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P
P’
P
P’
r’
r
(r)(P)
ABATIMIENTO DE UN PLANO OBLÍCUO
SOBRE EL PH o EL PV DE PROYECCIÓN
Abatimiento de un plano oblícuo sobre el PH de proyección
Abatimiento de un plano sobre el PV de proyección
Un abatimiento de un plano consiste en hacer girar el plano entorno a una recta, que es una de las
dos trazas del plano, que ejerce de charnela o eje de giro (bisagra) hasta hacerlo coincidir con uno
de los dos planos de proyección. Es una operación importante y frecuente pues rgacias a ella se
puede observar en verdadera magnitud y forma todo lo contenido en el plano.
Generalmente se suelen abatir abatir los planos sobre el PH de proyeccion, usando la traza horizontal
como charnela. Pero también se puede abatir un plano sobre el PV de proyección en caso de
acumulación de trazados o falta de espacio en el horizontal.
P'
P
P
P'
R
r'
r
(r)
P'
(P)
P
R
P'
(r) r'
r
h
h'
(h)
v'
v
(v')
(P')
P
P’
r’
r
v’
v
P
P’
(P’)
r’
r
(r)
v’
v
(v')
O
P
P’
r’
r
v’
v
1º- Contenemos en el plano una recta horizontal determinando
su traza vertical vv' que se encuentra contenida en la traza
vertical del plano
Esto en principio no es necesario completamente, ya que
con elegir un punto perteneciente a la traza vertical del plano
(en esta caso vv') es suficiente para poder realizar el abatimiento.
Pero es muy extraño y un tanto inutil abatir un plano sin sin
algo contenido en el, por lo que es muy frecuente tener que
contener algun punto perteneciente al plano en una recta
perteneciente a este para abatir plano y recta y así encontrar
el punto abatido sobre la recta abatida.
2º- Si nos fijamos en v (proyección horizontal del punto
sobre la traza vertical de la recta), este cuando el
plano se abata segira una trayectoria perpendicular a
la charnela o eje de giro, en este caso P. Trazamos
la perpendicular a P desde V.
3º-Hemos señalado en este paso con una "O" al punto
de intersección de las dos trazas del plano sobre la
LT. La magnitud Ov' se observa en verdadera magnitud
sobre el PH de proyección y se mantendrá al haber
abatido el plano sobre el PH de proyección. Por ello
haciendo centro en O, con radio hasta v', trazamos
un arco que corta a la perpendicular a P en (v'). La
recta desde O pasando por (v') es la traza vertical del
plano P abatida, (P').
La recta horizontal es paralela a la traza horizontal del
plano (espacialmente y en proyeccion horizontal) y de
este modo podemos trazar una paralela a P (traza
horizontal del plano) por (v') para obtener (r) que es
la recta horizontal contenida en el plano abatida con
este.
Se establece una afinidad con dos puntos afines v' y
(v'), el eje de afinidad es la charnela P (traza horizontal)
y la dirección de afinidad (perpendicular a P).
La diferencia está en que
deberemos escoger un
punto sobre la traza
horizontal del plano y en el
caso de tener que contener
algún punto perteneciente
al plano lo haremos con una
recta frontal que es paralela
ala traza vertical del plano.
1
2 3
Cuando necesitamos abatir sobre el PH de proyección la
mecánica va a ser exactamente la misma.
1º-Buscamos ambas trazas de la recta (vertical y horizontal). Estas, al pertenecer al plano están contenidas en sus
trazas. A partir de la proyección horizontal de la traza vertical trazamos una perpendicular a la charnela que lla cruza
(Dirección de afinidad). Con centro en la intersección de las trazas del plano, sobre la LT, y radio hasta la proyección
vertical de la traza vertical de la recta trazamos un arco que corta a la dirección de afinidad.
2º- Uniendo la interseeción de las dos trazas (vertical y horizontal) del plano sobre la LT con el punto donde se corta
el arco con la dirección de afinidad obtenemos la traza vertical del plano ABATIDA.
3º- El punto donde la dirección de afinidad es cortada por el arco, perteneciente a la traza vertical del plano abatido
es también la traza vertical de la recta abatida. La traza horizontal de la recta, al estar contenida en la charela no
modifica su posición. Por lo tanto uniendo la traza horizontal de la recta (que tambien es la traza horizontal de la recta
abatida) con la traza vertical de la recta abatida sobre la traza vertical del plano abatido, obtenemos la recta abatida.
ABATIMIENTOS
RECTA OBLICUA CONTENIDA EN PLANO OBLICUO
Planos frontales u horizontales no necesitan ser abatidos.
Los planos forntales u horizontales son paralelos a uno de los planos de proyección por lo que en esa proyección
cualquier cosa contenida en dichos planos sera proyectada en verdadera magnitud y forma en virtud de la poryección
cilindrica ortogonal que caracteriza el sistema diédrico.
P' 1' 2'c'4' 3'
1
2
3
4
P
1'
2-4
3'
1
2
3
4
A la izquierda vemos un plano horizontal que
contiene a una circunferencia. La circunferencia
no se observa en proyección vertical, pero en
proyección horizontal la observamos en verdadera
magnitud y forma.
A la derecha vemos un plano frontal que contiene
a un cuadrado. Sucede lo mismo que con la
ilustración de la izquierda, pero con los planos de
proyección cambiados.
EN ambos casos el abatimiento no tiene sentido.
Pues no nos ofrece ninguna información que no
tengamos ya.
La tercera proyección no es más que un abatimiento sobre el plano horizontal del un
plano de perfil
v'
h'v
h
r
p'
p
p''
v''
h''
v'
h'v
h
r''
r'
r
r'
v'
h'v
h
r
Q'
Q
Q'
Q
(Q)
1º- Trazamos un plano de perfil que contiene a la recta R.
2º- abatimos sobre el plano vertical la dirección parte de h' sobre
la LT hacia la derecha (tambien podríamos abatir el plano hacia
la izquierda aunque eso no es lo normal).
Y con centro en H' y radio h'-h trazamos un arco que cotra a la
dirección de afinidad (sobre LT) en h''.
V' en este caso permanece en su sitio al estar contenido en la
propia charnela.
Viendo la recta de perfil (abatida sobre PV de proyección podemos
situar un punto a una cota o alejamiento determinados y desabatir
el punto para mostrarlos en sus dos proyecciones convencionales
(vertical y horizontal)
r'
1 2
P
P’
r’
r
P
P’
(P’)
r’
r
v’
vh’
h
P
P’
(P’)
r’
r
(r)
(v')
h(h)
Abatimiento de un plano que contiene una recta oblicua.
P
P’
(P’)
r’
r
(v')
h(h)
El proceso es exactamenteel mismo si abatimos el plano sobre el PV de proyecci'on. En ese caso la traza vertical de
la recta permanecer'ia y la traza horizontal ser'ia la que marcara la dirección de afinidad (esta vez perpendicular a la
charnela que sería la traza vertical del plano) y la que marcaría el extremo de la recta abatida.
ABATIMIENTOS
DE PLANOS PROYECTANTES
Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el PH de proyección
P’
P
P’
P
r
r'v'
v
P’
P
r
r'v'
v
(v')
(r)
1º- Hemos contenido en el plano una recta de
punta R. Esta determina una traza vertical sobre
la traza vertical del plano, P'. La dirección de
afinidad (como siempre, perpendicular a la
charnela) se superpone a la LT.
2º- Abatimos v' sobre la LT y así obtenemos la
traza vertical de la recta abatida (v').
La recta abatida es paralela a la charnela P.
Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el PH de proyección
P’
P
1 2
P’
P
h
h'
r
r'
(r)
P’
P
h
h'
r
r'
(P)
1 2
1º- Esta vez contendremos en el plano una recta
R frontal. Nos interesa su traza horizontal hh'.
A partir de h' la dirección de afinidad es
perpendicular a la charnela P'.
2º- Con centro en h' (intersección de las dos
trazas del plano sobre la LT) y radio h'h trazamos
un arco que corta a la dirección de afinidad en
(h) y que determina la traza abatida del plano
sobre PV de proyección.
Abatimiento de planos proyectantes horizontales sobre el PH y el PV
P’
P
Si nos fijamos el aspecto de los planos
abatidos junto con los planos sin abatir es
el mismo que el de los dos casos anteriores
pero simétricamente respecto de la linea
de tierra.
- En todos los casos, al ser la dirección
de afinidad perpendicular a la charnela
el plano proyectante abatido siempre
muestra sus trazas formando angulos
rectos.
Abatimiento de una recta oblicua contenida en un plano proyectante
P’
P
r
r'
P’
P
r
r'
v
v' P’
P
r
r'
v
v'
(P')
P’
P
r
r'
v
v'
(P')
(r)
h(h)
h'
P’
P
r’
h’
h
(h)
(P)
(r)
P’
P
(P')
r’
r
v'
v
(r) (v)
1º- Abatiremos sobre el PH de proyección, por ello tomamos la traza vertical
de la recta como base del abatimiento. La dirección de afinidad es perpendicular
a P (traza horizontal del plano y charnela) y se superpone a la LT. Con centro
en la intersección de ambas trazas del plano sobre la LT abatimos sobre la
dirección de afinidad la distancia hasta v'.
2º- En el corte de la dirección de afinidad con el arco trazado encontramos
la traza vertical del a recta abatida y por lo tanto uniendola con la intersección
de ambas trazas (vertical y horizontal) del plano sobre la LT obtenemos la
traza vertical del plano abatida.
3º- Unimos (v'), traza vertical de la recta abatida con (h) que permanece en
la misma posición que la proyección horizontal de la traza horizontal de la
recta al pertencer esta a la charnela.
h'
(v)
1 2
3
ABATIMIENTO DE PLANOS
PARALELOS A LA LT
Abatimiento de un plano paralelo a la LT que contiene una recta tambien paralela a la LT
sobre el PH de proyección
1 2 3
1º-Pasamos a tercera proyección el plano y la recta contenida en el.
2º- En tercera proyección, abatimos sobre el plano horizontal (de la tercera proyección)
el plano P", esto lo hacemos haciendo centro en la charnela, que en tercera
proyección se observa como un punto y abatiendo la traza vertical (que en tercera
proyección tambien se observa como un punto). Igualmente abatimos la recta sobre
el PH de proyección en tercera proyección (que esta sobre la linea de tierra.
P
P’
r’
r
P
P’
r’
r
P"
r''
P
P’
r’
r
P" (P")
r''
(r'')
3º- Ahora debemos devolver la traza vertical y la recta abatidas en tercera proyección al plano horizontal de proyección.
Para ello hacemos centro en la intersección entre la linea de tierra y el plano de perfil auxiliar empleado para la tercera
proyección con radios hasta la traza vertical del plano y la recta (que se observan como puntos) en tercera proyeccióny
girar las distancias hasta el plano de perfil que mostrará los alejamientos de la traza vertical abatida y la recta.
Este proceso no suele cambiar y siempre muestra estos trazados caracteristicos que recuerdan a una oreja.
Abatimiento de un plano paralelo a la LT que contiene una recta tambien paralela a la LT
sobre el PV de proyección
P
P’
r’
r
P
P’
r’
r
P"
r''
P
P’
r’
r
P"
r''
(P)
(r)
P
P’
r’
r
(P’)
P" (P")
r''
(r)
(r'')
1 2
1º- Pasamos la recta y el plano a tercera
proyección.
2º. Abatimos la tercera proyección del plano
y de la recta (que se observan como puntos)
sobre el PV de proyección en tercera
proyección. La traza horizontal abatida
sobre el PV en tercera proyección ya nos
muestra la cota a la que tendremos que
situar la traza horizontal abatida en
proyección vertical. Lo mismo sucede con
la recta.
Abatir un plano paralelo a la LT sobre el plano vertical es algo menos costoso y con menos trazados auxiliares que
abatirlo sobre el PH de proyección, sin embargo es mucho más inusual.
Mostrar la verdadera magnitud entre sus dos trazas de una recta cualquiera contenida en un
plano paralelo a LT
En este caso no tiene sentido pasar la recta a tercera proyección, pero para abatir el plano aun necesitaremos pasarlo
a la tercera proyección. haremos el abatimiento sobre el PH de proyección, pues como hemos dicho es lo más frecuente
y extendido, a pesar de poderlo hacer tambien del mismo modo sobre el PV de proyección.
P
P’
r’
r
P
P’
r’
r
P''
P
P’
r’
r
P''
P
P’
r’
r
P''
(P')
P
P’
r’
r
P''
(P')
v’
v h’
h
1 2
3 4
1º- Pasamos el plano P a
tercera proyección.
2º- Abatimos el plano P en
la tercera proyección.
3º- Llavamos al PH de
proyección la traza vertical
abatida en tercera
proyección.
4º- Al haber empleado como charnela
la traza horizontal del plano P, la
traza horizontal de la recta
permanecerá en su posición mientras
que la traza vertical v', se moverá
siguiendo la dirección de afinidad,
siempre perpendicular a la charnela,
hasta encontrar la traza vertical del
plano abatida en el plano de
proyección horizontal.
(r)
P
P’
a’
a
P
P’
r’
r
a’
a
P
P’
(P’)
r’
r
(r)
a’
a
P
P’
(P’)
r’
r
(r)
a’
(a)
a
P
P’ (P)
r’
r
(r)
a’
(a)
a
ABATIMIENTO DE UN PUNTO
CONTENIDO EN UN PLANO
Abatimiento de un punto contenido en un plano sobre el PH de proyección
Abatimiento de un punto contenido en un plano sobre el PV de proyección
1 2 3
1º- Contenemos el punto en una recta horizontal perteneciente al plano.
2º- Abatimos la traza del plano empleando vv' de la recta horizontal para así también
trazar la recta abatida.
3º- Trazamos una paralela a la dirección de afinidad (perpendicular a P) desde a
(proyección horizontal de A), hasta cortarse con (r), en dicha intersección se
encuentra A abatido, (a).
El procedimiento es el mismo. La unica diferencia es que esta vez habrá que
contener el punto en una recta frontal perteneciente al plano. De esta manera
emplearemos las proyecciones hh' para realizar el abatimiento de la traza horizontal
del plano sobre el PV de proyección.
En este caso la dirección de afinidad sera una perpendicular a la traza vertical
del plano que ejerce de charnela o eje de giro.
Abatimiento de un punto contenido en un plano sobre el PH de proyección sin abatir el plano
a’
a
P’
P
a’
a
P’
P
cotadea
a’
a
P’
P
cota de a
1º- Por la proyeccion
horizontal del punto a
abatir trazamos una
paralela y una
perpendicular a la traza
horizontal del plano que
ejercerá como charnela.
La perpendicular
representa la dirección de
afinidad, siempre
perpendicular al eje de
giro.
1
2 3
2º- Tomamos la cota de a de la proyección
vertical (distancia desde LT hasta a') y la
llevamos sobre la paralela a la charnela.
3º- Trazamos el segmento que representa la pendiente del
plano abatido X-A. Con centro en x y radio x-[a] trazamos
un arco que corta a la dirección de afinidad en (a), que es
A abatido sobre el PH.
De este modo hemos abatido el punto sobre el PH sin hacer
uso de la traza vertical del plano.
cotadea
a’
a
(a)
P’
P
[a]
x
P
P'
r
(a)
A
a
a'
Este procedimiento es quizás de más dificil comprensión, pero ahorra
bastantes trazados y simplifica mucho el abatimiento de polígonos
contenidos en planos si a partir de este abatimiento empleamos la afinidad
para obtener el polígono abatido sobre PH en verdadera magnitud y forma.
Abatimiento sobre el PH de proyección de un polígono contenido en un plano oblicuo
Abatimiento de un polígono contenido en un plano sobre el PV de proyección
ABATIMIENTOS
POLÍGONOS CONTENIDOS EN PLANOS 1
1
1'
2'
3'
3
2
1
P'
P
(P')
1'
2'
3'
3
2
1
P'
P
Este problema podría venirnos dado con uno de los elementos del enunciado omitido. Por ejemplo
podrían omitir una de las dos proyecciones del polígono en cuyo caso tendriamos que hacer pasar
rectas contenidas en el plano por los vertices de la proyección dada para hallar la otra proyección.
También podrían omitir una de las dos trazas del plano en cuyo caso tendríamos que hacer lo
mismo, con rectas frontale su horizontales (según la traza omitida) para hacer la traza paralela a
estas. Pero vamos a abordarlo con ambas trazas del plano y ambas proyecciones.
1º- Contenemos uno de los
puntos en una recta
horizontal, R, contenida en
el plano.
Empleamos la traza vertical
de la recta para abatir la
traza vertical del plano sobre
el PH de proyección.
De este modo, abatimos también la recta (paralela
a la charnela a partir de (v) y siguiendo la dirección
de afinidad abatimos el punto desde su proyección
horizontal hasta la recta abatida.
1'
2'
3'
3
2
1
P'
P
(P')
v'
v
(v)
(r)
r
r'
(3)
2 A partir de aquí se trata de repetir la misma operación con cada uno de los
vértices:
3º- Contener en rectas horizontales ( frontale ssi abatieramos sobre el PV
de proyección) Para abatirlas y sobre ellas abatir los puntos que las
contienen.
En la ilustración de la izquierda se observa, a partir de las trazas verticales
d ela srectas que contienen a los puntos, tanto las direcciones de afinidad
como los arcos que van a parar a la traza abatida. Y realmente ambos dos
elementos no son secesarios para abatir las rectas, ya que en este paso
ya tendíamos la traza verical del plano abatida (P') y solo con el arco o con
la direeción de afinidad ya podemos encontrar las trazas verticales de las
rectas abatidas.
La dirección de afinidad desde las proyecciones horizontales de los puntos
a abatuir es siempre ineludible.
Sobre estas lineas observamos el abatimiento realizado sobre el PV de proyección. En este caso hemos pasado por
los vértices del polígono rectas frontales.
1 2
Abatimiento sobre el PH de proyección de un polígono contenido en un plano oblicuo
ABATIMIENTOS: DIÉDRICO Vs AFINIDAD
POLÍGONOS CONTENIDOS EN PLANOS 2
Vamos a resolver el mismo problema (abatimiento sobre el PH de proyección de un polígono
contenido en un plano) pero esta vez simplemente prolongaremos los segmentos que componen
el polígono para hallar sus trazas, sobre las trazas del plano y a partir de ahí abatir las rectas:
1'
2'3'
3
2
1
P'
P
En esta ocasión vamos a intentar hallar las trazas de las rectas, sobre las trazas del plano que contienen a los lados
del polígono
1'
2'3'
3
2
1
P'
P
r'
s'
t'
r
t
s
1º- Prolongamos los lados del triángulo
hasta encontrar las trazas de las rectas,
ponemos nombre a las rectas.
Bien, parece que lo hemos
conseguido, excepto con la
recta S cuya traza horizontal
parece caer en el segundo
cuadrante.
2º- Vamos a abatir la traza del plano con las
dos rectas de las cuales hemos podido hallar
todas sus trazas (R y T)
Hemos abatido la traza vertical del plano, haciendo uso de la dirección
de afinidad (perpendicular a la charnela) y de la verdadera magnitud
que hay entre la intersección de las trazas vertical y horizontal del
plano y la v' de la recta T.
Así hemos obtenido (P') y (v') de T. y por lo tanto, desde h(h) hasta
(v') la recta T abatida (t)
Siguiendo la dirección de afinidad podemos encontrar, sobre (P') la
(v) de la recta R. y desde h(h) de R hasta (v) de R trazar (r).
En la intersección de (t) y (r) se encuentra (3) abatido, para el cual
no ha sido ni siquiera necesario trazar la dirección de afinidad.
1'
2'3'
3
2
1
P'
P
r'
s'
t'
r
t
s
(3)
(t)
(r)
v'
v
(v)
h(h)
h(h)
2
3º- Solo nos queda desde 1 y
2 (proyecciones horizontales)
trazar la dirección de afinidad
para encontrar los puntos
abatidos sobre (r) y (t)
Los puntos (1) y (2)
determinarán la recta (s).
v'
v
(v)
3
1'
2'3'
3
2
1
P'
P
r'
s'
t'
r t
s
(3)
(t)
(r)
v'
v
(v)
(v)
h(h)
h(h)
(s)
(2)
(1)
Así pues hemos empleado uno de los posibles métodos
en diédrico para abatir un polígono contenido en un plano.
La intención que tenemos con este procedimiento es la de
mostrar la Afinidad existente entre el triángulo 1-2-3 y el
triángulo abatido (1)-(2)-(3).
Entran dentro de la misma afinidad las rectas r-s-t con sus
afines (r)-(s)-(t).
Siendo la dirección de afinidad perpendicular a la traza y
el eje de afinidad la charnela, eje de giro o traza horizontal
del plano. En este eje de afinidad se encuantran los puntos
dobles de las rectas afines h(h).
Abatimiento sobre el PH de proyección de un polígono contenido en
un plano oblicuo, POR AFINIDAD (sin abatir el plano)
ABATIMIENTOS: AFINIDAD
POLÍGONOS CONTENIDOS EN PLANOS 3
Utilizando la afinidad podemos abatir un polígono contenido en un plano
sin siquiera abatir su traza vertical sobre el PH de proyección (tambien
se podría hacer sobre PV). para ello debemos abatir un primer punto
siguiendo el metodo de abatimiento de un punto contenido en un plano
sin abatir su traza (derecha). A partir de ahí emplearemos las propiedades
de la afinidad paraabatir el polígono y observarlo en verdadera magnitud
y forma.
Vamos a abatir un pentágono apoyado en un plano, este polígono tiene un número considerable de vértices, pero
por afinidad es realmente sencillo, empleando los puntos dobles.
"Una afinidad queda definida con dos puntos afines (que definen la dirección de afinidad) y el eje de afinidad"
1
2
3
cotadea
a’
a
(a)
P’
P
[a]
x
1'
2'
3'
3
2
1
P'
P
4'
5'
4
5
1º- Abatimos un punto sin abatir la
traza.
-paralela a la charnela, a partir del
punto, sobre la paralela situamos
su cota.
-Perpendicular a la charnela (dir. de
afinidad) y girar la distancia de la
cota sobre la paralela con centro en
la intersección charnela -
perpendicular
(dir. afinidad)
Hemos abatido el punto 2 por estar en
una zona más despejada de trazados.
1'
2'
3'
3
2
1
P'
P
4'
5'
4
5
(2)
Desde este momento LA AFINIDAD QUEDA
DEFINIDA con la charnela P, como EJE de
AFINIDAD y 2(2) como pareja de puntos afines.
1'
2'
3'
3
2
1
P'
P
4'
5'
4
5
(2)
r
(r)
(s)
s
(5)
(4)
A partir de esos puntos dobles
trazamos rectas hasta (2)
obteniendo las afines de las
diagonales (r) y (s).
Trazando las direcciones de
afinidad obtenemos (4) sobre (s)
y (5) sobre (r)
1'
2'
3'
3
2
1
P'
P
4'
5'
4
5
(2)
r
(r)
(s)
s
(5)
(4)
(3)
n
m
(m)
(n)
(1)
2º- Vamos a hallar dos vértices afines trazando
dos diagonales del polígono, r y s, hasta cotar
al eje de afinidad en dos puntos dobles.
Esta vez trazamos la diagonal
n y desde us punto doble
obtenemos, pasando por
cuatro (n) que con la dirección
de afinidad desde 1 nos da (1).
Prolongando el lado 4-3 , m, obtenemos un punto doble desde el que
trazamos (m) pasando por (4). con la dirección de afinidad pasando por 3
obtenemos sobre (m) el último punto buscado (3).
3º- Repetimos la operación:
En esta afinidad solo hemos obtenido DIRECTAMENTE un lado afín, los demás
vértices los hemos obtenido a partir de diagonales afines, lo cual llena un poco
más el ejercicio de trazados auxiliares.
Esto dependerá de la disposición de los lados respecto al eje de afinidad. Si los puntos dobles de las prolongaciones
de los lados caen dentro del espacio gráfico, los trazados auxiliares se reducen sorprendentemente.
"DESABATIMIENTOS"
Mostrar las proyecciones del triángulo abatido sobre el PH, dadas la traza horizontal
P
(P’)
Algunas veces los problemas de abatimientos se formulan a la inversa. La mecánica es siempre la misma y la afinidad
es siempre una gran herramienta que podemos emplear cuando nos convenga. Sin embargo, así como no nos resulta
agradable ni sencillo recitar el abecedario a la inversa, con estos problemas nos puede suceder, en menor medida,
de forma similar, por lo que convien que echemos un ojo a un par de casos.
P
P’
(P’)
r’
r
(r)
(v')
h(h)
P
P’
(P’)
r’
r
(r)
(v')
h(h)
P
P’
(P’)
r’
r
(r)
(v')
h(h)
(s)
s
s'
1 2
3 4
1-Prolongamos uno de los lados del
triángulo (r), para obtener (v) sobre la
traza vertical abatida. Aplicamos desde
(v) la dirección de afinidad hasta LT ,
donde estara v. Subimos prependicular.
Girando (v) hasta PV obtenemos v'
P
P’
(P’) (r)
(v')
h(h)
v'
v
No hemos hecho en el primer paso más que
realizar a la inversa el método de abatimiento.
2º- Desde h(h) hasta v podemos trazar r y
podemos encontrar sobre la LT h' y trazar r'.
3º- Siguiendo la dirección de afinidad
obtendremos los dos puntos sobre r en
proyección horizontal que luego subiremos a
r'.
4º- Conetenemos otro lado del triángulo en
otra recta abatida (s) y realizamos el mismo
proceso, esta vez con la traza del plano vertical
ya representada.
Dadas las trazas de un plano oblicuo y un punto O, centro geométrico del cuadrado, trazar
el cuadrado con un vértice sobre la traza horizontal del plano y que tiene una diagonal
perpendicular a dicha traza.
o'
o
P'
P
o'
o
P'
P (P')
(o)
o'
o
P'
P (P')
1(1) (2)
(3)(4)
(o)
2
3
1'
1 2
2º- A aprtir de O
trazamos el
cuadrado y a
continuación lo
llevamos a
proyecciones
horizontal y
vertical.
1º- Abatimos el plano,
conteniendo O en una recta
horizontal contenida en el
plano.
Resulta interesante recalcar que en sitema diédrico aunque las formas se ven alteradas en sus proyecciones, las
proporciones de los segmentos no cambian, por lo que las diagonales tanto en proyecciones como en verdadera
magnitud y forma siempre se cortan en su punto medio (en este caso O). Este hecho nos puede ayudar a encontrar
algunos vértices en proyecciones. Tambien el paralelismo se mantiene, lo cual también puede ser de gran utilidad para
determinar algunos vértices a partir de otros.
Nosotros para la resolución de este problema, el punto 4-4' lo hemos determinado trazando su diagonal y copiando la
medida desde O hasta el vertice opuesto al otro lado de O.
4
4'

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Teoría. abatimientos

  • 1. P P’ P P’ r’ r (r)(P) ABATIMIENTO DE UN PLANO OBLÍCUO SOBRE EL PH o EL PV DE PROYECCIÓN Abatimiento de un plano oblícuo sobre el PH de proyección Abatimiento de un plano sobre el PV de proyección Un abatimiento de un plano consiste en hacer girar el plano entorno a una recta, que es una de las dos trazas del plano, que ejerce de charnela o eje de giro (bisagra) hasta hacerlo coincidir con uno de los dos planos de proyección. Es una operación importante y frecuente pues rgacias a ella se puede observar en verdadera magnitud y forma todo lo contenido en el plano. Generalmente se suelen abatir abatir los planos sobre el PH de proyeccion, usando la traza horizontal como charnela. Pero también se puede abatir un plano sobre el PV de proyección en caso de acumulación de trazados o falta de espacio en el horizontal. P' P P P' R r' r (r) P' (P) P R P' (r) r' r h h' (h) v' v (v') (P') P P’ r’ r v’ v P P’ (P’) r’ r (r) v’ v (v') O P P’ r’ r v’ v 1º- Contenemos en el plano una recta horizontal determinando su traza vertical vv' que se encuentra contenida en la traza vertical del plano Esto en principio no es necesario completamente, ya que con elegir un punto perteneciente a la traza vertical del plano (en esta caso vv') es suficiente para poder realizar el abatimiento. Pero es muy extraño y un tanto inutil abatir un plano sin sin algo contenido en el, por lo que es muy frecuente tener que contener algun punto perteneciente al plano en una recta perteneciente a este para abatir plano y recta y así encontrar el punto abatido sobre la recta abatida. 2º- Si nos fijamos en v (proyección horizontal del punto sobre la traza vertical de la recta), este cuando el plano se abata segira una trayectoria perpendicular a la charnela o eje de giro, en este caso P. Trazamos la perpendicular a P desde V. 3º-Hemos señalado en este paso con una "O" al punto de intersección de las dos trazas del plano sobre la LT. La magnitud Ov' se observa en verdadera magnitud sobre el PH de proyección y se mantendrá al haber abatido el plano sobre el PH de proyección. Por ello haciendo centro en O, con radio hasta v', trazamos un arco que corta a la perpendicular a P en (v'). La recta desde O pasando por (v') es la traza vertical del plano P abatida, (P'). La recta horizontal es paralela a la traza horizontal del plano (espacialmente y en proyeccion horizontal) y de este modo podemos trazar una paralela a P (traza horizontal del plano) por (v') para obtener (r) que es la recta horizontal contenida en el plano abatida con este. Se establece una afinidad con dos puntos afines v' y (v'), el eje de afinidad es la charnela P (traza horizontal) y la dirección de afinidad (perpendicular a P). La diferencia está en que deberemos escoger un punto sobre la traza horizontal del plano y en el caso de tener que contener algún punto perteneciente al plano lo haremos con una recta frontal que es paralela ala traza vertical del plano. 1 2 3 Cuando necesitamos abatir sobre el PH de proyección la mecánica va a ser exactamente la misma.
  • 2. 1º-Buscamos ambas trazas de la recta (vertical y horizontal). Estas, al pertenecer al plano están contenidas en sus trazas. A partir de la proyección horizontal de la traza vertical trazamos una perpendicular a la charnela que lla cruza (Dirección de afinidad). Con centro en la intersección de las trazas del plano, sobre la LT, y radio hasta la proyección vertical de la traza vertical de la recta trazamos un arco que corta a la dirección de afinidad. 2º- Uniendo la interseeción de las dos trazas (vertical y horizontal) del plano sobre la LT con el punto donde se corta el arco con la dirección de afinidad obtenemos la traza vertical del plano ABATIDA. 3º- El punto donde la dirección de afinidad es cortada por el arco, perteneciente a la traza vertical del plano abatido es también la traza vertical de la recta abatida. La traza horizontal de la recta, al estar contenida en la charela no modifica su posición. Por lo tanto uniendo la traza horizontal de la recta (que tambien es la traza horizontal de la recta abatida) con la traza vertical de la recta abatida sobre la traza vertical del plano abatido, obtenemos la recta abatida. ABATIMIENTOS RECTA OBLICUA CONTENIDA EN PLANO OBLICUO Planos frontales u horizontales no necesitan ser abatidos. Los planos forntales u horizontales son paralelos a uno de los planos de proyección por lo que en esa proyección cualquier cosa contenida en dichos planos sera proyectada en verdadera magnitud y forma en virtud de la poryección cilindrica ortogonal que caracteriza el sistema diédrico. P' 1' 2'c'4' 3' 1 2 3 4 P 1' 2-4 3' 1 2 3 4 A la izquierda vemos un plano horizontal que contiene a una circunferencia. La circunferencia no se observa en proyección vertical, pero en proyección horizontal la observamos en verdadera magnitud y forma. A la derecha vemos un plano frontal que contiene a un cuadrado. Sucede lo mismo que con la ilustración de la izquierda, pero con los planos de proyección cambiados. EN ambos casos el abatimiento no tiene sentido. Pues no nos ofrece ninguna información que no tengamos ya. La tercera proyección no es más que un abatimiento sobre el plano horizontal del un plano de perfil v' h'v h r p' p p'' v'' h'' v' h'v h r'' r' r r' v' h'v h r Q' Q Q' Q (Q) 1º- Trazamos un plano de perfil que contiene a la recta R. 2º- abatimos sobre el plano vertical la dirección parte de h' sobre la LT hacia la derecha (tambien podríamos abatir el plano hacia la izquierda aunque eso no es lo normal). Y con centro en H' y radio h'-h trazamos un arco que cotra a la dirección de afinidad (sobre LT) en h''. V' en este caso permanece en su sitio al estar contenido en la propia charnela. Viendo la recta de perfil (abatida sobre PV de proyección podemos situar un punto a una cota o alejamiento determinados y desabatir el punto para mostrarlos en sus dos proyecciones convencionales (vertical y horizontal) r' 1 2 P P’ r’ r P P’ (P’) r’ r v’ vh’ h P P’ (P’) r’ r (r) (v') h(h) Abatimiento de un plano que contiene una recta oblicua. P P’ (P’) r’ r (v') h(h) El proceso es exactamenteel mismo si abatimos el plano sobre el PV de proyecci'on. En ese caso la traza vertical de la recta permanecer'ia y la traza horizontal ser'ia la que marcara la dirección de afinidad (esta vez perpendicular a la charnela que sería la traza vertical del plano) y la que marcaría el extremo de la recta abatida.
  • 3. ABATIMIENTOS DE PLANOS PROYECTANTES Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el PH de proyección P’ P P’ P r r'v' v P’ P r r'v' v (v') (r) 1º- Hemos contenido en el plano una recta de punta R. Esta determina una traza vertical sobre la traza vertical del plano, P'. La dirección de afinidad (como siempre, perpendicular a la charnela) se superpone a la LT. 2º- Abatimos v' sobre la LT y así obtenemos la traza vertical de la recta abatida (v'). La recta abatida es paralela a la charnela P. Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el PH de proyección P’ P 1 2 P’ P h h' r r' (r) P’ P h h' r r' (P) 1 2 1º- Esta vez contendremos en el plano una recta R frontal. Nos interesa su traza horizontal hh'. A partir de h' la dirección de afinidad es perpendicular a la charnela P'. 2º- Con centro en h' (intersección de las dos trazas del plano sobre la LT) y radio h'h trazamos un arco que corta a la dirección de afinidad en (h) y que determina la traza abatida del plano sobre PV de proyección. Abatimiento de planos proyectantes horizontales sobre el PH y el PV P’ P Si nos fijamos el aspecto de los planos abatidos junto con los planos sin abatir es el mismo que el de los dos casos anteriores pero simétricamente respecto de la linea de tierra. - En todos los casos, al ser la dirección de afinidad perpendicular a la charnela el plano proyectante abatido siempre muestra sus trazas formando angulos rectos. Abatimiento de una recta oblicua contenida en un plano proyectante P’ P r r' P’ P r r' v v' P’ P r r' v v' (P') P’ P r r' v v' (P') (r) h(h) h' P’ P r’ h’ h (h) (P) (r) P’ P (P') r’ r v' v (r) (v) 1º- Abatiremos sobre el PH de proyección, por ello tomamos la traza vertical de la recta como base del abatimiento. La dirección de afinidad es perpendicular a P (traza horizontal del plano y charnela) y se superpone a la LT. Con centro en la intersección de ambas trazas del plano sobre la LT abatimos sobre la dirección de afinidad la distancia hasta v'. 2º- En el corte de la dirección de afinidad con el arco trazado encontramos la traza vertical del a recta abatida y por lo tanto uniendola con la intersección de ambas trazas (vertical y horizontal) del plano sobre la LT obtenemos la traza vertical del plano abatida. 3º- Unimos (v'), traza vertical de la recta abatida con (h) que permanece en la misma posición que la proyección horizontal de la traza horizontal de la recta al pertencer esta a la charnela. h' (v) 1 2 3
  • 4. ABATIMIENTO DE PLANOS PARALELOS A LA LT Abatimiento de un plano paralelo a la LT que contiene una recta tambien paralela a la LT sobre el PH de proyección 1 2 3 1º-Pasamos a tercera proyección el plano y la recta contenida en el. 2º- En tercera proyección, abatimos sobre el plano horizontal (de la tercera proyección) el plano P", esto lo hacemos haciendo centro en la charnela, que en tercera proyección se observa como un punto y abatiendo la traza vertical (que en tercera proyección tambien se observa como un punto). Igualmente abatimos la recta sobre el PH de proyección en tercera proyección (que esta sobre la linea de tierra. P P’ r’ r P P’ r’ r P" r'' P P’ r’ r P" (P") r'' (r'') 3º- Ahora debemos devolver la traza vertical y la recta abatidas en tercera proyección al plano horizontal de proyección. Para ello hacemos centro en la intersección entre la linea de tierra y el plano de perfil auxiliar empleado para la tercera proyección con radios hasta la traza vertical del plano y la recta (que se observan como puntos) en tercera proyeccióny girar las distancias hasta el plano de perfil que mostrará los alejamientos de la traza vertical abatida y la recta. Este proceso no suele cambiar y siempre muestra estos trazados caracteristicos que recuerdan a una oreja. Abatimiento de un plano paralelo a la LT que contiene una recta tambien paralela a la LT sobre el PV de proyección P P’ r’ r P P’ r’ r P" r'' P P’ r’ r P" r'' (P) (r) P P’ r’ r (P’) P" (P") r'' (r) (r'') 1 2 1º- Pasamos la recta y el plano a tercera proyección. 2º. Abatimos la tercera proyección del plano y de la recta (que se observan como puntos) sobre el PV de proyección en tercera proyección. La traza horizontal abatida sobre el PV en tercera proyección ya nos muestra la cota a la que tendremos que situar la traza horizontal abatida en proyección vertical. Lo mismo sucede con la recta. Abatir un plano paralelo a la LT sobre el plano vertical es algo menos costoso y con menos trazados auxiliares que abatirlo sobre el PH de proyección, sin embargo es mucho más inusual. Mostrar la verdadera magnitud entre sus dos trazas de una recta cualquiera contenida en un plano paralelo a LT En este caso no tiene sentido pasar la recta a tercera proyección, pero para abatir el plano aun necesitaremos pasarlo a la tercera proyección. haremos el abatimiento sobre el PH de proyección, pues como hemos dicho es lo más frecuente y extendido, a pesar de poderlo hacer tambien del mismo modo sobre el PV de proyección. P P’ r’ r P P’ r’ r P'' P P’ r’ r P'' P P’ r’ r P'' (P') P P’ r’ r P'' (P') v’ v h’ h 1 2 3 4 1º- Pasamos el plano P a tercera proyección. 2º- Abatimos el plano P en la tercera proyección. 3º- Llavamos al PH de proyección la traza vertical abatida en tercera proyección. 4º- Al haber empleado como charnela la traza horizontal del plano P, la traza horizontal de la recta permanecerá en su posición mientras que la traza vertical v', se moverá siguiendo la dirección de afinidad, siempre perpendicular a la charnela, hasta encontrar la traza vertical del plano abatida en el plano de proyección horizontal. (r)
  • 5. P P’ a’ a P P’ r’ r a’ a P P’ (P’) r’ r (r) a’ a P P’ (P’) r’ r (r) a’ (a) a P P’ (P) r’ r (r) a’ (a) a ABATIMIENTO DE UN PUNTO CONTENIDO EN UN PLANO Abatimiento de un punto contenido en un plano sobre el PH de proyección Abatimiento de un punto contenido en un plano sobre el PV de proyección 1 2 3 1º- Contenemos el punto en una recta horizontal perteneciente al plano. 2º- Abatimos la traza del plano empleando vv' de la recta horizontal para así también trazar la recta abatida. 3º- Trazamos una paralela a la dirección de afinidad (perpendicular a P) desde a (proyección horizontal de A), hasta cortarse con (r), en dicha intersección se encuentra A abatido, (a). El procedimiento es el mismo. La unica diferencia es que esta vez habrá que contener el punto en una recta frontal perteneciente al plano. De esta manera emplearemos las proyecciones hh' para realizar el abatimiento de la traza horizontal del plano sobre el PV de proyección. En este caso la dirección de afinidad sera una perpendicular a la traza vertical del plano que ejerce de charnela o eje de giro. Abatimiento de un punto contenido en un plano sobre el PH de proyección sin abatir el plano a’ a P’ P a’ a P’ P cotadea a’ a P’ P cota de a 1º- Por la proyeccion horizontal del punto a abatir trazamos una paralela y una perpendicular a la traza horizontal del plano que ejercerá como charnela. La perpendicular representa la dirección de afinidad, siempre perpendicular al eje de giro. 1 2 3 2º- Tomamos la cota de a de la proyección vertical (distancia desde LT hasta a') y la llevamos sobre la paralela a la charnela. 3º- Trazamos el segmento que representa la pendiente del plano abatido X-A. Con centro en x y radio x-[a] trazamos un arco que corta a la dirección de afinidad en (a), que es A abatido sobre el PH. De este modo hemos abatido el punto sobre el PH sin hacer uso de la traza vertical del plano. cotadea a’ a (a) P’ P [a] x P P' r (a) A a a' Este procedimiento es quizás de más dificil comprensión, pero ahorra bastantes trazados y simplifica mucho el abatimiento de polígonos contenidos en planos si a partir de este abatimiento empleamos la afinidad para obtener el polígono abatido sobre PH en verdadera magnitud y forma.
  • 6. Abatimiento sobre el PH de proyección de un polígono contenido en un plano oblicuo Abatimiento de un polígono contenido en un plano sobre el PV de proyección ABATIMIENTOS POLÍGONOS CONTENIDOS EN PLANOS 1 1 1' 2' 3' 3 2 1 P' P (P') 1' 2' 3' 3 2 1 P' P Este problema podría venirnos dado con uno de los elementos del enunciado omitido. Por ejemplo podrían omitir una de las dos proyecciones del polígono en cuyo caso tendriamos que hacer pasar rectas contenidas en el plano por los vertices de la proyección dada para hallar la otra proyección. También podrían omitir una de las dos trazas del plano en cuyo caso tendríamos que hacer lo mismo, con rectas frontale su horizontales (según la traza omitida) para hacer la traza paralela a estas. Pero vamos a abordarlo con ambas trazas del plano y ambas proyecciones. 1º- Contenemos uno de los puntos en una recta horizontal, R, contenida en el plano. Empleamos la traza vertical de la recta para abatir la traza vertical del plano sobre el PH de proyección. De este modo, abatimos también la recta (paralela a la charnela a partir de (v) y siguiendo la dirección de afinidad abatimos el punto desde su proyección horizontal hasta la recta abatida. 1' 2' 3' 3 2 1 P' P (P') v' v (v) (r) r r' (3) 2 A partir de aquí se trata de repetir la misma operación con cada uno de los vértices: 3º- Contener en rectas horizontales ( frontale ssi abatieramos sobre el PV de proyección) Para abatirlas y sobre ellas abatir los puntos que las contienen. En la ilustración de la izquierda se observa, a partir de las trazas verticales d ela srectas que contienen a los puntos, tanto las direcciones de afinidad como los arcos que van a parar a la traza abatida. Y realmente ambos dos elementos no son secesarios para abatir las rectas, ya que en este paso ya tendíamos la traza verical del plano abatida (P') y solo con el arco o con la direeción de afinidad ya podemos encontrar las trazas verticales de las rectas abatidas. La dirección de afinidad desde las proyecciones horizontales de los puntos a abatuir es siempre ineludible. Sobre estas lineas observamos el abatimiento realizado sobre el PV de proyección. En este caso hemos pasado por los vértices del polígono rectas frontales. 1 2
  • 7. Abatimiento sobre el PH de proyección de un polígono contenido en un plano oblicuo ABATIMIENTOS: DIÉDRICO Vs AFINIDAD POLÍGONOS CONTENIDOS EN PLANOS 2 Vamos a resolver el mismo problema (abatimiento sobre el PH de proyección de un polígono contenido en un plano) pero esta vez simplemente prolongaremos los segmentos que componen el polígono para hallar sus trazas, sobre las trazas del plano y a partir de ahí abatir las rectas: 1' 2'3' 3 2 1 P' P En esta ocasión vamos a intentar hallar las trazas de las rectas, sobre las trazas del plano que contienen a los lados del polígono 1' 2'3' 3 2 1 P' P r' s' t' r t s 1º- Prolongamos los lados del triángulo hasta encontrar las trazas de las rectas, ponemos nombre a las rectas. Bien, parece que lo hemos conseguido, excepto con la recta S cuya traza horizontal parece caer en el segundo cuadrante. 2º- Vamos a abatir la traza del plano con las dos rectas de las cuales hemos podido hallar todas sus trazas (R y T) Hemos abatido la traza vertical del plano, haciendo uso de la dirección de afinidad (perpendicular a la charnela) y de la verdadera magnitud que hay entre la intersección de las trazas vertical y horizontal del plano y la v' de la recta T. Así hemos obtenido (P') y (v') de T. y por lo tanto, desde h(h) hasta (v') la recta T abatida (t) Siguiendo la dirección de afinidad podemos encontrar, sobre (P') la (v) de la recta R. y desde h(h) de R hasta (v) de R trazar (r). En la intersección de (t) y (r) se encuentra (3) abatido, para el cual no ha sido ni siquiera necesario trazar la dirección de afinidad. 1' 2'3' 3 2 1 P' P r' s' t' r t s (3) (t) (r) v' v (v) h(h) h(h) 2 3º- Solo nos queda desde 1 y 2 (proyecciones horizontales) trazar la dirección de afinidad para encontrar los puntos abatidos sobre (r) y (t) Los puntos (1) y (2) determinarán la recta (s). v' v (v) 3 1' 2'3' 3 2 1 P' P r' s' t' r t s (3) (t) (r) v' v (v) (v) h(h) h(h) (s) (2) (1) Así pues hemos empleado uno de los posibles métodos en diédrico para abatir un polígono contenido en un plano. La intención que tenemos con este procedimiento es la de mostrar la Afinidad existente entre el triángulo 1-2-3 y el triángulo abatido (1)-(2)-(3). Entran dentro de la misma afinidad las rectas r-s-t con sus afines (r)-(s)-(t). Siendo la dirección de afinidad perpendicular a la traza y el eje de afinidad la charnela, eje de giro o traza horizontal del plano. En este eje de afinidad se encuantran los puntos dobles de las rectas afines h(h).
  • 8. Abatimiento sobre el PH de proyección de un polígono contenido en un plano oblicuo, POR AFINIDAD (sin abatir el plano) ABATIMIENTOS: AFINIDAD POLÍGONOS CONTENIDOS EN PLANOS 3 Utilizando la afinidad podemos abatir un polígono contenido en un plano sin siquiera abatir su traza vertical sobre el PH de proyección (tambien se podría hacer sobre PV). para ello debemos abatir un primer punto siguiendo el metodo de abatimiento de un punto contenido en un plano sin abatir su traza (derecha). A partir de ahí emplearemos las propiedades de la afinidad paraabatir el polígono y observarlo en verdadera magnitud y forma. Vamos a abatir un pentágono apoyado en un plano, este polígono tiene un número considerable de vértices, pero por afinidad es realmente sencillo, empleando los puntos dobles. "Una afinidad queda definida con dos puntos afines (que definen la dirección de afinidad) y el eje de afinidad" 1 2 3 cotadea a’ a (a) P’ P [a] x 1' 2' 3' 3 2 1 P' P 4' 5' 4 5 1º- Abatimos un punto sin abatir la traza. -paralela a la charnela, a partir del punto, sobre la paralela situamos su cota. -Perpendicular a la charnela (dir. de afinidad) y girar la distancia de la cota sobre la paralela con centro en la intersección charnela - perpendicular (dir. afinidad) Hemos abatido el punto 2 por estar en una zona más despejada de trazados. 1' 2' 3' 3 2 1 P' P 4' 5' 4 5 (2) Desde este momento LA AFINIDAD QUEDA DEFINIDA con la charnela P, como EJE de AFINIDAD y 2(2) como pareja de puntos afines. 1' 2' 3' 3 2 1 P' P 4' 5' 4 5 (2) r (r) (s) s (5) (4) A partir de esos puntos dobles trazamos rectas hasta (2) obteniendo las afines de las diagonales (r) y (s). Trazando las direcciones de afinidad obtenemos (4) sobre (s) y (5) sobre (r) 1' 2' 3' 3 2 1 P' P 4' 5' 4 5 (2) r (r) (s) s (5) (4) (3) n m (m) (n) (1) 2º- Vamos a hallar dos vértices afines trazando dos diagonales del polígono, r y s, hasta cotar al eje de afinidad en dos puntos dobles. Esta vez trazamos la diagonal n y desde us punto doble obtenemos, pasando por cuatro (n) que con la dirección de afinidad desde 1 nos da (1). Prolongando el lado 4-3 , m, obtenemos un punto doble desde el que trazamos (m) pasando por (4). con la dirección de afinidad pasando por 3 obtenemos sobre (m) el último punto buscado (3). 3º- Repetimos la operación: En esta afinidad solo hemos obtenido DIRECTAMENTE un lado afín, los demás vértices los hemos obtenido a partir de diagonales afines, lo cual llena un poco más el ejercicio de trazados auxiliares. Esto dependerá de la disposición de los lados respecto al eje de afinidad. Si los puntos dobles de las prolongaciones de los lados caen dentro del espacio gráfico, los trazados auxiliares se reducen sorprendentemente.
  • 9. "DESABATIMIENTOS" Mostrar las proyecciones del triángulo abatido sobre el PH, dadas la traza horizontal P (P’) Algunas veces los problemas de abatimientos se formulan a la inversa. La mecánica es siempre la misma y la afinidad es siempre una gran herramienta que podemos emplear cuando nos convenga. Sin embargo, así como no nos resulta agradable ni sencillo recitar el abecedario a la inversa, con estos problemas nos puede suceder, en menor medida, de forma similar, por lo que convien que echemos un ojo a un par de casos. P P’ (P’) r’ r (r) (v') h(h) P P’ (P’) r’ r (r) (v') h(h) P P’ (P’) r’ r (r) (v') h(h) (s) s s' 1 2 3 4 1-Prolongamos uno de los lados del triángulo (r), para obtener (v) sobre la traza vertical abatida. Aplicamos desde (v) la dirección de afinidad hasta LT , donde estara v. Subimos prependicular. Girando (v) hasta PV obtenemos v' P P’ (P’) (r) (v') h(h) v' v No hemos hecho en el primer paso más que realizar a la inversa el método de abatimiento. 2º- Desde h(h) hasta v podemos trazar r y podemos encontrar sobre la LT h' y trazar r'. 3º- Siguiendo la dirección de afinidad obtendremos los dos puntos sobre r en proyección horizontal que luego subiremos a r'. 4º- Conetenemos otro lado del triángulo en otra recta abatida (s) y realizamos el mismo proceso, esta vez con la traza del plano vertical ya representada. Dadas las trazas de un plano oblicuo y un punto O, centro geométrico del cuadrado, trazar el cuadrado con un vértice sobre la traza horizontal del plano y que tiene una diagonal perpendicular a dicha traza. o' o P' P o' o P' P (P') (o) o' o P' P (P') 1(1) (2) (3)(4) (o) 2 3 1' 1 2 2º- A aprtir de O trazamos el cuadrado y a continuación lo llevamos a proyecciones horizontal y vertical. 1º- Abatimos el plano, conteniendo O en una recta horizontal contenida en el plano. Resulta interesante recalcar que en sitema diédrico aunque las formas se ven alteradas en sus proyecciones, las proporciones de los segmentos no cambian, por lo que las diagonales tanto en proyecciones como en verdadera magnitud y forma siempre se cortan en su punto medio (en este caso O). Este hecho nos puede ayudar a encontrar algunos vértices en proyecciones. Tambien el paralelismo se mantiene, lo cual también puede ser de gran utilidad para determinar algunos vértices a partir de otros. Nosotros para la resolución de este problema, el punto 4-4' lo hemos determinado trazando su diagonal y copiando la medida desde O hasta el vertice opuesto al otro lado de O. 4 4'