Este documento explica cómo usar el Teorema de Tales para determinar alturas mediante la relación de proporcionalidad entre sombras proyectadas. El Teorema establece que la relación entre los segmentos determinados por una recta secante y paralelas es igual a la relación entre los segmentos determinados por otra recta secante y las mismas paralelas. El documento incluye ejemplos de cómo Tales midió la altura de una pirámide y resuelve un problema aplicando el Teorema.

1. DETERMINACION DE LA ALTURA POR TEOREMA DE THALES 1

3. Aplica el Teorema de Thales en el cálculo de alturas y longitudes

6. Aplica el Teorema de Thales en el cálculo de alturas y longitudes, de monumentos, piedras en Sacsayhuaman, Cristo blanco, entre otros de su contexto situacional

7. Formula resultados aplicando el Teorema de Thales, creando problemas matemáticos 2

8. DETERMINACION DE LA ALTURA POR TEOREMA DE THALES A nuestro alrededor existen cantidades de cosas que representan figuras o formas geométricas sean regulares o irregulares. El conocimiento geométrico básico es indispensable para desenvolverse en nuestra vida cotidiana para orientarse reflexivamente en el espacio, como para hacer estimaciones de alturas, distancias a veces inaccesibles. 3

9. DETERMINACION DE LA ALTURA POR TEOREMA DE THALES 4 A donde vean tus ojos estas rodeado de las matemáticas

10. DETERMINACION DE LA ALTURA POR TEOREMA DE THALES Un método muy antiguo de calcular la altura de un objeto es con la proyección de su sombra y la ayuda de una estaca, mediante relación de triángulos semejantes conocida como el Teorema de Thales:"La relación que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya.". De donde dedujo: "En el mismo instante en que mi sombra sea igual que mi estatura, la sombra de la pirámide será igual a su altura." 5

11. DETERMINACION DE LA ALTURA POR TEOREMA DE THALES TEOREMA DE THALES Si dos rectas secantes se cortan por tres o más paralelas, entonces los segmentos determinados por una de las secantes son respectivamente proporcionales a los segmentos determinados por la otra secante. 6 Es decir, sean T y S son rectas secantes, además L1, L2 y L3 rectas paralelas (AD // BE // CF). Entonces, el Teorema de Thales nos dice que:

12. DETERMINACION DE LA ALTURA POR TEOREMA DE THALES EL TEOREMA DE THALES EN UN TRIANGULO Se dice que dos triángulos están en posición de Thales si, tienen en común un ángulo y los lados opuestos a este ángulo común en cada triángulo son paralelos. 7 Es decir, dado el triangulo ACE se traza un segmento paralelo BD a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triangulo ABD cuyos lados son proporcionales a los del triangulo ACE, además los triángulos ABD y ACE son semejantes. Entonces se cumple que:

13. DETERMINACION DE LA ALTURA POR TEOREMA DE THALES En particular, se deduce que: A1) Si dos triángulos tienen sus lados paralelos o perpendiculares, serán semejantes. A2) Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo igual, serán semejantes 8

14. DETERMINACION DE LA ALTURA POR TEOREMA DE THALES ¿Cómo midió Tales la altura de la pirámide? Cuentan varios autores clásicos que Tales clavó su bastón en el suelo y mandó a los sacerdotes que midieran, al mismo tiempo, las longitudes de la sombra del bastón y la de la pirámide. 9

15. DETERMINACION DE LA ALTURA POR TEOREMA DE THALES APLICACIONES: PROBLEMA RESUELTO Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 1,5 metros; ¿Qué altura tendrá un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4 metros? 10

16. 11 Lic. Edgar Zavaleta Portillo PROBLEMAS PROPUESTOS Torre X Botella 25 cm. Sombra 5 cm. Sombra 12 m. Una torre tiene una sombra de 12 metros Al mediodía, mientras que una botella de 25 cm. Proyecta una sombra de 5 cm. a la misma hora. ¿Cuánto mide la torre? a) 50 m b) 60 m c) 65 m 2. Calcular la altura de la persona de acuerdo a los datos del gráfico. 1,8 cm 1,9 m 180 cm

17. PROBLEMAS PROPUESTOS 3. Una señal de tránsito de 2 metros de altura proyecta una sombra de 10 metros, al mismo tiempo una pared de un edificio proyecta una sombra de 80 metros. Calcular la altura de la pared. 16 m 14 m 15 m 4. Calcular el ancho del rio de acuerdo a los datos adjuntos del gráfico. 23 m 24 m 25 m 12 Lic. Edgar Zavaleta Portillo

18. GRACIAS POR SU ATENCION …… 13