El documento describe los métodos de triangulación y trilateración utilizados en topografía. La triangulación involucra observaciones angulares entre vértices y la medición de al menos una base, mientras que la trilateración usa distancias medidas entre vértices. Se explican los métodos de observación angular como la vuelta de horizonte y pares sobre una referencia, así como la medición y ampliación de bases. También se cubren los cálculos y compensación de redes topográficas.
Triangulacion y trilateracion - topografiaJuDhy Paredes
El documento trata sobre la triangulación y trilateración, métodos topográficos para determinar la posición de puntos. La triangulación implica medidas angulares y una distancia de base, mientras que la trilateración mide distancias entre puntos. El documento explica conceptos como la red topográfica, métodos de observación angular, medición y corrección de distancias de base, cálculo de coordenadas, y estaciones excéntricas.
El documento describe los conceptos y métodos de la triangulación topográfica. Explica que la triangulación topográfica involucra la medición de ángulos y lados de triángulos para calcular la posición de puntos clave en un mapa. También describe los tipos de triangulaciones primarias, secundarias y terciarias según su precisión, y los errores máximos permitidos para cada orden de triangulación.
El documento proporciona información sobre triangulación topográfica. Explica los conceptos clave de triangulación como la formación de redes de triángulos, cuadriláteros y figuras con vértice central. También describe las etapas de una triangulación como el reconocimiento del terreno, señalización de vértices, medición de ángulos y bases, y cálculo de coordenadas. Además, incluye ejemplos y problemas de cálculo de rigidez en redes de triangulación.
Este documento trata sobre la medición de distancias en topografía. Explica diferentes métodos como la medición con odómetro, telémetro, cinta métrica, teodolito y distanciómetros. Describe los tipos de errores que pueden ocurrir como sistemáticos, aleatorios y groseros, y cómo corregirlos, especialmente los errores por pendiente, graduación, temperatura y tensión. El documento establece que para mantener la precisión requerida, la pendiente de la cinta no debe superar los 4 grados y el límite
Este documento introduce conceptos básicos de la topografía y la planimetría. Define la topografía como la medición de extensiones de tierra para representar su forma y características en un plano a escala. Explica cómo se miden distancias y ángulos entre puntos para calcular otras mediciones como coordenadas, elevaciones y áreas. También describe procedimientos para medir distancias y ángulos en terreno plano e inclinado, y cómo se calcula el valor más probable de una medición.
Este documento describe los conceptos y procedimientos básicos de la poligonación electrónica y la triangulación topográfica. Explica el funcionamiento y características de las estaciones totales, incluyendo su precisión para medir ángulos y distancias. También define los elementos clave de la triangulación como la base, vértices, lados y ángulos; y los pasos para el planeamiento, figuras, compensación y cálculo de coordenadas.
Tema 2. Medición de distancia y teoría de errores topografiaunefm
El documento describe diferentes métodos y herramientas utilizadas en levantamientos topográficos, incluyendo el uso de cintas métricas, jalones, plomadas y prismas para marcar y medir puntos en el terreno. También explica cómo realizar un levantamiento topográfico básico utilizando solo una cinta métrica para dividir el terreno en triángulos y medir sus lados y alturas.
Tema 1.2. Medición de distancia y teoría de errores topografiaunefm
El documento describe los diferentes métodos y herramientas utilizadas para realizar un levantamiento topográfico, incluyendo el uso de cintas métricas, jalones, plomadas y prismas para marcar puntos en el terreno y medir distancias. También explica cómo dividir un terreno en triángulos para medir sus lados y áreas, y los diferentes tipos de errores que pueden ocurrir durante un levantamiento topográfico.
Triangulacion y trilateracion - topografiaJuDhy Paredes
El documento trata sobre la triangulación y trilateración, métodos topográficos para determinar la posición de puntos. La triangulación implica medidas angulares y una distancia de base, mientras que la trilateración mide distancias entre puntos. El documento explica conceptos como la red topográfica, métodos de observación angular, medición y corrección de distancias de base, cálculo de coordenadas, y estaciones excéntricas.
El documento describe los conceptos y métodos de la triangulación topográfica. Explica que la triangulación topográfica involucra la medición de ángulos y lados de triángulos para calcular la posición de puntos clave en un mapa. También describe los tipos de triangulaciones primarias, secundarias y terciarias según su precisión, y los errores máximos permitidos para cada orden de triangulación.
El documento proporciona información sobre triangulación topográfica. Explica los conceptos clave de triangulación como la formación de redes de triángulos, cuadriláteros y figuras con vértice central. También describe las etapas de una triangulación como el reconocimiento del terreno, señalización de vértices, medición de ángulos y bases, y cálculo de coordenadas. Además, incluye ejemplos y problemas de cálculo de rigidez en redes de triangulación.
Este documento trata sobre la medición de distancias en topografía. Explica diferentes métodos como la medición con odómetro, telémetro, cinta métrica, teodolito y distanciómetros. Describe los tipos de errores que pueden ocurrir como sistemáticos, aleatorios y groseros, y cómo corregirlos, especialmente los errores por pendiente, graduación, temperatura y tensión. El documento establece que para mantener la precisión requerida, la pendiente de la cinta no debe superar los 4 grados y el límite
Este documento introduce conceptos básicos de la topografía y la planimetría. Define la topografía como la medición de extensiones de tierra para representar su forma y características en un plano a escala. Explica cómo se miden distancias y ángulos entre puntos para calcular otras mediciones como coordenadas, elevaciones y áreas. También describe procedimientos para medir distancias y ángulos en terreno plano e inclinado, y cómo se calcula el valor más probable de una medición.
Este documento describe los conceptos y procedimientos básicos de la poligonación electrónica y la triangulación topográfica. Explica el funcionamiento y características de las estaciones totales, incluyendo su precisión para medir ángulos y distancias. También define los elementos clave de la triangulación como la base, vértices, lados y ángulos; y los pasos para el planeamiento, figuras, compensación y cálculo de coordenadas.
Tema 2. Medición de distancia y teoría de errores topografiaunefm
El documento describe diferentes métodos y herramientas utilizadas en levantamientos topográficos, incluyendo el uso de cintas métricas, jalones, plomadas y prismas para marcar y medir puntos en el terreno. También explica cómo realizar un levantamiento topográfico básico utilizando solo una cinta métrica para dividir el terreno en triángulos y medir sus lados y alturas.
Tema 1.2. Medición de distancia y teoría de errores topografiaunefm
El documento describe los diferentes métodos y herramientas utilizadas para realizar un levantamiento topográfico, incluyendo el uso de cintas métricas, jalones, plomadas y prismas para marcar puntos en el terreno y medir distancias. También explica cómo dividir un terreno en triángulos para medir sus lados y áreas, y los diferentes tipos de errores que pueden ocurrir durante un levantamiento topográfico.
Este documento describe diferentes métodos de nivelación geométrica simple, incluyendo el método del punto medio, el método del punto extremo, el método de estaciones recíprocas y el método de estaciones equidistantes. También discute la verificación del equipo de nivelación y factores como la precisión y la longitud máxima de una nivelación. Además, introduce conceptos de nivelación geométrica compuesta como líneas de nivelación sencilla y doble.
El documento describe los objetivos y métodos de una práctica de levantamiento topográfico, incluyendo medir los lados de una poligonal, tomar lecturas de ángulos horizontales, y crear un plano de la poligonal. Explica el uso de instrumentos como el nivel topográfico, estadía, cinta métrica y libreta de campo para medir distancias y ángulos durante el levantamiento.
Este documento describe los procedimientos topográficos para el cálculo y compensación de poligonales. Explica cómo calcular y compensar el error de cierre angular, calcular los acimutes entre alineaciones usando la ley de propagación de acimutes, calcular las proyecciones de los lados, calcular el error de cierre lineal y compensar el error lineal, y finalmente calcular las coordenadas de los vértices. También describe los diferentes tipos de poligonales como poligonales cerradas, abiertas de enlace con control y abiertas
1) El documento describe los cálculos involucrados en la poligonación, incluyendo el cálculo y ajuste de poligonales cerradas y abiertas. 2) Para poligonales cerradas, se realizan correcciones de cierre angular y lineal, y se distribuyen los errores de cierre entre las observaciones. 3) Se calculan las proyecciones, coordenadas y azimuts de cada línea para poligonales cerradas y abiertas.
Este documento describe los conceptos básicos de la nivelación geométrica. Explica que la nivelación geométrica es un método para medir directamente las diferencias de elevación entre puntos del terreno utilizando un nivel. También define conceptos clave como superficie de nivel, línea de nivel, plano horizontal, elevación de un punto y curvas de nivel. Por último, describe el proceso básico de nivelación entre dos puntos y las ecuaciones utilizadas.
Este informe presenta los resultados de un levantamiento topográfico realizado mediante el método de trilateración. Se midieron ángulos y distancias entre puntos de referencia para calcular las coordenadas de cada punto. Luego de corregir errores, se generó una poligonal y se calcularon las coordenadas de todos los puntos. Finalmente, se creó un plano topográfico del área mediante software.
Este documento describe los objetivos y procedimientos de una práctica de topografía sobre el uso del teodolito. Los objetivos incluyen aprender las partes del teodolito, establecerlo correctamente, y medir ángulos horizontales y verticales. Explica cómo establecer el teodolito en un punto, nivelarlo, y tomar lecturas de ángulos.
Este documento describe diferentes tipos de ángulos y sistemas de medición utilizados en topografía, incluyendo ángulos horizontales y verticales. Explica cómo medir azimut y rumbo, y los factores que afectan la declinación magnética como variaciones periódicas y fenómenos locales. También resume métodos para medir ángulos horizontales como el método del ángulo simple y el método de repetición.
Este documento trata sobre la topografía y contiene información sobre altimetría, factores que afectan la nivelación y métodos para determinar diferencias de elevación. Explica que la altimetría mide distancias verticales desde un plano de referencia y que la curvatura terrestre y la refracción atmosférica afectan la nivelación. Finalmente, describe tres métodos tradicionales para medir diferencias de elevación: cinta, nivelación geométrica y nivelación barométrica.
Este documento describe varios métodos para medir distancias y ángulos en topografía, incluyendo el uso de cinta métrica, nivel de mano, odómetro y podómetro. Explica procedimientos para trazar perpendiculares, paralelas, medir ángulos y distancias entre puntos inaccesibles o no visibles. El objetivo es enseñar estas técnicas topográficas básicas para realizar levantamientos de campo.
Este documento presenta el informe de un taller de taquimetría poligonal realizado por estudiantes de la Universidad Técnica Federico Santa María. El objetivo del taller fue aplicar métodos de levantamiento tridimensional usando un taquímetro para obtener la representación planimétrica y de curvas de nivel de un terreno. Se describen los instrumentos, el terreno y el procedimiento utilizado que incluyó la poligonalización, medición de puntos y cálculos. Los resultados muestran que el error de cierre planimétrico fue de
Este documento explica cómo calcular la ubicación del centro de gravedad en diferentes tipos de aeronaves de modelismo. Describe que el centro de gravedad depende del tipo de ala y perfil aerodinámico, y debe ubicarse dentro de ciertos límites para lograr un vuelo estable. Explica cómo calcular el centro de gravedad en alas rectangulares, trapezoidales, en flecha, doble trapecio, biplanos y modelos canard.
La nivelación compuesta involucra realizar múltiples nivelaciones simples entre puntos para determinar las diferencias de altura entre puntos distantes. Primero se coloca el instrumento en un punto y se toman lecturas de espalda y frente en puntos sucesivos a lo largo de la línea. Luego se mueve el instrumento al siguiente punto y se repite el proceso, sumando las diferencias de altura entre cada par de puntos hasta unir los puntos inicial y final. Este método es el más usado cuando la distancia entre puntos excede el alcance máximo
El documento describe diferentes métodos de altimetría, incluyendo nivelación barométrica, trigonométrica, directa y satelital. La nivelación barométrica utiliza un altímetro para medir diferencias de presión atmosférica y determinar diferencias de nivel. La nivelación trigonométrica usa cálculos trigonométricos basados en distancias inclinadas y ángulos verticales. Los métodos satelitales usan GPS pero tienen menor precisión que los altímetros.
El documento describe los componentes y características de las cámaras fotogramétricas. Las cámaras fotogramétricas tienen elementos de orientación interior conocidos y calidad geométrica que permite proyecciones centrales ideales. Los componentes principales incluyen el almacén de película, el cuerpo de la cámara y el ensamble del lente. El documento también describe el plano focal, las marcas fiduciales, y la relación entre el diafragma y el obturador para controlar la cantidad de luz que llega a la película.
Este documento describe los pasos para marcar curvas de nivel en un terreno:
1) Determinar la zona de desagüe y calcular la pendiente promedio.
2) Marcar el punto de arranque de la primera curva de nivel en el lado opuesto a la zona de desagüe.
3) Realizar lecturas sucesivas sumando 3 cm a cada punto y desplazándose 10 m para trazar la curva de manera suave y proporcional.
Esto ayuda a prevenir la erosión y aprovechar mejor el terreno.
El documento describe los métodos de nivelación compuesta y línea de nivelación, donde se encadena el método de nivelación simple de punto medio para obtener el desnivel entre dos puntos distantes. Se realizan varias determinaciones sucesivas en estaciones intermedias, dividiendo la línea en anillos con estacas cada 400 metros. Existen líneas de nivelación sencillas, que se recorren una vez, y dobles, que se recorren dos veces en ida y vuelta para comprobar los resultados.
Este documento trata sobre la medición de distancias en topografía. Explica diferentes métodos como la medición con odómetro, telémetro, cinta métrica, teodolito y distanciómetros. Describe los tipos de errores que pueden ocurrir como sistemáticos, aleatorios y groseros, y cómo corregirlos, especialmente los errores por pendiente, graduación, temperatura y tensión. El documento establece que para mantener la precisión requerida, la pendiente de la cinta no debe superar los 4 grados y el límite
El documento describe los conceptos básicos de la triangulación topográfica para el levantamiento de terrenos. Explica que la triangulación es una técnica adecuada para levantamientos de grandes extensiones de terreno. Detalla los elementos de una red de triangulación como estaciones, lados, ángulos y figuras. Además, cubre temas como la planificación, medición de la base, ubicación de vértices y señales, y cálculos requeridos.
Este documento proporciona información sobre nivelación geométrica y medición de ángulos y direcciones en topografía. Explica conceptos clave como cotas, altitudes, nivelación directa simple y compuesta, errores comunes en nivelación, y uso de la brújula para medir rumbos, azimutes, declinación e inclinación magnética.
Este documento presenta varios ejercicios de topografía y geodesia para el cálculo de coordenadas UTM a partir de distancias y ángulos medidos en el campo. El primer ejercicio implica calcular las coordenadas UTM de varios puntos y realizar cálculos de tolerancias. Los ejercicios siguientes tratan sobre la reducción de distancias al elipsoide y el cálculo de coordenadas UTM, así como aspectos relacionados con el replanteo de posiciones usando coordenadas planimétricas.
Este documento lista y define varios términos topográficos y geográficos comunes. Incluye definiciones de características naturales como ríos, lagos y pantanos, así como características construidas por el hombre como carreteras, ferrocarriles, puentes y edificios. También enumera diferentes tipos de estaciones de medición empleadas en topografía e hidrología.
Este documento describe diferentes métodos de nivelación geométrica simple, incluyendo el método del punto medio, el método del punto extremo, el método de estaciones recíprocas y el método de estaciones equidistantes. También discute la verificación del equipo de nivelación y factores como la precisión y la longitud máxima de una nivelación. Además, introduce conceptos de nivelación geométrica compuesta como líneas de nivelación sencilla y doble.
El documento describe los objetivos y métodos de una práctica de levantamiento topográfico, incluyendo medir los lados de una poligonal, tomar lecturas de ángulos horizontales, y crear un plano de la poligonal. Explica el uso de instrumentos como el nivel topográfico, estadía, cinta métrica y libreta de campo para medir distancias y ángulos durante el levantamiento.
Este documento describe los procedimientos topográficos para el cálculo y compensación de poligonales. Explica cómo calcular y compensar el error de cierre angular, calcular los acimutes entre alineaciones usando la ley de propagación de acimutes, calcular las proyecciones de los lados, calcular el error de cierre lineal y compensar el error lineal, y finalmente calcular las coordenadas de los vértices. También describe los diferentes tipos de poligonales como poligonales cerradas, abiertas de enlace con control y abiertas
1) El documento describe los cálculos involucrados en la poligonación, incluyendo el cálculo y ajuste de poligonales cerradas y abiertas. 2) Para poligonales cerradas, se realizan correcciones de cierre angular y lineal, y se distribuyen los errores de cierre entre las observaciones. 3) Se calculan las proyecciones, coordenadas y azimuts de cada línea para poligonales cerradas y abiertas.
Este documento describe los conceptos básicos de la nivelación geométrica. Explica que la nivelación geométrica es un método para medir directamente las diferencias de elevación entre puntos del terreno utilizando un nivel. También define conceptos clave como superficie de nivel, línea de nivel, plano horizontal, elevación de un punto y curvas de nivel. Por último, describe el proceso básico de nivelación entre dos puntos y las ecuaciones utilizadas.
Este informe presenta los resultados de un levantamiento topográfico realizado mediante el método de trilateración. Se midieron ángulos y distancias entre puntos de referencia para calcular las coordenadas de cada punto. Luego de corregir errores, se generó una poligonal y se calcularon las coordenadas de todos los puntos. Finalmente, se creó un plano topográfico del área mediante software.
Este documento describe los objetivos y procedimientos de una práctica de topografía sobre el uso del teodolito. Los objetivos incluyen aprender las partes del teodolito, establecerlo correctamente, y medir ángulos horizontales y verticales. Explica cómo establecer el teodolito en un punto, nivelarlo, y tomar lecturas de ángulos.
Este documento describe diferentes tipos de ángulos y sistemas de medición utilizados en topografía, incluyendo ángulos horizontales y verticales. Explica cómo medir azimut y rumbo, y los factores que afectan la declinación magnética como variaciones periódicas y fenómenos locales. También resume métodos para medir ángulos horizontales como el método del ángulo simple y el método de repetición.
Este documento trata sobre la topografía y contiene información sobre altimetría, factores que afectan la nivelación y métodos para determinar diferencias de elevación. Explica que la altimetría mide distancias verticales desde un plano de referencia y que la curvatura terrestre y la refracción atmosférica afectan la nivelación. Finalmente, describe tres métodos tradicionales para medir diferencias de elevación: cinta, nivelación geométrica y nivelación barométrica.
Este documento describe varios métodos para medir distancias y ángulos en topografía, incluyendo el uso de cinta métrica, nivel de mano, odómetro y podómetro. Explica procedimientos para trazar perpendiculares, paralelas, medir ángulos y distancias entre puntos inaccesibles o no visibles. El objetivo es enseñar estas técnicas topográficas básicas para realizar levantamientos de campo.
Este documento presenta el informe de un taller de taquimetría poligonal realizado por estudiantes de la Universidad Técnica Federico Santa María. El objetivo del taller fue aplicar métodos de levantamiento tridimensional usando un taquímetro para obtener la representación planimétrica y de curvas de nivel de un terreno. Se describen los instrumentos, el terreno y el procedimiento utilizado que incluyó la poligonalización, medición de puntos y cálculos. Los resultados muestran que el error de cierre planimétrico fue de
Este documento explica cómo calcular la ubicación del centro de gravedad en diferentes tipos de aeronaves de modelismo. Describe que el centro de gravedad depende del tipo de ala y perfil aerodinámico, y debe ubicarse dentro de ciertos límites para lograr un vuelo estable. Explica cómo calcular el centro de gravedad en alas rectangulares, trapezoidales, en flecha, doble trapecio, biplanos y modelos canard.
La nivelación compuesta involucra realizar múltiples nivelaciones simples entre puntos para determinar las diferencias de altura entre puntos distantes. Primero se coloca el instrumento en un punto y se toman lecturas de espalda y frente en puntos sucesivos a lo largo de la línea. Luego se mueve el instrumento al siguiente punto y se repite el proceso, sumando las diferencias de altura entre cada par de puntos hasta unir los puntos inicial y final. Este método es el más usado cuando la distancia entre puntos excede el alcance máximo
El documento describe diferentes métodos de altimetría, incluyendo nivelación barométrica, trigonométrica, directa y satelital. La nivelación barométrica utiliza un altímetro para medir diferencias de presión atmosférica y determinar diferencias de nivel. La nivelación trigonométrica usa cálculos trigonométricos basados en distancias inclinadas y ángulos verticales. Los métodos satelitales usan GPS pero tienen menor precisión que los altímetros.
El documento describe los componentes y características de las cámaras fotogramétricas. Las cámaras fotogramétricas tienen elementos de orientación interior conocidos y calidad geométrica que permite proyecciones centrales ideales. Los componentes principales incluyen el almacén de película, el cuerpo de la cámara y el ensamble del lente. El documento también describe el plano focal, las marcas fiduciales, y la relación entre el diafragma y el obturador para controlar la cantidad de luz que llega a la película.
Este documento describe los pasos para marcar curvas de nivel en un terreno:
1) Determinar la zona de desagüe y calcular la pendiente promedio.
2) Marcar el punto de arranque de la primera curva de nivel en el lado opuesto a la zona de desagüe.
3) Realizar lecturas sucesivas sumando 3 cm a cada punto y desplazándose 10 m para trazar la curva de manera suave y proporcional.
Esto ayuda a prevenir la erosión y aprovechar mejor el terreno.
El documento describe los métodos de nivelación compuesta y línea de nivelación, donde se encadena el método de nivelación simple de punto medio para obtener el desnivel entre dos puntos distantes. Se realizan varias determinaciones sucesivas en estaciones intermedias, dividiendo la línea en anillos con estacas cada 400 metros. Existen líneas de nivelación sencillas, que se recorren una vez, y dobles, que se recorren dos veces en ida y vuelta para comprobar los resultados.
Este documento trata sobre la medición de distancias en topografía. Explica diferentes métodos como la medición con odómetro, telémetro, cinta métrica, teodolito y distanciómetros. Describe los tipos de errores que pueden ocurrir como sistemáticos, aleatorios y groseros, y cómo corregirlos, especialmente los errores por pendiente, graduación, temperatura y tensión. El documento establece que para mantener la precisión requerida, la pendiente de la cinta no debe superar los 4 grados y el límite
El documento describe los conceptos básicos de la triangulación topográfica para el levantamiento de terrenos. Explica que la triangulación es una técnica adecuada para levantamientos de grandes extensiones de terreno. Detalla los elementos de una red de triangulación como estaciones, lados, ángulos y figuras. Además, cubre temas como la planificación, medición de la base, ubicación de vértices y señales, y cálculos requeridos.
Este documento proporciona información sobre nivelación geométrica y medición de ángulos y direcciones en topografía. Explica conceptos clave como cotas, altitudes, nivelación directa simple y compuesta, errores comunes en nivelación, y uso de la brújula para medir rumbos, azimutes, declinación e inclinación magnética.
Este documento presenta varios ejercicios de topografía y geodesia para el cálculo de coordenadas UTM a partir de distancias y ángulos medidos en el campo. El primer ejercicio implica calcular las coordenadas UTM de varios puntos y realizar cálculos de tolerancias. Los ejercicios siguientes tratan sobre la reducción de distancias al elipsoide y el cálculo de coordenadas UTM, así como aspectos relacionados con el replanteo de posiciones usando coordenadas planimétricas.
Este documento lista y define varios términos topográficos y geográficos comunes. Incluye definiciones de características naturales como ríos, lagos y pantanos, así como características construidas por el hombre como carreteras, ferrocarriles, puentes y edificios. También enumera diferentes tipos de estaciones de medición empleadas en topografía e hidrología.
Este documento proporciona información sobre el vértice geodésico número 28525 llamado Atalaya 1. Incluye detalles como su ubicación en Piedratajada, Zaragoza, las coordenadas geográficas y UTM, y una breve descripción de cómo llegar al sitio. También incluye un mapa de la ubicación.
Un vértice geodésico es una señal que indica la altura exacta sobre el nivel del mar y forma parte de una red global de triángulos cuya posición ha sido calculada con precisión, permitiendo medir la Tierra de forma coordinada.
El documento describe el sistema LIDAR (Light Detection and Ranging), una tecnología que utiliza láseres para medir distancias con precisión. El LIDAR puede medir distintos atributos como elevación, intensidad y composición química. Proporciona datos topográficos densos que pueden usarse para generar modelos digitales del terreno con aplicaciones en ingeniería, gestión forestal, detección de líneas eléctricas y ductos enterrados. El LIDAR ofrece ventajas sobre métodos tradicionales al permitir adquisición
Este documento describe los principales instrumentos y métodos utilizados en topografía, incluyendo el teodolito, nivel de burbuja, anteojos, objetivos, hilos de retículo, oculares y más. Explica cómo realizar mediciones de ángulos, distancias, nivelaciones, curvas de nivel, perfiles longitudinales, levantamientos planimétricos y altimétricos mediante radiación simple y poligonal de apoyo.
La geodesia es la ciencia que estudia los métodos para determinar la forma y tamaño de la Tierra. Actualmente se utilizan sensores remotos en satélites y aeronaves, junto con mediciones terrestres y sistemas como el GPS, para determinar la posición y velocidad de puntos en la superficie terrestre o en órbita. Los datos geodésicos son útiles para la cartografía, estudios hidrológicos, definición de límites territoriales y otros fines.
Este documento describe varios métodos para crear microclimas interiores agradables mediante el diseño arquitectónico y los sistemas de tratamiento de aire, incluyendo el uso de patios centrales, cubiertas ventiladas, muros trombe, sistemas de evaporación y vegetación. Explica cómo estos enfoques pueden controlar factores como la radiación solar, la velocidad y dirección del viento, y la temperatura y humedad del aire.
El documento describe los principales usos de la nivelación, incluyendo el control de niveles en obras, el levantamiento de perfiles longitudinales y secciones transversales, y el levantamiento de curvas de nivel. Además, explica cada uno de estos usos con más detalle y proporciona ejemplos e ilustraciones.
Este documento describe el método de radiaciones para levantar una poligonal cerrada utilizando un teodolito. Explica que se establece una estación central desde la cual se orienta el instrumento y se miden las distancias a los vértices del polígono, formando triángulos. Luego, se calculan las áreas de los triángulos resultantes sumando la superficie total. Finalmente, concluye que el método de radiaciones es útil para topografía y que los equipos topográficos permiten trabajos más eficientes y de mejor calidad
El documento describe los conceptos y procedimientos relacionados con el levantamiento y ajuste de poligonales cerradas en topografía. Explica que una poligonal cerrada es una serie de líneas consecutivas que forman un polígono cerrado, permitiendo controlar la precisión obtenida. Detalla los pasos para el ajuste de una poligonal cerrada, incluyendo la compensación de errores angulares y lineales para calcular las coordenadas correctas de cada vértice.
El documento describe los componentes y uso de un teodolito, incluyendo cómo centrar y nivelar el instrumento, medir ángulos y distancias, y calcular coordenadas y áreas de terrenos. Explica que un teodolito se usa para medir ángulos horizontales y verticales y consta de un telescopio, círculos graduados y niveles de burbuja. También detalla cómo realizar un levantamiento topográfico simple mediante mediciones de ángulos y distancias desde una estación central.
El documento describe los métodos para establecer puntos de control horizontal y vertical necesarios para realizar levantamientos topográficos. Se explica que los puntos de control horizontal se fijan mediante coordenadas o distancias y direcciones, mientras que el control vertical se establece a través de una red de nivelación que conecta marcas de nivel conocidas. También se detallan métodos como la triangulación, trilateración, poligonales y sistemas satelitales para obtener nuevos puntos de control en el campo.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre mediciones topográficas y teoría de errores. Explica temas como exactitud, precisión, errores y sus fuentes, clases de error, teoría de probabilidades, histograma, desviación estándar y propagación de errores. El objetivo es que el ingeniero considere todas las fuentes de error para minimizarlos en mediciones topográficas.
Este documento presenta una lista de 77 símbolos topográficos comúnmente usados en mapas, incluyendo símbolos para características naturales como ríos, lagos y montañas, así como símbolos para características construidas por el hombre como carreteras, vías de ferrocarril, puentes y edificios. El documento provee imágenes de cada símbolo junto con una breve descripción.
Este documento presenta el informe de un levantamiento topográfico realizado mediante el método de radiación con teodolito en la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo. Describe el reconocimiento del terreno, los equipos e instrumentos utilizados como teodolito, cinta métrica y jalones. Explica el método de radiación y los procedimientos de trabajo de campo y de gabinete, incluyendo el desarrollo de datos y cálculos. El objetivo es representar el relieve del terreno aplicando este método topográfico.
Este documento describe brevemente los principales aparatos y elementos utilizados en topografía, como goniómetros para medir ángulos horizontales y verticales, métodos para medir distancias de forma indirecta o con distanciómetros, teodolitos, taquímetros y estaciones totales que permiten medir ángulos y distancias, niveles para la nivelación, y accesorios como trípodes, elementos de unión, miras taquimétricas, jalones, prismas y señales. También se mencionan los sistemas de pos
Este documento describe los procedimientos usuales para el cálculo de poligonales en topografía. Explica cómo ajustar los ángulos medidos, calcular rumbos y proyecciones ortogonales, y distribuir los errores de cierre entre las medidas para compensar la poligonal. También menciona el uso de computadoras para facilitar estos cálculos y verificar los datos de campo.
El documento presenta un informe sobre un levantamiento topográfico realizado mediante el método del rodeo. El grupo midió las distancias y ángulos de una poligonal de 6 vértices que rodeaba el terreno. Adicionalmente, midieron distancias y ángulos de triángulos internos para obtener más detalles. Realizaron cálculos como la suma de los ángulos internos para verificar la precisión de las mediciones.
Este documento describe los conceptos fundamentales de la topografía, incluyendo los parámetros observables y representables, la influencia de la esfericidad terrestre, las escalas, tolerancias y métodos de toma de datos. Explica que los parámetros observables son ángulos y distancias, mientras que las coordenadas son los parámetros representables. También cubre cómo la curvatura de la Tierra introduce errores que deben corregirse, especialmente en altimetría.
Este documento presenta información sobre un curso de topografía impartido por el ingeniero Alejandro Morales. Describe la brigada responsable del curso, los objetivos, equipos y herramientas utilizados como teodolitos, miras y brújulas. Explica conceptos clave como la triangulación topográfica para determinar distancias mediante figuras triangulares, midiendo ángulos y calculando lados.
Este documento presenta la información sobre una práctica de topografía realizada por un grupo de estudiantes utilizando el método de triangulación. El objetivo principal fue realizar un levantamiento topográfico de un sector mediante triangulación para determinar distancias. El grupo usó instrumentos como teodolito, mira, brújula y estacas. Explica conceptos clave como triangulación, compensación de ángulos y cálculo de distancias.
El documento describe varios métodos para compensar poligonales cerradas y abiertas. Para poligonales cerradas, los métodos incluyen el método arbitrario, la regla del tránsito, la regla de la brújula, el método de Crandall y el método de mínimos cuadrados. La regla de la brújula es el método más común, distribuyendo correcciones a las proyecciones de cada lado de manera proporcional a su longitud para cerrar el polígono. Para poligonales abiertas, el grado de control
Este documento describe varios parámetros morfométricos importantes para analizar el comportamiento hidrológico de una cuenca, incluyendo el área, longitud, pendiente, precipitación, densidad de drenaje y caudal. Explica métodos para medir el área, como la cuadrícula, y define el coeficiente de Gravelius para cuantificar la forma de la cuenca.
El documento trata sobre la topografía, que consiste en representar gráficamente el terreno mediante medidas de distancias, ángulos y diferencias de nivel. Explica los procedimientos para medir distancias de forma directa e indirecta utilizando cinta métrica, anteojo topográfico o telémetro, así como para medir diferencias de nivel mediante nivelación directa, trigonométrica o barométrica. Asimismo, describe los posibles errores en las mediciones y cómo minimizarlos para lograr mayor precisión.
El documento trata sobre la topografía, que consiste en representar gráficamente el terreno mediante medidas de distancias horizontales, verticales, y ángulos. Explica métodos para medir distancias de forma directa e indirecta utilizando cinta métrica, anteojo topográfico o telémetro, así como para medir diferencias de nivel mediante nivelación directa, trigonométrica o barométrica. Finalmente, analiza errores comunes en las mediciones y cómo minimizarlos.
Este documento presenta un manual de campo de topografía de la Pontificia Universidad Católica del Perú. Explica 10 campos de práctica de topografía que cubren mediciones con cinta, manejo del nivel y teodolito, y levantamientos topográficos. Cada campo describe los conceptos y procedimientos a seguir, con el objetivo de que los estudiantes aprendan a usar los instrumentos topográficos y realizar levantamientos de precisión.
Este documento presenta un manual de campo de topografía de la Pontificia Universidad Católica del Perú. Incluye 10 campos de práctica en topografía que cubren mediciones con cinta, nivelación, manejo del teodolito y levantamientos topográficos. Explica los objetivos de las prácticas, los procedimientos a seguir y los contenidos de los informes.
Este documento presenta un manual de campo de topografía de la Pontificia Universidad Católica del Perú. Explica 10 campos de práctica de topografía que cubren mediciones con cinta, manejo del nivel y teodolito, y levantamientos topográficos. También describe los objetivos de las prácticas, que son enseñar a los estudiantes a usar instrumentos topográficos y realizar levantamientos topográficos de distinta precisión.
Este documento presenta un manual de campo de topografía de la Pontificia Universidad Católica del Perú. Explica 10 campos de práctica de topografía que cubren mediciones con cinta, manejo del nivel y teodolito, y levantamientos topográficos. Cada campo describe los conceptos y procedimientos a seguir, con el objetivo de que los estudiantes aprendan a usar los instrumentos topográficos y realizar levantamientos de distintos niveles de precisión.
Este documento presenta un manual de campo de topografía de la Pontificia Universidad Católica del Perú. Describe 10 campos de práctica que cubren temas como medición de distancias con cinta y cartaboneo, nivelación, manejo de teodolitos, y levantamientos topográficos. Explica los objetivos de las prácticas de campo de topografía y los procedimientos para cada campo.
Este documento describe diferentes métodos para medir distancias en topografía, incluyendo el uso de cintas métricas, odómetros y telémetros. Explica cómo corregir errores sistemáticos en las mediciones de distancias, como errores por pendiente, graduación, temperatura y tensión. También discute errores aleatorios como errores de alineamiento y verticalidad. El objetivo es medir distancias con la mayor precisión posible para aplicaciones topográficas.
1) La topografía estudia los procedimientos para determinar las posiciones de puntos sobre la superficie terrestre mediante medidas de distancias, direcciones y elevaciones.
2) Un levantamiento topográfico implica determinar posiciones de puntos y representarlos en un plano para cálculos de superficies, volúmenes y representaciones gráficas.
3) Las mediciones topográficas se realizan usando cintas y jalones, considerando factores como precisión, errores y comprobaciones.
Sistemas de Información Geográfica: Proyecciones cartográficasChamps Elysee Roldan
El documento describe diferentes tipos de proyecciones cartográficas, incluyendo proyecciones cónicas, cilíndricas, azimutales y planas. Explica cómo cada proyección distorsiona ángulos, distancias y áreas de manera diferente al proyectar una esfera en un plano. También menciona algunas proyecciones específicas como Mollweide, Mercator y Robinson.
Este documento describe métodos para calcular las áreas de ocupación requeridas para obras de tierra en la construcción de caminos. Explica cómo medir y calcular analíticamente el ancho de la zona de ocupación en perfiles transversales del terreno. También describe cómo determinar el área de los taludes y el área total de los perfiles transversales usando métodos gráficos, analíticos o un planímetro. El documento proporciona fórmulas y ejemplos para cada método.
Este documento presenta información sobre topografía e instrumentos topográficos. Explica conceptos como medición de distancias, ángulos y correcciones. Describe diferentes instrumentos como teodolitos, estaciones totales, cintas y niveles. También cubre temas como sistemas de medición angular, cálculo de distancias y correcciones en mediciones con cinta.
El documento trata sobre una sesión de topografía que cubre el levantamiento con cinta y el manejo de nivel. Explica los equipos básicos para mediciones con cinta como piquetes, jalones y niveles de mano. Además, cubre métodos para mediciones en terreno inclinado y errores comunes. Finalmente, presenta diferentes tipos de niveles mecánicos y automáticos así como una actividad para aplicar los conceptos aprendidos.
Mapa conceptuales de proyectos social y productivo.pdfYudetxybethNieto
Los proyectos socio productivos constituyen una variante de formación laboral de incalculable valor formativo, que propician la participación activa, protagónica y participativa de los escolares, de conjunto con miembros de la familia y la comunidad.
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Teoria triang tema_9
1. Tema 9 Triangulación y Trilateración
Tema 9: Triangulación y Trilateración
M. Farjas 1
2. Tema 9 Triangulación y Trilateración
ÍNDICE
1. FUNDAMENTO TEÓRICO DEL MÉTODO
1.1 Concepto y necesidad de una red topográfica.
1.2 Proyecto y diseño de una red topográfica
• Pre-selección de vértice
• Reconocimiento y selección definitiva
• Señalización
• Reseñas
2. OBSERVACIÓN DE UNA RED TOPOGRÁFICA
2.1 Triangulación.
1. Observación angular.
• Método de la vuelta de horizonte.
• Método de pares sobre una referencia.
• Método mixto.
2. Medida de la base/s.
• Ampliación y reducción de bases.
3. Estaciones excéntricas. Reducción al centro.
• Concepto.
• Cálculo.
2.2 Trilateración.
3. CÁLCULO Y COMPENSACIÓN
3.1 Cálculo de la triangulación.
A. Descomposición de figuras.
• Polígonos.
• Cadena de triángulos.
• Cuadriláteros.
B. Aplicando mínimos cuadrados.
• Ecuaciones de condición.
M. Farjas 2
3. Tema 9 Triangulación y Trilateración
• Relaciones de observación.
3.2 Cálculo de la trilateración.
• Corrección de las distancias medidas.
• Constante del distanciómetro y prisma.
• Corrección atmosférica.
• Corrección en caso de proyección UTM.
3.3 Cálculo de triangulación-trilateración.
ƒ Obtención de las coordenadas aproximadas.
ƒ Relaciones de observación.
ƒ Introducción de pesos.
ƒ Resolución de las ecuaciones.
3.4 Precisión de una red topográfica.
4. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
M. Farjas 3
4. Tema 9 Triangulación y Trilateración
1. FUNDAMENTO TEORICO DEL METODO
1.1 Concepto y necesidad de una red topográfica.
1.2 Proyecto y diseño de una red topográfica
• Pre-selección de vértice
• Reconocimiento y selección definitiva
• Señalización
• Reseñas
1.1 CONCEPTO Y NECESIDAD DE UNA RED TOPOGRÁFICA
Se considera red topográfica al conjunto de vértices a partir de la red geodésica
de 3er orden.
La necesidad de la red topográfica radica en que la distancia entre los vértices de
3er orden es demasiado grande para los levantamientos. Se hace necesario
establecer por métodos topográficos nuevos vértices, denominados vértices
topográficos de modo que la distancia entre ellos no supere aquella que necesita
el trabajo.
1.2 RED TRIGONOMÉTRICA O TRIANGULACIÓN
Los puntos que constituyen esta red pueden estar separados desde unos
centenares de metros hasta kilómetros. Para ubicarlos se utilizan los métodos de
intersección.
Los métodos de intersección no requieren más que medidas angulares, por ello
para llegar a determinar las posiciones de los vértices se necesitará conocer al
menos la longitud de uno de los lados de la red. A este lado de longitud conocida
se le denomina base de la triangulación
2. OBSERVACIÓN DE UNA RED TOPOGRÁFICA
2.1 Triangulación.
1. Observación angular.
• Método de la vuelta de horizonte.
• Método de pares sobre una referencia.
• Método mixto.
2. Medida de la base/s.
• Ampliación y reducción de bases.
M. Farjas 4
5. Tema 9 Triangulación y Trilateración
3. Estaciones excéntricas. Reducción al centro.
• Concepto.
• Cálculo.
2.2 Trilateración.
2.1 TRIANGULACIÓN (observaciones angulares+ una distancia)
Método de vuelta de horizonte
El método de observación en la triangulación es el mismo que el que estudiamos
en la intersección, es decir el método de vueltas de horizonte.
Cuando las observaciones angulares se
efectúan según este método, se estaciona el
instrumento en el vértice, por ejemplo en A y
en posición de C.D. se observan todas las
direcciones. De ellas se elige la que mejor
definida esté, por ejemplo F, y se anotan las
lecturas a cada una de las restantes B, C, ...,
para volver a mirar a la visual de origen F, y
comprobar si su lectura , llamada de cierre, es
la misma que al comienzo. Ello permitirá
comprobar que el instrumento no ha sufrido
ningún tipo de movimiento durante la
observación. De ser así se procederá a situar el
equipo en posición de C.I. y se repetirán las
observaciones, girando en sentido contrario al
anterior y comprobando igualmente el cierre de
F. Si es correcto se dice que se ha observado
una serie o vuelta de horizonte.
Cuando se pretende alcanzar ciertas precisiones, se hace necesario observar más
de una serie y si es n el número de ellas, el ángulo de reiteración α, viene dado
por el cociente:
α = 200g
n
que será el valor que habrá que incrementar la lectura origen de cada serie para
conocer la de la siguiente. En Topografía no es frecuente observar más de dos
series
Se ha dicho anteriormente que las lecturas de cierre deben ser coincidentes con
las iniciales, pero se comprende que esta coincidencia no puede ser total, ya que
M. Farjas 5
6. Tema 9 Triangulación y Trilateración
estarán afectadas de errores de puntería y lectura por lo que la mayor diferencia
admisible para el cierre de una vuelta de horizonte, será:
e ( e e ) p l ≤ 2 + 2 2
Método de pares sobre una referencia
Este método consiste en elegir una dirección de referencia R, que esté bien
definida, y que puede ser o no alguna de las direcciones a observar. Se hacen las
lecturas correspondientes sobre R y B como si se tratase de una vuelta de
horizonte compuesta nada más que por dicho par de direcciones. A continuación
se visan de igual modo a R y C, que constituirán el segundo par, y así ,
sucesivamente hasta haber combinado con R todas las direcciones. Como la
observación de cada par se hace en muy poco tiempo se evitan posibles
movimientos del equipo.
Si el número de direcciones es grande, es lógico que se tarde bastante en la
observación de las direcciones, por lo que para abreviar se utiliza el método mixto
que consiste en dividir las direcciones totales en varias de tal manera que se vise
a la referencia y a unas direcciones y luego se vuelta a visar a la referencia y al
resto de las direcciones y se refunden las vueltas de horizonte en una sola.
Medida de la base
Para el desarrollo de la triangulación es necesario conocer la longitud de uno de
los lados. Este lado se llama base de la triangulación. Puede obtenerse mediante
medición directa o puede calcularse indirectamente su longitud, por reducción de
la de un lado geodésico o por ampliación de otra base más pequeña.
La base debe ocupar un lugar lo más centrado posible respecto de la
triangulación. Es evidente que así serán necesarios menos encadenamientos de
triángulos para enlazar desde ella los límites de la zona.
En cuanto a la precisión de la medida de la base será aquella que requiera la
escala del plano que se pretende obtener y la mayor o menor superficie a
representar, o dependerá de la precisión con la que se deseen las coordenadas de
los vértices.
La medida de la base se suele llevar a cabo con distanciómetros electrónicos.
Anteriormente se realizaba mediante una estadía invar, y fraccionando la distancia
en tramos no mayores a 50 metros. Se conseguían de este modo precisiones del
orden de 1/50.000.
M. Farjas 6
7. Tema 9 Triangulación y Trilateración
Las longitudes medidas han de
experimentar diversas correcciones,
siendo la primera la correspondiente a su
reducción al horizonte, si es que el
sistema empleado para obtenerla no da
directamente este tipo de distancias.
A su vez, si no es pequeña la altitud de
la base puede llegar a tener cierta
importancia la corrección denominada
reducción al nivel de mar ya que los
verticales de sus extremos A’ y B’ no son
paralelos sino convergentes en O, centro
de la Tierra. Así, si es H aquella altitud
de la semejanza de triángulos OAB y
OA’B’ se deduce:
R H
' +
' '
R
OA
OA
=
=
AB A B R
A B
AB
R +
H
=
' '
Si se desea efectuar el calculo de la triángulación en coordenadas rectangulares
de un determinado sistema de proyección, debe tenerse en cuenta que las
longitudes a representar en el plano pueden no ser iguales a las correspondientes
en el terreno, dadas las deformaciones que se producen en las proyecciones
cartográficas, teniendo que tener en cuenta la denominada anamorfosis lineal,
que representa la relación que existe entre aquellas longitudes.
El valor de k, de la anamorfosis es variable de unas proyecciones a otras y es
función de las coordenadas del lugar, así pues la longitud de la base a considerar
en el plano (AB), viene dada por la expresión:
(AB) = AB⋅ k
Si la base medida es pequeña puede ampliarse por métodos topográficos.
Tradicionalmente se ha llevado a cabo esta tarea mediante los métodos del
polígono, de la doble cadena, o el método rómbico:
• Método del polígono
El primero de ellos consiste en elegir una
serie de puntos de forma que los extremos
de la base medida A y B serán vértices de
un polígono y de modo que también lo
serán los extremos C y G. de la base
deducida. Los restantes vértices se sitúan
libremente procurando que formen
triángulos en los que se vayan
aumentando progresivamente los lados.
Con este método no se consiguen grandes
ampliaciones a lo sumo el doble de las
medidas.
M. Farjas 7
8. Tema 9 Triangulación y Trilateración
• Método de la doble cadena
La ampliación por doble cadena se hace, como de su nombre se deduce, mediante
la observación de las cadenas de triángulos, para tener así comprobación de los
resultados. Normalmente los vértices duplicados de ambas cadenas son los
intermedios entre los de la base medida y ampliada, se sitúan muy próximos unos
a otros, lo que reduce los desplazamiento y se utilizan banderas de diferentes
colores para no confundirlos. Este método permite ampliaciones mayores que el
anterior, pero no se debe exagerar el número de triángulos de las cadenas, para
evitar la acumulación de errores.
• Método rómbico
Por ultimo el método más utilizado era el método rombico o alemán. Con él se
conseguían mayores rendimientos con el menor esfuerzo. Consiste en considerar
la basé AB medida, como la diagonal pequeña de un rombo, del que la base
ampliada CD, es la otra diagonal. Así pues solo interviene en la operación los
cuatro puntos mencionados reduciéndose al máximo las observaciones. Con este
método se puede ampliar dos veces y media la base medida con un rombo, pero
puede considerarse a la diagonal CD como la base a ampliar mediante otro rombo,
del que EF seria la base a deducir.
.
2.2 TRILATERACIÓN (medida de distancias)
Este método consiste en que en vez de medir ángulos se miden distancias entre
todos los lados con distanciómetro. Las distancias que se obtienen en campo hay
que reducirlas al horizonte, por ello deberán medirse también los correspondientes
ángulos de inclinación, es decir se deben tomar las lecturas cenitales.
M. Farjas 8
9. Tema 9 Triangulación y Trilateración
Si se designan por a, b, c los lados del triángulo ABC el valor de A se puede
deducir mediante el teorema del coseno.
2 + 2 − 2
2
cosA b c a
bc
=
o también
cos A =
p(p −
a)
2 bc
Las coordenadas de los vértices se deducen del siguiente modo: si son A y B los
puntos de partida conocidos el acimut θA B
será asímismo conocido y como se ha
médido el lado AC, para calcular las coordenadas de C respecto de A solo se
precisa deducir el angulo en A ya que:
C
= B − A
θ θ A
A
2.3 ESTACIONES EXCENTRICAS
En ocasiones por alguna razón no es posible
estacionar en un vértice V. En este caso se puede
situar el aparato en otro punto E, haciendo lo que se
llama una estación excéntrica. Visando a los puntos
A , B,... que deberían observase desde V, con
posterioridad pueden calcularse las lecturas que se
hubiesen realizado de haber podido estacionar en él.
Para ello bastará tomar nota también de la lectura
acimutal que corresponde a la dirección EV, llamada
lectura al centro, y medir cuidadosamente la
separación entre ambos puntos, E y V, que se
denomina distancia de excentricidad
Sean LA y V L las lecturas efectuadas,
respectivamente, desde E al vértice lejano A y al V, y
sea E0g la del origen de lecturas. Si por V se traza
rectas paralelas a E0g y EA, se tendrá:
' = +
L L e A A A
por lo que para conocer la lectura que se hubiese
hecho desde V sobre A, bastará modificar la lectura
LV en el valor del angulo eA. En el triángulo EVA
puede establecerse:
EV
e
VA
= (1)
A VEA sen sen $
M. Farjas 9
10. Tema 9 Triangulación y Trilateración
pero:
V A
VA D
EV d
=
=
= −
VEA L L
A V
Sustituyendo valores en la expresión (1) y despejando sen eA resulta:
d
e
V A
D
L L
=
sen sen( −
)
A
A V
sen
e d
L L
D
A
sen( −
)
A V
A
V
=
V , el ángulo eA, será necesariamente pequeño,
Como la distancia d es corta y grande DA
por lo que puede sustituirse el seno por el arco, y expresándolo en segundos, se
obtendrá:
L L
D A
sen( − )
CC CC A V
e dr
V A
=
Para cada una de las observaciones o direcciones visadas desde E, hay que deducir la
corrección que le corresponde. La corrección toma un valor diferente para cada visual.
3. CÁLCULO Y COMPENSACIÓN
3.1 Cálculo de la triangulación.
A. Descomposición de figuras.
• Polígonos.
• Cadena de triángulos.
• Cuadriláteros.
B. Aplicando mínimos cuadrados.
• Ecuaciones de condición.
• Relaciones de observación.
3.2 Cálculo de la trilateración.
• Corrección de las distancias medidas.
• Constante del distanciómetro y prisma.
• Corrección atmosférica.
• Corrección en caso de proyección UTM.
3.3 Cálculo de triangulación-trilateración.
ƒ Obtención de las coordenadas aproximadas.
ƒ Relaciones de observación.
ƒ Introducción de pesos.
ƒ Resolución de las ecuaciones.
M. Farjas 10
11. Tema 9 Triangulación y Trilateración
3.4 Precisión de una red topográfica.
3.1 CALCULO PLANIMÉTRICO DE LA TRIÁNGULACIÓN
DESCOMPOSICIÓN DE FIGURAS.
- Polígono ( 5 - 7 vértices).
- Cuadrilátero.
-Cadena.
AJUSTE MÍNIMO CUADRÁTICO.
COMPENSACIÓN DE FIGURAS
A. POLÍGONO
Si la descomposición de los vértices es similar a la de la figura, se ha formado un
polígono alrededor de su vértice central. Supongamos que se han medido en el
campo los ángulos indicados en la figura.
El número de triángulos que normalmente configuran los polígonos suelen ser 5, 6
ó 7 y las condiciones que han de cumplir sus ángulo serán:
1.- La suma de los tres ángulos de cada triángulo ha de ser 200g.
2.- La suma de los ángulos alrededor del vértice central, A, deber ser 400g.
3.- Calculando sucesivamente los triángulos a partir de un lado radial
cualquiera, el AB, por ejemplo, debe llevarse a la misma longitud inicial.
El cumplimiento de estas tres condiciones da lugar a la aplicación de otras tantas
compensaciones, y que enunciadas por orden, son:
1º Compensación: Cierre de triángulos.
M. Farjas 11
12. Tema 9 Triangulación y Trilateración
Sumando los tres ángulos de cada triángulo, resultará:
g
1 + 2 + 3 =
200
4 + 5 + 6 =
200
g
7 + 8 + 9 =
200
g
10 + 11 + 12 =
200
13 + 14 + 15 =
200
g
g
Naturalmente la suma de los ángulos no será 200g así que se producirá un error ei
g
1 2 3 200
4 5 6 200
7 8 9 200
10 11 12 200
13 14 15 200
e
e
e
+ + = +
1
+ + = +
2
+ + = +
3
+ + = +
+ + = +
4
5
g
g
g
g
e
e
Para compensar los diferentes errores si son admisibles (e ea ≤ 2 3), se
corregirá cada uno de los ángulos en la tercera parte del error, pero nunca
introduciendo una compensación inferior a la precisión de las lecturas. Si por
algún motivo quedara una parte del error sin compensar se le sumará al ángulo
que más se acerque a 100g por exceso o por defecto.
Quedando entonces los ángulos:
5
e
e
1
1
e
1
2
e
2
1' 1 1
3
= −
2' 2 1
3
= −
3' 3 1
3
= −
4' 4 1
3
= −
5' 5 1
3
= −
. . . .
e
15' 15 1
3
e
= −
2º compensación: Suma de ángulos en el centro.
Los ángulos medidos alrededor del punto O deben sumar 400g, ya que son los
deducidos de una vuelta de horizonte.
M. Farjas 12
13. Tema 9 Triangulación y Trilateración
1+ 4 + 7 + 10 + 13 = 400g
Naturalmente esto no ocurrirá así que se producirá un error e que si es tolerable
(e n a 2 donde n = número de vértices) se procederá a compensar del mismo
modo que se compensó con los ángulos interiores.
1+ 4 + 7 + 10 + 13 = 400g + e
de tal manera que en este caso la compensación será:
e
e
e
e
e
1' ' 1' 1
5
= −
4' ' 4 1
5
= −
7' ' 7' 1
5
= −
10' ' 10' 1
5
= −
13' ' 13' 1
5
= −
Pero esta modificación de los ángulos interiores implica que habrá dejado de cumplirse la
1ª condición. Para que esto no ocurra se tendrán que retocar los ángulos restantes en la
mitad y con signo contrario al de la corrección que se ha efectuado a los ángulos
interiores.
2 2 1
10
'' '
= +
3 3 1
10
'' '
= +
5 5 1
10
'' '
= +
6 6 1
10
''
= +
8 8 1
''
. . . .
. . . .
'' '
10
= +
e
e
e
e
e
15 15 1
10
= +
e
3º Compensación: Ajuste de lado.
Puede suceder que cumpliéndose las otras dos condiciones el conjunto de los
puntos no sea un polígono, y entonces el punto A’ obtenido médiante la relación
M. Farjas 13
14. Tema 9 Triangulación y Trilateración
encadenada del teorema del seno, aplicado a las sucesivas bases de los
triángulos, no coincida con el de partida A. Para que esto no ocurra se ha de
aplicar una tercera corrección.
Aplicando el teorema de los senos a los diferentes triángulos obtenemos en el
triángulo 1:
OA
OB
= sen
sen
3
2
En el triángulo 2:
OB
OC
= sen
sen
6
5
En el triángulo 3:
OC
OD
= sen
sen
9
8
En el triángulo 4:
OD
OE
= sen
sen
12
11
En el triángulo 5:
OE
OA
= sen
sen
14
15
M. Farjas 14
15. Tema 9 Triangulación y Trilateración
Multiplicando ordenadamente nos queda:
A B C D E
OB OC OD OE OA
0 0 0 0 0 3 6 9 12 15
sen ⋅ sen ⋅ sen ⋅ sen ⋅
sen
sen ⋅ sen ⋅ sen ⋅ sen ⋅
sen
2 5 8 11 14
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
Ahora el primer miembro de la igualdad es igual a uno luego:
sen sen sen sen sen
sen sen sen sen sen
3 6 9 12 15
2 5 8 11 14
1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
Para que sea cierto los punto A y A’ han de coincidir, pues de lo contrario el lado
OA, inicial y final, no serán iguales. Este será el caso más general, el logaritmo de
la expresión anterior no será 0 sino que valdrá un cierto valor Δ:
log sen sen sen sen sen
3 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ 12 ⋅
15
2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅
14
sen sen sen sen sen
= Δ
Se modifican los ángulos de la expresión anterior para conseguir que sea cero el
logaritmo. Esta modificación ha de hacerse de manera que no perturbe las
compensaciones anteriores, y observando que en el numerador y en el
denominador de la expresión anterior, figuran un ángulo de cada triángulo, para
no introducir nuevos errores, la corrección que se introduzca en ellos ha de
hacerse por igual y con signo contrario. Así designándola por e y aplicando con
signo negativo a los del numerador y positivo a los del denominador se tendrá:
log sen( ) sen( ) sen( ) sen( ) sen( )
3 6 9 12 15
2 5 8 11 14 0
e e e e e =
e e e e e
− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
sen( ) sen( ) sen( ) sen( ) sen( )
Matemáticamente se obtiene que el ángulo e, puede calcularse con la siguiente
expresión:
Δ
δ
e = Σ
Siendo:
sen sen sen sen sen
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
log 3 6 9 12 15
sen sen sen sen sen
2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅
14
Δ =
3 6 9 12 15 2 5 8 11 14 Σ δ =δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ
Σ δ se denomina sumatorio de diferencias tabulares, debido al origen de las
mismas. Se calculan para los ángulos que intervienen en la ecuación de ajuste.
M. Farjas 15
16. Tema 9 Triangulación y Trilateración
Recordemos que la ecuación de ajuste debe deducirse para cada caso concreto de
compensación. El valor de Σ δ viene dado por:
log (3 1 ) log 3 3 δ = sen + CC − sen
log (6 1 ) log 6 6 δ = sen + CC − sen
log (9 1 ) log 9 9 δ = sen + CC − sen
log (12 1 ) log 12 12 δ = sen + CC − sen
log (15 1 ) log 15 15 δ = sen + CC − sen
log (2 1 ) log 2 2 δ = sen + CC − sen
log (5 1 ) log 5 5 δ = sen + CC − sen
log (8 1 ) log 8 8 δ = sen + CC − sen
log (11 1 ) log 11 11 δ = sen + CC − sen
log (14 1 ) log 14 14 δ = sen + CC − sen
La demostración teórica del cálculo del término e, se inicia a partir de la
expresión:
log sen( ) sen( ) sen( ) sen( ) sen( )
3 4 − e ⋅ 6 − e ⋅ 9 − e ⋅ 12 − e ⋅ 15
−
e =
2 + e ⋅ 5 + e ⋅ 8 + e ⋅ 11 + e ⋅ 1+
e
0
sen( ) sen( ) sen( ) sen( ) sen( )
Desarrollando:
(log(sen(3 − e)) + log(sen(6 − e)) + log(sen(9 − e)) + (log(sen(12 − e)) + log(sen(15 − e))) −
(log(sen(2 + e)) + log(sen(5 + e)) + log(sen(8 + e)) + log(sen((11+ e)) + log(sen(14 + e)) = 0
Debido a la pequeñez de e puede escribirse de modo general que:
log(sen( )) logsen
log(sen )) logsen
3 3
2 2
3
δ
δ
2
e e
e e
− = −
+ = −
Sustituyendo en la expresión anterior tendremos:
M. Farjas 16
17. Tema 9 Triangulación y Trilateración
(logsen 3 logsen 6 logsen 9 logsen12 logsen15 3 6 9 12 15 − eδ + − eδ + − eδ + − eδ + − eδ −
(logsen 2 logsen 5 logsen 8 logsen11 logsen14 0 2 5 8 11 14 + eδ + + eδ + + eδ + + eδ + + eδ =
y agrupando términos:
sen sen sen sen sen sen sen sen
log 3 log 6 log 9 log 12 log 15 (log 2 log 5 log 8
+ + + + − + + +
sen sen
log 11 log 14)
+ =
( ) 2 3 5 6 8 9 11 12 14 15 = e δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ
Ahora el primer miembro de la expresión es el desarrollo del logaritmo de la
expresión (*) . Su valor será Δ. La expresión queda reducida a:
Δ = eΣδ
Δ
δ
e = Σ
Una vez hallada la corrección (el valor del ángulo e, que compensa la figura) se
corregirá a los ángulos del numerador con signo contrario al error y a los del
denominador con su signo.
2 ''' 2
''
3 ''' 3
''
5 ''' 5
''
6 ''' 6
''
8 ''' 8
''
. . . .
. . . .
''' ''
e
e
e
e
e
= −
= +
= −
= +
= −
15 15
= +
e
B. CUADRILÁTERO
En un cuadrilátero hay que observar los ocho ángulos que determinan sus dos
diagonales, la figura constituye un cuadrilátero completo, y tales ángulos deben
cumplir las siguientes condiciones:
1.- Las diagonales dan lugar a la formación de cuatro triángulos opuestos, dos a
dos, por el vértice común O. La suma de ángulos opuestos por el vértice ha
de ser igual.
2.- La suma total de los ángulos será igual a 400g.
M. Farjas 17
18. Tema 9 Triangulación y Trilateración
3.- Calculando sucesivamente los triángulos a partir de un lado radial cualquiera,
el OA, por ejemplo, debe llevarse a la misma longitud inicial.
1º Compensación: Suma de ángulos en triángulos opuestos.
1 + 2 = 7 +
8
4 + 5 = 9 +
10
debido a los errores de observación no se cumplirán exactamente estas
igualdades, sino que resultará:
1 2 7 8
4 5 9 10
e
1
e
2
+ = + +
+ = + +
Se corregirán cada uno de los ángulos si fuese tolerable ( ea 2 4) en la cuarta
parte del error respectivo y en el sentido conveniente.
M. Farjas 18
19. Tema 9 Triangulación y Trilateración
1 1 1
4
'
= −
e
2 2 1
'
. . . .
. . . .
4
= −
7 7 1
4
'
= +
8 8 1
4
'
= +
4 4 1
'
. . . .
. . . .
'
4
1
1
1
1
2
= −
e
e
e
e
10 10 1
4
2
= +
e
2º Compensación. Suma total de los ángulos.
1'+2'+4'+5'+7'+8 + 9'+10'= 400
Naturalmente como ocurría en el caso anterior esta no se cumplirá y se producirá
un error e3 que si es tolerable ( ea 2 8) se procederá a compensar:
1 1 1
8
'' '
= −
e
2 2 1
'' '
. . . .
. . . .
. . . .
''
8
3
3
= −
e
10 10 1
8
3
= −
e
Esta compensación no modifica los efectos de la primera, pues cada uno de los
ángulos de la anterior compensación experimenta la corrección y seguirán
cumpliéndose aquellas condiciones.
M. Farjas 19
20. Tema 9 Triangulación y Trilateración
3º Compensación Ajuste de lado.
En el triángulo 1:
OA
OB
= sen
sen
2
1
En el triángulo 2:
OB
OC
= sen
sen
5
4
En el triángulo 3:
OC
OD
= sen
sen
8
7
En el triángulo 4:
OD
OA
= sen
sen
10
9
Multiplicando ordenadamente:
OA ⋅ OB ⋅ OC ⋅
OD
OB ⋅ OC ⋅ OD ⋅
OA
=
sen sen sen sen =
sen sen sen sen
2 5 8 10
1 4 7 9 1
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
Naturalmente esto no ocurrirá y aplicando logaritmos tendremos que:
log sen '' sen '' sen '' sen ''
2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅
10 log
1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅
9
sen '' sen '' sen '' sen ''
1
=
Ahora bien, para que sea cierto los puntos A y A’ han de coincidir, pues de lo
contrario los lados OA, inicial y final , no serán iguales, y como éste será el caso
más general, el logaritmo de la expresión anterior no será 0 sino que valdrá un
cierto Δ:
log sen '' sen '' sen '' sen ''
2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅
10
1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅
9
sen '' sen '' sen '' sen ''
= Δ
para que resulte cero se introduce en ellos una corrección e tal que:
0
sen e sen e sen e sen e
(2' ' − ) ⋅ log (5' ' − ) ⋅ (8' ' − ) ⋅ (10' ' −
) =
sen e sen e sen e sen e
(1' ' + ) ⋅ (4' ' + ) ⋅ (7' ' + ) ⋅ (9' ' +
)
M. Farjas 20
21. Tema 9 Triangulación y Trilateración
El ángulo viene dado por:
Δ
δ
eCC = Σ
Siendo:
sen sen sen sen
log 2' ' ⋅ 5' ' ⋅ 8' ' ⋅
10' '
sen sen sen sen
1' ' ⋅ 4' ' ⋅ 7' ' ⋅
9' '
Δ =
2 5 8 10 1 4 7 9 Σ δ =δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ
Σ δ se denomina sumatorio de diferencias tabulares. Se calculan para los
ángulos que intervienen en la ecuación de ajuste. Recordemos que la ecuación de
ajuste debe deducirse para cada caso concreto de compensación. El valor de
Σ δ viene dado por:
log (2 1 ) log 2 2 δ = sen + CC − sen
log (5 1 ) log 5 5 δ = sen + CC − sen
log (8 1 ) log 8 8 δ = sen + CC − sen
log (10 1 ) log 10 10 δ = sen + CC − sen
log (1 1 ) log 1 1 δ = sen + CC − sen
log (4 1 ) log 4 4 δ = sen + CC − sen
log (7 1 ) log 7 7 δ = sen + CC − sen
log (9 1 ) log 9 9 δ = sen + CC − sen
M. Farjas 21
22. Tema 9 Triangulación y Trilateración
C. CADENA
Llamaremos cadena a la disposición de triángulos que tienen una base en común
entre triángulos y no existe ningún vértice en común a todos ellos.
Para el cálculo de la cadena se necesita conocer, al menos, la longitud del lado
inicial AB, y según se conozcan o no otros datos relativos a su lado final IJ, podrá
aplicarse un número variable de compensaciones.
1º Compensación:
Si solo se conoce un dato relativo al último lado de la cadena, se dice que está
colgada, y solo se podrá realizar la compensación que deriva de los cierres de sus
triángulos, por lo que una vez realizado, los ángulos corregidos tendrán que
cumplir las condición general.
g
1 2 3 200
4 5 6 200
7 8 9 200
10 11 12 200
13 14 15 200
16 17 18 200
e
e
e
+ + − =
1
+ + − =
2
+ + − =
3
+ + − =
+ + − =
+ + − =
4
5
6
g
g
g
g
g
e
e
e
De aquí los ángulos compensados serán:
1 1 1
3
'
= −
e
2 2 1
3
'
= −
3 3 1
3
'
= −
e
4 4 1
3
'
= −
5 5 1
'
. . . .
'
3
1
1
e
1
2
e
2
= −
e
17 17 1
3
6
= −
e
M. Farjas 22
23. Tema 9 Triangulación y Trilateración
2º Compensación:
Si además de conocer los ángulos de los triángulos conocemos el azimut de
llegada, es natural que este dato obligue a hacer otra compensación, llamada
ajuste de acimut. Partiendo del azimut A
B θ y pasando por todas las bases
comunes a los triángulos haremos una corrida de azimutes hasta llegar al acimut
final.
C
θ θ
B
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
B
= −
A
= +
= −
= +
= −
= −
D
C
B
C
D E
C
D
E F
E D
F G
E
F
F H
F G
2
6
7
12
13
16
H
θ F − (θ ) =
e DATO
H
F
Este error será el error en el ajuste acimutal que habrá que compensar. Para ello
se hacen tantas partes del error como ángulos han intervenido en la corrida de
acimutes (será igual al número de triángulos). En cuanto al sentido con que han
de aplicarse las correcciones debe ser tal que anulen el error e, y a este respecto
debe deducirse de la figura el signo con que cada uno de aquellos ángulos
intervienen el calculo.
Así en la figura la compensación será:
M. Farjas 23
24. Tema 9 Triangulación y Trilateración
2 2 1 2 1
e
n
= − − = +
6 = 6 +
1
7 7 1 7 1
e
n
= − − = +
12 = 12 +
1
13 13 1 13 1
e
n
= − − = +
16 16 1 16 1
e
n
e
n
e
n
e
n
e
n
e
n
e
n
= − − = +
Esta modificación obliga a reajustar los triángulos otra vez sin modificar los
ángulos que han intervenido en la corrida acimutal. El reajuste será la mitad del
ángulo de corrección que se aplicó a los ángulos de la corrida acimutal cambiado
de signo.
1 1 1
2
1
= −
3 3 1
2
n
1
= −
4 4 1
2
e
n
1
= +
5 5 1
2
n
1
= +
8 8 1
2
n
1
= −
9 9 1
2
n
1
= −
n
10 10 1
2
e
e
e
e
e
1
= +
11 11 1
2
n
1
= +
14 14 1
2
n
1
= −
15 15 1
2
n
1
= −
e
e
e
n
e
17 17 1
2
1
= −
18 18 1
2
n
1
= −
e
n
e
M. Farjas 24
25. Tema 9 Triangulación y Trilateración
3º Compensación:
Cuando se conoce la longitud del lado de llegada debe aplicarse la compensación
del ajuste de lado, aplicando el teorema de los senos en los lados comunes de los
triángulos o lo que es lo mismo utilizando los lados de la corrida acimutal.
Aplicando el teorema de los senos.
AB
BC
BD
CD
CD
DE
DE
EF
EF
FG
FG
FH
=
=
=
=
=
=
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
3
1
5
4
9
8
11
10
15
14
17
18
Multiplicando ordenadamente y simplificando queda la expresión:
AB
FH
=
sen sen sen sen sen sen
sen sen sen sen sen sen
3 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ 11 ⋅ 15 ⋅
17
1 ⋅ 4 ⋅ 8 ⋅ 12 ⋅ 16 ⋅
18
FH
AB
sen sen sen sen sen sen =
sen sen sen sen sen sen
3 5 9 11 15 17
1 4 8 12 16 18 1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Aplicando logaritmos:
M. Farjas 25
26. Tema 9 Triangulación y Trilateración
log1 0
= =
= Δ
FH sen sen sen sen sen sen
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
log 3 5 9 11 15 17
AB sen sen sen sen sen sen
1 4 8 12 16 18
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
FH sen sen sen sen sen sen
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
log 3 5 9 11 15 17
AB sen sen sen sen sen sen
1 4 8 12 16 18
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Se hace, por tanto necesario modificar los distintos ángulos que intervienen en
una cierta cantidad e. Para obtener el valor del ángulo e, se procede de modo
análogo a como hemos realizado en las figuras anteriores:
Δ
δ
eCC = Σ
M. Farjas 26
27. Tema 9 Triangulación y Trilateración
Siendo:
FH sen sen sen sen sen sen
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
log 3 5 9 11 15 17
AB sen sen sen sen sen sen
1 4 8 12 16 18
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Δ =
3 5 9 11 15 17 1 4 8 12 16 18 Σ δ =δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ +δ
Las diferencias tabulares se calculan para los ángulos que intervienen en la
ecuación de ajuste. El valor de Σ δ viene dado por la suma de los siguientes
términos:
log (3 1 ) log 3 3 δ = sen + CC − sen
log (5 1 ) log 5 5 δ = sen + CC − sen
log (9 1 ) log 9 9 δ = sen + CC − sen
log (11 1 ) log 11 11 δ = sen + CC − sen
log (15 1 ) log 15 15 δ = sen + CC − sen
log (17 1 ) log 17 17 δ = sen + CC − sen
log (1 1 ) log 1 1 δ = sen + CC − sen
log (4 1 ) log 4 4 δ = sen + CC − sen
log (8 1 ) log 8 8 δ = sen + CC − sen
log (12 1 ) log 12 12 δ = sen + CC − sen
log (16 1 ) log 16 16 δ = sen + CC − sen
log (18 1 ) log 18 18 δ = sen + CC − sen
Cuando hayamos modificado los ángulos que intervienen en la ecuación de ajuste,
para compensar la figura, se cumplirá la igualdad:
log sen(3 ) sen(5 ) sen(9 ) sen( ) sen( ) sen( )
FH e e e e e e
AB e e e e e e
11 15 17 =
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
sen( 1 ) sen( 4 ) sen(8 ) sen( 12 ) sen( 16 ) sen( 18
)
0
M. Farjas 27
28. Tema 9 Triangulación y Trilateración
4º Compensación:
Si se conocen las coordenadas de los puntos iniciales y finales de la cadena, se
podrán calcular la longitud y acimut del lado que une los dos últimos puntos y, por
tanto, podremos hacer un nuevo ajuste. Resolviendo los sucesivos triángulos se
podrán calcular las coordenadas de todos los vértices de la cadena partiendo de
las de los primeros. Las coordenadas que se obtengan, para el último no
coincidirán con las reales y las diferencias son las que habrá que compensar.
Para ellos se consideran los vértices de la cadena en el mismo orden en que se
han calculado y se asimila a una gran poligonal cuyos tramos son los lados del
triángulo.
La compensación de las coordenadas se hará proporcional a las longitudes de los lados.
AJUSTE MÍNIMO CUADRÁTICO
Como se ha comentado, el método de observación en la triangulación y en la trilateración
es el método de vueltas de horizonte.
M. Farjas 28
29. Tema 9 Triangulación y Trilateración
Con todas las observaciones obtenidas angulares y de distancias, puede realizarse
el cálculo de las coordenadas de los vértices planteando las ecuaciones de
observación que corresponden al modelo.
Previamente se obtendrán las coordenadas aproximadas de los vértices incógnita
mediante la resolución de los métodos simples que se requieran. Para estas
coordenadas podrá aplicarse el método de radiación, de intersección simple u
otros, desde los vértices de coordenadas conocidas previamente.
El modelo de relación de observación por cada dirección acimutal obtenida en
campo es el siguiente:
CC
⋅ ( − ) − ( − ) − ( − ) + ( − ) − Σ + ( )'− ( + Σ´ ) = 1
r CC
[ Y Y dX Y Y dX X X dY X X dY ] d [ L ] v
2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 θ
EXPRESIÓN GENERAL DE LA RELACIÓN DE OBSERVACIÓN POR DIRECCIÓN ANGULAR OBSERVADA
D
2
1
2
El modelo de relación de observación por cada distancia observada (y tratada
convenientemente para reducirla al sistema cartesiano correspondiente) queda:
− − − − + − + − + − = 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )
[ X X dX Y Y dY X X dX Y Y dY ] D D V
D CAL OBS
CAL
EXPRESIÓN GENERAL DE LA RELACIÓN DE OBSERVACIÓN POR DISTANCIA OBSERVADA
Las ecuaciones de observación serán:
A x = L
Las ecuaciones normales:
AT P Ax = AT P L
Podemos cambiar la nomenclatura, y llamar
N = AT P A
t = AT P L
M. Farjas 29
30. Tema 9 Triangulación y Trilateración
quedando el sistema de ecuaciones normales de la siguiente forma:
N x = t
La solución al sistema se obtiene calculando:
x = (AT P A)-1 AT P L
con la sustitución anterior queda:
x = N-1 t
La matriz P es una matriz diagonal de pesos que se define de la siguiente
manera:
p1 0 0 0 0
0 p2 0 0 0
P = 0 0 p3 0 0
....................................................
0 0 0 0 pm
En la matriz P, todos los elementos fuera de la diagonal principal son 0. Esta
situación corresponde a observaciones independientes y no correlacionadas. Este
es generalmente el caso de la Topografía.
Para determinar las precisiones de las cantidades ajustadas, se calculan los
residuos después del ajuste. Sea el ajuste con o sin pesos, los residuos vienen
dados por:
V = Ax – L
Cálculamos de la varianza de referencia a posteriori:
V T PV
r
2 =
σˆ0
donde V es el vector de residuos, P la matriz de pesos y r es el número de grados
de libertad del ajuste y es igual al número de ecuaciones de observación (n)
menos el número de incógnitas (no), es decir expresa la redundancia del modelo:
r = n-no.
Si la varianza de referencia no se da como dato puede calcularse a posteriori con
este cálculo. Si la varianza de referencia se conoce al comienzo del ajuste a
posteriori se calculará este valor también para hacer una comprobación estadística
de los dos valores.
La matriz cofactor asociada al vector de parámetros por el método paramétrico,
puede calcularse a partir de los residuos
Qxx = N-1 = (AT P A)-1
M. Farjas 30
31. Tema 9 Triangulación y Trilateración
Y a partir de esta matriz obtenemos la matriz covarianza, que contiene las
precisiones buscadas. La desviación típica de las cantidades individuales ajustadas
son:
xx xx N 2 Q
Σ =σˆ0 =σˆ −
0
2 1
Análisis estadísticos posteriores al ajuste se concentran en la estimación de la
calidad global del ajuste mediante el Test de bondad y la detección de errores
groseros de pequeña magnitud. Los errores de magnitudes grandes son
fácilmente detectables puesto que producen grandes residuos en las
observaciones de una zona concreta de la red. Este análisis se basa en la
realización de tests estadísticos sobre los residuos de las observaciones.
Como test de bondad del ajuste se utiliza χ2. Es conocido como test global y sirve
para determinar si la varianza de referencia a posteriori es compatible con la
varianza de referencia a priori.
El test de Baarda es una técnica que combina la detección de residuos
anormalmente grandes bajo un cierto criterio estadístico, la localización del error
grosero y su determinación.
El procedimiento de cálculo consistirá en obtener coordenadas iniciales de todos
los puntos, con ellas y a partir de los datos de campo obtener las ecuaciones de
observación de dirección, una ecuación por cada observación de dirección, y
finalmente resolver el sistema.
4. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
• BANNISTER, A y RAYMONF, S.(1984).
• BARBARELLA, Maurizio; PIERI, Lamberto (1983): "I pesi nella
compensazione di reti topografiche". Bolletino di Geodesia e Scienze Affini.
Anno XLII, Nº 3, págs. 317-335.
• BEZOARI, G.; MONTI, C. y SELVINI, A. (1984).
• BRINKER, Russell C.; MINNICK, Roy (1987).
• CHUECA PAZOS, M. (1983): Tomo I.
• DOMINGUEZ GARCIA-TEJERO, F. (1978).
• FERNÁNDEZ, F. M (1982): "Diseño óptimo y control de redes topográficas".
Topografía y Cartografía. Vol X nº 50. 1982.
• KAVANAGK Barry F. y BIRD, S.J. Glenn (1989).
• NUÑEZ DEL POZO, A y MACAN FÁBREGA, M (1990): "Densificación de la
red de tercer orden". Topografía y Cartografía. Vol VII. nº36. Enero-
Febrero 1990.
• OJEDA RUIZ, J.L. (1984).
M. Farjas 31
32. Tema 9 Triangulación y Trilateración
• RUIZ MORALES, Mario (1992).
• SOBERATS MASSANET, M (1985): "Correcciones Meteorológicas a
distancias medidas con distanciómetro". Topografía y Cartografía. Vol II-Nº
50. Septiembre-Octubre 1985
• UREN, J.; PRICE, W.F. (1992).
• VALBUENA DURAN, J.L. (1989): "Distanciometría electrónica, calibración y
puesta a punto". Topografía y Cartografía. Vol IV - Nº 31, pág. 21-29.
M. Farjas 32