El documento presenta un trabajo sobre ecuaciones cuadráticas. Explica qué son las ecuaciones cuadráticas, los métodos para resolverlas y provee ejemplos resueltos paso a paso de ecuaciones y inecuaciones cuadráticas.

2. DEDICATORIA
ESTE TRABAJO ES DEDICADO PARA DIOS POR DARNOS A NUESTRAS
FAMILIAS QUE, HAN ESTADO CON NOSOTROS APOYANDO, ECONÓMICA
Y PSICOLOGIMANTE, GRACIAS A ELLOS HEMOS LLEGADO HASTA AQUÍ.
TAMBIÉN CABE RESALTAR QUE ESTE TRABAJO, ES UNA HERRAMIENTA
QUE ESTARÁ A DISPOSICIÓN DE CUALQUIER ESTUDIANTE QUE NECESITE
ALIMENTAR MÁS SUS CONOCIMIENTOS AY QUE FUE CREADO CON EL
FIN DE MEJORAR LA CALIDAD DE APRENDIZAJE DEL ESTUDIANTE.

3. CONTENIDO
INTRODUCCIÓN.........................................................................................................4
DESARROLLO ............................................................................................................. 5
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO O ECUACIONES CUADRÁTICAS. .................. 5
MÉTODOS ............................................................................................................6
INECUACIONES CUADRÁTICAS.............................................................................8
SUGERENCIAS PARA RESOLVER INECUACIONES CUADRÁTICAS...................8
ECUACIONES CUADRATICAS................................................................................10
EJERCICIOS RESUELTOS PASO A PASO................................................................10
INECUACIONES CUADRATICAS............................................................................16
EJERCICIOS RESUELTOS PASO A PASO................................................................16
CONCLUSIÓN ........................................................................................................... 22
BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………………………………………….23

4. 4
INTRODUCCIÓN
En este trabajo hablaremos sobre el tema en matemáticas
denominado Ecuaciones Cuadráticas, vamos a reseñar diferentes aspectos
donde se examinara estas operaciones algebraicas y sus formas más
sencillas para obtener sus resultados.
El análisis de la ecuación cuadrática es la continuación del estudio de
la ecuación lineal con una incógnita, tratada con anterioridad. Encontrar la
solución de una ecuación cuadrática es más difícil de abordar y se necesitan
nuevos métodos, así, como el conocimiento previo de álgebra elemental en
especial de expresiones algebraicas.
Las ecuaciones siempre han sido un tema muy importante en las
matemáticas y obviamente en el álgebra ya que se utilizan casi para todo,
incluso hasta en la vida diaria, por lo cual es muy importante que se tenga un
buen dominio de estas.
A continuación se va a hablar de las ecuaciones cuadráticas o de segundo
grado, se va a explicar cómo es una ecuación cuadrática, como está
estructurada y las diferentes fórmulas existentes para resolverlas
dependiendo el caso. Espero que los temas tratados en esta investigación
sean claros y fáciles de entender, para poder apoyarse para el estudio o
dudas que se tengan acerca de este tema o simplemente para recordar los
temas ya vistos

5. 5
DESARROLLO
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO O ECUACIONES CUADRÁTICAS.
Una ecuación de segundo grado o ecuación
cuadrática de una variable es una ecuación que
tiene la forma de una suma algebraica de
términos cuyo grado máximo es dos, es decir,
una ecuación cuadrática puede ser representada
por un polinomio de segundo grado o polinomio
cuadrático.
La expresión canónica general de una ecuación
cuadrática de una variable es:
Donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático
(distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este
polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función
cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil,
porque las intersecciones o punto tangencial de esta gráfica, en el caso de
existir, con el eje X coinciden con las soluciones reales de la ecuación.
Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen
siempre tres soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que
pueden ser reales o complejas.
Los puntos comunes de una parábola
Con el eje X (recta y = 0),
las raíces, son las soluciones reales de
la ecuación cuadrática.

6. 6
MÉTODOS
1. Fórmula general para la obtención de raíces:
Se usa ± para indicar las dos soluciones:
y
2. Mediante despeje de formula
Cuando le falta el término en x ax^2 + c = 0
en este caso se despeja como una ecuación normal y luego se realiza la raíz
cuadrada, tanto positiva como negativa
Ejemplo
x2 - 25=0
x2=25
√x2=√25
X= 5 R//

7. 7
3. Mediante reconocimiento de factores
Cuando le falta el término independiente o se reconoce que la ecuación se
puede se aplica ese método.
Ejemplo:
x2
+ 2x – 8 = 0
(x ) (x ) = 0
( x + ) (x - ) = 0
(x + 4 ) (x – 2) = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2

8. 8
INECUACIONES CUADRÁTICAS.
DEFINICION
Inecuaciones cuadráticas. Inecuaciones cuadráticas o de segundo grado son
desigualdades donde la variable de mayor exponente tiene grado dos (2).
Una inecuación cuadrática o de segundo grado es una desigualdad donde la
variable tiene exponente 2 y es en su forma general de una de las formas
siguientes ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0 ó ax2 + bx + c ;
0, también puede tener el signo de desigualdad (d≥ bx + c), pero se puede
llevar a una de las formas anteriores haciendo transformaciones
equivalentes.
Ejemplo de inecuación cuadrática
x2 + 2x < 15 y 4x2 ≥ 12x -9
SUGERENCIAS PARA RESOLVER INECUACIONES CUADRÁTICAS
1. Escribe la inecuación en su forma general, es decir comparada con
cero.
2. Halla los ceros de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 (Por
Descomposición en factores o por la fórmula del discriminante). Si
el Discriminantes menor que cero la solución es todos los reales o no
tiene solución, dependiendo de la desigualdad y del signo de ¨a¨.
3. Representa esos ceros en una Recta numérica.
4. Analiza el signo de ese Trinomio en los Intervalos determinados por
los ceros, evaluando el Polinomio en valores cómodos de esos
intervalos o ubicando los signos de derecha a izquierda (Si a>0
comienza con el signo más y alternando menos y luego más, si a < 0
comienza con menos y de igual forma alterna, el siguiente gráfico
hace referencia en caso de ¨ a ¨ positivo).

9. 9
5. Escribe la solución en notación de intervalo, teniendo en cuenta que si
la desigualdad es estricta los ceros no se incluyen y en caso contrario
se incluyen en la solución.
Nota importante: Después de comparar con cero se obtiene una Función
cuadrática y por eso es que se buscan sus ceros y se hace el análisis de los
signos de dicha función en esos Intervalos, ya que la función cuadrática
representa una Parábola que puede abrir hacia arriba o hacia abajo según el
signo de a. Gráfico de una parábola
Son inecuaciones cuadráticas:
= ( ,)
/se coloca paréntesis
la respuesta cuando
están los signos >, <. /
=[ , ]
/ Se coloca en
Corchetes la
Respuesta cuando
Están los signos ≥ , ≤ /

10. 10
ECUACIONES CUADRATICAS
Ejercicios resueltos paso a paso
Paso 1: Factorice la ecuación:
x2
− 6x − 16 = 0
(x + 2)(x − 8) = 0
Paso 2: Igualar a cero cada factor y resolver para x:
x + 2 =
0
x − 8 =
0
x = -2 x = 8
Paso 3: La solución más grande es 8
1. Usa la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones.
√
2. Sustituir los valores a=1, b=−6 y c=−16 en la fórmula cuadrática y resolver para x.
√
3. Multiplica −1 por −6 para obtener 6.
√
4. Simplifica la sección interior del radical.
√
5. Simplifique el denominador de la formula cuadrática.
6. Simplifica 6±102.
7. La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

11. 11
Paso 1: Factorice la ecuación:
12x2
− 15x − 27 = 0
(4x − 9)(3x + 3) = 0
Pasó 2: Igualar a cero cada factor y resolver para x:
4x − 9 = 0 3x + 3 = 0
x = 9494 x = -33-33
Paso 3: La solución más pequeña es -33
Paso 1: Resolver la siguiente ecuación
Paso 2: Dejar los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la ecuación y
llevar el termino independiente al lado derecho de la ecuación.
Paso 3: Simplificar radicales
√ √
√
Paso 4: La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.
x = 7
x = -7

12. 12
Paso 1: Factorice la ecuación:
2
+ 2
= 130
Paso 2: Dejar los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la ecuación y
llevar el termino independiente al lado derecho de la ecuación.
Paso 3: Simplificar radicales
√ √
√
Paso 4: La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.
x = 4
x = -4
Paso 1: Factorice la ecuación:
2
+ 2
= 2
Paso 2: Dejar los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la ecuación y
llevar el termino independiente al lado derecho de la ecuación.
Paso 3: Igualar a cero cada factor y resolver para x:
Paso 4: La solución más grande es 8

13. 13
Paso 1: Expresar la ecuación de forma estándar igualando a cero.
Paso 2: Aplicamos la fórmula para la resolución de ecuaciones de 20
grado, identificar el
valor de a, b y c.
√
Paso 2: Sustituimos los valores en la formula cuadrática
√
Paso 4: Simplificamos teniendo cuidado con los signos, aplicando el orden de prioridad de las
operaciones.
√
Paso 4: Separar y simplificar para encontrar los soluciones de la ecuación cuadrática. Note
que en una, 3 es sumado y en la otra, 3 es restado.
√
√
Paso 5: Las soluciones son 4 y 1

14. 14
Paso 1: Expresar la ecuación de forma estándar igualando a cero.
Paso 2: Simplificar e igualar a 0.
Paso 1: Aplicamos la fórmula para la resolución de ecuaciones de 20
grado, identificar el
valor de a, b y c.
√
Paso 2: Sustituimos los valores en la formula cuadrática
√
Paso 3: Simplificamos teniendo cuidado con los signos, aplicando el orden de prioridad de las
operaciones.
√
√
Paso 4: Separar y simplificar para encontrar los soluciones de la ecuación cuadrática. Note
que en una, 10 es sumado y en la otra, 10 es restado.

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Paso 1: Expresar la ecuación de forma estándar igualando a cero.
Paso 2: Simplificar e igualar a 0.
Paso 3: Las soluciones son
Paso 1: Aplicamos la fórmula para la resolución de ecuaciones de 20
grado, identificar el
valor de a, b y c.
√
Paso 2: Sustituimos los valores en la formula cuadrática
√
Paso 3: Simplificamos teniendo cuidado con los signos, aplicando el orden de prioridad de
las operaciones.
√
√
Paso 4: Separar y simplificar para encontrar los soluciones de la ecuación cuadrática.
Note que en una, 19 es sumado y en la otra, 19 es restado.

16. 16
INECUACIONES CUADRATICAS
Ejercicios resueltos paso a paso
Paso 1: factorice la inecuación.
Paso 2: Igualar cada factor a 0, tomando en cuenta los signos.
Paso 3: Un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución.
( - 10 )2
+ 4 ( - 10 ) - 45= 15>0 V
( - 8 )2
+ 4 ( - 8 ) - 45= -13>0 F
( 4 )2
+ 4 ( 4 ) - 45= -13>0 F
( 6 )2
+ 4 ( 6) - 45= 15 > 0 V
Paso 4: Representamos estos valores en la recta, tomamos un punto de
cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo.
-∞ ( -10 ) -8 4 ( 6 ) +∞
-9 0 5
Paso 5: La solución está compuesta por los intervalos que tengan el
mismo signo que el polinomio.
( -∞, -9 ) U ( 5, +∞ )

17. 17
Paso 1: Factorice la inecuación.
Paso 2: Igualar cada factor a 0, tomando en cuenta los signos.
(×+3) (×+8)
×+3 0 ×+8 0
Paso 3: Un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución.
(-9)2
+11(-9)+24= 6>0 V
(-7)2
+11(-7)+24= -4>0 F
(-4)2
+11(-4)+24= -4>0 F
(-2)2
+11(-2)+24= 6>0 V
Paso 4: Representamos estos valores en la recta, tomamos un punto de
cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo.
-∞ ( -9 ) -7 -4 ( -2 )+∞
-8 -3 0
Paso 5: La solución está compuesta por los intervalos que tengan el
mismo signo que el polinomio.
(-∞,-8) U (-3,∞)

18. 18
Paso 1: Factorice la siguiente inecuación.
4 ( x - 2) < 2 – 7x
Paso 2: Dejar los términos que contienen la variable en el lado
izquierdo de la ecuación y llevar el termino independiente al lado
derecho de la ecuación.
4x - 8 < 2 - 7x
4x + 7x < 2 + 8
11x < 10
X <
X < 0.9
Paso 3: Un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución
4(0)2
-8(0) < 2-7x
-4 < -5 V
4(1)2
-8(1) < 2-7x
-8 < 2 F
Paso 4: Representamos estos valores en la recta, tomamos un punto de
cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo.
-∞ ( -10 ) -8 4 ( 6 ) +∞
-9 0 5
Paso 5: La solución está compuesta por los intervalos que tengan el
mismo signo que el polinomio.
( -∞, )

19. 19
Paso 1: Factorice la siguiente inecuación.
x (x-1) + 5x +3 ≥ x + 3
Paso 2: Dejar los términos que contienen la variable en el lado
izquierdo de la ecuación y llevar el termino independiente al lado
derecho de la ecuación.
Paso 2: Igualar cada factor a 0, tomando en cuenta los signos.
Paso 3: Un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución.
(-2)2
+ 3 (-2) ≥ 0 - 2 ≥ 0 F
(-4)2
+ 3 (-4) ≥ 0 4 ≥ 0 V
(-1)2
+ 3 (-1) ≥ 0 - 2 ≥ 0 F
(1)2
+ 3 (1) ≥ 0 4 ≥ 0 V
Paso 4: Representamos estos valores en la recta, tomamos un punto de
cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo.
-∞ ( -4 ] -2 -1 [ 1 ) +∞
-3 0
Paso 5: La solución está compuesta por los intervalos que tengan el
mismo signo que el polinomio.
( -∞, -3 + U * 0, ∞ )

20. 20
Paso 1: Factorice la siguiente inecuación.
Paso 2: Igualar cada factor a 0, tomando en cuenta los signos.
Paso 3: Un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución.
2(-2)2
- (-2) -6 ≥ 0 4 ≥ 0 V
2(-1)2
- (-1) -6 ≥ 0 - 3 ≥ 0 F
2(1)2
- (1) -6 ≥ 0 - 5 ≥ 0 F
2(3)2
- (3) -6 ≥ 0 9 ≥ 0 V
Paso 4: Representamos estos valores en la recta, tomamos un punto de
cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo.
-∞( -2 ] -1 1 [ 3 ) +∞
- 0 2
Paso 5: La solución está compuesta por los intervalos que tengan el
mismo signo que el polinomio.
( -∞, - ] U [ 2, ∞ )

21. 21
Paso 1: Factorice la siguiente inecuación.
( )
( )
Paso 2: Dejar los términos que contienen la variable en el lado
izquierdo de la ecuación y llevar el termino independiente al lado
derecho de la ecuación.
Paso 3: Igualar cada factor a 0, tomando en cuenta los signos.
Paso 4: Un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución.
(-1)2
-4 (-1) ≥ 0 5 ≥ 0 V
(1)2
-4 (1) ≥ 0 - 3 ≥ 0 F
(3)2
-4 (3) ≥ 0 - 3 ≥ 0 F
(5)2
-4 (5) ≥ 0 5 ≥ 0 V
Paso 5: Representamos estos valores en la recta, tomamos un punto de
cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo.
-∞ ( -1 ] +1 +3 [ +5 ) +∞
0 +4
Paso 6: La solución está compuesta por los intervalos que tengan el
mismo signo que el polinomio.
] [

22. 22
CONCLUSIÓN
La realización de nuestro proyecto fue con la única finalidad de demostrar que el
temor impuesto por el mito de que las matemáticas es de las asignaturas más
complejas, más problemáticas y hasta casi imposible de sobresalir, es como lo ya
mencionado solo un gran mito.
Pues cabe decir que como toda persona q alguna vez curso algún sistema educativo
se topó con ciertos problemas tales como poco entendimiento, dificultad de
resolución. Llegándose a conocer casos donde el estudiante o el ciudadano común,
por desesperación se hiso esta pregunta ¿para qué me sirven las matemáticas?
¿Son en realidad tan importantes en la vida?
Bueno nosotros como próximos estudiantes miembros de la prestigiosa UTMACH
es nuestro deber dar a conocer el papel que juegan las matemáticas en todos sus
aspectos en general. Las matemáticas esta aplicada a diferentes conocimientos del
saber que se asemejan frecuentemente a los campos ajenos a esa materia, como
algo dificultoso, frio y lejano a todo comportamiento y realidad de una comunidad
integradora.
Cabe destacar que las matemáticas que en vez de ser un problema como se lo ve
por lo regular, son campos que ayudan a facilitar y concretar dificultades en la vida
cotidiana por una sencilla razón, es que esta contribuye al desarrollo mental de
cada individuo por la tanto un buen análisis arrojara resultados exactos, soluciones
puntuales en cualquier aspecto de la vida.
Concluyendo nuestro proyecto ustedes serán capaces de resolver cada ejercicio
matemático de la forma más ágil y precisa por medio de las la técnicas
estrategias que aprendieron y conocieron. Además llegaremos a nuestro objetivo
final que era de que todos aprendamos sin miedo a equivocarnos, también de que
desaparezca el mito de que las matemáticas son complejas y de que es solo para los
genios. Recuerden “todo es cuestión de practicar y practicar”

23. 23
BIBLIOGRAFÍA
Visita nuestro tutorial
EducAV02:https://books.google.com.ec/books
?id=BcZ85SBN9YQC&pg=PA261&dq=inecuacion
es+cuadraticas&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjI0u7
ql6vLAhVG5SYKHSMSDRgQ6AEIJDAC#v=onepa
ge&q=inecuaciones%20cuadraticas&f=false
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/ecuadw.htm
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/Cuad_Ineq/cuad_ine
q_right.xml
https://books.google.com.ec/books?id=BcZ85SBN9Y
QC&pg=PA261&dq=inecuaciones+cuadraticas&hl=e
s&sa=X&ved=0ahUKEwjI0u7ql6vLAhVG5SYKHSMS
DRgQ6AEIJDAC#v=onepage&q=inecuaciones%20c
uadraticas&f=false (LIB RO DE ALGEBRA)

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