Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre el cálculo integral y la diferencial. En la primera sección, se muestran cinco ejemplos de cómo calcular diferenciales aplicando la fórmula general. Luego, se piden diez ejercicios de diferenciales para que el alumno resuelva. La segunda sección contiene ejemplos de integrales definidas resueltas y cinco ejercicios para integrar. La tercera sección explica cómo realizar cambios de variable en integrales. Finalmente, la cuarta sección presenta la fó

1. CUADERNO DE TRABAJO
CÁLCULO INTEGRAL
ADAPTADO AL PROGRAMA DE ESTUDIO DE NIVEL
BACHILLERATO
NOMBRE DEL ALUMNO:
_____________________________________________________
NUMERO DE LISTA:
_____________________________________________________
GRUPO:
_______________________
PERIODO 2014-B

2. LA DIFERENCIAL
EJEMPLOS
𝟏. √𝟏. 𝟎𝟐
𝑦 = √ 𝑥 √1.02 = √1 + 0.2
𝑥 =
1
2
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
𝑥−1
2⁄
𝑥 = 1 𝑑𝑥 = 0.2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
𝑥
1
2⁄ 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
√ 𝑥 𝑑𝑦 = (
1
2
) (0.2)
𝑑𝑦 = (
1
2√ 𝑥
) (𝑑𝑥) √1.02 = √1 + 𝑑𝑥
= 1 + 0.1
𝟐. √𝟗. 𝟎𝟖
𝑦 = √ 𝑥 𝑑𝑦 = (
1
2√ 𝑥
) (𝑑𝑥)
𝑥 =
1
2
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
𝑥−1
2⁄
𝑑𝑦 = (
1
2√9
) (0.08) = 0.0133
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
𝑥
1
2⁄ 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
√ 𝑥 √9.08 = √9 + 𝑑𝑥
𝑑𝑦 = (
1
2√ 𝑥
) (𝑑𝑥) = 3 + 0.0133
√9.08 = √9 + 0.08
𝑥 = 9 𝑑𝑥 = 0.08
𝟑. √𝟔𝟑. 𝟕
𝟑
√64 − 0.3 √63.7
3
= √64 − 0.3
3
𝑦 = √ 𝑥
3
𝑥 = 64 𝑑𝑥 = 0.3
𝑥 = 𝑥
1
3⁄ 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
3
𝑥−1
3⁄
𝑑𝑦 = (
1
3 √6423 ) (0.3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
3𝑥
2
3⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
3 √ 𝑥
3 √63.7
3
= √64 − 𝑑𝑦
3
𝑑𝑦 = (
1
3 √𝑥23 ) (𝑑𝑥) √63.7
3
𝟒. √𝟕. 𝟕𝟖
𝟑
𝑦 = √ 𝑥
3
𝑑𝑦 = (
1
3 √(8)23 ) (0.22)
=1.01
= 3.0133
=3.993

3. 𝑥 = 𝑥
1
3⁄ 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
3
𝑥−1
3⁄
𝑑𝑦 = (
1
3 √64
3 ) (0.22) =
(
1
12
) (0.22)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
3𝑥
2
3⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
3 √𝑥23 𝑑𝑦 = 0.018
𝑑𝑦 = (
1
3 √𝑥23 ) (𝑑𝑥) √7.78
3
= √8
3
− 𝑑𝑥
√7.78
3
= √8 − 0.22 = √8 − 0.018
3
𝑥 = 8 𝑑𝑥 = 0.22 √7.78
3
𝟓. √𝟔𝟒. 𝟎𝟐
𝟔
𝑦 = √ 𝑥
6
𝑑𝑦 = (
1
6 √6456 ) (0.02)
𝑦 = 𝑥
1
6⁄ 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
6
𝑥−5
6⁄
𝑑𝑦 = (
1
6(32)
)(0.02)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
5
6𝑥
5
6⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
5
6 √ 𝑥56 𝑑𝑦 = (
1
192
)(0.02)
𝑑𝑦 = (
5
6 √ 𝑥56 ) (𝑑𝑥)
𝑑𝑦 = 1.041666667𝑥10−04
√64.02
6
= √64 + 0.02
6
√64.02
6
= √64 − 1.041666667𝑥10−046
𝑥 = 64 𝑑𝑥 = 0.02 √64.02
6
Calcular las siguientes diferenciales
𝟏. √𝟐𝟒. 𝟐𝟖
𝟐. √𝟑𝟏. 𝟒𝟓
𝟑
𝟑. √𝟖𝟎. 𝟎𝟐
𝟒
𝟒. √𝟓𝟎. 𝟑𝟑
𝟑
𝟓. √𝟓. 𝟎𝟖
𝟔
=1.82
= 2.000104167

4. 6. √𝟗. 𝟎𝟖
𝟔
7. √𝟓. 𝟎𝟐
𝟒
8. √𝟐. 𝟎𝟖
𝟐
9. √𝟏𝟐. 𝟎𝟖
𝟒
10. √𝟏𝟐. 𝟐𝟖

5. INTEGRAL
1.- ∫ (
2
√𝑥35 + 9√𝑥23
+
1
𝑥
+
1
3
) dx = ∫(
2
𝑥
3
5
+ 9
3
2 + 𝑥−1
+
1
3
)dx = ∫(2𝑥−
3
5 + 9
3
2 + 𝑥−1
+
1
3
)dx =
2
1
𝑥
2
5
2
5
+
9
1
𝑥
5
3
5
3
+ln |x|+
1
3
x + C =
10𝑥
2
5
2
+
27𝑥
5
3
5
+ +ln |x| +
1
3
x + C = 5𝑥
2
5 +
27𝑥
5
3
5
+ +ln |x| +
1
3
+ C =
5√𝑥25
+
27
5
√𝑥53
++ln |x|+
1
3
x + C
2.- ∫ (8𝑥−4
-
16
𝑥2 + 5𝑥3
+23x – 8) dx =∫ (8𝑥−4
- 16𝑥2
+ 5𝑥3
+23x – 8) dx =
8𝑥−3
3
-
16𝑥−1
1
+
15𝑥4
4
+
23𝑥2
2
– 8 + C =
8𝑥−3
3
-16 𝑥−1
+
15𝑥4
4
+
23𝑥2
2
– 8 + C =
8
3𝑥3
-
16
𝑥
+
15𝑥4
4
+
23𝑥2
2
– 8
+C
3.- ∫(16𝑥
1
4 +
8
𝑥
−
1
2
+
3
5𝑥
−
2
7
+
1
4
x – 12 )dx = ∫(16𝑥
1
4 + 8𝑥−
1
2 +
3𝑥
2
7
5
+
1
4
x – 12dx =
16𝑥
5
4
1
5
4
+
8𝑥
1
2
1
1
2
+
3𝑥
9
7
5
9
7
+
1𝑥2
4
2
1
– 12x+ C =
64𝑥
5
4
5
+
16𝑥
1
2
1
+
21𝑥
9
7
45
+
1𝑥2
8
– 12x +C =
64𝑥
5
4
5
+ 16𝑥
1
2 +
7𝑥
9
7
15
+
1𝑥2
8
– 12x
+C
=
64 √ 𝑥54
5
+ 16√ 𝑥 +
7 √𝑥79
15
+
1𝑥2
8
– 12x +C
4.- ∫( 8𝑥5
+ 3𝑥2
– 10x + 6) dx =
8𝑥6
6
+
3𝑥3
3
-
10𝑥2
2
+6x +C
=
4𝑥6
3
+ 𝑥3
- 5𝑥2
+6x +C
5.- ∫ (
1
8𝑥4
+
9
𝑥−3
+
6
𝑥2
+
23
5𝑥
) dx =∫(
1𝑥−4
8
+9𝑥3
+ 6𝑥−2
+
23𝑥−1
5
) =
1𝑥−3
8
3
1
+
9𝑥4
4
+
6𝑥−1
1
+
23
5
+
+ln |x| + C =
1𝑥−3
24
+
9𝑥4
4
- 6𝑥−1
+
23
5
ln +𝑐 + C
=
1
24𝑥−3
+
9𝑥4
4
-
6
𝑥
+
23
5
ln |𝑥|

6. Resuelve las siguientes integrales:
1. ∫ (19𝑥−
1
4 +
1
5𝑥
−
1
3
+
19
√ 𝑥
+ 26√𝑥35
-
36
𝑥−5
+
8
𝑥
-9) dx
2. ∫ (
10
√ 𝑥
+ 9𝑥3
- 6√𝑥38
+
14
𝑥8
+
12
𝑥
-2) dx
3. ∫ (9√𝑥8 +
1
4𝑥
−
1
2
+
5√ 𝑥5
7
+
23
7 √𝑥38 ) dx
4. ∫ (7√ 𝑥 +
13
2√ 𝑥5
+
1
4 √ 𝑥
3 -
2 √𝑥37
3
- √3) dx
5. ∫(6𝑥2
-
8
𝑥2
+ 6𝑥2
+
5
𝑥
+
1
𝑥−4
) dx
6. ∫ (20𝑥−
1
4 +
1
6𝑥
−
1
3
+
19
√ 𝑥
+ 26√𝑥35
-
36
𝑥−5
+
8
𝑥
-8) dx
7. ∫ (12𝑥−
1
4 +
1
5𝑥
−
1
3
+
19
√ 𝑥
+ 24√𝑥35
-
36
𝑥−5 +
8
𝑥
-6) dx
8. ∫ (
10
√ 𝑥
+ 8𝑥3
- 6√𝑥38
+
12
𝑥8
+
16
2𝑥
-2) dx
9. ∫ (
10
√ 𝑥
+ 5𝑥3
- 6√𝑥38
+
24
3𝑥8
+
22
𝑥
-2) dx
10.∫ (3√ 𝑥 +
11
2√ 𝑥5
+
1
4 √ 𝑥
3 -
4 √𝑥37
3
- √5) dx

7. INTEGRAL POR CAMBIO DE VARIABLE
Ejemplo:
1- ∫ 𝟐𝑿𝒆 𝒙 𝟐
∫ 2𝑋𝑒 𝑥2
𝑑𝑥=∫2x𝑒 𝑢 𝑑𝑢
2𝑥
∫𝑒 𝑢
du=𝑒 𝑢
+c=𝑒 𝑥2
+c
U=x2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=2x
𝑑𝑢
2𝑥
=dx
Resuelve las siguientes integrales
1-∫xcosx2
dx
2-∫sen4
xcosxdx
3-∫𝑒3𝑥
dx
4-∫
𝑑𝑥
6−𝑥
5-∫
𝑥
3𝑥−1
6-∫
2𝑥+7
𝑥+7𝑥−1
7-∫
𝑑𝑥
(𝑥−2)2
8-∫
𝑑𝑥
(2𝑥+5)3
9∫-
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
10-∫
𝑥
3𝑥−16
dx

8. INTEGRACIÓN POR PARTES
Formula
∫ 𝒇(𝒙) . 𝒈´(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒇(𝒙). 𝒈(𝒙) − ∫ 𝒇´(𝒙)𝒈(𝒙)𝒅𝒙
Ejemplos
1. ∫ 𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙
Solución
Para comenzar la expresión f(x) la vamos a derivar y g´(x) dx la vamos a integrar
F(x) se deriva
f(x)=x
f´(x)=1
g´(x) dx se integra
g´(x) dx = cosx dx
g(x) =∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
g(x)= senx +C
Se sustituyen los valores.
∫ 𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 =(x) (senx) ─∫(1)(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥
= x senx ─∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
Resultado =
2. 𝒙 𝒆 𝒙
𝒅𝒙
Solución
f(x)
f(x)= x
f´(x)= 1
g´(x)dx
g´(x) dx = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
g(x) =∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
+ 𝐶
Sustituimos
𝒙 𝒆 𝒙
𝒅𝒙 = (X) (𝑒 𝑥
) – ∫(1)(𝑒 𝑥)𝑑𝑥
= x 𝑒 𝑥
─∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
Resultado=
X senx + cosx + C
x 𝑒 𝑥
− 𝑒 𝑥
+ 𝐶

9. 3. ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
= ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
Encontrar f(x) y g(x)
f(x)
f(x)= senx
f´(x)= cosx
g´(x) dx
g´(x) dx = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
g(x)=∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
g(x) = ─cosx + C
Sustitución
= (senx) (─cosx) ─∫(𝑐𝑜𝑠𝑥)(−𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥
=─ senx. cosx ─∫(−𝑐𝑜𝑠2
𝑥) 𝑑𝑥
=─ senx cosx ─ (─𝑠𝑒𝑛2
𝑥) 𝑑𝑥
= ─ senx cosx + (senx) (senx) + C
Resultado=
4. Hallar ∫ 𝒙 𝟏𝒏 𝒙 𝒅𝒙
Solución
Encontrar f(x) y g(x)
F(x)
f´(x)= 1 n x
g´(x) dx
g´(x) dx = x dx
g(x)= ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
Sustitución
=∫ 𝑥 1𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 1𝑛 𝑥 .
𝑥2
2
─ ∫
𝑥2
2
.
𝑑𝑥
𝑥
Resultado =
─ senx cosx +𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝐶
𝑥2
2
1𝑛 𝑥 –
𝑥2
4
+ 𝐶

10. 5. Hallar ∫ 𝒙 𝒆 𝒂𝒙 𝒅𝒙
Encontrar f(x) y g´(x) dx
F(x)
F´(x) =𝑒 𝑎𝑥
. 𝑎 𝑑𝑥
g´(x) dx
g(x)=∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
Sustitución
∫ 𝑥 𝑒 𝑎𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑎𝑥
.
𝑥2
2
− ∫
𝑥2
2
𝑒 𝑎𝑥
𝑎 𝑑𝑥
Resultado=
Ahora hazlo tú…
Resuelve los siguientes ejercicios
1.- Hallar ∫ 𝑥2
𝑒 𝑎𝑥
𝑑𝑥
2. Demostrar ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 – 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶
3. Hallar ∫ 𝑠𝑒𝑛 2
𝑥 𝑑𝑥
4. Hallar ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥
5. Hallar∫ 𝑥 𝑛
1𝑛 𝑥 𝑑𝑥
6.- Hallar ∫ 𝑥𝑒 𝑥
𝑑𝑥
7.- Hallar ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
8.- Hallar ∫ 𝑥 2
𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
9.- Hallar ∫ 𝑐𝑜𝑠 2
𝑒 𝑥
𝑑𝑥
10.- Hallar ∫ 𝑠𝑒𝑛 2
𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝑥2 𝑒 𝑎𝑥
2
−
𝑎
2
∫ 𝑥2
𝑒 𝑎𝑥
𝑑𝑥

11. SUMATORIA
Ejemplos:
1.-
∑ 𝑖3
𝑛=20
𝑖=1
− 6𝑖
-5 + -4 + 9 + 40 + 95 +… + 940
2.-
∑ 𝑖2
𝑛=20
𝑖=1
− 1
0 + 3+ + 8 + 15 + 24 +…. + 399
3.-
∑ 𝑖3
𝑛=10
𝑖=1
− 𝑖
0 + 6 + 24 + 60 + 120 +… + 990
4.-
∑
1
𝑖
𝑛=20
𝑖=1
1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+ ⋯ +
1
20
5.-
∑ 5𝑖2
𝑛=15
𝑖=1
5 + 20 + 45 + 80 + 125+ …. +
1125
Ejercicios a resolver:
1.-
∑ =
𝑛=
𝑖=1
2 + 5 + 10 + 17 + 26 + … + 101
2.-
∑ =
𝑛=
𝑖=1
6 + 13 + 32 + 69 + 130 +…+ 1005
3.-
∑ =
𝑛=
𝑖=1
0 + 9 + 16 + 25 + 36 +…+ 256
4.-
∑ =
𝑛=
𝑖=1
8 + 64 + 216 + 512 + 1000 +…+
216000
5.-
∑ =
𝑛=
𝑖=1
-3 + 27 + 237 + 1017 + 3112 +
… + 102399957

12. 6.- Hallar el valor de la siguiente suma:
E = 249 + 251 + 253 +… + 317
7.- Hallar el valor de la siguiente suma:
E = 0,008 + 0,013 + 0,018 +… 0,158
8.- Hallar el valor de la siguiente suma:
E = 1/2 + 5/4 + 2 +… + 19/2
9.- En una autopista se colocan 51 marcadores de kilómetros, cada uno de los cuales se
distancian 3 kilómetros entre si. La cantidad total de kilómetros que ellos marcan es de 4233
kilómetros. Halle Ud. El producto de lo que marcaba el primero y el último marcador.
10.- Hallar el valor de la siguiente suma:
E = 1 + 1/5 + 1/25 + 1/125 + 1/625 +… ∞

13. INTEGRAL DEFINIDA
Ejercicios:
1.- ∫ 2𝑥23
1
=
2
4
𝑥4
∫ =
2
4
[(3)4
− (1)4] =
2
4
[(81 − 1)] =
2
4
[80] = 𝟒𝟎𝒖 𝟐3
2
2.- ∫ (2𝑥 − 2𝑥2 )𝑑𝑥
1
0
=
2𝑥2
2
−
2𝑥3
3
∫ = 𝑥2− 2𝑥3
3
[(1)2
− (0)2] −
2
3
[(1)3
−
1
0
(0)3] = [1 − 0] −
2
3
[1 − 0] = [1] −
2
3
[1] = 1 −
2
3
=
1
3
𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝒖 𝟐
3.- ∫ (𝑥2
− 2𝑥 )𝑑𝑥
2
0
=
1
3
𝑥3
−
2
2
𝑥2
∫ =
1
3
2
0
[(2)3
− (0)3] −
2
2
[(2)2
− (0)2] =
1
3
[8 − 0] −
2
2
[4 − 0] =
1
3
[8] −
2
2
[4] = 2.66 − 4 = −1.34𝒖 𝟐
4.- ∫
2
𝑥
𝑑𝑥
−1
−3
= ∫ 2𝑥−1−1
−3
𝑑𝑥 = ∫ 2𝑙𝑛 ∕ 𝑥 ∕
−1
−3
= 2𝑙𝑛 (−1)⁄ − (−3) ∕=
2𝑙𝑛 2 = 1.3862𝒖 𝟐⁄⁄
5.- ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜋
0
∫ [(𝜋) − (0)] = − cos[𝜋] = −0.998𝒖 𝟐𝜋
0
Resuelve los siguientes ejercicios:
1.- ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
0
2.- ∫ (2𝑥2
− 2𝑥)𝑑𝑥
4
2
3.- ∫ 𝑥3
𝑑𝑥
2
−1
4.- ∫ (6𝑥2
− 4𝑥)𝑑𝑥
4
2
5.- ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
4

14. 6.- ∫ (4𝑥2
− 3𝑥)𝑑𝑥
5
3
7.- ∫ (4𝑥2
+ 2𝑥)𝑑𝑥
6
2
8.- ∫ (8𝑥2
− 7𝑥)𝑑𝑥
8
4
9.- ∫ sen 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
5
10.- ∫ 𝑥4
𝑑𝑥
2
−1