Este documento resume las principales medidas de tendencia central: media, mediana y moda. Explica las fórmulas para calcular cada medida en diferentes tipos de datos, como datos originales, agrupados y tabulados. También introduce otros conceptos como cuartiles, deciles y percentiles, que dividen los datos en porciones iguales.

1. ISTP” Gilda Liliana Ballivian Rosado” ESTADISTICA I Unidad Formativa II Por Lic. Yaya Gómez, María

2. ESTADISTICA MEDIDAS DE RESUMEN: Medidas de Tendencia Central

3. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

4. Son indicadores estadísticos que resumen todos los datos en un sólo número Han sido obtenidos a través de fórmulas Se utiliza generalmente para variables cuantitativas Por lo tanto: son v alores que representan a un conjunto de datos . Son llamados tendencia central, ya que se ubican generalmente en el centro de la distribución de los datos. DEFINICION: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

5. PRINCIPALES MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 1. Media Aritmética 2. Mediana 3. Moda MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

6. 1. MEDIA ARITMÉTICA : X Indicador estadístico que representa a un conjunto de datos cuantitativos REQUISITO : Se usa solo para datos homogéneos Es conocido como: Media o Promedio REPRESENTACION: X, M(X) MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL EJEM.: El promedio del número de hijos de los empleados de la empresa EL REY es 3, X=3 Significa que cada empleado en promedio tiene 3 hijos.

7. 1.1Fórmulas de Cálculo de la Media Aritmetica Pocos datos (datos originales): Se obtiene de la suma de todos los datos, dividido entre el número total de ellos. Variables CD,CC MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

8. Ejemplos de Cálculo de la Media Pocos datos (datos originales): Estos datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de empresas de confecciones: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Cada empresa en promedio tiene 5 trabajadores. X =  x i /n = 59 / 11=5.36 = 5

9. 1.2 Fórmulas de Cálculo de la Media b) Datos agrupados (Discretos): Se obtiene de la suma de los productos de los valores que toma la variable por su respectiva frecuencia, dividido entre el número total de datos. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

10. Ejemplos de Cálculo de la Media b) Datos Agrupados (Discretos): NUMERO DE HIJOS DE EMPLEADOS Cada empleado tiene en promedio 1 hijo MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL = 39 / 30 = 1.3 hijos ∼ 1 hijo 18 9 2 15 15 1 39 30 TOTALES 6 2 3 0 4 0 X ni ni Nº Hijos=X

11. 1.3 Fórmulas de Cálculo de la Media c) Datos tabulados (con intervalos): Se obtiene de la suma de los productos de las marcas de clase por su frecuencia, dividido entre el número total de ellos. Y: Puntos medios= semisuma de límites de intervalos MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y =  y i n i /n Y =  y i h i

12. SUELDO MENSUAL(miles S/) DE EMPLEADOS Ejemplos de Cálculo de la Media b) Datos Agrupados FUENTE: Empresa el REY : MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL = 93 / 30 = 3.10 miles S/. = 3,100 soles Cada empleado tiene en promedio un sueldo mensual de 3100 soles 55.25 17 3.25 3.0 – 3.5 22.00 8 2.75 2.5 – 3.0 93.00 30 TOTALES 11.25 3 3.75 3.5 – 4.0 4.50 2 2.25 2.0 – 2.5 Yi ni ni Yi SUELDOS

13. 1.- Los datos son homogéneos 1.5 CASOS PARA USAR LA MEDIA: 2.- No hay presencia de valores extremos en la Variable X 3.- Las Distribuciones de Frecuencia son simétricas o aproximadamente simétrica X MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

14. 1.- La media de una constante M(a) = a 1.6 PROPIEDADES DE LA MEDIA: 2.- La media de una constante por una variable M(a X) = a M(X) X MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 3.- La media de la suma de dos variables M(X + Y) = M(X) + M(Y)

15. 2. MEDIANA: X Es un indicador estadístico que divide al conjunto de datos en dos partes iguales. REQUISITO : Se usa si los datos son heterogéneos REPRESENTACION: M d (X) MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL EJEM.: Si la mediana del número de trabajadores de un grupo de empresas de transporte es 4: Significa que el 50% de las empresas de transporte tiene menos de 4 trabajadores y el otro 50%, mayor de 4 ~ ~

16. a) Datos Originales ( pocos datos ) Procedimiento: i) Ordenar los datos en forma creciente ii) Observar el número de datos (n) y elegir: * Si n es par : * Si n es impar : Md = x ( n+1)/2 Md =(1/2)*(x n/2 +x (n+2)/2 ) MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 2.1Fórmulas de Cálculo de la Mediana

17. Ejemplos de Cálculo de la Mediana Datos Originale (datos sin tabular): Los siguientes datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de empresas del Callao: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3 Procedimiento: 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9 n= 11 (n+1)/2=(11+1)/2=6 : x 6 = 5, Md = 5 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL El 50% de las empresas tienen menos de 5 trabajadores

18. b) Mediana para Datos Agrupados ( discretos) : Procedimiento: i) Calcular las frecuencias absoluta acumuladas Ni ii) Encontrar n/2 iii) Ubicar N j tal que N j - 1 < n/2 < N j * Si N j-1 < n/2 : Md = x j Md = (x j + x j-1 ) / 2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL * Si N j-1 = n/2 : donde: x j = Valor de x correspondiente a N j x j-1 = Valor de x correspondiente a N j-1 2.2 Fórmulas de Cálculo de la Mediana

19. Ejemplos de Cálculo de la Mediana b) Datos Tabulados (Discretos): NUMERO DE HIJOS DE EMPLEADOS Md = x j El 50% de los empleados tienen menos de un hijo y el otro 50% tienen mas de un hijo MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Md = 1 hijo n/2 = 15 4 ‹ n/2 ‹ 19 28 9 2 19 15 1 30 TOTALES 30 2 3 4 4 0 Ni ni Nº Hijos=X

20. c) Mediana para Datos Agrupados (continuos) : Procedimiento: i) Calcular las frecuencias absoluta acumuladas Ni ii) Encontrar n/2 iii) Ubicar N j tal que N j - 1 < n/2 < N j * Si N j -1 < n/2 : Md = L j MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL * Si N j -1 = n/2 : donde: L j = límite real inferior de N j c j = Amplitud del Intervalo que corresponde a N j 2.3 Fórmulas de Cálculo de la Mediana

21. SUELDO MENSUAL(miles S/) DE EMPLEADOS de la Empresa Alfa Ejemplos de Cálculo de la Mediana b) Datos Agrupados: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL n/2 = 15 , 10 ‹ n/2 ‹ 27, N j-1 =10, N j =27 27 17 3.25 3.0 – 3.5 10 8 2.75 2.5 – 3.0 30 TOTALES 30 3 3.75 3.5 – 4.0 2 2 2.25 2.0 – 2.5 Ni f:Nº de Empleados X SUELDOS

22. 1.- Los datos no son homogéneos, es decir la Variable X tiene valores extremos 2.4 CASOS PARA USAR LA MEDIANA: 2.- Los límites de intervalos no estan definidos MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 3.- La amplitud de intervalos son diferentes

23. 3. MODA: M o Es el valor que mas se repite en un conjunto de datos REPRESENTACION: M o (X) MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL EJEM.: Si la moda de la especialidad de los trabajadores de la empresa ALFA es TECNICOS Significa que el cargo que más se repite en la empresa Alfa es el de Tecnico

24. Mo = dato que más se repite Mo = Xi con mayor ni 3.1 Fórmulas de Cálculo de la Moda MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL a) Datos cualitativos b ) Datos Agrupados discretos (por observación) (por observación)

25. l MO = límite real inferior con mayor frecuencia 1 = diferencia de > ni y la anterior a ella 2 = diferencia de > ni y la posterior a ella Cj = amplitud del intervalo con mayor frecuencia 3.2 Fórmulas de Cálculo de la Moda MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL c) Datos Agrupados (continuos)

26. 3.4 Casos en que se recomienda usar la Moda: b1 .- Los Datos son Cualitativos b2. Cuando se solicita el dato que más se repite b3.Cuando se solicita el valor más frecuente Se pueden presentar más de una moda (aceptar un máximo 3 modas) o puede no presentarse. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

27. 4. C u a r t i l e s ( Q k ) , k = 1, 2, 3 Son estadígrafos que dividen a una distribución de frecuencias en cuatro porciones iguales o intervalos MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Se representan por Q1 , Q2 , Q3 y se ilustran en el esquema siguiente:

28. A. C u a r t i l e s ( Q k ) para datos originales es importante considerar que si el cálculo no corresponde con la posición exacta entonces se usa interpolación lineal. s

29. Ejemplo Consideremos la siguiente información tabla de temperaturas reportadas en los últimos 24 días en la ciudad de IQUITOS: 25 °C28 °C25 °C26 °C28 °C28 °C35 °C32 °C31 °C31 °C32 °C27 °C25 °C29 °C26 °C28 °C27 °C28 °C30 °C30 °C31 °C31 °C30 °C31 °C Ordenando los datos tenemos: 25, 25, 25, 26, 26, 27, 27 , 28, 28, 28, 28, 28, 29 , 30, 30, 30, 31, 31 , 31 , 31, 31, 32, 32, 35

30. La posición del primer cuartil es: lo que significa que el primer cuartil se encuentra entre la posición 6 y 7, como en este caso el número es el mismo entonces por lo que el primer cuartil es igual a .

31. B. Datos agrupados ( Q k ) k = 1, 2, 3 Procedimiento : Similar al de la mediana (Md) pero en vez de n/2 se considera (k*n)/4. N k-1 <kn/4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

32. 5. D e c i l e s ( Di ) , i = 1, 2, 3, ...9 Son 9 números que dividen a los datos en 10 partes iguales,cada uno con el 10 % de los datos. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

33. Si se estudia el 10% de las observaciones, se dice que se esta analizando el decil 1(D1 ) MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Se interpreta como el límite máximo del 10% de las observaciones inferiores; o como el limite mínimo del 90% de las observaciones superiores.

34. *Procedimiento : Similar al de la MEDIANA ( Md ) pero en lugar de n/2, se considera ( k*n)/ 10 N j-1 <kn/10 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

35. 6. P e r c e n t i les ( Pi ) , k= 1, 2, 3, ...99 Son 99 números que dividen a los datos en 100 partes iguales, cada una con el 1 % de los datos. Procedimiento : similar a la MEDIANA ( Md ) pero en lugar de n/2 se considera (k*n)/100 N j-1 <in/100 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL