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Rosas de 𝑛 pétalos
Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.
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La gráfica de la izquierda es una
rosa de tres pétalos.
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Ecuación polar
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𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
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Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃
dividir 0 por 𝑛
El ángulo entre los pétalos es 2𝜋
dividido por el número de pétalos (𝑛).
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1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
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𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
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Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
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por 𝑛
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃
dividir 0 por 𝑛
El ángulo entre los pétalos es 2𝜋
dividido por el número de pétalos (𝑛) y
cada uno mide 𝑎 unidades.
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1 2 3 4 5 6 eje polar
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𝜋 𝑎, 0
𝑎, 2𝜋
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−𝑎, 𝜋
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Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.
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Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
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dividir 0 por 𝑛
El ángulo entre los pétalos es 2𝜋
dividido por el número de pétalos (𝑛) y
cada uno mide 𝑎 unidades.
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𝜋
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𝜋 𝑎, 0
𝑎, 2𝜋
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Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par.
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𝜋
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2
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𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
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dividir
𝜋
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por 𝑛
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dividir 0 por 𝑛
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−𝑎, 𝜋
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𝑎, 0
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La distancia entre los pétalos es 2𝜋
entre el número de pétalos (2𝑛) y cada
uno mide 𝑎 unidades.
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Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
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por 𝑛
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃
dividir 0 por 𝑛
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1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
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𝑎, 𝜋
−𝑎, 𝜋
2
𝑎, 0
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2
La distancia entre los pétalos es 2𝜋
entre el número de pétalos (2𝑛) y cada
uno mide 𝑎 unidades.
𝑎,
5𝜋
4
−𝑎, 7𝜋
4 𝑎,
𝜋
4
−𝑎, 3𝜋
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Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par.
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Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .
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Solución:
La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el
modelo de la gráfica de una rosa
de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La
posición del primer pétalo está
donde 2𝜃 = 0.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
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3𝜋
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Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .
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Solución:
La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el
modelo de la gráfica de una rosa
de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La
posición del primer pétalo está
donde 2𝜃 = 0.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
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3𝜋
2
𝜋
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .
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Solución:
La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el
modelo de la gráfica de una rosa
de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La
posición del primer pétalo está
donde 2𝜃 = 0.
La distancia entre pétalos es 𝜋
2
, se
obtiene dividiendo 2𝜋 entre el
número de pétalos.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
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3𝜋
2
𝜋
Ejemplo:
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Solución:
La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el
modelo de la gráfica de una rosa
de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La
posición del primer pétalo está
donde 2𝜃 = 0.
La distancia entre pétalos es 𝜋
2
, se
obtiene dividiendo 2𝜋 entre el
número de pétalos.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .
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Solución:
La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el
modelo de la gráfica de una rosa
de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La
posición del primer pétalo está
donde 2𝜃 = 0.
La distancia entre pétalos es 𝜋
2
, se
obtiene dividiendo 2𝜋 entre el
número de pétalos.
Dibujar la rosa con pétalos de
4 unidades de largo.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
−4, 3𝜋
2
−4, 𝜋
2
4,04, 𝜋
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .
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Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .
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Solución:
La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃)es el modelo
de la gráfica de una rosa de tres
pétalos 𝑛 = 3. La posición del primer
pétalo está donde 3𝜃 = 𝜋
2
.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .
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Solución:
La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃)es el modelo
de la gráfica de una rosa de tres
pétalos 𝑛 = 3. La posición del primer
pétalo está donde 3𝜃 = 𝜋
2
.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
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𝜋
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .
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Solución:
La distancia entre pétalos es 2𝜋
3
, se
obtiene dividiendo 2𝜋 entre el número
de pétalos.
La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃)es el modelo
de la gráfica de una rosa de tres
pétalos 𝑛 = 3. La posición del primer
pétalo está donde 3𝜃 = 𝜋
2
.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
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Ejemplo:
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Solución:
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋 La distancia entre pétalos es 2𝜋
3
, se
obtiene dividiendo 2𝜋 entre el número
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La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃)es el modelo
de la gráfica de una rosa de tres
pétalos 𝑛 = 3. La posición del primer
pétalo está donde 3𝜃 = 𝜋
2
.
Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .
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Solución:
Dibujar la rosa con pétalos de 5
unidades de largo.
1 2 3 4 5 6 eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋 La distancia entre pétalos es 2𝜋
3
, se
obtiene dividiendo 2𝜋 entre el número
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La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃)es el modelo
de la gráfica de una rosa de tres
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.5, 𝜋
6
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Graficar las siguientes ecuaciones polares.
1. 𝑟 = 6𝑐𝑜𝑠 5𝜃 2. 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛 2𝜃
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1 2 3 4 5 6eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
1 2 3 4 5 6eje polar
𝜋
2
3𝜋
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1 2 3 4 5 6eje polar
𝜋
2
3𝜋
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𝜋
1 2 3 4 5 6eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Rosa de 5 pétalos de longitud 6.
Primer pétalo en 0 y cada uno a 2𝜋
5
.
6,0
6, 6𝜋
5
6, 4𝜋
5
6, 8𝜋
5
6, 2𝜋
5
Práctica:
Graficar las siguientes ecuaciones polares.
1. 𝑟 = 6𝑐𝑜𝑠 5𝜃 2. 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛 2𝜃
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1 2 3 4 5 6eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
1 2 3 4 5 6eje polar
𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
Rosa de 5 pétalos de longitud 6.
Primer pétalo en 0 y cada uno a 2𝜋
5
.
6,0
6, 6𝜋
5
6, 4𝜋
5
6, 8𝜋
5
6, 2𝜋
5
Rosa de 4 pétalos de longitud 4.
Primer pétalo en 𝜋
4
y cada uno a 𝜋
2
.
4, 𝜋
4
4, 5𝜋
4
−4, 7𝜋
4
−4, 3𝜋
4
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Graficar las siguientes ecuaciones polares.
1. 𝑟 = 6𝑐𝑜𝑠 5𝜃 2. 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛 2𝜃
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Mapa Gráficas Polares
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•Polo
•Eje Polar
•Recta 𝜃 =
𝜋
2
Gráficas Rectas
•Recta inclinada
•Recta Paralela al Eje Polar
•Recta Paralela a 𝜃 =
𝜋
2
Gráficas Círculos
•Circulo con centro en el polo
•Circulo con centro en el eje polar
•Circulo con centro en la recta 𝜃 =
𝜋
2
Gráficas Caracoles
• Cardiode
• Caracol con Lazo
• Caracol sin Lazo
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• Rosas de N Pétalos
• Rosas de 2N Pétalos
• Gráfica Lemniscata
• Gráfica de Espiral
Gráficas de Ecuaciones Polares

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Graficas rosas

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  • 2. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar. Gráficas Ecuaciones de Rosas 46
  • 3. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas La gráfica de la izquierda es una rosa de tres pétalos. 46 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.
  • 4. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 46 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.
  • 5. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 46 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.
  • 6. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 46 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.
  • 7. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 46 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.
  • 8. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 46 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.
  • 9. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 El ángulo entre los pétalos es 2𝜋 dividido por el número de pétalos (𝑛). 46 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.
  • 10. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 El ángulo entre los pétalos es 2𝜋 dividido por el número de pétalos (𝑛) y cada uno mide 𝑎 unidades. 46 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 𝑎, 0 𝑎, 2𝜋 3 −𝑎, 𝜋 3 Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.
  • 11. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 El ángulo entre los pétalos es 2𝜋 dividido por el número de pétalos (𝑛) y cada uno mide 𝑎 unidades. 46 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 𝑎, 0 𝑎, 2𝜋 3 −𝑎, 𝜋 3 𝑎, 𝜋 6 𝑎, 5𝜋 6 −𝑎, 𝜋 2 Rosas de 𝑛 pétalos Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.
  • 12. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. Gráficas Ecuaciones de Rosas 47 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Rosas de 2𝑛 pétalos
  • 13. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares La gráfica de la izquierda es una rosa de cuatro pétalos. Gráficas Ecuaciones de Rosas 47 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. Rosas de 2𝑛 pétalos
  • 14. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Gráficas Ecuaciones de Rosas 47 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. Rosas de 2𝑛 pétalos
  • 15. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Gráficas Ecuaciones de Rosas Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 47 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. Rosas de 2𝑛 pétalos
  • 16. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Gráficas Ecuaciones de Rosas Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 47 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. Rosas de 2𝑛 pétalos
  • 17. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Gráficas Ecuaciones de Rosas Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 47 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. Rosas de 2𝑛 pétalos
  • 18. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Gráficas Ecuaciones de Rosas Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 47 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. Rosas de 2𝑛 pétalos
  • 19. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Gráficas Ecuaciones de Rosas Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 La distancia entre los pétalos es 2𝜋 entre el número de pétalos (2𝑛). 47 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. Rosas de 2𝑛 pétalos
  • 20. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Gráficas Ecuaciones de Rosas Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 47 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 𝑎, 𝜋 −𝑎, 𝜋 2 𝑎, 0 −𝑎, 3𝜋 2 La distancia entre los pétalos es 2𝜋 entre el número de pétalos (2𝑛) y cada uno mide 𝑎 unidades. Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. Rosas de 2𝑛 pétalos
  • 21. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Ecuación polar 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0 Gráficas Ecuaciones de Rosas Posición del primer pétalo Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 dividir 𝜋 2 por 𝑛 Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 dividir 0 por 𝑛 47 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 𝑎, 𝜋 −𝑎, 𝜋 2 𝑎, 0 −𝑎, 3𝜋 2 La distancia entre los pétalos es 2𝜋 entre el número de pétalos (2𝑛) y cada uno mide 𝑎 unidades. 𝑎, 5𝜋 4 −𝑎, 7𝜋 4 𝑎, 𝜋 4 −𝑎, 3𝜋 4 Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par. Rosas de 2𝑛 pétalos
  • 22. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas 48 Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .
  • 23. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas 48 Solución: La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el modelo de la gráfica de una rosa de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La posición del primer pétalo está donde 2𝜃 = 0. 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .
  • 24. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas 48 Solución: La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el modelo de la gráfica de una rosa de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La posición del primer pétalo está donde 2𝜃 = 0. 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .
  • 25. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas 48 Solución: La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el modelo de la gráfica de una rosa de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La posición del primer pétalo está donde 2𝜃 = 0. La distancia entre pétalos es 𝜋 2 , se obtiene dividiendo 2𝜋 entre el número de pétalos. 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .
  • 26. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas 48 Solución: La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el modelo de la gráfica de una rosa de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La posición del primer pétalo está donde 2𝜃 = 0. La distancia entre pétalos es 𝜋 2 , se obtiene dividiendo 2𝜋 entre el número de pétalos. 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .
  • 27. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas 48 Solución: La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el modelo de la gráfica de una rosa de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La posición del primer pétalo está donde 2𝜃 = 0. La distancia entre pétalos es 𝜋 2 , se obtiene dividiendo 2𝜋 entre el número de pétalos. Dibujar la rosa con pétalos de 4 unidades de largo. 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 −4, 3𝜋 2 −4, 𝜋 2 4,04, 𝜋 Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .
  • 28. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas 49 Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .
  • 29. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas 49 Solución: La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃)es el modelo de la gráfica de una rosa de tres pétalos 𝑛 = 3. La posición del primer pétalo está donde 3𝜃 = 𝜋 2 . 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .
  • 30. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas 49 Solución: La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃)es el modelo de la gráfica de una rosa de tres pétalos 𝑛 = 3. La posición del primer pétalo está donde 3𝜃 = 𝜋 2 . 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .
  • 31. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas 49 Solución: La distancia entre pétalos es 2𝜋 3 , se obtiene dividiendo 2𝜋 entre el número de pétalos. La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃)es el modelo de la gráfica de una rosa de tres pétalos 𝑛 = 3. La posición del primer pétalo está donde 3𝜃 = 𝜋 2 . 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .
  • 32. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas 49 Solución: 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 La distancia entre pétalos es 2𝜋 3 , se obtiene dividiendo 2𝜋 entre el número de pétalos. La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃)es el modelo de la gráfica de una rosa de tres pétalos 𝑛 = 3. La posición del primer pétalo está donde 3𝜃 = 𝜋 2 . Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .
  • 33. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas 49 Solución: Dibujar la rosa con pétalos de 5 unidades de largo. 1 2 3 4 5 6 eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 La distancia entre pétalos es 2𝜋 3 , se obtiene dividiendo 2𝜋 entre el número de pétalos. La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃)es el modelo de la gráfica de una rosa de tres pétalos 𝑛 = 3. La posición del primer pétalo está donde 3𝜃 = 𝜋 2 .5, 𝜋 6 5, 5𝜋 6 5, 3𝜋 2 Ejemplo: Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .
  • 34. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares PrácticaBuscar el Manual de Práctica Hacer los ejercicios de la página 6 50
  • 35. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas Práctica: Graficar las siguientes ecuaciones polares. 1. 𝑟 = 6𝑐𝑜𝑠 5𝜃 2. 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛 2𝜃 51 1 2 3 4 5 6eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 1 2 3 4 5 6eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋
  • 36. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas 51 1 2 3 4 5 6eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 1 2 3 4 5 6eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Rosa de 5 pétalos de longitud 6. Primer pétalo en 0 y cada uno a 2𝜋 5 . 6,0 6, 6𝜋 5 6, 4𝜋 5 6, 8𝜋 5 6, 2𝜋 5 Práctica: Graficar las siguientes ecuaciones polares. 1. 𝑟 = 6𝑐𝑜𝑠 5𝜃 2. 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛 2𝜃
  • 37. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Gráficas Ecuaciones de Rosas 51 1 2 3 4 5 6eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 1 2 3 4 5 6eje polar 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 Rosa de 5 pétalos de longitud 6. Primer pétalo en 0 y cada uno a 2𝜋 5 . 6,0 6, 6𝜋 5 6, 4𝜋 5 6, 8𝜋 5 6, 2𝜋 5 Rosa de 4 pétalos de longitud 4. Primer pétalo en 𝜋 4 y cada uno a 𝜋 2 . 4, 𝜋 4 4, 5𝜋 4 −4, 7𝜋 4 −4, 3𝜋 4 Práctica: Graficar las siguientes ecuaciones polares. 1. 𝑟 = 6𝑐𝑜𝑠 5𝜃 2. 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛 2𝜃
  • 38. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Gráficas Polares Mapa Gráficas Polares 57 Simetría de las Gráficas Polares •Polo •Eje Polar •Recta 𝜃 = 𝜋 2 Gráficas Rectas •Recta inclinada •Recta Paralela al Eje Polar •Recta Paralela a 𝜃 = 𝜋 2 Gráficas Círculos •Circulo con centro en el polo •Circulo con centro en el eje polar •Circulo con centro en la recta 𝜃 = 𝜋 2 Gráficas Caracoles • Cardiode • Caracol con Lazo • Caracol sin Lazo Gráficas Rosas • Rosas de N Pétalos • Rosas de 2N Pétalos • Gráfica Lemniscata • Gráfica de Espiral Gráficas de Ecuaciones Polares