ejercicios de algebra lineal

1. TAREA 1–Actividad de curso
Algebra Lineal
John Alexander Páez Ossa
Sergio Iván Mejía
Fabián Leonardo Cuadros Antolinez
Nelson Augusto Brun
José Eduardo Duran
TUTOR:
Rubén Darío Herrera
Grupo:
551111_4
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)
CEAD, BUCARAMANGA

2. Introducción
La matriz es una herramienta útil y en la matemática es un proceso que permite y facilita
la organización de la información numérica de un modo natural y sencillo; también ayuda
a resolver sistemas de ecuaciones y modelar problemas. Esta consiste en disponer de los
datos en forma de tabla, con una estructura de filas y columnas, de manera que cada
número o información de la tabla puede ser identificado mediante su posición.
Sin embargo, la naturalidad de este concepto y el hecho de que las matrices organicen
información numérica se reconoce que sean utilizadas en casi todos los ámbitos del saber:
física, sociología, astronomía, ingeniería y tantos otros.
Ya dentro del campo de las matemáticas, se utilizan como instrumentos muy útiles en
todas sus disciplinas: cálculo, estadística, geometría, lógica, criptografía, álgebra,
probabilidad.

3. Tarea 1. Matrices
Dadas las matrices:
𝐴 = {
1 −1 0
0 1 3
1 0 1
} 𝐵 = {
1 2 −1
1 1 0
0 1 0
} 𝐶 = {
−1 1
2 0
1 3
}
1. Calcular: (AB) (AC)
(𝐴𝐵)
= {
(1)(1)+ (−1)(1)+ (0)(0) (1)(2) + (−1)(1)+ (0)(1) (1)(−1) + (−1)(0)+ (0)(0)
(0)(1)+ (1)(1)+ (3)(0) (0)(2) + (1)(1)+ (3)(1) (0)(−1) + (1)(0)+ (3)(0)
(1)(1)+ (0)(1)+ (1)(0) (1)(2) + (0)(1)+ (1)(1) (1)(−1) + (0)(0)+ (1)(0)
}
𝐴𝐵 = {
0 1 −1
1 4 0
1 3 −1
}
(AC) = {
(1)(−1)+ (−1)(2) + (0)(1) (1)(1)+ (−1)(0)+ (0)(3)
(0)(−1)+ (1)(2) + (3)(1) (0)(1)+ (1)(0)+ (3)(3)
(1)(−1)+ (0)(2) + (1)(1) (1)(1)+ (0)(0)+ (1)(3)
}
AC = {
−3 1
5 9
0 4
}
(AB) (AC) = {
(0)(−3)+ (1)(5)+ (−1)(0) (0)(1)+ (1)(9)+ (1)(4)
(1)(−3)+ (4)(5)+ (0)(0) (1)(1)+ (4)(9)+ (0)(4)
(1)(−3)+ (3)(5)+ (−1)(0) (1)(1)+ (3)(9)+ (−1)(4)
}
(AB) (AC) = {
5 5
17 37
12 24
}
2. Calcular: 𝑨𝟐
𝑪

4. 𝐴2
= 𝐴𝑥𝐴 = {
1 −1 0
0 1 3
1 0 1
} {
1 −1 0
0 1 3
1 0 1
}
𝐴. 𝐴
= {
(1)(1)+ (−1)(0)+ (0)(1) (1)(−1) + (−1)(1)+ (0)(0) (1)(0) + (−1)(3)+ (0)(1)
(0)(1)+ (1)(0)+ (3)(1) (0)(−1) + (1)(1)+ (3)(0) (0)(0) + (1)(3)+ (0)(1)
(1)(1)+ (0)(0)+ (1)(1) (1)(−1) + (0)(1)+ (1)(0) (1)(0) + (0)(3)+ (1)(1)
}
𝐴2
= {
1 −2 −3
3 1 6
2 −1 1
}
𝐴2
𝐶 = {
(1)(−1)+ (−2)(2) + (−3)(1) (1)(1)+ (−2)(0)+ (−3)(3)
(3)(−1)+ (1)(2) + (6)(1) (3)(1)+ (1)(0)+ (6)(3)
(2)(−1)+ (−1)(2) + (1)(1) (2)(1)+ (−1)(0)+ (1)(3)
}
𝐴2
𝐶 = {
−8 8
5 19
3 5
}
V) Para que valore de “X” se cumple que:
(1 X 1) (
2 1 0
1 −1 2
0 2 4
)(
−2
𝑋
1
) = 0
1.2 + 𝑥. 1 + 1.0 = 2 + 𝑥
1.1 + 𝑥. −1 + 1.2 = 1 − 𝑥 + 2
1.0 + 𝑥. 2 + 1.4 = 2𝑥 + 4
(2 + 𝑥 −𝑥 + 3 2𝑥 + 4)(
−2
𝑥
1
)
−2(2 + 𝑥) + 𝑥(−𝑥 + 3) + 1(2𝑥 + 4)
−4 − 2𝑥 − 𝑥2 − 3𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 = 0
𝑥2 − 3𝑥 = 0

5. 6. [
𝟏 𝟑 𝟎
𝟐 𝟐 𝟏
𝟎 𝟏 −𝟒
][
−𝟏 𝟐 𝟎
𝟏 𝟓 𝟐
𝟑 𝟎 −𝟐
]
[
(1)(−1)+ (3)(1) + (0)(3) (1)(2)+ (3)(5) + (0)(0) (1)(0)+ (3)(2)+ (0)(−2)
(1)(−1)+ (2)(1) + (1)(3) (2)(2)+ (2)(5) + (1)(0) (2)(0)+ (2)(2)+ (1)(−2)
(0)(−1)+ (1)(1) + (−4)(3) (0)(2)+ (1)(5) + (−4)(0) (0)(0)+ (1)(2) + (−4)(−2)
]
[
4 17 6
3 14 2
−11 5 10
]
VII) Encuentre la matriz B que satisface la ecuación 𝑨(𝑩𝒕
+ 𝑪) = 𝑫 con:

6. 𝐴 = (
1 −1 0
0 1 0
0 0 3
), 𝐶 = (
1 2
3 4
−3 5
) y 𝐷 = (
1 1
3 0
12 3
)
𝐴 = (
1 −1 0
0 1 0
0 0 3
) 𝐶 = (
1 2
3 4
−3 5
) 𝐷 = (
1 1
3 0
12 3
) 𝐵𝑡 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑒 𝑓
)
(
1 −1 0
0 1 0
0 0 3
) [(
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑒 𝑓
)(
1 2
3 4
−3 5
)] = (
1 1
3 0
12 3
)
(
1 −1 0
0 1 0
0 0 3
) [(
𝑎 + 1 𝑏 + 2
𝑐 + 3 𝑑 + 4
𝑒 − 3 𝑓 + 5
)] = (
1 1
3 0
12 3
)
(
(𝑎 + 1) − (𝑐 + 3) (𝑏 + 2) − (𝑑 + 4)
𝑐 + 3 𝑑 + 4
3(𝑒 − 3) 3(𝑓 + 5)
) = (
1 1
3 0
12 3
)
(
𝑎 + 1 − 𝑐 + 3 𝑏 + 2 − 𝑑 + 4
𝑐 + 3 𝑑 + 4
3𝑒 − 3 3𝑓 + 5
) = (
1 1
3 0
12 3
)
(
𝑎 − 𝑐 − 2 𝑏 − 𝑑 − 2
𝑐 + 3 𝑑 + 4
3𝑒 − 3 3𝑓 + 15
) = (
1 1
3 0
12 3
)
 𝑎 − 𝑐 − 2 = 1 ⇒ 𝑎 − 𝑐 = 1 + 2
𝑎 − 𝑐 = 3
 𝑏 − 𝑑 − 2 = 1 ⇒ 𝑏 − 𝑑 = 1 + 2
𝑏 − 𝑑 = 3
 𝑐 + 3 = 3 ⇒ 𝑐 = 3 − 3
𝑐 = 0
 𝑑 + 4 = 0 ⇒ 𝑑 = −4
𝑑 = −4
 3𝑒 − 9 = 12 ⇒ 3𝑒 = 12 + 9
3𝑒 = 21 ⇒ 𝑒 =
21
3
𝑒 = 7
 3𝑓 + 15 = 3 ⇒ 3𝑓 = 3 − 15

7. 3𝑓 = −12 ⇒ 𝑓 =
−12
3
𝑓 = −4
𝐵𝑡 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑒 𝑓
) = (
3 −1
0 −4
7 −4
)
𝐵 = (
3 0 7
−1 −4 −4
)
Tarea 2: Matrices inversas
1. Encuentre la matriz inversa de las siguientes matrices:
I) 𝐴 = (
3 4
7 9
)
(
3 4
7 9
⋮
1 0
0 1
)
𝑓1:
𝑓1
3
⃗⃗
(
1
4
3
7 9
⋮
1
3
0
0 1
)
𝑓2:𝑓2 − 7𝑓1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
1
4
3
0 −
1
3
⋮
1
3
0
−
7
3
1
)
𝑓2:−3 ∙ 𝑓2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1
4
3
0 1
⋮
1
3
0
7 −3
)
𝑓1: 𝑓1 −
4
3
𝑓2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 0
0 1
⋮
−9 4
7 −3
)

8. 𝑨−𝟏
= (
−𝟗 𝟒
𝟕 −𝟑
)
II) 𝐵 = (
1 2 3
5 2 6
1 3 4
)
(
1 2 3
5 2 6
1 3 4
⋮
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
𝑓2: 𝑓2 − 5𝑓1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
1 2 3
0 −8 −9
1 3 4
⋮
1 0 0
−5 1 0
0 0 1
)
𝑓3 : 𝑓3 − 𝑓1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
1 2 3
0 −8 −9
0 1 1
⋮
1 0 0
−5 1 0
−1 0 1
)
𝑓2:
𝑓2
−8
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 2 3
0 1
9
8
0 1 1
⋮
1 0 0
5
8
−
1
8
0
−1 0 1
)
𝑓3: 𝑓3 − 𝑓1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 2 3
0 1
9
8
0 0 −
1
8
⋮
1 0 0
5
8
−
1
8
0
−
13
8
1
8
1
)
𝑓3:−8𝑓3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
1 2 3
0 1
9
8
0 0 1
⋮
1 0 0
5
8
−
1
8
0
13 −1 −8
)
𝑓2: 𝑓2 −
9
8
𝑓3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 2 3
0 1 0
0 0 1
⋮
1 0 0
−14 1 9
13 −1 −8
)
𝑓1: 𝑓1 − 2𝑓2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
1 0 3
0 1 0
0 0 1
⋮
29 −2 −18
−14 1 9
13 −1 −8
)

9. 𝑓1:𝑓1 − 3𝑓3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⋮
−10 1 6
−14 1 9
13 −1 −8
)
𝑩−𝟏
= (
−𝟏𝟎 𝟏 𝟔
−𝟏𝟒 𝟏 𝟗
𝟏𝟑 −𝟏 −𝟖
)
III) 𝐶 = (
1 2 3 4
0 2 2 1
1
1
3
0
1
0
0
1
)
𝐶 = (
1 2 3 4
0 2 2 1
1
1
3
0
1
0
0
1
⋮
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0
0
0
1
0
0
1
)
𝑓3: 𝑓3 − 𝑓1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
1 2 3 4
0 2 2 1
0
1
1
0
−2
0
−4
1
⋮
1 0 0 0
0 1 0 0
−1
0
0
0
1
0
0
1
)
𝑓4:𝑓4 − 𝑓1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
1 2 3 4
0 2 2 1
0
0
1
−2
−2
−3
−4
−3
⋮
1 0 0 0
0 1 0 0
−1
−1
0
0
1
0
0
1
)
𝑓2:
𝑓2
2
⃗⃗⃗
(
1 2 3 4
0 1 1
1
2
0
0
1
−2
−2
−3
−4
−3
⋮
1 0 0 0
0
1
2
0 0
−1
−1
0
0
1
0
0
1)
𝑓3: 𝑓3 − 𝑓2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓4: 𝑓4 + 2𝑓2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 2 3 4
0 1 1
1
2
0
0
0
0
−3
−1
−
9
2
−2
⋮
1 0 0 0
0
1
2
0 0
−1
−1
−
1
2
1
1
0
0
1)
𝑓3 : −
1
3
𝑓3
(
1 2 3 4
0 1 1
1
2
0
0
0
0
1
−1
3
2
−2
⋮
1 0 0 0
0
1
2
0 0
1
3
−1
1
6
1
−
1
3
0
0
1)

10. 𝑓4: 𝑓4 + 𝑓3
(
1 2 3 4
0 1 1 1
2
⁄
0
0
0
0
1
0
3
2
⁄
− 1
2
⁄
⋮
1 0 0 0
0 1
2
⁄ 0 0
1
3
⁄
− 2
3
⁄
1
6
⁄
7
6
⁄
− 1
3
⁄
− 1
3
⁄
0
1
)
𝑓4: −2𝑓4
(
1 2 3 4
0 1 1 1
2
⁄
0
0
0
0
1
0
3
2
⁄
1
⋮
1 0 0 0
0 1
2
⁄ 0 0
1
3
⁄
4
3
⁄
1
6
⁄
−7
3
⁄
− 1
3
⁄
2
3
⁄
0
−2
)
𝑓3: 𝑓3 −
3
2
𝑓4
(
1 2 3 4
0 1 1 1
2
⁄
0
0
0
0
1
0
0
1
⋮
1 0 0 0
0 1
2
⁄ 0 0
− 5
3
⁄
4
3
⁄
11
3
⁄
− 7
3
⁄
−4
3
⁄
2
3
⁄
3
−2
)
𝑓2: 𝑓2 − 𝑓3
(
1 2 3 4
0 1 0 1
2
⁄
0
0
0
0
1
0
0
1
⋮
1 0 0 0
5
3
⁄ − 19
6
⁄ 4
3
⁄ −3
−5
3
⁄
4
3
⁄
11
3
⁄
−7
3
⁄
−4
3
⁄
2
3
⁄
3
−2)
𝑓2: 𝑓2 −
1
2
𝑓4
(
1 2 3 4
0 1 0 0
0
0
0
0
1
0
0
1
⋮
1 0 0 0
1 −2 1 −2
−5
3
⁄
4
3
⁄
11
3
⁄
− 7
3
⁄
− 4
3
⁄
2
3
⁄
3
−2
)
𝑓1: 𝑓1 − 2𝑓2
(
1 0 3 4
0 1 0 0
0
0
0
0
1
0
0
1
⋮
−1 4 −2 4
1 −2 1 −2
− 5
3
⁄
4
3
⁄
11
3
⁄
− 7
3
⁄
−4
3
⁄
2
3
⁄
3
−2
)
𝑓1: 𝑓1 − 3𝑓3
(
1 0 0 4
0 1 0 0
0
0
0
0
1
0
0
1
⋮
4 −7 2 −5
1 −2 1 −2
− 5
3
⁄
4
3
⁄
11
3
⁄
− 7
3
⁄
−4
3
⁄
2
3
⁄
3
−2
)

11. 𝑓1: 𝑓1 − 4𝑓4
(
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0
0
0
1
0
0
1
⋮
− 4
3
⁄ 7
3
⁄ − 2
3
⁄ 3
1 −2 1 −2
− 5
3
⁄
4
3
⁄
11
3
⁄
−7
3
⁄
− 4
3
⁄
2
3
⁄
3
−2)
𝑪−𝟏
=
(
−𝟒
𝟑
⁄ 𝟕
𝟑
⁄ −𝟐
𝟑
⁄ 𝟑
𝟏 −𝟐 𝟏 −𝟐
−𝟓
𝟑
⁄
𝟒
𝟑
⁄
𝟏𝟏
𝟑
⁄
−𝟕
𝟑
⁄
−𝟒
𝟑
⁄
𝟐
𝟑
⁄
𝟑
−𝟐)
2. Halle la matriz escalonada de la matriz A y luego determine si es una matriz
invertible.
𝐴 = (
1 4 3
1 6 6
−1 −8 −12
)
𝑓2:𝑓2 − 𝑓1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓3:𝑓3 + 𝑓1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 4 3
0 2 3
0 −4 −9
)
𝑓2:
𝑓2
2
(
1 4 3
0 1
3
2
0 −4 −9
)
𝑓3: 𝑓3 + 4𝑓2 (
1 4 3
0 1
3
2
0 0 −3
)
𝑓3: −
1
3
𝑓3 (
1 4 3
0 1
3
2
0 0 1
)
Matriz escalonada de 𝑨 = (
𝟏 𝟒 𝟑
𝟎 𝟏 𝟑
𝟐
⁄
𝟎 𝟎 𝟏
).

12. Si es una matriz invertible, debido a que se puede convertir en la Matriz identidad
(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
).
3. Encuentre la matriz inversa de 𝐴 = (
1 4
1 8
3 1
6 2
−1 −4
1 12
−3 −2
6 6
) haciendo uso del
método de Gauss-Jordan
𝐴 = (
1 4
1 8
3 1
6 2
−1 −4
1 12
−3 −2
6 6
)
(
1 4
1 8
3 1
6 2
−1 −4
1 12
−3 −2
6 6
⋮
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0
0
0
1
0
0
1
)
𝑓2: 𝑓2 − 𝑓1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓3: 𝑓3 + 𝑓1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓4: 𝑓4 − 𝑓1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 4
0 4
3 1
3 1
0 0
0 8
0 −1
3 5
⋮
1 0 0 0
−1 1 0 0
1
−1
0
0
1
0
0
1
)
𝑓3 ↔ 𝑓4
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
1 4
0 4
3 1
3 1
0 8
0 0
3 5
0 −1
⋮
1 0 0 0
−1 1 0 0
−1
1
0
0
0
1
1
0
)
𝑓2: 𝑓2 −
1
2
𝑓3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 4
0 0
3 1
3
2
⁄ − 3
2
⁄
0 8
0 0
3 5
0 −1
⋮
1 0 0 0
− 1
2
⁄ 1 0 −1
2
⁄
−1
1
0
0
0
1
1
0
)
𝑓2:
2
3
𝑓2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 4
0 0
3 1
1 −1
0 8
0 0
3 5
0 −1
⋮
1 0 0 0
− 1
3
⁄ 2
3
⁄ 0 −1
3
⁄
−1
1
0
0
0
1
1
0
)

13. 𝑓2 ↔ 𝑓3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
1 4
0 8
3 1
3 5
0 0
0 0
1 −1
0 −1
⋮
1 0 0 0
−1 0 0 1
−1
3
⁄
1
2
3
⁄
0
0
1
− 1
3
⁄
0
)
𝑓2:
1
8
𝑓2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 4
0 1
3 1
3
8
⁄ 5
8
⁄
0 0
0 0
1 −1
0 −1
⋮
1 0 0 0
− 1
8
⁄ 0 0 1
8
⁄
− 1
3
⁄
1
2
3
⁄
0
0
1
−1
3
⁄
0 )
𝑓3: 𝑓3 − 𝑓4
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 4
0 1
3 1
3
8
⁄ 5
8
⁄
0 0
0 0
1 0
0 −1
⋮
1 0 0 0
−1
8
⁄ 0 0 1
8
⁄
−4
3
⁄
1
2
3
⁄
0
−1
1
− 1
3
⁄
0 )
𝑓4: −𝑓4
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 4
0 1
3 1
3
8
⁄ 5
8
⁄
0 0
0 0
1 0
0 1
⋮
1 0 0 0
− 1
8
⁄ 0 0 1
8
⁄
− 4
3
⁄
−1
2
3
⁄
0
−1
−1
− 1
3
⁄
0 )
𝑓2: 𝑓2 −
3
8
𝑓3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 4
0 1
3 1
0 5
8
⁄
0 0
0 0
1 0
0 1
⋮
1 0 0 0
3
8
⁄ − 1
4
⁄ 3
8
⁄ 1
4
⁄
−4
3
⁄
−1
2
3
⁄
0
−1
−1
−1
3
⁄
0 )
𝑓2: 𝑓2 −
5
8
𝑓4
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 4
0 1
3 1
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
⋮
1 0 0 0
1 − 1
4
⁄ 1 1
4
⁄
−4
3
⁄
−1
2
3
⁄
0
−1
−1
−1
3
⁄
0 )
𝑓1: 𝑓1 − 4𝑓2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 0
0 1
3 1
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
⋮
−3 1 −4 −1
1 − 1
4
⁄ 1 1
4
⁄
− 4
3
⁄
−1
2
3
⁄
0
−1
−1
− 1
3
⁄
0 )

14. 𝑓1: 𝑓1 − 3𝑓3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 0
0 1
0 1
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
⋮
1 −1 −1 0
1 − 1
4
⁄ 1 1
4
⁄
− 4
3
⁄
−1
2
3
⁄
0
−1
−1
− 1
3
⁄
0 )
𝑓1 : 𝑓1 − 𝑓4
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
⋮
2 −1 0 0
1 − 1
4
⁄ 1 1
4
⁄
−4
3
⁄
−1
2
3
⁄
0
−1
−1
−1
3
⁄
0 )
𝑨−𝟏
=
(
𝟐 −𝟏 𝟎 𝟎
𝟏 − 𝟏
𝟒
⁄ 𝟏 𝟏
𝟒
⁄
− 𝟒
𝟑
⁄
−𝟏
𝟐
𝟑
⁄
𝟎
−𝟏
−𝟏
−𝟏
𝟑
⁄
𝟎 )
Tarea 3: Sistema de ecuaciones
Considere el sistema:
𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟒
𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟐
𝟒𝒙 + 𝒚 + (𝒂𝟐 − 𝟏𝟒)𝒛 = 𝒂 + 𝟐
¿Para qué valores de “a” el sistema que sigue no tiene soluciones? ¿Tiene exactamente
una solución? ¿Tiene infinidad de soluciones?
𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟒
𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟐
𝟒𝒙 + 𝒚 + (𝒂𝟐 − 𝟏𝟒)𝒛 = 𝒂 + 𝟐
En forma matricial:

15. (
1 2 −3
3 −1 5
4 1 𝑎2 − 14
|
4
2
𝑎 + 2
)
𝑓2 − 3𝑓
1 → 𝑓2
𝑓3 − 4𝑓
1 → 𝑓3
(
1 2 −3
0 −7 14
0 −7 𝑎2 − 2
|
4
−10
𝑎 − 14
)𝑓3 − 𝑓2 → 𝑓3
(
1 2 −3
0 −7 5
0 0 𝑎2 − 16
|
4
2
𝑎 − 4
)
Queremos conocer cuáles son los valores que nos arrojan el siguiente resultado
0 + 0 + 0 = 𝐾
𝑎2 − 16 = 0 ⇒ 𝑎 = ±4
El sistema no tiene solución si y sólo si: 𝑠𝑒𝑎 𝑎 = −4
0 + 0 + 𝑎2 − 16 = 𝑎 − 4
0 + 0 + (−4)2 − 16 = (−4) − 4
0 + 0 + 0 = −8
El sistema posee infinitas soluciones si: 𝐾 = 0
𝑠𝑒𝑎 𝑎 = 4
0 + 0 + (4)2 − 16 = (4) − 4
0 + 0 + 0 = 0
Como la componente en z no posee más raíces,se puede decir que cualquier otro valor, posee
una solución única

17. IV) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por medio del método de Gauss-
Jordan:
{
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟏𝟎
𝒙𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟏𝟔
𝒙𝟏 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟑 = −𝟐𝟎
(
1 1 2
1 −2 3
1 −5 −4
|
10
16
−20
)
𝑓2 − 𝑓
1 → 𝑓2
𝑓3 − 𝑓
1 → 𝑓3
(
1 1 2
0 −3 1
0 −6 −6
|
10
6
−30
) 𝑓3 − 2𝑓2 → 𝑓3
(
1 1 2
0 −3 1
0 0 −8
|
10
6
−42
) −
𝑓3
8
→ 𝑓3
(
1 1 2
0 −3 1
0 0 1
|
10
6
21/4
)
𝑓
1 − 2𝑓3 → 𝑓
1
𝑓2 − 𝑓3 → 𝑓2
(
1 1 0
0 −3 0
0 0 1
|
−1/2
3/4
21/4
) −
𝑓2
3
→ 𝑓2
(
1 1 0
0 1 0
0 0 1
|
−1/2
−1/4
21/4
) 𝑓
1 − 𝑓2 → 𝑓
1
(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
−1/4
−1/4
21/4
)
{
𝑥 = −1/4 = −0.25
𝑦 = −1/4 = −0.25
𝑧 = 21/4 = 5.25

18. I) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por medio de la eliminación Gaussiana:
{
𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝒘 = −𝟏
𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 − 𝟐𝒘 = −𝟐
−𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟒𝒛 + 𝒘 = 𝟏
𝟑𝒙 + 𝟎 + 𝟎 − 𝟑𝒘 = −𝟑
En forma matricial:
(
1 −1 2 −1
2 1 −2 −2
−1 2 −4 1
3 0 0 −3
|
−1
−2
1
−3
) ■𝑓1 ↔
𝑓3
3
(
1 0 0 −1
2 1 −2 −2
−1 2 −4 1
1 −1 2 −1
|
−1
−2
1
−1
)
𝑓2 − 2𝑓1 → 𝑓2
𝑓3 + 𝑓1 → 𝑓1
𝑓4 − 𝑓1 → 𝑓4
(
1 0 0 −1
0 1 −2 0
0 2 −4 0
0 −1 2 0
|
−1
0
0
0
)
𝑓3 − 2𝑓2 → 𝑓3
𝑓4 + 𝑓1 → 𝑓4
(
1 0 0 −1
0 1 −2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
|
−1
0
0
0
)

19. Problema 4: Aplicación de sistema de ecuaciones:
A) Las edades de un hijo, el padre y el abuelo cumplen las siguientes condiciones.
La suma de las edades del padre, del hijo y el doble de la edad del abuelo es
182 años. El doble de la edad del hijo más la del abuelo es 10 años, y la edad
del padre es 2 veces la de su hijo.
a) Plantee el problema como sistema de ecuaciones.
b) ¿Cuál es la edad de cada uno?
X= Hijo
Y= Padre
Z= Abuelo {
𝑋 + 𝑌 + 2𝑍 = 182
2𝑋 + 𝑍 = 100
2𝑋 = 𝑌 ; 2𝑥 − 𝑦 = 0
1 1 2
2 0 1
2 −1 0
182
100
0
1 1 2
2 0 1
2 −1 0
182
100
0
f2 – 2f1( −2 − 2 − 4 − 364)
f3 – 2f1( −2 − 2 − 4 − 364)
1 1 2
0 −2 −3
0 −3 −4
⋮
182
−264
−364
1 1 2
0 −2 −3
0 −3 −4
⋮
182
−264
−364
2𝑓3( 0 − 6 − 8 − 728)
−3𝑓2(0 6 9 792)
1 1 2
0 −2 −3
0 0 1
182
−264
64
1 1 2
0 −2 −3
0 0 1
182
−264
64
𝑓1 − 2𝑓3 ( 0 0 − 2 − 128)
𝑓2 + 3𝑓3( 0 0 3 192)

20. 1 1 0
0 −2 0
0 0 1
54
−72
64
1 1 0
0 −2 0
0 0 1
54
−72
64
2𝑓1 + 𝑓2
2 0 0
0 −2 0
0 0 1
36
−72
64
2 0 0
0 −2 0
0 0 1
36
−72
64
𝑓1/2
𝑓2/−2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
18
36
64
X= 18
Y= 36
Z= 64
𝑋 + 𝑌 + 2𝑍 = 182
18 + 36 + 2(64) = 182

21. Referencia
Veloza, L. (23,06,2016). Operaciones con Matrices. [Archivo de video]. Recuperado
de http://hdl.handle.net/10596/7095
Benavides-Parra, J. C. (20,12,2018). Aplicación del producto entre matrices. [Archivo de
video]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/23298
Ríos, J. (2013). Sistema de ecuaciones lineales 2x2. [OVI] Recuperado
de http://hdl.handle.net/10596/7689
Castañeda Hernández, S., Barrios Sarmiento, A., & Gutiérrez García, I. (2017). Manual
de álgebra lineal. Universidad del
Norte. Recuperado https://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscoho
st.com/login.aspx?direct=true&db=nlebk&AN=1690052&lang=es&site=edslive&scope
=site&ebv=EB&ppid=pp_vii
Florencio,G.(2014), Algebra lineal:Serie Universitaria, Grupo Editorial Patria,
Recuperado en https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39423