La derivada direccional y el gradiente son conceptos importantes para funciones de múltiples variables que generalizan las derivadas parciales. La derivada direccional representa la tasa de cambio de una función en una dirección dada, mientras que el gradiente proporciona información sobre el cambio en cualquier dirección y se puede usar para calcular la derivada direccional. Estos conceptos son útiles en física e ingeniería, especialmente para funciones de tres variables.

1. REPUBLICABOLIVARIANADE VENEZUELA
INSTITUTOUNIVERSITARIOPOLITECNICO
“SANTIAGOMARIÑO”
EXTENSIONSAN CRISOBAL
AUTOR:Jesús Hernández
C.I. 14.042.427
Especialidad:Arquitectura
San Cristóbal Julio del 2018

2.  En Análisis matemático,
la derivada direccional (o
bien derivada según una
dirección) de una función
multivariable, en la dirección de
un vector dado, representa la tasa
de cambio de la función en la
dirección de dicho vector. Este
concepto generaliza las derivadas
parciales, puesto que estas son
derivadas direccionales según la
dirección de los respectivos ejes
coordenados.

3.  Gradiente es la generalización de
derivada a funciones de más de
una variable.
 Es útil en física e ingeniería.
También lo es la derivada
direccional, con la que el
gradiente está relacionado. Para
facilitar la comprensión de
ambos conceptos, nos ocupamos
de ellos aquí pensando
principalmente en sus
aplicaciones.

4.  Cada vector del espacio ordinario tiene un módulo y una
dirección.
 Cuando se fija un vector dr =(dx,dy,dz)= dxi + dyj + dzk
dando valores concretos a dx,dy,dz , se fija su módulo y su
dirección.
 Cada valor de la diferencial de la función f en un punto (x, y, z)
es el producto escalar de su gradiente en ese punto por un
vector dr, es decir,
En cada punto (x, y, z) el gradiente ∇f es fijo, tiene un valor
concreto; pero el vector dr puede ser cualquiera; puede tener
cualquier módulo y cualquier dirección.

5.  Como seguro habrás adivinado, hay una derivada, llamada
la derivada direccional,
Igual que como se toma la derivada parcial con respecto a
alguna variable, por ejemplo x o y, la derivada direccional se
toma a lo largo de algún vector en el espacio de entrada.
Una manera muy útil de pensar acerca de esto es imaginar
un punto en el espacio de entrada de la función que se
mueve con una velocidad , vector. La derivada direccional
de f a lo largo de vector, es la razón de cambio resultante
en la salida de la función. Así que, por ejemplo, multiplicar
el vector por dos duplicaría el valor de la derivada
direccional, ya que todos los cambios ocurrirían el doble de
rápido.

6.  Digamos que tienes una función multivariable f (x, y, que
toma tres variables de entrada, x, y y z, y quieres calcular su
derivada direccional a lo largo del siguiente vector:
 CONTINUA…….

7.  Esto debería tener sentido porque un pequeño
desplazamiento a lo largo del vector V se puede dividir
en dos pequeños movimientos en dirección de x,
en tres la dirección de y, y uno hacia atrás, por -1, en la
dirección de z. En el siguiente articulo vamos a
ahondar de manera rigurosa en este razonamiento.
 En general, podemos escribir el vector V de manera
abstracta como sigue:
CONTINUA…….

8.  Es decir, el pequeño desplazamiento en la dirección
del vector V consiste de V1 veces un pequeño
desplazamiento en la dirección de x V2 veces un
pequeño desplazamiento en la dirección y V3 veces un
pequeño desplazamiento en la dirección Z
Esto puede escribirse en una forma compacta y muy
agradable al usar el producto punto y el gradiente:
Tómate un momento para
disfrutar el hecho de que una sola
operación, el gradiente, contiene
suficiente información para
calcular la razón de cambio de una
función en ¡cualquier dirección
posible! ¡Esas son muchísimas
direcciones! Izquierda, derecha,
arriba, abajo, nornoreste, 34.8 en
sentido de las manecillas del reloj
a partir del eje x... ¡La locura!

9. El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio
tridimensional. Supóngase que existe una función diferenciable
z = F (x,y). La derivada direccional según la dirección de un vector
unitario es:
El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio
lo cual lleva, por ser diferenciable la función1 f, a:

10.  Procediendo análogamente para el otro límite se
tiene que:
 Resultado que trivialmente coincide con el
producto escalar del gradiente por el vector :

11. DE LO EXPLICADO
ANTERIORMENTE PUEDO
CONCLUIR PERSONALMENTE
QUE LAS FUNCIONES REALES DE
TRES VARIABLES SON LAS QUE
MAS APARECEN Y MAS NOS
INTERESAN EN INGENIERIA,
ADEMAS, LOS CONCEPTOS SON
MAS FACILES DE INTERPRETAR
EN EL ESPACIO, LO QUE EN LA
PRACTICA ES DIDACTICAMENTE
MAS ACEPTABLE Y ACONSEJABLE,
POR LO TANTO CENTRAR LA
ATENCION SOBRE LAS
FUNCIONES DE TRES VARIABLES ,
AUNQUE LOS RESULTADOS SON
VALIDOS EN CUALQUIER TIPO