2. Respuesta al escalón
Estudiando la respuesta de sistemas reales de primer y segundo orden se tiene una
idea aproximada de la respuesta de sistemas de ordenes superiores.
3. Definición de sistemas de 1º orden
• En las ecuaciones temporales originales sólo aparece un término infinitesimal:
diferencial o integral, pero no ambos.
• El polinomio del denominador de su ecuación laplaciana (dominio en ‘s’) es de
orden “1”.
• De lo anterior se deduce que tiene un polo y siempre en el plano izquierdo para
que sean estable.
• Su respuesta temporal ante el escalón es del tipo:
donde k es una constante que multiplica al escalón unitario y τ su constante de
tiempo que cumplen:
4. Condensador y respuesta al escalón
• El condensador se carga mediante una variación de tensión, de manera que en
t=0 es un cortocircuito y en t=5τ es un circuito abierto. Su comportamiento es:
• Infinitesimalmente, en cada instante de tiempo este comportamiento se define
por su derivada respecto al tiempo (la intensidad varía respecto al tiempo):
ⅈ = 𝐶 ⋅
ⅆ𝑣(𝑡)
ⅆ𝑡
C=
i⋅ⅆ𝑡
𝑑𝑣 𝑡
5. Sistema RC de primer orden (I)
• Normalmente, los sistemas no tienen parte capacitiva pura, siendo un sistema
compuesto por resistencia y condensador, p.e.:
• Por lo tanto la respuesta viene dada:
• Donde la derivada se puede expresar como ‘s’:
• Y la función de transferencia por tanto:
6. Sistema RC de primer orden (II)
• La entrada continua se puede asimilar a un escalón no unitario (en ejemplo de
10V de amplitud) cuya expresión en el dominio de Laplace es
1
𝑠
multiplicado por
VE que en este caso es 10:
• Luego la salida sería (aplicada dicha entrada):
• Restaría sólo asimilar esta expresión a la transformada inversa de Laplace
correspondiente para tener su expresión temporal:
Donde: τ = RC, cuando han transcurrido 5τ, el condensador está cargado.
7. Bobina y respuesta al escalón
• La bobina se carga mediante una variación de corriente, de manera que en t=0
es un circuito abierto y en t=5τ es un cortocircuito. Su comportamiento es:
• Infinitesimalmente, en cada instante de tiempo este comportamiento se define
por su derivada respecto al tiempo (la intensidad varía respecto al tiempo):
v = L ⋅
ⅆ𝑖(𝑡)
ⅆ𝑡
𝐿 =
𝑣 ⋅ ⅆ𝑡
𝑑𝑖 𝑡
8. Sistema LC de primer orden (I)
• Normalmente, los sistemas no tienen parte inductiva pura, siendo un sistema
compuesto por resistencia y bobina, p.e.:
• Por lo tanto la respuesta viene dada:
iE = iR = iL
VE = Ri + VL
• Donde la derivada se puede expresar como ‘s’:
• Y la función de transferencia por tanto:
𝑉𝐸 = 𝑅 ⋅
ⅆ𝑉𝐿
𝐿 ⋅ ⅆ𝑡
+ 𝑉𝐿
𝑣𝐸 =
𝑅
𝐿
⋅ 𝑠 ⋅ 𝑣𝐿 + 𝑣𝐿
𝑣𝐿
𝑣𝐸
=
1
1 +
𝑅
𝐿
𝑠
9. Sistema LC de primer orden (II)
• La entrada continua se puede asimilar a un escalón no unitario (en ejemplo de
10V de amplitud) cuya expresión en el dominio de Laplace es
1
𝑠
multiplicado por
VE que en este caso es 10:
• Luego la salida sería (aplicada dicha entrada):
• Salida(s) = Entrada(s) x GE (S) =
• Restaría sólo asimilar esta expresión a la transformada inversa de Laplace
correspondiente para tener su expresión temporal:
Donde: τ = L/R, cuando han transcurrido 5τ la bobina conduce máxima corriente.
𝑣𝐸
𝑠
⋅
1
1 +
𝐿
𝑅
⋅ 𝑠
10. Sistema térmico (I)
• Se modelan de forma que la potencia calorífica de entrada (qE) se emplea
en calentar la carga (qC) y en vencer la resistencia térmica de las paredes
del horno (qR).
• Donde “M” es la masa a calentar y “R” la resistencia térmica del horno en
ºC/W. La capacidad del horno se mide en W*sg/ºC y depende de la inercia
térmica del horno y de la masa a calentar.
11. Sistema térmico (II)
• Expresando en términos diferenciales los sumandos correspondientes al
calor necesario para calentar la carga y para vencer la resistencia térmica:
• Ambas dependientes de la temperatura,
por lo que es la variable a controlar:
12. Sistema térmico (III)
• Finalmente se expresa en términos de transformada de Laplace para
obtener la función de transferencia:
• Igualmente, al aplicar potencia calorífica constante instantánea al accionar
el dispositivo de mando del horno, es el equivalente a la función escalón,
por lo que la salida quedaría:
13. Sistema térmico (IV)
• Para obtener la respuesta temporal se aplica la transformada inversa de
Laplace:
• En el caso de sistemas frigoríficos el modelo es similar cambiado el signo de
la potencia calorífica de entrada:
• La temperatura es siempre absoluta, por lo que cuando el horno está
caliente, la temperatura dentro del horno serían; 20ºC + qE*R)ºC.
14. Depósito con toma inferior (I)
• En este caso, se asimila la capacitancia (C) del depósito como una expresión
del volumen de su nivel, y la resistencia (R) a la mayor o menor apertura de
la válvula.
15. Depósito con toma inferior (II)
• En términos diferenciales, lo que aumenta qC lo hace incrementalmente en el tiempo en
función del nivel “l” con un área constante. En cuanto a qR, incrementa el caudal cuando
incrementa el nivel y suponemos la resistencia al paso de caudal R a su través constante
aunque el nivel aumente:
• Sumando ambos términos en forma diferencial quedaría:
16. Depósito con toma inferior (III)
• Transformando en el dominio de Laplace:
• Y su función de transferencia:
• Cuya salida aplicando una entrada proporcional
al escalón unidad sería:
• Transformando inversamente la expresión anterior se obtiene la respuesta
temporal del sistema:
17. Motor de c.c. con carga elevada en eje (I)
https://unicrom.com/fuerza-contraelecromotriz-fcem-efecto-de-carga/
Las constantes en ambas expresiones dependen de el flujo máximo (ΦMAX) y el número de espiras del motor (N’):
20. Definición y comportamiento de sistemas de 2º orden (I)
• En las ecuaciones temporales originales aparecen dos términos infinitesimales: diferencial y/o
integral en cualquier combinación posible.
• El polinomio del denominador de su ecuación laplaciana (dominio en ‘s’) es de orden “2”.
• De lo anterior se deduce que tienen dos polos, que en función de su ubicación en el plano
laplaciana tendrá un comportamiento más o menos estable.
• Su respuesta temporal ante el escalón que multiplica al escalón unitario dependerá del sistema
de segundo orden que se trate, según su amortiguamiento.
22. Definición y comportamiento de sistemas de 2º orden:
sistemas sobre-amortiguados
• Sistemas estables con factor de amortiguamiento Ꝣ>1.
• Nunca sobrepasan el final y cuanto mayor es el factor de amortiguamiento más tiempo dura la
respuesta transitoria y la consecución del valor final estable ante una excitación.
• Los polos sólo tienen parte real negativa y son diferentes entre sí.
• Asumiendo cierto error, se pueden estudiar como los de primer orden, ajustando k’=10.
23. Definición y comportamiento de sistemas de 2º orden:
sistemas críticamente amortiguados.
• Sistemas estables con factor de amortiguamiento Ꝣ=1. Son muy ideales y difíciles de implementar.
• Nunca sobrepasan el final y y son más rápidos que los sobreamortiguados dada una frecuencia.
• Los polos son dobles, sólo con parte real en la zona negativa.
• A frecuencia natural puede obtenerse midiendo directamente la distancia del polo doble al origen.
24. Definición y comportamiento de sistemas de 2º orden: sistemas
submortiguados:
• Sistemas estables con factor de amortiguamiento 0<Ꝣ<1.
• Sobrepasan el final con un máxmio de Sp que se va reduciendo oscilatoria y progresivamente hasta
desaparecer. Las ecuaciones que relacionan amortiguamiento y el sobrepaso Sp o sobrepaso
unitario Mp y tiempo de pico son:
• Es más rápido que los vistos
anteriormente, pero hay un sobrepaso
inevitable, que puede ser admisible o no.
• Tiempo de establecimiento: es el tiempo que tarda el sistema
en alcanzar el valor final de forma efectiva hasta una
precisión del 2% al 5%:
• Los polos son una pareja de polos complejos conjugados
• del tipo:
25. Definición y comportamiento de sistemas de 2º orden: sistemas
amortiguados.
• Sistemas críticamente estables con factor de amortiguamiento 0.
• Su respuesta ante un escalón es una senoide perfecta en torno a un valor final k’ que no se alcanza
nunca, dado que no deja de oscilar y la transitoriedad es infinita:
• Los polos son una pareja de polos complejos conjugados
27. Modulación de polos complejos en el plano ‘s’:
• En ciertas ocasiones es deseable que haya más rapidez de respuesta a costa de un mayor sobrepaso
siempre que sea asumible.
• Tanto el amortiguamiento como la frecuencia natural pueden obtenerse gráficamente, por lo tanto
es factible el proceso contrario, fijar una condiciones deseables y obtener la función
correspondiente:
• Los pares de polos que se encuentren en el mismo ángulo tendrán el mismo amortiguamiento y por
lo tanto el mismo sobrepaso ante una entrada escalón.
• Los pares de polos que disten la misma distancia tendrán la misma frecuencia natural, fijada por
dicha distancia (en rd/sd o frecuencia angular).
29. Modulación de polos complejos en el plano ‘s’(III):
• Se puede modular para que no bien no haya el sobrepaso (verde) desde uno original (azul) aunque
se tarde mucho más en alcanzar la consigna.
• O bien modular para alcanzar rápidamente la consigna (rojo) sin aumentar necesariamente el
sobrepaso respecto al original (azul).
