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1 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
INSTITUTO TECNOLOGICO
De Lázaro Cárdenas
ECUACIONES DIFERENCIALES
INVESTIGACION 4
SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
NOMBRE DEL ALUMNO:
APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO NOMBRE(S)
Garcia Hurtado Santos Uriel
SEMESTRE: ENERO-JUNIO DE 2014
GRUPO: 42S
SALON: M2
FECHA DE ENTREGA: 4 de junio del 2014
2 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Índice
4.1 Teoría preliminar……………………………………………………………..3
4.1.1 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales……………………..3
4.1.2 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneos…...6
4.1.3 Sol. gral. y sol. Particular de Sistemas de E.D.L……………………8
4.2 Métodos de solución para sistemas de EDL……………………………9
4.2.1 Método de los operadores………………………………………………10
4.2.2 Utilizando Transformada de Laplace………………………………….12
4.3 Aplicaciones………………………………………………………………….14
3 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
REPASO DE MATERIAL
En esta unidad se usará la notación matricial y sus propiedades se usarán con
mucha frecuencia a lo largo del mismo. Es indispensable que repase un texto
de álgebra lineal si no está familiarizado con estos conceptos
Recuerde que en las unidades pasadas se ilustró cómo resolver sistemas de n ecuaciones
diferenciales lineales con n incógnitas de la forma
Donde las eran polinomios de diferentes grados en el operador diferencial D.
Este capítulo se dedica al estudio de sistemas de ED de primer orden que son
casos especiales de sistemas que tienen la forma normal
Un sistema tal como (2) de n ecuaciones diferenciales de primer orden se llama
sistema de primer orden
4.1 Teoría preliminar
4.1.1 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales
4 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
SISTEMAS LINEALES Cuando cada una de las funciones en (2)
es lineal en las variables dependientes se obtiene la forma
normalde un sistema de ecuaciones lineales de primer orden.
Nos referimos a un sistema de la forma dada en (3) simplemente como un
sistema lineal. Se supone que los coeficientes así como las funciones son
continuas en un intervalo común I. Cuando se dice que
el sistema lineal (3) es homogéneo; de otro modo es no homogéneo.
FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL Si denotan
matrices respectivas
Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) se
pueden escribir como
Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es entonces
5 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
EJEMPLO 1 Sistema escrito en notación matricial
Entonces la forma matricial del sistema homogéneo
Entonces la forma matricial del sistema homogéneo
6 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Comenzaremos estudiando el sistema homogéneo La
linealidad del operador garantiza el principio de superposición, que asegura
que toda combinación lineal con coeficientes constantes de soluciones del
sistema homogéneo es también solución del mismo:
Por consiguiente, el conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo es
un subespacio vectorial del espacio de funciones vectoriales regulares x(t)
definidas en el intervalo considerado I, donde la independencia lineal de un
sistema de vectores xi se define, en la forma habitual, como la imposibilidad de
hallar más combinación lineal que se anule en todo el intervalo que la que tiene
coeficientes nulos. Si el sistema es linealmente dependiente,
existe solución no trivial del sistema lineal homogéneo
Siendo la fila número i del vector columna En consecuencia, el
determinante del sistema, que es el wronskiano del conjunto de vectores,
4.1.2 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneos
7 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
se anula en todo el intervalo I. En general, el recíproco de este resultado no es
cierto, pero si los vectores son solución del sistema homogéneo, y el
wronskiano se anula en un cierto punto del intervalo, W (𝑡 )=0, el sistema lineal
homogéneo
tiene una solución no trivial para los con la que podemos construir para
todo el vector Por el principio de superposición este
vector es solución del sistema diferencial homogéneo y satisface condiciones
iniciales nulas en t=𝑡 por la forma en que se han elegido los El teorema de
existencia y unicidad asegura entonces que el vector x tiene que ser el
elemento nulo, que satisface las mismas ecuaciones y condiciones, por lo que
y los vectores son linealmente dependientes, lo que a su vez implica que el
wronskiano se anula en todos los puntos del intervalo. Vemos, por tanto, que
para un conjunto de n soluciones del sistema de orden n las condiciones de
dependencia lineal, anulación del wronskiano en un punto y anulación del
mismo en todo el intervalo son completamente equivalentes, como ya
sucediera con la ecuación lineal homogénea de orden n.
8 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Que el espacio de soluciones tiene al menos dimensión n se sigue del teorema
de existencia y unicidad que garantiza la existencia de las n soluciones
linealmente independientes correspondientes a las condiciones iniciales
O cualesquiera otras que hagan que el wronskiano en 𝑡 no sea nulo. Existen,
por tanto, sistemas fundamentales de soluciones, que están formados por
definición por n soluciones linealmente independientes. Que un sistema
fundamental es una base del espacio de soluciones, que tiene,
por tanto, dimensión n, se sigue del hecho de que toda solución x de la
homogénea, Lx = 0, puede expresarse como combinación lineal de las del
sistema fundamental con coeficientes constantes que pueden calcularse
resolviendo en un punto 𝑡 el sistema.
Que tiene solución única porque su determinante, que es el wronskiano del
sistema fundamental en 𝑡 es distinto de cero. La unicidad de la solución
correspondiente a condiciones iniciales en 𝑡 garantiza que
Con los coeficientes elegidos en 𝑡 Por tanto, la solución general del sistema
homogéneo que incluye todas las soluciones es una combinación con
coeficientes constantes arbitrarios de vectores de un conjunto fundamental X=
4.1.3 Sol. gral. y sol. Particular de Sistemas de E.D.L.
9 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Un sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al igual
que existen varias técnicas para resolver una ecuación diferencial lineal,
también las hay para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como el
método de eliminación de Gauss, método separable y reducible etc. Sea un
sistema de ecuaciones diferenciales lineales representado como,
Entonces, la representación de la matriz equivalente de este sistema de
ecuaciones diferenciales lineales será,
4.2 Métodos de solución para sistemas de EDL
10 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas tienen que ver con dos o
más ecuaciones que contienen derivadas de dos o más variables dependientes
(las funciones desconocidas) respecto a una sola variable independiente. El
método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones
diferenciales con coeficientes constantes se basa en el principio algebraico de
eliminación de variables. Veremos que la operación análoga de multiplicar una
ecuación algebraica por una constante es operar en una EDO con cierta
combinación de derivadas.
ELIMINACIÓN SISTEMÁTICA
La eliminación de una incógnita en un sistema de ecuaciones diferenciales
lineales se facilita al rescribir cada ecuación del sistema en notación de
operador diferencial.
Donde las son constantes, puede escribirse como
Se factoriza en operadores diferenciales de menor orden, entonces los factores
conmutan. Ahora, por ejemplo, para rescribir el sistema
En términos del operador D, primero se escriben los términos con variables
dependientes en un miembro y se agrupan las mismas variables.
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA
Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de
funciones suficientemente derivables etcétera, que
satisface cada ecuación del sistema en algún intervalo común I.
4.2.1 Método de los operadores
11 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
MÉTODO DE SOLUCIÓN
Considere el sistema simple de ecuaciones lineales de primer orden
Operando con D la primera ecuación de (1) en tanto que la segunda se
multiplica por – 3 y después se suma para eliminar y del sistema, se obtiene
raíces de la ecuación auxiliar de la última ED son
se obtiene
Multiplicando la primera ecuación en (1) por 2 mientras que se opera la
segunda con D y después restando, se obtiene la ecuación diferencial para
Inmediatamente se tiene que:
Ahora (2) y (3) no satisfacen el sistema (1) para toda elección de
porque el sistema en sí pone una restricción al número de parámetros en una
solución que se puede elegir en forma arbitraria. Para ver esto, observe que
sustituyendo x(t) y y(t) en la primera ecuación del sistema original (1), después
de simplificar, se obtiene
Puesto que la última expresión es cero para todos los valores de t, debemos
tener Estas dos ecuaciones nos permiten
escribir 𝑐 como un múltiplo de 𝑐 y 𝑐 como un múltiplo de 𝑐 :
Por tanto se concluye que una solución del sistema debe ser
Se recomienda sustituir (2) y (3) en la segunda ecuación de (1) y comprobar
que se cumple la misma relación (4) entre las constantes.
12 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales de la forma:
Donde A es una matriz cuadrada de n filas por n columnas con coeficientes
reales donde son funciones dadas e
es la función vectorial incógnita. Supongamos Además
las condiciones iniciales
Donde números reales para sea
Entonces, tomando la Transformada de Laplace en (2.15) y teniendo en cuenta
(2.16) obtenemos que
De donde, si denota la matriz identidad,
Y de aquí
Una vez calculada de este modo obtendremos y tomando la
Transformada inversa. Por ejemplo consideremos el sistema
4.2.2 Utilizando Transformada de Laplace
13 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Junto con las condiciones iniciales
Entonces la solución del problema viene dada por
14 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Circuitos eléctricos con varias ramas
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales también aparecen cuando
consideramos circuitos eléctricos con varias ramas, como muestra la siguiente
figura:
En este caso debemos aplicar las leyes de Kirchoff para obtener las
ecuaciones. La primera de ellas afirma que en cada nudo o punto de
ramificación del circuito, la suma de las intensidades entrantes es igual a la
suma de las intensidades salientes. En el circuito de la figura esto nos
proporciona la ecuación
En segundo lugar, consideramos los dos subcircuitos que hay y fijamos un
sentido de la corriente, como muestra la siguiente figura
4.3 Aplicaciones.
15 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Tomamos el primer subcircuito por separado, que es
Para este subcircuito tenemos la ecuación
Donde
Donde q1 es la carga que da lugar a la intensidad I1,
Teniendo en cuenta que las intensidades I1 e I2 llevan el sentido que nosotros
hemos prefijado, y tomando la derivada primera, tenemos la ecuación
Tomamos ahora el segundo subcircuito que muestra la figura
16 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Cuya ecuación será
Teniendo en cuenta que ahora I2 va en sentido contrario a prefijado por
nosotros al principio y de ahí el signo negativo. Procediendo como antes
obtenemos la ecuación
y combinando las tres ecuaciones tenemos el sistema
Eliminando I1 tenemos las dos ecuaciones
e introduciendo la variable , el sistema queda
Despejamos y tenemos el sistema en la forma
17 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
que en forma matricial es
Donde
Otros circuitos similares serán estudiados en los problemas de este tema.

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Tema 4 4. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

  • 1. 1 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES INSTITUTO TECNOLOGICO De Lázaro Cárdenas ECUACIONES DIFERENCIALES INVESTIGACION 4 SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NOMBRE DEL ALUMNO: APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO NOMBRE(S) Garcia Hurtado Santos Uriel SEMESTRE: ENERO-JUNIO DE 2014 GRUPO: 42S SALON: M2 FECHA DE ENTREGA: 4 de junio del 2014
  • 2. 2 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Índice 4.1 Teoría preliminar……………………………………………………………..3 4.1.1 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales……………………..3 4.1.2 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneos…...6 4.1.3 Sol. gral. y sol. Particular de Sistemas de E.D.L……………………8 4.2 Métodos de solución para sistemas de EDL……………………………9 4.2.1 Método de los operadores………………………………………………10 4.2.2 Utilizando Transformada de Laplace………………………………….12 4.3 Aplicaciones………………………………………………………………….14
  • 3. 3 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES REPASO DE MATERIAL En esta unidad se usará la notación matricial y sus propiedades se usarán con mucha frecuencia a lo largo del mismo. Es indispensable que repase un texto de álgebra lineal si no está familiarizado con estos conceptos Recuerde que en las unidades pasadas se ilustró cómo resolver sistemas de n ecuaciones diferenciales lineales con n incógnitas de la forma Donde las eran polinomios de diferentes grados en el operador diferencial D. Este capítulo se dedica al estudio de sistemas de ED de primer orden que son casos especiales de sistemas que tienen la forma normal Un sistema tal como (2) de n ecuaciones diferenciales de primer orden se llama sistema de primer orden 4.1 Teoría preliminar 4.1.1 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales
  • 4. 4 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES SISTEMAS LINEALES Cuando cada una de las funciones en (2) es lineal en las variables dependientes se obtiene la forma normalde un sistema de ecuaciones lineales de primer orden. Nos referimos a un sistema de la forma dada en (3) simplemente como un sistema lineal. Se supone que los coeficientes así como las funciones son continuas en un intervalo común I. Cuando se dice que el sistema lineal (3) es homogéneo; de otro modo es no homogéneo. FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL Si denotan matrices respectivas Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) se pueden escribir como Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es entonces
  • 5. 5 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EJEMPLO 1 Sistema escrito en notación matricial Entonces la forma matricial del sistema homogéneo Entonces la forma matricial del sistema homogéneo
  • 6. 6 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Comenzaremos estudiando el sistema homogéneo La linealidad del operador garantiza el principio de superposición, que asegura que toda combinación lineal con coeficientes constantes de soluciones del sistema homogéneo es también solución del mismo: Por consiguiente, el conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo es un subespacio vectorial del espacio de funciones vectoriales regulares x(t) definidas en el intervalo considerado I, donde la independencia lineal de un sistema de vectores xi se define, en la forma habitual, como la imposibilidad de hallar más combinación lineal que se anule en todo el intervalo que la que tiene coeficientes nulos. Si el sistema es linealmente dependiente, existe solución no trivial del sistema lineal homogéneo Siendo la fila número i del vector columna En consecuencia, el determinante del sistema, que es el wronskiano del conjunto de vectores, 4.1.2 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneos
  • 7. 7 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES se anula en todo el intervalo I. En general, el recíproco de este resultado no es cierto, pero si los vectores son solución del sistema homogéneo, y el wronskiano se anula en un cierto punto del intervalo, W (𝑡 )=0, el sistema lineal homogéneo tiene una solución no trivial para los con la que podemos construir para todo el vector Por el principio de superposición este vector es solución del sistema diferencial homogéneo y satisface condiciones iniciales nulas en t=𝑡 por la forma en que se han elegido los El teorema de existencia y unicidad asegura entonces que el vector x tiene que ser el elemento nulo, que satisface las mismas ecuaciones y condiciones, por lo que y los vectores son linealmente dependientes, lo que a su vez implica que el wronskiano se anula en todos los puntos del intervalo. Vemos, por tanto, que para un conjunto de n soluciones del sistema de orden n las condiciones de dependencia lineal, anulación del wronskiano en un punto y anulación del mismo en todo el intervalo son completamente equivalentes, como ya sucediera con la ecuación lineal homogénea de orden n.
  • 8. 8 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Que el espacio de soluciones tiene al menos dimensión n se sigue del teorema de existencia y unicidad que garantiza la existencia de las n soluciones linealmente independientes correspondientes a las condiciones iniciales O cualesquiera otras que hagan que el wronskiano en 𝑡 no sea nulo. Existen, por tanto, sistemas fundamentales de soluciones, que están formados por definición por n soluciones linealmente independientes. Que un sistema fundamental es una base del espacio de soluciones, que tiene, por tanto, dimensión n, se sigue del hecho de que toda solución x de la homogénea, Lx = 0, puede expresarse como combinación lineal de las del sistema fundamental con coeficientes constantes que pueden calcularse resolviendo en un punto 𝑡 el sistema. Que tiene solución única porque su determinante, que es el wronskiano del sistema fundamental en 𝑡 es distinto de cero. La unicidad de la solución correspondiente a condiciones iniciales en 𝑡 garantiza que Con los coeficientes elegidos en 𝑡 Por tanto, la solución general del sistema homogéneo que incluye todas las soluciones es una combinación con coeficientes constantes arbitrarios de vectores de un conjunto fundamental X= 4.1.3 Sol. gral. y sol. Particular de Sistemas de E.D.L.
  • 9. 9 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Un sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al igual que existen varias técnicas para resolver una ecuación diferencial lineal, también las hay para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como el método de eliminación de Gauss, método separable y reducible etc. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales representado como, Entonces, la representación de la matriz equivalente de este sistema de ecuaciones diferenciales lineales será, 4.2 Métodos de solución para sistemas de EDL
  • 10. 10 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas tienen que ver con dos o más ecuaciones que contienen derivadas de dos o más variables dependientes (las funciones desconocidas) respecto a una sola variable independiente. El método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se basa en el principio algebraico de eliminación de variables. Veremos que la operación análoga de multiplicar una ecuación algebraica por una constante es operar en una EDO con cierta combinación de derivadas. ELIMINACIÓN SISTEMÁTICA La eliminación de una incógnita en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se facilita al rescribir cada ecuación del sistema en notación de operador diferencial. Donde las son constantes, puede escribirse como Se factoriza en operadores diferenciales de menor orden, entonces los factores conmutan. Ahora, por ejemplo, para rescribir el sistema En términos del operador D, primero se escriben los términos con variables dependientes en un miembro y se agrupan las mismas variables. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones suficientemente derivables etcétera, que satisface cada ecuación del sistema en algún intervalo común I. 4.2.1 Método de los operadores
  • 11. 11 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES MÉTODO DE SOLUCIÓN Considere el sistema simple de ecuaciones lineales de primer orden Operando con D la primera ecuación de (1) en tanto que la segunda se multiplica por – 3 y después se suma para eliminar y del sistema, se obtiene raíces de la ecuación auxiliar de la última ED son se obtiene Multiplicando la primera ecuación en (1) por 2 mientras que se opera la segunda con D y después restando, se obtiene la ecuación diferencial para Inmediatamente se tiene que: Ahora (2) y (3) no satisfacen el sistema (1) para toda elección de porque el sistema en sí pone una restricción al número de parámetros en una solución que se puede elegir en forma arbitraria. Para ver esto, observe que sustituyendo x(t) y y(t) en la primera ecuación del sistema original (1), después de simplificar, se obtiene Puesto que la última expresión es cero para todos los valores de t, debemos tener Estas dos ecuaciones nos permiten escribir 𝑐 como un múltiplo de 𝑐 y 𝑐 como un múltiplo de 𝑐 : Por tanto se concluye que una solución del sistema debe ser Se recomienda sustituir (2) y (3) en la segunda ecuación de (1) y comprobar que se cumple la misma relación (4) entre las constantes.
  • 12. 12 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales de la forma: Donde A es una matriz cuadrada de n filas por n columnas con coeficientes reales donde son funciones dadas e es la función vectorial incógnita. Supongamos Además las condiciones iniciales Donde números reales para sea Entonces, tomando la Transformada de Laplace en (2.15) y teniendo en cuenta (2.16) obtenemos que De donde, si denota la matriz identidad, Y de aquí Una vez calculada de este modo obtendremos y tomando la Transformada inversa. Por ejemplo consideremos el sistema 4.2.2 Utilizando Transformada de Laplace
  • 13. 13 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Junto con las condiciones iniciales Entonces la solución del problema viene dada por
  • 14. 14 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Circuitos eléctricos con varias ramas Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales también aparecen cuando consideramos circuitos eléctricos con varias ramas, como muestra la siguiente figura: En este caso debemos aplicar las leyes de Kirchoff para obtener las ecuaciones. La primera de ellas afirma que en cada nudo o punto de ramificación del circuito, la suma de las intensidades entrantes es igual a la suma de las intensidades salientes. En el circuito de la figura esto nos proporciona la ecuación En segundo lugar, consideramos los dos subcircuitos que hay y fijamos un sentido de la corriente, como muestra la siguiente figura 4.3 Aplicaciones.
  • 15. 15 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Tomamos el primer subcircuito por separado, que es Para este subcircuito tenemos la ecuación Donde Donde q1 es la carga que da lugar a la intensidad I1, Teniendo en cuenta que las intensidades I1 e I2 llevan el sentido que nosotros hemos prefijado, y tomando la derivada primera, tenemos la ecuación Tomamos ahora el segundo subcircuito que muestra la figura
  • 16. 16 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Cuya ecuación será Teniendo en cuenta que ahora I2 va en sentido contrario a prefijado por nosotros al principio y de ahí el signo negativo. Procediendo como antes obtenemos la ecuación y combinando las tres ecuaciones tenemos el sistema Eliminando I1 tenemos las dos ecuaciones e introduciendo la variable , el sistema queda Despejamos y tenemos el sistema en la forma
  • 17. 17 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES que en forma matricial es Donde Otros circuitos similares serán estudiados en los problemas de este tema.