Este documento resume las actividades de un taller sobre la enseñanza de las matemáticas, incluyendo fracciones, números decimales, operaciones con números decimales y geometría. El taller abordó problemas con fracciones, cuestiones básicas sobre números decimales, suma y resta con números decimales, y una propuesta didáctica para enseñar geometría que va desde construcciones a demostraciones.

1. Inspección Departamental de Educación InicialInspección Departamental de Educación Inicial
y Primaria de Tacuarembóy Primaria de Tacuarembó
Jornadas de Apoyo a la Enseñanza de la MatemáticaJornadas de Apoyo a la Enseñanza de la Matemática
Cuarto Taller Numeración RacionalCuarto Taller Numeración Racional
Mtros Edgardo Andino y Griselda GuigouMtros Edgardo Andino y Griselda Guigou
TacuarembóTacuarembó
NoviembreNoviembre
20102010

2. ASPECTOS QUE PRETENDEMOS ABORDAR EN LA JORNADA DE HOYASPECTOS QUE PRETENDEMOS ABORDAR EN LA JORNADA DE HOY
Revisión algunos aspectos del trabajo con fracciones; análisis didáctico deRevisión algunos aspectos del trabajo con fracciones; análisis didáctico de
problemas.problemas.
Números decimales: cuestiones básicas.Números decimales: cuestiones básicas.
Operaciones con números decimales:Operaciones con números decimales:
*SUMA Y RESTA*SUMA Y RESTA
*COCIENTE DECIMAL DE DOS NÚMEROS*COCIENTE DECIMAL DE DOS NÚMEROS
NATURALES.NATURALES.
*¿DIVIDIR POR 10, 100, 1000 O MULTI-*¿DIVIDIR POR 10, 100, 1000 O MULTI-
PLICAR POR 0,1; 0,01; 0,001?PLICAR POR 0,1; 0,01; 0,001?
GEOMETRÍAGEOMETRÍA
Una propuesta didáctica para su abordaje: DESDE LAS CONSTRUCCIONES AUna propuesta didáctica para su abordaje: DESDE LAS CONSTRUCCIONES A
LAS DEMOSTRACIONES.LAS DEMOSTRACIONES.

3. …… continuamos con la revisión del trabajo con fraccionescontinuamos con la revisión del trabajo con fracciones
 a) De un ramo de 12 flores, ¼ son rosas.a) De un ramo de 12 flores, ¼ son rosas.
¿cuántas flores son rosas?¿cuántas flores son rosas?
 b) Juan le regala la mitad de sus 68 figuritas ab) Juan le regala la mitad de sus 68 figuritas a
un compañero. ¿cuántas figuritas le regala?.un compañero. ¿cuántas figuritas le regala?.
 c) En el último examen, ¾ de los 40 alumnosc) En el último examen, ¾ de los 40 alumnos
obtuvo un puntaje superior a 6. ¿qué cantidadobtuvo un puntaje superior a 6. ¿qué cantidad
de alumnos tuvo esas notas?.de alumnos tuvo esas notas?.
 d) María pegó 27 figuritas en su álbum. Si eld) María pegó 27 figuritas en su álbum. Si el
álbum completo tiene 54 figuritas, ¿qué parteálbum completo tiene 54 figuritas, ¿qué parte
del álbum completó?.del álbum completó?.

4.  VValoralor PPosicional …osicional …
 1) si sólo se pudieran apretar las teclas “0”, “1”; “,”; “+” de la1) si sólo se pudieran apretar las teclas “0”, “1”; “,”; “+” de la
calculadora:calculadora:
a)¿Cómo podrían escribirse los siguientes números?. Anoten lasa)¿Cómo podrían escribirse los siguientes números?. Anoten las
cuentas que harían.cuentas que harían.
0,2; 0,003; 0,005; 0,25; 0,375; 341,4060,2; 0,003; 0,005; 0,25; 0,375; 341,406
b) Para anotar un número, Juan sumó 3 veces 0,001; 3 veces 0,1 y 4b) Para anotar un número, Juan sumó 3 veces 0,001; 3 veces 0,1 y 4
veces 0,01.¿Qué número anotó?.veces 0,01.¿Qué número anotó?.
c) Intenta armar 1,02 de dos maneras diferentes. ¿y 1,2?c) Intenta armar 1,02 de dos maneras diferentes. ¿y 1,2?
d) ¿Qué número se arma sumando 10 veces =0,1; 10 veces 0,01 y 10d) ¿Qué número se arma sumando 10 veces =0,1; 10 veces 0,01 y 10
veces 0,001?veces 0,001?
 2)Responde:2)Responde:
a) ¿Qué número se arma haciendo 5 x 0,1 + 3 x 0,01?a) ¿Qué número se arma haciendo 5 x 0,1 + 3 x 0,01?
b) ¿Qué números se forman haciendo los siguientes cálculos?b) ¿Qué números se forman haciendo los siguientes cálculos?
4 x 0,1 + 3,001 + 5 x 0,0014 x 0,1 + 3,001 + 5 x 0,001
7 x 0,1 + 6 x 0,0017 x 0,1 + 6 x 0,001
2 x 0,01 + 5 x 0,0012 x 0,01 + 5 x 0,001

5. Continuamos resolviendo …Continuamos resolviendo …
 Si en el visor de la calculadora escriben elSi en el visor de la calculadora escriben el
número 3,452 ¿qué cálculo hay que hacer en lanúmero 3,452 ¿qué cálculo hay que hacer en la
máquina para que aparezca el número 3,402 sinmáquina para que aparezca el número 3,402 sin
borrar? ¿Y para que aparezca 3,052?borrar? ¿Y para que aparezca 3,052?
 Si en el visor de la calculadora está el númeroSi en el visor de la calculadora está el número
2,347 ¿qué deben hacer para que aparezca el2,347 ¿qué deben hacer para que aparezca el
número 2,007 sin borrar?número 2,007 sin borrar?

6.  …… continuamoscontinuamos
 Pensando con la calculadora.Pensando con la calculadora.
a) Si anotas en la calculadora 29,8; sumas 0,1 y sigues apretando laa) Si anotas en la calculadora 29,8; sumas 0,1 y sigues apretando la
tecla “=“, se suman 0,1 cada vez que vuelves a apretar “=“.tecla “=“, se suman 0,1 cada vez que vuelves a apretar “=“.
Anota qué números irán apareciendo si aprietas 5 veces la tecla “=“.Anota qué números irán apareciendo si aprietas 5 veces la tecla “=“.
Después verifícalo con la calculadora.Después verifícalo con la calculadora.
 b) ¿y si a 29 le sumas 0,01?b) ¿y si a 29 le sumas 0,01?
 c) si a 124,77 le sumas 0,01 y sigues apretando “=“. ¿qué númerosc) si a 124,77 le sumas 0,01 y sigues apretando “=“. ¿qué números
irán apareciendo?irán apareciendo?
¿cuántas veces hay que sumar 0,01 para llegar a 125?¿cuántas veces hay que sumar 0,01 para llegar a 125?
 d) Si queremos ir de 13,6 a 14 sumando 0,01, ¿cuántas vecesd) Si queremos ir de 13,6 a 14 sumando 0,01, ¿cuántas veces
habrá que apretar la tecla “=“?habrá que apretar la tecla “=“?
 ¿y si l0 hiciéramos sumando de a 0,001?¿y si l0 hiciéramos sumando de a 0,001?

7.  OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES:OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES: SUMA Y RESTASUMA Y RESTA
 En la caja del supermercado ves que tu compra es de $65,75.En la caja del supermercado ves que tu compra es de $65,75.
Sin embargo la cajera te dice $66. Pagas. ¿Has pensado cuántoSin embargo la cajera te dice $66. Pagas. ¿Has pensado cuánto
dinero extra recauda el comercio en 4 ventas por ese monto?.dinero extra recauda el comercio en 4 ventas por ese monto?.
¿Con cuántas ventas por ese monto recaudaría $17?¿Con cuántas ventas por ese monto recaudaría $17?
 Si en el visor de la calculadora tienes el número 0,234 ¿quéSi en el visor de la calculadora tienes el número 0,234 ¿qué
operación deberías hacer para que aparezca …operación deberías hacer para que aparezca …
0,134; 0,244; 1,234; 0,235; 0,240,134; 0,244; 1,234; 0,235; 0,24
 Resolver mentalmenteResolver mentalmente
10 + 0,2; 4 + 0,002; 1 – 0,5; 10 + 0,2 + 0,003; 2 – 1,1; 0,5 + 0,05 +10 + 0,2; 4 + 0,002; 1 – 0,5; 10 + 0,2 + 0,003; 2 – 1,1; 0,5 + 0,05 +
0,005;0,005;
Suma 0,9 a cada uno de los siguientes números:Suma 0,9 a cada uno de los siguientes números:
3,1; 3,11; 4,25; 0,73; 2,993,1; 3,11; 4,25; 0,73; 2,99
Resta 0,9 a cada uno de los siguientes números.Resta 0,9 a cada uno de los siguientes números.
8,6; 3,4; 12,5; 8,258,6; 3,4; 12,5; 8,25

8. Cociente decimal de dos números decimalesCociente decimal de dos números decimales
En una ruta que tiene 18 kilómetros quieren ubicar 25En una ruta que tiene 18 kilómetros quieren ubicar 25
carteles publicitarios a igual distancia. ¿Cada cuántoscarteles publicitarios a igual distancia. ¿Cada cuántos
kilómetros deben colocarse?kilómetros deben colocarse?

9. ¿Dividir por 10; 100; 1000; o multiplicar por 0,1; 0,01;¿Dividir por 10; 100; 1000; o multiplicar por 0,1; 0,01;
0,001?0,001?
 Sabemos queSabemos que
1 : 10 = 0,11 : 10 = 0,1
Y también sabemos que 1 x 0,1 = 0,1Y también sabemos que 1 x 0,1 = 0,1
De manera análoga: 2 : 10 = 0,2De manera análoga: 2 : 10 = 0,2
Y también sabemos que 2 x 0,1 = 0,2;Y también sabemos que 2 x 0,1 = 0,2;
3 : 10 = 0,33 : 10 = 0,3
3 x 0,1 = 0,33 x 0,1 = 0,3
52 : 10 = (50 + 2) : 10 = 50 : 10 + 2 : 10 =52 : 10 = (50 + 2) : 10 = 50 : 10 + 2 : 10 =
5 + 0,2 = 5,25 + 0,2 = 5,2
52 x 0,1 = 50 x 0,1 + 2 x 0,1 = 5 + 0,2 = 5,252 x 0,1 = 50 x 0,1 + 2 x 0,1 = 5 + 0,2 = 5,2

10. Iniciación al estudio de la Geometría:Iniciación al estudio de la Geometría: de lasde las
construcciones a las demostracionesconstrucciones a las demostraciones
 ““Es reconocido por diferentes autores que numerososEs reconocido por diferentes autores que numerosos
conocimientos geométricos se originan a partir de la necesidad deconocimientos geométricos se originan a partir de la necesidad de
resolver diferentes problemas de índole espacial ligados a laresolver diferentes problemas de índole espacial ligados a la
medida. Michel Serres (1996), plantea a la vez orígenesmedida. Michel Serres (1996), plantea a la vez orígenes
naturalistas y culturalistas de la geometría. Comparte por un lado lanaturalistas y culturalistas de la geometría. Comparte por un lado la
idea de que los primeros conocimientos geométricos se asociaron aidea de que los primeros conocimientos geométricos se asociaron a
las crecidas periódicas del Nilo en Egipto, que provocaban lalas crecidas periódicas del Nilo en Egipto, que provocaban la
inundación de las tierras de cultivo. He allí la cuestión naturalista,inundación de las tierras de cultivo. He allí la cuestión naturalista,
asociada a un tratamiento más empírico de los objetos: seasociada a un tratamiento más empírico de los objetos: se
precisaba redistribuir a sus propietarios terrenos de dimensionesprecisaba redistribuir a sus propietarios terrenos de dimensiones
equivalentes a los perdidos. La resolución de este problemaequivalentes a los perdidos. La resolución de este problema
demandaba “medir lo que no se podía medir”. Se presentaba quizásdemandaba “medir lo que no se podía medir”. Se presentaba quizás
aquí la primera separación entre el espacio físico real ( y suaquí la primera separación entre el espacio físico real ( y su
tratamiento empírico) y un espacio imaginado, o bien representado.tratamiento empírico) y un espacio imaginado, o bien representado.
 12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich

11.  ““Serres se interroga también acerca de cuál era la necesidad de medirSerres se interroga también acerca de cuál era la necesidad de medir
para redistribuir las tierras anegadas: el pago de los impuestos que lospara redistribuir las tierras anegadas: el pago de los impuestos que los
propietarios de las tierras debían efectuar. Y ese pago debía serpropietarios de las tierras debían efectuar. Y ese pago debía ser
proporcional a las dimensiones del terreno. Es decir, entra en juegoproporcional a las dimensiones del terreno. Es decir, entra en juego
una visión más culturalista: se disputa una porción del poder. De esteuna visión más culturalista: se disputa una porción del poder. De este
modo y según Serres, la geometría “ no reproduce la tierra ni el cielo”,modo y según Serres, la geometría “ no reproduce la tierra ni el cielo”,
sino que pone en comunicación la naturaleza y la cultura.sino que pone en comunicación la naturaleza y la cultura.
 Otros autores (Santaló, 1961) afirman que toda la geometría – hastaOtros autores (Santaló, 1961) afirman que toda la geometría – hasta
que se elaboraron los Elementos de Euclides -, no es más que “unaque se elaboraron los Elementos de Euclides -, no es más que “una
reunión de reglas empíricas para medir o dividir figuras”. Parecería serreunión de reglas empíricas para medir o dividir figuras”. Parecería ser
que la construcción de objetos geométricos se fue desprendiendo deque la construcción de objetos geométricos se fue desprendiendo de
los objetos reales que pudieron haber sido “fuente de inspiración” y selos objetos reales que pudieron haber sido “fuente de inspiración” y se
transformaron en objetos ideales: punto, línea, triángulo, cuadrado,transformaron en objetos ideales: punto, línea, triángulo, cuadrado,
etc.etc.
Estos objetos teóricos responden a propiedades que los objetos realesEstos objetos teóricos responden a propiedades que los objetos reales
no verifican. Hay una idea, un concepto como el de circunferencia:no verifican. Hay una idea, un concepto como el de circunferencia:
línea formada por todos los puntos que equidistan de uno dado ( ellínea formada por todos los puntos que equidistan de uno dado ( el
centro de la circunferencia). Cualquier circunferencia trazada sobre lacentro de la circunferencia). Cualquier circunferencia trazada sobre la
arena, la pizarra o un papel es una representación de esa idea; enarena, la pizarra o un papel es una representación de esa idea; en
otras palabras, esa circunferencia trazada es la imagen sensible,otras palabras, esa circunferencia trazada es la imagen sensible,
visible, del “lugar” que ocuparía una circunferencia ideal, y nos remitevisible, del “lugar” que ocuparía una circunferencia ideal, y nos remite
a esa idea.”a esa idea.”
12(ntes) junio 2008 Claudia Broitman Horacio Itzcovich12(ntes) junio 2008 Claudia Broitman Horacio Itzcovich

12.  ““Asumir esta concepción acerca de la geometría implicaAsumir esta concepción acerca de la geometría implica
centrar la atención en el modo de dar cuenta de lacentrar la atención en el modo de dar cuenta de la
validez de los resultados y propiedades que se elaboran.validez de los resultados y propiedades que se elaboran.
Es decir, si los objetos ya no son reales, si se alejaronEs decir, si los objetos ya no son reales, si se alejaron
de las mediciones, decidir si algo es verdadero o falsode las mediciones, decidir si algo es verdadero o falso
no puede apoyarse en la percepción ni en la medida.no puede apoyarse en la percepción ni en la medida.
Requerirá de argumentos que se sostengan en lasRequerirá de argumentos que se sostengan en las
propiedades de los objetos geométricos. La validaciónpropiedades de los objetos geométricos. La validación
racional será uno de los aspectos centrales del trabajoracional será uno de los aspectos centrales del trabajo
geométrico. Introducir a los alumnos en la Geometríageométrico. Introducir a los alumnos en la Geometría
implicará tanto el abandono o la superación de laimplicará tanto el abandono o la superación de la
justificación por medio de la percepción o la medida,justificación por medio de la percepción o la medida,
como la entrada en esta clase decomo la entrada en esta clase de racionalidad.racionalidad. ParaPara
justificar la verdad de una proposición será necesariojustificar la verdad de una proposición será necesario
establecer una red de relaciones que permitan darestablecer una red de relaciones que permitan dar
cuenta de esa verdad sólo desde las razones. Lacuenta de esa verdad sólo desde las razones. La
validación implicará encontrar razonesvalidación implicará encontrar razones “por qué pasa“por qué pasa
lo que pasa”,lo que pasa”, y “por qué es necesariamente así”.y “por qué es necesariamente así”.
 12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich.12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich.

13.  ““Progresivamente se ha ido configurando un modo particular deProgresivamente se ha ido configurando un modo particular de
hacer geometría, que podría caracterizarse, sintéticamente, de lahacer geometría, que podría caracterizarse, sintéticamente, de la
siguiente manera:siguiente manera:
 Los objetos de la geometría (puntos, figuras, cuerpos, etc.) noLos objetos de la geometría (puntos, figuras, cuerpos, etc.) no
pertenecen a un espacio físico real, sino a un espacio teórico.pertenecen a un espacio físico real, sino a un espacio teórico.
 Los dibujos trazados son representantes de esos objetosLos dibujos trazados son representantes de esos objetos
teóricos.teóricos.
 Muchos problemas geométricos pueden ser, en un comienzo,Muchos problemas geométricos pueden ser, en un comienzo,
explorados empíricamente, analizando diferentes dibujos queexplorados empíricamente, analizando diferentes dibujos que
resultan sumamente útiles o recurriendo a mediciones. Estasresultan sumamente útiles o recurriendo a mediciones. Estas
experiencias permiten la obtención de resultados y laexperiencias permiten la obtención de resultados y la
formulación de conjeturas. Será necesario transformarformulación de conjeturas. Será necesario transformar
mediante argumentos dichas conjeturas en verdadesmediante argumentos dichas conjeturas en verdades
demostradas.demostradas.
 Los enunciados, relaciones y propiedades son generales, y seLos enunciados, relaciones y propiedades son generales, y se
explicitan las condiciones a partir de las cuales una colecciónexplicitan las condiciones a partir de las cuales una colección
de objetos las cumplen.de objetos las cumplen.
 Para socializarlas adquieren un cierto nivel dePara socializarlas adquieren un cierto nivel de
convencionalidad en su formulación”convencionalidad en su formulación”
12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich

14.  ““Promover un tratamiento de los objetos geométricos enPromover un tratamiento de los objetos geométricos en
la enseñanza que se aproxime lo más fielmente posiblela enseñanza que se aproxime lo más fielmente posible
a la actividad geométrica plantea numerosasa la actividad geométrica plantea numerosas
interrogantes: ¿cómo generar condiciones que permitaninterrogantes: ¿cómo generar condiciones que permitan
a los alumnos involucrarse en la producción dea los alumnos involucrarse en la producción de
conocimientos geométricos? ¿Cómo introducir a losconocimientos geométricos? ¿Cómo introducir a los
alumnos en aquellos objetos reconocidos en el sistemaalumnos en aquellos objetos reconocidos en el sistema
educativo (suma de los ángulos interiores del triángulo,educativo (suma de los ángulos interiores del triángulo,
propiedad de existencia de los tríángulos, etc.)propiedad de existencia de los tríángulos, etc.)
simultáneamente con esa racionalidad propia del trabajosimultáneamente con esa racionalidad propia del trabajo
geométrico?. ¿Cómo enseñar a los alumnos,geométrico?. ¿Cómo enseñar a los alumnos, a inferir –a inferir –
a partir de los datos y de las propiedades -,a partir de los datos y de las propiedades -,
relaciones que no están explicitadas y que llevarán arelaciones que no están explicitadas y que llevarán a
establecer el carácter necesario de los resultados?”establecer el carácter necesario de los resultados?”
12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich.12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich.

15.  ““Una primera cuestión a considerar es la distinción entre dibujos yUna primera cuestión a considerar es la distinción entre dibujos y
figuras geométricas.figuras geométricas. Los dibujos no “muestran” las propiedadesLos dibujos no “muestran” las propiedades
que definen a las figuras, sino que los conocimientos de losque definen a las figuras, sino que los conocimientos de los
sujetos acerca de los objetos geométricos son los quesujetos acerca de los objetos geométricos son los que
determinan quédeterminan qué puede “verse” en ellos.puede “verse” en ellos. La presentaciónLa presentación
ostensiva de dibujos promueve algunos errores habituales: losostensiva de dibujos promueve algunos errores habituales: los
alumnos asignan propiedades “observables en los dibujos a lasalumnos asignan propiedades “observables en los dibujos a las
figuras, por ejemplo la posición en la hoja, el color, proporcionesfiguras, por ejemplo la posición en la hoja, el color, proporciones
típicas aunque innecesarias entre elementos, etc. (Berthelot y Salintípicas aunque innecesarias entre elementos, etc. (Berthelot y Salin
1994, Fregona, 1995).1994, Fregona, 1995).
Parte del desafío consiste entonces en ofrecer oportunidades a losParte del desafío consiste entonces en ofrecer oportunidades a los
alumnos de reconocer que la figura es un conjunto de relacionesalumnos de reconocer que la figura es un conjunto de relaciones
que la definen y caracterizan.”que la definen y caracterizan.”
12(ntes) junio 2008. Caludia Broitman – Horacio Itzcovich12(ntes) junio 2008. Caludia Broitman – Horacio Itzcovich