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PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Resuelve los problemas de optimización lineal con restricciones.
1. Una fábrica produce focos normales y los vende a $4,5 cada uno; también fabrica focos
ahorradores y los vende a $6 cada uno. La producción está limitada por el hecho de que no
pueden fabricarse al día más de 400 focos normales y más de 300 focos ahorradores, ni más
de 500 focos en total. La fábrica vende toda la producción. Determina cuántos focos normales
y ahorradores debe producir para obtener los máximos ingresos posibles y cuáles serían
estos.
a. Determina las variables del problema y completa la tabla.
Focos Variables Ganancia
Normales
Ahorradores
Total
b. Determina las restricciones del problema:
Número máximo de fabricación de focos normales.
Número máximo de fabricación de focos ahorradores.
Producción máxima diaria.
c. Determina la función objetivo
( )
d. Escribe las desigualdades que modelan la situación.
e. Grafica las restricciones y determina los vértices de la región factible.
f. Escriba la solución del problema.
RESPUESTA:
a.
Focos Variables Ganancia
Normales X 4,5x
Ahorradores Y 6y
Total 500
b. ; ;
c. F(x, y)=4,5x+6y
d.
{
e. A(0, 300); B(200, 300); C(400, 100); D(400, 0); E(0, 0)
f. Debe vender 200 focos normales y 300 focos ahorradores para tener los mejores
ingresos que serían $2700.
2. Marcelo es un pequeño fabricante de calzado. Los fabrica de dos estilos: pantuflas y
deportivo. En el proceso se usan dos máquinas: una de corte y una de coser. Cada clase de
calzado requiere 15 minutos por par en la máquina de corte. Las pantuflas necesitan 10
minutos para coserlas, y los deportivos 20 minutos, por par. Marcelo conoce que cada
máquina de estos procesos está disponible exactamente durante 8 horas por día. La utilidad
es de $15 por cada par de pantuflas y de $20 por cada par de deportivos. ¿Cuántos pares de
cada tipo debe producir Marcelo cada día para obtener la máxima utilidad?
a. Determina las variables del problema y completa la tabla. Escribe el tiempo en horas.
Tipo de
calzado
variables
Tiempo máquina de corte
(h)
Tiempo máquina de coser
(h).
1/4x 1/6x
1/4y 1/3y
b. Determina las restricciones del problema.
Tiempo máximo en la máquina de corte.
Tiempo máximo en la máquina de coser.
c. Determina la función objetivo F(x,y).
d. Escribe las desigualdades que modelan la situación.
e. Grafica las restricciones y determina los vértices de la región factible.
f. Escriba la solución del problema.
RESPUESTA
f. Tiene que producir 16 pantuflas y 16 deportivos para tener la máxima utilidad que sería
$560.
3. En una prueba hay preguntas del tipo A que valen 20 puntos y del tipo B que valen 30 puntos.
El tiempo para contestar una pregunta del tipo A es 4 minutos y para una del tipo B es 8
minutos. El tiempo máximo permitido para la solución es de 96 minutos, y no se puede
contestar más de 18 preguntas. Suponiendo que un alumno contesta sólo respuestas
correctas, ¿cuántas preguntas de cada tipo deberá resolver para obtener la calificación
máxima?
RESPUESTA
La puntuación máxima es 420 puntos y para lograrla deberá resolver 12 preguntas del tipo A y 6
preguntas del tipo B.
4. Una empresa fabrica dos modelos de cámaras fotográficas: A y B. el modelo A deja ganancias
de $50 por unidad y el modelo B de $40 por unidad. Para cumplir con la demanda diaria, la
empresa debe producir un mínimo de 200 cámaras del modelo A y un mínimo de 120 cámaras
del modelo B. Si la producción diaria no debe sobrepasar de 450 cámaras fotográficas,
¿Cuántas de cada modelo se deben producir para maximizar las ganancias?
RESPUESTA
La ganancia diaria máxima es $21300 y se da cuando se producen 330 cámaras del modelo A y 120
cámaras del modelo B.
Resuelve los problemas sobre mezclas de programación lineal.
1. Una fábrica de chupetes dispone de dos ingredientes para su producción, el sabor del chupete
variará dependiendo de la porción en que intervengan cada uno de los componentes. El
primer ingrediente se compra a $20 el kilogramo y el segundo a $30 el kilogramo. En el
proceso de producción se invierte $8 por kilogramo fabricado, cantidad que corresponde a la
suma de los kilogramos empleados en la mezcla.
A la fábrica no le interesa producir más de lo que vende por lo que planifica su producción
mensual con un máximo de 100kg, con un precio de venta de $50 por kilogramo. Por último
los ingenieros de producción determinaron que para que el producto tenga buena acogida en
el mercado, la composición de la mezcla debe contener una proporción que no supere el 40%
del primer ingrediente y el 50% del segundo ingrediente.
El analista de producción quiere determinar cuántos kilogramos de chupete tiene que producir
en un mes y las porciones en las que deben ser empleados los ingredientes para obtener un
máximo beneficio.
a. Completa la siguiente tabla.
Ingredientes Cantidades en kg. Costo del kg. Ingrediente
Tipo 1
Tipo 2
b. Determina las restricciones del problema y la función objetivo.
Cantidad en kilogramos máxima a producir en un mes.
Composición de la mezcla:
Ingrediente tipo 1:
( )
ingrediente tipo 2.
c. Completa la función objetivo:
Función objetivo: obtener la máxima utilidad de la venta descontando la inversión.
F(x,y)= precio de venta, menos costo de un ingrediente, menos costo segundo
ingrediente, menos inversión en la producción.
( ) ( ) ( )
d. Ordena la información: función objetivo sujeta a las restricciones:
e. Grafica las restricciones del problema y determina los vértices de la región factible.
f. Interpreta la solución del problema.
RESPUESTA
a.
Ingredientes Cantidad en kg. Costo del kg ingrediente
Tipo 1 X 20x
Tipo 2 Y 30y
b. Cantidad en kilogramos máxima a producir en un mes:
Composición de la mezcla:
Ingrediente tipo 2: ( ); ;
c. Función objetivo: ( )
d. Está sujeta a las restricciones:
{
e. El vértice ( )
f. No se puede determinar el máximo beneficio bajo las condicione del problema.
2. Un almacenista tiene en su almacén 150 kg de caramelos de limón y 180 kg de caramelos de
menta. Decide venderlos haciendo dos mezclas: una está formada por la mitad de caramelos
de cada clase y la vende a 2 dólares/kg, y la otra contiene la tercera parte de caramelos de
limón y el resto de menta, vendiéndola a 1,5 dólares/kg.
¿Cuántos kilos de cada mezcla deberá preparar para maximizar sus ingresos?
RESPUESTA
La función objetivo alcanza un máximo en ( ).
Luego debe preparar 240 kg. De la primera mezcla y 90 kg de la segunda ´para maximizar
ingresos.
Resuelve los siguientes problemas de programación lineal referentes a dietas.
1. Un nutricionista de animales tiene que elaborar alimento balanceado para perros con
carbohidratos, proteínas y vitaminas que contenga como mínimo 16, 12 y 15 unidades
respectivamente.
En un almacén venden paquetes de dos marcas A y B, cuyos contenidos en unidades y
precios se detallan en la tabla.
Marca Carbohidratos Proteínas Vitaminas Costo
A 1 1 5 $40
B 3 2 1 $45
¿Cuántos paquetes de cada marca tiene que comprar el nutricionista para elaborar el alimento
balanceado con el mínimo costo?
a. Analiza la información y determina las variables que intervienen en le problema.
b. Determina las restricciones del problema.
c. Determina la función objetivo.
d. Grafica las restricciones del problema y determina los vértices de la región factible.
e. Interpreta la solución del problema.
RESPUESTA
a. X: representa al paquete A
Y: representa al paquete B
b.
{
c. Función objetivo: ( )
d. Grafica las restricciones y determina los vértices de la región factible.
( ) ( ) ( )
e. Tiene que comprar 6 paquetes B para elaborar el alimento con un costo mínimo de $ 270.
2. Una ama de casa está tratando de seleccionar la mejor y más barata combinación de
alimentos que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas.
Los requerimientos vitamínicos son por lo menos: 40 unidades de vitamina A, 50 unidades de
vitamina B, y 49 unidades de vitamina C.
La cantidad de vitaminas en gramos que cada alimento proporciona y su costo se describe en
la siguiente tabla:
Dieta Vitamina A Vitamina B Vitamina C Costo por kg
A1 4 10 6 $7
A2 10 7 3 $8
¿Cuál es el costo mínimo y la combinación de dieta que puede hacer esta ama de casa?
a. Analiza la información y determina las variables que intervienen en el problema.
b. Determina las restricciones del problema.
c. Determina la función objetivo.
d. Grafica las restricciones del problema y determina los vértices de la región factible.
e. Interpreta la solución del problema.
RESPUESTA
e. Debe comprar 7,71 alimentos A1 y 0,92 A2 para tener un costo de $61,33.
3. Se requiere programar una dieta con dos alimentos S y T. Cada unidad del alimento S
contiene 100 calorías y 15 gramos de proteínas. La unidad de alimento T contiene 200
calorías y 10 gramos de proteínas. La dieta requiere como mínimo 1000 calorías y 90 gramos
de proteínas diarias.
Si el precio de cada unidad de alimento S es 400 soles y 300 soles el de cada unidad de
alimento T, ¿cuántas unidades de cada alimento debe contener la dieta para minimizar el
costo?
RESPUESTA:
Este vértice es (4; 3) y el costo mínimo es 2500
La dieta debe contener 4 unidades del alimento S y 3 unidades del alimento T, para que el
costo sea mínimo.
Resuelve los siguientes problemas de programación lineal referentes a transporte.
1. Desde dos fincas A y B, se debe distribuir fruta fresca a tres mercados situados en Ambato,
Loja y Riobamba. La finca A dispone de 100 kg de fruta diaria, y la finca B de 150 kg, las frutas
se reparten en su totalidad. Los mercados de Ambato y Loja, necesitan diariamente 80 kg de
fruta, mientras que el de Riobamba necesita 90 kg diarios. El costo del transporte por
kilogramo desde cada finca a los tres mercados viene dado por el siguiente cuadro:
Fincas Ambato Loja Riobamba
A 1 1,5 2
B 1,5 2 3
¿Cuál es la mejor planificación de transporte desde cada finca a los diferentes mercados de
las ciudades para que el costo sea mínimo?
a. Determina las variables del problema y completa la tabla en tu cuaderno.
Fincas Ambato Loja Riobamba Oferta
A
B
Demanda
b. Determina la función objetivo y las restricciones del problema.
c. Grafica las restricciones del problema y determina los vértices de la región factible.
d. Interpreta la solución.
RESPUESTA:
a.
Fincas Ambato Loja Riobamba Oferta
A x Y ( ) 100
B [ ( )] 150
Demanda 80 80 90
b. F(x,y)= 0,5x + 0,5y + 450
Restricciones:
{
c. Gráfico; los vértices son: A(0, 80); B(20, 80); C(80, 20); D(80, 0); E(10, 0); F(0, 10)
d. Interpretaciones: existen dos posibles planificación en los dos casos el costo será $455.
Fincas Ambato Loja Riobamba
A 10 0 90
B 70 80 0
Fincas Ambato Loja Riobamba
A 0 10 90
B 80 70 0
2. Dos fábricas, , producen 40 y 50 unidades respectivamente de un determinado
producto. Deben abastecer a tres centros de consumo , necesitan 20, 45 y 25
unidades, respectivamente. El costo del transporte de cada fábrica a cada centro de
consumos, en dólares por unidad, viene dado en la siguiente tabla:
Fabricas Oferta
5 10 15
10 7 14
Demanda
¿Cómo han de distribuirse las unidades del producto para que el transporte sea lo más económico
posible?
RESPUESTA:
La función objetivo se minimiza en el punto B (20, 0). La solución es x = 20; y = 0, por lo que
las cantidades que se deben transportar son:
Fábricas
20 0 20
0 45 5

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  • 1. PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Resuelve los problemas de optimización lineal con restricciones. 1. Una fábrica produce focos normales y los vende a $4,5 cada uno; también fabrica focos ahorradores y los vende a $6 cada uno. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 focos normales y más de 300 focos ahorradores, ni más de 500 focos en total. La fábrica vende toda la producción. Determina cuántos focos normales y ahorradores debe producir para obtener los máximos ingresos posibles y cuáles serían estos. a. Determina las variables del problema y completa la tabla. Focos Variables Ganancia Normales Ahorradores Total b. Determina las restricciones del problema: Número máximo de fabricación de focos normales. Número máximo de fabricación de focos ahorradores. Producción máxima diaria. c. Determina la función objetivo ( ) d. Escribe las desigualdades que modelan la situación. e. Grafica las restricciones y determina los vértices de la región factible. f. Escriba la solución del problema. RESPUESTA: a. Focos Variables Ganancia Normales X 4,5x Ahorradores Y 6y Total 500 b. ; ; c. F(x, y)=4,5x+6y d. { e. A(0, 300); B(200, 300); C(400, 100); D(400, 0); E(0, 0) f. Debe vender 200 focos normales y 300 focos ahorradores para tener los mejores ingresos que serían $2700.
  • 2. 2. Marcelo es un pequeño fabricante de calzado. Los fabrica de dos estilos: pantuflas y deportivo. En el proceso se usan dos máquinas: una de corte y una de coser. Cada clase de calzado requiere 15 minutos por par en la máquina de corte. Las pantuflas necesitan 10 minutos para coserlas, y los deportivos 20 minutos, por par. Marcelo conoce que cada máquina de estos procesos está disponible exactamente durante 8 horas por día. La utilidad es de $15 por cada par de pantuflas y de $20 por cada par de deportivos. ¿Cuántos pares de cada tipo debe producir Marcelo cada día para obtener la máxima utilidad? a. Determina las variables del problema y completa la tabla. Escribe el tiempo en horas. Tipo de calzado variables Tiempo máquina de corte (h) Tiempo máquina de coser (h). 1/4x 1/6x 1/4y 1/3y b. Determina las restricciones del problema. Tiempo máximo en la máquina de corte. Tiempo máximo en la máquina de coser. c. Determina la función objetivo F(x,y). d. Escribe las desigualdades que modelan la situación. e. Grafica las restricciones y determina los vértices de la región factible. f. Escriba la solución del problema. RESPUESTA f. Tiene que producir 16 pantuflas y 16 deportivos para tener la máxima utilidad que sería $560. 3. En una prueba hay preguntas del tipo A que valen 20 puntos y del tipo B que valen 30 puntos. El tiempo para contestar una pregunta del tipo A es 4 minutos y para una del tipo B es 8 minutos. El tiempo máximo permitido para la solución es de 96 minutos, y no se puede contestar más de 18 preguntas. Suponiendo que un alumno contesta sólo respuestas correctas, ¿cuántas preguntas de cada tipo deberá resolver para obtener la calificación máxima? RESPUESTA La puntuación máxima es 420 puntos y para lograrla deberá resolver 12 preguntas del tipo A y 6 preguntas del tipo B. 4. Una empresa fabrica dos modelos de cámaras fotográficas: A y B. el modelo A deja ganancias de $50 por unidad y el modelo B de $40 por unidad. Para cumplir con la demanda diaria, la empresa debe producir un mínimo de 200 cámaras del modelo A y un mínimo de 120 cámaras del modelo B. Si la producción diaria no debe sobrepasar de 450 cámaras fotográficas, ¿Cuántas de cada modelo se deben producir para maximizar las ganancias?
  • 3. RESPUESTA La ganancia diaria máxima es $21300 y se da cuando se producen 330 cámaras del modelo A y 120 cámaras del modelo B. Resuelve los problemas sobre mezclas de programación lineal. 1. Una fábrica de chupetes dispone de dos ingredientes para su producción, el sabor del chupete variará dependiendo de la porción en que intervengan cada uno de los componentes. El primer ingrediente se compra a $20 el kilogramo y el segundo a $30 el kilogramo. En el proceso de producción se invierte $8 por kilogramo fabricado, cantidad que corresponde a la suma de los kilogramos empleados en la mezcla. A la fábrica no le interesa producir más de lo que vende por lo que planifica su producción mensual con un máximo de 100kg, con un precio de venta de $50 por kilogramo. Por último los ingenieros de producción determinaron que para que el producto tenga buena acogida en el mercado, la composición de la mezcla debe contener una proporción que no supere el 40% del primer ingrediente y el 50% del segundo ingrediente. El analista de producción quiere determinar cuántos kilogramos de chupete tiene que producir en un mes y las porciones en las que deben ser empleados los ingredientes para obtener un máximo beneficio. a. Completa la siguiente tabla. Ingredientes Cantidades en kg. Costo del kg. Ingrediente Tipo 1 Tipo 2 b. Determina las restricciones del problema y la función objetivo. Cantidad en kilogramos máxima a producir en un mes. Composición de la mezcla: Ingrediente tipo 1: ( ) ingrediente tipo 2. c. Completa la función objetivo: Función objetivo: obtener la máxima utilidad de la venta descontando la inversión. F(x,y)= precio de venta, menos costo de un ingrediente, menos costo segundo ingrediente, menos inversión en la producción. ( ) ( ) ( ) d. Ordena la información: función objetivo sujeta a las restricciones: e. Grafica las restricciones del problema y determina los vértices de la región factible. f. Interpreta la solución del problema.
  • 4. RESPUESTA a. Ingredientes Cantidad en kg. Costo del kg ingrediente Tipo 1 X 20x Tipo 2 Y 30y b. Cantidad en kilogramos máxima a producir en un mes: Composición de la mezcla: Ingrediente tipo 2: ( ); ; c. Función objetivo: ( ) d. Está sujeta a las restricciones: { e. El vértice ( ) f. No se puede determinar el máximo beneficio bajo las condicione del problema. 2. Un almacenista tiene en su almacén 150 kg de caramelos de limón y 180 kg de caramelos de menta. Decide venderlos haciendo dos mezclas: una está formada por la mitad de caramelos de cada clase y la vende a 2 dólares/kg, y la otra contiene la tercera parte de caramelos de limón y el resto de menta, vendiéndola a 1,5 dólares/kg. ¿Cuántos kilos de cada mezcla deberá preparar para maximizar sus ingresos? RESPUESTA La función objetivo alcanza un máximo en ( ). Luego debe preparar 240 kg. De la primera mezcla y 90 kg de la segunda ´para maximizar ingresos. Resuelve los siguientes problemas de programación lineal referentes a dietas. 1. Un nutricionista de animales tiene que elaborar alimento balanceado para perros con carbohidratos, proteínas y vitaminas que contenga como mínimo 16, 12 y 15 unidades respectivamente. En un almacén venden paquetes de dos marcas A y B, cuyos contenidos en unidades y precios se detallan en la tabla. Marca Carbohidratos Proteínas Vitaminas Costo A 1 1 5 $40 B 3 2 1 $45
  • 5. ¿Cuántos paquetes de cada marca tiene que comprar el nutricionista para elaborar el alimento balanceado con el mínimo costo? a. Analiza la información y determina las variables que intervienen en le problema. b. Determina las restricciones del problema. c. Determina la función objetivo. d. Grafica las restricciones del problema y determina los vértices de la región factible. e. Interpreta la solución del problema. RESPUESTA a. X: representa al paquete A Y: representa al paquete B b. { c. Función objetivo: ( ) d. Grafica las restricciones y determina los vértices de la región factible. ( ) ( ) ( ) e. Tiene que comprar 6 paquetes B para elaborar el alimento con un costo mínimo de $ 270. 2. Una ama de casa está tratando de seleccionar la mejor y más barata combinación de alimentos que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los requerimientos vitamínicos son por lo menos: 40 unidades de vitamina A, 50 unidades de vitamina B, y 49 unidades de vitamina C. La cantidad de vitaminas en gramos que cada alimento proporciona y su costo se describe en la siguiente tabla: Dieta Vitamina A Vitamina B Vitamina C Costo por kg A1 4 10 6 $7 A2 10 7 3 $8 ¿Cuál es el costo mínimo y la combinación de dieta que puede hacer esta ama de casa? a. Analiza la información y determina las variables que intervienen en el problema. b. Determina las restricciones del problema. c. Determina la función objetivo. d. Grafica las restricciones del problema y determina los vértices de la región factible. e. Interpreta la solución del problema. RESPUESTA e. Debe comprar 7,71 alimentos A1 y 0,92 A2 para tener un costo de $61,33.
  • 6. 3. Se requiere programar una dieta con dos alimentos S y T. Cada unidad del alimento S contiene 100 calorías y 15 gramos de proteínas. La unidad de alimento T contiene 200 calorías y 10 gramos de proteínas. La dieta requiere como mínimo 1000 calorías y 90 gramos de proteínas diarias. Si el precio de cada unidad de alimento S es 400 soles y 300 soles el de cada unidad de alimento T, ¿cuántas unidades de cada alimento debe contener la dieta para minimizar el costo? RESPUESTA: Este vértice es (4; 3) y el costo mínimo es 2500 La dieta debe contener 4 unidades del alimento S y 3 unidades del alimento T, para que el costo sea mínimo. Resuelve los siguientes problemas de programación lineal referentes a transporte. 1. Desde dos fincas A y B, se debe distribuir fruta fresca a tres mercados situados en Ambato, Loja y Riobamba. La finca A dispone de 100 kg de fruta diaria, y la finca B de 150 kg, las frutas se reparten en su totalidad. Los mercados de Ambato y Loja, necesitan diariamente 80 kg de fruta, mientras que el de Riobamba necesita 90 kg diarios. El costo del transporte por kilogramo desde cada finca a los tres mercados viene dado por el siguiente cuadro: Fincas Ambato Loja Riobamba A 1 1,5 2 B 1,5 2 3 ¿Cuál es la mejor planificación de transporte desde cada finca a los diferentes mercados de las ciudades para que el costo sea mínimo? a. Determina las variables del problema y completa la tabla en tu cuaderno. Fincas Ambato Loja Riobamba Oferta A B Demanda b. Determina la función objetivo y las restricciones del problema. c. Grafica las restricciones del problema y determina los vértices de la región factible. d. Interpreta la solución. RESPUESTA: a. Fincas Ambato Loja Riobamba Oferta A x Y ( ) 100 B [ ( )] 150 Demanda 80 80 90 b. F(x,y)= 0,5x + 0,5y + 450 Restricciones:
  • 7. { c. Gráfico; los vértices son: A(0, 80); B(20, 80); C(80, 20); D(80, 0); E(10, 0); F(0, 10) d. Interpretaciones: existen dos posibles planificación en los dos casos el costo será $455. Fincas Ambato Loja Riobamba A 10 0 90 B 70 80 0 Fincas Ambato Loja Riobamba A 0 10 90 B 80 70 0 2. Dos fábricas, , producen 40 y 50 unidades respectivamente de un determinado producto. Deben abastecer a tres centros de consumo , necesitan 20, 45 y 25 unidades, respectivamente. El costo del transporte de cada fábrica a cada centro de consumos, en dólares por unidad, viene dado en la siguiente tabla: Fabricas Oferta 5 10 15 10 7 14 Demanda ¿Cómo han de distribuirse las unidades del producto para que el transporte sea lo más económico posible? RESPUESTA: La función objetivo se minimiza en el punto B (20, 0). La solución es x = 20; y = 0, por lo que las cantidades que se deben transportar son: Fábricas 20 0 20 0 45 5