teorias de decision

Investigación de operaciones II
M.Sc. Leonardo H. Talero-Sarmiento

Decisiones bajo riesgo
Beneficios de cada alternativa de decisión se representan por
distribuciones de probabilidad.
Decisión basada en el criterio del valor esperado:
• Maximización de la utilidad esperada
• Minimización del costo esperado
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Investigación de Operaciones II - Problemas de Decisión - M.Sc. Leonardo H. Talero-Sarmiento 3

Diagrama de árbol
Un circulo representa una evento aleatorio
Un cuadrado representa un punto de decisión
Árbol de decisiones: Criterio Valor
esperado
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Árbol de decisiones: Criterio valor
esperado
Problema de decisión:
𝑛: estados de naturaleza
𝑚: alternativas de decisión
𝑝𝑗 > 0 es la probabilidad de ocurrencia del estado 𝑗
𝑎𝑖𝑗 es la retribución de la alternativa 𝑖 dado el estado 𝑗
𝑖 = 1,2, … , 𝑚
𝑗 = 1,2, … , 𝑛
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Árbol de decisiones: Criterio valor
esperado
Retribución esperada de la alternativa 𝑖 es:
𝐸𝑉𝑖 = 𝑎𝑖1 𝑝1 + 𝑎𝑖2 𝑝2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑝 𝑛
𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝 𝑛 = 1
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Ejemplo base
• Suponga que desea invertir $10.000 en el mercado de valores adquiriendo acciones en una
de dos compañías: A y B. Las acciones de la compañía A, aun cuando son riesgosas, podrían
redituar 50% durante el siguiente año. Si las condiciones del mercado de valores no son
favorables (es decir, un mercado “bajista”) las acciones pueden perder 20% de su valor. La
compañía B proporciona inversiones seguras con 15% de rendimiento en un mercado
“alcista” y de sólo 5% en un mercado “bajista”. Todas las publicaciones que ha consultado (¡y
siempre hay una abundancia de ellas al final del año!) pronostican una probabilidad de 60%
de un mercado “alcista” y 40% de un mercado “bajista”. ¿Cómo debe invertir su dinero?
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Estados de la
naturaleza
Alternativas
de decisión
Ejemplo
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Árbol de decisión del problema
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𝐴𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐴 = ($5000 ∗ 0.6) + (−$2000 ∗ 0.4) = $2200
𝐴𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐵 = ($1500 ∗ 0.6) + ($500 ∗ 0.4) = $1100

Ejercicio 1
• Lo invitaron a participar en el juego de la Rueda de la Fortuna en la televisión. La rueda
funciona electrónicamente con dos botones para producir un giro duro (H) y un giro
suave (S). La rueda está dividida en dos regiones semicirculares, una blanca (W) y una
roja (R). Le dijeron que la rueda está diseñada para que se detenga 30% de las veces en
la región blanca. La retribución del juego es
1. Desarrolle el árbol de decisión asociado
2. Determine el curso de acción basado en el criterio del valor esperado.
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Ejercicio 2
• Se le presenta la oportunidad de invertir en tres fondos mutuos: de servicios, de crecimiento agresivo, y global. El valor de su inversión
cambiará según las condiciones del mercado. Hay 10% de probabilidades de que el mercado baje; 50% de que permanezca moderado, y
40% de que funcione bien. La siguiente tabla proporciona el cambio porcentual del valor de la inversión en las tres condiciones:
1. Represente el problema como un árbol de decisión
2. Cuál fondo mutuo debe seleccionar?
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Ejercicio 3
En la Granja Ladera se puede sembrar maíz o soya. Las probabilidades de que los precios de la siguiente
cosecha suban, no cambien, o bajen son 0.25, 0.30 y 0.45, respectivamente. Si los precios suben, la
cosecha de maíz redituará un ingreso neto de $30,000 y la de soya redituará un ingreso neto de
$10,000. Si los precios no cambian, la Granja Ladera (apenas) saldrá en tablas. Pero si los precios bajan,
las cosechas de maíz y soya sufrirán pérdidas de $35,000 y $5000, respectivamente.
1. Represente el problema en un árbol de decisiones
2. Cual cosecha debe sembrarse en la Granja Ladera?
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Probabilidad a posteriori (teorema de
Bayes)
• Las probabilidades utilizadas en el criterio del valor esperado se
suelen estimar a partir de datos históricos. En algunos casos la
precisión de estas estimaciones puede mejorarse por medio de
experimentación adicional. Las probabilidades resultantes se
conoce como probabilidades a posteriori (o de Bayes).
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Teorema de Bayes
• Sean 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴 𝑛 eventos mutuamente excluyentes y
exhaustivos con 𝑃(𝐴𝑖 ) ≠ 0 para cada 𝐴𝑖. Sea 𝐵 cualquier evento
con 𝑃(𝐵) ≠ 0. Entonces
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𝑃 𝐴 𝑛 𝐵 =
𝑃 𝐴 𝑛 ∩ 𝐵
𝑃 𝐵
=
𝑃 𝐵 𝐴 𝑛 𝑃 𝐴 𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑃 𝐵 𝐴𝑖 𝑃 𝐴𝑖

Ejemplo base – Teorema de Bayes
• Suponga que desea invertir $10.000 en el mercado de valores adquiriendo acciones en una
de dos compañías: A y B. Las acciones de la compañía A, aun cuando son riesgosas, podrían
redituar 50% durante el siguiente año. Si las condiciones del mercado de valores no son
favorables (es decir, un mercado “bajista”) las acciones pueden perder 20% de su valor. La
compañía B proporciona inversiones seguras con 15% de rendimiento en un mercado
“alcista” y de sólo 5% en un mercado “bajista”. Todas las publicaciones que ha consultado (¡y
siempre hay una abundancia de ellas al final del año!) pronostican una probabilidad de 60%
de un mercado “alcista” y 40% de un mercado “bajista”. ¿Cómo debe invertir su dinero?
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Ejemplo – Teorema de Bayes
• En el ejemplo, las probabilidades (anteriores) de 0,6 y 0,4 de un mercado “alcista” y un
mercado “bajista” se determinan a partir de publicaciones financieras disponibles.
• Suponga que en lugar de depender únicamente de estas publicaciones, usted decidió
conducir una investigación más “personal” al consultar a un amigo que se desempeña bien
en el mercado de valores.
• El amigo cuantifica una recomendación de invertir “a favor/o en contra”, de la siguiente
manera: En un mercado “alcista”, hay 90% de probabilidades de que la recomendación sea “a
favor”. Se reduce a 50% en un mercado “bajista”. ¿Cómo afecta la información adicional a la
decisión?
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Ejemplo
• Esa afirmación proporciona probabilidades condicionales de las recomendaciones a
favor y en contra dados los estados de la naturaleza:
𝒗 𝟏: voto a favor
𝒗 𝟐: voto en contra
𝒎 𝟏: mercado alcista
𝒎 𝟐: mercado bajista
• Si la recomendación del amigo es “a favor”, ¿invertiría en la acción A o en la acción
B?
• Si la recomendación del amigo es “en contra”, ¿ invertiría en la acción A o en la
acción B?
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Ejemplo
• La afirmación de su amigo se puede escribir en forma de planteos
de probabilidades como sigue:
Probabilidad del mercado al alza dado que esté a favor 𝑃 𝑣1 𝑚1 = 0,9
Probabilidad del mercado al alza dado que esté en contra 𝑃 𝑣2 𝑚1 = 0,1
Probabilidad del mercado a la baja dado que esté a favor 𝑃 𝑣1 𝑚2 = 0,5
Probabilidad del mercado a la baja dado que esté en contra 𝑃 𝑣2 𝑚2 = 0,5
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Aplicación del teorema de Bayes (en cuatro
pasos)
• Paso 1. Resuma las probabilidades condicionales en forma
tabular.
• Paso 2. Calcular las probabilidades conjuntas.
• Paso 3. Calcular las probabilidades absolutas.
• Paso 4. Determinar las probabilidades a posteriori deseadas
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Paso 1. Resuma las probabilidades
condicionales en forma tabular
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𝑃 𝑣𝑗 𝑚𝑖

Paso 2. Calcular las probabilidades
conjuntas.
• 𝑃(𝑚𝑖, 𝑣𝑗 ) = 𝑃(𝑣𝑗 𝑚𝑖)𝑃(𝑚1), para todas las 𝑖 y las 𝑗
• Dadas las prioridades a priori 𝑃(𝑚1) = 0,6 y 𝑃(𝑚2) = 0,4, las
probabilidades conjuntas se determinan multiplicando la primera
y segunda fila de la tabla en el Paso 1 por 0,6 y 0,4
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Paso 3. Calcular las probabilidades
absolutas
𝑃 𝑣𝑗 =
𝑖=1
𝑛
𝑃 𝑣𝑗 𝑚𝑖 𝑃 𝑚𝑖 ∀ 𝑗
• Estas probabilidades son las sumas en las columnas de la tabla del Paso 2.
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Paso 4. Determinar las probabilidades a
posteriori deseadas
𝑃 𝑚𝑖 𝑣𝑗 =
𝑃 𝑣𝑗 𝑚𝑖 𝑃 𝑚𝑖
𝑃 𝑣𝑗
Estas probabilidades se calculan dividiendo cada columna en la
tabla 2 entre la suma en la columna correspondiente de la tabla del
Paso 3.
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Evento Aleatorio
Acciones
Estados de la Naturaleza

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Evento Aleatorio
Acciones
𝐴𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐴 𝑛𝑜𝑑𝑜 4 = 5.000 ∗ 0,73 + −2.000 ∗ 0,27 = $3.110
𝐴𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐵 𝑛𝑜𝑑𝑜 5 = 1.500 ∗ 0,73 + 500 ∗ 0,27 = $1.230
Decisión: invertir en acción A

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Evento Aleatorio
Acciones
𝐴𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐴 𝑛𝑜𝑑𝑜 6 = 5.000 ∗ 0,231 + −2.000 ∗ 0,769 = $ − 383
𝐴𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐵 𝑛𝑜𝑑𝑜 7 = 1.500 ∗ 0,231 + 500 ∗ 0,769 = $731
Decisión: invertir en acción B

Ejercicio 4
• Considere la situación de decisión de Granja Ladera. El granjero tiene la opción
adicional de utilizar el terreno como área de pastizales, en cuyo caso está
garantizada una retribución de $7500. El granjero también recabó información
adicional segura de un corredor de bolsa con respecto al grado de estabilidad
de los futuros precios de artículos de consumo. La valoración del agente de
“favorable” o “desfavorable” se describe por medio de las siguientes
probabilidades condicionales:
1. Desarrolle el árbol de decisiones
2. Especifique la decisión optima para el problema
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Ejercicio 5
Usted es el autor de la que promete ser una novela exitosa. Tiene la opción de o publicar la novela
usted mismo, o por medio de un editor. El editor le ofrece $20.000 por firmar el contrato. Si la
novela tiene éxito, venderá 200.000 copias. De lo contrario, venderá sólo 100.000. El editor le paga
$1 de regalías por ejemplar. Una investigación del mercado indica que hay 70% de probabilidades
de que la novela tenga éxito. Si decide publicarla usted mismo, incurrirá en un costo inicial de
$90.000 por la impresión y la comercialización, pero obtendrá una utilidad neta de $2 por cada
ejemplar vendido.
1. Basado en la información dada, ¿aceptaría la oferta del editor, o publicaría usted mismo la
novela?
2. Suponga que contrata a un agente literario para que realice una encuesta en relación con el
éxito potencial de la novela. Por experiencia pasada, el agente le aconseja que cuando una
novela tiene éxito, la encuesta predecirá el resultado equivocado 20% de las veces. Cuando la
novela no tenga éxito, la encuesta predecirá correctamente 85% de las veces. ¿Cómo afectaría
esta información su decisión?
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