Este documento describe los métodos numéricos y la aproximación numérica. Explica que los métodos numéricos son procedimientos alternativos para resolver problemas matemáticos mediante operaciones aritméticas en lugar de métodos analíticos. También describe conceptos como la exactitud, precisión, convergencia y estabilidad de los métodos numéricos. Finalmente, señala que no existe un mejor método numérico sino que se debe seleccionar el adecuado considerando factores como el tipo de problema, modelo matemático, equipo disponible y complejidad

1. MÉTODOS NUMÉRICOS
1.2 Aproximación Numérica
Gustavo Rocha
2005-2

2. 1.2 Aproximaciones
Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos
provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales
se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y,
ocasionalmente, son la única opción posible de solución.
Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es
resuelto usando solamente operaciones aritméticas, … tediosos
cálculos aritméticos.
Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del
verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición
consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo
que permite acercarse cada vez más al valor buscado.

3. 1.2 Aproximaciones

4. 1.2.1 Aproximación numérica
Se entiende por aproximación numérica X* una cifra que
representa a un número cuyo valor exacto es X. En la
medida en que la cifra X* se acerca más al valor exacto
X, será una mejor aproximación de ese número
Ejemplos:
– 3.1416 es una aproximación numérica de π,
– 2.7183 es una aproximación numérica de e,
– 1.4142 es una aproximación numérica de √2, y
– 0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.

5. 1.2.2 Cifras significativas
Las mediciones se realizan normalmente a través de instrumentos; por
ejemplo, un velocímetro para medir la velocidad de un automóvil, o un
odómetro para medir el kilometraje recorrido.
El número de cifras significativas es el número de dígitos t, que se pueden
usar, con confianza, al medir una variable; por ejemplo, 3 cifras
significativas en el velocímetro y 7 cifras significativas en el odómetro.
Los ceros incluidos en un número no siempre son cifras significativas; por
ejemplo, los números 0.00001845, 0.001845, 1845 y 184500
aparentemente tienen 4 cifras significativas, pero habría que conocer el
contexto en el que se está trabajando en cada caso, para identificar
cuántos y cuáles ceros deben ser considerados como cifras significativas.
El manejo de cifras significativas permite desarrollar criterios para detectar
qué tan precisos son los resultados obtenidos, así como evaluar los niveles
de exactitud y precisión con que son expresados algunos números tales
como π , e ó √2.
Alternativamente al número de cifras significativas, está el número n de
dígitos en la mantisa, que indica el número de cifras a considerar, después
del punto decimal. En operaciones manuales, el número de dígitos en la
mantisa sigue teniendo vigencia, aunque ha sido desplazado poco a poco
por el número de cifras significativas que, por diseño, manejan calculadoras
y computadoras.

6. 1.2.3 Exactitud y precisión.
La precisión se refiere al número de cifras significativas que representa una
cantidad.
La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al
valor numérico que se supone representa.
Ejemplo: π es un número irracional, constituido por un número infinito de
dígitos; 3.141592653589793... es una aproximación tan buena de π , que tal
podría considerarse que es su valor exacto. Al considerar las siguientes
aproximaciones de π :
π = 3.15 es impreciso e inexacto.
π = 3.14 es exacto pero impreciso.
π = 3.151692 es preciso pero inexacto.
π = 3.141593 es exacto y preciso.
Los métodos numéricos deben ofrecer soluciones suficientemente exactas
y precisas. El término error se usa tanto para representar la inexactitud
como para medir la imprecisión en las predicciones.

7. 1.2.4 Convergencia y estabilidad
Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al
realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones obtenidas
terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.
En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número
de iteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene
una mayor rapidez de convergencia.
Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de
convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen
y, por el contrario, divergen; esto es, se alejan cada vez más del resultado
deseado.
En la medida en la que un método numérico, ante una muy amplia gama de
posibilidades de modelado matemático, es más seguro que converja que
otro, se dice que tiene una mayor estabilidad.
Es común encontrar métodos que convergen rápidamente, pero que son
muy inestables y, en contraparte, modelos muy estables, pero de lenta
convergencia.

8. 1.2.5 Selección de alternativas
El uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues se
requiere elegir entre:
– Varios métodos numéricos alternativos para cada tipo de problema
– Varias herramientas tecnológicas
Existen diferentes maneras de abordar los problemas entre una
persona y otra, que depende de:
– El nivel de participación en el modelado matemático del problema
– Ingenio y creatividad para enfrentarlo y resolverlo
– La habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia

9. 1.2.5 Selección de alternativas
Tipo de problema a resolver:
– Raíces de ecuaciones
– Sistemas de ecuaciones lineales simultáneas
– Interpolación, diferenciación e integración
– Ecuaciones diferenciales ordinarias
– Ecuaciones diferenciales parciales
– Otros (no contemplados en este curso; vistos en otras asignaturas)
Equipo:
– Supercomputadora Las herramientas de cómputo son
– Computadora personal máquinas “tontas” que sólo hacen lo
que se le ordena; sin embargo, los
– Calculadora graficadora
tediosos cálculos numéricos los hacen
– Calculadora científica de bolsillo
muy rápido y muy bien, sin fastidiarse.
– Regla de calculo

10. Tipo de problema

11. Modelo matemático

12. Método numérico

13. Equipo
Computadora
Calculadora

14. 1.2.5 Selección de alternativas
Es altamente recomendable
“Software” que el ingeniero sepa programar
– Desarrollo de programas: en por lo menos un lenguaje, sepa
lenguaje “C” utilizar algún software matemático,
“Basic” y manejar muy eficientemente una
“Fortran” hoja de cálculo y una calculadora
Otro. graficadora
– Utilización de software matemático:
“Maple”,
“MatLab”,
“MathCad”,
“Mathematica”.
– El manejo de hojas de cálculo en PC:
Excel
Lotus
– Manejo expedito de una calculadora graficadora

15. Software
Desarrollo de programas
Software matemático
Hoja de cálculo
Calculadora graficadora

16. 1.2.5 Selección de alternativas
Método numérico: no existe el mejor, pero si los
favoritos
– Amplitud de aplicación
– Amigabilidad
– Estabilidad
– Rapidez de convergencia
– Número de valores iniciales requeridos
Se ha de tomar en cuenta, además
– Complejidad del modelo
– Turbulencia de los datos
– Ingenio y creatividad