
 Demuestre que la función que se maximiza está dada por
L= f(y1, y2, y3,..., yn)=f(y1)L*

2. Fabian Guisao Usuga
De donde
LnL=K-
2
n
ln(2
)+1/2ln(1-2
)-


2
2
2
1
(y1-m/(1-))2
-

2
2
1


n
2t
1tt
2
)( yαmy
6.) Analicemos un caso elemental, supongamos que se tiene la serie zt la cual es un
proceso ARIMA(1,1,0).
En este caso zt es tal que
yt=zt-zt-1 es una AR(1) y por lo tanto yt=m+yt-1+t
Se puede probar que
zn+s=zn+s+
α1
α1 s


(yn-)+en+s
donde
=
m
1-α
en+s=n+s+(1+)n+s-1 + (1++2
)n+s-2 + (1++2
+...+s-1
)n+1
y por lo tanto
zˆ sn = zn+s+
α1
α1 s


(yn-)
var(en+s)=[1+(1+)2
+(1++2
)2
+...+(1++2
+...+s-1
)2
] σ
2
ε
Se observa que la varianza del pronóstico se incrementa a medida que s crece, luego
para una serie no estacionaria los pronósticos serán más imprecisos a medida que nos
alejamos en el horizonte
7.) Descargue una base de datos de una acción o índice financiero,
realice una predicción mediante un modelo ARIMA, donde
aplique todo lo visto en el curso de series de tiempo, utilice (R)
para predecir un horizonte de 2 meses. Realice un análisis
económico de esta acción o índice
Lectura

3. Fabian Guisao Usuga
EVALUACIÓN DE PRONÓSTICOS
Es importante evaluar la capacidad predictiva del modelo. Un importante estadístico es
la varianza del error de pronóstico ya que el intervalo de predicción proporciona una
medida de la precisión del pronóstico.
En el trabajo con datos en el tiempo es común evaluar la capacidad predictiva de un
modelo comparando los valores observados con los pronosticados. Para desarrollar
estas ideas es usual ajustar el modelo con las ‘’T’’ primeras observaciones y analizar
luego como predice el modelo las ‘’h’’ observaciones siguientes, donde n=T+h, siendo
n el tamaño de la muestra disponible. Los estadísticos más (entregados por Eviews)
empleados son:
 Raíz del error cuadrático medio:
RMSE=
h
)yˆy(
n
1Tt
tt
2
 

 Promedio de los valores absolutos de los errores de pronósticos
MAE=
h
yˆy
n
1Tt
tt 

 Promedio del error porcentual absoluto
MAPE=
h
y
yˆyn
1Tt
t
tt



 Coeficiente de desigualdad de Theil
TIC=
h
y
h
yˆ
RMSE
n
1Tt
2
t
n
1Tt
2
t 



El RMSE y MAE dependen de la escala de la variable dependiente y por lo tanto se
pueden emplear para comparar pronósticos de la misma serie para modelos
diferentes. Los otros dos estadísticos no dependen de la escala.
Se puede probar que 0 TIC 1. TIC=0 indica que las predicciones fueron
perfectas.
Con base en la desigualdad de Theil se definen la:
 Proporción del sesgo
PS=
h
yyˆ
)y-yˆ(
n
1Tt
tt
2
2
)( 

 Proporción de la varianza

4. Fabian Guisao Usuga
PV=
h
yyˆ
)s-s(
n
1Tt
tt
2
yyˆ
2
)(


 Proporción de la covarianza
PC=
h
yyˆ
ss)r1(2
n
1Tt
tt
2
yyˆ
)(



donde r es el coeficiente de correlación entre yt y yˆt
; s,s,yˆ,y yˆy son las medias y
desviaciones estándar de yt y yˆt
. Se puede probar que PS+PV+PC=1.
PS es una medida de la desviación del promedio del pronóstico con relación al
promedio de la serie observada (medida del error sistemático). Valores grandes de
PS (mayores de .1 o 0.2) indican que un sesgo sistemático esta presente y por lo
tanto el modelo se debería revisar. La proporción de la varianza nos informa la
capacidad que tiene el modelo de replicar la variabilidad de la serie. PC mide el error
no sistemático. La situación ideal sería PS=PV=0 y PC=1.