Teoriadecolas

TEORÍA DE COLAS O
LÍNEAS DE ESPERA

TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
INTRODUCCIÓN
 Las colas o las líneas de espera son parte de nuestra vida diaria.
 Muchos hemos tenido que esperar en fila: para pagos de
matrícula de un semestre académico o para ser atendidos en el
salón de belleza.
 El sistema se congestiona y hay que esperar, pero otras se
desalientan por el tamaño de la fila y se marchan.
Es al ingeniero danés, A. K. Erlang, a quien se le atribuye haber sido
el creador de la teoría de colas, (teoría de líneas de espera o
modelos de líneas de espera) a principios del siglo XX, que estudio el
congestionamiento y tiempos de espera que ocurrían al efectuar las
llamadas telefónicas, llegando a muchos de los resultados que
actualmente utilizamos.

INTRODUCCIÓN
La teoría de colas es el estudio de los procesos de espera en
diferentes circunstancias. Usa modelos de colas para presentar los
diversos tipos de sistemas de colas (sistemas que significan hacer
cola de algún tipo) que pueden surgir en la practica.
Los modelos de colas se ayudan de formulas y relaciones
matemáticas para determinar las características de operación
(medidas de desempeño) de una línea de espera.
También se le conoce como sistemas de procesamiento:, pues
incluye fábricas donde los trabajos se mueven en varias etapas
durante el proceso de fabricación, o dependencias en donde el
manejo de documentación lo realizan varios individuos, grupos o
comités. En dicho caso se forman "redes de colas“.

INTRODUCCIÓN
Las características de operación (medidas de desempeño) de
interés, incluyen:
1. La probabilidad de que no haya unidades o (clientes) en el
sistema.
2. El numero promedio o esperado de unidades (clientes) en la
línea de espera.
3. El numero promedio de unidades (clientes) en el sistema.
4. El tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en la línea de
espera.
5. El tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en el sistema.
6. La probabilidad de que una unidad (cliente) que llega tenga que
esperar para que le atiendan.
7. La probabilidad de que haya “n” unidades (clientes) en el
sistema.

OBJETIVO DE LA TEORÍA DE COLAS
La teoría de colas o líneas de espera, procura el estudio riguroso
del fenómeno de la espera organizada de clientes para la obtención
de un servicio que presta un servidor.
El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio
proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el
cliente no llega en un horario fijo; es decir, no se sabe con exactitud
en que momento llegarán los clientes. Así, como también el tiempo
de servicio no tiene una duración fija.
Contar con esta información permitirá tomar decisiones que
equilibren los noveles de servicio contra el costo de proporcionar el
servicio.

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA
La teoría de colas o líneas de espera, procura el estudio riguroso
del fenómeno de la espera organizada de clientes para la obtención
de un servicio que presta un servidor.
El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio
proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el
cliente no llega en un horario fijo; es decir, no se sabe con exactitud
en que momento llegarán los clientes. Así, como también el tiempo
de servicio no tiene una duración fija.
Contar con esta información permitirá tomar decisiones que
equilibren los noveles de servicio contra el costo de proporcionar el
servicio.

EJEMPLO DE SISTEMAS DE LÍNEA DE ESPERA
Naturaleza de las
unidades
Naturaleza del Servicio
Naturaleza de las
Estaciones
Clientes Venta de un artículo Vendedores
Barcos Descarga Muelles
Aviones Aterrizaje Pistas
Llamadas telefónicas Conversaciones Circuitos
Llegada de automóviles Aduanas Agentes
Mensajes Desciframiento Descifradores
Máquinas en reparación Reparación Mecánicos
Incendios Extinción Carros de Bomberos
Pedidos en ejecución Confección o reparación Talleres
Correo Mecanografía Secretarias
Clientes Entrega contra inventario Inventarios
Vehículos Paso en un cruce Semáforos

Para ilustrar las características básicas de un modelo de líneas de
espera, veamos el siguiente caso de estudio:
El restaurante de comida rápida Burger Dome vende hamburguesas,
sencillas con queso, papas fritas; así como refrescos y malteadas, y
diversos postres. Aunque los administradores desean dar un servicio
inmediato a todos los clientes, en ocasiones llegan más de los que el
personal puede atender. Por ello, los clientes hacen cola para
colocar y recibir sus pedidos.
A la gerencia de Burger Dome les preocupa que los métodos que
emplean actualmente para atender a sus clientes dan como
resultado tiempos de espera excesivos. La gerencia desea estudiar
la línea de espera para determinar el método más adecuado para
reducir los tiempos de espera y mejorar el servicio.

LÍNEA DE ESPERA DE CANAL UNICO:
En la operación actual de Burger Dome, un empleado recibe el
pedido, determina su costo total, recibe el dinero del cliente y
después surte el pedido. Una vez cubierto el pedido del primer
cliente, el empleado recibe el pedido del que sigue en la cola. Esta
operación es un ejemplo de una línea de espera de canal único. Así,
cada cliente que entra al restaurant Burger Dome debe pasar por un
canal - una estación de toma y entrega de pedidos – para hacer el
pedido, pagar el importe y recibir la comida. Cuando llegan más
clientes de los que es posible atender en forma inmediata, se forma
una fila y esperan a que esté disponible la estación que recibe y
surte los pedidos.

LÍNEA DE ESPERA DE CANAL UNICO:
En la figura siguiente se muestra un diagrama de la línea de espera
de un solo canal para el caso de estudio de Burger Dome:
Línea de espera
Toma y
entrega de
pedidos
Despachador
Sistema de línea de espera
Llegada
de
clientes
El cliente se
retira luego
que
le entregan
su pedido

DISTRIBUCIÓN DE LAS LLEGADAS O ARRIBOS:
Definir el proceso de las llegadas a una línea de espera implica
determinar la distribución de probabilidad del número de
arribos en un determinado lapso de tiempo. Generalmente,
las llegadas ocurren de manera aleatoria e independiente de
otras y no es posible pronosticar el momento en que ocurrirá
una.
En estos casos, los científicos de la administración han
encontrado que la distribución de probabilidad de poisson
ofrece una buena descripción del patrón de llegadas.

La función de probabilidad de Poisson, da la probabilidad de «x»
llegadas en un periodo de tiempo especifico. La función de
probabilidad es la siguiente:
Donde:
x = numero de llegadas en el periodo de tiempo.
l = numero medio de llegadas por periodo de tiempo.
e = 2.71828
El numero medio de llegadas por periodo de tiempo «l» se llama
tasa de llegadas.
𝑷 𝒙 =
λ
𝒙
𝒆−λ
𝒙!
; 𝒄𝒐𝒏 𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … …

Suponga que Burger Dome analizó los datos sobre llegadas de
clientes y concluyó que la tasa de arribos es de 45 clientes por hora.
Para un periodo de 1 minuto la tasa de llegadas seria λ = (45 clientes
/60 minutos) = 0.75 clientes por minuto. Por tanto, se puede utilizar
la función de probabilidad de Poisson para calcular la probabilidad
de «x» llegadas durante un periodo de 1 minuto:
Por tanto, las probabilidades de 0, 1 y 2 llegadas por minuto son las
siguientes:
P(0)= 0.4724; P(1)= 0.3543; P(2)= 0.1329
𝑷 𝒙 =
λ
𝒙
𝒆−λ
𝒙!
=
0.75 𝒙
𝒆−0.75
𝒙!

Vemos que la probabilidad de que no lleguen clientes en un periodo
de un minuto es de 0.4724 y la probabilidad de que haya 2 llegadas
en un periodo de tiempo de un minuto es de 0.1329.
Los modelos de líneas de espera que se presentaran mas adelante
utilizan la distribución de Poisson para describir las llegadas de
clientes a Burger Dome. En la práctica se debe registrar el número
real de llegadas por periodo durante varios días o semanas y
comparar la distribución de frecuencia del numero observado de
llegadas con la distribución de probabilidad de Poisson, para
determinar si ésta da una aproximación razonable de la distribución
de las llegadas.

DISTRIBUCIÓN DE LOS TIEMPOS DE SERVICIO:
El tiempo de servicio es el tiempo que pasa un cliente en la
instalación una vez iniciado el servicio. En Burger Dome, el tiempo
de servicio se inicia cuando un cliente comienza a hacer su pedido
con el empleado y continua hasta que lo recibe. Los tiempos de
servicio rara vez son constantes. Los investigadores determinaron
que se puede utilizar la distribución de probabilidad exponencial
para encontrar la probabilidad de que el tiempo de servicio sea
menor o igual a un tiempo de duración «t»
.
m = numero medio de clientes que pueden ser atendidos por
periodo de tiempo. «m» se llama tasa de servicio.
𝑷 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓𝒗𝒊𝒄𝒊𝒐 ≤ 𝒕 = 𝟏 − 𝒆−𝝁𝒕

DISTRIBUCIÓN DE LOS TIEMPOS DE SERVICIO:
Suponga que Burger Dome analizó el proceso de toma y entrega de
pedidos y encontró que un empleado puede procesar un promedio
de 60 pedidos por hora. Basada en un minuto, la tasa de servicio
seria m = 60 clientes/ 60 minutos = 1 cliente por minuto. Por tanto,
se puede utilizar la función de probabilidad exponencial para
calcular la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o
igual que un «t»:
Por tanto, tenemos que:
𝑃 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 ≤ 0.5𝑚𝑖𝑛 = 1 − 𝑒−1 0.5 = 0.3935
𝑃 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 ≤ 1𝑚𝑖𝑛 = 1 − 𝑒−1 1.0
= 0.6321
𝑃 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 ≤ 2𝑚𝑖𝑛 = 1 − 𝑒−1 2.0 = 0.8647

DISCIPLINA EN LA LÍNEA DE ESPERA:
Al describir un sistema de línea de espera debemos definir la
manera en que los clientes que esperan se ordenan para ser
atendidos. De este modo tenemos:
Primero en entrar, primero en salir (FIFO - PEPS) o primero en
llegar, primero en ser servido (FCFS - PLPS): los clientes son
atendidos en el orden en que van llegando. (clientes de bancos).
Ultimo en entrar, primero en salir (LIFO - UEPS) o último en
llegar, primero en ser servido (LIFS - ULPS): el cliente que ha
llegado último es el primero en ser atendido. Ejemplo: procesos
de producción donde los productos llegan a una estación de
trabajo y son apilados uno encima de otro.

DISCIPLINA EN LA LÍNEA DE ESPERA:
Selección de prioridad (disciplinas de prioridad en espera):
Proceso de llegadas en que a cada cliente se le da una
prioridad y de acuerdo a ésta es seleccionado para el
servicio.
Servicio en orden aleatorio (SEOA) Cuando el orden en
que llegan los clientes no tiene efecto sobre el orden en
que se les sirve. Por ejemplo, al abordar un ómnibus, la
suerte de la selección determina con frecuencia al
siguiente cliente que es atendido.

OPERACIÓN CONSTANTE EN ESTADO ESTABLE:
Para el caso de Burger Dome, cuando el restaurant abre en la
mañana, no hay clientes en el restaurant. Gradualmente, la
actividad se incrementa hasta un estado de forma constante,
normal o estable.
El período de comienzo o principio se conoce como período
transitorio, el mismo que finaliza cuando el sistema alcanza la
operación de estado estable o normal.
Los modelos de línea de espera describen las características de
operación en estado estable o constante (normal) de una línea de
espera.

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON
LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO
EXPONENCIALES
Presentamos un conjunto de formulas matemáticas que se utilizan
para determinar las características de operación constante de una
línea de espera de canal único. Estas son apropiadas si:
 Las llegadas siguen una distribución de probabilidad poisson, y
 Los tiempos de servicio llevan una distribución de probabilidad
exponencial.
Estos supuestos son validos para el problema de Burger Dome visto,
demostraremos como empleamos las formulas para determinar las
características de operación de Burger Dome, y por tanto, aportan
información útil para la toma de decisiones.

LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS POISSON
Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:
Sean:
l = numero medio de llegadas por periodo de tiempo (tasa de
llegadas).
m = numero medio de servicios por periodo de tiempo (tasa de
servicios).
Para que el sistema alcance una condición de estado estable, la tasa
de servicio promedio «m» debe ser mayor que la tasa de llegadas
promedio «l». Si éste no fuera el caso, la cola del sistema
continuaría creciendo debido a que, en promedio, llegarían más
clientes que los que pueden ser atendidos por unidad de tiempo.

1. Probabilidad de que no haya unidades (clientes) en el
sistema:
𝑷 𝟎 = 𝟏 −
𝝀
𝝁
2. Numero promedio de unidades (clientes) en la línea de
espera:
𝑳 𝒒 =
𝝀 𝟐
𝝁(𝝁 − 𝝀)
3. Numero promedio de unidades (clientes) en el sistema:
𝑳 = 𝑳 𝒒 +
𝝀
𝝁

4. Tiempo promedio que la unidad (cliente) pasa en la línea de
espera.
𝑾 𝒒 =
𝑳 𝒒
𝝀
5. Tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en el
sistema:
𝑾 = 𝑾 𝒒 +
𝟏
𝝁
6. Probabilidad de que una unidad (cliente) que llega tenga
que esperar a ser atendida:
𝑷 𝒘 =
𝝀
𝝁

7. Probabilidad de que haya «n» unidades (clientes) en el sistema.
𝑷 𝒏 =
𝝀
𝝁
𝒏
𝑷 𝟎
La ecuación «6» muestra que la relación de «l/m» da la
probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por
que la instalación de servicio esta ocupada. Entonces, «l/m» se
conoce como factor de uso de la instalación de servicio.
Las ecuaciones «1» y «7» requieren que el valor de «m>l», o dicho
de otro modo «l/m<1». Si no se da esta condición, la línea de
espera crecerá sin limite por que la instalación de servicio no tiene
suficiente capacidad para atender a los clientes que llegan.

CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN DE BURGER DOME:
1. 𝑷 𝟎 = 𝟏 −
𝝀
𝝁
= 𝟏 −
𝟎.𝟕𝟓
𝟏
= 𝟎. 𝟐𝟓
2. 𝑳 𝒒 =
𝝀 𝟐
𝝁(𝝁−𝝀)
=
𝟎.𝟕𝟓 𝟐
𝟏(𝟏−𝟎.𝟕𝟓)
= 𝟐. 𝟐𝟓 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
3. 𝑳 = 𝑳 𝒒 +
𝝀
𝝁
= 𝟐. 𝟐𝟓 +
𝟎.𝟕𝟓
𝟏
= 𝟑 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
4. 𝑾 𝒒 =
𝑳 𝒒
𝝀
=
𝟐.𝟐𝟓
𝟎.𝟕𝟓
= 𝟑 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
5. 𝑾 = 𝑾 𝒒 +
𝟏
𝝁
= 𝟑 +
𝟏
𝟏
= 𝟒 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
6. 𝑷 𝒘 =
𝝀
𝝁
=
𝟎.𝟕𝟓
𝟏
= 𝟎. 𝟕𝟓

La ecuación - 𝑷 𝒏 =
𝝀
𝝁
𝒏
𝑷 𝟎 - puede usarse para determinar la
probabilidad de que haya cualquier numero de clientes en el
sistema. De este modo, obtenemos la información de probabilidad
de la siguiente tabla:
N° de clientes Probabilidad
0 0.2500
1 0.1875
2 0.1406
3 0.1055
4 0.0791
5 0.0593
7 o mas 0.1335
Muestra la distribución de
probabilidad para el N° de clientes que
se encuentran en el sistema. Permite
responder: ¿Cuál es la probabilidad
de que no haya más de tres clientes
en el sistema? En este caso, la
respuesta de 0.6836 que se obtiene
mediante la suma de las primeras
cuatro probabilidades de la tabla (para
n = 0, 1, 2, 3).

Resultados sobre la operación de línea de espera de Burger Dome:
1. Los clientes esperan en promedio de 3 minutos antes de que
empiecen a hacer un pedido, lo que parece mucho tiempo para
un negocio basado en el servicio rápido.
2. El N° promedio de clientes en la cola es de 2.25 y que 75% de los
clientes que llegan tienen que esperar para que los atiendan,
indican que se debe hacer algo para mejorar la operación de la
línea de espera.
3. La probabilidad de que 7 o mas clientes estén en el sistema de
Burger Dome a la vez es 0.1335, lo cual indica una probabilidad
bastante alta de que la empresa afrontara algunas líneas de
espera largas si sigue empleando la operación de un solo canal.

MEJORA DE LA OPERACIÓN DE LA LÍNEA DE ESPERA :
Los modelos de líneas de espera indican con frecuencia cuando es
necesario mejorar sus características de operación. No obstante la
decisión dependerá de las ideas y creatividad del analista.
Los analistas a menudo se enfocan en formas de mejorar la tasa de
servicios. En general la tasa de servicios mejora con uno o ambos de
las siguientes cambios:
1. Incrementar la tasa de servicio por medio de un cambio de
diseño creativo o una nueva tecnología.
2. Agregar uno o mas canales de servicio de modo que mas clientes
puedan ser atendidos al mismo tiempo.

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES
CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO
EXPONENCIALES
 Se compone de 2 o mas canales de servicio y se suponen
idénticos en función de capacidad de servicio.
 Con proceso de llegada en el que los clientes se presentan de
acuerdo a un proceso de Poisson con una tasa promedio de «l »
clientes por unidad de tiempo.
 Un proceso de colas que consiste en una sola línea de espera de
capacidad infinita.
 Un proceso de servicio que consiste en «k» servidores o canales
idénticos, cada uno de los cuales atiende a los clientes de
acuerdo con una distribución exponencial con promedio de «m»
clientes por unidad de tiempo.

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES
CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO
EXPONENCIALES
Línea de espera
Sistema de línea de espera
Llegada
de
clientes
El cliente se
retira luego
que le
entregan su
pedidoCanal 2
Canal 1
Despachador A
Despachador A

LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
A continuación veremos las fórmulas para determinar las
características de operación constante de una línea de espera de
múltiples canales. Estas formulas son apropiadas siempre que se
cumplan las siguientes condiciones:
 Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson.
 El tiempo de servicio de cada canal sigue una distribución de
probabilidad exponencial.
 La tasa de servicios «m» es la misma para cada canal.
 Las llegadas esperan en una sola línea de espera y luego se
dirigen al primer canal abierto para que las atienda.

Las siguientes formulas se emplean para encontrar las
características de operación de líneas de espera de múltiples
canales; donde:
l = Tasa de llegadas del sistema.
m = Tasa de servicios de cada canal.
k = numero de canales.
1. Probabilidad de que no haya unidades (clientes) en el sistema:
𝑷 𝟎 =
𝟏
𝒏=𝟎
𝒌−𝟏
𝝀
𝝁
𝒏
𝒏!
+
𝝀
𝝁
𝒌
𝒌!
𝒌𝝁
𝒌𝝁 − 𝝀

espera:
𝑳 𝒒 =
𝝀
𝝁
𝒌
𝝀𝝁
𝒌 − 𝟏 ! 𝒌𝝁 − 𝝀 𝟐
𝑷 𝟎
𝑳 = 𝑳 𝒒 +
𝝀
𝝁
4. Tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en la
línea de espera.
𝑾 𝒒 =
𝑳 𝒒
𝝀

5. Tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en el sistema:
𝑾 = 𝑾 𝒒 +
𝟏
𝝁
6. Probabilidad de que una unidad (cliente) que llega tenga que
esperar a ser atendida:
𝑷 𝒘 =
𝟏
𝒌!
𝝀
𝝁
𝒌
𝒌𝝁
𝒌𝝁 − 𝝀
𝑷 𝟎
7. Probabilidad de que haya «n» unidades (clientes) en el sistema.
𝑷 𝒏 =
𝝀 𝝁 𝒏
𝒏!
𝑷 𝟎; 𝒄𝒐𝒏 𝒏 ≤ 𝒌
𝑷 𝒏 =
𝝀 𝝁 𝒏
𝒌! 𝒌 𝒏−𝒌
𝑷 𝟎; 𝒄𝒐𝒏 𝒏 > 𝒌

Como «m» es la tasa de servicio de cada canal, «km» es la del
sistema de múltiples canales. En forma similar que para el modelo
de líneas de espera de canal único, las formulas de las
características de operación de líneas de espera de múltiples
canales se aplica solo en situaciones en las que la tasa de servicios
del sistema es mayor que su tasa de llegadas. Es decir, si: «km > l».
Algunas expresiones de las características de operación de líneas de
espera de múltiples canales son mas complejas que sus
contrapartes de canal único. Sin embargo la ecuación «1» y «7»
dan la misma información que la provista por el modelo de canal
único.

Suponga que la gerencia evalúa abrir una estación de
procesamiento de pedidos de modo que dos clientes puedan ser
atendidos al mismo tiempo.
De este modo, para el sistema se tiene para el sistema de k = 2
canales. Con una tasa de llegadas de l = 0.75 clientes por minuto y
una tasa de servicios de m = 1 cliente por minuto por cada canal. Se
obtienen las características de operación:
1. 𝑷 𝟎 =
𝟏
𝒏=𝟎
𝟏
𝟎.𝟕𝟓
𝟏
𝟎
𝟎!
+
𝟎.𝟕𝟓
𝟏
𝟐
𝟐!
𝟐.𝟏
𝟐.𝟏−𝟎.𝟕𝟓
= 0.4545

2. 𝑳 𝒒 =
𝟎.𝟕𝟓 𝟏 𝟐 𝟎.𝟕𝟓 𝟏
𝟐−𝟏 ! 𝟐 𝟏 −𝟎.𝟕𝟓 𝟐 𝟎. 𝟒𝟓𝟒𝟓 = 𝟎. 𝟏𝟐𝟐𝟕 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
3. 𝑳 = 𝑳 𝒒 +
𝝀
𝝁
= 𝟎. 𝟏𝟐𝟐𝟕 +
𝟎.𝟕𝟓
𝟏
= 𝟎. 𝟖𝟕𝟐𝟕 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
4. 𝑾 𝒒 =
𝑳 𝒒
𝝀
=
𝟎.𝟏𝟐𝟐𝟕
𝟎.𝟕𝟓
= 𝟎. 𝟏𝟔𝟑𝟔 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐
5. 𝑾 = 𝑾 𝒒 +
𝟏
𝝁
= 𝟎. 𝟏𝟔𝟑𝟔 +
𝟏
𝟏
= 𝟏. 𝟏𝟔𝟑𝟔 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
6. 𝑷 𝒘 =
𝟏
𝟐!
𝟎.𝟕𝟓
𝟏
𝟐 𝟐 𝟏
𝟐 𝟏 −𝟎.𝟕𝟓
𝟎. 𝟒𝟓𝟒𝟓 = 𝟎. 𝟐𝟎𝟒𝟓

Empleando las ecuaciones «7» − (𝑷 𝒏) − determinamos la
probabilidad de que haya «n» clientes en el sistema. Los
resultados se resumen en la siguiente tabla:
N° de
clientes
Probabilida
d
0 0.4545
1 0.3409
2 0.1278
3 0.0479
4 0.0180
5 o mas 0.0109
Muestra la distribución de
probabilidad para el N° de clientes que
se encuentran en el sistema. Permite
responder: ¿Cuál es la probabilidad
de que no haya más de tres clientes
en el sistema? En este caso, la
respuesta de 0.6836 que se obtiene
mediante la suma de las primeras
cuatro probabilidades de la tabla (para
n = 0, 1, 2, 3).

Comparemos las características de operación constante del sistema
de dos canales con las características de operación del sistema de
canal único original de línea de espera de Burger Dome:
1. El tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (tiempo de
espera mas tiempo de servicio) se reduce de W=4 minutos a
W=1.1636 minutos.
2. En N° promedio de clientes formados en la línea de espera se
reduce de 𝑳 𝒒 = 𝟐. 𝟐𝟓 clientes a 𝑳 𝒒 = 𝟎. 𝟏𝟐𝟐𝟕 clientes.
3. El tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera se
reduce de 𝑾 𝒒 = 𝟑 minutos a 𝑾 𝒒 = 𝟎. 𝟏𝟔𝟑𝟔 minutos.
4. La probabilidad e que un cliente tenga que esperar a que lo
atiendan se reduce de 𝑷 𝒘 = 𝟎. 𝟕𝟓 a 𝑷 𝒘 = 𝟎. 𝟐𝟎𝟒𝟓.

Las decisiones que implican el diseño de líneas de espera se
basaran, con frecuencia en una evaluación subjetiva de las
características de operación de las líneas de espera. Así, los modelos
vistos pueden usarse para determinar el numero de canales que
cumplirán las metas de desempeño de las línea de espera deseadas
establecidas por el gerente.
Por otro lado, es posible que un gerente desee identificar el costo
de operar el sistema de línea de espera y luego basar la decisión con
respecto al diseño del sistema en un costo de operación mínimo por
hora o día.
ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LÍNEAS DE
ESPERA

Desarrollaremos un modelo de costo total de una línea de espera
definido la notación que se utilizara:
𝒄 𝒘 = costo de espera por periodo de tiempo de cada unidad.
𝑳 = numero promedio de unidades en el sistema.
𝒄 𝒔 = costo del servicio por periodo de tiempo de cada canal.
𝒌 = numero de canales.
𝑻𝑪 = costo total por periodo de tiempo.
El costo total es la suma del costo de espera y el costo de servicio;
es decir:
𝑻𝑪 = 𝒄 𝒘 𝑳 + 𝒄 𝒔 𝒌
ESPERA

Las estimaciones del costo de espera y costo de servicio deben ser
razonables. Para Burger Dome, el costo de espera seria el costo por
minuto que un cliente espera para que lo atiendan. Este costo no es
un costo directo para la empresa, pero obviarlo generaría y pérdida
de clientes que se irían a otra parte; así, Burger Dome perderá
ventas, y en realidad, incurrirá en costos.
El costo de servicio es el costo asociado con la operación de cada
canal de servicio. En el caso de Burger Dome, este costo incluiría el
salario y las prestaciones del despachador, y cualquier otro costo
directo asociado con al operación del canal de servicio. Se estima
que este costo para Burger Dome es de $7 por hora.
Asimismo, el costo por tiempo de espera de un cliente para Burger
Dome es de $10 por hora.
ESPERA

Emplearemos el numero promedio de unidades en el sistema
calculados anteriormente para obtener el costo total por hora de los
sistemas de un canal y dos canales.
Sistema de canal único (L = 3 clientes):
𝑻𝑪 = 𝟏𝟎 𝟑 + 𝟕 𝟏 = $𝟑𝟕. 𝟎𝟎 𝒑𝒐𝒓 𝒉𝒐𝒓𝒂
Sistema de dos canales (L = 0.8727 clientes):
𝑻𝑪 = 𝟏𝟎 0.8727 + 𝟕 𝟐 = $𝟐𝟐. 𝟕𝟑 𝒑𝒐𝒓 𝒉𝒐𝒓𝒂
Por tanto, el sistema de dos canales opera de forma mas
económica.
ESPERA

ESPERA
Nivel Óptimo
de Servicio
Nivel de Servicio
Costo por
ESPERA
Costo por
SERVICIO
Costo
Costo
Total
Mínimo
COSTO
TOTAL
ESPERADO FORMA
GENERAL DE
LAS CURVAS DE
COSTO DE
ESPERA, COSTO
DE SERVICIO Y
COSTO TOTAL
EN MODELOS
DE LÍNEA DE
ESPERA

OTROS MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA
Se emplea una notación para clasificar la amplia variedad de
modelos de líneas de espera diferentes, denominado notación de
Kendall, que consta consta de 3 símbolos, como sigue:
A/B/k
Donde:
A = denota la distribución de probabilidad de las llegadas.
B = denota la distribución de probabilidad del tiempo de servicios.
k = denota el numero de canales.
En función de la letra que aparece en la posición «A» o «B», se
pueden describir varios sistemas de líneas de espera. Así:
M Designa una distribución de probabilidad de Poisson de las llegadas, o
una distribución de probabilidad exponencial del tiempo de servicio .

OTROS MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA
Empleando la notación de Kendall, el modelo de líneas de espera de
canal único con llegadas Poisson y tiempos de servicios
exponenciales se clasifica como modelo M/M/1.
El modelo de líneas de espera con dos canales y llegadas Poisson,
con tiempos de servicios exponenciales se clasificaría como modelo
M/M/2.
D Designa que las llegadas o el tiempo de servicio es
determinístico o constante.
G Designa que las llegadas o el tiempo de servicio tienen una
distribución de probabilidad con una media y varianza
conocidas.

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE CANAL
ÚNICO CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE
SERVICIO ARBITRARIOS
Retomemos el modelo de líneas de espera de canal único con
llegadas Poisson. Sin embargo, ahora suponemos que la
distribución de los tiempos de servicios no es una distribución
de probabilidad exponencial. Así, empleando la notación
Kendall el modelo de línea de espera apropiado es un modelo
M/G/1; donde, «G» denota una distribución de probabilidad
general o no especifica.

CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN M/G/1:
La notación empleada para describir las características de operación
del modelo M/G/1 es:
l = Tasa de llegadas.
m = Tasa de servicios.
s = desviación estándar del tiempo de servicios.
Algunas de las características de operación constante del modelo
M/G/1 es:
𝑷 𝟎 = 𝟏 −
𝝀
𝝁
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS

espera:
𝑳 𝒒 =
𝝀 𝟐
𝝈 𝟐
+ 𝝀 𝝁 𝟐
𝟐 𝟏 − 𝝀 𝝁
𝑳 = 𝑳 𝒒 +
𝝀
𝝁
línea de espera.
𝑾 𝒒 =
𝑳 𝒒
𝝀

𝑾 = 𝑾 𝒒 +
𝟏
𝝁
𝑷 𝒘 =
𝝀
𝝁
Observe que las relaciones de 𝐿, 𝑊𝑞 𝑦 𝑊 son las mismas que las
relaciones utilizadas para los modelos de línea de espera de canal
único y de dos canales.

VEAMOS UN EJEMPLO: Las ventas al detalle (menudeo) en Trujillo
Market son manejadas por un dependiente. Las llegadas de los
clientes son aleatorias y la tasa de llegadas es de 21 clientes por
hora o 𝝀 =
𝟐𝟏
𝟔𝟎
= 𝟎. 𝟑𝟓 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐. Un estudio del
proceso de servicio muestra que el tiempo de servicio es de 2
minutos por cliente con una desviación estándar de 1.2 minutos. El
tiempo medio de 2 minutos por cliente indica que el dependiente
tiene una tasa de servicio de 𝝁 =
𝟏
𝟐
= 𝟎. 𝟓 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐.
Las características de operación de este sistema de línea de espera
M/G/1 son:

1. 𝑷 𝟎 = 𝟏 −
𝝀
𝝁
= 𝟏 −
𝟎.𝟑𝟓
𝟎.𝟓𝟎
= 𝟎. 𝟑𝟎
2. 𝑳 𝒒 =
𝝀 𝟐 𝝈 𝟐+ 𝝀 𝝁 𝟐
𝟐 𝟏− 𝝀 𝝁
=
(𝟎.𝟑𝟓) 𝟐(𝟏.𝟐) 𝟐+ 𝟎.𝟑𝟓 𝟎.𝟓𝟎 𝟐
𝟐 𝟏− 𝟎.𝟑𝟓 𝟎.𝟓𝟎
= 𝟏. 𝟏𝟏𝟎𝟕 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔.
3. 𝑳 = 𝑳 𝒒 +
𝝀
𝝁
= 𝟏. 𝟏𝟏𝟎𝟕 +
𝟎.𝟑𝟓
𝟎.𝟓𝟎
= 𝟏. 𝟖𝟏𝟎𝟕 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔.
4. 𝑾 𝒒 =
𝑳 𝒒
𝝀
=
𝟏.𝟏𝟏𝟎𝟕
𝟎.𝟑𝟓
= 𝟑. 𝟏𝟕𝟑𝟑 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
5. 𝑾 = 𝑾 𝒒 +
𝟏
𝝁
= 𝟑. 𝟏𝟕𝟑𝟑 +
𝟏
𝟎.𝟓𝟎
= 𝟓. 𝟏𝟕𝟑𝟑 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔.
6. 𝑷 𝒘 =
𝝀
𝝁
=
𝟎.𝟑𝟓
𝟎.𝟓𝟎
= 𝟎. 𝟕𝟎

TIEMPOS DE SERVICIO CONSTANTES:
Una línea de espera de canal único que asume llegadas aleatorias y
tiempos de servicio constantes puede ocurrir en entornos de
producción y manufactura donde los tiempos de servicio
controlados por maquinas son constantes. El modelo M/D/1
describe esta línea de espera, donde «D» denota los tiempos de
servicio determinísticos. Con el modelo M/D/1, el numero
promedio de unidades en la línea de espera, 𝑳 𝒒, se calcula con:
𝑳 𝒒 =
𝝀 𝟐
𝝈 𝟐
+ 𝝀 𝝁 𝟐
𝟐 𝟏 − 𝝀 𝝁
Con la condición de que 𝝈 = 𝟎

TIEMPOS DE SERVICIO CONSTANTES:
Por tanto, la expresión para el numero promedio de unidades o
clientes en la línea de espera M/D/1 es:
𝑳 𝒒 =
𝝀 𝝁 𝟐
𝟐 𝟏 − 𝝀 𝝁
Las otras expresiones o formulas presentadas con anterioridad para
el modelo M/G/1 se utilizan para determinar las características de
operación o medidas de desempeño adicionales del sistema M/D/1.

Una interesante variación de los modelos de línea de espera
analizados anteriormente, es aquel sistema en la que no se
permite esperar. Los clientes que llegan buscan ser atendidos
en uno de los varios canales de servicio. Si todos los canales
están ocupados, a los clientes que llegan se les impide el
acceso al sistema. Es decir, las llegadas que ocurren cuando el
sistema esta completo son bloqueadas y eliminadas del
sistema. Tales clientes pueden perderse o intentar retornar
mas tarde.
MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS
POISSON, TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN
LÍNEA DE ESPERA

Este modelo especifico se basa en los siguientes supuestos:
1. El sistema tiene «k» canales.
2. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson,
con una tasa de llegadas «l».
3. El tiempo de servicio de cada canal puede tener cualquier
distribución de probabilidad.
4. La tasa de servicio «m» es la misma para cada canal.
5. Una llegada entra al sistema solo si por lo menos un canal esta
disponible. Una llegada que ocurre cuando todos los canales
están ocupadas es bloqueada, es decir, se le niega el servicio y
no se le permite entrar al sistema.
MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON,
TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LÍNEA DE
ESPERA

Con «G» que denota una distribución de probabilidad general o no
especificada de tiempos de servicio, el modelo apropiado en este caso se
conoce como el modelo M/G/k con «clientes bloqueados eliminados». La
pregunta abordada en este caso es ¿cuántos canales o despachadores se
deberán emplear?.
Este modelo es aplicable en sistemas de comunicación telefónicos u otros
sistemas de comunicación donde las llegadas son las llamadas y los canales
son el numero de líneas telefónicas o de comunicación disponibles. En un
sistema así, las llamadas se hacen a un numero telefónico, con cada
llamada automáticamente dirigida a un canal abierto, si es posible.
Cuando todos los canales están ocupados, las llamadas adicionales reciben
un tono de ocupado y se niega el acceso al sistema.
ESPERA

CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN DEL MODELO M/G/k CON
CLIENTES BLOQUEADOS ELIMINADOS :
Se aborda el problema de seleccionar el mejor numero de canales al
calcular la probabilidades constantes de que los canales «j» y «k»
estarán ocupados. Estas probabilidades son:
𝑷𝒋 =
𝝀 𝝁 𝒋/𝒋!
𝒊=𝟎
𝒌
𝝀 𝝁 𝒊/𝒊!
Donde:
ESPERA
l = tasa de llegadas k = numero de canales
m = tasa de servicio de cada
canal
𝑷𝒋= probabilidad de que «j» de los canales
estén ocupados, con j=0, 1, 2, 3….k

CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN DEL MODELO M/G/k CON
CLIENTES BLOQUEADOS ELIMINADOS :
El valor de probabilidad mas importante es 𝑷 𝒌, el cual es la
probabilidad de que todos los «k» canales estén ocupados. En
porcentaje, 𝑷 𝒌 indica que el porcentaje de llegadas bloqueadas y a
las que se les niega el acceso al sistema.
Otra característica de operación de interés es el numero promedio
de unidades en el sistema: vera que este numero equivale al
numero promedio de canales en uso. Con «L» como el numero
promedio de unidades en el sistema, tenemos:
𝑳 =
𝝀
𝝁
𝟏 − 𝑷 𝒌
ESPERA

EJEMPLO: Microdata Software Inc. utiliza un sistema de ventas por
teléfono para sus productos de software. Los posibles clientes
hacen pedidos a Microdata por medio del numero telefónico 800 de
la empresa. Suponga que las llamadas llegan a razón de l = 12
llamadas por hora. El tiempo requerido para procesar un pedido
hecho por teléfono varia de forma considerable de un pedido a
otro. Sin embargo, es posible que cada representante de ventas de
Microdata atienda m = 6 llamadas por hora. En la actualidad, el
numero telefónico 800 dispone de tres líneas internas, cada una
operada por un representante de ventas distinto. Las llamadas
recibidas en el numero 800 se transfieren automáticamente a una
línea o canal abierto si esta disponible.
ESPERA

Si las tres líneas están ocupadas, los llamadores reciben una señal
de ocupado. En el pasado la gerencia de Microdata suponía que los
posibles clientes que recibían un tono de ocupado volverían a
llamar. Sin embargo, estudios recientes sobre ventas por teléfono
demostraron que un numero importante de estos ya no volvían a
llamar. Estas llamadas pérdidas representan perdida de ingresos
para la empresa, por lo que la gerencia pidió que se analizara el
sistema de ventas por teléfono a fi de conocer el porcentaje de
posibles clientes que obtenía señal de ocupado y no tenían acceso
al sistema. La meta es contar con suficiente capacidad para atender
al 90% de los posibles clientes. ¿Cuántas líneas telefónicas y cuantos
representantes de ventas requiere Microdata?.
ESPERA

Calcularemos 𝑷 𝟑, la probabilidad de que las tres líneas actualmente
disponibles estén en uso y que mas clientes no tengan acceso al
sistema:
𝑷 𝟑 =
𝟏𝟐 𝟔 𝟑
/𝟑!
𝟏𝟐
𝟔
𝟎
𝟎!
+
𝟏𝟐
𝟔
𝟏
𝟏!
+
𝟏𝟐
𝟔
𝟐
𝟐!
+
𝟏𝟐
𝟔
𝟑
𝟑!
=
𝟏. 𝟑𝟑𝟑
𝟔. 𝟑𝟑𝟑
= 𝟎. 𝟐𝟏𝟎𝟓
Con 𝑷 𝟑, aproximadamente el 21% de las llamadas, o poco mas de
una de cinco llamadas, es bloqueada. Solo el 79% de las llamadas es
atendida de inmediato por el sistema de tres líneas.
ESPERA

Calcularemos 𝑷 𝟒, la probabilidad de que cuatro líneas puedan estar
disponibles y en uso; y por lo mismo, mas clientes no tengan acceso
al sistema:
𝑷 𝟒 =
𝟏𝟐 𝟔 𝟒/𝟒!
𝟏𝟐
𝟔
𝟎
𝟎!
+
𝟏𝟐
𝟔
𝟏
𝟏!
+
𝟏𝟐
𝟔
𝟐
𝟐!
+
𝟏𝟐
𝟔
𝟑
𝟑!
+
𝟏𝟐
𝟔
𝟒
𝟒!
𝑷 𝟒 =
𝟎. 𝟔𝟔𝟕
𝟕
= 𝟎. 𝟎𝟗𝟓𝟐
Con solo 9.52% de los posibles clientes bloqueados, el 90.48% de
los posibles clientes lograra comunicarse con los representantes de
ventas.
ESPERA

El numero promedio de llamadas en el sistema de cuatro líneas, y
por tanto el numero de líneas y representantes de ventas que
estarán ocupados es:
𝑳 =
𝝀
𝝁
𝟏 − 𝑷 𝟒 =
𝟏𝟐
𝟔
𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟗𝟓𝟐 = 𝟏. 𝟖𝟎𝟗𝟓
Aun cuando un promedio de menos de dos líneas estarán ocupadas,
el sistema de cuatro líneas es necesario para tener la capacidad de
atender por lo memos al 90% de los posibles clientes.
ESPERA

Empleando la formula de «𝑷 𝒌», calcularemos la probabilidad
de que 0, 1, 2, 3,o 4 líneas estén ocupadas; cuyos resultados
se resume en el siguiente cuadro:
ESPERA
Numero de líneas
ocupadas
probabilidad
0 0.1429
1 0.2857
2 0.2857
3 0.1905
4 0.0952

Como vimos anteriormente, se puede emplear un análisis
económico de las líneas de espera como guía para tomar decisiones
de diseño del sistema. Para Microdata, el costo de la línea y el
representante de ventas adicionales deberá ser relativamente fácil
de establecer. Este costo puede balancearse contra el costo de
llamadas bloqueadas. Con 9.52% de las llamadas bloqueadas y 𝝀 =
𝟏𝟐 llamadas por hora, un día de 8 horas tendrá un promedio de
8(12)(0.0925) = 9.1 llamadas bloqueadas. Si Microdata puede estimar el
costo de las posibles ventas perdidas, el costo de estas llamadas
bloqueadas puede establecerse. El análisis económico basado en el costo
del servicio y el costo de cada llamada bloqueada pueden ayudar a
determinar el numero optimo de líneas para el sistema
ESPERA

El modelo de población con fuente finita se basa en los siguientes
supuestos:
1. Las llegadas de cada unidad sigue una distribuían de
probabilidad de Poisson, con tasa de llegadas «l».
2. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad
Exponencial, con tasa de servicio «m».
3. La población de unidades o clientes que buscan ser atendidas es
finita.
Con un solo canal, el modelo de línea de espera se conoce como
modelo M/M/1 con una población con fuente finita.
MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA CON FUENTES FINITAS

La tasa de llegadas del modelo M/M/1 con una población con
fuente finita se define en función de que tan frecuentemente
llega una unidad o busca que la atiendan. Esta situación
difiere de la de los casos modelos de línea de espera previos,
en los que «l» denotaba la tasa de llegadas del sistema. Con
una población con fuente finita, la tasa de llegadas del sistema
varia, según el número de unidades en el sistema.
Así, en lugar de ajustar con base en la tasa de llegadas
variable, en el modelo de población con fuente finita «l»
indica la tasa de llegadas de cada unidad.

CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN M/M/1 CON UNA POBLACIÓN
CON FUENTE FINITA:
Las siguientes formulas se emplean para determinar las
características de operación constante del modelo M/M/1 con una
población con fuente finita; donde:
l = Tasa de llegadas de cada unidad.
m = Tasa de servicios.
N = tamaño de la población.
𝑷 𝟎 =
𝟏
𝒏=𝟎
𝑵 𝑵!
𝑵 − 𝒏 !
𝝀
𝝁
𝒏

CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN M/M/1 CON UNA
POBLACIÓN CON FUENTE FINITA:
espera:
𝑳 𝒒 = 𝑵 −
𝝀 + 𝝁
𝝀
𝟏 − 𝑷 𝟎
𝑳 = 𝑳 𝒒 + 𝟏 − 𝑷 𝟎
línea de espera.
𝑾 𝒒 =
𝑳 𝒒
𝑵 − 𝑳 𝝀

CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN M/M/1 CON UNA POBLACIÓN
CON FUENTE FINITA:
𝑾 = 𝑾 𝒒 +
𝟏
𝝁
𝑷 𝒘 = 𝟏 − 𝑷 𝟎
6. Probabilidad de que haya «n» unidades (clientes) en el sistema:
𝑷 𝒏 =
𝑵!
𝑵 − 𝒏 !
𝝀
𝝁
𝒏
𝑷 𝟎; 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … . , 𝑵

Una de las aplicaciones del modelo M/M/1 con población finita se
conoce como problema de reparación de maquinarias. La
población finita es un grupo de maquinas que solicita el servicio de
reparación. Siempre que una maquina se descompone ocurre una
llegada (nueva solicitud de reparación). Si una maquina se
descompone antes de culminada la reparación de una primera, esta
ultima inicia la línea de espera para el servicio de reparación. Otras
maquinas que se descompongas prolongaran la línea de espera. Las
maquinas, entonces, se reparan en el orden en que se
descomponen. El modelo M/M/1 muestra que una persona o canal
esta disponible para realizar el servicio de reparación. Así, cada
maquina descompuesta debe ser reparada por la operación de
canal único.

EJEMPLO: Kolkmeyer Factoring utiliza un grupo de seis maquinas
idénticas, cada una funciona un promedio de 20 horas entre
descomposturas ( 𝝀 = 𝟏 𝟐𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟓 por hora). Con las
descomposturas ocurriendo al azar, se utiliza la distribución de
probabilidad de Poisson para describir el proceso de llegadas de
maquinas descompuestas. Una persona del departamento de
mantenimiento proporciona el servicio de reparación de canal único
para las seis maquinas. Los tiempos de servicios exponencialmente
distribuidos tienen una media de dos horas por maquina (𝝁 =
𝟏 𝟐 = 𝟎. 𝟓 maquinas por hora).
Empleamos las formulas del modelo M/M/1 con población finita
para calcular las características de operación de este sistema.
Podemos calcular que el valor de 𝑷 𝟎 = 𝟎. 𝟒𝟖𝟒𝟓 (compruébelo).

Los cálculos de las demás características de operación son:
1. 𝑳 𝒒 = 𝟔 −
𝟎.𝟎𝟓+𝟎.𝟓
𝟎.𝟎𝟓
𝟏 − 𝟎. 𝟒𝟖𝟒𝟓 = 𝟎. 𝟑𝟐𝟗𝟕 𝒎𝒂𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂.
2. 𝑳 = 𝟎. 𝟑𝟐𝟗𝟕 + 𝟏 − 𝟎. 𝟒𝟖𝟒𝟓 = 𝟎. 𝟖𝟒𝟓𝟏 𝒎𝒂𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂
3. 𝑾 𝒒 =
𝟎.𝟑𝟐𝟗𝟓
𝟔−𝟎.𝟖𝟒𝟓𝟏 𝟎.𝟎𝟓
= 𝟏. 𝟐𝟕𝟖𝟒 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔
4. 𝑾 = 𝟏. 𝟐𝟕𝟖𝟒 +
𝟏
𝟎.𝟓
= 𝟑. 𝟐𝟕𝟖𝟒 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔
5. 𝑷 𝒘 = 𝟏 − 𝟎. 𝟒𝟖𝟒𝟓 = 𝟎. 𝟓𝟏𝟓𝟓
6. Con la formula 𝑷 𝒏 calcule las probabilidades de que haya
cualquier numero de maquinas en el sistema de
reparación.

Según los resultados, una maquina descompuesta espera un
promedio de 1.2784 horas antes que se inicie el servicio y el hecho
de que mas del 50% de las maquinas descompuestas esperan el
servicio de reparación (𝑷 𝒘 = 𝟎. 𝟓𝟏𝟓𝟓) indica que puede que se
requiera un sistema de dos canales para mejorar el servicio de
reparación de las maquinas.
Los cálculos de las características de operación de una línea de
espera de población con fuente finita de múltiples canales son mas
complejos que los de un modelo de canal único. En este caso una
solución por computadora es virtualmente obligatorio.

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