Teoría de juegos

DIRECCIÓN Y GESTIÓN DE EMPRESAS curso 2006/2007 TEMA 7 TOMA DE DECISIONES: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE JUEGOS Alfonso J. Gil López

ESQUEMA DE CONTENIDOS 7.1. Concepto y elementos del juego. 7.2. Representación de los juegos. 7.2.1. Forma normal. 7.2.2. Forma extensiva. 7.3.Tipología de juegos. 7.3.1.Tipos de juegos según estratégicas. 7.3.2. Tipos de juegos y comunicación 7.4. Condiciones de equilibrio. 7.4.1.Equilibrio de estrategias dominantes. 7.4.2. Equilibrio de Nash 7.4.3. Juegos con soluciones múltiples 7.4.4. Juegos sin equilibrios en estrategias puras 7.5. Juegos repetidos. 7.5.1. Juegos repetidos con horizontes finitos. 7.5.1. Juegos repetidos con horizontes infinitos.

7.1. Concepto y elementos del juego Teoría de juegos Concepto de juegos Elementos de juegos Jugadores Acción Información Estrategia Pagos Equilibrio Resultados

7.1. Concepto de juego. La teoría de juegos La teoría de juegos o teoría de las decisiones interactivas es el estudio del comportamiento estratégico cuando dos o más individuos interactúan y cada decisión individual resulta de lo que él (o ella) espera que los otros hagan. Es decir, que debemos esperar que suceda a partir de las interacciones entre los individuos . Características : Se ocupa del estudio formal de aquellas situaciones en las que un agente toma una decisión , consciente de que tendrá consecuencias para otros agentes . Es una extensión de la teoría de la decisión. En ésta el resultado de un agente depende de su propio comportamiento ( racional ) y de la situación de la naturaleza (aleatoria). INTERACCIÓN ECONOMÍA-TEORÍA DE JUEGOS

7.1. Concepto de juego Juego : Es un proceso en el que interactúan varios agentes, sujetándose a unas reglas, con un resultado bien definido, caracterizado por la interpendencia estratégica . Reglas: Límites a los jugadores. Resultado: Vencedores-Vencidos. Estrategia: Toma de decisiones. Interdependencia estratégica (interdependencia de decisiones): El resultado depende de las decisiones adoptadas por todos los jugadores. “ Modelo de telaraña” (volatilidad de los precios agrícolas) Características: 1. Existe interdependencia entre las decisiones de los agentes. 2. Existe conflicto entre los agentes: el aumento de la utilidad de uno supone la disminución del otro u otros.

7.1. Elementos de un juego Para que un juego o situación estratégica esté completamente definido, deben estar definidos los siguientes aspectos: 1. Jugadores 2. Acción o movimiento 3. Conjunto de información Perfecta o imperfecta Completa o incompleta Simétrica o asimétrica Con certeza con incertidumbre 4. Estrategia 5. Pagos 6. Equilibrio 7. Resultados

7.1. Elementos de un juego 1. Jugadores Debe haber dos o más jugadores (empresas) para que puedan interactuar. Tipos: Agentes “racionales” con capacidad para la toma de decisiones (sus preferencias se pueden presentar por una función de utilidad). Naturaleza. El jugador no persigue ninguna meta en particular (toma decisiones de forma aleatoria). 2. Acción o movimiento Es una decisión o elección del jugador (la decisión del jugador i se representa por a i ). 3. Conjunto de información. Debe especificarse lo que sabe cada jugador. Es el conocimiento de un jugador sobre el juego y sus características. (el conjunto de información cambia con el tiempo)

7.1. Elementos de un juego. Tipos de información Información perfecta e imperfecta Perfecta : juegos en los que la historia pasada del juego es de dominio público, y no hay decisiones simultáneas. Imperfecta : cuando un jugador no conoce lo que otros jugadores han hecho previamente. Información completa e incompleta Completa : juegos en los que los pago de todos los jugadores son información de dominio público Incompleta : cuando un jugador no conoce las características de sus rivales (sus preferencias, sus estrategias…). Información simétrica o asimétrica Simétrica : cuando el conjunto de información contiene los mismos elementos para todos y cada uno de los jugadores. Información con certeza y con incertidumbre Certeza : la naturaleza no interviene después de los jugadores. Incertidumbre : los pagos del jugador son inciertos. Los jugadores tratan de maximizar su utilidad esperada.

7.1. Elementos de un juego 4. Estrategia Deben estar definidos los movimientos (acciones) posibles de ser realizados por cada jugador y su secuencialidad o simultaneidad. Se trata de la Regla que señala que acción debe adoptarse en cada instante del juego, dado el conjunto de información (s i ). Cada jugador s i  Si = {s (1)i , s (2)i , ...,s (m)i } m = nº de estrategias factibles S = {s 1 , s 2 , ...,s n } n = número de jugadores 5. Pagos Debe existir un pago determinado. Indica la utilidad que alcanza el jugador, una vez que la naturaleza y el resto de los jugadores han seleccionado sus acciones y se ha desarrollado el juego.

7.1. Elementos de un juego 6. Equilibrio Propiedad de la solución expresada en términos de las estrategias seguidas por cada jugador. Nociones de equilibrio básicas: * Equilibrio de Estrategias Dominantes * Equilibrio de Nash * Equilibrio de Estrategias Dominadas 7. Resultados Deben conocerse los resultados que obtendrá cada uno de los jugadores por cada posible conjunto de acciones que se sigan. Es el conjunto de elementos del juego que el analista selecciona una vez que el juego se ha disputado , para resumirlo o describir lo que ocurrirá.

7.2. Representación de juegos Forma-Interdependencia Tipos de juegos Forma normal Forma extensiva Simultáneo Sucesivo Simultáneo Sucesivo

7.2. Representación de los juegos. El juego expresado en forma normal : Consiste en especificar a cada jugador sus espacios de estrategias y sus funciones de pagos . Se representa: (1) los jugadores en el juego, (2) las estrategias de que dispone cada jugador y (3) la ganancia de cada jugador en cada combinación posible de estrategias. Es conveniente para juegos simultáneos. El juego expresado en forma extensiva centra la atención en la secuencia temporal . Se especifica el orden del juego y las alternativas disponibles para cada jugador. Se representa: (1) los jugadores, (2a) cuando tiene que jugar cada jugador, (2b) lo que cada jugador puede hacer cada vez que tiene la oportunidad de jugar, (2c) lo que cada jugador sabe cada vez que tiene la oportunidad de jugar y (3) la ganancia recibida por cada jugador para cada combinación posible de jugadas.

7.2. Representación de los juegos. Tipos de interdependencia entre las decisiones de empresas La interdependencia estratégica entre empresas puede darse en forma simultánea o secuencial, existiendo situaciones en las que pueden estar presentes ambos tipos de interdependencia. La interacción es simultánea cuando las empresas deben tomar sus decisiones al mismo tiempo y secuencial cuando una la toma antes que la otra. Un ejemplo de juego simultáneo es el envío de animales a la feria para su venta. En la interacción secuencial las empresas toman sus decisiones y realizan sus acciones de forma sucesiva. En este caso y con el objetivo de determinar su mejor acción, cada empresa o jugador espera su turno y toma su decisión analizando la acción previamente tomada por la otra. Algunos ejemplos de decisiones de negocios que pueden clasificarse como juego secuencial son los de entrada de una empresa en una industria cuando esta decisión es tomada una vez que otras empresas ya se encuentran en el mercado y de aumento de la capacidad habiendo ya observado la capacidad de sus rivales. En las situaciones reales los competidores toman decisiones secuenciales y simultáneas. Por ejemplo, cuando una empresa analiza la situación de entrada en un mercado lo hace de forma secuencial, pero la decisión del precio a cobrar es simultánea a sus competidores.

7.2. Representación de los juegos. Ejemplo Dos empresas A y B fabricantes de vídeos deben decidir si fabrican un vídeo compatible o incompatible con la televisión digital. Si las dos empresas toman su decisión simultáneamente los conjuntos o espacios de estrategias para ambas serán. SA =  compatible, incompatible  SB =  compatible, incompatible  En cuanto a los pagos que obtendrán ambas, serán: si las dos fabrican el vídeo compatible ganarán 2 cada una, si fabrican el vídeo incompatible ganarán 3 cada una, si una fabrica compatible y la otra no, la que fabrique el video compatible ganará 4 y la otra 1.

EMPRESA B COMPATIBLE NO COMPATIBLE EMPRESA A NO COMPATIBLE COMPATIBLE (2, 2) (3, 3) 7.2. Representación de los juegos. Forma normal. Juego simultáneo (4, 1) (1, 4)

EMPRESA B SIEMPRE C LO CONTRARIO LO MISMO SIEMPRE N.C EMPRESA A NO COMPATIBLE COMPATIBLE (4, 1) (1, 4) 7.2. Representación de los juegos. Forma normal. Juego secuencial (2, 2) (2, 2) (1, 4) (3, 3) (4, 1) (3, 3)

7.2. Representación de los juegos. Forma extensiva. Juego secuencial A Compatible No Compatible B Compatible No Compatible B Compatible No Compatible ( 2 ,2) ( 4 ,1) ( 1 ,4) ( 3 ,3)

7.2. Representación de los juegos. Forma secuencial. Ejemplo. Supongamos que un entrante potencial E está analizando ingresar en un mercado que actualmente está monopolizado por una empresa preestablecida I. E sabe que I puede reaccionar de una de las dos maneras posibles si entra en el mercado. Por una parte, I puede acomodarse a la entrada, dejándole una parte del mercado al entrante sin afrontar una guerra de precios, de publicidad o de otra característica, o bien puede reaccionar agresivamente a la entrada, comenzando una guerra de precios o una acción similar. A la primera acción posible la llamamos A (por “acomodarse”) mientras que a la segunda opción la denominamos P (por “pelear”). Supongamos que los análisis de mercado disponibles arrojan las siguientes utilidades proyectadas para estas dos empresas para cada uno de los posibles escenarios. Si E no entra, ésta obtendrá una utilidad de O mientras I obtendrá una utilidad de 12 millones de €. Por otra parte, si E entra, ésta obtendrá un beneficio de 6 millones de € si es que I se acomoda y una pérdida de 9 millones de € si es que I decide pelear. Por último, I obtendrá un beneficio de 10 millones de € si es que se acomonda a la entrada de E y de 3 millones de € si es que decide pelear.

7.2. Representación de los juegos. Forma extensiva. Juego simultáneo A Compatible No Compatible ( 2 ,2) ( 4 ,1) ( 1 ,4) ( 3 ,3) B Compatible No Compatible B Compatible No Compatible

7.3. Tipos de juegos 1. Estrategias 2. Comunicación Acuerdos Discretas Continuas Correlacionadas Puras Mixtas Juegos Cooperativos Juegos Competitivos Autovinculantes Obligados

7.3. Tipologías de juegos. (1) Tipos de juegos según estrategias 1.A. Estrategias puras : el jugador elige sus acciones con certeza 1.B. Estrategias mixtas: el jugador elige sus acciones de acuerdo con una determinada distribución de probabilidad 2.A. Estrategias discretas : existe un número finito de acciones 2.B. Estrategias continuas: existe un número infinito de acciones 3. Estrategias correlacionas: se decide aleatoriamente que jugador es el primero que va a tomar la decisión y el otro u otros se adaptan a esa decisión

7.3. Tipologías de juegos. (2) Tipos de juegos y comunicación En ocasiones los jugadores pueden estar interesados en modificar sus respectivos conjuntos de información mediante la comunicación y el intercambio de información. Juegos con comunicación No toda información puede modificar la solución. Información observable: conocida sólo por los participantes Información verificable: observable por alguien ajeno (juez que reclama en caso de incumplimiento) acuerdos Juegos sin comunicación

7.3. Tipologías de juegos. (2) Acuerdos a que da lugar la comunicación 1. Acuerdos autovinculantes : cada jugador cumple el acuerdo porque es más racional para sí mismos, siempre que los demás lo cumplan. 2. Acuerdos vinculantes a la fuerza : cada jugador cumple por temor a que el incumplimiento implique sanción . * Acuerdos completos : las decisiones están totalmente predeterminadas. * Acuerdos incompletos : algunas decisiones importantes no están predeterminadas, dependen de las contingencias que no es posible prever. Se recurre: 1. Negociación 2. Arbitraje (juez) 3. Autoridad (jugador)

7.3. Tipologías de juegos. (2) Acuerdos a que da lugar la comunicación IMPORTANTE DISTINCIÓN EN TEORÍA DE JUEGOS 3. Juegos cooperativos : existe comunicación previa a la toma de decisiones mediante la cual la transmisión de información verificable permite llegar a acuerdos vinculantes. En estos juegos el resultado se obtiene a partir de los procesos de negociación antes de los pagos. 4. Juegos competitivos (no cooperativos) : juegos donde no es posible llegar a acuerdos vinculantes, bien porque no hay información, bien porque no es verificable. En estos juegos el resultado se obtiene a partir de la interacción estratégica.

7.4. Condiciones de equilibrio Estrategias dominantes Equilibrio de Nash Juegos con soluciones múltiples Juegos sin equilibrios en estrategias puras Estrategias dominadas Equilibrios en subjuegos Solución “ hacia atrás” SOLUCIONES

7.4. Condiciones de equilibrio. (1) Equilibrio de Estrategias Dominantes Estrategia dominante s i * es estrategia dominante si es la mejor respuesta que el jugador i puede ofrecer a cualquier estrategia elegida por los demás. Equilibrio en estrategias dominantes Combinación de estrategias S = (s 1 * , s 2 * ,..., s n * ) formada por la estrategia dominante de cada jugador.

7.4. Condiciones de equilibrio. (1) Equilibrio de Estrategias Dominantes. El dilema del prisionero (juegos no cooperativos) Dos individuos ( Director de Orquesta y Tchaivkosky) son detenidos por robo. En la cárcel, los detectives les interrogan por separado y les hacen ofertas. El fiscal tiene suficientes pruebas para condenar a uno a 2 años y al otro a 3 años y si ninguno confiesa esa será la pena que se les impone. Pero si es uno el que únicamente confiesa aunque el delito supone 25 años de prisión se le condenará a 1 año. Si los dos confiesan ambos recibirán una condena de 10 años. Ejemplo Dilema del prisionero Jugadores: Director de Orquesta y Tchaivkosky Conjunto de acciones: Solo hay una jugada, por lo que sólo se plantean acciones para esa jugada A DO =  confesar, no confesar  A T =  confesar, no confesar  Conjunto de estrategias S DO =  confesar, no confesar  S T =  confesar, no confesar  Información: Imperfecta se trata de un juego simultáneo, donde se desconoce lo que hace el otro jugador. Pagos:  DO (S NC DO ,S NC T )=2;  DO (S C DO ,S NC T )=1;  DO (S NC DO ,S C T )=25;  DO (S C DO ,S C T )=10;  T (S NC DO ,S NC T )=3;  T (S C DO ,S NC T )=25;  T (S NC DO ,S C T )=1;  T (S C DO ,S C T )=10;

TCHAIVKOSKY NO CONFESAR CONFESAR DIRECTOR DE ORQUESTA CONFESAR NO CONFESAR (2, 3) (10, 10) (10,10) 7.4. Condiciones de equilibrio. (1) Equilibrio de Estrategias Dominantes. El dilema del prisionero (25, 1) (1, 25)

7.4. Condiciones de equilibrio. (1) Equilibrio de Estrategias Dominantes (juegos no cooperativos). Supongamos que en un mercado en el que existen dos empresas que determinan sus precios simultáneamente, y el siguiente esquema de pagos: si ambas empresas se pusieran de acuerdo y cooperaran entre sí cobrando un precio de 10 euros, las utilidades de cada una de ellas serían iguales a 100 euros. Por su parte, si ambas empresas compitieran, el precio sería de 6 euros y cada empresa obtendría utilidades de 72 euros. Si una de las empresas cooperara cobrando 10 euros y la otra no cooperara y cobrara 6 euros, la que cobra 10 euros obtendría utilidades de 40 euros mientras que la que cobra 6 euros, producto de una mayor participación en el mercado, obtendría utilidades por 120 euros. Este ejemplo explica la formación de carteles que tienen como objetivo fundamental lograr un resultado similar al del monopolio, lo que requiere incentivar que los participantes cooperen. Pertenece a la familia de los juegos denominados “dilema del prisionero”. Ejemplos: Carrera armamentística Ahorro de energía Esfuerzo personal

7.4. Condiciones de equilibrio. (1) Estrategias dominantes. Ejemplo. La estrategia “Medio” para la empresa 1 es dominante, es decir para cada posible estrategia de la empresa 2, la empresa 1 estará siempre mejor si selecciona la estrategia “Medio”. Por otra parte la estrategia “Regular” es una estrategia dominante para la empresa 2 ya que, se cual fuere la estrategia de la empresa 1, si pago es siempre mayor si selecciona regular. 2,0 1,2 2,1 Bajo 3,1 2,2 4,0 Medio 2,3 0,4 3,3 Alto Malo Regular Bueno E1 / E2

7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash La mayoría de juegos no tiene un equilibrio en estrategias dominantes. Equilibrio de Nash : Una combinación de estrategias S = (s 1 * , s 2 * ,..., s n * ) es un equilibrio de Nash si ningún jugador tiene incentivos para desviarse de su estrategia mientras los demás tampoco lo hagan. Un conjunto de estrategias representa un equilibrio de Nash si la estrategia elegida por cada jugador es su mejor respuesta a su creencia de lo que serán las estrategias seguidas por sus rivales y esta creencia es correcta, es decir, la estrategia verdaderamente seguida por los rivales es la que se creía iban a seleccionar. Un equilibrio de Nash de un juego es un acuerdo en que ninguna de la partes puede romper a discreción sin perder. Ejemplo: 6,3 6,4 No Anunciar 5,4 7,5 Anunciar No Anunciar Anunciar A / B

7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash. Ejemplo. Se representa un juego simultáneo en el que participan las empresas 1 y 2, cada una con tres alternativas, A, M y B para la empresa 1; e, i y d para la empresa 2. En este juego, el único equilibrio de Nash es (M, d). Un aspecto fundamental es que este equilibrio se alcanza cuando cada empresa ha seleccionado la estrategia que es óptima para ella dada la estrategia seleccionada por los rivales. 4,3 1,3 3,4 B 4,2 3,1 3,0 M 3,4 0,4 4,3 A d m i E1 / E2

7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash. La batalla de los sexos. Una pareja tiene que decidir entre ir al teatro o ir al fútbol. Ella (jugador II) quiere ir al fútbol y él (jugador I) al teatro, pero en cualquier caso ambos quieren ir juntos. Si la primera estrategias para ambos es ir al teatro y la segunda al fútbol. Ejemplo Jugadores: Hombre y mujer Conjunto de acciones: Solo hay una jugada, por lo que sólo se plantean acciones para esa jugada A H =  fútbol, teatro  A M =  fútbol, teatro  Conjunto de estrategias S H =  fútbol, teatro  S M =  fútbol, teatro  Información : Imperfecta se trata de un juego simultáneo, donde se desconoce lo que hace el otro jugador. Pagos:  H (S F H ,S F M )=6;  H (S T H ,S F M )=4;  H (S F H ,S T M )=0;  H (S T H ,S T M )=10;  M (S F H ,S F M )=10;  M (S T DO ,S F T )=4;  M (S F H ,S T M )=0;  M (S T H ,S T M )=10;

7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash. La batalla de los sexos MUJER FÚTBOL TEATRO HOMBRE TEATRO FUTBOL (6, 10) (10, 6) (0, 0) (4, 4) (10,6) (6,10)

MUJER FÚTBOL TEATRO HOMBRE TEATRO FUTBOL (6, 10) (10, 12) 7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash. La batalla de los sexos (0, 0) (4, 4) (10,12) (6,10)

MUJER FÚTBOL TEATRO HOMBRE TEATRO FUTBOL (12, 10) (10, 6) 7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash. La batalla de los sexos (0, 0) (4, 4) (12,10) (10,6)

MUJER FÚTBOL TEATRO HOMBRE TEATRO FUTBOL (12, 10) (10, 6) (12,10) 7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash. La batalla de los sexos (11, 0) (4, 4)

MUJER FÚTBOL TEATRO HOMBRE TEATRO FUTBOL (12, 10) (10, 6) (10,6) 7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash. La batalla de los sexos (0, 11) (4, 4)

7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash. Existencia de múltiples equilibrios. No todos los juegos simultáneos poseen un único equilibrio de Nash, sino que en muchos casos existirá más de uno. Ejemplo: Una de las carencias del concepto del equilibrio de Nash es que cuando existen múltiples equilibrios no nos dice nada respecto de que equilibrio debiera ser alcanzado. En la literatura se han discutido algunas razones de por qué uno de esos equilibrios podría ser elegido: a) Existencia de un punto focal al que converjan los diversos jugadores. b) Comunicación antes del juego. c) Razones relacionadas con el aprendizaje y evolución. 40,40 50,00 Bajo 00,50 60,60 Alto Derecha Izquierda E1 / E2

7.4. Condiciones de equilibrio. Equilibrio de Nash TODOS LOS EQUILIBRIOS EN ESTRATEGIAS DOMINANTES SON, A SU VEZ, EQUILIBRIOS DE NASH PERO, NO TODOS LOS EQUILIBRIOS DE NASH SON EQUILIBRIOS EN ESTRATEGIAS DOMINANTES Un equilibrio de Nash nunca incluirá estrategias dominadas ya que éstas nunca pueden ser por definición mejor respuestas a nada que haga el otro jugador 16,6 10,15 S 35,5 20,10 P S P A / B 24,3 8,10 S 18,0 12,6 P S P A / B

7.4. Condiciones de equilibrio. Equilibrio de Nash 6,6 3,5 3,5 B 5,3 0,4 4,0 M 5,3 4,0 0,4 A D C I E1 / E2

En caso de que un juego presente como solución más de un equilibrio nos interesará poder determinar una solución única para cada juego. PUNTO FOCAL (Schelling) aquel equilibrio que, por razones psicológicas, es particularmente más importante. ¿Cómo/ por qué una combinación de estrategias es punto focal?  SOLUCIÓN DE LOS JUEGOS MEDIANTE ESTRATEGIAS DOMINADAS 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples.

Estrategia dominada (dominancia estricta o fuerte) Una estrategia s i ** es una estrategia dominada si existe otra respuesta mejor que el jugador i puede ofrecer a cualquier estrategia elegida por los demás. Los resultados que el jugador obtiene con s i ** nunca son mejores que los que obtendrían con cualquier otra s i ´ y son peores en algún caso. Los jugadores que se comportan racionalmente no van a usar nunca una estrategia dominada , por tanto, se puede eliminar la estrategia dominada de su conjunto de estrategias. De esta manera se puede reducir el juego. Ejemplo : 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Estrategias dominadas 8,3 2,6 3,5 Z 6,1 7,2 4,4 Y 0,3 1,0 2,2 X C B A 1/2

Estrategia débilmente dominada, en la que no se requiere un pago estrictamente mayor. A diferencia de lo que ocurre con las estrategias fuertemente dominadas, las que son débilmente dominadas puede formar parte de un equilibrio de Nash. 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Estrategias dominadas 0,2 0,0 B 0,1 1,0 A b a 1/2

Ejemplo Jugadores: I y II Conjunto de acciones: Solo hay una jugada, por lo que sólo se plantean acciones para esa jugada A I =  a 1 I , a 2 I  A II =  a 1 II , i a 2 II  Conjunto de estrategias S H =  s 1 I , s 2 I  S M =  s 1 II , i s 2 II  Información : Imperfecta se trata de un juego simultáneo, donde se desconoce lo que hace el otro jugador. Pagos:  I (S 1 I ,S 1 II )=4;  I (S 2 I ,S 1 II )=0;  I (S 1 I ,S 2 II )=4;  I (S 2 I ,S 2 II )=6;  II (S 1 I ,S 1 II )=4;  II (S 2 I ,S 1 II )=1;  II (S 1 I ,S 2 II )=4;  I (S 2 I ,S 2 II )=3; 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Solución de juegos mediante la eliminación de estrategias dominadas

JUGADOR II s 1 II s 2 II JUGADOR I s 2 I s 1 I (4, 4) (4, 4) (0, 1) (6, 3) 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Solución de juegos mediante estrategias dominadas (6,3) (4,4) (6,3) (4, 4)

La estrategia 1 para el jugador 2 es débilmente dominada Con la estrategia 2 el jugador 2 o gana 4 o gana 3. Con la estrategia 1 el jugador 2 o gana 4 o gana 1. Si el jugador 2 se comporta racionalmente elegirá la estrategia 2. Si el jugador 1 considera que el jugador 2 se va a comportar racionalmente y el se comporta racionalmente entre ganar 4 o ganar 6 elegirá ganar 6. 7.4. Concepto de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Solución de juegos mediante la eliminación de estrategias dominadas

En este caso, el jugador 1 no posee una estrategia dominante ya que la estrategia “Alto” es mejor para el si el jugador 2 juega “Izquierda”, mientras que la estrategia “Medio” será mejor si el jugador 2 juega la estrategia “Derecha”. Sin embargo, el jugador 1 si posee una estrategia dominada, que corresponde con la estrategia “Bajo”, dado que esta no será nunca la estrategia jugada por él. Después, resulta que la estrategia “Izquierda” es dominada por la estrategia “Derecha” para el jugador 2, por lo que éste no la seleccionará. En el último juego el único jugador que puede elegir la estrategia es el 1, por lo que elegirá “Medio” que corresponde a la estrategia que maximiza su bienestar. 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Solución de juegos por eliminación de estrategias dominadas -3,2 -3,5 Bajo 2,2 -2,1 Medio -2,1 2,-1 Alto Derecha Izquierda E1/E2

1 2 Un subjuego es cualquier parte de un juego que puede construir un juego independiente (tiene un nudo inicial en que están presentes todos los conjuntos de información para jugar el subjuego). Ningún juego en el cual los jugadores actúan simultáneamente y sólo tiene una vez tiene más juegos que el mismo . 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Equilibrios en subjuegos 1 2 Entrar Quedarse Fuera Aplastar Acomodarse (0,0) (2,2) (1,5) (0,0) Entrar Quedarse Fuera Aplastar Aplastar Acomodarse Acomodarse (2,2) (1,5) (1,5) Todo juego con información perfecta tiene subjuegos (parte de un juego que queda por jugar en un momento dado del juego).

7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Equilibrios en subjuegos

El jugar primero permite a este jugador incorporar la información de lo que hará el segundo jugador, y puede generar que en algunos casos que el resultado del juego se modifique a su favor. Amenazas: (1) no creíble, si es un equilibrio de Nash, sino es una mejor respuesta y nunca la usará el jugador como castigo, (2) creíble, sólo si se puede hacer cumplir. Como ejemplo de amenaza que no resulta creíble , consideremos el siguiente juego de dos tiradas. Primero, el jugador 1 escoge entre dar 1.000 € al jugador 2 o no darle nada. El segundo lugar el jugador 2 amenaza con estallar una granada a no ser que el jugador 1 le pague 1.000 €. Si el jugador 1 cree que puede cumplir la amenaza, su mejor respuesta será pagar 1.000 €. Pero, el jugador 1 no debería creerse semejante amenza: si al jugador 2 se le diera la oportunidad de ejecutar dicha amenaza, escogería no hacerlo. Por tanto, el jugador 1 no debería pagar nada al jugador 2. 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Amenazas creíbles

7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Equilibrios perfectos en subjuegos. Ejemplo. El sábado por la tarde el jugador I (el niño mal criado) quiere ir al cine. Sin embargo, el jugador II (sus padres) han decidido que deben ir a visitar a su tía. El jugador I (el niño) inicia el juego, puede optar por ir a casa de su tía (opción 1) o puede negarse a hacerlo (opción 2). Si el jugador I decide la opción 1 (ir a casa de su tía), el juego termina ahí y cada jugador obtiene un pago de 1. Si el jugador I (el niños) decide la opción 2, el juego continúa y queda en manos del jugador II (los padres). El jugador II pueden decidir entre castigar al jugador 1 y dejarlo en casa (opción 1) o ir al cine (opción 2). Si elige la opción 1 ambos jugadores obtienen un pago de -1; y si eligen la opción 2 el jugador I obtiene un pago de 2 y el jugador II uno de 0.

Ejemplo Jugadores: I y II Conjunto de acciones: Solo hay una jugada, por lo que sólo se plantean acciones para esa jugada A I =  ir, negarse  A II =  castigo, i cine  Conjunto de estrategias S H =  ir I , negarse  S M =  castigo, i cine  Información : Se trata de un juego secuencial donde el jugado II conoce lo que decide el otro jugador Pagos:  I (S 1 I ,S 1 II )=1;  I (S 2 I ,S 1 II )=-1;  I (S 1 I ,S 2 II )=1;  I (S 2 I ,S 2 II )=2;  II (S 1 I ,S 1 II )=1;  II (S 2 I ,S 1 II )=-1;  II (S 1 I ,S 2 II )=1;  I (S 2 I ,S 2 II )=0; 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Equilibrios perfectos en subjuegos

(1, 1) (1, 1) (-1, -1) (2, 0) JUGADOR II PADRES s 1 II s 2 II JUGADOR I NIÑO s 2 I s 1 I 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Equilibrios en subjuegos (2,0) (1,1)

( 1 ,1) (- 1 ,-1) ( 2 ,0) (2,0) El equilibrio obtenido es un equilibrio perfecto en los subjuegos debido a que las acciones establecidas por esta estrategia en cualquier subjuego, constituyen un equilibrio de Nash en dicho subjuego. 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Equilibrios en subjuegos Padres Castigo Cine Niño Ir Negarse

7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Inducción hacia atrás. Ejemplo J 1 (1) J 2 (2) J 2 (3) J 1 (4) J 1 (5) ( 3 ,3) ( 7 ,1) ( 5 ,0) ( 4 ,4) ( 2 ,1) ( 4 ,4)

7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Juegos secuenciales con información completa Considérese una empresa establecida (I) que debe elegir si expandir o no su actividad; el entrante (E), una vez que ha observado la capacidad del establecido, debe decidir si entra o no en el mercado, y el establecido, una vez que ha observado la decisión del entrante, y por supuesto la capacidad producida por él, debe analizar si “acomodarse” o “pelear”. Es un juego dinámico de información completa que consta de las siguiente tres etapas: Etapa 1 . El establecido debe decidir si expandir o no su capacidad. Etapa 2 . Una vez que ha observado si el establecido expandió o no su capacidad, el entrante debe decidir si entra o no en el mercado. Etapa 3 . Habiendo decidido acerca de su expansión de capacidad y observando si el entrante entró o no, el establecido debe decidir si ser agresivo o no, donde una mayor agresividad puede estar asociada, por ejemplo, a menores precios, mayor publicidad, a una mayor capacidad.

7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Juegos secuenciales con información completa I 1 E 1 E 1 I 2 I 2 expandir no expandir entra no entra 0,8 entra no entra 0,10 3,4 -2,5 2,6 -1,2 se acomoda se acomoda pelea pelea

En algunos juegos (de rara ocurrencia), no existe un equilibrio de Nash. Ejemplo: 7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin equilibrios en estrategias puras Aunque este juego no tiene un equilibrio de Nash en estrategias puras, si tiene un equilibrio de Nash en “estrategias mixtas”, que consisten en elegir como acciones a un subconjunto de estrategias disponibles con cierta probabilidad (considerando que la suma de probabilidades se igual a 1). TEOREMA DE NASH -1,3 1,0 Bajo 0,-1 0,0 Alto Derecha Izquierda E1/E2

No todos los juegos presentan equilibrios de Nash en estrategias puras, lo que no quiere decir que no existan. Ejemplo Jugadores: I y II Conjunto de acciones: Hay dos jugadas. En la primera, uno de los jugadores elige apostar a que ambos centavos saldrán por la misma cara y el otro se quedará con la opción de caras diferentes A I (t 1 )=  a 1 I =iguales, a 2 I = diferentes  A II =  a 1 II =iguales, a 2 II = diferentes  A I (t 2 )=  a 1 I =cara, a 2 I = cruz  A II =  a 1 II =cara, a 2 II = cruz  Conjunto de estrategias (sólo consideramos la segunda etapa del juego) S H =  s 1 I =cara, s 2 I =cruz  S M =  s 1 II =cara, s 2 II =cruz  Información : Imperfecta se trata de un juego simultáneo, donde se desconoce lo que hace el otro jugador. Pagos:  I (S 1 I ,S 1 II )=1;  I (S 2 I ,S 1 II )=-1;  I (S 1 I ,S 2 II )=-1;  I (S 2 I ,S 2 II )=1;  II (S 1 I ,S 1 II )=-1;  II (S 2 I ,S 1 II )=1;  II (S 1 I ,S 2 II )=1;  I (S 2 I ,S 2 II )=-1; 7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin equilibrios en estrategias puras

(1,- 1) (-1, 1) (-1, 1) (1, -1) JUGADOR II s 1 II :cara s 2 II :cruz JUGADOR I s 2 I :cruz s 1 I :cara 7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin equilibrios en estrategias puras

7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin equilibrios en estrategias puras Hay una forma de encontrar solución  ESTRATEGIA MIXTA ESTRATEGIA CONTINUA Ahora la definición de estrategia va a recoger no la elección de la acción sino la probabilidad con la que se va a elegir la acción.// El conjunto de estrategias disponibles para cada individuo es un continuo que va desde elegir una acción con probabilidad 0 a elegirla con probabilidad 1. En nuestro juego S I = { s 1 I :P(cara)=0; s 2 I : P(cara)=0,01; ...; s  I : P(cara)= 1} S II = { s 1 II :P(cara)=0; s 2 II : P(cara)=0,01;...; s  II : P(cara)= 1}

7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin equilibrios en estrategias puras En nuestro juego S I = { s 1 I :P(cara)=0; s 2 I : P(cara)=0,01; ...; s  I : P(cara)= 1} S II = { s 1 II :P(cara)=0; s 2 II : P(cara)=0,01;...; s  II : P(cara)= 1} E[  I ] = 1  P I (cara)  P II (cara) + 1  P I (cruz)  P II (cruz) – 1  P I (cara)  P II (cruz) – 1  P I (cruz)  P II (cara) = 1  P I (cara)  P II (cara) + 1  [1 – P I (cara) ]  [1- P II (cara)] – 1  P I (cara)  [1-P II (cara)] – 1  [1-P I (cara)]  P II (cara) = como el problema es simétrico, ambos elegirán la misma estrategia, P I (cara)=P II (cara)=P(cara) = 1  P(cara)  P(cara) + 1  [1-P(cara)]  [1-P(cara)] – 1  P(cara)  [1-P(cara)] – 1  [1-P(cara)]  P(cara) =1 + 4  [P(cara)] 2 – 4  P(cara) = E[  II ]

7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin equilibrios en estrategias puras Resultado: La estrategia mi x ta que desarrollará ambos jugadores será jugar cara con probabilidad 1/2. La combinación de estrategias S = { sI: P(cara)=1/2 ; sII: P(cara)=1/2 } es un equilibrio de Nash en estrategias mixtas. Además es el único equilibrio de Nash. Los pagos que obtendrán estos jugadores serán E[  I] = E[  II] =0.

7.5. Juegos Repetidos Horizontes Finitos Horizontes Infinitos

7.5. Juegos Repetidos Aquel en el que un grupo de jugadores participa repetidamente en el mismo juego . JUEGOS REPETIDOS Con horizontes finitos JUEGOS REPETIDOS Con horizontes infinitos

7.5. Juegos repetidos Una complicación adicional de la teoría de juegos surge cuando tenemos la posibilidad de repetir el juego una y otra vez. Las empresas pueden cambiar de estrategia en futuras decisiones, a la vista de lo que han hecho sus competidoras. Ejemplo de guerra de precios entre empresas 1) Juego repetido indefinidamente : estabilidad en precios altos 2) Juego repetido un determinado número de veces A) Estrategia “ojo por ojo”: los precios se mantendrán siempre bajos B) Estrategia “racionalidad limitada”: estabilidad en los primeros periodos 50,50 -50,100 Precio alto 100,-50 10,10 Precio bajo Precio alto Precio bajo A / B

SUPUESTOS 1. ¿Qué es un juego en forma normal? 2. ¿Qué es una estrategia estrictamente dominada en un juego en forma normal? 3. ¿Qué es un equilibrio de Nash con estrategias puras en un juego en forma normal?

BIBLIOGRAFÍA TARIJAN, J. y PAREDES, R. (2001): Organización industrial para la estrategia empresarial . Pearson: Buenos Aires . RASMUSEN, E. (1996): Juegos e información: una introducción a la teoría de juegos. Fondo de cultura económica : México . GIBBONS, R. (1993): Un primer curso de teoría de juegos. Antoni Bosh: Barcelona . TIROLE, R. (1990): La teoría de la organización industrial. Ariel: Barcelona .

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