Este documento explica el Teorema de Wilson y el Pequeño Teorema de Fermat, que son fundamentales en la teoría de números y la divisibilidad de enteros. El Teorema de Wilson establece que si p es primo, entonces (p-1)! es congruente a -1 módulo p. El Pequeño Teorema de Fermat establece que si p es primo y a es un entero positivo menor que p, entonces a elevado a la potencia (p-1) es congruente a 1 módulo p. El documento incluye p

1. TEOREMA DE WILSON
Y
PEQUEÑO TEOREMA
DE
FERMAT

2. NACEN A RAÌZ DEL ORIGEN
DE
LA TEORÌA DE NÙMEROS
Y
LA DIVISIBILIDAD
DE LOS NÙMEROS ENTEROS

3. Teorema de Wilson
Si p es primo, entonces ( p-1)!≡-1 (mod p)
El recíproco también es cierto
Prueba:
Cuando 𝒑 = 𝟐 ; 𝒑 − 𝟏 ≡ 𝟏 ≡ −𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟐
∴ el teorema es verdadero para p=2
Ahora, sea 𝒑 > 𝟐, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒂;
𝟏 ≤ 𝒂 ≤ 𝒑 − 𝟏,
𝒉𝒂𝒚 𝒖𝒏𝒂 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂 𝒂 ; 𝟏 ≤ 𝒂 ≤ 𝒑 − 𝟏
𝒂 𝒂 ≡ 𝟏 ( 𝒎𝒐𝒅 𝒑)

4. Los únicos números enteros positivos
menores que p
son sus propias inversas 1 y p-1
∴ podemos agrupar los enteros de
𝟐 𝒂 𝒑 − 𝟐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆
𝒑 − 𝟑
𝟐
𝒑𝒂𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐𝒔
𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 de cada par congruente a 1 (mod p)
𝟐∙𝟑∙∙∙ 𝒑−𝟑 𝒑−𝟐 ≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝒑
𝒑 − 𝟏 ! = 𝟏 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙∙∙ 𝒑 − 𝟑 𝒑 − 𝟐 𝒑 − 𝟏
≡ 𝟏 𝒑 − 𝟏
≡ −𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝒑

5. El inverso del teorema de Wilson
también es cierto
Teorema
Si n ∈ 𝒁+ ; 𝒏 − 𝟏 ! ≡ −𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝒏 → 𝒏 𝒆𝒔 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐
Prueba:
Prueba
Si n ∈ 𝒁, 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 ∶ 𝒏 − 𝟏 ! = −𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝒏 .
Si n es compuesto → 𝒏 = 𝒂𝒃; 𝟏 < 𝒂 < 𝒏 𝒚 𝟏 < 𝒃 < 𝒏
Puesto que a<n ; aǀ 𝒏 − 𝟏 !
Porque a es uno de los n-1 números multiplicados juntos para
formar (n-1)!

6. observemos
Como (n-1)!= -1 ( mod n) → 𝒏 ǀ 𝒏 − 𝟏 ! + 𝟏
Luego a también divide a 𝒏 − 𝟏 ! + 𝟏
↔ 𝒂ǀ (n-1)! y (n-1)!+1
→ 𝒂ǀ((n-1)!+1)-(n-1)!=1
Siendo una obvia contradicción, ya que a>1
Desafortunadamente es un test impracticable, porque n-1 multiplicaciones
módulo n son necesarias para encontrar (n-1)!,
se requiere 0h(log2n)z) operaciones de bits.

7. Ejemplos TEOREMA WILSON
Encontrar el menor residuo entero positivo de 8-9-10 módulo 7
8≡ 𝟏 𝒎ò𝒅 𝟕 ; 𝟗 ≡ 𝟐 𝒎ò𝒅 𝟕 ; 𝟏𝟎 ≡ 𝟑 𝒎ò𝒅 𝟕
2.-Sea p =7, aplicando el teorema:
𝟕 − 𝟏 ! = 𝟔! = 𝟏 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟒 ∙ 𝟓 ∙ 𝟔
Reorganizando los factores y agrupando pares de inversos
módulo 7:
𝟐 ∙ 𝟒 ≡ 𝟏 𝒎ò𝒅 𝟕
𝟑 ∙ 𝟓 ≡ 𝟏 𝒎ò𝒅 𝟕
Luego 𝟔! ≡ 𝟏 ∙ 𝟐 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 𝟔 ≡ 𝟏 ∙ 𝟔 ≡ −𝟏 𝒎ò𝒅 𝟕

8. El siguiente teorema es de gran importancia para
congruencias que implican exponentes :
PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT
Si p es primo y a es un entero positivo con p ꭗ a
entonces 𝒂 𝒑−𝟏
≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝒑
Esto quiere decir :
si se eleva un número “a” a la p ésima potencia y
al resultado se le resta “a”, lo que queda es
divisible por p.

9. PRUEBA - FERMAT
Considere p-1 enteros a,2a,…,(p-1)a
 Ninguno de estos enteros son divisibles por p,
pero si p ǀ ja, entonces p ǀ j, ya que p ꭗ a
 Esto es imposible porque 1≤ 𝒋 ≤ 𝒑 − 𝟏
 Además no hay dos enteros a,2a,…,(p-1)a
que sean congruentes con módulo p

10. observemos Si 𝒋𝒂 ≡ 𝒌𝒂 𝒎𝒐𝒅 𝒑 𝒄𝒐𝒏 𝒂, 𝒑 = 𝟏
𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒋 ≡ 𝒌 𝒎𝒐𝒅 𝒑
Puesto que los números
enteros a,2a,…,(p-1)a son un
conjunto de (p-1) enteros
todos incongruentes a cero y
no hay dos congruentes
módulo p
Sabemos que los residuos
positivos de a,2a,…,(p-1)a,
tomados en algún orden,
deben ser los enteros
1,2,…,p-1
Luego, el producto a,2a,…,(p-1)a es congruente módulo p
con el producto de la primera p-1 enteros positivos
Esto es imposible: j y k son enteros positivos menores que p-1

11. Por lo tanto
𝐚 ∙ 𝟐𝐚 ∙∙∙ 𝐩 − 𝟏 𝐚
≡ 𝟏 ∙ 𝟐 ∙∙∙ 𝐩 − 𝟏 𝐦𝐨𝐝 𝐩
𝐚 𝐩−𝟏
𝐩 − 𝟏 ! ≡ 𝐩 − 𝟏 ! 𝐦𝐨𝐝 𝐩
Si 𝒑 − 𝟏 ! = 𝟏, 𝒄𝒂𝒏𝒄𝒆𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒑 − 𝟏 !
Obtenemos 𝒂 𝒑−𝟏
≡ 𝟏 (𝒎𝒐𝒅 𝒑)

12. Ejemplos
PEQUEÑO TEOREMA FERMAT
𝒂 𝒑−𝟏
≡ 𝟏 𝒎ò𝒅 𝒑
Demuestra que 𝟓 𝟑𝟖 ≡ 𝟑 𝒎ò𝒅 𝟏𝟏
Aplicando Teorema Fermat : 𝟓 𝟏𝟎
≡ 𝟏 𝒎ò𝒅 𝟏𝟏
𝟓 𝟑𝟖= (𝟓 𝟏𝟎) 𝟑 ∙ 𝟓 𝟖 ≡ 𝟏 𝟑 𝟓 𝟖 mòd 11
Descomponemos 𝟓 𝟖 = (𝟓 𝟐) 𝟒=𝟓 𝟐 ≡ 𝟑 mòd 11

13. 𝟑 𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔 ≡ 𝒎𝒐𝒅𝟏𝟑 → 𝒑 = 𝟏𝟑 ∴ 𝒑 − 𝟏 = 𝟏𝟐
→ 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒎𝒐𝒔 𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔: 𝟏𝟐 = 𝟏𝟗𝟓𝟒
-23448
8
Luego 𝟑 𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔= (𝟑 𝟏𝟐) 𝟏𝟗𝟓𝟒 ∙ 𝟑 𝟖 ≡ (𝟏) 𝟏𝟗𝟓𝟒 ∙ 𝟑 𝟖 mòd13
Descomponemos 𝟑 𝟖
= 𝟑 𝟑
𝟑 𝟑
𝟑 𝟐
mòd 13
≡ 𝟏 ∙ 𝟏 ∙ 𝟑 𝟐
mòd 13
≡ 𝟗 𝒎ò𝒅 𝟏𝟑
∴ 𝟑 𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔 ≡9 mòd 13
Encontrar el menor resto entero positivo que
resulta de dividir 𝟑 𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔por 13

14. ESO ES TODO
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