Este documento presenta una introducción a la teoría de juegos. Explica los conceptos y elementos clave de los juegos, incluyendo jugadores, acciones, información, estrategias y pagos. También describe las representaciones de los juegos en forma normal y extensiva, y diferentes tipos de juegos según las estrategias y comunicación entre jugadores. Por último, introduce varias condiciones de equilibrio clave como el equilibrio de estrategias dominantes y el equilibrio de Nash.

1. 1
DIRECCIÓN Y GESTIÓN
DE EMPRESAS
curso 2006/2007
TEMA 7
TOMA DE DECISIONES:
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE
JUEGOS
Alfonso J. Gil López

2. 2
ESQUEMA DE CONTENIDOS
7.1. Concepto y elementos del juego.
7.2. Representación de los juegos.
7.2.1. Forma normal.
7.2.2. Forma extensiva.
7.3.Tipología de juegos.
7.3.1.Tipos de juegos según estratégicas.
7.3.2. Tipos de juegos y comunicación
7.4. Condiciones de equilibrio.
7.4.1.Equilibrio de estrategias dominantes.
7.4.2. Equilibrio de Nash
7.4.3. Juegos con soluciones múltiples
7.4.4. Juegos sin equilibrios en estrategias puras
7.5. Juegos repetidos.
7.5.1. Juegos repetidos con horizontes finitos.
7.5.1. Juegos repetidos con horizontes infinitos.

3. 3
7.1. Concepto y elementos del juego
Teoría de
juegos
Concepto de
juegos
Elementos de
juegos
1. Jugadores
2. Acción
3. Información
4. Estrategia
5. Pagos
6. Equilibrio
7. Resultados

4. 4
7.1. Concepto de juego. La teoría de juegos
La teoría de juegos o teoría de las decisiones interactivas es el
estudio del comportamiento estratégico cuando dos o más
individuos interactúan y cada decisión individual resulta de lo que él
(o ella) espera que los otros hagan. Es decir, que debemos esperar
que suceda a partir de las interacciones entre los individuos.
Características:
•Se ocupa del estudio formal de aquellas situaciones en las que un
agente toma una decisión, consciente de que tendrá consecuencias
para otros agentes.
•Es una extensión de la teoría de la decisión. En ésta el resultado de
un agente depende de su propio comportamiento (racional) y de la
situación de la naturaleza (aleatoria).
INTERACCIÓN ECONOMÍA-TEORÍA DE JUEGOS

5. 5
7.1. Concepto de juego
Juego: Es un proceso en el que interactúan varios agentes,
sujetándose a unas reglas, con un resultado bien definido,
caracterizado por la interpendencia estratégica.
Reglas: Límites a los jugadores.
Resultado: Vencedores-Vencidos.
Estrategia: Toma de decisiones.
Interdependencia estratégica (interdependencia de decisiones): El
resultado depende de las decisiones adoptadas por todos los
jugadores.
“Modelo de telaraña” (volatilidad de los precios agrícolas)
Características:
1. Existe interdependencia entre las decisiones de los agentes.
2. Existe conflicto entre los agentes: el aumento de la utilidad de
uno supone la disminución del otro u otros.

6. 6
7.1. Elementos de un juego
Para que un juego o situación estratégica esté completamente
definido, deben estar definidos los siguientes aspectos:
1. Jugadores
2. Acción o movimiento
3. Conjunto de información
Perfecta o imperfecta
Completa o incompleta
Simétrica o asimétrica
Con certeza con incertidumbre
4. Estrategia
5. Pagos
6. Equilibrio
7. Resultados

7. 7
7.1. Elementos de un juego
1. Jugadores
Debe haber dos o más jugadores (empresas) para que puedan
interactuar. Tipos:
Agentes “racionales” con capacidad para la toma de decisiones
(sus preferencias se pueden presentar por una función de utilidad).
Naturaleza. El jugador no persigue ninguna meta en particular
(toma decisiones de forma aleatoria).
2. Acción o movimiento
Es una decisión o elección del jugador (la decisión del jugador i se
representa por ai).
3. Conjunto de información.
Debe especificarse lo que sabe cada jugador. Es el conocimiento
de un jugador sobre el juego y sus características.
(el conjunto de información cambia con el tiempo)

8. 8
7.1. Elementos de un juego. Tipos de información
Información perfecta e imperfecta
Perfecta: juegos en los que la historia pasada del juego es de dominio público, y no
hay decisiones simultáneas.
Imperfecta: cuando un jugador no conoce lo que otros jugadores han hecho
previamente.
Información completa e incompleta
Completa: juegos en los que los pago de todos los jugadores son información de
dominio público
Incompleta: cuando un jugador no conoce las características de sus rivales (sus
preferencias, sus estrategias…).
Información simétrica o asimétrica
Simétrica: cuando el conjunto de información contiene los mismos elementos para
todos y cada uno de los jugadores.
Información con certeza y con incertidumbre
Certeza: la naturaleza no interviene después de los jugadores.
Incertidumbre: los pagos del jugador son inciertos. Los jugadores tratan de
maximizar su utilidad esperada.

9. 9
7.1. Elementos de un juego
4. Estrategia
Deben estar definidos los movimientos (acciones) posibles de ser
realizados por cada jugador y su secuencialidad o simultaneidad.
Se trata de la Regla que señala que acción debe adoptarse en
cada instante del juego, dado el conjunto de información (si).
Cada jugador si ∈ Si = {s (1)i, s (2)i, ...,s (m)i} m = nº de estrategias factibles
S = {s1, s2, ...,sn} n = número de jugadores
5. Pagos
Debe existir un pago determinado. Indica la utilidad que alcanza el
jugador, una vez que la naturaleza y el resto de los jugadores han
seleccionado sus acciones y se ha desarrollado el juego.

10. 10
7.1. Elementos de un juego
6. Equilibrio
Propiedad de la solución expresada en términos de las estrategias
seguidas por cada jugador. Nociones de equilibrio básicas:
* Equilibrio de Estrategias Dominantes
* Equilibrio de Nash
* Equilibrio de Estrategias Dominadas
7. Resultados
Deben conocerse los resultados que obtendrá cada uno de los
jugadores por cada posible conjunto de acciones que se sigan. Es
el conjunto de elementos del juego que el analista selecciona una
vez que el juego se ha disputado, para resumirlo o describir lo que
ocurrirá.

11. 11
7.2. Representación de juegos
Forma-Interdependencia
Tipos de juegos
Forma
normal
Forma
extensiva
Simultáneo Sucesivo Simultáneo Sucesivo

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7.2. Representación de los juegos.
El juego expresado en forma normal: Consiste en especificar a cada
jugador sus espacios de estrategias y sus funciones de pagos. Se
representa: (1) los jugadores en el juego, (2) las estrategias de que dispone
cada jugador y (3) la ganancia de cada jugador en cada combinación
posible de estrategias. Es conveniente para juegos simultáneos.
El juego expresado en forma extensiva centra la atención en la secuencia
temporal. Se especifica el orden del juego y las alternativas disponibles
para cada jugador. Se representa: (1) los jugadores, (2a) cuando tiene que
jugar cada jugador, (2b) lo que cada jugador puede hacer cada vez que
tiene la oportunidad de jugar, (2c) lo que cada jugador sabe cada vez que
tiene la oportunidad de jugar y (3) la ganancia recibida por cada jugador
para cada combinación posible de jugadas.

13. 13
7.2. Representación de los juegos. Tipos de
interdependencia entre las decisiones de empresas
La interdependencia estratégica entre empresas puede darse en forma
simultánea o secuencial, existiendo situaciones en las que pueden estar
presentes ambos tipos de interdependencia.
La interacción es simultánea cuando las empresas deben tomar sus
decisiones al mismo tiempo y secuencial cuando una la toma antes que la
otra.
Un ejemplo de juego simultáneo es el envío de animales a la feria para su venta.
En la interacción secuencial las empresas toman sus decisiones y realizan
sus acciones de forma sucesiva. En este caso y con el objetivo de
determinar su mejor acción, cada empresa o jugador espera su turno y toma
su decisión analizando la acción previamente tomada por la otra.
Algunos ejemplos de decisiones de negocios que pueden clasificarse como juego
secuencial son los de entrada de una empresa en una industria cuando esta
decisión es tomada una vez que otras empresas ya se encuentran en el mercado y
de aumento de la capacidad habiendo ya observado la capacidad de sus rivales.
En las situaciones reales los competidores toman decisiones secuenciales y simultáneas.
Por ejemplo, cuando una empresa analiza la situación de entrada en un mercado lo hace de
forma secuencial, pero la decisión del precio a cobrar es simultánea a sus competidores.

14. 14
7.2. Representación de los juegos. Ejemplo
Dos empresas A y B fabricantes de vídeos deben decidir si fabrican
un vídeo compatible o incompatible con la televisión digital. Si las
dos empresas toman su decisión simultáneamente los conjuntos o
espacios de estrategias para ambas serán.
SA = {compatible, incompatible} SB = {compatible, incompatible}
En cuanto a los pagos que obtendrán ambas, serán: si las dos
fabrican el vídeo compatible ganarán 2 cada una, si fabrican el vídeo
incompatible ganarán 3 cada una, si una fabrica compatible y la otra
no, la que fabrique el video compatible ganará 4 y la otra 1.

15. 15
EMPRESA B
COMPATIBLE NO COMPATIBLE
EMPRESAA
NOCOMPATIBLECOMPATIBLE
(2,2) (4,1)
(1,4) (3,3)
7.2. Representación de los juegos. Forma normal.
Juego simultáneo

16. 16
EMPRESA B
SIEMPRE C LO CONTRARIO LO MISMO SIEMPRE N.C
EMPRESAA
NOCOMPATIBLECOMPATIBLE
(4,1)(2,2) (2,2)
(1,4)(1,4) (3,3)
(4,1)
(3,3)
7.2. Representación de los juegos. Forma normal.
Juego secuencial

17. 17
A
Compatible
No Compatible
B
Compatible
No Compatible
B
Compatible
No Compatible
(2,2)
(4,1)
(1,4)
(3,3)
7.2. Representación de los juegos. Forma extensiva.
Juego secuencial

18. 18
7.2. Representación de los juegos. Forma
secuencial. Ejemplo.
Supongamos que un entrante potencial E está analizando ingresar en un mercado
que actualmente está monopolizado por una empresa preestablecida I. E sabe que I
puede reaccionar de una de las dos maneras posibles si entra en el mercado. Por
una parte, I puede acomodarse a la entrada, dejándole una parte del mercado al
entrante sin afrontar una guerra de precios, de publicidad o de otra característica, o
bien puede reaccionar agresivamente a la entrada, comenzando una guerra de
precios o una acción similar. A la primera acción posible la llamamos A (por
“acomodarse”) mientras que a la segunda opción la denominamos P (por “pelear”).
Supongamos que los análisis de mercado disponibles arrojan las siguientes
utilidades proyectadas para estas dos empresas para cada uno de los posibles
escenarios. Si E no entra, ésta obtendrá una utilidad de O mientras I obtendrá una
utilidad de 12 millones de €. Por otra parte, si E entra, ésta obtendrá un beneficio de 6
millones de € si es que I se acomoda y una pérdida de 9 millones de € si es que I
decide pelear. Por último, I obtendrá un beneficio de 10 millones de € si es que se
acomonda a la entrada de E y de 3 millones de € si es que decide pelear.

19. 19
A
Compatible
No Compatible
(2,2)
(4,1)
(1,4)
(3,3)
B
Compatible
No Compatible
B
Compatible
No Compatible
7.2. Representación de los juegos. Forma extensiva.
Juego simultáneo

20. 20
7.3. Tipos de juegos
1. Estrategias 2. Comunicación
Acuerdos
Discretas
Continuas
CorrelacionadasPuras
Mixtas
Juegos
Cooperativos
Juegos
Competitivos
Autovinculantes Obligados

21. 21
7.3. Tipologías de juegos. (1) Tipos de juegos según
estrategias
1.A. Estrategias puras: el jugador elige sus acciones con certeza
1.B. Estrategias mixtas: el jugador elige sus acciones de acuerdo
con una determinada distribución de probabilidad
2.A. Estrategias discretas: existe un número finito de acciones
2.B. Estrategias continuas: existe un número infinito de acciones
3. Estrategias correlacionas: se decide aleatoriamente que
jugador es el primero que va a tomar la decisión y el otro u otros se
adaptan a esa decisión

22. 22
7.3. Tipologías de juegos. (2) Tipos de juegos y
comunicación
En ocasiones los jugadores pueden estar interesados en modificar
sus respectivos conjuntos de información mediante la comunicación
y el intercambio de información.
Juegos con comunicación
No toda información puede modificar la solución.
Información observable: conocida sólo por los participantes
Información verificable: observable por alguien ajeno (juez
que reclama en caso de incumplimiento)
acuerdos
Juegos sin comunicación

23. 23
7.3. Tipologías de juegos. (2) Acuerdos a que da
lugar la comunicación
1. Acuerdos autovinculantes: cada jugador cumple el acuerdo
porque es más racional para sí mismos, siempre que los demás lo
cumplan.
2. Acuerdos vinculantes a la fuerza: cada jugador cumple por
temor a que el incumplimiento implique sanción.
* Acuerdos completos: las decisiones están totalmente predeterminadas.
* Acuerdos incompletos: algunas decisiones importantes no están
predeterminadas, dependen de las contingencias que no es posible prever.
Se recurre:
1. Negociación
2. Arbitraje (juez)
3. Autoridad (jugador)

24. 24
7.3. Tipologías de juegos. (2) Acuerdos a que da
lugar la comunicación
IMPORTANTE DISTINCIÓN EN TEORÍA DE JUEGOS
3. Juegos cooperativos: existe comunicación previa a la toma de
decisiones mediante la cual la transmisión de información verificable
permite llegar a acuerdos vinculantes. En estos juegos el resultado
se obtiene a partir de los procesos de negociación antes de los
pagos.
4. Juegos competitivos (no cooperativos): juegos donde no es
posible llegar a acuerdos vinculantes, bien porque no hay
información, bien porque no es verificable. En estos juegos el
resultado se obtiene a partir de la interacción estratégica.

25. 25
7.4. Condiciones de equilibrio
Estrategias
dominantes
Equilibrio de
Nash
Juegos con
soluciones
múltiples
Juegos sin
equilibrios
en estrategias
puras
Estrategias
dominadas
Equilibrios
en subjuegos
Solución
“hacia atrás”
SOLUCIONES

26. 26
7.4. Condiciones de equilibrio. (1) Equilibrio de
Estrategias Dominantes
Estrategia dominante
si
*
es estrategia dominante si es la mejor respuesta que el jugador i puede
ofrecer a cualquier estrategia elegida por los demás.
Equilibrio en estrategias dominantes
Combinación de estrategias S = (s1
*
, s2
*
,..., sn
*
) formada por la estrategia
dominante de cada jugador.

27. 27
7.4. Condiciones de equilibrio. (1) Equilibrio de
Estrategias Dominantes. El dilema del prisionero
(juegos no cooperativos)
Dos individuos (Director de Orquesta y Tchaivkosky) son detenidos por robo. En la cárcel, los detectives les
interrogan por separado y les hacen ofertas. El fiscal tiene suficientes pruebas para condenar a uno a 2 años y al
otro a 3 años y si ninguno confiesa esa será la pena que se les impone. Pero si es uno el que únicamente confiesa
aunque el delito supone 25 años de prisión se le condenará a 1 año. Si los dos confiesan ambos recibirán una
condena de 10 años.
Ejemplo Dilema del prisionero
Jugadores: Director de Orquesta y Tchaivkosky
Conjunto de acciones: Solo hay una jugada, por lo que sólo se plantean acciones para esa
jugada
ADO = {confesar, no confesar} AT= {confesar, no confesar}
Conjunto de estrategias
SDO = {confesar, no confesar} ST= {confesar, no confesar}
Información: Imperfecta se trata de un juego simultáneo, donde se desconoce lo que hace
el otro jugador.
Pagos: ∏DO (SNC
DO,SNC
T)=2; ∏DO (SC
DO,SNC
T)=1; ∏DO (SNC
DO,SC
T)=25; ∏DO (SC
DO,SC
T)=10;
∏T (SNC
DO,SNC
T)=3; ∏T (SC
DO,SNC
T)=25; ∏T (SNC
DO,SC
T)=1; ∏T (SC
DO,SC
T)=10;

28. 28
TCHAIVKOSKY
NO CONFESAR CONFESAR
DIRECTORDEORQUESTA
CONFESARNOCONFESAR
(2,3) (25,1)
(1,25) (10,10)(10,10)
7.4. Condiciones de equilibrio. (1) Equilibrio de
Estrategias Dominantes. El dilema del prisionero

29. 29
7.4. Condiciones de equilibrio. (1) Equilibrio de
Estrategias Dominantes (juegos no cooperativos).
Supongamos que en un mercado en el que existen dos empresas que determinan sus precios
simultáneamente, y el siguiente esquema de pagos: si ambas empresas se pusieran de acuerdo y
cooperaran entre sí cobrando un precio de 10 euros, las utilidades de cada una de ellas serían
iguales a 100 euros. Por su parte, si ambas empresas compitieran, el precio sería de 6 euros y
cada empresa obtendría utilidades de 72 euros. Si una de las empresas cooperara cobrando 10
euros y la otra no cooperara y cobrara 6 euros, la que cobra 10 euros obtendría utilidades de 40
euros mientras que la que cobra 6 euros, producto de una mayor participación en el mercado,
obtendría utilidades por 120 euros.
Este ejemplo explica la formación de carteles que tienen como objetivo fundamental lograr un
resultado similar al del monopolio, lo que requiere incentivar que los participantes cooperen.
Pertenece a la familia de los juegos denominados “dilema del prisionero”. Ejemplos:
1. Carrera armamentística
2. Ahorro de energía
3. Esfuerzo personal

30. 30
7.4. Condiciones de equilibrio. (1) Estrategias
dominantes. Ejemplo.
La estrategia “Medio” para la empresa 1 es dominante, es decir para cada
posible estrategia de la empresa 2, la empresa 1 estará siempre mejor si
selecciona la estrategia “Medio”. Por otra parte la estrategia “Regular” es una
estrategia dominante para la empresa 2 ya que, se cual fuere la estrategia de
la empresa 1, si pago es siempre mayor si selecciona regular.
E1 / E2 Bueno Regular Malo
Alto 3,3 0,4 2,3
Medio 4,0 2,2 3,1
Bajo 2,1 1,2 2,0

31. 31
7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash
La mayoría de juegos no tiene un equilibrio en estrategias dominantes.
Equilibrio de Nash: Una combinación de estrategias S = (s1
*
, s2
*
,..., s n
*
) es un
equilibrio de Nash si ningún jugador tiene incentivos para desviarse de su
estrategia mientras los demás tampoco lo hagan.
Un conjunto de estrategias representa un equilibrio de Nash si la estrategia elegida por
cada jugador es su mejor respuesta a su creencia de lo que serán las estrategias
seguidas por sus rivales y esta creencia es correcta, es decir, la estrategia
verdaderamente seguida por los rivales es la que se creía iban a seleccionar.
Un equilibrio de Nash de un juego es un acuerdo en que ninguna de la partes puede
romper a discreción sin perder. Ejemplo:
A / B Anunciar No Anunciar
Anunciar 7,5 5,4
No Anunciar 6,4 6,3

32. 32
7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash.
Ejemplo.
Se representa un juego simultáneo en el que participan las empresas 1 y 2, cada
una con tres alternativas, A, M y B para la empresa 1; e, i y d para la empresa 2.
En este juego, el único equilibrio de Nash es (M, d).
Un aspecto fundamental es que este equilibrio se alcanza cuando cada
empresa ha seleccionado la estrategia que es óptima para ella dada la
estrategia seleccionada por los rivales.
E1 / E2 i m d
A 4,3 0,4 3,4
M 3,0 3,1 4,2
B 3,4 1,3 4,3

33. 33
7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash.
La batalla de los sexos.
Una pareja tiene que decidir entre ir al teatro o ir al fútbol. Ella (jugador II) quiere ir al fútbol y él
(jugador I) al teatro, pero en cualquier caso ambos quieren ir juntos. Si la primera estrategias para
ambos es ir al teatro y la segunda al fútbol.
Ejemplo
Jugadores: Hombre y mujer
Conjunto de acciones: Solo hay una jugada, por lo que sólo se plantean acciones para esa
jugada
AH = {fútbol, teatro} AM= {fútbol, teatro}
Conjunto de estrategias
SH = {fútbol, teatro} SM= {fútbol, teatro}
Información: Imperfecta se trata de un juego simultáneo, donde se desconoce lo que hace
el otro jugador.
Pagos: ∏H (SF
H,SF
M)=6; ∏H (ST
H,SF
M)=4; ∏H (SF
H,ST
M)=0; ∏H (ST
H,ST
M)=10;
∏M (SF
H,SF
M)=10; ∏M (ST
DO,SF
T)=4; ∏M (SF
H,ST
M)=0; ∏M (ST
H,ST
M)=10;

34. 34
7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de
Nash. La batalla de los sexos
MUJER
FÚTBOL TEATRO
HOMBRE
TEATROFUTBOL
(6,10) (0,0)
(4,4) (10,6)(10,6)
(6,10)

35. 35
MUJER
FÚTBOL TEATRO
HOMBRE
TEATROFUTBOL
(6,10) (0,0)
(4,4) (10,12)(10,12)
(6,10)
7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de
Nash. La batalla de los sexos

36. 36
MUJER
FÚTBOL TEATRO
HOMBRE
TEATROFUTBOL
(12,10) (0,0)
(4,4) (10,6)
(12,10)
(10,6)
7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de
Nash. La batalla de los sexos

37. 37
MUJER
FÚTBOL TEATRO
HOMBRE
TEATROFUTBOL
(12,10) (11,0)
(4,4) (10,6)
(12,10)
7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de
Nash. La batalla de los sexos

38. 38
MUJER
FÚTBOL TEATRO
HOMBRE
TEATROFUTBOL
(12,10) (0,11)
(4,4) (10,6)(10,6)
7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de
Nash. La batalla de los sexos

39. 39
7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash.
Existencia de múltiples equilibrios.
No todos los juegos simultáneos poseen un único equilibrio de Nash, sino
que en muchos casos existirá más de uno. Ejemplo:
E1 / E2 Izquierda Derecha
Alto 60,60 00,50
Bajo 50,00 40,40
Una de las carencias del concepto del equilibrio de Nash es que cuando
existen múltiples equilibrios no nos dice nada respecto de que equilibrio
debiera ser alcanzado. En la literatura se han discutido algunas razones de
por qué uno de esos equilibrios podría ser elegido:
a) Existencia de un punto focal al que converjan los diversos jugadores.
b) Comunicación antes del juego.
c) Razones relacionadas con el aprendizaje y evolución.

40. 40
7.4. Condiciones de equilibrio. Equilibrio de Nash
A / B P S
P 20,10 35,5
S 10,15 16,6
TODOS LOS EQUILIBRIOS EN ESTRATEGIAS DOMINANTES
SON, A SU VEZ, EQUILIBRIOS DE NASH
PERO, NO TODOS LOS EQUILIBRIOS DE NASH SON
EQUILIBRIOS EN ESTRATEGIAS DOMINANTES
Un equilibrio de Nash nunca incluirá estrategias dominadas ya que éstas nunca
pueden ser por definición mejor respuestas a nada que haga el otro jugador
A / B P S
P 12,6 18,0
S 8,10 24,3

41. 41
7.4. Condiciones de equilibrio. Equilibrio de Nash
E1 / E2 I C D
A 0,4 4,0 5,3
M 4,0 0,4 5,3
B 3,5 3,5 6,6

42. 42
En caso de que un juego presente como solución más de un
equilibrio nos interesará poder determinar una solución única para
cada juego.
PUNTO FOCAL (Schelling) aquel equilibrio que, por razones
psicológicas, es particularmente más importante.
¿Cómo/ por qué una combinación de estrategias es punto focal?
↓
SOLUCIÓN DE LOS JUEGOS MEDIANTE ESTRATEGIAS DOMINADAS
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples.

43. 43
Estrategia dominada (dominancia estricta o fuerte)
Una estrategia si
**
es una estrategia dominada si existe otra respuesta mejor que el
jugador i puede ofrecer a cualquier estrategia elegida por los demás. Los resultados que el
jugador obtiene con si
**
nunca son mejores que los que obtendrían con cualquier otra si
´
y
son peores en algún caso. Los jugadores que se comportan racionalmente no van a usar
nunca una estrategia dominada, por tanto, se puede eliminar la estrategia dominada de su
conjunto de estrategias. De esta manera se puede reducir el juego. Ejemplo:
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Estrategias dominadas
1/2 A B C
X 2,2 1,0 0,3
Y 4,4 7,2 6,1
Z 3,5 2,6 8,3

44. 44
Estrategia débilmente dominada, en la que no se requiere un pago
estrictamente mayor. A diferencia de lo que ocurre con las estrategias
fuertemente dominadas, las que son débilmente dominadas puede formar
parte de un equilibrio de Nash.
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Estrategias dominadas
1/2 a b
A 1,0 0,1
B 0,0 0,2

45. 45
Ejemplo
Jugadores: I y II
Conjunto de acciones: Solo hay una jugada, por lo que sólo se plantean acciones para esa
jugada
AI = {a1
I, a2
I} AII= { a1
II,i a2
II}
Conjunto de estrategias
SH = { s1
I, s2
I } SM= { s1
II,i s2
II}
Información: Imperfecta se trata de un juego simultáneo, donde se desconoce lo que hace
el otro jugador.
Pagos: ∏I (S1
I,S1
II)=4; ∏I (S2
I,S1
II)=0; ∏I (S1
I,S2
II)=4; ∏I (S2
I,S2
II)=6;
∏II (S1
I,S1
II)=4; ∏II (S2
I,S1
II)=1; ∏II (S1
I,S2
II)=4; ∏I (S2
I,S2
II)=3;
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Solución de juegos mediante
la eliminación de estrategias dominadas

46. 46
JUGADOR II
s1
II s2
II
JUGADORI
s2
Is1
I
(4,4) (4,4)
(0,1) (6,3)(6,3)
(4,4)
(6,3)
(4,4)
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Solución de juegos mediante
estrategias dominadas

47. 47
La estrategia 1 para el jugador 2 es débilmente dominada
Con la estrategia 2 el jugador 2 o gana 4 o gana 3.
Con la estrategia 1 el jugador 2 o gana 4 o gana 1.
Si el jugador 2 se comporta racionalmente elegirá la estrategia 2.
Si el jugador 1 considera que el jugador 2 se va a comportar
racionalmente y el se comporta racionalmente entre ganar 4 o ganar 6
elegirá ganar 6.
7.4. Concepto de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Solución de juegos mediante
la eliminación de estrategias dominadas

48. 48
En este caso, el jugador 1 no posee una estrategia dominante ya que la estrategia
“Alto” es mejor para el si el jugador 2 juega “Izquierda”, mientras que la estrategia
“Medio” será mejor si el jugador 2 juega la estrategia “Derecha”. Sin embargo, el
jugador 1 si posee una estrategia dominada, que corresponde con la estrategia “Bajo”,
dado que esta no será nunca la estrategia jugada por él. Después, resulta que la
estrategia “Izquierda” es dominada por la estrategia “Derecha” para el jugador 2, por
lo que éste no la seleccionará. En el último juego el único jugador que puede elegir la
estrategia es el 1, por lo que elegirá “Medio” que corresponde a la estrategia que
maximiza su bienestar.
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Solución de juegos por
eliminación de estrategias dominadas
E1/E2 Izquierda Derecha
Alto 2,-1 -2,1
Medio -2,1 2,2
Bajo -3,5 -3,2

49. 49
1 2
Un subjuego es cualquier parte de un juego que puede construir un juego
independiente (tiene un nudo inicial en que están presentes todos los conjuntos de
información para jugar el subjuego). Ningún juego en el cual los jugadores actúan
simultáneamente y sólo tiene una vez tiene más juegos que el mismo.
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Equilibrios en subjuegos
1
2
Entrar
Quedarse
Fuera
Aplastar
Acomodarse
(0,0)
(2,2)
(1,5)
(0,0)
Entrar
Quedarse
Fuera
Aplastar
Aplastar
Acomodarse
Acomodarse
(2,2)
(1,5)
(1,5)Todo juego con información perfecta tiene subjuegos
(parte de un juego que queda por jugar en un momento dado del juego).

50. 50
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Equilibrios en subjuegos

51. 51
El jugar primero permite a este jugador incorporar la información de lo que
hará el segundo jugador, y puede generar que en algunos casos que el
resultado del juego se modifique a su favor. Amenazas: (1) no creíble, si es
un equilibrio de Nash, sino es una mejor respuesta y nunca la usará el
jugador como castigo, (2) creíble, sólo si se puede hacer cumplir.
Como ejemplo de amenaza que no resulta creíble, consideremos el siguiente juego de
dos tiradas. Primero, el jugador 1 escoge entre dar 1.000 € al jugador 2 o no darle nada.
El segundo lugar el jugador 2 amenaza con estallar una granada a no ser que el jugador
1 le pague 1.000 €. Si el jugador 1 cree que puede cumplir la amenaza, su mejor
respuesta será pagar 1.000 €. Pero, el jugador 1 no debería creerse semejante amenza:
si al jugador 2 se le diera la oportunidad de ejecutar dicha amenaza, escogería no
hacerlo. Por tanto, el jugador 1 no debería pagar nada al jugador 2.
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Amenazas creíbles

52. 52
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Equilibrios perfectos en
subjuegos. Ejemplo.
El sábado por la tarde el jugador I (el niño mal criado) quiere ir al cine.
Sin embargo, el jugador II (sus padres) han decidido que deben ir a
visitar a su tía. El jugador I (el niño) inicia el juego, puede optar por ir a
casa de su tía (opción 1) o puede negarse a hacerlo (opción 2). Si el
jugador I decide la opción 1 (ir a casa de su tía), el juego termina ahí y
cada jugador obtiene un pago de 1. Si el jugador I (el niños) decide la
opción 2, el juego continúa y queda en manos del jugador II (los padres).
El jugador II pueden decidir entre castigar al jugador 1 y dejarlo en casa
(opción 1) o ir al cine (opción 2). Si elige la opción 1 ambos jugadores
obtienen un pago de -1; y si eligen la opción 2 el jugador I obtiene un
pago de 2 y el jugador II uno de 0.

53. 53
Ejemplo
Jugadores: I y II
Conjunto de acciones: Solo hay una jugada, por lo que sólo se plantean acciones para esa
jugada
AI = {ir, negarse} AII= { castigo,icine}
Conjunto de estrategias
SH = { irI, negarse } SM= { castigo,i cine}
Información: Se trata de un juego secuencial donde el jugado II conoce lo que decide el
otro jugador
Pagos: ∏I (S1
I,S1
II)=1; ∏I (S2
I,S1
II)=-1; ∏I (S1
I,S2
II)=1; ∏I (S2
I,S2
II)=2;
∏II (S1
I,S1
II)=1; ∏II (S2
I,S1
II)=-1; ∏II (S1
I,S2
II)=1; ∏I (S2
I,S2
II)=0;
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Equilibrios perfectos en
subjuegos

54. 54
(1,1) (1,1)
(-1,-1) (2,0)
JUGADOR II PADRES
s1
II s2
II
JUGADORINIÑO
s2
Is1
I
(2,0)
(1,1)
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Equilibrios en subjuegos

55. 55
Padres
Castigo
Cine
(1,1)
(-1,-1)
(2,0)
Niño
Ir
Negarse
(2,0)
El equilibrio obtenido es un equilibrio perfecto en los subjuegos debido a que
las acciones establecidas por esta estrategia en cualquier subjuego,
constituyen un equilibrio de Nash en dicho subjuego.
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Equilibrios en subjuegos

56. 56
J 1 (1)
J 2 (2)
J 2 (3)
J 1(4)
J 1 (5)
(3,3)
(7,1)
(5,0)
(4,4)
(2,1)
(4,4)
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Inducción hacia atrás.
Ejemplo

57. 57
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Juegos secuenciales con
información completa
Considérese una empresa establecida (I) que debe elegir si expandir o no su
actividad; el entrante (E), una vez que ha observado la capacidad del establecido,
debe decidir si entra o no en el mercado, y el establecido, una vez que ha
observado la decisión del entrante, y por supuesto la capacidad producida por él,
debe analizar si “acomodarse” o “pelear”. Es un juego dinámico de información
completa que consta de las siguiente tres etapas:
Etapa 1. El establecido debe decidir si expandir o no su capacidad.
Etapa 2. Una vez que ha observado si el establecido expandió o no su capacidad,
el entrante debe decidir si entra o no en el mercado.
Etapa 3. Habiendo decidido acerca de su expansión de capacidad y observando si
el entrante entró o no, el establecido debe decidir si ser agresivo o no, donde una
mayor agresividad puede estar asociada, por ejemplo, a menores precios, mayor
publicidad, a una mayor capacidad.

58. 58
7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con
soluciones múltiples. Juegos secuenciales con
información completa
I1
E1
E1
I2
I2
expandir
no expandir
entra
no entra
0,8
entra
no entra
0,10
3,4
-2,5
2,6
-1,2
se acomoda
se acomoda
pelea
pelea

59. 59
En algunos juegos (de rara ocurrencia), no existe un equilibrio de
Nash. Ejemplo:
7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin
equilibrios en estrategias puras
E1/E2 Izquierda Derecha
Alto 0,0 0,-1
Bajo 1,0 -1,3
Aunque este juego no tiene un equilibrio de Nash en estrategias
puras, si tiene un equilibrio de Nash en “estrategias mixtas”, que
consisten en elegir como acciones a un subconjunto de estrategias
disponibles con cierta probabilidad (considerando que la suma de
probabilidades se igual a 1). TEOREMA DE NASH

60. 60
No todos los juegos presentan equilibrios de Nash en estrategias
puras, lo que no quiere decir que no existan.
Ejemplo
Jugadores: I y II
Conjunto de acciones: Hay dos jugadas. En la primera, uno de los jugadores elige apostar
a que ambos centavos saldrán por la misma cara y el otro se quedará con la opción de caras
diferentes
AI (t1)= {a1
I=iguales, a2
I= diferentes} AII= {a1
II=iguales, a2
II= diferentes}
AI (t2)= {a1
I=cara, a2
I= cruz} AII= {a1
II=cara, a2
II= cruz}
Conjunto de estrategias (sólo consideramos la segunda etapa del juego)
SH = { s1
I=cara, s2
I=cruz } SM= { s1
II=cara, s2
II=cruz }
Información: Imperfecta se trata de un juego simultáneo, donde se desconoce lo que hace
el otro jugador.
Pagos: ∏I (S1
I,S1
II)=1; ∏I (S2
I,S1
II)=-1; ∏I (S1
I,S2
II)=-1; ∏I (S2
I,S2
II)=1;
∏II (S1
I,S1
II)=-1; ∏II (S2
I,S1
II)=1; ∏II (S1
I,S2
II)=1; ∏I (S2
I,S2
II)=-1;
7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin
equilibrios en estrategias puras

61. 61
(1,-1) (-1,1)
(-1,1) (1,-1)
JUGADOR II
s1
II:cara s2
II :cruz
JUGADORI
s2
I:cruzs1
I:cara
7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin
equilibrios en estrategias puras

62. 62
7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin
equilibrios en estrategias puras
Hay una forma de encontrar solución ⇒ ESTRATEGIA MIXTA
ESTRATEGIA CONTINUA
Ahora la definición de estrategia va a recoger no la elección de la
acción sino la probabilidad con la que se va a elegir la acción.//
El conjunto de estrategias disponibles para cada individuo es un
continuo que va desde elegir una acción con probabilidad 0 a
elegirla con probabilidad 1.
En nuestro juego
SI
= { s1
I
:P(cara)=0; s2
I
: P(cara)=0,01; ...; s∞
I
: P(cara)= 1}
S
II
= { s1
II
:P(cara)=0; s2
II
: P(cara)=0,01;...; s∞
II
: P(cara)= 1}

63. 63
7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin
equilibrios en estrategias puras
En nuestro juego
SI
= { s1
I
:P(cara)=0; s2
I
: P(cara)=0,01; ...; s∞
I
: P(cara)= 1}
S
II
= { s1
II
:P(cara)=0; s2
II
: P(cara)=0,01;...; s∞
II
: P(cara)= 1}
E[ΠI
] = 1× PI
(cara) × PII
(cara) + 1 × PI
(cruz) × PII
(cruz) – 1 ×
PI
(cara) × PII
(cruz) – 1 × PI
(cruz) × PII
(cara) = 1 × PI
(cara) ×
PII
(cara) + 1 × [1 – PI
(cara) ]× [1- PII
(cara)] – 1 × PI
(cara) × [1-
PII
(cara)] – 1 × [1-PI
(cara)] × PII
(cara) = como el problema es
simétrico, ambos elegirán la misma estrategia,
PI
(cara)=PII
(cara)=P(cara) = 1×P(cara)×P(cara) + 1 × [1-P(cara)] ×
[1-P(cara)] – 1 × P(cara) × [1-P(cara)] – 1 × [1-P(cara)] × P(cara)
=1 + 4 × [P(cara)]2
– 4 × P(cara) = E[ΠII
]

64. 64
7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin
equilibrios en estrategias puras
Resultado:
La estrategia mixta que desarrollará ambos jugadores será
jugar cara con probabilidad 1/2. La combinación de estrategias
S = { sI: P(cara)=1/2 ; sII: P(cara)=1/2 } es un equilibrio de
Nash en estrategias mixtas. Además es el único equilibrio de
Nash. Los pagos que obtendrán estos jugadores serán E[ΠI] =
E[ΠII] =0.

65. 65
7.5. Juegos Repetidos
Horizontes
Finitos
Horizontes
Infinitos

66. 66
7.5. Juegos Repetidos
Aquel en el que un grupo de jugadores participa repetidamente en
el mismo juego.
JUEGOS REPETIDOS
Con horizontes finitos
JUEGOS REPETIDOS
Con horizontes infinitos

67. 67
7.5. Juegos repetidos
Una complicación adicional de la teoría de juegos surge cuando tenemos la posibilidad
de repetir el juego una y otra vez. Las empresas pueden cambiar de estrategia en
futuras decisiones, a la vista de lo que han hecho sus competidoras. Ejemplo de guerra
de precios entre empresas
A / B Precio bajo Precio alto
Precio bajo 10,10 100,-50
Precio alto -50,100 50,50
1) Juego repetido indefinidamente: estabilidad en precios altos
2) Juego repetido un determinado número de veces
A) Estrategia “ojo por ojo”: los precios se mantendrán siempre bajos
B) Estrategia “racionalidad limitada”: estabilidad en los primeros periodos

68. 68
SUPUESTOS
1. ¿Qué es un juego en forma normal?
2. ¿Qué es una estrategia estrictamente dominada en un juego en
forma normal?
3. ¿Qué es un equilibrio de Nash con estrategias puras en un juego
en forma normal?

69. 69
BIBLIOGRAFÍA
TARIJAN, J. y PAREDES, R. (2001): Organización industrial para la
estrategia empresarial. Pearson: Buenos Aires.
RASMUSEN, E. (1996): Juegos e información: una introducción a la
teoría de juegos. Fondo de cultura económica: México.
GIBBONS, R. (1993): Un primer curso de teoría de juegos. Antoni
Bosh: Barcelona.
TIROLE, R. (1990): La teoría de la organización industrial. Ariel:
Barcelona.