Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, notación de conjuntos, tipos de conjuntos especiales, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, unión e intersección, y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica estos conceptos a través de ejemplos y propiedades matemáticas.
El documento explica cómo calcular los vectores propios de una matriz. Primero se determinan los valores propios resolviendo la ecuación característica. Luego, se sustituyen los valores propios en la ecuación original para obtener un sistema de ecuaciones cuyas soluciones son los vectores propios asociados a cada valor propio. Se provee un ejemplo numérico para ilustrar el proceso.
Este documento trata sobre álgebra lineal y contiene información sobre aplicaciones lineales inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Explica que una aplicación lineal f es inyectiva si f(v1) = f(v2) solo si v1 = v2, sobreyectiva si la imagen de f es igual al espacio de llegada W, y biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Presenta ejemplos de funciones y demuestra si cumplen con estas propiedades mediante el cálculo de sus núcleos y dimensiones de la
Este documento explica la notación científica, que representa números muy grandes o pequeños usando exponentes de 10. Se escriben como un número entre 1 y 10 multiplicado por 10 elevado a un exponente entero. Los números grandes usan exponentes positivos y los pequeños usan negativos. También cubre la multiplicación de potencias y el cálculo del orden de magnitud entre objetos usando la diferencia de exponentes.
El documento describe los cuadrantes del plano cartesiano y cómo representar puntos en él usando coordenadas. También explica cómo calcular la distancia entre dos puntos y encontrar el punto medio de un segmento.
Orden en los números racionales - Clases de matemáticas - Tus Matemáticas OnlineTus Matemáticas Online
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Es un modelo pedagógico para la enseñanza de la asignatura de Matemática, con el propósito de incrementar los aprendizajes, reforzar los conocimientos y aprender más de esta interesante y relevante asignatura.
Los niveles a impartir son 1°Medio y 2°Medio y los apoyos se desarrollarán a través de tutorías online con tutores de excelencia, junto con el apoyo de clases vía webcam, foros y chat directos entre alumno y profesor, guías de estudio con los contenidos más relevantes que necesitas aprender, de ejercicos prácticos, con evaluaciones formativas tipo quiz y de proceso, reforzamientos, aclaración de dudas antes de evaluaciones, consultas y mucho más.
Encontrarás respuestas a tus dudas o podrás aprender más de los contenidos que estás estudiando en tu colegio, nos interesa que puedas desarrollar verdaderos aprendizajes en temas como Números, Álgebra, Geometría, y Datos y Azar.
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Este documento presenta una guía sobre integrales de superficie y sus aplicaciones. Incluye una breve introducción a superficies paramétricas, planos tangentes, áreas de superficies y diferentes tipos de integrales de superficie. Contiene ejemplos resueltos y propuestos, así como teoremas importantes como el de Stokes y el de Gauss. El autor ofrece esta guía para apoyar la enseñanza del cálculo vectorial en ingeniería.
El documento presenta los fundamentos de los números reales, incluyendo la clasificación y representación de diferentes tipos de números como naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Explica conceptos como fracciones, decimales, notación científica, intervalos, valor absoluto, potencias, raíces y logaritmos.
Este documento presenta 25 problemas relacionados con los conceptos de espacio vectorial, subespacio vectorial, bases y cambio de bases. Los problemas cubren temas como determinar si conjuntos de vectores generan espacios o subespacios vectoriales, encontrar bases, ecuaciones de cambio de base, sumas directas de subespacios, y propiedades de subespacios particulares.
El documento explica cómo calcular los vectores propios de una matriz. Primero se determinan los valores propios resolviendo la ecuación característica. Luego, se sustituyen los valores propios en la ecuación original para obtener un sistema de ecuaciones cuyas soluciones son los vectores propios asociados a cada valor propio. Se provee un ejemplo numérico para ilustrar el proceso.
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Este documento explica la notación científica, que representa números muy grandes o pequeños usando exponentes de 10. Se escriben como un número entre 1 y 10 multiplicado por 10 elevado a un exponente entero. Los números grandes usan exponentes positivos y los pequeños usan negativos. También cubre la multiplicación de potencias y el cálculo del orden de magnitud entre objetos usando la diferencia de exponentes.
El documento describe los cuadrantes del plano cartesiano y cómo representar puntos en él usando coordenadas. También explica cómo calcular la distancia entre dos puntos y encontrar el punto medio de un segmento.
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El documento presenta los fundamentos de los números reales, incluyendo la clasificación y representación de diferentes tipos de números como naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Explica conceptos como fracciones, decimales, notación científica, intervalos, valor absoluto, potencias, raíces y logaritmos.
Este documento presenta 25 problemas relacionados con los conceptos de espacio vectorial, subespacio vectorial, bases y cambio de bases. Los problemas cubren temas como determinar si conjuntos de vectores generan espacios o subespacios vectoriales, encontrar bases, ecuaciones de cambio de base, sumas directas de subespacios, y propiedades de subespacios particulares.
El documento describe las funciones y sus características fundamentales. Define dominio, codominio e imagen. Clasifica las funciones en algebraicas y trascendentes, e introduce conceptos como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Explica el producto cartesiano y representación geométrica de funciones.
El documento presenta una serie de ejercicios para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas de diferentes tipos (monómicas, trinómicas, polinómicas y sistemas). Los ejercicios incluyen resolver ecuaciones exponenciales individuales y sistemas con dos ecuaciones, así como calcular valores logarítmicos decimales y resolver ecuaciones y sistemas logarítmicos.
Este documento define el factorial de números naturales como el producto de todos los números naturales desde 1 hasta el número dado. Explica cómo calcular factoriales con o sin el uso de alta tecnología como calculadoras científicas o computadoras. También proporciona ejemplos para ilustrar cómo simplificar expresiones que contienen factoriales.
Este documento presenta un manual de cálculo vectorial. Explica conceptos como funciones vectoriales de una variable real, ecuaciones paramétricas y representaciones paramétricas de curvas como circunferencias, elipses e hipérbolas. También cubre temas como obtener ecuaciones cartesianas a partir de ecuaciones paramétricas y parametrizar curvas mediante la intersección de superficies.
Este documento describe las relaciones binarias definidas en un solo conjunto. Explica que una relación binaria en un conjunto A es un subconjunto de A x A. Presenta ejemplos de relaciones binarias en conjuntos dados y describe las propiedades fundamentales que pueden cumplir una relación: reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva. Finalmente, propone actividades para que el lector identifique estas propiedades en relaciones dadas.
El documento explica cómo resolver inecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c < 0 (o >0, ≥0, ≤0) donde a ≠ 0. Se describen los pasos para escribir la inecuación en forma estándar, resolver la ecuación asociada, usar las raíces como puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos, y determinar el signo del polinomio en cada intervalo para encontrar la solución.
El documento explica cómo calcular integrales triples utilizando coordenadas esféricas. Presenta la forma general de una integral triple en coordenadas esféricas y varios ejemplos resueltos de cálculo de volúmenes de sólidos mediante esta técnica. También incluye ejercicios propuestos para que el lector practique el cálculo de integrales triples en coordenadas esféricas.
1. Se define el plano tangente a una superficie en un punto como el plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por ese punto. La recta normal es perpendicular al plano tangente.
2. Para calcular el plano tangente y la recta normal, se utilizan las ecuaciones de las derivadas parciales evaluadas en el punto.
3. Los máximos, mínimos y puntos silla de una función de varias variables se determinan igualando sus derivadas parciales a cero y analizando el signo de
El documento explica las propiedades de una relación de equivalencia, incluyendo que debe ser reflexiva, simétrica y transitiva. Una relación de equivalencia divide el conjunto en clases de equivalencia disjuntas, donde los elementos de una clase son equivalentes entre sí. El conjunto de todas las clases de equivalencia se conoce como el conjunto cociente.
El documento explica la notación científica, que permite expresar números muy grandes o pequeños de manera concisa. Se define la notación científica y cómo convertir números a esta notación. También cubre cómo realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números en notación científica siguiendo las reglas de los exponentes.
Este documento explica cómo encontrar una expresión algebraica cuadrática para calcular cualquier término en sucesiones numéricas y figurativas mediante el método de diferencias. Se describen diferentes tipos de sucesiones como aritméticas, geométricas y especiales como los números rectangulares. El método de diferencias permite determinar los coeficientes de una expresión cuadrática analizando las diferencias entre los términos.
Este documento presenta una introducción a los subespacios vectoriales. Define un subespacio vectorial como un conjunto de vectores que está cerrado bajo combinaciones lineales y operacones de suma y escalar. Explica cómo caracterizar un subespacio vectorial y las operaciones básicas como la suma, intersección y producto escalar que se pueden realizar con subespacios vectoriales. También introduce el teorema de dimensión para subespacios vectoriales y la noción de suma directa de dos subespacios vectoriales.
Este documento define e ilustra los conceptos de intervalos y entornos matemáticos. Explica que un intervalo es el espacio comprendido entre dos números reales y puede ser cerrado, abierto, semiabierto o semicerrado. Define entornos como un centro y un radio que abarca valores dentro de ese radio. Incluye varios ejemplos para ilustrar cómo representar intervalos y entornos de forma analítica y gráfica.
El documento proporciona información sobre el sitio web educativo de CASIO y su foro, así como una guía de usuario para varios modelos de calculadoras CASIO. Incluye descripciones de las teclas y funciones básicas, modos de cálculo manual, funciones de lista, ecuaciones, gráficos, estadísticas, finanzas, programación, hoja de cálculo y comunicación de datos.
The document discusses various topics in vector algebra including:
1. Methods for adding and subtracting vectors using graphical (parallelogram and polygon methods) and analytical methods.
2. Multiplying a vector by a scalar, which changes the magnitude but not the direction of the vector.
3. Computing the dot product of two vectors, which results in a scalar value used to determine the angle between the vectors.
Este documento proporciona una introducción a las razones, proporciones, porcentajes e interés. Define razones y proporciones, y explica el teorema fundamental de las proporciones. Luego cubre propiedades de las proporciones, tipos de proporciones, series proporcionales y proporcionalidad directa e inversa. Finalmente, introduce conceptos de porcentajes como relaciones básicas, variación porcentual, porcentaje de ganancia y pérdida e interés simple y compuesto.
Este documento presenta el método numérico de la secante para encontrar raíces de funciones. Explica que el método de la secante aproxima la pendiente de la función mediante una diferencia finita dividida hacia atrás en lugar de usar la derivada. Luego, presenta un ejemplo de cómo aplicar el método de la secante para calcular la profundidad necesaria para almacenar un volumen de 30 metros cúbicos en un tanque esférico de radio 3 metros. Finalmente, concluye comparando el método de la secante
El documento explica las funciones trigonométricas inversas. Define las funciones seno inversa, coseno inversa y tangente inversa, restringiendo los dominios de las funciones trigonométricas originales para que sean uno a uno. Proporciona ejemplos de cálculos con estas funciones inversas y composiciones de funciones trigonométricas e inversas.
propiedades de matrices y determinantesplincoqueoc
Este documento resume las propiedades fundamentales de las matrices y los determinantes, incluyendo: (1) propiedades de suma y multiplicación de matrices, (2) propiedades de matrices especiales como diagonales, ortogonales y simétricas/antisimétricas, y (3) propiedades de operaciones como transpuesta, conjugada, inversa y determinante.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos como uniones, intersecciones, diferencias y diagramas de Venn. Explica cómo representar conjuntos mediante notación de llaves y cómo determinar si un elemento pertenece o no a un conjunto. También define tipos de conjuntos como vacíos, unitarios, finitos e infinitos y operaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad y disjunción.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de términos como conjunto, elemento, cardinalidad, notación de conjuntos, pertenencia, igualdad, inclusión, unión, intersección, diferencia y diagrama de Venn. También describe diferentes tipos de conjuntos como vacío, unitario, finito e infinito, y presenta ejemplos ilustrativos de cada concepto.
El documento describe las funciones y sus características fundamentales. Define dominio, codominio e imagen. Clasifica las funciones en algebraicas y trascendentes, e introduce conceptos como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Explica el producto cartesiano y representación geométrica de funciones.
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Este documento describe las relaciones binarias definidas en un solo conjunto. Explica que una relación binaria en un conjunto A es un subconjunto de A x A. Presenta ejemplos de relaciones binarias en conjuntos dados y describe las propiedades fundamentales que pueden cumplir una relación: reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva. Finalmente, propone actividades para que el lector identifique estas propiedades en relaciones dadas.
El documento explica cómo resolver inecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c < 0 (o >0, ≥0, ≤0) donde a ≠ 0. Se describen los pasos para escribir la inecuación en forma estándar, resolver la ecuación asociada, usar las raíces como puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos, y determinar el signo del polinomio en cada intervalo para encontrar la solución.
El documento explica cómo calcular integrales triples utilizando coordenadas esféricas. Presenta la forma general de una integral triple en coordenadas esféricas y varios ejemplos resueltos de cálculo de volúmenes de sólidos mediante esta técnica. También incluye ejercicios propuestos para que el lector practique el cálculo de integrales triples en coordenadas esféricas.
1. Se define el plano tangente a una superficie en un punto como el plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por ese punto. La recta normal es perpendicular al plano tangente.
2. Para calcular el plano tangente y la recta normal, se utilizan las ecuaciones de las derivadas parciales evaluadas en el punto.
3. Los máximos, mínimos y puntos silla de una función de varias variables se determinan igualando sus derivadas parciales a cero y analizando el signo de
El documento explica las propiedades de una relación de equivalencia, incluyendo que debe ser reflexiva, simétrica y transitiva. Una relación de equivalencia divide el conjunto en clases de equivalencia disjuntas, donde los elementos de una clase son equivalentes entre sí. El conjunto de todas las clases de equivalencia se conoce como el conjunto cociente.
El documento explica la notación científica, que permite expresar números muy grandes o pequeños de manera concisa. Se define la notación científica y cómo convertir números a esta notación. También cubre cómo realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números en notación científica siguiendo las reglas de los exponentes.
Este documento explica cómo encontrar una expresión algebraica cuadrática para calcular cualquier término en sucesiones numéricas y figurativas mediante el método de diferencias. Se describen diferentes tipos de sucesiones como aritméticas, geométricas y especiales como los números rectangulares. El método de diferencias permite determinar los coeficientes de una expresión cuadrática analizando las diferencias entre los términos.
Este documento presenta una introducción a los subespacios vectoriales. Define un subespacio vectorial como un conjunto de vectores que está cerrado bajo combinaciones lineales y operacones de suma y escalar. Explica cómo caracterizar un subespacio vectorial y las operaciones básicas como la suma, intersección y producto escalar que se pueden realizar con subespacios vectoriales. También introduce el teorema de dimensión para subespacios vectoriales y la noción de suma directa de dos subespacios vectoriales.
Este documento define e ilustra los conceptos de intervalos y entornos matemáticos. Explica que un intervalo es el espacio comprendido entre dos números reales y puede ser cerrado, abierto, semiabierto o semicerrado. Define entornos como un centro y un radio que abarca valores dentro de ese radio. Incluye varios ejemplos para ilustrar cómo representar intervalos y entornos de forma analítica y gráfica.
El documento proporciona información sobre el sitio web educativo de CASIO y su foro, así como una guía de usuario para varios modelos de calculadoras CASIO. Incluye descripciones de las teclas y funciones básicas, modos de cálculo manual, funciones de lista, ecuaciones, gráficos, estadísticas, finanzas, programación, hoja de cálculo y comunicación de datos.
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1. Methods for adding and subtracting vectors using graphical (parallelogram and polygon methods) and analytical methods.
2. Multiplying a vector by a scalar, which changes the magnitude but not the direction of the vector.
3. Computing the dot product of two vectors, which results in a scalar value used to determine the angle between the vectors.
Este documento proporciona una introducción a las razones, proporciones, porcentajes e interés. Define razones y proporciones, y explica el teorema fundamental de las proporciones. Luego cubre propiedades de las proporciones, tipos de proporciones, series proporcionales y proporcionalidad directa e inversa. Finalmente, introduce conceptos de porcentajes como relaciones básicas, variación porcentual, porcentaje de ganancia y pérdida e interés simple y compuesto.
Este documento presenta el método numérico de la secante para encontrar raíces de funciones. Explica que el método de la secante aproxima la pendiente de la función mediante una diferencia finita dividida hacia atrás en lugar de usar la derivada. Luego, presenta un ejemplo de cómo aplicar el método de la secante para calcular la profundidad necesaria para almacenar un volumen de 30 metros cúbicos en un tanque esférico de radio 3 metros. Finalmente, concluye comparando el método de la secante
El documento explica las funciones trigonométricas inversas. Define las funciones seno inversa, coseno inversa y tangente inversa, restringiendo los dominios de las funciones trigonométricas originales para que sean uno a uno. Proporciona ejemplos de cálculos con estas funciones inversas y composiciones de funciones trigonométricas e inversas.
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Este documento resume las propiedades fundamentales de las matrices y los determinantes, incluyendo: (1) propiedades de suma y multiplicación de matrices, (2) propiedades de matrices especiales como diagonales, ortogonales y simétricas/antisimétricas, y (3) propiedades de operaciones como transpuesta, conjugada, inversa y determinante.
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Este documento introduce los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la noción de conjunto, elementos de un conjunto, notación de conjuntos, determinación de conjuntos por extensión y comprensión, diagramas de Venn, relaciones entre conjuntos como inclusión e igualdad, y operaciones básicas como unión, intersección y diferencia de conjuntos.
Este documento introduce los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la noción de conjunto, elementos de un conjunto, notación de conjuntos, determinación de conjuntos por extensión y comprensión, diagramas de Venn, relaciones entre conjuntos como inclusión e igualdad, y operaciones básicas como unión, intersección y diferencia de conjuntos. Explica cada concepto con ejemplos claros.
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Teoria de conjuntos en diapositvias interactivasbriannarp
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjuntos, elementos, cardinalidad, notación de conjuntos, pertenencia, determinación de conjuntos, diagramas de Venn, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica diferentes tipos de conjuntos como vacío, unitario, finito e infinito y relaciones entre conjuntos como inclusión e igualdad.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjuntos, elementos, cardinalidad, notación de conjuntos, pertenencia, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y tipos de conjuntos como vacío, unitario, finito e infinito. Explica cada concepto con ejemplos y propiedades de las operaciones entre conjuntos.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de los conjuntos. Define qué es un conjunto y cómo se representan y notan los conjuntos y sus elementos. Explica diferentes tipos de conjuntos como conjuntos finitos, infinitos y el conjunto vacío. También cubre temas como determinación de conjuntos, diagramas de Venn, relaciones entre conjuntos y operaciones básicas como unión, intersección y diferencia de conjuntos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define conceptos básicos como elementos de un conjunto, notación de conjuntos, pertenencia a un conjunto, determinación de conjuntos por extensión y comprensión, diagramas de Venn, conjuntos especiales como vacío, unitario, finito e infinito, relaciones entre conjuntos como inclusión e igualdad, y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, elementos, notación, tipos de conjuntos (finitos, infinitos, vacíos, unitarios), relaciones entre conjuntos (inclusión, igualdad, disyunción), operaciones con conjuntos (unión, intersección, diferencia, complemento), y diagramas de Venn para representar conjuntos.
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Este documento introduce la teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de términos como elemento, pertenencia a un conjunto, determinación de conjuntos por extensión y comprensión, diagramas de Venn, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, unión e intersección, y tipos especiales de conjuntos como el conjunto vacío, conjunto unitario y conjunto potencia. Explica las propiedades básicas de estas operaciones y relaciones entre conjuntos.
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Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Introduce conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, diagramas de Venn, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. También define conjuntos numéricos y especiales como el conjunto vacío y conjunto potencia. Finalmente, presenta algunos problemas para practicar con estos conceptos.
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Este documento introduce la teoría de conjuntos. Define conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, conjuntos especiales como el conjunto vacío y el conjunto unitario. Explica relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, disyunción y complemento. Finalmente, presenta ejemplos numéricos de conjuntos y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, notación de conjuntos, tipos de conjuntos especiales como conjuntos vacíos, unitarios y finitos. También explica las relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, comparabilidad y disyunción. Finalmente, introduce operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
Los sistemas expertos (SE) son programas que imitan el razonamiento de un experto humano para resolver problemas de un dominio específico. Los SE almacenan y aplican el conocimiento de expertos humanos a través de reglas y deducciones lógicas. Algunos ejemplos tempranos de SE incluyen MYCIN para diagnósticos médicos y PROSPECTOR para encontrar yacimientos minerales. Los SE modernos se utilizan en una variedad de campos como finanzas, manufactura y medicina.
El documento describe los conceptos clave de la determinación de la viabilidad y administración de proyectos de análisis y diseño de sistemas. Explica los pasos iniciales de un proyecto como identificar problemas, seleccionar proyectos y evaluar posibilidades de mejora. También cubre temas como la planificación de actividades, el uso de diagramas de Gantt y PERT, y la administración de equipos y proyectos mediante enfoques como la programación extrema.
El documento describe tres operaciones cognitivas importantes: la percepción, la memoria y la imaginación. Explica que la percepción nos permite conocer el mundo exterior a través de los sentidos, la memoria nos permite recordar eventos del pasado, y la imaginación incluye tanto la reproducción mental de objetos percibidos como la creación de nuevas imágenes.
La Unión Europea ha propuesto un nuevo paquete de sanciones contra Rusia que incluye un embargo al petróleo. El embargo prohibiría las importaciones de petróleo ruso por mar y limitaría las importaciones por oleoducto. Sin embargo, Hungría, Eslovaquia y la República Checa se oponen al embargo al petróleo, ya que dependen en gran medida de las importaciones rusas.
Este documento describe los conceptos clave de la determinación de la viabilidad y administración de proyectos de análisis y diseño de sistemas. Explica cómo identificar problemas y oportunidades, evaluar la viabilidad técnica, económica y operativa, y planear y administrar las actividades del proyecto utilizando herramientas como diagramas de Gantt y PERT. También cubre temas como la programación extrema y la administración de equipos.
Los sistemas expertos (SE) son programas que imitan el razonamiento de un experto humano para resolver problemas de un dominio específico. Los SE almacenan y aplican el conocimiento de expertos humanos a través de reglas y deducciones lógicas. Algunos ejemplos tempranos de SE incluyen MYCIN para diagnóstico médico y PROSPECTOR para encontrar yacimientos minerales. Los SE modernos se utilizan en una variedad de campos como finanzas, manufactura y medicina.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
Elites municipales y propiedades rurales: algunos ejemplos en territorio vascónJavier Andreu
Material de apoyo a la conferencia pórtico de la XIX Semana Romana de Cascante celebrada en Cascante (Navarra), el 24 de junio de 2024 en el marco del ciclo de conferencias "De re rustica. El campo y la agricultura en época romana: poblamiento, producción, consumo"
Durante el período citado se sucedieron tres presidencias radicales a cargo de Hipólito Yrigoyen (1916-1922),
Marcelo T. de Alvear (1922-1928) y la segunda presidencia de Yrigoyen, a partir de 1928 la cual fue
interrumpida por el golpe de estado de 1930. Entre 1916 y 1922, el primer gobierno radical enfrentó el
desafío que significaba gobernar respetando las reglas del juego democrático e impulsando, al mismo
tiempo, las medidas que aseguraran la concreción de los intereses de los diferentes grupos sociales que
habían apoyado al radicalismo.
2. INDICE
INTRODUCCIÓN
RELACION DE PERTENENCIA
DETERMINACION DE CONJUNTOS
DIAGRAMAS DE VENN
CONJUNTOS ESPECIALES
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
UNION DE CONJUNTOS
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
DIFERENCIA SIMÉTRICA
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
PROBLEMAS
3. En matemáticas el concepto de
conjunto es considerado
primitivo y no se da una
definición de este, por lo tanto la
palabra CONJUNTO debe
aceptarse lógicamente como un
término no definido.
4. Un conjunto se puede entender como
una colección o agrupación bien
definida de objetos de cualquier clase.
Los objetos que forman un conjunto
son llamados miembros o elementos
del conjunto.
Ejemplo:
En la figura adjunta
tienes un Conjunto de
Personas
5. NOTACIÓN
Todo conjunto se escribe entre llaves { }
y se le denota mediante letras
mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se
separan mediante punto y coma.
Ejemplo:
El conjunto de las letras del alfabeto; a,
b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así:
L={ a; b; c; ...; x; y; z}
6. Ejemplo:
A= {a;b;c;d;e} su cardinal n(A)=
B= {x;x;x;y;y;z} su cardinal n(B)=
En teoría de conjuntos no se acostumbra
repetir los elementos por ejemplo:
El conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente
será { x; y; z }.
Al número de elementos que tiene un conjunto
Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se
le representa por n(Q).
5
3
INDICE
7. Para indicar que un elemento pertenece
a un conjunto se usa el símbolo: ∈
Si un elemento no pertenece a un
conjunto se usa el símbolo: ∉
Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10}
2 M∈ ...se lee 2 pertenece al conjunto M
5 M∉ ...se lee 5 no pertenece al conjunto M
INDICE
8. I) POR EXTENSIÓN
Hay dos formas de determinar un conjunto,
por Extensión y por Comprensión
Es aquella forma mediante la cual se indica
cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplos:
A) El conjunto de los números pares mayores
que 5 y menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
INDICE
9. B) El conjunto de números negativos
impares mayores que -10.
B = {-9;-7;-5;-3;-1 }
II) POR COMPRENSIÓN
Es aquella forma mediante la cual se da una
propiedad que caracteriza a todos los
elementos del conjunto.
Ejemplo:
se puede entender que el conjunto P esta formado
por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
P = { los números dígitos }
10. Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito }
se lee “ P es el conjunto formado por los
elementos x tal que x es un dígito “
Ejemplo:
Expresar por extensión y por comprensión el
conjunto de días de la semana.
Por Extensión : D = { lunes; martes; miércoles;
jueves; viernes; sábado; domingo }
Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana }
INDICE
11. Los diagramas de Venn que se deben al
filósofo inglés John Venn (1834-1883)
sirven para representar conjuntos de
manera gráfica mediante dibujos ó
diagramas que pueden ser círculos,
rectángulos, triángulos o cualquier curva
cerrada.
A
MT
7
2
3
6
9
ae
i
o
u
(1;3) (7;6)
(2;4) (5;8)
84
1 5
INDICE
12. A = o A = { } se lee: “A es el conjunto
vacío” o “A es el conjunto nulo “
CONJUNTO VACÍO
Es un conjunto que no tiene elementos,
también se le llama conjunto nulo.
Generalmente se le representa por los
símbolos: o { }
φ
φ
Ejemplos:
M = { números mayores que 9 y menores
que 5 }
P = { x / }
1
0
X
=
13. CONJUNTO UNITARIO
Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos:
F = { x / 2x + 6 = 0 } G = }{ 2
x / x 4 x 0= ∧ <
CONJUNTO FINITO
Es el conjunto con limitado número de
elementos.
Ejemplos:
E = { x / x es un número impar positivo
menor que 10 }
N = { x / x2
= 4 }
;
14. CONJUNTO INFINITO
Es el conjunto con ilimitado número de
elementos.
Ejemplos:
R = { x / x < 6 } S = { x / x es un número par }
CONJUNTO UNIVERSAL
Es un conjunto referencial que contiene a
todos los elementos de una situación
particular, generalmente se le representa
por la letra U
Ejemplo: El universo o conjunto universal
;
de todos los números es el conjunto de los
NÚMEROS COMPLEJOS. INDICE
15. INCLUSIÓN
Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sí
y sólo sí, todo elemento de A es también elemento
de B
NOTACIÓN : ⊂A B
Se lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de
B, A esta contenido en B , A es parte de B.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA :
B A
16. PROPIEDADES:
I ) Todo conjunto está incluido en si mismo. ⊂A A
II ) El conjunto vacío se considera incluido en
cualquier conjunto. φ ⊂ A
III ) A está incluido en B ( ) equivale a decir
que B incluye a A ( )
⊂A B
⊃B A
IV ) Si A no está incluido en B o A no es
subconjunto de B significa que por lo menos un
elemento de A no pertenece a B. ( )⊄A B
V ) Simbólicamente: ⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈A B x A x B
17. CONJUNTOS COMPARABLES
Un conjunto A es COMPARABLE con otro
conjunto B si entre dichos conjuntos existe una
relación de inclusión.
A es comparable con B ⇔ A ⊂ B ∨ B ⊂ A
Ejemplo: A={1;2;3;4;5} y B={2;4}
1
2
3
4
5
A
B
Observa que B está
incluido en A ,por lo
tanto Ay B son
COMPARABLES
18. IGUALDAD DE CONJUNTOS
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos
elementos.
Ejemplo:
A = { x / x2
= 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }
Resolviendo la ecuación de cada conjunto se
obtiene en ambos casos que x es igual a 3 o -3,
es decir : A = {-3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=B
Simbólicamente : = ⇔ ⊂ ∧ ⊂A B (A B) (B A)
19. CONJUNTOS DISJUNTOS
Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen
elementos comunes.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA :
A B
1
7
5 3
9
2
4
8
6
Como puedes
observar los
conjuntos A y B no
tienen elementos
comunes, por lo
tanto son
CONJUNTOS
DISJUNTOS
20. CONJUNTO DE CONJUNTOS
Es un conjunto cuyos elementos son conjuntos.
Ejemplo:
F = { {a};{b};{a; b};{a;b;c} }
Observa que los elementos del conjunto F también
son conjuntos.
{a} es un elemento del conjunto F entonces {a} F∈
¿ Es correcto decir que {b} F ?⊂ NO
Porque {b} es un elemento del conjunto F ,lo
correcto es {b} F∈
21. CONJUNTO POTENCIA
El conjunto potencia de un conjunto A denotado
por P(A) o Pot(A) es el conjunto formado por
todos los subconjuntos de A.
Ejemplo: Sea A = { m;n;p }
Los subconjuntos de A son
{m},{n},{p},{m;n}, {n;p},{m;p}, {m;n;p}, Φ
Entonces el conjunto potencia de A es:
P(A) = { {m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p};Φ }
¿ CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTO
POTENCIA DE A ?
22. Observa que el conjunto A tiene 3 elementos y
su conjunto potencia osea P(A) tiene 8
elementos.
PROPIEDAD:
Dado un conjunto A cuyo número de elementos es
n , entonces el número de elementos de su
conjunto potencia es 2n
.
Ejemplo:
Dado el conjunto B ={x / x es un número par y
5< x <15 }. Determinar el cardinal de P(B).
RESPUESTA
Si 5<x<15 y es un
número par entonces
B= {6;8;10;12;14}
Observa que el conjunto
B tiene 5 elementos
entonces:
Card P(B)=n P(B)=25
=32
INDICE
25. EJEMPLOS:
Expresar por extensión los siguientes conjuntos:
A ) { }2
P x N/ x 9 0= ∈ − =
B )
C )
D ) }{T x Q /(3x 4)(x 2) 0= ∈ − − =
E ) }{B x I/(3x 4)(x 2) 0= ∈ − − =
{ }2
Q x Z / x 9 0= ∈ − =
{ }2
F x R / x 9 0= ∈ + =
P={3}
Q={-3;3}
F = { }
{ }
4
T
3
=
{ }B 2=
RESPUESTAS
INDICE
26. 7
6
55
6
A B
El conjunto “A unión B” que se representa asi
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a A,a B o a ambos conjuntos.
∪A B
}{∪ = ∈ ∨ ∈A B x / x A x B
Ejemplo:
}{ }{= =A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
}{∪ =A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9
27. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA
UNIÓN DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B son
conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A
B
B
B
AUB AUB
28. PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE
CONJUNTOS
1. A A = A
2. A B = B A
3. A Φ = A
4. A U = U
5. (AB)C =A(BC)
6. Si AB=Φ ⇒ A=Φ ∧ B=Φ
INDICE
29. 7
6
55
6
A B
El conjunto “A intersección B” que se representa
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a A y pertenecen a B.
∩A B
}{A B x / x A x B∩ = ∈ ∧ ∈
Ejemplo:
}{ }{= =A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
}{A B 5;6;7∩ =
30. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B son
conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A
B
B
AB AB=B
B
AB=Φ
31. PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN
DE CONJUNTOS
1. A A = A
2. A B = B A
3. A Φ = Φ
4. A U = A
5. (AB)C =A(BC)
6. A(BC) =(AB)(AC)
A(BC) =(AB)(AC)
INDICE
32. 7
6
55
6
A B
El conjunto “A menos B” que se representa
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a A y no pertenecen a B.
A B−
}{A B x / x A x B− = ∈ ∧ ∉
Ejemplo:
}{ }{= =A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
}{A B 1;2;3;4− =
33. 7
6
55
6
A B
El conjunto “B menos A” que se representa
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a B y no pertenecen a A.
B A−
}{B A x / x B x A− = ∈ ∧ ∉
Ejemplo:
}{ }{= =A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
}{B A 8;9− =
34. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B son
conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A
B
B
A - B A - B
B
A - B=A
INDICE
35. 7
6
55
6
A B
El conjunto “A diferencia simétrica B ” que se
representa es el conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a (A-B) o(B-A).
A B∆
}{A B x / x (A B) x (B A)∆ = ∈ − ∨ ∈ −
Ejemplo:
}{ }{= =A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
}{ }{A B 1;2;3;4 8;9∆ = ∪
36. También es correcto afirmar que:
A B (A B) (B A)∆ = − ∪ −
A B (A B) (A B)∆ = ∪ − ∩
A B
A-B B-A
A B
37. Dado un conjunto universal U y un conjunto
A,se llama complemento de A al conjunto
formado por todos los elementos del
universo que no pertenecen al conjunto A.
Notación: A’ o AC
Ejemplo:
U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}y
Simbólicamente: }{A ' x / x U x A= ∈ ∧ ∉
A’ = U - A
40. Dados los conjuntos:
A = { 1; 4 ;7 ;10 ; ... ;34}
B = { 2 ;4;6;...;26}
C = { 3; 7;11;15;...;31}
a) Expresar B y C por comprensión
b) Calcular: n(B) + n(A)
c) Hallar: A B , C – A
SOLUCIÓN
41. Los elementos de A son:
Primero analicemos cada conjunto
{
1 3x1
tt4tt
+
{
1 3x2
tt7tt
+
{
1 3x3
tt tt10
+
{
1 3x11
tt3 tt4
+
{
1 3x0
tt1tt
+
...
A = { 1+3n / n∈Z ∧ 0 ≤ n ≤ 11}
Los elementos de B son:
{
2x2
tt4tt {
2x3
tt6tt {
2x4
tt8tt {
2x13
tt tt26{
2x1
tt2tt ...
B = { 2n / n∈Z ∧ 1 ≤ n ≤
13}
n(B)=13
n(A)=12
42. Los elementos de C son:
{
3 4x1
tt7tt
+
{
3 4x2
tt tt11
+
{
3 4x3
tt tt15
+
{
3 4x7
tt tt31
+
{
3 4x0
tt3tt
+
...
C = { 3+4n / n∈Z ∧ 0 ≤ n ≤
7 }
a) Expresar B y C por comprensión
B = { 2n / n∈Z ∧ 1 ≤ n ≤
18}C = { 3+4n / n∈Z ∧ 0 ≤ n ≤
7 }b) Calcular: n(B) + n(A)
n(C)=8
n(B) + n(A) = 13 +12 = 25
43. A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34}
B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}
C = {3;7;11;15;19;23;27;31}
c) Hallar: A B , C – A
A B = { 4;10;16;22 }
C – A = { 3;11;15;23;27 }
Sabemos que A B esta formado por los
elementos comunes de A y B,entonces:
Sabemos que C - A esta formado por los
elementos de C que no pertenecen a A,
entonces:
44. Si : G = { 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ;11 }
Determinar si es verdadero o falso:
a) Φ ⊂ G
b) {3} ∈ G
c) {{7};10} ∈G
d) {{3};1} ⊄ G
e) {1;5;11} ⊂ G
SOLUCIÓN
45. Observa que los elementos de A son:
1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11
es VERDADERO
Entonces:
es VERDADERO porque Φ esta
incluido en todo los conjuntos
es VERDADERO porque {3}
es un elemento de de G
es FALSO porque {{7};10}
no es elemento de Ges FALSO
a)Φ ⊂ G ....
b) {3} ∈ G ...
c) {{7};10} ∈G ..
d) {{3};1} ⊄ G ...
e) {1;5;11} ⊂ G ...
46. Dados los conjuntos:
P = { x ∈Z / 2x2
+5x-3=0 }
M = { x/4∈N / -4< x < 21 }
T = { x ∈R / (x2
- 9)(x - 4)=0 }
a) Calcular: M - ( T – P )
b) Calcular: Pot(M – T )
c) Calcular: (M T) – P
SOLUCIÓN
47. P = { x ∈Z / 2x2
+5x-3=0 }
Analicemos cada conjunto:
2x2
+ 5x – 3 = 0
2x – 1
+ 3x
(2x-1)(x+3)=0
2x-1=0 ⇒ x = 1/2
x+3=0 ⇒ x = -3
Observa que x∈Z ,
entonces: P = { -3 }
M = { x/4∈N / -4< x < 21 }
Como x/4 ∈ N entonces los valores de x
son : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 pero los elementos
de M se obtienen dividiendo x entre 4,por lo
tanto : M = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
48. T = { x ∈R / (x2
- 9)(x - 4)=0 }
Cada factor lo igualamos a cero y calculamos
los valores de x
x – 4 = 0 ⇒ x = 4
x2
– 9 = 0 ⇒ x2
= 9 ⇒ x = 3 o x =-3
Por lo tanto: T = { -3;3;4 }
a) Calcular: M - ( T – P )
T – P = { -3;3;4 } - { -3 } ⇒ T – P = {3 ;
4 }M - (T –P)= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } - {3 ;4 }
M - (T –P)= {1 ; 2 ; 5 }
49. b) Calcular: Pot( M – T )
M – T = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } - { -3;3;4 }
M – T = {1 ; 2 ; 5 }
Pot( M – T ) = { {1}; {2};
{5};
{1;2};{1;5};
{1;2;5};
{2;5};
Φ }
c) Calcular: (M T) – P
M T = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } { -3;3;4 }
M T = { -3 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
(M T) – P = { -3 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } - { -3 }
(M T) – P = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
50. Expresar la región sombreada en
términos de operaciones entre los
conjuntos A,B y C.
A B
C
A
B
C
SOLUCIÓN
52. A B
A
B
C
Observa como se
obtiene la región
sombreada
Toda la zona de amarillo es
AB
La zona de verde es AB
Entonces restando se obtiene la zona
que se ve en la figura : (AB) - (AB)
C
Finalmente le agregamos C y se obtiene:
[ (AB) - (AB) ] C ( A ∆ B ) C=
53. Según las preferencias de 420
personas que ven los canales A,B o
C se observa que 180 ven el canal
A ,240 ven el canal B y 150 no ven el
canal C,los que ven por lo menos 2
canales son 230¿cuántos ven los
tres canales?
SOLUCIÓN
54. El universo es: 420
Ven el canal A: 180 Ven el canal B: 240
No ven el canal C: 150
Entonces si ven el canal C: 420 – 150 = 270
A B
C
a
d
(I) a + e + d + x =180
be
x
f
(II) b + e + f + x = 240
c
(III) d + c + f + x = 270
Dato: Ven por lo menos
dos canales 230 ,entonces:
(IV) d + e + f + x = 230
55. (I) a + e + d + x =180
(II) b + e + f + x = 240
(III) d + c + f + x = 270
Sumamos las ecuaciones (I),(II) y (III)
Sabemos que : a+b+c+d+e+f+x =420
230
entonces : a+b+c =190
a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690
190 230
190 + 560 + x =690 ⇒ x = 40
Esto significa que 40 personas ven los tres canales