Calculo Integral Parte 2

Tema 3
Cálculo Integral
Parte 2
Cálculo Diferencial e Integral

Tema 3: Cálculo Integral – Parte 2
Índice
Aplicaciones de las integrales
1. Área bajo una curva.
2. Área entre dos curvas.
3. Volumen calculado por arandelas.
4. Volumen calculado por cascarones cilíndricos.
5. Longitud de arco.
6. Trabajo.
7. Fuerza y presión hidrostática.
8. Momentos y centros de masa.
Integrales impropias
9. Integrales impropias en intervalos infinitos.
10. Integrales impropias en intervalos discontinuos.

3
Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
Sea 𝑓 una función real definida en el intervalo
[𝑎, 𝑏].
La integral de la función 𝑓(𝑥) sobre dicho intervalo
representa el área de la región limitada por la
curva, el eje OX y las perpendiculares por los
puntos a y b.
La integral es el área algebraica; si está sobre el
eje x es positiva, bajo el eje x es negativa.
Entonces en un intervalo puede ser positiva,
negativa o cero. Es, por tanto, el ‘área neta’.
Si queremos calcular el área real, sin signo, hay
que cambiar el signo de las áreas bajo el eje x
1. Área bajo una curva

4
Ejemplo Halla el área comprendida bajo la curva en el
intervalo [0,3]

5
Para calcular el área real hay que tener en
cuenta que el área bajo el eje X es negativa
+

6
Ejemplo
Calcula el área real
La integral es el área bajo la curva, es decir,
el área neta:
Por el contrario, el área real total sería

7
Áreas entre dos curvas
Si queremos hallar el área comprendida entre dos curvas (funciones)
tendremos que restar al área de la función que está ‘por encima’ (frontera
superior) , , el área de la función que está ‘por debajo’ (frontera inferior),
= -
2. Área entre dos curvas

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El cálculo del área entre dos curvas no se ve afectado si las áreas
son positivas o negativas, es decir, si intersectan con el eje X
Si subimos el área C unidades para que esté enteramente en la parte de 𝑓 𝑥 > 0
no cambia nada en el cálculo del área

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Ejemplo Halla el área comprendida entre la recta y la
parábola . (ver figura)
En primer lugar tenemos que calcular los límites de
integración, que serán los puntos de intersección entre
ambas curvas, señalados como puntos rojos en la figura.
En los puntos rojos de la figura se verifica que
El área es entonces

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Ejemplo Calcula el área de la figura
Ejemplo Encuentra el área entre y
La función que forma la frontera superior en el intervalo
[−2,0] es x , mientras que en el intervalo [0 , 2] es 4𝑥.

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Problemas Dibuja la región delimitada por las curvas y calcula su área.
(Del libro de Salas,
Hille & Etgen)

12

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3. Volúmenes por arandela
El volumen de un sólido se puede calcular de la siguiente manera:
- Cortando con un plano transversal , perpendicular al eje , para obtener una
sección transversal de área .
- El área variará cuando varíe entre .
- Si se toman unas arandelas de sección y de ancho su volumen será
.
- El volumen del sólido, puede ser calculado entonces como la suma de
arandelas de igual ancho:

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Definición de volumen de su sólido
Cuando , el volumen puede ser calculado como:
Ejemplo 1 Calcular el volumen de la esfera de radio . Sacado del Stewart Ed. 7

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Ejemplo 2
Calcular el volumen generado al rotar alrededor del eje , la curva ,
entre las rectas y .
Ejemplos sacados del Stewart Ed. 7

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Ejemplo 3
En este caso hay que hacer los cálculos respecto al eje

17
Ejemplo 4

18

19
Ejemplo 4
Calcular el volumen del sólido de revolución que resulta al girar la región del
ejemplo anterior, alrededor de la recta

20

21
Ejemplo 5

22
4. Volúmenes por cascarones cilíndricos
En muchos casos el volumen debe ser calculado mediante cascarones
cilíndricos.
- Consideramos un rectángulo de área ( ).
- Si lo hacemos alrededor del eje , se obtiene un cascarón cilíndrico de
volumen ( ) .
- Luego, el volumen del sólido se puede calcular como:
( )
- Y cuando
( )

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Definición de volumen mediante casacarones cilíndricos
Podemos recordar la fórmula
pensando en el cascaron cilíndrico
cortado y aplanado

24
Ejemplo 1
Calcular el volumen generado al rotar alrededor del eje 𝑦, la curva .
Ejemplo 2
Calcular el volumen generado al rotar la región encerrada por las curvas 𝑦 = 𝑥
e 𝑦 = 𝑥 alrededor del eje 𝑦.

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5. Longitud de arco
Podemos calcular la longitud de arco de una curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el intervalo a ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
aproximándola mediante la suma de segmentos rectos.
𝐿 = 𝑃 𝑃
La longitud de cada segmento es igual a:
𝑥 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = ∆ + ∆ .
Por aproximación diferencial sabemos que: ∆ = 𝑓 𝑥 ∆ , luego la longitud de cada
segmento es: 1 + [𝑓 𝑥 ] ∆ .
Por tanto, cuando 𝑛 → ∞, siempre y cuando exista 𝑓 𝑥 , la longitud de arco es igual
a:
𝐿 = ∫ 1 + [𝑓 𝑥 ] 𝑑

26
Ejemplo 1
5. Longitud de arco

27
Ejemplo 2
5. Longitud de arco
La función de arco es:

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6. Cálculo del trabajo
Fuerza:
Podemos pensar que es un impulso que genera un movimiento sobre un objeto.
Basado en la segunda ley de Newton, fuerza es igual a:
.
Trabajo:
Si la fuerza es constante, el trabajo es el producto de la fuerza por la distancia
recorrida:
Trabajo:
Si la fuerza varía durante el desplazamiento, en el intervalo a ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , siendo
igual a 𝑓(𝑥), el trabajo es igual:

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Ejemplo 1

30
Ejemplo 2

31
Ejemplo 3

32

33

34
7. Fuerza y presión hidrostática
Se analizará la fuerza producida por la presión del agua.
Supongamos una placa de área 𝐴 sumergida en un fluido
de densidad 𝜌 𝑘𝑔/𝑚 .
El volumen del fluido por encima de la placa es 𝑉 = 𝐴𝑑
Luego, su masa es: 𝜌
La presión que ejerce el fluido sobre la placa es:
Un importante principio de la presión del fluido es el hecho comprobado
experimentalmente de que en cualquier punto en un líquido, la presión es la
misma en todas direcciones.
(Un buzo siente la misma presión en la nariz y en ambos oídos.)
Así, la presión en cualquier dirección a una profundidad d en un fluido con
masa especifica está dada por :

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• Cuando se analiza la fuerza hidrostática sobre la pared de un cuerpo, por
ejemplo, de un reservorio, la profundidad a la que está sumergida la pared
es diferente.
• Por tanto, es necesario analizar mediante integrales.
• Dividimos la pared en partes y analizamos la fuerza hidrostática que se
ejerce sobre esa parte:
Se debe buscar la relación y es la altura del agua

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Ejemplo 1
𝑑𝑦
𝑋
𝑌
𝑦
𝑥

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𝐹 = 𝜌𝑔 (16𝑦 − 𝑦 + 480 − 30𝑦)𝑑𝑦=𝜌𝑔 (−14𝑦 − 𝑦 + 480)𝑑𝑦
𝐹 = 1000 × 9.8 × −7𝑦 −
𝑦
3
+ 480𝑦
𝐹 = 4.43 × 10 𝑁

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8. Momentos y centros de masa
Centro de masa (c.m): Representa el punto en el que suponemos que se concentra toda la
masa del sistema. Si consideramos campo gravitacional uniforme, coincide con el centro de
gravedad. Si el cuerpo tiene densidad uniforme coincide con el centroide.
¿ Cómo se calcula el c.m de un sistema de partículas?
Tener en cuenta que las masas son por unidad, es decir: kg/m, gr/cm, por ejemplo.
La suma de momentos respecto al
c.m es cero:

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es la suma de momentos respecto al eje 𝑌
Se puede generalizar el concepto para más de dos masas:
Si de aquí despejamos: 𝑚𝑥̅ = 𝑀 , quiere decir que si toda la masa del sistema se
concentra en el centro de gravedad, entonces el momento de esa masa total 𝑚
respecto al eje 𝑌, es igual a la suma de los momentos de todas las masas del sistema
respecto al eje 𝑌.
suma de momentos respecto al eje X

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Centro de masa de una placa plana de densidad uniforme
El centro de masa , puede ser calculado a partir de dividir la placa en infinitos
rectángulos. Cada rectángulo tendrá un centro de masa cuya abscisa 𝑥 , y cuya
ordenada 𝑦 estarán ubicadas en el centro de cada rectángulo.
,
Hay que tener en cuenta también que la masa por unidad es ahora, igual al
producto de la densidad por el área. Por tanto:

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Luego, aplicando las fórmulas antes vistas y para 𝑛 → ∞, el centro de masa de toda
la placa se puede calcular como:

42
Ejemplo 1
Por simetría, el centro de masa se encuentra sobre el eje y.

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Ejemplo 2
Encuentre el centro de masa de la placa cuya superficie está acotada por las curvas
𝑦 = cos 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋/2
Luego, el c.m estará situado en:

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𝑚 = 𝜌𝐴 = 𝜌 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑘𝑔
𝑚
,
𝑔𝑟
𝑐𝑚
Y las coordenadas del centro de masa de cada rectángulo son ahora :
𝑥 = 𝑥 , 𝑦 =
𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)
2
Las masas son ahora igual a:

45
Ejemplo 3
El centro está ubicado en (1/2, 2/5)

46
9. Integrales impropias en intervalos infinitos
Es la integral que se encuentra definida en el intervalo infinito o
Por ejemplo:
Calcular el área comprendida entre la curva
el eje y a la derecha de
Esta área puede ser calculada como: →
Que resulta igual a:
→ → →

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9. Integrales impropias en intervalos infinitos
→
Definición
→
Si el límite existe, las integrales impropias se llaman convergentes.
Si el límite no existe se llaman divergentes.
Si ambas son convergentes, entonces:

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10. Integrales impropias en intervalos discontinuos
→
Definición
Si es una función continua en el intervalo , pero existe una
asíntota vertical en , es decir, es discontinua en . Entonces, la
región no acotada bajo la curva es igual a:
Si el límite existe, la integral impropia se llama convergente.
Si el límite no existe se llama divergente.

49
→
Por analogía, si es una función continua en el intervalo ],
pero existe una asíntota vertical en , es decir, es discontinua en .
Entonces, la región no acotada bajo la curva es igual a:
Si el límite existe, la integral impropia se llama convergente.
Si el límite no existe se llama divergente.

50
Por último, si es una función continua en el intervalo ], pero
existe una discontinuidad en , entonces si las integrales impropias,
son convergentes, se cumple que:
→ →

51
Ejemplo 1

52
Ejemplo 2

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Y se hubiese calculado la integral definida de la siguiente manera:
El cálculo seria erróneo.

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