Este documento describe los conceptos básicos de las matrices, incluyendo: (1) las definiciones de matriz, elementos y tamaño; (2) ejemplos de diferentes tipos de matrices como cuadradas, filas, columnas e identidad; y (3) el uso de matrices para representar y resolver sistemas de ecuaciones lineales a través de operaciones elementales entre filas.

1. Matrices
Se llama Matriz del tipo m x n (tamaño de la matriz), sobre el cuerpo k, a un
arreglo rectangular de m filas y n columnas, formado por los elementos de k.
𝐴 =
(
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 𝑎 𝑚3 𝑎 𝑚𝑛)
Por ejemplo: 𝐴 = (
2 3 −4
7 5 −1
) 𝑏 = (
7
0
−8
1
5
3
) 𝐶 = (
3 5 6
0 −2 5
8 9 12
)
Matriz 2x3 Matriz 3x2 Matriz 3x3
Cada elemento del arreglo recibe el nombre de elemento de la matriz, y este
tiene una posición en la misma, dada por la fila y la columna donde se
encuentra, por ejemplo:𝑎11, 𝑎13, 𝑎22, 𝑎33,…… …… .. 𝑎 𝑖 𝑗 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 1 < 𝑖 < 𝑚 𝑦 1 < 𝑗 < 𝑛.
Si 𝐶 = (
3 5 6
0 −2 5
8 9 12
) 𝑎11 = 3, 𝑎12 = 5, 𝑎13 = 6, 𝑎21 = 0, 𝑎22 = −2, 𝑎23 = 5, 𝑎31 = 8, 𝑎32 = 9, 𝑎33 = 12
Diagonal principal de la matriz: está formada por los elementos 𝒂𝒊𝒋 en donde
𝒊 = 𝒋. Por ejemplo:
Si 𝐶 = (
3 5 6
0 −2 5
8 9 12
) 𝑎11 = 3, 𝑎22 = −2 𝑎33 = 12
Submatriz: una Submatriz de una matriz dada es un arreglo que se obtiene
eliminando algunas filas y columnas de la matriz. Por ejemplo:
𝐴 = (
1 7 4
2 3 0
5 1 −2
) 𝑃 = (
1
2
5
7
3
1
) 𝑄 = (
7
3
1
) 𝑅 = (
1 4
5 −2
)
Considere la matriz A, las matrices P, Q y R son submatrices de la matriz A.
Matriz cuadrada: cuando en la matriz coinciden el número de filas y el de
columnas. Ejemplo:
𝐴 = (
3 2
−1 0
) 𝐵 = (
3 1 3
8 1 9
−6 1 12
) 𝑄 = (
2
6
7
9
−2
−6
−32
−7
1
4
8
5
4
5
4
5
)
Matriz 2x2 Matriz 3x3 Matriz 4x4
Matriz fila: cuando la matriz tiene una sola fila. Ejemplo:
𝑆 = (3) 𝐷 = (−1 0) 𝐹 = (2 4 8) 𝑇 = (−1 6 0 −3)
Matriz 1x1 Matriz 1x2 Matriz 1x3 Matriz 1x4

2. Matriz columna: cuando la matriz tiene una sola columna. Ejemplo:
𝑆 = (3) 𝐷 = (
−1
−2
) 𝐹 = (
4
5
9
) 𝑇 = (
2
0
0
−2
)
Matriz 1x1 Matriz 2x1 Matriz 3x1 Matriz 4x1
Matriz Identidad: es una matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y
ceros en las demas posiciones. Representamos con 𝐼 𝑛 a la matriz identidad 𝑛 𝑥 𝑛.
Por ejemplo:
𝐼2 = (
1 0
0 1
) 𝐼3 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 𝐼4 = (
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
Matriz triangular: es aquella matriz cuyos elementos debajo de la
diagonal principal son ceros.
Para describir los sistemas de ecuaciones lineales se usan matrices. Hay dos
matrices asociadas a cada sistema de ecuaciones lineales. Los coeficientes de
las variables o incógnitas forman una matriz llamada Matriz de coeficientes del
sistema. Los coeficientes, junto con los términos constantes, forman una matriz
llamada Matriz Ampliada del sistema. Por ejemplo:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 3
𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 = −6
(
1 1 1
2 3 1
1 −1 −2
) (
1 1 1 2
2 3 1 3
1 −1 −2 −6
)
Matriz de los coeficientes. Matriz ampliada.
Observe que la matriz de coeficientes es una submatriz de la matriz ampliada.
Se pueden usar transformaciones llamadas Transformaciones Elementales para
transformar un sistema de ecuaciones lineales en otro sistema de ecuaciones
lineales que tiene la misma solución (sistemas equivalentes). Se trata de
resolver el sistema mediante la eliminación de variables (método de Gauss-
Jordan). En la práctica es más fácil trabajar con matrices que con las
ecuaciones, utilizando operaciones equivalentes a las transformaciones
elementales.
Transformaciones Elementales Operaciones Elementales entre filas
1. Intercambiar dos ecuaciones.
2. Multiplicar ambos lados de una
ecuación por una constante
distinta de cero.
3. Sumar un múltiplo de una ecuación
a otra ecuación.
1. Intercambiar dos filas de una
matriz.
2. Multiplicar los elementos de una
fila por una constante distinta
de cero.
3. Sumar un múltiplo de los
elementos de una fila a los
elementos correspondientes de
otra fila.

3. Por ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones mediante matrices:
{
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 3
𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 = −6
Escribimos la matriz amplida del sistema y comenzamos a operar:
(
1 1 1 2
2 3 1 3
1 −1 −2 −6
) ≈ 2𝑓1 −
𝑓1 − 𝑓3
𝑓2 (
1 1 1 2
0 −1 1 1
0 2 3 8
) ≈
2𝑓2 + 𝑓3
(
1 1 1 2
0 −1 1 1
0 0 5 10
) ≈
≈ 1
5
𝑓3
(
1 1 1 2
0 −1 1 1
0 0 1 2
) La terceracolumnacorresponde ala variable 𝒙 𝟑 con loque obtenemos:
1𝑥3 = 2. La segundacolumnacorrespondeala variable 𝒙 𝟐 entonces −1𝑥2 + 1𝑥3 = 1,como 𝑥3 = 2 reemplazamos
enla ecuacióny obtenemos −𝑥2 = 1 − 2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥2 = 1.Laprimeracolumnacorresponde a la variable 𝒙 𝟏
entonces 1𝑥1 + 1𝑥2 + 1𝑥3 = 2,como 𝑥2 = 1 𝑦 𝑥3 = 2 reemplazamosenlaecuaciónyobtenemos
1𝑥1 + 1 + 2 = 2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥1 = −1.
Varios sistemas: en ciertas aplicaciones hay que resolver varios sistemas de
ecuaciones lineales, todos con la misma matriz de coeficientes. Ejemplo:
𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 𝑏1
2𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 = 𝑏2
−𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥3 = 𝑏3
𝑝𝑎𝑟𝑎 (
𝑏1
𝑏2
𝑏3
) = (
8
11
−11
); (
0
1
2
); (
3
3
−4
)
Armamosla matrizampliadayaplicamosel métodode Gauss-Jordan:
(
1
2
−1
−1
−1
2
3
4
−4
⋮
⋮
⋮
8
11
−11
0
1
2
3
3
−4
) ≈ 𝑓2 − 2𝑓1
𝑓3 + 𝑓1
(
1
0
0
−1
1
1
3
−2
−1
⋮
⋮
⋮
8
−5
−3
0
1
2
3
−3
−1
) ≈
𝑓1 + 𝑓2
𝑓3 − 𝑓2
(
1
0
0
0
1
0
1
−2
1
⋮
⋮
⋮
3
−5
2
1
1
1
0
−3
2
) ≈
𝑓1 − 𝑓3
𝑓2 − 2𝑓3 (
1
0
0
0
1
0
0
0
1
⋮
⋮
⋮
1
−1
2
0
3
1
−2
1
2
)
Solucionesdel sistema:
𝑥1 = 1 𝑥1 = 0 𝑥1 = −2
𝑥2 = −1 𝑥2 = 3 𝑥2 = 1
𝑥3 = 2 𝑥3 = 1 𝑥3 = 2

4. Sistemas homogeneos de ecuaciones lineales:
Se dice que un sistema de ecuacioines lineales es homogeneo si todos los
términos constantes son ceros.
Ejemplo:
𝑥1 + 2𝑥2 − 5𝑥3 = 0
−2𝑥1 − 3𝑥2 + 6𝑥3 = 0
Como podemos observar 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 0; 𝑥3 = 0 es solución del sistema, a esta
solución se la llama solución trivial. Es claro que dicha solución es solución
de cualquier sistema homogéneo.
Veamos ahora si el sistema homogéneo tiene otras soluciones. Utilicemos el
metodo de Gauss-Jordan
(
1 2 −5 0
−2 −3 6 0
) ≈
2𝑓1 + 𝑓2
(
1 2 −5 0
0 1 −4 0
) ≈
𝑓1 − 2𝑓2
(
1 0 3 0
0 1 −4 0
)
Entonces
𝑥1 + 3𝑥3 = 0
𝑥2 − 4𝑥3 = 0
entonces 𝑥1 = −3𝑥3; 𝑥2 = 4𝑥3; con locual el sistematiene infinitas
soluciones.
Teorema:Un sistema homegéneo de ecuaciones lineales que tiene más variables
que ecuaciones posee infinitas soluciones.
Guía de Actividades
Matrices
1) Dar el tamaño de las siguientes matrices:
𝑎) (
1 2 3
0 1 2
4 5 3
) 𝑏) (
−1 0
−9 3
−5 5
) 𝑐) (
1 2 3 0
1 2 4 5
) 𝑑) (
−2
0
7
)
𝑒) (
4 −3 7 9 23
2 12 0 0 −4
6 −5 0 1 12
) 𝑓) (8 0 15 −6) 𝑔)(4)
2) Dar los elementos (1;1),(2;2),(3;3),(1;5),(2;4),(3;2) de la siguiente
matriz:
𝐴 = (
1 2 3 0 −1
−2 4 −5 3 6
5 8 9 2 3
)
3) Dar los elementos (2;3),(3;2),(4;1),(1;3),(4;4),(3;1) de la siguiente
matriz:
𝐵 = (
1
−1
3
6
2
2
5
9
7
4
0
0
0
5
−1
2
)

5. 4) Escriba la matriz identidad I4.
5) Determinar la matriz de coeficientes y la matriz ampliada de los
siguientes sistemas de ecuaciones:
𝑎)
𝑥1 + 3𝑥2 = 7
2𝑥1 − 5𝑥2 = −3
𝑏)
5𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥3 = 8
𝑥1 + 3𝑥2 + 6𝑥3 = 4
4𝑥1 + 6𝑥2 − 9𝑥3 = 7
𝑐)
−𝑥1 + 3𝑥2 − 5𝑥3 = −3
2𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 8
𝑥1 + 3𝑥2 = 6
𝑑)
5𝑥1 + 4𝑥2 = 9
2𝑥1 − 8𝑥2 = −4
𝑥1 + 2𝑥2 = 3
𝑒)
5𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥3 = 8
4𝑥2 + 3𝑥3 = 0
𝑥1 − 𝑥3 = 7
𝑓)
−1𝑥1 + 3𝑥2 − 9𝑥3 = −4
𝑥1 −4𝑥3 = 11
𝑥1 + 8𝑥2 = 1
𝑔)
𝑥1 = −3
𝑥2 = 12
𝑥3 = 1
ℎ)
−4𝑥1 + 2𝑥2 − 9𝑥3 + 𝑥4 = −1
𝑥1 + 6𝑥2 − 8𝑥3 − 7𝑥4 = 15
−𝑥2 + 3𝑥3 − 5𝑥4 = 0
6) Interprete las siguientes matrices como matrices ampliadas de sistemas de
ecuaciones. Escriba debajo de cada una el sistema de ecuaciones.
𝑎) (
1 2 3
4 5 6
) 𝑏) (
7 9 8
6 4 −3
) 𝑐) (
1 9 −3
5 0 2
) 𝑑) (
8 7 5 −1
4 6 2 4
9 3 7 6
) 𝑒) (
2 −3 6 4
7 −5 −2 3
0 2 4 0
)
𝑓) (
1 0 0 3
0 1 0 8
0 0 1 4
) 𝑔) (
1 2 −1 6
0 1 4 5
0 0 1 −2
) ℎ) (
0 −2 4
5 7 −3
6 0 8
)
7) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando matrices:
𝑎)
𝑥1 − 2𝑥2 = −8
2𝑥1 − 3𝑥2 = −11
𝑏)
2𝑥1 + 2𝑥2 = 4
3𝑥1 + 2𝑥2 = 3
𝑐)
𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 6
𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 9
2𝑥1 + 𝑥2 + 6𝑥3 = 11
𝑑)
𝑥1 + 3𝑥3 = 6
2𝑥2 − 2𝑥3 = −4
𝑥2 − 2𝑥3 = 5
𝑒)
𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 3
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 2
3𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 2
𝑓)
−𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = −2
3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 10
4𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 14
𝑔)
2𝑥2 + 4𝑥3 = 8
2𝑥1 + 2𝑥2 = 6
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5
ℎ)
𝑥1 − 2𝑥2 − 4𝑥3 = −9
𝑥1 + 5𝑥2 + 10𝑥3 = 21
2𝑥1 − 3𝑥2 − 5𝑥3 = −13
𝑖)
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 14
2𝑥1 + 5𝑥2 + 8𝑥3 = 36
𝑥1 − 𝑥2 = −4
𝑗)
𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = −1
−2𝑥1 + 6𝑥2 + 10𝑥3 = 14
2𝑥1 + 𝑥2 + 6𝑥3 = 9
𝑘)
−3𝑥1 − 6𝑥2 − 15𝑥3 = −3
1𝑥1 +
3
2
𝑥2 +
9
2
𝑥3 =
1
2
2𝑥1 −
7
2
𝑥2 −
17
2
𝑥3 = −2
𝑙)
3𝑥1 + 6𝑥2 − 3𝑥4 = 3
𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 − 4𝑥4 = −12
𝑥1 − 1𝑥2 + 1𝑥3 + 2𝑥4 = 8
2𝑥1 + 3𝑥2 = 8
𝑚)
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 + 5𝑥4 = 11
2𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 + 8𝑥4 = 14
𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 + 8𝑥4 = 19
𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 2
𝑛)
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 6𝑥4 = 11
2𝑥1 + 3𝑥2 + 6𝑥3 + 19𝑥4 = 36
3𝑥2 + 4𝑥3 + 15𝑥4 = 28
𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 − 6𝑥4 = −12

6. 8) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones cuya matriz de
coeficientes es la misma.