Tesis de grado completa

DESARROLLO DE LA COMPETENCIA RAZONAMIENTO Y
ARGUMENTACIÓN MATEMÁTICA EN EL CONTEXTO DE
TRIÁNGULOS CONGRUENTES EN OCTAVO GRADO
WENDIS PAOLA CAMARGO GARCÍA
LUZ ELENA MUÑIZ MÁRQUEZ
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
BARRANQUILLA 2014

DESARROLLO DE LA COMPETENCIA RAZONAMIENTO Y
ARGUMENTACIÓN MATEMÁTICA EN EL CONTEXTO DE
TRIÁNGULOS CONGRUENTES EN OCTAVO GRADO
WENDIS PAOLA CAMARGO GARCÍA
LUZ ELENA MUÑIZ MÁRQUEZ
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PRESENTADO COMO
REQUISITO PARA OPTAR EL TÍTULO DE LICENCIADO EN
MATEMÁTICAS
ASESOR:
MG. CLARA INÉS DE MOYA FRUTO
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
BARRANQUILLA 2014

Nota de aceptación
Presidente
Jurado I
Jurado II
Barranquilla 2014

AGRADECIMIENTOS
Este proyecto de investigación fue realizado con mucho esfuerzo y entusiasmo para
obtener el título de licenciado en matemáticas, durante el proceso de elaboración le
agradecemos Dios por permitirnos alcanzar una meta más en nuestras vidas y
convertirnos en profesionales de la educación, brindándonos la fuerza, las ganas y la
satisfacción de haber realizado nuestro trabajo a tiempo y de cumplir el sueño de
graduarnos con nuestros compañeros, de la misma forma a la universidad del Atlántico,
la cual nos ofreció formación de calidad para poder desempeñarse de la mejor forma en
el quehacer docente, además a la asesora Clara Inés de Moya Fruto quien con mucho
interés veló por el bienestar y resultado exitoso de nuestro trabajo de investigación y por
último a la institución Educativa Esther de Peláez, al comité de profesores y estudiantes
de octavo grado que nos brindaron apoyo para lograr los resultados esperados en esta
investigación.

DEDICATORIA
A Dios por hacer posible el logro de este gran sueño de convertirme en licenciada
en matemáticas. A mis padres CELINA GARCIA MEJIA Y CARLOS CAMARGO
VILLALBA, por todo lo que me han dado en esta vida, especialmente por sus sabios
consejos, por estar siempre a mi lado apoyándome y colaborándome en los momentos
más difíciles.
A mis hermanos, VICENTA CAMARGO, JOHANINIS CAMARGO Y
HERNANDO JAVIER CAMARGO quienes han sido mi mayor motivación y alegría
cada día. A mi primo, CARLOS ENRIQUE NARVAEZ, que desde el cielo me ha
brindado las fuerzas necesarias para seguir adelante en mi carrera y en mi vida. Y por
último a mí amiga, LUZ ELENA MUÑIZ MÁRQUEZ, quien día a día ha sido mi
compañera de batalla para poder alcanzar este sueño. Gracias a todas las personas que
me han apoyado. A TODOS LOS AMO.
Wendis Paola Camargo García

DEDICATORIA
Después de realizar mi trabajo de investigación, quiero dedicárselo a mi padre y a
mí abuela que desde el cielo se dio cuenta de mi dedicación y empeño con que realicé
mi trabajo de investigación cumpliendo así un sueño en mi proyecto de vida, de igual
forma cabe resaltar a Dios que es el intermediario para que todos mis sueños se hagan
realidad y el que permitió culminar mis estudios de una manera satisfactoria.
A mí porque realice a cabalidad toda la investigación y durante ella mostré mucha
dedicación, interés y esfuerzo para su realización logrando así el resultado deseado por
todos.
Por último a todos los profesores, a mí madre y a mí esposo que con mucha
dedicación colaboraron con mucho empeño a que mi sueño se hiciera realidad y
cumpliera una meta más de mi proyecto de vida.
Luz Elena Muñiz Márquez

RESUMEN
El presente documento plantea ofrecer una panorámica teórica general encaminada
a utilizar las demostraciones de triángulos congruentes como estrategia didáctica para
que favorezca la competencia de razonamiento y argumentación matemática a través de
una interrelación entre docente- estudiante y su nivel de independencia para responder a
cada una de las temáticas teniendo en cuenta los contenidos básicos del aprendizaje para
la educación secundaria plasmados en los lineamientos curriculares y en los estándares
básicos de competencia de matemáticas, a fin de lograr un óptimo desempeño de los
estudiantes dentro del ámbito escolar.
Diseñar intervenciones educativas enmarcadas en actividades contextuales y una
ambientación propicia llevando así al desarrollo de las habilidades cognitivas,
permitiendo facilitar el acceso y uso de la geometría, además de lograr un aprendizaje
significativo y una empatía e interés en los estudiantes hacia un lenguaje nuevo.
ABSTRACT

TABLA DE CONTENIDO
Introducción
Capítulo I
1. Planteamiento del Problema
1.1 Descripción del Problema.
1.2 Formulación del Problema.
1.3 Justificación.
1.4 Objetivos.
1.4.1 Objetivo General.
1.4.2 Objetivos Específicos.
Capítulo II
2. Marco Referencial
2.1 Antecedentes.
2.2 Marco Teórico
2.3 Marco Conceptual.
Capítulo III
3. Diseño Metodológico
3.1 Paradigma de Investigación.
3.2 Tipo de Investigación.
3.2.1 Etapas de la Investigación.
3.3 Población y Muestra.
3.4 Técnicas para la Recolección de Información.
3.5 Análisis e Interpretación de los Resultados.

Capítulo IV
4. Propuesta Pedagógica
4.1 Título.
4.2 Presentación.
4.3 Justificación.
4.4 Objetivos.
4.5 Metodología.
4.6 Plan de Acción.
4.7 Actividades realizadas.
4.8 Análisis de la Implementación de la propuesta.
4.8.1 Análisis Estadístico.
4.8.2 Análisis de la Evaluación Final.
4.9 Conclusiones.
4.10 Recomendaciones.

Lista de Anexos
Anexo A: Diagnóstico
Anexo B: Encuesta Realizada a Estudiantes
Anexo C: Entrevista a Docentes.
Anexo D: Entrevista a Estudiantes.
Anexo E: Evidencias de Redacción de Información.
Anexo F: Evidencias Aplicación de la Propuesta.
Anexo G: Evaluación Final
Anexo H: Evidencias Fotográficas.
Lista de Gráficas
Ilustración nº 1 Gráfico de la Prueba Diagnóstica.
Ilustración nº 2 Gráfico de la Encuesta a Estudiantes.
Ilustración nº 3 Gráfico de la Encuesta a Estudiantes (Desempeño en Geometría).
Ilustración nº4 Gráfico de Clasificación del Triángulo y sus Elementos (Prueba
Diagnóstica).
Ilustración nº 5 Gráfico de Clasificación del Triángulo y sus Elementos. (Evaluación
Final).
Ilustración nº 6 Gráfico de Talleres de las Actividades.
Ilustración nº 7 Gráfico de Análisis de la Evaluación Final.

1
INTRODUCCIÓN
Este trabajo está orientado a desarrollar la competencia de razonamiento y
argumentación matemática en relación a la enseñanza-aprendizaje de las
demostraciones de triángulos congruentes, en el nivel de básica secundaria en el grado
octavo; este tema es de vital interés, ya que evidencia en diversas investigaciones, la
forma y tamaño, de las figuras geométricas, la cual surge de un modo natural la
posibilidad de que dos o más figuras coincidan. El paso siguiente consiste en establecer
una relación que incluye esta posibilidad en el pensamiento geométrico, el objetivo es
que los estudiantes aprendan lo que necesitan aprender, lo sepan aplicar y aprovechar a
lo largo de la vida. Partiendo de las dificultades presentadas a la hora de realizar
demostraciones de triángulos congruentes se hacen presente las siguientes:
 Confusión en el reconocimiento de datos conocidos (hipótesis- tesis).
 No hay claridad y organización en el diseño de la demostración.
 Falencias en la aplicación de conceptos básicos de la geometría.
 Frustración al no hallar una solución rápida de la demostración.
 Deficiencias en el pensamiento espacial y reconocimiento de figuras.
 Poca comprensión de postulados, teoremas y propiedades llevando a memorizar
los procesos sin una argumentación valida.
 Dificultad en la utilización de la gráfica como apoyo para la realización de la
demostración.

2
Por tales situaciones, se hizo importante la elaboración del trabajo de investigación
titulado “desarrollo de la competencia de razonamiento y argumentación matemática en
el contexto de triángulos congruentes en octavo grado”, éste se proyecta como una gran
alternativa metodológica que favorezca al individuo en el desarrollo de esta
competencia y al docente en el mejoramiento, para el desarrollo de su clase. En la
misma línea, cabe recalcar la importancia que representa para los estudiantes que el
medio escolar estimule el desarrollo de las competencias matemáticas, ya que es en la
etapa escolar, en que se desarrolla o limita su potencial intelectual. Las dificultades
presentadas por los estudiantes de octavo grado de la Institución Educativa Esther de
Peláez fueron detectadas a través del registro y análisis de la información recolectada
mediante encuestas, entrevistas aplicadas a estudiantes, docentes, y el dialogo directo
con los estudiantes y docentes frente a la ausencia de la asignatura dentro del horario de
clases; lo cual permitió establecer un diagnóstico que explicitara con claridad la
problemática.
Es así como se asume el diseño y elaboración de una propuesta estructurada a través
de la formulación, el planteamiento, la transformación y resolución de problemas, por
medio de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas
mismas, enmarcadas en actividades concretas. Permitiendo analizar la situación;
identiﬁcar lo relevante en ella; establecer relaciones entre componentes y con
situaciones semejantes; formarse modelos mentales y representarlos externamente en
distintos registros; construyendo distintos problemas, posibles preguntas y respuestas
que surjan a partir de ella. Integrando el razonamiento y la argumentación, exigiendo la
justificación del análisis y procedimientos realizados además de la validez de las
soluciones.

3
1.0 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1. Descripción del Problema
Debido a la actual postura mundial hacia la globalización, el país y las instituciones
educativas deben estar a la vanguardia hacia la modernización, partiendo de un proceso
de enseñanza – aprendizaje basado en la construcción de conocimiento y el desarrollo
de competencias, por medio de herramientas metodológicas propias en el área de
matemáticas. Por diversas razones, durante muchos años las matemáticas han
constituido un “dolor de cabeza” para los padres, los maestros y los estudiantes desde el
inicio de su proceso educativo, generando situaciones en el proceso de enseñanza –
aprendizaje que flaquean al estudiante produciendo dificultad en la construcción de
conceptos matemáticos y la argumentación de procesos operacionales, creando así
apatía a la disciplina, además de razonamientos que solo se limitan a respuestas
predeterminadas, por tal razón se les complica realizar demostraciones de triángulos
congruentes a los estudiantes de octavo grado, debido a que no identifican la
información dada, presentando confusión en la comprensión y aplicación de teoremas,
postulados, además de la poca interpretación de gráficas y figuras. Debido al mal
manejo del lenguaje matemático propuesto por el docente, así como la monotonía en las
clases, sin recursos didácticos que propicien el aprendizaje.
Las dificultades presentadas por los estudiantes a la hora de realizar demostraciones
de triángulos congruentes son las siguientes:
 Confusión en el reconocimiento de datos conocidos (hipótesis- tesis).
 No hay claridad y organización en el diseño de la demostración.
 Falencias en la aplicación de conceptos básicos de la geometría.

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 Frustración al no hallar una solución rápida de la demostración.
 Deficiencias en el pensamiento espacial y reconocimiento de figuras.
 Poca comprensión de postulados, teoremas y propiedades llevando a
memorizar los procesos sin una argumentación valida.
 Dificultad en la utilización de la gráfica como apoyo para la realización
de la demostración.
Algunos ejemplos que proporcionan veracidad a las dificultades mencionadas
anteriormente en conjunto con los resultados de las pruebas saber en los grados quinto y
noveno en los años 2012 y 2009 arrojan las deficiencias de los estudiantes en el
componente geométrico específicamente en la competencia de razonamiento y
argumentación matemática dando razón a la problemática vivenciada en los estudiantes
en el área de geometría:
1) Si BD̅̅̅̅̅ ⊥ AC̅̅̅̅,∠1 = ∠2; demostrar que ∆ ABD ≅ ∆ CBD
Claramente no hay un análisis del reconocimiento de los datos dados y el debido
procedimiento a ejecutar posteriormente.
Demostración:
∠ABD =∠ DBC =90º (definición de perpendicularidad).
BD̅̅̅̅̅ = BD̅̅̅̅̅ (Lado común);
∠1=∠2 (Ángulo común) ⇒ ∆ ABD ≅ ∆ CBD (dado)

5
En concordancia con el desarrollo de la demostración del ejercicio anteriormente
planteado, se observa la poca organización de ideas a la hora de efectuar la
demostración.
En el siguiente ejemplo los estudiantes distinguen los datos conocidos, pero no
saben ubicar los datos en la figura, a pesar de que la construyen.
1) Si AC̅̅̅̅ = AD̅̅̅̅̅ y ∠1= ∠2 Demostrar que ∠C = ∠D
AC̅̅̅̅ = AD̅̅̅̅̅ Y ∠1= ∠2 (son datos conocidos)
Se estancan en esta parte y no saben cómo continuar.
2) Digamos qué triángulos son congruentes, indicando el criterio (LLL, LAL)
∆𝐼 ≅∆𝑉, ∆𝐼𝑉 ≅ ∆𝐼𝐼, ∆𝑉 ≅ ∆𝑉𝐼𝐼, ∆𝑉𝐼 ≅ ∆𝐼𝐼𝐼

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No son capaces de resolver el sistema a partir de la suma de los ángulos interiores
de un triángulo que es igual a 180°, por lo que no realizan conjeturas y análisis de
propiedades, para conocer el otro ángulo y asociarlo de manera que cumpla el
postulado.
3) En la figura AC̅̅̅̅ = BC̅̅̅̅ Y DC̅̅̅̅ = EC̅̅̅̅. Demostremos que AE̅̅̅̅ = DB̅̅̅̅
La complejidad de los ejercicios el estudiante provoca en el estudiante frustración al
no poder dar una solución acertada a la demostración. No hay un pensamiento espacial
desarrollado, lo que no permite una visualización de la figura planteada.
DC̅̅̅̅̅ = BD̅̅̅̅̅ (Lado común)
∠1=∠2 (ángulo común) ⇒ AE̅̅̅̅ = DB̅̅̅̅

7
A continuación se muestran unas gráficas tomadas de los resultados de las pruebas
saber del año 2012 de la Institución Educativa Esther de Peláez específicamente del área
de matemáticas en quinto grado y noveno grado.

8
En comparación con el año 2009 al 2012 hubo un descenso en el desarrollo de la
competencia de razonamiento y argumentación reflejada en el componente geométrico
tanto en quinto grado como en noveno grado.
Es necesario que se dé la temática teniendo en cuenta el nivel de aprendizaje de los
estudiantes para así desarrollar actividades y talleres en donde lo esencial es que el
estudiante se apropie del conocimiento motivándolo para que comprenda la utilidad y
aplicabilidad, para luego darlo a conocer simultáneamente. Este proceso general
requiere del uso ﬂexible de conceptos, procedimientos y diversos lenguajes para
expresar las ideas matemáticas pertinentes y para formular, reformular, tratar y resolver
los problemas asociados a dicha situación.

9
1.2 Formulación del Problema
Frente a este planteamiento del problema se pretende dar respuesta a los siguientes
interrogantes:
• ¿Cómo desarrollar la competencia de razonamiento y argumentación
matemática a través de las demostraciones de triángulos congruentes en
octavo grado?
• ¿Cuáles son las dificultades que presentan los estudiantes de octavo
grado en el desarrollo de demostraciones de triángulos congruentes?
• ¿Qué habilidades usan los estudiantes para resolver sus demostraciones
en geometría?
• ¿Qué habilidades matemáticas facilitan el desarrollo de las
demostraciones de triángulos congruentes en octavo grado?
• ¿Cómo el docente facilita el desarrollo de la competencia de
razonamiento y argumentación matemática por medio de la enseñanza de
demostraciones de triángulos congruentes en octavo grado?

10
1.3 JUSTIFICACIÓN
Las demostraciones de triángulos congruentes son de gran importancia en octavo
grado, ya que los estudiantes presentan dificultades tanto para demostrar como para
razonar, aplicar teoremas y postulados, debido a las pocas bases obtenidas en los grados
anteriores, por lo que se encuentran en una etapa transitoria entre el pensamiento
concreto y el pensamiento formal.
Piaget (s.f.), propone cuatro factores relacionados con el desarrollo
cognoscitivo: la madurez, la experiencia adquirida, lenguaje y transmisión
social, y equilibrio. Considera además que cada uno de estos factores y la
interacción de los mismos establecen las condiciones necesarias para el
desarrollo cognoscitivo, pero que ninguno por sí mismo es suficiente para
asegurar el desarrollo cognoscitivo. Los movimientos en cada etapa del
desarrollo y entre éstas son funciones de estos factores y su interacción.
El pensamiento formal integra las generalizaciones, discernimientos, perspicacia,
intuición y comprensión, así mismo ver la interacción existente entre las ideas y las
acciones. El estudiante que ha desarrollado el pensamiento formal Es capaz ahora de
entender plenamente y apreciar las abstracciones simbólicas, de razonar correctamente
sobre proposiciones en las que no cree aún (hipótesis). Periodo denominado también
hipotético – deductivo.

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De esta forma; se hace transcendental para la formación de la matemática, la
geometría, la cual pertenece al pensamiento espacial, en el que los procesos cognitivos
mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los
objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas
traducciones o representaciones materiales en ella se contemplan las actuaciones del
sujeto en todas sus dimensiones y relaciones espaciales para interactuar de diversas
maneras con los objetos situados en el espacio, desarrollar variadas representaciones y,
a través de la coordinación entre ellas, hacer acercamientos conceptuales que favorezcan
la creación y manipulación de nuevas representaciones mentales. Esto requiere del
estudio de conceptos y propiedades de los objetos en el espacio físico y de los conceptos
y propiedades del espacio geométrico en relación con los movimientos del propio
cuerpo y las coordinaciones entre ellos y con los distintos órganos de los sentidos.
Por tal razón; es necesario que los niños de octavo grado se encuentren situados en
este tipo de pensamiento, lo cual casi siempre es una de las grandes dificultades, puesto
que se ven afectados en esa etapa transitoria de un grado otro, como lo es el caso de
séptimo a octavo grado, durante este proceso los estudiantes intentan seguir los métodos
antiguos provenientes del grado anterior y no le dan paso a nuevas formas de
generalizar patrones, por tal razón se les hace complicado un tema en específico que
requiere un pensamiento formal, como lo son las demostraciones de triángulos
congruentes, las cuales requieren la utilización de nuevos conceptos y la aplicación de
competencias como la argumentación, la comunicación, el razonamiento, y modelación;
de tal manera; se desea desarrollar esta temática a partir de nuevos métodos y
herramientas que permitan que el pensamiento del estudiante empiece a ser reversible,
flexible y mucho más complejo.

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Además, se requiere el uso de estrategias didácticas que faciliten el desarrollo
de la competencia de razonamiento y argumentación matemática rompiendo con los
parámetros tradicionales de la enseñanza-aprendizaje de la geometría, por lo que se
propone la construcción de características y propiedades de las formas geométricas
bidimensionales y tridimensionales y desarrollar argumentos acerca de las relaciones
geométricas. Como transformaciones y describir relaciones espaciales para analizar
situaciones matemáticas. Para un mayor desarrollo intelectual, para que los estudiantes
logren ser personas competentes y con grandes habilidades del pensamiento. El
desarrollo de las competencias básicas ha supuesto un nuevo enfoque de las relaciones
enseñanza-aprendizaje y esto es así, en la medida en que su incorporación al currículo
permite poner el acento en aquellos aprendizajes que se consideran imprescindibles,
desde un planteamiento integrador y orientado a la aplicación de los saberes adquiridos.

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1.4 OBJETIVOS
Desarrollar la competencia de razonamiento y argumentación matemática en
estudiantes de octavo grado a través de las demostraciones de triángulos
congruentes.
• Determinar las causas y efectos generados en los estudiantes a la hora de
realizar demostraciones de triángulos congruentes en geometría.
• Proponer situaciones de aprendizaje que favorezcan el razonamiento en
los aspectos espaciales, métricos y geométricos, apoyado en el uso de gráﬁcas.
• Promover herramientas didácticas que faciliten la comprensión de
teoremas y postulados en las demostraciones de triángulos congruentes.
• Propiciar ambientes interesantes y creativos en la enseñanza de las
matemáticas que reflejen el afecto y comprensión hacia los estudiantes durante
el desarrollo de los eventos pedagógicos.

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2.0 MARCO REFERENCIAL
Los intentos emprendidos para mejorar la enseñanza de la geometría, de forma que
se recupere del olvido intencional al que la comunidad didáctica le había relegado en la
década de los sesenta, no parecen haber dado los resultados esperados. Se está
produciendo un estancamiento que se hace evidente tanto en las concepciones que los
alumnos se forman de esta materia como en el dominio, cada vez más grande que ejerce
el campo numérico (la aritmética) no solo de la geometría sino también sobre otras
ramas de la matemática.
Todas las investigaciones sobre geometría señalan la conveniencia de una buena
construcción del espacio que prepare la modelación del mismo que constituye cualquier
tipo de geometría. Por lo que dicha construcción debe manejarse en los primeros niveles
de educación como paso previo para poder abordar posteriormente una construcción
seria de la geometría, para así encontrar una prolongación entre los diferentes conceptos
geométricos adquiridos en los diferentes modelos. La génesis de los conceptos
geométricos en el niño impone la construcción y modelización de un espacio sobre el
que él pueda actuar y construir los distintos conceptos geométricos.
Existen diferentes investigaciones, monografías, teóricos y artículos de revistas, en
el ámbito internacional, nacional y regional que de alguna manera contribuyen con esta
investigación. A continuación se señalan las siguientes:

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2.1 Antecedentes Internacionales
Marcos Lorenzón (2008), España, realizó una investigación titulada ”un modelo de
análisis de competencias matemáticas en un entorno interactivo”, con el objetivo de
diagnosticar los beneficios cognitivos que se producen en los alumnos en relación con la
adquisición de determinadas competencias matemáticas, en particular relacionadas con
el aprendizaje de la geometría y con el desarrollo de la competencia comunicativa,
utilizando un entorno interactivo de aprendizaje soportado por los medios informáticos.
Se ha implementado y analizado un modelo para potenciar el desarrollo de ciertas
competencias matemáticas por parte de alumnos de educación secundaria, cuando los
mismos desarrollan trabajo colaborativo en un entorno virtual de aprendizaje (EVA) que
utiliza soportes informáticos, implementado ciertas estrategias para el diseño de las
actividades que permiten atender a la diversidad. Estas estrategias, que consisten
básicamente en un sistema de "ayudas progresivas" y “diversificaciones”, han
constituido una herramienta potente para dar una respuesta estratégica al problema de la
atención a la diversidad, posibilitando que cada alumno desarrolle al máximo sus
potencialidades; herramienta factible de aplicarse en otros contextos de aprendizaje.
Para realizar el análisis del aprendizaje de la Geometría y del desarrollo de la
competencia comunicativa matemática a lo largo del proceso, se han diseñado y
aplicado unos instrumentos de análisis específicos. En relación al aprendizaje de la
geometría, hemos diseñado y utilizado un instrumento de análisis con sus
correspondientes indicadores que nos permite estudiar el "itinerario de resolución"
recorrido por cada alumno, y nos aporta una información muy relevante para el estudio
del proceso, estableciendo la complejidad de la actividad resultante para cada enunciado
en cada caso, y evaluar la evolución de cada estudiante a lo largo del proceso.

16
En el mismo sentido en el proceso de validación, el estudiante pone en juego lo que
denominamos esquemas de argumentación, entendidos como la forma en que un
individuo utiliza su razonamiento durante una práctica argumentativa; y esta última
queda definida como el conjunto de acciones y razonamientos que un individuo pone en
juego para justificar o explicar un resultado o para validar una conjetura nacida durante
el proceso de resolución de un problema (Flores, 2007, Pág. 47-49).
Crespo Crespo (s.f.), Argentina, Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V.
González”, En el trabajo titulado “la importancia de la argumentación matemática en el
aula”, con el objetivo de mostrar la demostración en el aula de matemática en la tarea
docente, enfrenta la situación en la cual los educandos no comprenden la necesidad de
la demostración de propiedades en matemática. En ciertas oportunidades se contentan
con una simple verificación, en otras “creen” la propiedad, pues les resulta evidente.
Aún cuando puedan llegar a comprender que en ciertos momentos es necesario
demostrar una propiedad, la dificultad de asumir la exigencia de las demostraciones en
las ciencias formales se complica más aún cuando ellos son quienes realizan estas
demostraciones. Las distintas formas del pensamiento lógico no siempre son logradas
satisfactoriamente por los estudiantes en la escuela.

17
La demostración en clase de matemática presenta una gran diversidad de formas, y
aparece en los distintos niveles educativos a través de variados tipos de
argumentaciones. El pensamiento deductivo se va construyendo lentamente a lo largo de
las distintas etapas de la escuela. Esto no significa que se logre realmente su
construcción de manera sólida. Es común encontrar estudiantes universitarios que aún
no han logrado dominar este contenido procedimental (Ibañes y Ortega, 1997).
Los matemáticos, habituados a demostrar, consideran muchas veces que se trata de
un procedimiento natural en el estudio de la matemática. Sin embargo, indudablemente
se ponen de manifiesto serios obstáculos al adquirirlo: lo que para el matemático es
natural y fácil, para la mayor parte de los estudiantes es algo difícil, artificial e incluso
sin sentido, ya que muchas veces no manifiestan la necesidad de la demostración para
aceptar una propiedad. Esto pone en evidencia concepciones distintas con respecto a la
matemática (Crespo, (s.f.), Pág. 23).
En este propósito Aravena Díaz & Caamaño Espinoza en el artículo titulado
“Niveles de razonamiento geométrico en estudiantes de establecimientos
municipalizados de la Región del Maule. Talca, Chile”, Revista latinoamericana de
investigación en matemática educativa, Relime vol.16 no.2 México jul. 2013, Al mismo
tiempo, los estudios son coincidentes en señalar que el aprendizaje de la geometría
juega un papel fundamental en la resolución de problemas, puesto que si se considera
como un modelo de representación y descripción de la realidad, se constituye en un
importante elemento unificador (Fortuny & Giménez, 1998). Desde el punto de vista del
aprendizaje, ayuda al estudiante a desarrollar diversos procesos de razonamiento, que en
la mayoría de los casos tienen adecuados soportes gráficos y manipulativos.

18
El documento "Perspectivas en la enseñanza de la geometría para el siglo XXI",
elaborado por el ICME en los años noventa, deja claro la importancia de la geometría en
el proceso de formación de los estudiantes, al ser considerada como "una herramienta
para comprender, describir e interactuar con el espacio en que vivimos, es quizás la
parte más intuitiva, concreta y unida a la realidad de las matemáticas" (ICMI, 1998,
p.337, citado en Blanco y Barrantes, 2003, Pág. 2).
En particular, se analizan los estudios centrados en los procesos cognitivos que se
enfocan en la manera cómo se produce el aprendizaje de los conceptos geométricos,
para explicar la evolución del pensamiento geométrico, colocando el énfasis en los
procesos claves, tales como: visualización, reconocimiento, identificación, clasificación
y representación. También se abordan los procesos de argumentación de los hechos
geométricos: la generalización, aplicación y demostración; teniendo en consideración
las interacciones que existen entre los procesos de visualización y razonamiento (Vinner
& Hershkowitz, 1983; Hershkowitz, 1990; Vinner, 1991; Gutiérrez y Jaime, 1998;
Duval, 1998; Fortuny y Giménez, 1998).
2.1.1 Antecedentes Nacionales
A su vez Morales Chávez & Majé Floriano (2011), Florencia, Colombia, realizaron
una investigación titulada “competencia matemática y desarrollo del pensamiento
espacial. Una aproximación desde la enseñanza de los cuadriláteros” con el objetivo de
diagnosticar el reconocimiento del fracaso en la enseñanza de la matemática moderna,
diversos trabajos han centrado su interés en el estudio de la enseñanza y el aprendizaje
de las matemáticas y la geometría en las aulas escolares. En particular:

19
Godino, Batanero y Font (2004) proponen un estudio cuyo objetivo es que los maestros
en formación desarrollen una visión de la enseñanza de las matemáticas que contemple
entre otras cosas, las clases como comunidades matemáticas, el razonamiento
matemático más que los procedimientos de simple memorización, la formulación de
conjeturas, la invención, la resolución de problemas, la conexión de las ideas
matemáticas y sus aplicaciones y la tecnología como elemento esencial en la enseñanza
para estimular el aprendizaje de las matemáticas en los estudiantes.
En el mismo sentido el (MEN) a través de los lineamientos curriculares en
matemáticas (1998) y estándares básicos de competencias en la misma área (2006),
constituyen la base para la orientación de los procesos de enseñanza y aprendizaje en las
aulas escolares. Para ello se establecen unos conocimientos básicos, los cuales permiten
desarrollar el pensamiento matemático y hacen referencia a diferentes tipos: numérico,
espacial, métrico, variacional y aleatorio. De acuerdo a los lineamientos, se plantea una
nueva visión del conocimiento matemático en la escuela dentro de sus referentes
curriculares haciendo énfasis en la importancia de la geometría por su mismo carácter
de herramienta para interpretar, entender y apreciar un mundo que es eminentemente
geométrico; por tanto, constituye una importante fuente de modelación y un ámbito por
excelencia para desarrollar el pensamiento espacial y procesos de nivel superior y, en
particular, formas diversas de argumentación. En cuanto a los sistemas geométricos se
hace énfasis en el desarrollo del pensamiento espacial, el cual es considerado como el
conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan
las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus
transformaciones, y sus diversas traducciones a representaciones materiales (MEN,
1998, Pág. 37).

20
La Formulación y Resolución de Problemas
En este aspecto se encuentran diversos estudios, los cuales, adicionaron otros
componentes integradores al desarrollo del pensamiento matemático. Lo anterior se
puede resumir de la siguiente manera: Rico (1990) plantea que resolver problemas no es
solo llegar a la respuesta de algo que antes no se conocía, sino que intervienen
diferentes procesos en los que se involucran la comprensión, el planteamiento y
elección de estrategias. En particular, el autor afirma: Resolver problemas no se reduce
a usar la matemática conocida, requiere de una gran dosis de creatividad y reelaboración
de hechos, conceptos y relaciones, en el sentido más real del término, resolución de
problemas es crear y construir matemática. Memorizar y repetir todas las reglas
deductivas que operan en un sistema formal fuertemente estructurado constituye a veces
una derivación del comportamiento real del matemático. Confundir los procesos de
producción y elaboración del conocimiento matemático con sus resultados cristalizados
es un error frecuente en nuestra enseñanza; por ello, la resolución de problemas
constituye no sólo una buena estrategia metodológica sino que supone una forma de
aproximación más real al trabajo en matemática (Pág. 15).
Godino et al. (2004) afirman que resolver problemas es esencial si se requiere
conseguir un aprendizaje significativo de las matemáticas. No se debe pensar en esta
actividad sólo como un contenido más del currículo matemático, sino como uno de los
vehículos principales del aprendizaje de las matemáticas y una fuente de motivación
para los estudiantes, ya que permite contextualizar y personalizar los conocimientos. Al
resolver un problema el estudiante dota de significado a las prácticas matemáticas
realizadas, ya que comprende su finalidad.

21
De igual forma en Colombia, los lineamientos curriculares proponen el desarrollo
de unos procesos generales asumidos en la enseñanza de toda actividad matemática y
que están relacionados con:
• La resolución y el planteamiento de problemas
• El razonamiento
• La comunicación
• La modelación
• La elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos.
Además se indica que: La resolución de problemas es el mejor camino para
desarrollar estas competencias ya que permite activar las capacidades básicas
del individuo, como son leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan
de trabajo, revisarlo, adaptarlo, generar hipótesis, verificar el ámbito de validez
de las soluciones, etc. Esta debe ser asumida como el eje central del currículo de
matemáticas, y como tal, debe ser un objetivo primario de la enseñanza y parte
integral de la actividad matemática, pero esto no significa que se constituya en
un tópico aparte del currículo, deberá permearlo en su totalidad y proveer un
contexto en el cual los conceptos y herramientas sean aprendidos (MEN, 1998,
Pág. 74-75).

22
Bermúdez Davis (2011), San Andrés isla, Colombia, en su investigación titulada
“Estudio de la congruencia de figuras planas. Construcciones con regla y compas. Una
propuesta para sexto grado”, la investigación adopta la elaboración de una propuesta
didáctica, basada en las construcciones con regla y compás, el trabajo responde a un
problema detectado en el aula de clase, como lo es, el no reconocimiento, por parte de
los estudiantes, de las figuras planas, propiedades y las relaciones de congruencia y
semejanza.
Por su parte Herrera Sepúlveda (2012), Medellín Colombia, en su trabajo de
investigación “Evaluación de la competencia argumentativa en matemáticas”, afirma
que entre las definiciones existentes de argumentación se optara por entender, en
términos generales el argumentar como el uso del lenguaje verbal o escrito “para formar
un discurso que dé cuenta de nuestras convicciones acerca de un asunto. Este discurso
tiene como función fundamental convencer o persuadir, en forma razonada, a otro (s) de
las creencias personales; exige entonces, realizar, a partir de la premisa que se tiene por
cierta, construcciones que expliquen, justifiquen, relacionen y concluyan
convincentemente la (s) tesis supuesta (s).” (Calderón, Dora Inés y León C, Olga Lucía,
1996, Pág.12).
Ante la situación planteada, se asume que en matemáticas dicho discurso se
encaminará a la justificación “que el estudiante pone de manifiesto ante un problema; la
expresión de dichos por qué busca poner en juego las razones o justificaciones
expresadas como parte de un razonamiento lógico, esto es, las relaciones de necesidad y
suficiencia, las conexiones o encadenamientos que desde su discurso matemático son
válidos” (Pedraza, LP y Constanza, Luz, 2004, Pág. 21).

23
Es importante tener en cuenta que dichas justificaciones, razones o por qué, no
deben corresponder a una argumentación desde lo puramente cotidiano, sino que deben
ser razones que permitan justificar el planteamiento de una solución o una estrategia
particular desde las relaciones o conexiones válidas dentro de la matemática.
Es conveniente que se haga dicha aclaración ya que, aunque el significado o la
esencia de la argumentación en matemáticas no es diferente a la argumentación en otras
áreas, si se tiene que las situaciones argumentativas en matemáticas difieren de otras
situaciones puesto que, lo que se pone en juego en la argumentación son las
restricciones propias del problema a resolver y ellas son las que determinan la elección
de los argumentos. En matemáticas la fuerza del argumento dependerá principalmente
de su adaptación a la situación y no tanto a su resonancia en el universo del interlocutor;
se trata de asegurar que la solución funciona o puede funcionar (Calderón, Dora Inés y
León C, Olga Lucía, 2003, Pág. 38).
Teniendo en cuenta lo anterior, se podría decir que el argumentar en matemáticas se
hace importante en la medida que fortalece la competencia comunicativa en dicha área,
ya que, en la medida que el estudiante se sienta en la necesidad de argumentar se verá
en la obligación de manejar de manera adecuada el lenguaje y el discurso matemático,
además de utilizar una serie de operaciones discursivas como: Designar objetos y
generar proposiciones a partir de otras proposiciones dadas, igualmente “ la actividad
argumentativa permite confrontar procesos, representaciones y soluciones; y, junto con
ello, concepciones en varios ámbitos: matemático, social, ideológico, afectivo, entre
otros” (Calderón, Dora Inés y León C, Olga Lucía, 1996, Pág. 22).

24
2.1.2 Antecedentes Locales
Arias, Castañeda & Navarro 2002 realizaron una investigación titulada “Estrategia
pedagógica para la enseñanza y aprendizaje de triángulos sus segmentos y rectas
notables en estudiantes de sexto grado” con el objetivo de diagnosticar el material
didáctico y guía como medio de construcción y comprensión de conceptos, basados en
el modelo constructivista con aprendizaje significativo para acceder al conocimiento en
forma secuencial a partir de la manipulación de objetos concretos.
Desarrollo del Pensamiento Espacial
Los lineamientos curriculares creados por el MEN (1998) exponen que en los
sistemas geométricos se hace énfasis en el desarrollo del pensamiento espacial, el cual
es considerado como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se
construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las
relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones a
representaciones materiales. Los sistemas geométricos se construyen a través de la
exploración activa y modelación del espacio tanto para la situación de los objetos en
reposo como para el movimiento. Esta construcción se entiende como un proceso
cognitivo de interacciones, que avanza desde un espacio intuitivo o sensorio- motor.
(Que se relaciona con la capacidad de práctica de actuar en el espacio manipulando
objetos, localizando situaciones en el entorno y efectuando desplazamientos, medidas,
cálculos espaciales, etc.), a un espacio conceptual o abstracto relacionado con la
capacidad de representar internamente el espacio reflexionando y razonando sobre
propiedades geométricas abstractas, tomando sistemas de referencia y prediciendo los
resultados de manipulaciones mentales.

25
Este proceso de construcción del espacio está condicionado e influenciado tanto por
las características cognitivas individuales como por la influencia del entorno físico,
cultural, social e histórico. Por tanto, el estudio de la geometría en la escuela debe
favorecer estas interacciones, se trata de actuar y argumentar sobre el espacio
ayudándose con modelos y figuras, con palabras del lenguaje ordinario, con gestos y
movimientos corporales.
Lineamientos Curriculares en Matemáticas. Por tanto el pensamiento espacial debe
privilegiarse mediante el estudio de la geometría plana para los grados séptimo, octavo
modelada por situaciones problémicas donde el estudiante se motive al estudio a partir
de las reflexiones que le motive el problema, que piense, dialogue y ejecute posibles
soluciones geométricas, basándose en sus conceptos previos donde el papel del docente
será modelar este proceso para posibilitar el desarrollo del pensamiento espacial (MEN
1998).

26
2.2 MARCO TEÓRICO
2.2.1 Razonamiento y Argumentación.
2.2.1.1 Razonar Matemáticamente.
El razonamiento es una actividad que adopta multitud de formas, ya que abarca
enfoques muy alejados unos de otros. Se puede definir como un esquema organizado de
proposiciones que se orienta hacia un enunciado-objetivo, con miras a modificar el
valor epistémico, y que por tanto, altera el valor de verdad bajo el cumplimiento de
ciertas condiciones.
Cabe señalar las características siguientes, necesarias para que un discurso pueda
ser reconocido como razonamiento:
• Estar orientado hacia el enunciado-objetivo, es decir, hacia la proposición a
justificar.
• Estar centrado en el valor lógico o epistémico de esta proposición, y no sobre su
contenido. Precisamente esta segunda propiedad distingue al razonamiento de la
explicación: La explicación de una o más razones para volver comprensible o entendible
un dato, tiene un valor descriptivo, sin valor epistémico; el razonamiento también da
razones, pero su papel es el de comunicar la fuerza de argumento a las afirmaciones que
se desean justificar.

27
Con todo y lo anterior uno de los razonamientos que se va a desarrollar es el de
demostración, pero, ¿Qué se entiende por demostración?, hoy en día, los matemáticos
afirman que una demostración no es otra cosa sino aquello que los matemáticos aceptan
como demostración; en palabras de N. Balacheff, Acuña, (1996) la define como:
“prueba es una explicación aceptada por una comunidad en un momento dado, y si un
enunciado se conoce como verdadero y bien definido, a estas pruebas las llamaremos
demostraciones”.
Dado que la práctica de razonamientos no forma parte expresa de los distintos
currículos en matemáticas, por tanto, el razonamiento que el estudiantado emplea es el
que se desarrolla por efecto de la edad y de la experiencia de la vida cotidiana. Sin
embargo y, aunque necesaria, esta lógica del sentido común no es suficiente para el
estudio matemático que requiere otro tipo de reglas. Duval (1999) distingue con toda
claridad argumentación de demostración, así, mientras la argumentación es un
procedimiento lógico que busca convencer, la demostración es un procedimiento lógico
que produce proposiciones apodícticas. En matemáticas, los razonamientos empleados
buscan concluir proposiciones que se revelan necesariamente verdaderas, es decir,
apodícticas. Por el contrario en la lógica cotidiana, se busca convencer.
En este propósito para Duval la deducción matemática es un proceso de
razonamiento intrínsecamente ligado a un lenguaje y, como tal, en sus diversas formas,
se caracteriza por movilizar explícitamente proposiciones y consiste en el paso
“justificado” o “necesario” que tiene lugar desde la enunciación de ciertas proposiciones
en calidad de premisas, a la aserción de una nueva proposición en calidad de su
consecuencia o conclusión. Así mismo, un razonamiento ligado a un lenguaje no tiene

28
que ser confirmado o invalidado por la experiencia, por el aporte de informaciones
suplementarias o por el establecimiento de consenso en el interior de un grupo, sino que
es por sí mismo válido o no válido dependiendo esto, únicamente del respeto a las
reglas que rigen la organización de las proposiciones entre sí, y no del contenido de las
mismas.
En este sentido, se entiende por razonamiento a la facultad humana que permite
resolver problemas, extraer conclusiones y aprender de manera consciente de los
hechos, estableciendo conexiones causales y lógicas necesarias entre ellos. En sentido
más restringido se puede hablar de diferentes tipos de razonamiento:
 El razonamiento argumentativo en tanto actividad mental se corresponde con la
actividad lingüística de argumentar. En otras palabras, un argumento es la expresión
lingüística de un razonamiento.
 El razonamiento lógico o causal es un proceso de lógica mediante la cual,
partiendo de uno o más juicios, se deriva la validez, la posibilidad o la falsedad de otro
juicio distinto. El estudio de los argumentos corresponde a la lógica, de modo que a ella
también le corresponde indirectamente el estudio del razonamiento. Por lo general, los
juicios en que se basa un razonamiento expresan conocimientos ya adquiridos o, por lo
menos, postulados como hipótesis. Es posible distinguir entre varios tipos de
razonamiento lógico. Por ejemplo el razonamiento deductivo (estrictamente lógico), el
razonamiento inductivo (donde interviene la probabilidad y la formulación de
conjeturas) y razonamiento deductivo, entre otros.

29
En general, se considera válido un razonamiento cuando sus premisas ofrecen
soporte suficiente a su conclusión. Puede discutirse el significado de "soporte
suficiente", aunque cuando se trata de un razonamiento no deductivo, el razonamiento
es válido si la verdad de las premisas hace probable la verdad de la conclusión. En el
caso del razonamiento deductivo, el razonamiento es válido cuando la verdad de las
premisas implica necesariamente la verdad de la conclusión.
De ahí los razonamientos no válidos que, sin embargo, parecen serlo, se denominan
falacias. El razonamiento nos permite ampliar los conocimientos sin tener que apelar a
la experiencia. También sirve para justificar o aportar razones en favor de lo que
conocemos o creemos conocer. En algunos casos, como en las matemáticas, el
razonamiento nos permite demostrar lo que sabemos; es que aquí hace falta el
razonamiento cuantitativo. El termino razonamiento es el punto de separación entre el
instinto y el pensamiento, el instinto es la reacción de cualquier ser vivo.
En contraste con Piaget (1979) mantiene la prevalencia del razonamiento deductivo
sobre el lenguaje al afirmar la menor dificultad de ejecutar materialmente un acto que
ejecutarlo en el pensamiento, lo que requiere traducirlo de manera simbólica en palabras
o imágenes y esta reelaboración supone una aceleración que llega hasta ciertas vistas de
conjunto simultáneas.

30
Es por ello que a la hora de hablar de razonamiento es relevante detenerse en la
comprensión y uso de los términos “definir” y “demostrar”, para identificar el
razonamiento matemático. No es posible avanzar de un nivel a otro sin poseer esas
habilidades. Para conocer en qué nivel de razonamiento se encuentra un estudiante es
necesario atender tanto a sus estrategias de resolución de problemas como a su forma de
expresarse y al significado que le da al vocabulario que escucha, lee o utiliza para
expresar sus conocimientos. Hay que tener en cuenta, que el paso de un nivel de
pensamiento a otro no es automático, no está rígidamente ligado a la edad, sino que
depende de la correcta superación del nivel anterior. Por ello es conveniente atender al
desarrollo de los primeros niveles si se pretende que se alcancen adecuadamente los
niveles de pensamiento deductivo.
2.2.1.2 Leer, Escribir y Argumentar.
La argumentación es el mecanismo que relaciona la información concreta con las
abstracciones y generalizaciones; es decir, es el proceso que relaciona datos, siguiendo
las reglas del pensamiento crítico, para obtener información nueva (Álvarez, Pág.74).
De esta manera, podemos decir que el propósito principal de los textos argumentativos
es legitimar explícitamente la información nueva que proporciona el texto, por medio de
datos empíricos, razonamientos o pruebas; en otras palabras, la función primordial de la
argumentación es persuadir al lector de lo que se afirma.
Según Álvarez, en el libro escribir en español, los componentes básicos de la
argumentación son presentar una información dada o de saber general y una
información aducida que puede relacionarse con la antes mencionada para llegar a una
conclusión. Ambos tipos de información conducen a información nueva, otra

31
conclusión, o al contenido nuclear del texto (Pág.74). La información nueva se obtiene
gracias a la asociación de ideas, datos, ejercicios, bibliografía y razonamientos lógicos;
es decir, al ejercicio del pensamiento crítico. Es por esto que la argumentación es un
medio de comunicación importante, de generación de nuevas ideas y conocimiento.
Es así como incidir en el desarrollo de la competencia argumentación desde el área
de matemáticas se debe insistir en dos aspectos. Por una parte la incorporación de lo
esencial del lenguaje matemático a la expresión habitual y la adecuada precisión en su
uso. Por otra parte, es necesario incidir en los contenidos asociados a la descripción
verbal de los razonamientos y de los procesos. Se trata tanto de facilitar la expresión
como de propiciar la escucha de las explicaciones de los demás, lo que desarrolla la
propia comprensión, el espíritu crítico y la mejora de las destrezas comunicativas.
Ahora bien, según Sardà (2003), “La argumentación es una actividad social,
intelectual y verbal que sirve para justificar o refutar una opinión, y que consiste en
hacer declaraciones teniendo en cuenta al receptor y la finalidad con la cual se emiten.
Para argumentar hace falta elegir entre diferentes opciones o explicaciones y razonar los
criterios que permiten evaluar como más adecuada la opción elegida” (Pág. 123).
Desde otro punto de vista, Raymond Duval, por su parte, establece una discusión
entre discusión y argumentación Duval, (1999) “una argumentación trata de mostrar el
carácter de verdad de una proposición, una explicación da una o más razones para
volver comprensibles un dato, fenómeno o resultado y una demostración es una
secuencia de enunciados según reglas determinadas” (Pág.35). Para este autor, el

32
concepto de argumentación se encuentra estrechamente ligado al de justificación de una
afirmación, o bien en contra de una afirmación que se debe refutar.
Técnicas Argumentativas
Existen diferentes modos de presentar y llevar a cabo la argumentación. La más
común es, según el orden de los componentes, ya sea por medio de la deducción (se
inicia con la tesis y posteriormente con la argumentación) o la inducción (la tesis se
expone después de los argumentos). Por otro lado, el argumentador, puede echar mano
de estrategias que le permitirán sostener de manera eficaz su opinión, y concluir de
manera verosímil:
 Argumentos basados en la generalización: abstraen lo común y esencial de las
cosas para formar un concepto general; es decir, generalizar algún dato, información o
idea. Ejemplo: El argumentar mis propias ideas, me ayuda a desarrollarlas. Por esta
razón, la argumentación fomenta el pensamiento crítico. Otras son las generalizaciones
indiscutibles: La generación espontánea no existe.
 Argumentos basados en la analogía: comparar o buscar relación entre dos o más
razones, conceptos, datos; es decir, buscar la similitud entre diferentes situaciones o
eventos.
 Argumentos basados en signos: tomar en cuenta que ciertos tipos de evidencia son
sintomáticos de un principio más amplio.
 Argumentos causales: argumentar que un evento o situación determinada es el
resultado o el efecto de un factor determinado.
 Argumentos de autoridad: utilizar algún recurso de respaldo de nuestra opinión para
fortalecer la argumentación.

33
 Argumentos basados en principios: utilizar principios aceptados por la sociedad y
mostrar cómo éstos se relacionan con lo que se intenta argumentar.
 Contraste de ideas: contraponer o mostrar la diferencia entre dos o más ideas.
Ejemplo: De acuerdo con la teoría de Piaget, el desarrollo cognitivo no es un proceso
cuantitativo de ir añadiendo nuevos elementos a las cadena, sino que existen diferencias
cualitativas entre los niveles de desarrollo.
 Ejemplificación: ilustrar los argumentos por medio de casos particulares. Ejemplo: En
el caso de la violencia escolar, quienes la sufren son los jóvenes en las aulas: en el D.F.
un alumno de bachillerato puso una denuncia por continuas agresiones de sus
compañeros.
Finalmente la argumentación suele combinarse con el resto de las estructuras
retóricas (narración, exposición/explicación y descripción) con diferentes fines. Es muy
común que los textos argumentativos estén combinados con el discurso expositivo
(pretende informar) y con el explicativo (pretende aclarar) porque estos ayudan a la
construcción de argumentos sólidos. La exposición se utiliza para informar, información
que sirve para convencer o persuadir a alguien de la propuesta establecida (Sánchez
Lobato, 381). Por otro lado, aunque la narración y la descripción son menos frecuentes
en los textos argumentativos, también suelen utilizarse normalmente como herramientas
que ayudan a persuadir al lector. Por ejemplo, narrando una historia que ayude a
sostener el argumento presentado. Así que, se puede afirmar que cada una de las
estructuras retóricas complementa y ayuda a la realización de las otras.

34
2.2.1.3 Razonamiento y Argumentación en el Ámbito Escolar.
La enseñanza en educación matemática está marcada por lo tradicional, los
estudiantes realizan los ejercicios mecánicamente y no hay una análisis reflexivo de los
resultados al preguntarle al estudiante como llego a la respuesta comúnmente responde
no sé, solo sé que es la repuesta pero ¿por qué es importe enseñar a pensar? Sin
embargo, la mayoría de nosotros que hablamos acerca de enseñar a pensar,
probablemente coincidiríamos que lo que necesitamos enseñar y aprender, en esa área,
no es como pensar en un sentido absoluto, sino como pensar más efectivamente más
críticamente, más coherentemente, más creativamente, más profundamente de lo que a
menudo hacemos típicamente. Para estar seguros, toda la gente hace cálculos, pero no
igualmente acertados; toda la gente usa analogías, pero no igualmente apropiadas; toda
la gente saca conclusiones, pero no con igual cuidado; toda la gente estructura
argumentos, pero no con la misma fuerza.
La idea es que se puede constatar una reciente preocupación por incluir en los
distintos programas educativos actuales una parte específica relacionada con la
demostración. Por ejemplo, en el borrador de los estándares para el 2000 del NCTM,
uno de estos estándares se llama “Razonamiento y prueba”, en el que explícitamente se
señala: Los programas de instrucción matemática deberían centrarse en el aprendizaje
de razonamientos y la construcción de pruebas como parte de la comprensión
matemática de forma que todos los estudiantes:
• Realicen e investiguen conjeturas matemáticas.
• Desarrollen y evalúen los argumentos y pruebas matemáticas.

35
• Seleccionar y usar los tipos de razonamiento y métodos de demostración
apropiados.
• Reconozcan el razonamiento y la prueba como una poderosa y esencial parte de
las matemáticas.
Basándose en la experiencia, hay una pequeña evidencia de que los estudiantes
adquieren buenas habilidades de pensamiento como simple consecuencia del estudio
convencional de las materias del curso. Aunque el conocimiento del campo específico
es esencial para el pensar bien dentro de un campo, no es suficiente para asegurar que
ocurrirá el pensar bien.
Cabe señalar el planteamiento de:
Glaser (1985) Un estudiante no tiende "naturalmente" a desarrollar una
disposición general a considerar atentamente las materias y problemas que
vienen dentro del rango de su experiencia, ni si él o ella probablemente
adquieran conocimiento de los métodos de preguntas lógicas y razonamiento y
habilidad en la aplicación de estos métodos simplemente como resultado de
haber estudiado esta o aquella materia. Hay una pequeña evidencia de que los
estudiantes adquieren habilidad en pensamiento crítico como una necesidad
derivada del estudio de cualquier materia dada (Pág. 27).

36
A todo esto, la definición va enmarcada a justificar, lo que lleva a una estrecha
relación entre ellas por lo que se hace necesario tomar la concepción de justificación de
Jorba 1998, se entiende que “justificar es producir razones o argumentos, establecer
relaciones entre ellos y examinar su aceptabilidad con la finalidad de modificar el valor
epistémico de una tesis en relación al corpus de conocimientos en que se incluyen los
contenidos objeto de la tesis” (Pág. 81).
Es oportuno ahora destacar que el niño de básica secundaria se familiariza con un
nuevo lenguaje para él, por lo que es de vital importancia potenciar las competencias
matemáticas en especial la de razonamiento y argumentación, a través de tareas fáciles y
un trabajo en conjunto con los padres de familia o cualquier persona que frecuente su
círculo social.
A lo largo de los planteamientos hechos anteriormente, “el estado de desarrollo
cognitivo del estudiante impondrá que la acción didáctica plantee situaciones que,
tomando como base la zona de desarrollo efectivo, se den primordialmente en la zona
de desarrollo potencial” Vygotsky (s.f.). “Esa acción didáctica no será posible si las
situaciones a las que enfrentamos al estudiante no se desarrollan en un espacio que
permita ejercer la devolución” Rousseau (s.f.). El estudiante se debe enfrentar a
situaciones espaciales en las que pueda manejar, pueda confrontar, pueda ejercer una
acción y pueda designar los diversos elementos espaciales a los que se enfrenta. Esto no
es posible si no se tiene en cuenta la talla del espacio sobre el que se plantean las
diversas situaciones de enseñanza- aprendizaje.

37
2.2.2 Competencia Matemática.
2.2.2.1 Acerca del Concepto de Competencia.
Se define competencia como aquella capacidad de responder a las distintas
demandas tanto individuales como colectivas, o también para realizar una función
determinada de una forma adecuada. Así surge de la combinación de habilidades
prácticas, conocimientos, motivación, valores éticos, actitudes, emociones y otros
componentes sociales y de comportamiento que se movilizan para lograr una acción
eficaz.
La idea es que la educación basada en competencias es una nueva orientación que
sobre todo pretende dar respuesta a la sociedad de la información. El concepto de
competencia tal y como lo entienden en educación, es el resultado de las nuevas teorías
de cognición y básicamente significa saberes de ejecución.
Nótese que todas esas ideas van encaminadas hacia el lenguaje, es así como
Chomsky (1985), a partir de las teorías del lenguaje instaura el concepto y define
competencias como la capacidad y disposición para el desempeño y para la
interpretación. La educación basada en competencias se fundamenta en un currículo
apoyado en las competencias de manera integral y en la resolución de problemas. Es
una cuestión fundamental de entender es que la educación basada en competencias,
quien aprende lo hace al identificarse con lo que produce, al reconocer el proceso que
realiza para construir, así como las diferentes metodologías que dirigen el proceso.

38
Para ilustrar mejor este enfoque de la formación con base en competencias pretende
orientar la formación de los estudiantes hacia el desempeño idóneo en los diversos
contextos culturales y sociales, esto requiere hacer de ellos protagonistas de su vida y de
su proceso de aprendizaje a partir del desarrollo y fortalecimiento de sus habilidades
cognoscitivas y meta cognoscitivas, la capacidad de actuación y el conocimiento y
regulación de sus procesos afectivos y motivacionales. Han supuesto un avance, porque
matizan y enriquecen los enfoques basados en capacidades que han sido dominantes en
las políticas curriculares de muchos países durante finales del siglo XX.
En el campo educativo son múltiples las definiciones que puede contactarse sobre
competencias. Levy-Laboyer (2000) definen las competencias como “repertorios de
comportamientos que unas personas dominan mejor que otras, lo que las hace eficaces
en una situación determinada”. Tejada (1999) plantea que las competencias expresan
“un conjunto de conocimientos, procedimientos y actitudes combinados, coordinados e
integrados, en el sentido de que el individuo ha de saber hacer y saber estar para el
ejercicio profesional, como resultante de su formación escolar”. Otra definición dada
por Fernández (2004) quien señala “las competencia aluden al resultado del desempeño
de un sujeto frente a las exigencias de una tarea con un alto nivel de calidad y auto
responsabilidad” (p 156). El Instituto Colombiano para el Fomento de la Educación
Superior –ICFES-, define las competencias como un conjunto de acciones que el sujeto
realiza cuando interactúa significativamente en un contexto determinado, definición que
se resume en: un saber hacer en contexto (ICFES, 1999).

39
Por otra parte, desde el enfoque epistemológico, García Fraile, Tobón y López
(2009), asumen las competencias desde un enfoque socio formativo, esto es asumir las
competencias como “actuaciones integrales ante problemas del contexto con idoneidad
y compromiso ético”. El carácter socio formativo a que han referencia los autores está
en el hecho de concebir las competencias como una actuación o desempeño
contextualizado. Tal concepción supone problemas epistemológicos, filosóficos y
pedagógicos importantes en la reflexión curricular.
Visto así, las competencias expresan una actuación compleja de la persona, en la
que se ponen en juego sus capacidades reales y potenciales en términos de lo que
conoce, de lo que puede hacer, y las formas como puede valorar y disponerse
actitudinalmente en el abordaje de situaciones personales, sociales y profesionales.
En términos pedagógicos, las competencias son la resultante del esfuerzo educativo
por florar o desplegar las facultades mentales, actitudinales y procedimentales –vista en
su complejidad- en el individuo, para que, tal como lo plantea Tobon, la persona pueda
transitar los diversos ámbitos de la vida –social, laboral, profesional- haciendo uso del
repertorio de atributos que posee y que adquirido en su proceso formativo. Esto implica
que para el desarrollo de competencias en el individuo debe proyectarse y promoverse
conocimientos, habilidades y valores en la persona que le habilite a interactuar con su
entorno.

40
Las competencias se constituyen en un referente de organización de la enseñanza,
sustitutivo del modelo educativo basado en objetivos de enseñanza y objetivos de
aprendizaje, ya que se considera que es una forma fragmentaria de promoción de la
enseñanza y del aprendizaje, contrario a un contexto social signado por la idea de “la
imagen total”, la “multicausalidad y referencialidad”, la indeterminación, la
complejidad, etc.
Queda definido entonces que las competencias integran:
(i) saber: asociado al conocimiento que posee una persona y “demuestra el
conjunto de saberes teóricos o prácticos relacionados con una determinada
ocupación” (Delors, 1996).
(ii) saber hacer: relacionado con las habilidades y destrezas del individuo y se
refiere a “aptitudes para realizar con facilidad y precisión las tareas de una ocupación”.
(iii) saber estar y convivir: conjunto de actitudes que asume la persona
internamente y/o con relación al entorno, indicando la “manera de enfocar el desempeño
de las diversas tareas de una ocupación”.
(iv) saber ser: vinculado a los valores de los sujetos, como factores que guían sus
comportamientos y decisiones. En el proceso de operacionalización, las competencias se
descomponen en atributos o tareas e indicadores de desempeño. Los atributos o tareas
son las acciones desarrolladas por el individuo en el marco de su desempeño profesional
y los indicadores de desempeño son unidades de análisis que expresan el nivel de logro
o ejecución de la competencia. Se descompone de esta forma ya que se entiende la
enseñanza como posibilidad de análisis y el aprendizaje como posibilidad de síntesis de
los aspectos señalados anteriormente, pero puestos en contextos -hipotéticos y reales- de
actuación de la persona.

41
2.2.2.2 Ser Competente: Un Reto Escolar.
Actualmente se maneja la posición de que el aprendizaje de los estudiantes debe ser
por competencias, todas las áreas manejan un tipo específico, en el caso del área de
matemáticas es preciso citar la citar la siguiente definición:
La competencia matemática consiste en un saber hacer en la práctica mediante
herramientas matemáticas. Consiste en utilizar la actividad matemática en contextos tan
variados como sea posible. Hace especial énfasis en aspectos sociales como la
comunicación y la argumentación. Muestra cómo los estudiantes pueden utilizar lo que
han aprendido en situaciones usuales de la vida cotidiana. Se alcanzará en la medida en
que los conocimientos matemáticos se apliquen de manera espontánea a una amplia
variedad de situaciones, provenientes de otros campos de conocimiento y de la vida
cotidiana (Rico y Lupiáñez, 2008).
Cabe agregar que la competencia matemática tal cono la considera Niss (1999) va
encaminada a un punto fijo en el horizonte es entonces la habilidad de entender, juzgar,
hacer y usar las matemáticas en una variedad de situaciones y contextos intra y extra
matemáticos, en los que éstas juegan o podrían jugar un papel.

42
A los efectos de este es interesante comprender lo que es competencia matemática,
para que los docentes desempeñen la labor de la mejor forma, hay que salir de los
parámetros tradicionales en la enseñanza de las matemáticas en especial de la geometría
que en ocasiones es olvidada dentro del plan de estudios, considerada como relleno o
comodín cuando los contenidos se acaban, hay que desarrollar todas las áreas de las
matemáticas transversalmente yendo siempre a la aplicabilidad de los conceptos.
Resulta oportuno conocer ¿Qué es lo que hay que saber acerca de las competencias
matemáticas? la competencia matemática se vincula al desarrollo de diferentes aspectos,
presentes en toda la actividad matemática de manera integrada:
 Formulación, comparación y ejercitación de procedimientos: se refiere al
conocimiento de procedimientos matemáticos (como algoritmos, métodos, técnicas,
estrategias y construcciones), cómo y cuándo usarlos apropiadamente y a la flexibilidad
para adaptarlos a diferentes tareas propuestas.
 Modelación: entendida ésta como la forma de describir la interrelación entre el
mundo real y las matemáticas, se constituye en un elemento básico para resolver
problemas de la realidad, construyendo modelos matemáticos que reflejen fielmente las
condiciones propuestas, y para hacer predicciones de una situación original.
 Comunicación: implica reconocer el lenguaje propio de las matemáticas, usar
las nociones y procesos matemáticos en la comunicación, reconocer sus significados,
expresar, interpretar y evaluar ideas matemáticas, construir, interpretar y ligar
representaciones, producir y presentar argumentos.

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 Razonamiento: usualmente se entiende como la acción de ordenar ideas en la
mente para llegar a una conclusión. Para este caso particular, incluye prácticas como
justificar estrategias y procedimientos, formular hipótesis, hacer conjeturas, encontrar
contraejemplos, argumentar y exponer ideas.
 Formulación, tratamiento y resolución de problemas: está relacionado con la
capacidad para identificar aspectos relevantes en una situación para plantear o resolver
problemas no rutinarios; es decir, problemas en los cuales es necesario inventarse una
nueva forma de enfrentarse a ellos.
Se observa claramente que hay que destacar la competencia del sujeto por como
este se relaciona con el contexto en el que se desenvuelve y en un tiempo específico, no
como un ser aislado que se desarrolla en sí mismo, realzando el valor del entorno que lo
rodea y de cómo este afecta su actividad. Es así como se propone que los estudiantes
competentes sean capaces de construir referentes desde los cuales situarse y actuar sobre
la realidad, configuran proyectos deseados y deseables a modo de horizontes que
gatillan el dinamismo de su desarrollo, capaces para la autogestión en escenarios de
desequilibrio e incertidumbre, tomando una postura en sus procesos de construcción de
identidad .
Significa entonces que realidad y entorno se presentan como intrínseco de las
competencias en matemática, dejando en claro que la matemática es una herramienta
para actuar y generar actividad sobre ella, gestionar y tomar decisiones desde la
matemática en el quehacer cotidiano son parte del desarrollo del estudiante competente
en matemática, no ha de ser suficiente desarrollar las competencias matemáticas cuyo
fin sea la matemática misma.

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Como ya se ha aclarado la educación en matemática y en todas las ramas que la
componen debe ser crítica de la actividad y del entorno en que se desarrolla, potenciar
un nivel de competencia que favorece el desarrollo de herramientas intencionadas al
enfrentar en diversos contextos y situaciones la necesidad de utilizar modelos, además
de favorecer que sea el mismo estudiante quien gestione su desempeño; la educación
matemática los contenidos, como la base cognitiva del pensamiento y las competencias,
obligan a la reflexión crítica sobre la calidad y la cantidad de dichos contenidos que
están a la base de las competencias matemáticas, por lo que se propone la elección de
contenidos disciplinarios de las matemáticas que constituyan los núcleos fundacionales
o campos conceptuales, alrededor de los cuales articular otros contenidos al interior de
un tema disciplinario que provenga de un interés didáctico (D` Amore, Godino &
Fandiño, 2008, Pág. 19).
Desde los planteamientos anteriores se deduce que es probable que el enfoque de
competencias pueda mostrar su mayor riqueza si se logra incorporar de manera real en
la tarea docente, en la promoción de ambientes de aprendizaje escolares. En este sentido
se trataría de pasar de los modelos centrados en la información hacia modelos centrados
en desempeños. Los conceptos de movilización de la información, de transferencia de
las habilidades hacia situaciones inéditas adquieren una importancia en esta perspectiva.

45
2.2.2.3 Estrategias para el Desarrollo de la Competencia Matemática.
La formación matemática en Educación Básica históricamente ha presentado
severas debilidades, muchas de las cuales se atribuyen al desempeño del docente en el
área específica de la disciplina., Esto quizá se deba a que la mayoría de los docentes
evaden ocuparse de la matemática porque ellos mismo no la entienden o no la dominan
y se enfocan en lengua y literatura, ciencias sociales entre otras áreas en las que se
sienten más cómodos. Para estos docentes la matemática es solo operacional y numérica
y no han interiorizado, que la matemática escolar constituye una oportunidad para
elevar de manera sistemática la capacidad de razonamiento del aprendiz; ya que
mediante ella se logran potenciar las habilidades de pensamiento.
Actualmente siempre se habla sobre lo que se debe hacer en la educación
matemática y el deber de desarrollar competencias en los estudiantes de matemáticas
pero no como hacerlo por lo que nace la siguiente pregunta ¿Cómo estimular estas
competencias? A esto variados autores e instituciones Quintanilla, Labarrere, Díaz &
Santos (2007), OCDE, (2006), hacen referencia a un aprendizaje basado en la
resolución de problemas como forma de promoción y adquisición de competencias por
parte del estudiante. En relación, Pólya (1990), en Alfaro (2006) expresa que la parte
más importante de la forma de pensar que se desarrolla en matemática es la correcta
actitud de la manera de cometer y tratar los problemas, tenemos problemas en la vida
diaria, en las ciencias, en la política, tenemos problemas por doquier. La actitud correcta
en la forma de pensar puede ser ligeramente diferente de un dominio a otro pero solo
tenemos una cabeza y por lo tanto es natural que en definitiva allá sólo un método de
acometer toda clase de problemas.

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Es así como lo señalado por Pólya, hace énfasis a la enseñanza de la matemática
desarrollando tácticas en la Resolución de Problemas.
En efecto Quintanilla, Labarrere, Díaz & Santos (2007), proponen unas
características de los estudiantes competentes:
1. Desarrolla maneras de pensar y puntos de vista sobre la acción y el actuar
matemático competente.
2. Aborda tareas y problemas, en la actividad matemática escolar, que favorecen la
creación, la comunicación y la gestión.
3. Desarrolla actividad matemática estudiantil con modelos y situaciones
(orientación en contextos).
4. Despliega competencias de autoreferencia y autorregulación de su desempeño en
la actividad matemática.
5. Ostenta actividad matemática escolar en ambientes de desarrollo intencional.
En este propósito se alude a que el estudiante tenga confianza en sí mismo y en su
capacidad matemática, que piense que es capaz de resolver tareas matemáticas y de
aprender matemáticas; en suma, que el estudiante admita y valore diferentes niveles de
sofisticación en las capacidades matemáticas. También tiene que ver con reconocer el
saber matemático como útil y con sentido. Llegar a ser matemáticamente competente es
un proceso largo y continuo que se perfecciona durante toda la vida escolar, en la
medida que los aspectos que integran una actividad matemática se van desarrollando de
manera simultánea, integrados al dinamismo que propone el maestro y las interacciones
que se propician en el aula de clase. El maestro de matemáticas debe ser consciente de
esto al planificar su enseñanza y al interpretar las producciones de sus estudiantes, pues

47
sólo así logrará potenciar progresivamente en ellos las aptitudes y actitudes que los
llevará a tener mejores desempeños en su competencia matemática. Las competencias
matemáticas no son un asunto de todo o nada.
El desarrollo de competencias matemáticas conlleva utilizar espontáneamente -en
los ámbitos personal y social los elementos y razonamientos matemáticos para
interpretar y producir información, para resolver problemas provenientes de situaciones
cotidianas y para tomar decisiones (Castro, 2006). En los procesos formativos se
requiere pensar diferente, los límites ya no son las tecnologías, el límite es nuestra
imaginación, es una expresión que a más de uno pone a pensar con frecuencia los
docentes en matemáticas solo se centran en desarrollar la memoria mecánica del
estudiantes por lo que no único que logran en que los estudiantes aprendan por el
momento dejando a un lado la memoria analítica que permite desarrollar los contenidos
aplicando la lógica y el sentido en cada uno de los ejercicios.
En este orden de ideas se puede citar la importancia tres preguntas que contribuyen
al desarrollo de las competencias matemáticas como ¿qué?, ¿cómo? ¿Por qué?
posibilitan la ruta para conseguir estudiantes competentes además de ser guía para el
docente en el aula.
Es importante que en los proyectos de aprendizajes matemático diseñados para el
estudiante de educación básica, el docente incluya actividades donde estén implícitas las
habilidades básicas del pensamiento matemático, porque el desarrollo de éstas ayudará
al estudiante a tener mejor dominio en la ejecución de tareas y él va aprender a tomar
conciencia de lo que debe hacer y cómo lo debe hacer.

48
El desarrollo de estos procesos básicos en los contenidos de matemática ofrece un
conjunto de referencias pedagógicas que son esenciales para generar estructuras
cognitivas, estimular y desarrollar la capacidad para organizar y relacionar las ideas y
generar capacidades mentales cada vez más complejos, que permitan al estudiante
entender y explicar los eventos de su entorno matemáticamente.
A lo largo de los planteamientos hechos hay que volver a plantear el sentido del
aprendizaje en el contexto escolar. Preguntarse ¿Cuál es la finalidad de lo que se
enseña? llenar la cabeza de información que se retenga y sea reproducida en los
esquemas y textos mostrados en la escuela, o formar un individuo con capacidad propia
de razonamiento y con un conjunto de habilidades que le permitan resolver situaciones
cotidianas. Sin lugar a dudas que éste es el centro del debate de los paradigmas en el
campo de la didáctica en los últimos cien años, un debate que nos permite vislumbrar lo
difícil que es para un sistema educativo y para un sistema de enseñanza docente,
abandonar la mirada enciclopedista de la educación para desarrollar una visión atenta a
la sociedad de la información, acorde con las exigencias de resolver situaciones
problemas.
2.2.3 Triángulos Congruentes.
2.2.3.1 Génesis del Triángulo.
El ser humano necesitó contar, y creó los números; quiso hacer cálculos, y definió
las operaciones; hizo relaciones, y determinó las propiedades numéricas. Por medio de
lo anterior, más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las
situaciones problemáticas surgidas a diario. Además de esos requerimientos prácticos,

49
el hombre precisó admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu. Con ese
fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de
formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática que
designamos con el nombre de geometría.
En geometría, se distinguen componentes tales como el plano, el punto, la línea -
recta, curva, quebrada, la superficie, el segmento y otros de cuya combinación nacen
todas las figuras geométricas. El patio de la escuela, una cancha de fútbol, los muebles
de una casa o una tuerca son algunos de los innumerables ejemplos en donde se pueden
apreciar figuras geométricas. Entonces, una figura geométrica (también se la puede
denominar lugar geométrico) corresponde a un espacio cerrado por líneas o por
superficies.
Desde la antigüedad se utilizaron las figuras geométricas, una de ellas es el
triángulo. Por historia se sabe que el hombre primitivo a las puntas de sus herramientas
de caza les daba forma triangular. Los faraones tuvieron tumbas de forma de pirámide,
cuyas caras tenían las formas de un triángulo. Hoy en día, se aplican en diversos
campos. Por ejemplo: en la arquitectura, ingeniería, topografía, etc. Para un estudiante
el tema triángulos le servirá de base para luego conocer otras figuras de mayor cantidad
y para resolver problemas de su vida diaria.

50
Precisando de una vez un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados
determinado por tres segmentos de tres rectas que se cortan, denominados lados
(Euclides); o tres puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse
un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un
ángulo y dos medianas; un lado, una altura y una mediana.
Ante la situación planteada si está contenido en una superficie plana se denomina
triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está
contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en
cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.
Clasificación de los Triángulos
Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o
por la amplitud de sus ángulos. Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se
clasifica:
• Triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos
internos miden 60 grados o radianes.)
• Triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con dos
piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a
estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un
triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre
longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales).
• Triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes
diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

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Propiedades de los Triángulos
Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180° en geometría euclidiana. La
suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer
lado. El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de
dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo. Para cualquier triángulo se verifica el
Teorema del seno que establece: Los lados de un triángulo son proporcionales a los
senos de los ángulos opuestos; a su vez los triángulos se clasifican de acuerdo al
tamaño de sus lados, en equilátero, isósceles o escaleno; o bien, por el tamaño de sus
ángulos, en acutángulos, rectángulos u obtusángulos.
Tal como se ha visto los triángulos tienen una importancia suprema en la
geometría, pues todo polígono puede ser descompuesto o formado por triángulos. Esta
gran importancia de los triángulos en la geometría, ya la conocían los geómetras desde
los tiempos de las primeras civilizaciones. El estudio tan amplio de los triángulos, que
ha generado en sí misma una rama de la geometría y de las matemáticas, es la
trigonometría.
Así mismo, la importancia del triángulo, la podemos ubicar dentro de la perfección
y es origen de todos lo que existe y todo lo que tenemos en la madre naturaleza, que es
influenciada por energía cósmica. El elemento geométrico triángulo, se le relaciona con
el símbolo de la triada, en la creación principio de la transmutación, manifestación,
renovación. En lo universal se relaciona con Júpiter, el signo zodiacal Géminis, la nota
musical mí, el color púrpura, el metal estaño, la esencia de tuberosa, el mineral
aguamarina, la substancia química potasio clorhídrico y en el hombre está asociado al
Plexo esplénico, hígado y tensión muscular.

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Como ya se ha aclarado hay que tener presente que un ángulo del triángulo este
apuntando hacia arriba, significa que toda duda que exista en la base o abajo, la solución
se encontrara en el vértice o en la parte superior, esta figura bien conocida y respetada
por los egipcios los cuales construyeron tres pirámides perfectas, que semejan la
constelación de Orión, constituida por tres estrellas, en la misma situación que las
pirámides egipcias. El triángulo resulta ser un símbolo muy importante en todos los
sentidos, por lo que debemos tener presente que es la fuente de la existencia, de la
perfección y de la vida.
2.2.3.2 Iguales en Medida, Ángulos y Lados: ¡Son Congruentes los Triángulos!
Congruencia, del latín congruentia, es la coherencia o relación lógica. Se trata de
una característica que se comprende a partir de un vínculo, es la relación de similitud o
equilibrio que puede existir entre dos o más elementos. Desde la antigüedad el hombre
clasifica y ordena. Históricamente Arquímedes hace una de las plantas. En particular la
clasificación se formaliza a través del concepto de relación de equivalencia. De hecho,
la relación de congruencia en la colección de los segmentos (ángulos, triángulos) es una
relación de equivalencia. De otro lado, para introducir el tema de las congruencias y
semejanzas de figuras es necesario, retomar la historia de la aparición de los conceptos
de conmensurabilidad, el problema de la incomensurabilidad; y como un problema de
estos lleva al descubrimiento de la teoría de la proporcionalidad como sustento
matemático de las construcciones de figuras congruentes y semejantes.

53
Es evidente entonces el planteamiento de Tales de Mileto (600 a.d.c), quien explicó
diferentes principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes, fue el primer
filósofo que intentó dar una explicación física del universo, que para él era un espacio
racional pese a su aparente desorden sin embargo, no buscó un creador en dicha
racionalidad, pues para el todo nacía del agua, la cual era el elemento básico delo que
estaban hechas todas las cosas. Suponía que la tierra flotaba en un océano infinito. En
geometría, y con base en los conocimientos adquiridos en Egipto, elaboró un conjunto
de teoremas generales y de razonamientos deductivos que posteriormente fue recopilado
por Euclides en su obra elementos.
Como puede observarse la congruencia de triángulos se basa en el estudio de la
igualdad entre triángulos, es decir, gracias a esto se puede saber si dos triángulos o más
son congruentes (iguales) entre sí. Dicho de modo sencillo, estudia los casos en que dos
o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida. Dos triángulos son
congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo
del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con
los del otro triángulo.
A los efectos de este al observar y comparar figuras geométricas, es común que, en
algunos casos, dos de ellas tienen la misma forma pero no el mismo tamaño y, en otros,
puede ser que sean de igual forma y tamaño. Al compararlas, si observa que tienen la
misma forma y la misma medida, puede hablarse que las figuras son congruentes. El
símbolo que se emplea para denotar la congruencia es (≈). Para comparar dos
triángulos y determinar si existe congruencia entre ellos, existen tres criterios, que se
describen y ejemplifican a continuación:

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 Primer criterio: Lado, Lado, Lado (LLL). Dos triángulos son congruentes si los
tres lados de uno de ellos son congruentes a los lados del otro triángulo.
 Segundo criterio: Lado, Ángulo, Lado (LAL). Dos triángulos son congruentes si,
en el primer triangulo, dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos del segundo
triángulo.
 Tercer criterio: Ángulo, Lado, Ángulo (ALA). Dos triángulos son congruentes si
dos ángulos y el lado comprendido entre ellos, de uno de los triángulos, son congruentes
con dos de los ángulos y el lado comprendido entre ellos del otro triángulo.
 Cuarto criterio: Lado, Lado, Ángulo (LLA). Dos triángulos son congruentes si
tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los
lados también son congruentes.
Hechas las consideraciones anteriores la congruencia de triángulos proporciona en
los estudiantes en la clase de geometría según Villella (2001) sostiene que, en la clase
de geometría, habitualmente, “el uso de la demostración para justificar la validez de
una propiedad, suele ser confundida por los estudiantes y también por algunos docentes,
con la enunciación o la representación gráfica de ejemplos que la verifican” (Pág. 186).
En este sentido, se considera que aprender geometría no consta únicamente de aprender
definiciones, representaciones, clasificaciones de figuras y construcciones, sino también
de la forma de organizar la información para que, por medio de la utilización de la
lógica, pueda arribarse a la determinación de la verdad o falsedad de las proposiciones
analizadas. El autor sostiene también que, aprender geometría en la escuela secundaria
es un proceso que busca caracterizar el espacio, mediante propiedades formalmente
validadas, a partir de la exploración del mismo.

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En este mismo orden y dirección es preciso mencionar que actualmente en los
diseños curriculares y libros de texto de matemática de la mayoría de los niveles
educativos la actividad referente a la demostración es escasa o hasta nula en el peor de
los casos los estudiantes no ven geometría provocando deficiencias en el desarrollo del
pensamiento geométrico además de las competencias propias de este pensamiento,
Camargo, (2005) considera la demostración como medio de descubrimiento,
comunicación, explicación y sistematización de los resultados, sostiene que a ésta le
debería corresponder un papel protagónico en la enseñanza, en diversos cursos de
matemática. Tomando lo planteado por el autor las demostraciones en este caso de
triángulos congruentes desarrollan la exploración y el análisis crítico, además de la
competencia de razonamiento y argumentación.
2.2.3.3 Problemas o Ejercicios de Triángulos Congruentes: Una Situación Difícil
de Resolver.
La solución de problemas matemáticos, en especial los de carácter geométrico como
los ejercicios o problemas de triángulos congruentes, comúnmente representan un
obstáculo en el proceso de enseñanza- aprendizaje, muchas veces los estudiantes se
bloquean al no hallar la solución correcta en el ejercicio es así como diferentes autores
conceptualizan el problema a partir de estrategias en donde el educando tendrá la
capacidad de analizar y a partir de la exploración llegar a una respuesta correcta sin caer
en el fracaso o deserción del problema.
En este propósito George Polya, (1957) manifiesta el proceso del descubrimiento, o
cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Para entender una teoría, se debe
conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza se enfatiza en el proceso de

56
descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Involucrar a
los estudiantes en la solución de problemas, generaliza el método en los siguientes
cuatro pasos:
1. Entender el problema. Hacerse preguntas con respecto a la formulación del problema.
Comparar con situaciones similares.
2. Configurar un plan. Estrategias para llegar a la solución.
3. Ejecutar el plan. Implementar las estrategias propuestas.
4. Mirar hacia atrás. Análisis de lo realizado hasta el momento, seguridad en el
resultado obtenido.
El desarrollo de los pasos permite un acercamiento a la situación lo que promueve
una aproximación al conocimiento y al desarrollo de estrategias en la solución de
problemas. En la misma línea, cabe recalcar la importancia que representa para los
educandos que el medio escolar estimule el desarrollo y habilidad para realizar este tipo
de problemas o ejercicios, ya que es en la etapa escolar cuando el niño desarrolla o
limita su potencial intelectual.
En efecto este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por
ello es importante señalar alguna distinción entre “ejercicio" y "problema". Para
resolver un ejercicio, se aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta.
Para resolver un problema, se hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute
pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de
dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo
que distingue un problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta
distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que

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se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema
encontrar cuánto es 3 + 2. O bien, para niños de los primeros grados de primaria
responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada
uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros
esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ".
Cabe agregar que hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las
matemáticas: ayuda a aprender conceptos, propiedades y procedimientos entre otras
cosas, los cuales podrán aplicarse cuando se enfrenten a la tarea de resolver problemas,
además el estudiante desarrolla la capacidad de resolver problemas a partir del contexto,
en situaciones reales dentro del ámbito escolar o extraescolar interactuando
participativamente a través de estrategias de enseñanza que le faciliten el aprendizaje
por descubrimiento como las preguntas frecuentes a la hora de enfrentarse a un
problema y la asociación entre un aprendizaje u otro, el diseño de métodos, teoremas o
propiedades para llegar a la respuesta.
En el orden de ideas anteriores destacando la importancia del problema matemático,
el modelo de los esposos Van Hiele (s.f.) categorizan unos niveles centrados en la
geometría, los que muestran el avance del joven en el reconocimiento y/o compresión
de los cuerpos geométricos, lo que muestra que el conocimiento puede dar pistas de
cómo partiendo de la realidad se puede ir creando modelos cada vez más abstractos.
El modelo consiste en cinco niveles de comprensión de los cuales son vitales para la
investigación los siguientes:

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Nivel Básico: Visualización
Reconocimiento de las figuras, que son distinguidas por su forma global, por su
aspecto físico y no por un análisis de sus propiedades.
Nivel Análisis: Conocimiento de las componentes de las figuras, de sus
propiedades básicas, en el que se comienzan a establecer relaciones entre figuras, pero
de una forma intuitiva, experimental, no de una forma lógica.
Nivel de deducción informal: Es un nivel de relación lógica, en el que se
relacionan y clasifican las figuras de un modo lógico, mediante razonamientos sencillos,
pero sin la potencia lógica suficiente para hacer aparecer los diferentes conocimientos
geométricos organizados en forma de sistema deductivo.
Nivel de deducción: En él se entiende el sentido de los axiomas, las definiciones,
los teoremas, pero aún no se hacen razonamientos abstractos, ni se entiende
suficientemente el significado de rigor en las demostraciones.
En el mismo sentido es fundamental de la geometría en la educación media, el
desarrollo espacial espontaneo, formas de razonamiento geométrica, ligado al
conocimiento de las propiedades fundamentales de las figuras y las relaciones entre
ellas; es necesario una amplísima base en el conocimiento de las figuras y sus
relaciones, una comprensión de las propiedades del espacio. Los estudiantes poseen
unos conocimientos previos y a partir de estos se realizan actividades entre un vínculo
de interrelación docente – estudiante y su capacidad para desarrollarlas de manera
individual o grupal.

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Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas y el
modelo en que se encuentra el joven, se pueden conocer muchos métodos pero no cuál
aplicar en un caso concreto. Por lo tanto hay que enseñar también a los estudiantes a
utilizar los instrumentos que conoce, con lo que se ubica en un nivel metacognitivo, que
es donde parece que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los
demás.
De Villiers (1999) propone que los profesores planteen a los estudiantes problemas
que les permitan notar las diferentes funciones de las demostraciones como:
explicación, descubrimiento, reto intelectual, sistematización y comunicación; existen
diferentes formas de interpretar la argumentación, vital en el desarrollo de las
demostraciones ya que permiten al estudiante concebir ideas para contextualizar
situaciones problemas desarrollando un aprendizaje significativo además de destreza a
la hora de realizar cualquier problema.
A manera de resumen final es necesario que los problemas geométricos
relacionados con las demostraciones de triángulos congruentes le permitan al estudiante
el desarrollo del razonamiento y argumentación a lo que, Duval 1999 afirma que “todo
lenguaje común incluye términos que permiten indicar una relación lógica entre las
proposiciones: son los conectivos. Así, la elección de los conectivos, cuyo uso sería
inherente a toda técnica de razonamiento, permitiría realizar la distinción”. Aunque en
realidad la situación es más complicada, es importante señalar que se puede distinguir
tres tipos de conectivos; los combinatorios, los argumentativos y los organizativos, y en
base a la existencia de éstos se realizará posteriormente la distinción.

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2.3 REFERENTE CONCEPTUAL
Las consideraciones discutidas en este estudio, se dirigen a una explicación común
con relación a la construcción del conocimiento y con ello la comprensión de la
realidad, especialmente mediante el descubrimiento y la solución de problemas, por esta
razón esta investigación se sustenta desde una perspectiva pedagógica, debido a que esta
se relaciona de una u otra manera con el proceso de enseñanza- aprendizaje.
A continuación se discuten los aportes teóricos que sustentan los conceptos que son
indispensables para la organización de este trabajo.
Actividades Escolares: Ejercitaciones que forman parte de la programación escolar
y que tienen por finalidad proporcionar a los alumnos la oportunidad de vivenciar y
experimentar hechos o comportamientos tales como pensar, adquirir conocimientos,
desarrollar actitudes sociales, integrar un esquema de valores e ideales y conseguir
determinadas destrezas y habilidades específicas.
Argumentación: Es una variedad discursiva con la cual se pretende defender una
opinión y persuadir de ella a un receptor mediante pruebas y razonamientos, que están
en relación con diferentes: la lógica (leyes del razonamiento humano),
la dialéctica (procedimientos que se ponen en juego para probar o refutar algo) y
la retórica (uso de recursos lingüísticos con el fin de persuadir movilizando resortes no
racionales, como son los afectos, las emociones, las sugestiones.

61
Competencia: Incluye distintos niveles como saber (datos, conceptos,
conocimientos), saber hacer (habilidades, destrezas, métodos de actuación), saber ser
(actitudes y valores que guían el comportamiento) y saber estar (capacidades
relacionada con la comunicación interpersonal y el trabajo cooperativo). En otras
palabras, la competencia es la capacidad de un buen desempeño en contextos complejos
y auténticos. Se basa en la integración y activación de conocimientos, habilidades,
destrezas, actitudes y valores.
Competencia Matemática: Consiste en la adquisición de las habilidades para
aplicar con precisión y rigor los conocimientos y el razonamiento matemático en la
descripción de la realidad y en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
Congruencia: Del latín congruentia, es la coherencia o relación lógica. Se trata de
una característica que se comprende a partir de un vínculo entre dos o más cosas. Para
la matemática, la congruencia es la expresión algebraica que expresa la igualdad de los
restos de las divisiones de dos números congruentes por su módulo (un
número natural distinto de 0). Esta expresión se representa con tres rayas horizontales
entre los números y, si les asignamos las variables a y b, se lee de la siguiente
forma: a es congruente con b módulo m. La congruencia matemática, por lo tanto,
refiere a dos números enteros que tienen el mismo resto al dividirlos por un número
natural distinto de cero (el módulo).
Demostración: Es aquello que se prueba o evidencia. A través de demostraciones,
pueden comprobarse teorías o hipótesis. Es habitual que las demostraciones se lleven a

62
cabo mediante experimentos o tareas de laboratorio. Las demostraciones
matemáticas están compuestas por razonamientos lógicos que avanzan desde una
hipótesis hasta llegar a una afirmación. Cada uno de estos pasos debe sostenerse a través
de la deducción o de otro método.
Lúdica: Es el mejor medio de aprendizaje existente en la educación porque facilita
el proceso de transmisión y adquisición de conocimientos en distintas áreas.
Razonamiento: Es la facultad o capacidad para resolver problemas, y que nos
permite extraer conclusiones, aprendiendo de una manera consciente los hechos, es
decir, aprendemos. A partir del razonamiento, facultad característica solo de los seres
humanos, podemos establecer conexiones, causalidades, mediante la lógica. Esta es la
definición general, porque luego podemos encontrar distintos tipos de razonamiento. Es
característico de los seres humanos, que se diferencian de los demás seres que actúan
por instinto. El ser humano es capaz de pensar, de razonar y además de comunicar lo
que piensa o razona.
Triángulo: es un polígono de tres lados está determinado por tres segmentos de
recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices.
Zona de Desarrollo Próximo: fue introducido por Lev S. Vigotsky. Es la distancia
entre el nivel actual de desarrollo de un alumno (nivel de desarrollo real), determinado
por la capacidad del individuo de resolver independientemente un problema, y el nivel
de desarrollo potencial, determinado a través de la resolución de un problema bajo la
supervisión de un adulto.

63
3.0 DISEÑO METODOLÓGICO
3.1 Paradigma de Investigación
Esta perspectiva surge como respuesta a las tradiciones positivistas e interpretativas
y pretenden superar el reduccionismo de la primera y el conservadurismo de la segunda,
admitiendo la posibilidad de una ciencia social que no sea ni puramente empírica ni solo
interpretativa.
La idea es que el paradigma socio-crítico introduce la ideología de forma explícita y
la autorreflexión critica en los procesos del conocimiento. Tiene como finalidad la
transformación de la estructura de las relaciones sociales y dar respuesta a determinados
problemas generados por éstas. Sus principios son:
 Conocer y comprender la realidad como praxis.
 Unir teoría y práctica (conocimiento, acción y valores).
 Orientar el conocimiento a emancipar y liberar al hombre.
 Implicar al docente a partir de la autorreflexión.
Todo esto justifica el uso de las técnicas de observación, desarrollando así cuatro
procesos cognitivos que aparecen inherentes a esta investigación como son:
comprensión, teorización y recontextualización. Pero a su vez se hace necesario una
forma de ver el mundo; desde esta perspectiva se hace presente el paradigma socio
crítico cuando se hace referencia a que la tarea del investigador se traslada desde el
análisis de las transformaciones sociales hasta el ofrecimiento de respuestas a los
problemas derivados de éstos a partir de una orientación dirigida a la aplicación y su
implicación en la solución de problemas a partir de la autorrelación, se trabaja una

64
interacción entre sujeto – objeto de estudio por un carácter auto reflexivo y
transformador para ambos logrando así una constante observación participante propicia
para la solución de problemas transformando la realidad a partir de la praxis sin dejar a
un lado la parte teórica, busca la emancipación del individuo y autoliberarse en su
contexto logrando así una perspectiva mejor en el individuo de acuerdo a lo social,
moral, político y crítico ante situaciones cotidianas.
3.2 Tipo de Investigación
Bajo esta perspectiva desde el enfoque metodológico se hace referencia a la
investigación acción en la medida que es una metodología que apunta a la a una
variedad de usos y sentidos utilizada para describir una familia de actividades que
realiza el profesorado en las aulas con fines tales como: el desarrollo curricular, su
autodesarrollo profesional, la mejora de los programas educativos, los sistemas de
planificación o la política de desarrollo, que son implementadas y más tarde sometidas a
observación, reflexión y cambio. Se considera como un instrumento que genera cambio
social y conocimiento educativo sobre la realidad social y/o educativa, proporciona
autonomía y da poder a quienes la realizan.
El término "investigación acción" proviene del autor Kurt Lewis y fue utilizado por
primera vez en 1944. Describía una forma de investigación que podía ligar el enfoque
experimental de la ciencia social con programas de acción social que respondiera a los
problemas sociales principales de entonces. Mediante la investigación – acción, Lewis
argumentaba que se podía lograr en forma simultáneas avances teóricos y cambios
sociales.

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El termino investigación-acción hace referencia a una amplia gama de estrategias
realizadas para mejorar el sistema educativo y social. Existen diversas definiciones de
investigación-acción; las líneas que siguen recogen algunas de ellas Elliott, el principal
representante de la investigación-acción desde un enfoque interpretativo define la
investigación-acción en 1993 como «un estudio de una situación social con el fin de
mejorar la calidad de la acción dentro de la misma». La entiende como una reflexión
sobre las acciones humanas y las situaciones sociales vividas por el profesorado que
tiene como objetivo ampliar la comprensión (diagnóstico) de los docentes de sus
problemas prácticos. Las acciones van encaminadas a modificar la situación una vez
que se logre una comprensión más profunda de los problemas.
Con Kemmis (1984) la investigación-acción no sólo se constituye como ciencia
práctica y moral, sino también como ciencia crítica. Para este autor la investigación-
acción es:
Una forma de indagación autorreflexiva realizado por quienes participan
(profesorado, alumnado, o dirección por ejemplo) en las situaciones sociales
(incluyendo las educativas) para mejorar la racionalidad y la justicia de: a) sus
propias prácticas sociales o educativas; b) su comprensión sobre las mismos; y
c) las situaciones e instituciones en que estas prácticas se realizan (aulas o
escuelas, por ejemplo).

66
Lomax (1990) define la investigación-acción como «una intervención en la práctica
profesional con la intención de ocasionar una mejora». La intervención se basa en la
investigación debido a que implica una indagación disciplinada. Para Bartolomé (1986)
la investigación-acción «es un proceso reflexivo que vincula dinámicamente la
investigación, la acción y la formación, realizada por profesionales de las ciencias
sociales, acerca de su propia práctica. Se lleva a cabo en equipo, con o sin ayuda de un
facilitador externo al grupo».
Lewin (1946) contempla la necesidad de la investigación, de la acción y de la
formación como tres elementos esenciales para el desarrollo profesional Los tres
vértices del ángulo deben permanecer unidos en beneficio de sus tres componentes.
Esquema nº 1 Elementos esenciales para el desarrollo profesional.
Según este autor la investigación acción tiene un doble propósito, de acción para
cambiar una organización o institución, y de investigación para generar conocimiento y
comprensión. La investigación-acción no es ni investigación ni acción, ni la intersección
de las dos, sino el bucle recursivo y retroactivo de investigación y acción.

67
Kemmis y McTaggart (1988) han descrito con amplitud las características de la
investigación-acción. Las líneas que siguen son una síntesis de su exposición. Como
rasgos más destacados de la investigación-acción se citan las siguientes:
 Es participativa. Las personas trabajan con la intención de mejorar sus propias
prácticas.
 La investigación sigue una espiral introspectiva: una espiral de ciclos de
planificación, acción, observación y reflexión.
 Es colaborativa, se realiza en grupo por las personas implicadas.
 Crea comunidades autocríticas de personas que participan y colaboran en todas
las fases del proceso de investigación.
 Es un proceso sistemático de aprendizaje, orientado a la praxis (acción
críticamente informada y comprometida).
 Induce a teorizar sobre la práctica.
 Somete a prueba las prácticas, las ideas y las suposiciones.
 Implica registrar, recopilar, analizar nuestros propios juicios, reacciones e
impresiones en torno a lo que ocurre; exige llevar un diario personal en el que se
registran nuestras reflexiones.
 Es un proceso político porque implica cambios que afectan a las personas.
 Realiza análisis críticos de las situaciones.
 Procede progresivamente a cambios más amplios.
 Empieza con pequeños ciclos de planificación, acción, observación y reflexión,
avanzando hacia problemas de más envergadura; la inician pequeños grupos de
colaboradores, expandiéndose gradualmente a un número mayor de personas.

68
El propósito fundamental de la investigación-acción no es tanto la generación de
conocimiento como el cuestionar las prácticas sociales y los valores que las integran con
la finalidad de explicitarlos. La investigación-acción es un poderoso instrumento para
reconstruir las prácticas y los discursos sociales. Así pues la investigación-acción se
propone:
 Mejorar y/o transformar la práctica social y/o educativa, a la vez que
procurar una mejor comprensión de dicha práctica.
 Articular de manera permanente la investigación, la acción y la formación.
 Acercarse a la realidad: vinculando el cambio y el conocimiento.
 Convertir a los prácticos en investigadores.
3.2.1 Etapas de la Investigación
 El Proceso de Investigación-Acción.
Los ciclos de la investigación acción son más formas de disciplinar los procesos de
investigación que formas de representar la investigación. Ayudan a organizar el
proceso. Por lo general se trasforman en nuevos ciclos, de modo que la investigación
puede verse como una “espiral de espirales”. También puede verse como una “espiral
autoreflexiva”, que se inicia con una situación o problema práctico, se analiza y revisa
el problema con la finalidad de mejorar dicha situación, se implemente el plan o
intervención a la vez que se observa, reflexiona, analiza y evalúa, para volver a
replantear un nuevo ciclo.

69
El modelo de Hemmis, cuyas fases de la espiral son planificación acción,
observación y reflexión, tiene la finalidad de proporcionar los elementos y directrices
para poder realizar un proyecto de investigación. El proceso es flexible y recursivo, que
va emergiendo en la medida que se va realizando. Tienen el propósito de ayudar y
orientar, un proyecto siempre debe desarrollarse y ajustarse a la situación personal de
cada uno.
 Planificación.
Se inicia con una “idea general” con el propósito de mejorar o cambiar algún
aspecto problemático de la práctica profesional. Identificado el problema se diagnostica
y a continuación se plantea la hipótesis acción o acción estratégica. Kemmis plantea tres
preguntas: ¿Qué está sucediendo ahora? ¿En qué sentido es problemático? ¿Qué puedo
hacer al respecto? Dentro del plan de acción podemos considerar al menos tres aspectos.
 El problema de Investigación.
 El Diagnóstico del Problema o Estado de la Situación.
Identificado el problema es preciso hacer un reconocimiento o diagnóstico del
mismo. La finalidad es hacer una descripción y explicación comprensiva de la situación
actual.
 La Hipótesis Acción o Acción Estratégica.
Un momento importante es la formulación de la propuesta de cambio o mejora: la
hipótesis acción o acción estratégica. Es un momento decisivo en el proceso; de su
planteamiento dependerá el éxito del proyecto de investigación. En la investigación, la
acción es el centro del proceso y la investigación se pone a su servicio.

70
 Acción.
En la investigación acción la reflexión recae principalmente sobre la acción; esto es
porque el énfasis se pone en la acción más que en la investigación; la investigación
es así mismo revisada, pero su función principal es servir a la acción.
 Observación.
La observación recae sobre la acción, ésta se controla y registra a través de la
observación. La investigación acción prevé una mejora de la práctica profesional, la
información obtenida nos permite identifica evidencias o pruebas para comprender
si la mejora ha tenido lugar o no.
 Como Supervisa la Acción.
Observar y supervisar la acción es algo más que la simple recogida de datos, es la
generación de datos para reflexionar, evaluar y explicar lo ocurrido. La observación
recae en la propia acción y en la acción de otras personas. Es importante recordar
que:
 Se necesita utilizar técnicas de recogida de datos que aporten evidencias de
la calidad del curso de acción emprendido.
 Se deben utilizar técnicas que pongan de manifiesto los efectos derivados de
la acción, tanto los buscados como los imprevistos.
 Acciones que Pueden Supervisarse para Generar Información.
 Autoobservar la propia acción: identificar intenciones y motivaciones antes de la acción
y las subsiguientes reflexiones durante la acción.
 Supervisar la acción de otras personas: Como investigador en la acción intentará
persuadir a otras personas a que se involucren en el proyecto de investigación.

71
 Supervisar conversaciones críticas sobre la investigación: Conversaciones críticas tienen
lugar durante todo el proceso de la investigación. Éstas generan información que puede
ser útil para recoger datos sobre el proceso.
 Cómo Recoger la Información.
Disponer de tres vías o maneras de averiguar lo que pasó. Observar lo que las personas
dicen o hacen y tratar de descubrir lo que ocurrió, o preguntarles sobre lo que ocurrió, o
también podemos analizar los materiales o huellas que dejaron. Como investigador en la
acción puede observar los efectos de su acción en otros y puede solicitar a otros que
observen su acción, preguntar a otras personas implicadas en la investigación por sus
puntos de vista, o analizar todo tipo de material de referencia.
 Reflexión.
Constituye la fase que cierra el ciclo y da paso a la elaboración del informe y
posiblemente el replanteamiento del problema para iniciar un nuevo ciclo de la espiral
autoreflexiva. Constituye uno de los momentos más importantes del proceso de
investigación acción es una tarea que se realiza mientras persiste el estudio.
 Tareas Básicas del Proceso de Análisis de Datos.
a) Recopilación de la información. d) Reducción de la información.
b) Disposición, representación de la información. e) Validación de la información.
c) Interpretación de la información.

72
3.3 Población y Muestra
La Institución Educativa Distrital Esther de Peláez es de carácter oficial ubicada en
el barrio abajo con dirección correspondiente a la Carrera 54 # 49 -09, ofrece todos los
niveles de escolaridad como: preescolar, básica primaria, básica secundaria y media
vocacional, con una modalidad mixta para dos jornadas mañana. Para el desarrollo de la
investigación se tomaron Jóvenes de 13 y 14 años que se encuentran cursando el grado
octavo de la jornada de la mañana, estos niños presentan algunas características propias
acordes con su edad, pero en ocasiones no muestran interés hacia la geometría debido a
la forma en como se le ha enseñado. La muestra tomada para trabajar es de tipo no
probabilística intencionada, de 24 estudiantes.
3.4 Técnicas para la Recolección de la Información
La recolección de datos son todos esos instrumentos que se aplican en un momento
en particular, con la finalidad de buscar información que será útil a una investigación en
común. La presente investigación trata con detalle los pasos que se debe seguir en el
proceso de recolección de datos, con las siguientes técnicas: encuestas a estudiantes, la
entrevista semi estructurada a profesores y estudiantes, el diagnóstico, grupo de
discusión con los estudiantes y una evaluación final.
Encuestas: Las encuestas hacen preguntas específicas y tienden a incluir respuestas
cortas, respuestas múltiples y preguntas-respuestas de escala. Las encuestas se pueden
hacer en la red de Internet, a través del correo y pueden ser llevadas a cabo en persona.
La forma más efectiva de llevar a cabo encuestas es frente a frente con otra persona

73
como en forma de entrevista para que el encuestador pueda entablar una relación
personal con el encuestado. Las encuestas ayudan más a recolectar información de un
número grande de personas y para recolectar información cuantitativa como números
que para recolectar data cualitativa, como historias personales. Las encuestas te pueden
ayudar a la hora de exigir cambios a la política y los medios tienden a responder mejor
con números y data cuantificable.
Se asignarán entrevistas no estructuradas al docente y a un grupo de 10 estudiantes,
quienes deben manifestar su consentimiento en la participación de la misma. De
acuerdo a Goetz y Lecompte (1988) y Parra (1995), son formas de intercambio cara a
cara entre el investigador y el entrevistado haciendo la tarea mucho más espontánea.
Para ello es necesario hacer un bosquejo con una serie de preguntas de manera escrita
y sin un orden establecido de manera rigurosa.
Estas entrevistas se realizaran después de aplicado el diagnostico con la finalidad de
que los estudiantes formen un criterio de todos los aspectos del proceso de la enseñanza
– aprendizaje, así como las perspectivas que tienen para mejorar. Como técnica
cualitativa, la entrevista es una de las vías más comunes para investigar la realidad
social. Permite recoger información sobre acontecimientos y aspectos subjetivos de las
personas: creencias y actitudes, opiniones, valores o conocimiento, que de otra manera
no estaría al alcance del investigador (Rodríguez y otros, 1999; Acevedo, 1988; Arnal y
otros 1995).

74
Para elegir el tema de la entrevista, en principio se tiene que tener algún
conocimiento sobre la temática a estudiar, esto se puede conseguir a través de la
consulta de fuentes, que pueden ser documentales archivos de diarios, de instituciones
públicas, internet y testimonios directos protagonista, testigos, allegados, adversarios de
los protagonista, y especialistas en el tema. En esta investigación se optó por la
aplicación de un diagnóstico y un sondeo a través de preguntas hacia los estudiantes y
no una observación del evento pedagógico, ya que la geometría no se desarrolla dentro
del horario de clases solo nociones muy básicas de años anteriores, de todo esto
surgieron los interrogantes que hicieron parte de la entrevista, de esta forma es como el
autor indica que de esas charlas seguramente surgirán ideas, o hipótesis de investigación
(Acevedo, 1988).
Este tipo de entrevista que se utilizó no necesariamente requiere una secuencia,
porque las preguntas que se elaboraron fueron de carácter abierto y el entrevistado en
este caso los docentes y estudiantes construyen su propia respuesta.
Según Krueger (1988): "Un grupo de discusión puede ser definido como una
conversación cuidadosamente planeada. Diseñada para obtener información de un área
definida de interés" (Pág.24). En efecto, un grupo de discusión permite a través de un
procedimiento adecuado, con un moderador experto, recabar información relevante para
el objetivo central de la investigación. Por otro lado, es de vital importancia tener en
cuenta a la hora de la convocatoria de un grupo de discusión el número de integrantes,
sus características y muy especialmente su formación profesional.

75
La idea es que el grupo de discusión es una técnica de investigación que se inscribe
en un campo de producción de discursos, en el análisis de procesos reflexivos
individuales y colectivos, el objetivo general de esta técnica en el marco de la presente
investigación es detectar opiniones y argumentos que justifiquen una actuación
determinada, en nuestro caso ajustada a los resultados de las observaciones de clases a
los profesores, para valorar en colectivo los factores que están afectando el desarrollo de
los estudiantes en geometría.
La evaluación final es el proceso por el cual se valoran los aprendizajes y las
competencias que han desarrollado las personas al terminar el estudio de un módulo,
con el fin de acreditarlo.
Los propósitos de la evaluación final son:
 Reconocer y acreditar las competencias desarrolladas por las personas al estudiar
los módulos.
 Realimentar el proceso educativo.
 Certificar la primaria y la secundaria.

76
3.5 Análisis e Interpretación de la Información
3.5.1 Análisis de la Prueba Diagnóstica
Categorías Aspectos Dato estadístico
SI NO %
Concepto de Triángulo
El conocimiento hacia la
figura geométrica es
básico.
14 10 100%
58% 42%
Elementos del Triángulo
(gráfica)
Manejan los elementos
básicos del triángulo y los
identifican con dificultad.
14 10 100%
58% 42%
Congruencia de
Triángulo
No conocen la
congruencia y criterios en
los triángulos.
0 24 100%
Congruencia (Gráfica)
Saben ubicar cuales son
iguales o congruentes pero
no justifican las razones de
congruencia,
0 24 100%
Construcción de Figuras
(Triángulo)
Todos coinciden en el
desconocimiento de la
simbología y las
definiciones para la
construcción de triángulos,
0 24 100%
Tabla nº1 Prueba Diagnóstica.

77
14
0 0 0
14
10
24 24 24
10
0
5
10
15
20
25
30
Concepto de
triángulo
Congruencia
(gráfica)
Congruencia de
triángulo
Construcción
de figuras
(triángulo)
Elementos del
triángulo
(gráfica)
Prueba Diagnóstica
Suma de SI
Suma de NO
Ilustración nº 1 Gráfico de la Prueba Diagnóstica.
Análisis: Después de la aplicación de la prueba diagnóstica en octavo grado, los
resultados arrojados muestran las dificultades presentadas por los estudiantes en lo
relacionado a los conceptos básicos de triángulos, los elementos que lo conforman, la
congruencia, así como la forma de representarla gráficamente y la construcción de
figuras (triángulos); a pesar del nivel educativo en el que se encuentran ubicados, el
conocimiento hacia esta asignatura es deficiente reflejado en los resultados de la prueba
diagnóstica.

78
3.5.2 Entrevista a Docentes
Docentes entrevistados: 4
Categorías Análisis / reflexión
Aprendizaje de la Geometría
Tres de los docentes encajan en que el aprendizaje de la
geometría se caracteriza por ser concreto, visual, creativo,
generador de ideas a partir de actividades lúdicas para captar
la atención de los estudiantes, mientras que el otro docente
afirma que el aprendizaje en los estudiantes se caracteriza
porque no tienen la actitud adecuada, no cuentan con los
materiales básicos; además la institución no posee el espacio
adecuado, la intensidad horaria es débil haciendo difícil el
proceso de enseñanza- aprendizaje en los educandos.
Competencias Matemáticas
Dos de los docentes coinciden, que las competencias que
desarrolla el estudiante al aprender geometría son:
argumentación, comunicación, razonamiento e
interpretación, mientras que los otros docentes afirmaban
como competencias la visualización del conocimiento,
habilidades específicas, de dibujo, lógicas y de aplicación.
etc. Ante esto es preciso señalar que dos docentes describían
características pertenecientes a las competencias pero en si
no mencionaban el nombre como tal de las competencias de
geometría en octavo grado, dando a conocer el
desconocimiento hacia este aspecto tan vital en el desarrollo
del conocimiento de los estudiantes.
Metodología
La postura de tres docentes corresponde a que una forma
adecuada de trabajar es partiendo de lo básico a lo abstracto,
siendo prácticos a través de la realización de talleres y
actividades basadas en la realidad y el entorno que los rodea,
en el mismo sentido el otro docente utiliza la tecnología
apoyada en el uso de las TICS para lograr un buen
aprendizaje en los estudiantes en la asignatura de geometría.

79
Estrategias de Aula
Los argumentos de los docentes se inclinan hacia realizar
estrategias lúdicas, solución de situaciones problemas que
posibiliten el razonamiento y la argumentación o en su
defecto sean formuladas por los estudiantes; además, la
aplicación de software interactivos, pero a su vez los
docentes afirman que es demasiado difícil aplicar estas
estrategias en colegios públicos en donde muchas veces no
hay los recursos necesarios, ni tampoco estudiantes idóneos,
debido a la falta de organización en el sistema educativo
nacional.
Desempeño de los
Estudiantes
Los docentes concuerdan que el nivel de los estudiantes es
bajo, ya que no hay el espacio, solo se ve como una unidad
para finalizar el programa y no como una asignatura, por lo
que no se avanza dando siempre lo mismo, es decir,
desarrollando los mismos contenidos básicos, todo ello
debido al tiempo y otros aspectos que no permiten la
asimilación del aprendizaje en los estudiantes.
Tabla nº 2 Entrevista a Docentes.
Análisis: Las apreciaciones dadas por los docentes permiten reconocer la posición
que tienen respecto a la problemática vivida por los estudiantes de octavo grado; en lo
relacionado al aprendizaje de la geometría para desarrollar competencias en los
estudiantes, los docentes confunden cuales son las competencias matemáticas por lo
que, Pólya (1990), en Alfaro (2006) expresa que la parte más importante de la forma de
pensar que se desarrolla en matemática es la correcta actitud de la manera de cometer y
tratar los problemas, tenemos problemas en la vida diaria, en las ciencias, en la política,
tenemos problemas por doquier. La actitud correcta en la forma de pensar puede ser
ligeramente diferente de un dominio a otro pero solo tenemos una cabeza y por lo tanto
es natural que en definitiva allá sólo un método de acometer toda clase de problemas. Es
así como lo señalado por Pólya, hace énfasis a la enseñanza de la matemática
desarrollando tácticas en la Resolución de Problemas.

80
En efecto Quintanilla, Labarrere, Díaz & Santos (2007), proponen unas
características de los estudiantes competentes:
1. Desarrolla maneras de pensar y puntos de vista sobre la acción y el actuar
matemático competente.
2. Aborda tareas y problemas, en la actividad matemática escolar, que favorecen la
creación, la comunicación y la gestión.
3. Desarrolla actividad matemática estudiantil con modelos y situaciones
(orientación en contextos).
4. Despliega competencias de autoreferencia y autorregulación de su desempeño en
la actividad matemática.
En este orden de ideas los lineamientos en matemáticas afirman que el pensamiento
espacial debe privilegiarse mediante el estudio de la geometría plana para los grados
séptimo, octavo modelada por situaciones problémicas donde el estudiante se motive al
estudio a partir de las reflexiones que le motive el problema, que piense, dialogue y
ejecute posibles soluciones geométricas, basándose en sus conceptos previos donde el
papel del docente será modelar este proceso para posibilitar el desarrollo del
pensamiento espacial (MEN 1998). Es decir desarrollar estudiantes competentes en las
aulas de clases; pero es a partir de la problemática que se evidencia en esta
investigación que los docentes no van por el camino adecuado debido a limitantes en los
recursos didácticos, la actitud presente en estudiantes y docentes; además de la
exclusión de la asignatura en el horario de clases, llevando consigo el bajo nivel
académico de los estudiantes de octavo grado en geometría.

81
3.5.3 Entrevista a Estudiantes.
Categoría Análisis / reflexión
Concepto de Triángulo
Los estudiantes de octavo grado
coinciden que el conocimiento que
poseen sobre el triángulo es básico
porque en la institución no se da la
asignatura, además manifiestan querer
aprender más.
Desempeño en la Prueba Diagnóstica
Afirman que lo poco que saben lo dieron
de manera superficial y siempre lo mismo
no permitiendo el avance en el desarrollo
de los contenidos en geometría
.
Mejorar el Desempeño en Geometría
Manifiestan que leyendo más,
participando en clase, que se encuentre la
asignatura dentro del horario de clases no
solo en este grado sin en toda la
institución.
Enseñanza y Aprendizaje de Triángulos
Congruentes
Contando con una buena disposición para
aprender por parte de los estudiantes,
encaminada al respeto, que las clases
sean siempre diferentes con actividades
lúdicas y no monótonas permitiendo el
razonamiento y argumentación en cada
temática.
Tabla nº 3 Entrevista a Estudiantes.
Análisis: Partiendo de los resultados de los estudiantes en la prueba ellos
argumentan que sus dificultades se deben a los limitantes en los recursos didácticos a la
ausencia de la geometría en la intensidad horaria dentro del horario de clases, además de
la actitud negativa que con frecuencia manejan los estudiantes hacia la asignatura,
quizás por las actividades desarrolladas por el docente que en su mayoría son
monótonas y repetitivas.

82
3.5.4 Encuesta a Estudiantes
Categorías Aspectos Dato estadístico
SI NO
Atracción por la
Geometría
Reflejan positivamente una
compatibilidad hacia la
geometría.
10 2
83% 17%
Horario de Geometría
Aseguran que la asignatura no
se encuentra en el horario de
clases.
0 12
100%
Desarrollo de la Clase Afirman que no dan esta
asignatura por lo que no
contestan la pregunta.
0 0
100%
Conocimiento de
Congruencia
Coinciden que no han visto
este tema en la asignatura de
geometría.
0 12
100%
Situaciones Matemáticas
La repuesta está dividida más
de la mitad confirma que no
hay espacios en la clase que
propicie el razonamiento y
argumentación en situaciones
problemas el resto opina lo
contrario.
3 9
25% 75%
Desempeño Describen que su desempeño
tiende a ser regular y
deficiente.
Bueno Regular Deficiente
1 6 5
8% 50% 42%
Tabla nº 4 Encuesta a Estudiantes.

83
10
0 0 0
3
2
12
0
12
9
0
2
4
6
8
10
12
14
Atracción por
la Geometría
Conocimiento
de
Congruencia
Desarrollo de
la Clase
Horario de
Geometría
Situaciones
Matemáticas
Encuesta a Estudiantes
Suma de SI
Suma de NO
8%
50%
42%
Encuesta a Estudiantes
Desempeño en Geometría
Bueno
Regular
Deficiente
Ilustración nº 2 Gráfico de la Encuesta a Estudiantes.
Ilustración nº 3 Gráfico de la Encuesta a Estudiantes (Desempeño en Geometría).

84
Análisis: Las respuestas de los estudiantes reflejan y argumentan con claridad la
problemática vivida, dando a conocer las causas probables en la asignatura de
geometría, dando como resultado el bajo desempeño de los educandos. Coinciden en
que aunque no conocen la geometría porque no la ven en la institución les gustaría
aprenderla. En la misma línea es importante resaltar que la asignatura no se encuentra
dentro de la intensidad horaria por lo que el desempeño de esta no es el más favorable
como se ha mencionado anteriormente, por tal motivo los estudiantes no podían
calificar la clase de geometría si no la dan, del mismo modo argumentan el gusto por lo
desconocido, pero es claramente reflejado el desconocimiento hacia la congruencia de
triángulos como los espacios de racionamiento y argumentación matemática que
desarrollan en el estudiante la destreza y la auto reflexión crítica en situaciones
problemas.
3.5.5 Síntesis de la Triangulación
La triangulación de los datos cualitativos de la enseñanza de los triángulos
congruentes y la adquisición de la competencia de razonamiento y argumentación
matemática, ha mostrado que los datos, y aportaciones por las distintas fuentes fueron
mayormente concordantes. Esta concordancia ha permitido confirmar que las
tendencias observadas fueron similares a las provistas por las entrevistas. Esta
triangulación ha dejado ver que la mayoría de las actitudes de los docentes se
encuentran fundamentadas en ideas tradicionales no ajustadas a las necesidades o
exigencias de los estudiantes de octavo grado, ya sea porque ese sea su método de
enseñanza o por que las circunstancias así lo ameritan y se ve reflejado durante su
práctica docente.

85
Al mismo tiempo, los datos de las estrategias de aula y la metodología de enseñanza
que implementan en sus clases reflejaron la misma tendencia, han confirmado que los
docentes tienen un conocimiento amplio pero se ve restringido debido a la situación de
la institución educativa y a la desorganización en el plan de estudios.
La evidencia aportada por la triangulación indica que la enseñanza de los triángulos
congruentes no se ha desarrollado debido a los espacios y la poca importancia hacia la
asignatura de geometría. Esta afirmación se sostiene en los resultados de las actitudes de
los docentes y estudiantes ante la enseñanza - aprendizaje de la geometría y de los
triángulos congruentes. Después del análisis de las distintas fuente de información,
donde la triangulación es importante para ofrecer alguna aproximaciones de alcance
pedagógico y de investigación, como conclusiones del problema investigado, se
determinó la presencia de una serie de dificultades en cuanto a la enseñanza y
aprendizaje de los triángulos congruentes en la asignatura de geometría en la institución
educativa, como son la poca utilización de estrategias pedagógicas por parte de los
docente al momento de impartir sus conocimientos, el poco espacio, la mala
organización en la intensidad horaria además de la poca importancia de la asignatura de
geometría en las instituciones educativas. Las cuales han provocado en los estudiantes
un desempeño bajo no permitiendo el desarrollo del pensamiento geométrico y las
debidas competencias matemáticas que el estudiante debe dominar en este nivel de
básica secundaria.

86
Con la implementación de estrategias y actividades concretas de fenómenos y
cuerpos geométricos se mantendrá activa el desarrollo de la competencia de
razonamiento y argumentación matemática, además de potenciar el pensamiento
geométrico, solo faltaría motivación y desempeño por parte del docente y estudiantes
para la realización de actividades prácticas en el aula, ajustándolas al contexto, con el
fin de no limitarse a los pocos recursos que ofrece la institución educativa, ya que en
muchas ocasiones no se cuenta con lo más básico o necesario para su realización y que
esto no sea obstáculo sino que se presenten alternativas como actividades concretas con
materiales sencillos cotidianos; permitiéndole al estudiante lograr un aprendizaje
significativo, de igual forma sentirse competentes desarrollando su propio conocimiento
facilitándole el desarrollo de situaciones problemas.

88
4.2 Presentación
La siguiente propuesta nace de la inquietud de este grupo investigador quienes con
muchos interrogantes y reflexiones, pretenden que la enseñanza de las demostraciones
de triángulos congruentes en la Institución Educativa Esther de Peláez, contribuya al
desarrollo de la competencia de razonamiento y argumentación, para así a las
necesidades y/o problemas observados en los eventos pedagógicos de la enseñanza-
aprendizaje de la geometría en octavo grado.
Los estudiantes de octavo grado emplean estrategias en el aprendizaje de la
geometría. Entre estas estrategias están la imitación, la incorporación de figuras o
modelos representativos del entorno, herramientas de trabajo como: la regla, compás y
transportador. Son entusiastas, curiosos, interesados en el aprendizaje de la geometría.
Cada palabra nueva, cada tema diferente es una curiosidad nueva para ellos y la
repetirán mil veces hasta aprenderla.
A la hora en la que el docente se da a la tarea de enseñar geometría, debe emplear
técnicas y metodologías de enseñanza que estén a la vanguardia. Además debe apoyarse
en material didáctico como: afiches, murales que tengan que ver con el tema, juegos, y
utilizar elementos del entorno como medio para lograr que los estudiantes comprendan
las diversas características e importancia de la geometría. Por ejemplo: si se va a
enseñar el concepto de triángulo y los elementos es conveniente partir de actividades
concretas del entorno o construidas por los estudiantes de forma que se evidencie la
competencia de razonamiento y argumentación.

89
4.3 Justificación
“Si un estudiante sabe repetir una demostración, pero no sabe repetirla si se
cambian las letras o la posición del polígono, significa que ha aprendido la
demostración de memoria y esto sí no tiene ningún valor. Mejor dicho: tiene un valor
altamente negativo, pues significa que el alumno, no solamente ignora tal demostración,
sino que desconoce totalmente lo que es la Matemática y que ha desperdiciado el uso de
la memoria con un objetivo inútil y nada educativo”(Santaló, 1962).
Muchas veces, en la tarea docente, hemos enfrentado la situación en la cual los
estudiantes de octavo grado no comprenden la necesidad de la demostración de
propiedades en matemática. En ciertas oportunidades se contentan con una simple
verificación, en otras “creen” la propiedad, pues les resulta evidente. Aun cuando
puedan llegar a comprender que en ciertos momentos es necesario demostrar una
propiedad, la dificultad de asumir la exigencia de las demostraciones en las ciencias
formales se complica más aún cuando ellos son quienes realizan estas demostraciones.
Las distintas formas del pensamiento lógico no siempre son logradas satisfactoriamente
por los estudiantes en la escuela.
El diseño e implementación del recurso didáctico ayudan a ejercitar las habilidades
de los estudiantes y también a desarrollarlas, Facilitan la comprensión de lo que se
estudia al presentar el contenido de manera tangible, observable y manejable,
desarrollando la competencia razonamiento y argumentación en los estudiantes de grado
octavo por medio de las demostraciones de triángulos congruentes, utilizando
herramientas didácticas encaminadas a facilitar su aprendizaje.

90
El presente proyecto busca implementar una propuesta pedagógica como
mecanismo para desarrollar en los estudiantes de grado octavo la competencia de
razonamiento y argumentación en la Institución Educativa Esther de Peláez de una
forma práctica, en la que se trabajaran diferentes tipos de aprendizaje como base para
dicho proceso de mediación, pues es claro que no son suficientes los elementos
utilizados por los maestros, de tal manera se hace necesario diseñar una propuesta
pedagógica.
Es conveniente comprender como parte fundamental que el razonamiento permite al
estudiante aprender, conocer y en general dar uso a su actividad cognitiva, con el
propósito de responder al mundo que lo rodea en lo personal, lo social y en general en
todos los escenarios que le permitan interactuar con los demás.
En definitiva, supone aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar,
comprender una argumentación matemática, expresarse y comunicarse en el lenguaje
matemático, utilizando las herramientas de apoyo adecuadas. El proyecto contribuye al
desarrollo de esta competencia ya que planea la resolución de un problema de la
realidad (deben construir las figuras congruentes, deben hacer algo con lo que van
aprendiendo). Además se trabaja el manejo de elementos matemáticos básicos: medidas,
ángulos, figuras geométricas…Por otra parte, se fomenta la comprensión, la expresión y
el razonamiento, ya que en primer lugar deben interpretar la información con la que
cuentan, aplicarla en contextos reales (construcción de figuras y demostraciones) y
ponerla en común con los compañeros.

91
4.4 Objetivos:
4.4.1 Objetivo General:
Brindar orientaciones para desarrollar la competencia de razonamiento y
argumentación matemática en los estudiantes de octavo grado, a través de estrategias
lúdicas, actividades concretas que el estudiante pueda construir poniendo en juego el
contexto y el grado de formalización requerido.
4.4.2 Objetivos Específicos:
 Identificar el triángulo y los elementos que lo componen por medio de dibujos.
 Categorizar los triángulos según sus lados y ángulos.
 Conceptualizar la clasificación de los ángulos según la posición.
 Aplicar los criterios de congruencia en los triángulos.
 Registrar los conceptos de teoremas, postulados y propiedades para la
construcción de demostraciones de triángulos congruentes.
 Favorecer el primer contacto de los estudiantes con las demostraciones de
triángulos congruentes.

92
4.5 Metodología
Se trata de una metodología particular, fruto de la reflexión, del trabajo y la
experiencia, permite desarrollar un análisis participativo, donde los actores implicados
se convierten en los protagonistas del proceso de construcción del conocimiento de la
realidad sobre el objeto de estudio, en la detección de problemas y necesidades y en la
elaboración de soluciones planteando el para qué y el para quién de la investigación
como primer problema a resolver.
Con el fin de detectar esas demandas reales relacionadas con el objeto de estudio y
concretarlas en propuestas de acción ajustadas a necesidades sentidas, se desarrolla un
proceso de investigación que apunta a la transformación mediante el trabajo individual y
colectivo, con sensibilidades o intereses comunes, lo cual facilita una movilización
hacia la implicación ciudadana que favorece la creatividad social en beneficio de toda la
comunidad local. El conocimiento de la realidad se construye progresivamente en un
proceso participativo en el cual los actores implicados "tienen la palabra", y de este
modo se crean las condiciones que facilitan espacios de reflexión, programación y
acción social relacionados con los problemas que plantea el objeto de estudio.
Para crear esas condiciones necesarias se aplica un procedimiento de investigación
riguroso bajo el enfoque de la denominada Investigación-Acción, que apunta a una
variedad de usos y sentidos utilizada para describir una familia de actividades que son
implementadas y más tarde sometidas a observación, reflexión y cambio. Se considera
como un instrumento que genera cambio social y conocimiento educativo sobre la
realidad social y/o educativa, proporciona autonomía y da poder a quienes la realizan.

93
Por eso se trabaja con grupos humanos, con el fin de transformar su entorno, a partir
del conocimiento crítico de la realidad que les rodea y de la puesta en marcha de un
conjunto de estrategias y propuestas vertebradoras, propicia la conversación y el diálogo
como mecanismos con los que crear procesos donde los sujetos afectados aporten, tras
la reflexión, soluciones a sus problemas. Construyendo las respuestas con los distintos
agentes sociales (estudiantes) se abre un gran abanico de posibilidades, pero las
respuestas, soluciones y propuestas de acción se ajustarán más a la realidad concreta, en
la medida en que han sido participadas y compartidas.
El proceso de investigación ha permitido avances sustantivos, con resultados que
varían en concreción y alcance. Esta metodología combina dos procesos, el de conocer
y el de actuar, implicando en ambos a la población cuya realidad se aborda. Es un
proceso que combina la teoría y la praxis, y que posibilita el aprendizaje, la toma de
conciencia crítica de la población sobre su realidad, su dedicación el refuerzo y
ampliación de su movilización colectiva y su acción transformadora.

94
4.6 Plan de Acción
Objetivo Actividad Acciones Recursos Evaluación
Identificar el triángulo y
los elementos que lo
componen por medio de
dibujos.
El pictionary geométrico Trabajo en equipo Imágenes, papel,
marcador y cronometro
Durante el desarrollo de la
actividad de manera
individual, grupal.
Categorizar los triángulos
según sus lados y ángulos.
Reinado de triángulos Socialización y trabajo
individual
Vestuario, tarjetas, el
salón de clases, internet,
decoraciones alusivas al
tema
Se da de forma individual.
Desarrollar las
características de los
triángulos según los lados.
Todos al triángulo Trabajo grupal
Tiza de diferentes colores,
el patio, dibujos, internet
Durante la actividad con
el interés y participación
de cada estudiante.
Conceptualizar la
clasificación de los
ángulos según la posición.
Juguemos con los ángulos
y su posición Trabajo grupal Transportador, hojas,
mensajes con pistas,
internet
Se realiza en el desarrollo
de la actividad.

95
Aplicar los criterios de
congruencia en los
triángulos.
Tablero preguntón
Trabajo individual
Tablero, dados, imágenes,
tablero del juego
Durante el desarrollo de la
clase y con la
participación de cada
estudiante de manera
individual.
Determinar y describir los
criterios de congruencia
de triángulos a partir de
las construcciones con
información dada en los
estudiantes de octavo
grado.
Torres de encaje triangular
Trabajo grupal
4 bases de madera con
vástago, reglas,
transportador, fomis de
colores, tijeras
Cada grupo va a entregar
un documento escrito de
manera creativa donde
este consignado paso a
paso todo el trabajo
realizado durante la
actividad.
Registrar los conceptos de
teoremas, postulados y
propiedades para la
construcción de
demostraciones de
La v de Gowin en
teoremas, postulados y
propiedades
Trabajo individual
Internet, libros de
geometría, v de Gowin
Se realiza durante la
actividad buscando el
ingenio y creatividad de
cada estudiante.

96
Favorecer el primer
contacto de los estudiantes
con las demostraciones de
¡Busquemos parejas! Trabajo individual Cartón paja, colores,
marcadores, internet y
triángulos congruentes
El razonamiento y
justificación de cada
estudiante al encontrar una
pareja de triángulos
congruentes.
Identificar, contrastar y
aplicar condiciones
suficientes para el
desarrollo de las
demostraciones con
Cerillos triangulares Trabajo en parejas
Cerillos, cartón paja, hojas
de block, silicona.
Se realiza de manera
individual, teniendo en
cuenta la responsabilidad
y buen desarrollo de las
demostraciones.
Realizar demostraciones
de triángulos congruentes
para el desarrollo de la
competencia razonamiento
y argumentación.
Triángulos en fomi Trabajo en parejas
Fomis escarchados,
cartulinas de colores,
tijeras, goma, reglas,
block
El análisis y justificación
de los pasos dados para la
realización de la
demostración.

97
ACTIVIDAD Nº 1
EL PICTIONARY GEOMÉTRICO
Objetivo: Identificar el triángulo y los elementos que lo componen por medio de
dibujos.
Descripción de la actividad
Desarrollar el concepto de triángulo y sus elementos dando una explicación teórica
previa a la realización práctica del tema por medio del juego. Se van a utilizar imágenes
y una lluvia de ideas para indagar sobre esta figura geométrica y lo que la conforma,
posteriormente se aplica el pictionary geométrico de la siguiente manera:
Dividir el curso en 4 grupos de 6 estudiantes cada uno, en el tablero se coloca un papel
grande y marcador para cada representante del grupo que pase al frente. Se necesitan
tarjetas con las palabras correspondientes a los elementos que conforman al triángulo,
clasificándolas por colores diferentes. Ejemplo: segmento, vértice, ángulo, etc.
Reglas del juego
Se enfrentan 4 equipos formados cada uno por 6 estudiantes uno de los cuales es el
“primer dibujante”. Se colocan las tarjetas boca abajo sobre la mesa. Se sortea el equipo
que comienza el juego.
El primer dibujante del equipo que comienza el juego coge la primera tarjeta, y sin
que la vean los demás hace un dibujo para ilustrar el término que aparece en ella, pero
no puede utilizar letras, números ni los símbolos habituales. Hay un tiempo limitado de
40 segundos para realizar el dibujo.

98
Una vez hecho el dibujo, el “dibujante”, sin hablar ni hacer gestos de ningún tipo,
debe intentar en un tiempo limitado (por ejemplo, otro minuto) que sus compañeros de
equipo acierten el término que había en la tarjeta. Si lo consigue se anota un punto al
equipo, y otro miembro del equipo pasa a ser el “dibujante”. No se repite el papel de
“dibujante” hasta que no lo hayan ejercido todos los miembros del equipo. Si no lo
aciertan en el tiempo límite, no se anotan ningún punto y pasan a hacer la misma
mecánica el equipo siguiente.
Algunas de las tarjetas llevan marcado “para todos los equipos”. Cuando un jugador
levanta una de estas tarjetas, lo comunica a los restantes equipos y un “dibujante” de
cada uno de ellos realiza su dibujo, que enseña a los miembros de su equipo. El primer
equipo que la acierte es el que se apunta el punto y el que continúa jugando. Gana la
partida el equipo que más puntos tenga cuando se acaba un tiempo prefijado.
Recursos: Imágenes, papel, marcador y cronometro.
Evaluación: Se va a dar durante toda la clase de manera individual, grupal y toda la
participación e interés que muestre durante la actividad.

99
ACTIVIDAD Nº 2
REINADO DE TRIÁNGULOS
Objetivo: Categorizar los triángulos según sus lados y ángulos.
Desarrollo de la actividad
Se brindan orientaciones a los estudiantes para que consulten previamente estos
conceptos, se intercambian las ideas por medio de una socialización, posterior a eso se
organiza el salón para un reinado, un grupo de estudiantes será el jurado, dos serán los
presentadores y el resto las reinas o reyes postulantes. Cada participante va a estar
representando a un triángulo en específico por ejemplo: isósceles, equilátero,
obtusángulo, rectángulo, etc. Su imagen será según la ocasión y la figura que esté
representado los presentadores van exponiendo las características de cada uno, el jurado
elimina los participantes hasta coronar a la reina o rey ganador (a). En esta actividad los
estudiantes conocen a fondo las características de los triángulos según los lados y
ángulos.
Recursos: Vestuario, tarjetas, el salón de clases, internet, decoraciones alusivas al tema.
Evaluación: Se da de forma individual, observando el interés y empeño
que le coloque cada estudiante, además de la participación de cada uno.

100
ACTIVIDAD Nº 3
TODOS AL TRIÁNGULO
Objetivo: Desarrollar la características de los triángulos según los lados.
Se dibujan varios triángulos en el patio, los estudiantes se ubican en una línea de
salida por grupos cuando se dé la orden diciendo que se ubiquen en el triángulo
escogido cada grupo va a un triángulo diferente al momento de llegar el grupo debe
responder una pregunta que va acorde a la figura donde se ubiquen como: ¿qué
características tiene el triángulo isósceles?, ¿según las características visibles de este
triángulo como se llama? si responde acertadamente obtiene dos puntos de no ser así
pierde, se continua así hasta acumular 10 puntos. El ganador se lleva una calificación
más alta en comparación a los demás participantes.
Para que los estudiantes puedan diferenciar los triángulos se colocan ciertas pistas
como las medidas en los lados del triángulo, la forma del triángulo, los ángulos internos
en cada figura, etc. que los diferencian de los demás en donde los estudiantes usan la
visualización y los conceptos aprendidos para llegar al triángulo y responder
acertadamente.
Recursos: Tiza de diferentes colores, el patio, dibujos, internet.
Evaluación: se da durante la actividad con el interés y participación de cada estudiante.

101
ACTIVIDAD Nº 4
JUGUEMOS CON LOS ÁNGULOS Y SU POSICIÓN
Objetivo: Conceptualizar la clasificación de los ángulos según la posición.
Se divide a la clase en varios grupos. Cada grupo es “socio” de otro grupo. La mitad
de los grupos (los llamaremos grupos A) recibe la misma figura que representa a un
ángulo y la otra mitad (grupos B) otro ángulo. En general ambas son parecidas, ya que
se tratan de mismos conocimientos que hay que poner en juego en esa clase. Cada grupo
A elabora un mensaje escrito con instrucciones por ejemplo tiene un vértice y un lado
común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro, pueden ser 2 o tres
frases lo importante es que sea necesario para reproducir la figura correspondiente. Para
que su grupo socio B, al recibirlo, pueda reproducir el ángulo. Los grupos B hacen sus
mensajes para los grupos A. Luego se intercambian los mensajes y ambos grupos
inician la construcción a partir de las instrucciones recibidas. Luego, se comparan y
analizan los errores. Ganan los “socios” (grupo A y B) que hayan logrado reproducir el
mensaje correctamente. Se plantea a los estudiantes que los mensajes no pueden tener
dibujos con la finalidad de que tengan que esforzarse en explicitar el máximo de
relaciones en palabras. Este tipo de juego no es una actividad aislada.

102
Es interesante que los estudiantes puedan enfrentarse a este tipo de problemas, de
tal modo que, el análisis de las dificultades y de los errores, se constituya en
aprendizajes. En general, los estudiantes no logran en el primer intento reproducir la
figura ya que presentan intencionalmente, un cierto nivel de desafío. Se trata de
promover en los jóvenes el entusiasmo por analizar las dificultades e incorporar nuevos
conceptos con el fin de “volver a jugar”. Utilizar como herramienta para la construcción
de los ángulos el transportador, gana el grupo que acumule más puntos.
Recursos: Transportador, hojas, mensajes con pistas, internet.
Evaluación: Se realiza durante el desarrollo de la actividad analizando detenidamente
el desempeño de cada estudiante a la hora de enfrentarse a un problema.

103
ACTIVIDAD Nº 5
TABLERO PREGUNTÓN
Objetivo: Aplicar los criterios de congruencia en los triángulos.
Antes de empezar se dan unas indicaciones del juego, se discute un poco acorde con
las ideas consultadas por los estudiantes, la cual es ayuda a la comprensión del tema. Se
diseña un tablero de juego de cuatro jugadores, ya que se reunirán en 4 grupos de 6
estudiantes.
El tablero tiene una zona de comienzo y una zona de llegada que solo llega le
ganador, pero para llegar a la meta hay que responder a preguntas sencillas como: ¿qué
dice el criterio LAL?, ¿cuáles son los criterios de congruencia?, haz un dibujo en donde
representes el criterio LLL, y demás cuestionamientos que el equipo debe responder
para obtener un punto. Se utilizan dados comunes para indicar la casilla a seguir en cada
turno. Las preguntas están diseñadas para que el estudiante conozca todo lo relacionado
a los criterios de congruencia, debe razonar y argumentar su respuesta durante un
tiempo limitado de 60 segundos de ser acertada acumula punto sino pierde la
oportunidad de avanzar. Para ganar el juego el equipo debe hacer 15 puntos.
Recursos: Tablero, dados, imágenes, tablero del juego.
Evaluación: Se da durante el desarrollo de la clase y con la participación de cada
estudiante de manera individual.

104
ACTIVIDAD Nº 6
TORRES DE ENCAJE TRIANGULAR
Objetivo: Determinar y describir los criterios de congruencia de triángulos a partir
de las construcciones con información dada.
Descripción: El área de matemáticas, en el grado octavo, trabaja la unidad de
congruencia de triángulos, la idea es fortalecer todo el proceso de aprendizaje de los
criterios de congruencia de triángulos como elemento fundamental en la solución de
problemas que tiene que ver con dichos triángulos.
Es importante, en esta unidad llevar al estudiante que manipule los elementos
constitutivos de los triángulos y que él pueda concluir que los triángulos son iguales, no
importa la posición en que estén dibujados, pues la posición no determina la igualdad o
no de dos o más triángulos.
La actividad consiste en formar 4 grupos de 6 estudiantes, los cuales deben hacer un
bosquejo de las diferentes clases de triángulos siguiendo las indicaciones dadas por el
docente ya sean según sus (lados, ángulos, tamaños, colores, etc.) en un tiempo
determinado, con la ayuda de tijeras, fomis de colores, regla y transportador. Los
estudiantes deben insertar cada figura realizada en un vástago que estará a una distancia
de 10 metros, el cual será previamente clasificado en el cual deben ir la fichas
correctamente según el criterio de los estudiantes, el grupo que mayor acierto obtenga
va a hacer el ganador.

105
Recursos: 4 bases de madera con vástago, reglas, transportador, fomis de colores,
tijeras.
Evaluación: cada grupo va a entregar un documento escrito de manera creativa donde
este consignado paso a paso todo el trabajo realizado durante la actividad, las
conclusiones a las que llegaron, deben tener una redacción clara y coherente. Para esta
evaluación se entregan hojas de block de colores, goma y colores.

106
ACTIVIDAD Nº 7
LA V DE GOWIN EN TEOREMAS, POSTULADOS Y PROPIEDADES
Objetivo: Registrar los conceptos de teoremas, postulados y propiedades para la
construcción de demostraciones de triángulos congruentes.
A partir de la herramienta investigativa de Gowin, se utiliza para que los estudiantes
construyan la conceptualización necesaria para la realización de demostraciones de
triángulos congruentes. Cada estudiante individualmente realizará su v de Gowin para
analizar estos aspectos necesarios para la solución de problemas de congruencia de
triángulos, además que potencializa el razonamiento y argumentación y a su vez
comprenderán y diferenciarán un concepto del otro.
Recursos: Internet, libros de geometría, v de Gowin.
Evaluación Se realiza durante la actividad buscando el ingenio y creatividad de cada
estudiante para la comprensión de estos conceptos en la v de Gowin.

107
ACTIVIDAD Nº 8
¡BUSQUEMOS PAREJAS!
Objetivo: Favorecer el primer contacto de los estudiantes con las demostraciones de
Integrantes: 4 estudiantes.
Recortando cartas en las que aparecen dibujadas diferentes triángulos congruentes
se va a jugar ¡busquemos parejas! Se sitúan boca abajo sin que el estudiante vea la
ubicación 16 fichas en las que se encuentran triángulos de diferentes colores que poseen
datos que ayudaran al estudiantes a identificar con facilidad cuáles son congruentes y
cuáles no, como por ejemplo ángulos, medida de lados, etc.
Un jugador levanta una carta, la mira y la vuelve a dejar como estaba. A
continuación levanta otra, si su desarrollo corresponde con la figura, se queda las dos, la
idea es justificar por qué son congruentes; de manera que el estudiantes conozca el
sentido y la importancia al realizar demostraciones; en caso de que no sea igual la
coloca boca abajo y tiene otro intento de volver a levantar otras dos de la misma
manera, y así sucesivamente. En caso contrario la vuelve a situar boca abajo y pasa el
turno al otro jugador. Gana aquel que tenga mayor número de cartas, cuando no quede
ninguna oculta o ya no se puedan emparejar.

108
Reglas de juego
Pierde el turno o los puntos acumulados si lleva, el jugador que quiera voltear las
cartas para conocer la ubicación de las figuras antes o durante su turno o quiera volarse
a algún compañero.
Recursos: Cartón paja, colores, marcadores, Internet y triángulos congruentes.
Evaluación: Los estudiantes durante el juego darán las razones por las cuales los
triángulos son congruentes, es a partir del análisis de ellos que se evaluará la
competencia de razonamiento y argumentación matemática además de la forma en que
llegan a la respuesta a partir de datos conocidos como las medidas en los lados y los
ángulos de manera individual.

109
ACTIVIDAD Nº 9
CERILLOS TRIANGULARES
Objetivo: Identificar, contrastar y aplicar condiciones suficientes para el desarrollo de
las demostraciones con triángulos congruentes.
Inicialmente se presenta a los estudiantes información acerca de las definiciones
de los criterios de congruencia de triángulos, se le brinda a cada uno de los estudiantes
copias sobre esa información; dándoles varios minutos para su previa lectura; de allí se
procede a realizar la actividad la cual consiste en : De manera individual, cada uno de
los estudiantes deben realizar varias parejas de triángulos congruentes con cerillos
sobre cartón paja siguiendo indicaciones como, longitud de cada uno de los lados,
grado de los ángulos, formas, luego debían redactar como habían logrado hacer las
figuras. El paso siguiente era realizar ejercicios sobre las demostraciones de triángulos
congruentes correspondientes a la figura que habían construido, en él se debía
evidenciar el razonamiento y la argumentación de cada uno de ellos.
Recursos: Cerillos, cartón paja, hojas de block, silicona.
Evaluación: Se realiza de manera individual, teniendo en cuenta la responsabilidad y
buen desarrollo de las demostraciones.

110
ACTIVIDAD Nº 10
TRIÁNGULOS EN FOMI
Objetivo: Realizar demostraciones de triángulos congruentes para el desarrollo de
la competencia razonamiento y argumentación.
Se proporciona información en carteleras acerca de las definiciones de los
criterios de congruencia de triángulos de tal manera que el estudiante tenga pleno
conocimiento de cada uno de estos, permitiéndoles realizar la actividad correspondiente
sobre las demostraciones de triángulos congruentes, dicha actividad consiste en:
formar 6 grupos de 4 estudiantes, se les entrega a cada uno de ellos en una hoja de block
un ejercicio (figura, datos conocidos) sobre las demostraciones de triángulos
congruentes, de allí cada uno de los grupos deben identificar, analizar y crear una
réplica de esta figura, la cual debe ser hecha en fomis, con la ayuda de goma debe ser
plasmada en unas cartulinas de colores, después de haber realizado eso deben proceder a
argumentar y razonar paso a paso la demostración teniendo en cuenta los datos
conocidos y la figura proporcionados en el ejercicio, el grupo que primero realice la
actividad es el ganador.
Recursos: Fomis escarchados, cartulinas de colores, tijeras, goma, reglas, block.
Evaluación: Se plasma en hojas de block cada uno de los pasos a seguir al momento de
realizar el ejercicio (figura en fomi).

111
TALLER DE LA ACTIVIDAD 1 Y 2
NOMBRE: FECHA:
1. En la siguiente figura señala los triángulos que observas. Enuméralos
2. Observa el siguiente triángulo y determina que lineas se encuentran trazadas,
además identifica por lo menos tres elemntos básicos de la figura.
3. Pablo ha hecho un avión de papel que tiene dos triángulos escalenos, y paula
uno que tiene dos triángulos isósceles. Escribe de quien es cada avión.

112
4. Une cada triángulo con el número de lados correspondientes.
5. Marca con una X en el lugar correspondiente.
6. Clasifica los siguientes triángulos según sus ángulos y enuméralos en una lista.

113
NOMBRE: FECHA:

114
2. Escribe sobre las lineas el nombre del triángulo que corresponda de acuerdo a la clasificación por los lados y por los ángulos.

115
3. Une los puntos para encontrar los triángulos según los lados.
Triángulo equilatero Triángulo isósceles Triángulo escaleno
4. Escribe la medida de cada ángulo en el recuadro indicado.
5. Mide los ángulos señalados y clasificalos según su posición y suma.
e

116
NOMBRE: FECHA:
1) Dados los siguientes triángulos. Señala cuales son congruentes.
2) Resuelve la sopa de letras. Encuentra las palabras posibles relacionadas a los
criterios de congruencia de triángulos.
C A S T B A E F H D E
O N B Z L N G I T S R
N G A A C L R Y V O M
G U S S E L A U G I N
R L E O I O L L L R P
U O C Ñ D S H J K E Ñ
E S L A L A M K Z T B
N X S V X D L N O I M
T R I A N G U L O R E
E Z P U W X A C T C L
Palabras a encontrar: Criterios, Triángulo, Congruente, LLL, LAL, ALA, Iguales,
Ángulos, Lados.

117
3) Construye una pareja de triángulos representado los tres criterios de
congruencia.
4) Para encontrar la salida en el laberinto, el camino que escojas hasta llegar a la
salida debe contener los criterios de congruencia de triángulos en vez de una
línea.
LLL
5) 1 2 a) Si el ∆(1) es congruente con el ∆ (3) porque
ambos tienen dos lados y ángulos iguales
3 4 ¿qué criterio de congruencia es?
b) Si el ∆ (2) y el ∆ (4) son congruentes porque
ambos tienen los tres lados iguales ¿qué criterio
de congruencia es?

118
NOMBRE: FECHA:
1) Justificar porque los siguientes triángulos son congruentes.
2) Imagina que la siguiente figura está formada por 13 cerillos acomodados de
manera que se forman 6 triángulos. Puedes quitar 3 cerillos y seguramente
quedarán sólo tres triángulos. ¿Cuáles cerillos debes quitar? Justifica tu
respuesta.

119
3) ¿Las figuras son las mismas arriba y abajo? Justifica tu respuesta.
4) Completa el siguiente mapa conceptual.
5) El poste AD de una casa de campaña es perpendicular al suelo. ¿Qué otras
condiciones deben cumplirse para asegurar que los lados AB y AC sean de igual
longitud?

120
NOMBRE: FECHA:
1) utilizando los criterios de congruencia, indicar que triángulos son congruentes
ubicando la respuesta en la siguiente tabla.
Relación de congruencia Criterio justificación
2) Gonzalo junto con su primo Benjamín decidieron participar del próximo
concurso de skate. En el concurso, según la información que obtuvieron, existen
rampas fabricadas para realizar saltos profesionales. Estas poseen un ángulo de
50° a un lado y de 88° al otro, ángulos que dan la gran altura a esta rampa.
Responde:
¿Podrán replicar la rampa con la información entregada? ¿Por qué?

121
¿Cuántos datos son necesarios como mínimo para construir rampas congruentes?
Considera como información adicional el lado comprendido entre los dos
ángulos igual a 80 cms. ¿Podrán replicarla? ¿Por qué?
3) Observa la imagen y luego responde.
¿Por qué la banca con el apoyo diagonal es más estable que la otra? Explica.
4) En la figura el ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐵𝐴𝐷
I) ∆𝐴𝐸𝐶 ≅ ∆𝐴𝐷𝐵
II) ∆𝐴𝐸𝐶 ≅ ∆𝐵𝐸𝐷
III) 𝐴𝐶 ≅ 𝐷𝐵
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

122
4.8 Análisis de la Aplicación de la Propuesta
De acuerdo con los objetivos de este proyecto de investigación, los resultados
obtenidos en las diferentes actividades, talleres y evaluación final, ciñéndose a las
exigencias de la investigación de tipo cualitativo gira en torno a tres aspectos
importantes como:
 Pedagógico.
 Didáctico.
 Cognitivo.
ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 1
EL PICTIONARY GEOMÉTRICO
Objetivo: Identificar el triángulo y los elementos que lo componen por medio de
dibujos.
Pedagógicamente la actividad desarrollada se apoyó en la teoría del aprendizaje
por descubrimiento, los estudiantes mediante acciones concretas adquieren el
conocimiento, dentro del aula de clases pero con una intención diferente a lo tradicional
basada en la construcción del aprendizaje por los estudiantes teniendo en cuenta
orientaciones dadas por el docente, empezando por la identificación de elementos
esenciales del triángulo como figura plana.

123
Desde lo didáctico es impresionante observar como los estudiantes de octavo grado,
el aprendizaje se hace más llamativo a través de actividades lúdicas sin darse cuenta
capturan la esencia de la temática y la realizan en un ambiente folclórico pero sin perder
el horizonte y la disciplina en el salón de clases, como lo es el pictionary geométrico en
donde la visualización y construcción de figuras como pistas son la herramienta esencial
para hallar los elementos del triángulo, se efectúa de manera satisfactoria haciendo
notorio la motivación e interés en la asignatura como en los temas relacionados a esta.
Imagen nº 1 Estudiante Realizando la Actividad. Imagen nº 2 Explicación de la Actividad.
En cuanto a lo cognitivo se alcanzó un nivel de aprendizaje optimo en los
estudiantes en la conceptualización necesaria sobre los elementos del triángulo
indispensables para la realización de demostraciones de triángulos congruentes así
como la construcción de los elementos representados gráficamente en la figura. Los
resultados se vivencian en la comparación de los resultados reflejados por los
estudiantes tanto en la prueba diagnóstica como en la evaluación final.

127
0
24
0
24
0 5 10 15 20 25 30
Conceptualización del
Triángulo y sus Elementos
10
14
10
14
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Conceptualización del
Triángulo y sus Elementos
Ilustración nº 4 gráfico de Clasificación del Triángulo y sus Elementos (Prueba Diagnóstica).
Ilustración nº 5 Gráfico de Clasificación del Triángulo y sus Elementos. (Evaluación Final)

128
REINADO DE TRIÁNGULOS
Objetivo: Categorizar los triángulos según sus lados y ángulos.
En este propósito desde el aspecto pedagógico la actividad está centrada en la teoría del
aprendizaje significativo, ya que los estudiantes a partir de situaciones propuestas por el equipo
investigador y estímulos, recrean el aprendizaje tomando lo necesario para la adquisición del
conocimiento, en un ambiente distinto por medio de eventos como el reinado que es
característico de la ciudad y acogido satisfactoriamente por la población.
En efecto desde lo didáctico se centra en una herramienta conocida por los estudiantes como
lo es el reinado que concede al estudiante la responsabilidad de representar un candidato en este
caso de la clasificación de los triángulos según lados y ángulos permitiendo poner en juego la
creatividad e imaginación así como la diversión en un tema que frecuentemente es dado por los
docentes muy formal y monótono.

129
Imagen nº 4 Desfile de Concursantes.
Imagen nº 3 Coronación de la Reina de los Triángulos.
Finalmente en lo cognitivo se trabajaron los contenidos planteados, logrando gran acogida
por los estudiantes permitiendo avance en los temas y recopilar la información necesaria para la
realización de demostraciones de triángulos congruentes. Es evidente la comunicación y la
retroalimentación de contenidos básicos logrando la aprehensión de saberes propios de la
competencia de razonamiento y argumentación matemática.

130
TODOS AL TRIÁNGULO
Objetivo: Desarrollar la características de los triángulos según los lados.
Dadas las condiciones en lo pedagógico la actividad se fundamentó en un aprendizaje por
competencias permitiendo al estudiante que sea capaz de generar situaciones problemas a partir
del conocimiento adquirido por medio de una conducta asociada a ese conocimiento, logrando
así un conocimiento: conceptual, procedimental y actitudinal convirtiéndose en una herramienta
que le permite al estudiante mostrar que puede hacer con lo aprendido teniendo en cuenta que la
formulación del aprendizaje se basa en el entorno o el contexto como medio para llegar a un
buen aprendizaje en los estudiantes de octavo grado. En el mismo sentido lo didáctico se centró
en el juego haciendo uso de espacios dentro del colegio como la cancha y el patio, generando
una actitud positiva en los estudiantes así como el trabajo en equipo lo cual fue vital para el
desarrollo del tema y el avance de la investigación.
Imagen nº 5 Dibujando los Triángulos para la Actividad.

131
Imagen nº 6 Realizando la Actividad.
Cognitivamente, la actividad tuvo como eje central el razonamiento por medio de preguntas
que involucren el análisis y reflexión de los estudiantes, promoviendo la participación
conociendo a su vez la adquisición del conocimiento frente al tema.
JUGUEMOS CON LOS ÁNGULOS Y SU POSICIÓN
Objetivo: Conceptualizar la clasificación de los ángulos según la posición.
El desarrollo de la actividad pedagógicamente se fundamentó en la teoría del aprendizaje
cooperativo, los estudiantes trabajaron en equipo e intercambiaban ideas, discutiendo juntos para
encontrar la solución acertada en el juego, permitiendo la participación continua exponiendo los
razonamientos y argumentos a la hora de enfrentarse al problema.

132
En el orden de ideas anteriores desde lo didáctico la actividad estuvo enmarcada a la
realización de un juego en donde se intercambiaban mensajes con pistas con el objetivo de que
los estudiantes ejercitarán la construcción de figuras, analizando los criterios importantes como
medidas, claves para obtener los puntos y ser el ganador.
Finalmente en lo relacionado a lo cognitivo el eje central giraba en torno al análisis,
creatividad de los estudiantes en una situación problema contextualizada a partir de mensajes que
le ayudarían a encontrar la respuesta adecuada y de esta manera potenciar la competencia de
razonamiento y argumentación matemática, de una manera fácil y sencilla, donde los estudiantes
expresaban total agrado y disposición al aprender algo nuevo en la clase de geometría.
Imagen nº 8 Escribiendo el Mensaje.
Imagen nº 7 Construyendo el Ángulo.

133
TABLERO PREGUNTÓN
Objetivo: Aplicar los criterios de congruencia en los triángulos.
La actividad estuvo centrada en la teoría constructivista, en la medida que los estudiantes a
través de orientaciones dadas construían el conocimiento en un ambiente diferente a la clase
tradicional en el tablero, permitiéndoles exponer los razonamientos frente a preguntas que
contribuyen al desarrollo de la competencia de razonamiento y argumentación matemática.
En este propósito en lo concerniente a lo didáctico la actividad se centró en un juego popular
muy conocido en la sociedad, como lo es el parques, basándose en el mismo funcionamiento se
diseñó el tablero preguntón con el objetivo que los estudiantes se ubicaran en un color diferente y
acertaran en las preguntas en donde se evaluaría la apreciación y comprensión sobre los criterios
de congruencia, expresando a través de argumentos y justificando cada una de las respuestas para
poder avanzar y llegar al tesoro obtener el triunfo
A los efectos de este el aspecto cognitivo tuvo énfasis en lo que respecta a la creatividad e
ingenio de los estudiantes a la hora de responder las preguntas como al azar en el momento de
lanzar los dados y conseguir números grandes que le permitían avanzar más en comparación de
los demás estudiantes y así ser el ganador (a). Involucrando a los estudiantes al desarrollo de
demostraciones de triángulos congruentes a través del análisis y reflexión frente a una situación
problema

134
Imagen nº 10 Solución de la Pregunta.
Imagen nº 9 Jugando con el Tablero.
TORRES DE ENCAJE TRIANGULAR
Objetivo: Determinar y describir los criterios de congruencia de triángulos a partir de las
construcciones con información dada.
Pedagógicamente, el evento pedagógico se apoyó en la teoría del aprendizaje significativo,
puesto que relacionaron los conocimientos previos con los conocimientos nuevos. Esto lo
llevamos a cabo con la actividad torres de encaje triangular en la cual los estudiantes
memorizaban, trabajaban mecánica y motriz mente y además reconocían las estructuras
identificando y relacionando así los conceptos básicos como los diferentes criterios de
congruencia desarrollados en la actividad.

135
Desde lo didáctico, se pudo observar que la utilización de material didáctico género en los
estudiantes una motivación permitiéndoles interactuar tanto con el material como con sus
compañeros lo cual mostro una gran satisfacción al momento del desarrollo de la actividad. En
cuanto a lo cognitivo los estudiantes alcanzaron el objetivo propuesto el cual consistía en
determinar y describir los criterios de congruencia de triángulos a partir de las construcciones
con información dada, ya que recibían la información, la analizaban y construían conclusiones
que le permitían analizar los conceptos y llevarlos a la práctica.
Imagen nº 11 Construyendo los Triángulos. Imagen nº 12 Ubicando los Triángulos.

136
LA V DE GOWIN EN TEOREMAS, POSTULADOS Y PROPIEDADES
Objetivo: Registrar los conceptos de teoremas, postulados y propiedades para la construcción de
demostraciones de triángulos congruentes.
El evento pedagógico, se apoyó en la técnica conocida como v de Gowin la cual nos sirve
como base a seguir para aprender a aprender. Esta técnica permitió representar de manera visual
la estructura del conocimiento y logrando así que los estudiantes identifiquen ítems claves para
llevar acabo su aprendizaje de manera eficiente. La v de Gowin, permitió que los estudiantes por
medio del aprendizaje obtenido realizaran un análisis de actividades experimentales y los
relacionaran, los analizaban con los conocimientos teóricos logrando así explicar los conceptos
sobre teoremas, postulados y propiedades para la construcción de demostraciones de triángulos
congruentes, ayudándolos así en la obtención de un mejor aprendizaje.
Desde lo didáctico, la actividad básicamente se centró en que los estudiantes de manera
creativa realizaran un bosquejo de la v de Gowin permitiéndoles expresar claramente cada uno
de los conceptos trabajados , como teoremas, postulados, propiedades de los triángulos
congruentes logrando así obtener un mejor desempeño y fortalecer cada uno de sus
conocimientos. En cuanto a la parte cognitiva los estudiantes lograron asimilar de manera
correcta cada uno de los temas trabajados, logrando obtener así un aprendizaje significativo.

137
Imagen nº 13 Realizando la v de Gowin.
¡BUSQUEMOS PAREJAS!
Objetivo: Favorecer el primer contacto de los estudiantes con las demostraciones de triángulos
congruentes.
Pedagógicamente, esta actividad permitió obtener un aprendizaje visual y significativo en
donde los estudiantes relacionan los conceptos de triángulos congruentes con sus imágenes
físicas, logrando en ellos un mejor aprendizaje debido a que visualizan, analizan y observan cada
una de las formas, tamaños y figuras teniendo en cuenta cada uno de los criterios de congruencia
trabajados, ayudándolos de esta manera a tener mayor claridad sobre cada uno de los conceptos.

138
En cuanto a lo didáctico los estudiantes mostraron interés ya que se le proporcionaba el
material hecho en cartón paja (parejas de triángulos), ya que decían que lograban reconocer
mucho mejor cada uno de las figuras tocándolas y observándolas, y que de igual forma sentían
una mayor satisfacción al llevar todo lo aprendido a la práctica por medio de material didáctico y
palpable.
A los efectos de este la actividad busquemos parejas permitió, que los estudiantes
relacionarán imágenes similares e identificarán sus diferencias, es decir procesa su información a
partir de la percepción.
Imagen nº 14 Buscando Parejas. Imagen nº 15 Pareja Encontrada.

139
CERILLOS TRIANGULARES
Objetivo: Identificar, contrastar y aplicar condiciones suficientes para el desarrollo de las
demostraciones con triángulos congruentes.
En el sentido pedagógico, se obtuvo un aprendizaje significativo ya que los estudiantes
lograron relacionar los conceptos acerca de los criterios de triángulos congruentes, identificar
sus propiedades, realizar figuras, para poder llevar acabo la realización de las demostraciones por
medio del razonamiento y la argumentación. Desde lo didáctico, la actividad cerillos triangulares
permitió que los estudiantes trabajaran con el material físico tales como cerillos, silicona, cartón
paja, observando en ellos el interés y la motivación que les generaba trabajar con material
didáctico.
Finalmente en lo cognitivo los estudiantes lograron obtener un mejor aprendizaje ya que todo
el proceso de apropiación del conocimiento fue para ellos un reto, lo cual les hacía sentir
satisfacción al momento de realizar cada una de las actividades propuestas.

140
Imagen nº 17 Construyendo Triángulos.
TRIÁNGULOS EN FOMI
Objetivo: Realizar demostraciones de triángulos congruentes para el desarrollo de la
competencia razonamiento y argumentación
El evento pedagógico, permitió obtener en los estudiantes un aprendizaje significativo, ya
que ellos lograban relacionar todo el conocimiento presentado sobre los criterios y propiedades
de triángulos congruentes para así poder llevar acabo cada una de las demostraciones propuestas;
la actividad les permitió razonar y argumentar cada uno de los pasos a seguir para realizar las
demostraciones, logrando obtener en los estudiantes un mejor desempeño académico.

141
Según se ha citado en el aspecto didáctico, la actividades permitieron a los estudiantes
apropiarse aún más del conocimiento ya que la actividad fue realizada con material sencillo
como fomis escarchados, tijeras, goma los cuales les parecía y propiciaba en ellos un ambiente
agradable ya que podían palpar y trabajar ellos mismos, se veía en ellos la motivación, las ganas
de querer hacer las actividades y el aprovechamiento que le daban a estas.
En el sentido cognitivo fueron capaces de razonar y argumentar por medio de las
demostraciones de triángulos congruentes ayudándoles así a obtener un avance significativo de
acuerdo a cada uno de los temas realizados, en este caso lograron identificar claramente cada una
de las propiedades y cada uno de los criterios de congruencia de triángulos, observando el avance
que lograron tener desde el inicio de las actividades hasta el final de las mismas
Imagen nº 19 Construyendo Triángulos.
Imagen nº 18 Análisis de los Triángulos.

142
4.8.1 Análisis Estadístico
Talleres de las Actividades
Taller Análisis/ reflexión Dato Estadístico
Actividad 1 y 2
Después de realizar las actividades
correspondientes a este taller, los estudiantes
mostraron dominio en los conceptos básicos y
elementos del triángulo así como su
clasificación permitiendo avances en los
conceptos.
SI NO
90% 10%
Actividad 3 y 4
Los contenidos son más complejos los
estudiantes muestran la habilidad para realizar
razonamientos cortos, análisis de gráficas y
utilización de instrumentos para la construcción
de figuras.
SI NO
90% 10%
Actividad 5 y 6
Los resultados de los estudiantes muestran un
avance hacia los contenidos de la congruencia,
aplicando los diferentes criterios a partir de
situaciones que le permiten realizar un análisis
y reflexión de las respuestas de forma acertada.
SI NO
90% 10%
Actividad 7 y 8
A partir de un bagaje de los elementos
esenciales para las demostraciones de
triángulos congruentes los estudiantes sin
conocer directamente que realizaban
demostraciones aplicaban justificación y
argumentación en cada uno de los
procedimientos dados en los ejercicios
obteniendo acierto en la respuesta.
SI NO
95% 5%
Actividad 9 y 10
Culminado con el tema se propone a los
estudiantes a partir de situaciones aplicadas a la
realidad se identifican elementos, simbología y
demás propiedades importantes en las
demostraciones de triángulos congruentes.
SI NO
100% 0
Tabla nº 5 Talleres de las Actividades.

143
0.9 0.9 0.9
0.95
1
0.1 0.1 0.1
0.05
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Actividad 1 y 2 Actividad 3 y 4 Actividad 5 y 6 Actividad 7 y 8 Actividad 9 y 10
Talleres de las Actividades
Suma de SI
Suma de NO
Análisis: Partiendo de las dificultades presentadas por los estudiantes en relación al
aprendizaje de los triángulos congruentes se realizaron actividades centradas al desarrollo de la
competencia de razonamiento y argumentación matemática centradas en el contexto y la vida
cotidiana logrando consigo el desarrollo de habilidades y destrezas por parte de los estudiantes a
la hora de realizar un ejercicio o problema; además de mostrar el avance en la problemática
estudiada son más críticos y analíticos frente a cualquier situación presentada.
Ilustración nº 6 Gráfico de Talleres de las Actividades.

144
4.8.2 Análisis de la Evaluación Final
Categorías Aspectos
Dato Estadístico
SI NO %
Elementos del Triángulo
Los estudiantes muestran
resultados satisfactorios y avances
en lo relacionado al triangulo
como figura geométrica y sus
elementos reflejado en los
resultados de la evaluación.
24 0 100%
Clasificación del Triángulo
Es visible como los estudiantes
dominan con facilidad clasificar
los triángulos según los lados,
ángulos, así como la clasificación
de los ángulos interpretando sin
complicaciones lo que se le
pregunta exponiendo sus
razonamientos y argumentos para
acertar en la respuesta.
24 0 100%
Criterios de Congruencia
Se hace presente la capacidad en
los estudiantes a la hora de
enumerar los criterios aplicados a
la congruencia en los triángulos
de forma adecuada mostrando
consigo los avances en la temática
de la investigación.
24 0 100%
Congruencia (Gráfica)
A la hora de construir figuras para
mostrar la congruencia de los
triángulos hay análisis y reflexión
en las respuestas dadas
permitiendo que los estudiantes
justifiquen lo realizado.
24 0 100%

145
22
24 24 24 24
2
0 0 0 0
0
5
10
15
20
25
30
Analisis de la
Figura
Clasificación
del Triángulo
Congruencia
(gráfica)
Criterios de
Congruencia
Elementos
del Triángulo
Análisis de la Evaluación Final
Suma de SI
Suma de NO
Análisis de Figura
A partir de la visualización y
algunos datos conocidos los
estudiantes fueron capaces de
utilizarlos de la mejor forma
logrando mostrar las
características del triángulo de
vital importancia a la hora de
realizar demostraciones de
22
92%
2
8%
100%
Tabla nº 6 Evaluación Final.
Análisis: Es evidente notar el óptimo avance de los estudiantes en la realización de la
evaluación final, el desarrollo de las actividades así como la utilización de materiales concretos,
fundamentan el aprendizaje de los estudiantes en lo relacionado a las demostraciones de
triángulos congruentes para desarrollar la competencia de razonamiento y argumentación
matemática partiendo de un nivel básico a uno más complejo teniendo en cuenta las dificultades
presentadas por los estudiantes así como la situación vivenciada por la institución en relación a la
asignatura.
Ilustración nº 7 Gráfico de Análisis de la Evaluación Final.

146
4.9 Conclusión
Después de culminar la realización del trabajo de investigación se puede concluir que en la
enseñanza y aprendizaje de la geometría se hace necesario utilizar un sin números de estrategias
para lograr un aprendizaje significativo y eficaz en los estudiantes, por lo que debe haber una
interacción entre docente y discente, y que cada evento pedagógico este encaminado a desarrollar
actividades contextuales que desarrollen la competencia de razonamiento y argumentación
matemática teniendo siempre presente utilizar las situaciones problemas encaminadas al análisis
crítico y reflexivo, como un vínculo para la adquisición del pensamiento geométrico. Es de vital
importancia interactuar con actividades como: juegos en donde a través de orientaciones los
estudiantes puedan descifrar el contenido de forma rápida y con resultados satisfactorios; además
objetos del entorno que ayudan a interpretar las temáticas aprovechando que los estudiantes
desarrollan más la competencia visual y reforzar cada uno de los temas al igual que potenciar la
construcción y solución de situaciones de origen geométrico logrando así un aprendizaje capaz
de desarrollar un nivel complejo y abstracto del conocimiento.
Además a través de las demostraciones y argumentaciones lógicas, es posible evitar la
tendencia de la algoritmación de la matemática en el aula, evitando el aprendizaje mecánico de
fórmulas y la aplicación de las mismas de forma rutinaria. La consideración de las
demostraciones como un tipo más de problemas a resolver, hace que los alumnos comprendan
que simplemente se trata de procedimientos necesarios para la resolución de problemas y no
vean al proceso de demostrar como algo destinado únicamente a los matemáticos.

147
Los distintos tipos de argumentaciones en la clase de matemática permiten que los alumnos
adquieran el dominio de formas de razonamiento que si bien pueden aplicarlas inicialmente a un
dominio formal, posteriormente les permitan enriquecer su manera de razonar ante problemáticas
de diverso origen.
Es importante aclarar que consideramos que los errores en matemática respecto a la
demostración de triángulos congruentes pueden ser superados y aceptados, no como algo que no
tendría que haber aparecido, si no como una instancia cuya aparición es útil e interesante, ya que
permite la adquisición de un nuevo y mejor conocimiento. Es conveniente que las situaciones de
aprendizaje propicien el razonamiento en los aspectos espaciales, métricos y geométricos, el
razonamiento numérico y, en particular, el razonamiento proporcional apoyado en el uso de
gráficas. En esas situaciones pueden aprovecharse diversas ocasiones de reconocer y aplicar
tanto el razonamiento lógico inductivo y deductivo, al formular hipótesis o conjeturas, como el
deductivo, al intentar comprobar la coherencia de una proposición con otras aceptadas
previamente como teoremas, axiomas, postulados o principios, o al intentar refutarla por su
contradicción con otras o por la construcción de contraejemplos.
Concluiría por lo consiguiente, que en estos tiempos cambiantes postmodernos la necesidad
de adecuarse a nuevas metodologías pedagógicas que buscan una educación que brinde al
estudiante un aprendizaje significativo, requiere inexorablemente también, de nuevas formas de
abordar la enseñanza.

148
Es de igual importancia diseñar y emplear estrategias facilitadoras para el aprendizaje, es por ello
que los materiales didácticos que estimulan la función de los sentidos para acceder de manera
fácil a la adquisición de conceptos habilidades, actitudes o destrezas, se convierten en recursos
indispensables para favorecer estos procesos de enseñanza-aprendizaje.
Si se procura que las matemáticas sean representativas, interesantes, motivadoras y estén
conectadas con la realidad, habrá más posibilidades de conseguir que los estudiantes se
impliquen emotivamente en la actividad y pongan interés. "Es importante procurar que los
contextos sean motivadores y adaptarse al ritmo de cada alumno porque no todos aprenden de la
misma manera y al mismo tiempo”.
De manera general podemos concluir que el estudiante.
 Identifica la clasificación del triángulo según sus ángulos y lados.
 Traza líneas y ángulos, diseña triángulos de diferentes tamaños.
 Interpreta gráficamente la forma de los triángulos
 Construye triángulos congruentes conociendo las dimensiones de las rectas.
 Aplica cada uno de los diferentes criterios de congruencia de triángulos
(ALA,LLA,LLL,LAL)
 Realiza demostraciones de triángulos congruentes propiciando el desarrollo de la
competencia de razonamiento y argumentación matemática.

149
4.10 Recomendaciones
 Se sugiere a la Institución Educativa Esther de Peláez, a los profesores y demás lectores
sin importar el área en que se desempeñen seguir implementando esta propuesta ya que se
obtuvo excelentes resultados en los estudiantes dando razón a los planteamientos de Jorge Polya
cuando dice que para entender una teoría se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su
enseñanza se enfatiza en el proceso de descubrimiento.
 Se propone realizar trabajo en equipos, en ambientes donde los estudiantes se sientan
cómodos, lo cual ayuda en su motivación para obtener un mejor conocimiento.
 Extender el estudio de la geometría permitiendo al estudiante mejorar y ampliar su
conocimiento acerca de la asignatura.

150
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Talca, Chile. Revista latinoamericana de investigación en matemática educativa.
Relime vol.16 no.2 México. Recuperado de
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enseñanza y aprendizaje de triángulos sus segmentos y rectas notables en estudiantes de
sexto grado (Tesis de pregrado). Universidad del Atlántico, Barranquilla, Colombia.
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 Morales Chávez Cesar Augusto & Majé Floriano Ramón (2011). Competencia
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Colombia. Recuperado de
http://www.elitv.org/documentos/tesis/Tesis%20de%20Maestria%20Cesar%20y%20Ram
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 Pérez Vera Iván Esteban. (2012). Ensayo: competencia matemática, estudiantes
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http://aulamagica.files.wordpress.com/2012/11/competencia-matemc3a1tica-estudiantes-
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 Vasco, Carlos. (1994). Un nuevo enfoque para la didáctica de la matemática. Tunja.
Editorial Jotamar.

ANEXO A
INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESTHER DE PELAEZ
PRUEBA DIAGNÓSTICA
La siguiente prueba tiene como propósito identificar las fortalezas y debilidades en el
rendimiento académico de los estudiantes en el área de la geometría, específicamente en la
realización de demostraciones de triángulos congruentes, por tanto se considera necesario
realizar la prueba de una manera clara y honesta, por ser esta un instrumento más que permitirá
conocer el estado académico en que se encuentran cada uno de los educandos, que es
fundamental para el trabajo investigativo titulado: Desarrollo de la competencia razonamiento y
argumentación matemática en el contexto de triángulos congruentes en octavo grado
1. ¿Qué es un triángulo y cuáles son sus elementos?
2. ¿Qué es una congruencia de triángulos? ¿Qué simbología se utiliza?
3. Indica cuales son los vértices, los ángulos interiores y los ángulos exteriores del siguiente
triángulo.
4. Determina si los triángulos ABC y MNO de cada inciso son congruentes. Indica el
criterio correspondiente.
5. Realiza la siguiente demostración. (Construye la figura). Si BD  AC , ADB ≅
CDB; demostrar que ABD ≅CBD

ANEXO B
INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL ESTHER DE PELAEZ
ENCUESTA A ESTUDIANTES
NOMBRE: GRADO:
Objetivo: Proponer situaciones de aprendizaje que favorezcan el razonamiento en los aspectos
espaciales, métricos y geométricos, apoyado en el uso de gráﬁcas.
Orientación: Responder en forma clara y honesta, esta encuesta como instrumento que permitirá
recolectar información sobre el estado académico en que se encuentran los educandos, como
fundamento del trabajo investigativo titulado: “Desarrollo de la competencia: razonamiento y
argumentación matemática en el contexto de triángulos congruentes en octavo grado”.
1. ¿Te gusta la geometría?
SI NO
¿Por qué?
2. ¿Dentro del horario de clases se encuentra la asignatura de geometría?
SI NO
¿Por qué?

3. ¿Cómo es tu nivel académico en la asignatura de geometría
EXCELENTE BUENO REGULAR DEFICIENTE
¿Por qué?
4. ¿Cómo se desarrolla la clase de geometría?
DIVERTIDA MONÓTONA
¿De qué manera te gustaría se desarrollará la clase de geometría?
5. ¿Tienes conocimiento acerca de los triángulos congruentes?
SI NO
¿Por qué?
6. ¿Hay espacios en la clase para mostrar tus razonamientos y argumentos en la solución de
situaciones matemáticas?
SI NO
¿Por qué?

ANEXO C
ENTREVISTA A DOCENTES
Objetivo: Propiciar ambientes interesantes y creativos en la enseñanza de la geometría que
reflejen el afecto y comprensión hacia los estudiantes durante el desarrollo de los eventos
pedagógicos.
Orientación: Responder en forma clara y honesta, la entrevista que permitirá recolectar
información sobre las estrategias utilizadas por el docente, para el desarrollo de la competencia
razonamiento y argumentación matemática en el contexto de triángulos congruentes, fundamento
del trabajo investigativo titulado: “Desarrollo de la competencia: razonamiento y argumentación
matemática en el contexto de triángulos congruentes en octavo grado”.
1- ¿Cómo se caracteriza el aprendizaje de la geometría en estudiantes de octavo grado?
2- ¿Qué competencias matemáticas desarrolla el educando al aprender geometría?
3- ¿Qué metodología utiliza para facilitar el aprendizaje de la geometría en un grupo de
estudiantes con diferentes niveles de dominio geométrico?
4- ¿Qué estrategias utiliza para potenciar en los estudiantes la competencia de razonamiento
y argumentación matemática?
5- ¿Cómo calificaría el nivel académico de los estudiantes en la asignatura de geometría?
¿por qué?

ANEXO D
ENTREVISTA A ESTUDIANTES
Objetivo: Determinar las causas y efectos generados en los estudiantes a la hora de realizar
demostraciones de triángulos congruentes en geometría.
Orientación: Responder en forma clara y honesta, esta entrevista por ser un instrumento más
que permitirá recolectar información sobre el estado académico en que se encuentran los
educandos, como fundamento del trabajo investigativo titulado: “Desarrollo de la competencia:
razonamiento y argumentación matemática en el contexto de triángulos congruentes en octavo
grado”.
1- ¿Qué dificultades tienes en el manejo del concepto de triángulo?
2- ¿Por qué motivo obtuviste ese desempeño en la prueba diagnóstica?
3- ¿De qué manera consideras podrías superar las dificultades que tienes en el aprendizaje
de la geometría?
4- ¿En qué forma te gustaría se desarrollará la enseñanza y aprendizaje de los triángulos
congruentes?

ANEXO E
EVIDENCIAS DE REDACCIÓN DE INFORMACIÓN

ANEXO F
EVIDENCIAS APLICACIÓN DE LA PROPUESTA

ANEXO G
EVALUACIÓN FINAL
NOMBRE: FECHA:
1) ¿Cuáles son los elementos de un triángulo?
2) ¿Cómo se clasifican los triángulos y los ángulos?
3) ¿Qué es criterios de congruencia de triángulos? ¿Cuáles son?
4) Realiza parejas de triángulos donde relaciones cada uno de los criterios de congruencias.
5) Describe la siguiente figura. Justifica tu respuesta. Datos conocidos: ΔABC isósceles,
𝐴𝐵 ≅ 𝐴𝐶 𝐴𝑀 es la mediana.

ANEXO H
EVIDENCIAS FOTOGRÁFICAS
Imagen nº 1 Dibujando los elementos del triángulo.
Imagen nº 2 Jurado Deliberando. Imagen nº 3 Esperando el Ganador(a).
Imagen nº 4 Momento de Pregunta. Imagen nº 5 Construyendo el Ángulo.

Imagen nº 6 Jugando con el Tablero. Imagen nº 7 Construyendo los Triángulos de Fomi.
Imagen nº 8 Realizando la v de Gowin. Imagen nº 9 Buscando Parejas de Triángulos.
Imagen nº 10 Construyendo el Triángulo. Imagen nº 11 Análisis de la Demostración.

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