Teorema de Convolución

2. TEOREMA DE CONVOLUCI ´ON
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. TEOREMA DE CONVOLUCI ´ON
CONVOLUCI ´ON
DEFINICI ´ON
Si las funciones f(t) y g(t) son continuas por tramos en [0, ∞), entonces se
define la convoluci´on entre f(t) y g(t) como:
f ∗ g =
t
0
f(τ)g(t − τ)dτ
EJEMPLO
Calculemos et ∗ sin(t), Usando la definici´on de convoluci´on tenemos:
et
∗ sin(t) =
t
0
eτ
sin(t − τ)dτ
=
1
2
(− sin(t) − cos(t) + et
)

4. TEOREMA DE CONVOLUCI ´ON
TEOREMA DE CONVOLUCI ´ON
TEOREMA
Si f(t) y g(t) son funciones confinuas por tramos en [0, ∞), y de orden
exponencial, entonces
L {f ∗ g} = L{f(t)}L{g(t)} = F(s)G(s)
EJEMPLO
Calculemos la transformada de Laplace de
t
0 eτ sin(t − τ)dτ, Podemos
observar que:
t
0 eτ sin(t − τ)dτ = et ∗ sin(t) Usando el teorema de
convoluci´on obtenemos :
L
t
0
eτ
sin(t − τ)dτ = L et
∗ sin(t)
= F(s)G(s) = L{et
} · L{sin(t)}
=
1
s − 1
·
1
s2 + 1
=
1
(s − 1)(s2 + 1)

5. TEOREMA DE CONVOLUCI ´ON
TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL
TRANSFORMADA DE
∞
0 f(τ)dτ
Si L{f(t)} = F(s) y usando el teorema de la convoluci´on con g(t) = 1,
tenemos
L
t
0
f(τ)dτ = L
t
0
f(t − τ)(1)dτ
= L {f(t) ∗ (1)} = F(s) ·
1
s
=
F(s)
s

6. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009.
NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
Wesley, Iberoamericana, 1992.
POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.