2° Matemática - Norma piscobamba.pdf

2
Secundaria
Matemática
Cuaderno
de trabajo
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El cuaderno de trabajo Matemática 2 de secundaria
ha sido elaborado según el plan de obra creado por
el departamento editorial del Grupo Editorial Norma
en el Perú.
Directora editorial: Andrea Viviana Saavedra Garzón
Editora de área: Maudhy Johana Tasayco Sánchez
Adaptador: Carlos Ruiz Huérfano
Editor: Javier Enrique Pacheco Ávalos
Jefe de arte: Oswaldo Palacios
Corrección de estilo: Fabrizio Tealdo Zazzali
Diseño gráfico: Equipo Editorial Norma
Diagramación: María del Pilar Jaramillo Viana, Marcela
Paulina Segovia Larrea y Lucia Estrella Verónica Terneus
Diseño de cubierta: Equipo Editorial Norma
Apoyo gráfico: Equipo Editorial Norma
Ilustraciones: Equipo Editorial Norma
Archivo fotográfico: Archivo gráfico Norma y © 2015
Shutterstock
Primera edición, mayo de 2016
Primera reimpresión, agosto de 2016
Consorcio Corporación Gráfica Navarrete S.A.,
Amauta Impresiones Comerciales S.A.C., Metrocolor S.A.,
en los talleres gráficos de METROCOLOR S.A., sito en Jr.
Los Gorriones N.º 350 - Urb. La Campiña, Chorrillos, Lima.
Tiraje: 467 940 ejemplares
Copyright © 2016
Grupo Editorial Norma S. A. C.
Av. Nicolás Ayllón 3720 Int. Z-02 Ate, Lima-Perú
Teléfono: 710 3000
Número de Proyecto Editorial: 31501031600452
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del
Perú Nº 2016-10141
ISBN Nº 978-612-02-0563-1
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro,
por cualquier medio, sin permiso escrito de la Editorial.
Impreso por:

3
Querido estudiante:
Seguramente muchas veces te has planteado las siguientes preguntas: ¿Por qué
debo aprender matemática? ¿Para qué me va a servir en mi vida cotidiana? ¿Cómo
me beneficiarán en mi proyecto de vida? Es posible que también hayas considerado
que la matemática es difícil de aprender y que la relación es únicamente con el
manejo de fórmulas y con procesos engorrosos y complejos.
Sin embargo, la matemática está presente en diferentes situaciones de nuestra vida
diaria, y aprenderla es importante porque nos ayuda a entender el mundo que nos
rodea y a dinamizar nuestra forma de actuar al emplearlas de manera adecuada y
creativa en la resolución de problemas.
Te presentamos este cuaderno de trabajo, en el que encontrarás diversas actividades
sobre situaciones cotidianas cuyo desarrollo permitirá encontrarle sentido y
significatividad a la matemática. Además, te permitirá desenvolver de manera
progresiva las capacidades de cada una de las competencias matemáticas, a través
de actividades diversas en las que podrás aplicar los conocimientos matemáticos
tratados en los diferentes capítulos del texto y lograr las competencias matemáticas
propuestas.
Con este cuaderno de trabajo estarás capacitado para plantear y resolver problemas
desarrollando diversos métodos y estrategias heurísticas que involucran buscar,
comprender e inferir información promoviendo la exploración, la experimentación, la
simulación, la explicación y los procedimientos matemáticos de manera clara y sencilla.
Para que logres dichos propósitos, recibirás el apoyo constante del profesor, quien
será el mediador de tus procesos promoviendo el análisis y la reflexión, partiendo de
situaciones significativas retadoras y desafiantes que te motiven a explorar diversos
caminos en la búsqueda de soluciones a los problemas planteados.
Este cuaderno de trabajo promoverá el desarrollo de las competencias matemáticas
cuando matematices, es decir, en el momento en que representes la realidad en
términos matemáticos. Asimismo, te ayudará a que comuniques ideas
matemáticas dándoles significatividad, a que simbolices tu realidad
y la esquematices al elaborar estrategias diversas y reconocer
que no hay un único sino diversos caminos en la solución
de un problema. Esto te motiva a que recurras a una
variedad de estrategias, que razones y argumentes
cuando demuestres cuán válido es el procedimiento
realizado. Aquí precisamente es que la matemática va
adquiriendo un nivel de profundidad y es necesario
ver qué tan válida es la estructura que se está
empleando.

4
Las competencias de Matemática
Para que los estudiantes puedan aprender a actuar de manera competente en diversos ámbitos, necesitan
afrontar reiteradamente situaciones retadoras que les exijan seleccionar, movilizar y combinar estratégicamente
las capacidades que consideren más necesarias para poder resolverlas.
A fin de que una situación significativa sea entendida como un desafío para los estudiantes, debe guardar relación
con sus intereses, con contextos personales, sociales, escolares, culturales, ambientales o propios de cada saber
específico que se constituyan en retos relevantes. Puede tratarse de situaciones reales o también simuladas, pero
que remitan a las actividades cotidianas de los estudiantes.
Dentro de este contexto, la educación y las actividades de aprendizaje deben orientarse a que los estudiantes
sepan actuar con pertinencia y eficacia en su rol de ciudadanos, lo cual involucra el ejercicio pleno de un conjunto
de competencias, capacidades y conocimientos que faciliten la comprensión, la construcción y la aplicación de la
matemática para la vida y el trabajo.
En este sentido, desarrollar competencias y capacidades implica un saber actuar de las personas de manera
consciente en una realidad, sea para resolver un problema o cumplir un objetivo, haciendo uso flexible y creativo
de los conocimientos, las habilidades y las destrezas. Las competencias propuestas para el área de Matemática son:
Competencia Capacidad
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
• Matematiza situaciones
• Comunica y representa ideas matemáticas
• Elabora y usa estrategias
• Razona y argumenta generando ideas
matemáticas
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
En este cuaderno de trabajo se abordan las siguientes competencias, en cada una de las unidades, con el propósito
que se señala.
Unidad Competencias Propósito del material presentado
1
Actúa y piensa matemáticamente en
situaciones de cantidad.
Reconocer relaciones no explícitas en problemas aditivos de
comparación e igualación con decimales, fracciones y porcentajes, y
expresarlos en un modelo.
Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de gestión de datos e
incertidumbre.
Seleccionar la medida de tendencia central apropiada para
representar un conjunto de datos al resolver problemas.
2
Emplear estrategias heurísticas al resolver problemas con números
racionales y base 10 con exponentes positivo y negativo.
situaciones de forma, movimiento y
localización.
Realizar composición de transformaciones de rotar,
ampliar y reducir, en un plano cartesiano o cuadrícula
al resolver problemas con recursos gráficos y otros.

5
3
en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio.
Hallar el enésimo término de una progresión aritmética con
números naturales.
Calcular la suma de n términos de una progresión aritmética.
localización.
Representar cuerpos en mapas o planos a escala, considerando
información que muestra posiciones en perspectiva o que contiene
la ubicación y las distancias entre objetos.
4
Relacionar cantidades y magnitudes en situaciones, y los expresa en
un modelo de aumentos y descuentos porcentuales sucesivos.
incertidumbre.
Justificar los procedimientos del trabajo estadístico realizado y la
determinación de la (s) decisión(es) para datos no agrupados y
agrupados.
5
Emplear estrategias heurísticas al resolver problemas de
inecuaciones lineales.
localización.
Calcular el perímetro y área de figuras poligonales regulares y
compuestas, triángulos y círculos, componiendo y descomponiendo
en otras figuras cuyas medidas son conocidas con recursos gráficos
y otros.
6
Emplear operaciones con polinomios y transformaciones de
equivalencia al resolver problemas de ecuaciones lineales.
localización.
Emplear características y propiedades de polígonos para construir y
reconocer prismas y pirámides.
7
Emplear gráficas, tablas que expresan ecuaciones lineales de una
incógnita para llegar a conclusiones.
localización.
Hallar el área, perímetro y el volumen de prismas y pirámides
empleando unidades de referencia (basadas en cubos),
convencionales o descomponiendo formas geométricas cuyas
medidas son conocidas, con recursos gráficos y otros.
8
Diferenciar y usar modelos basados en la proporcionalidad directa e
indirecta al plantear y resolver problemas.
incertidumbre.
Reconocer que si el valor numérico de la probabilidad de un suceso
se acerca a 1 es más probable que suceda y, por el contrario, si va
hacia 0 es menos probable.
9
Determinar el conjunto de valores que puede tomar una variable en
una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín.
localización.
Representar figuras poligonales, trazos de rectas paralelas,
perpendiculares y relacionadas a la circunferencia siguiendo
instrucciones y usando la regla y el compás.

6
Número y nombre
de la unidad
Definidas a partir
de situaciones
significativas en
diversos contextos.
Aprendizajes
esperados
Te brinda una visión
global de lo que
lograrás al final de la
unidad.
Apertura
Aquí encontrarás textos, situaciones o imágenes motivadoras relacionadas con las capacidades y competencias
que desarrollarás a lo largo de la unidad.
Estructura del
cuaderno de trabajo
Iniciemos
Te sugiere el comienzo de la ficha
reconociendo tus saberes previos.
Resolvamos
Te propone el planteamiento
de estrategias orientadas a la
resolución de problemas.
Problema tipo Pisa
Presenta un problema extraído de
la evaluación internacional.
Aquí encontrarás la información contenida en la unidad, de manera ordenada y fácil para su ubicación.
En cada unidad encontrarás fichas y talleres de matemática con la siguiente estructura:
Ficha
Aquí encontrarás la información contenida en la unidad, de manera ordenada y fácil para su ubicación.
Problemas de
traducción compleja
Presenta problemas de
más de dos etapas.
Taller
Momento inicial Momento de desarrollo
Problemas de traducción simple
Presenta problemas que necesitan
solo de conceptos y operaciones
básicas.

7
Momento final de fichas y talleres
Evaluación
Reflexiona
Facilita la reflexión del proceso para el
logro del aprendizaje esperado.
Resuelve situaciones
significativas
Presenta situaciones
significativas para favorecer el
desarrollo de las competencias
y capacidades en la ficha o taller.
Autoevaluación y coevaluación
Presenta preguntas o actividades que
favorecen la autorregulación de los
procesos.
Metacognición
Presenta actividades para la
reflexión sobre el proceso de
aprendizaje.
Evaluación
Propone actividades que
propician la reflexión
sobre los conocimientos
aprendidos a lo largo de la
unidad.
Metacognición
Presenta actividades para
promover la reflexión
sobre lo aprendido en la
unidad.
Desglosables
Te presenta
plantillas como
un recurso para
el desarrollo de
las fichas en las
unidades.
Sección desglosable
Situaciones
problemáticas realistas
Presenta problemas
abiertos.
Íconos de actividades
Actividades para realizar
en forma individual.
Actividades para realizar
en equipo.

8
Tabla de contenidos
Apertura Contenido Evaluación
Nutrición
y gastronomía 10 – 11
• Las frutas que alimentan al Perú ..........................................................................12 – 15
• La quinua de los Andes .............................................................................................16 – 19
• Compartiendo una torta de cumpleaños .....................................................20 – 23
• Una alimentación de calidad .................................................................................24 – 27
• Recetas deliciosas..........................................................................................................28 – 31
• Ingresos, compras y cambios de monedas....................................................32 – 35
• Análisis de datos en la gastronomía...................................................................36 – 39
• Beneficios de la kiwicha.............................................................................................40 – 43
• Programa Nacional
de Alimentación
Escolar ..........................44 – 45
El deporte, la salud
y la matemática 46 – 47
• El juego del ajedrez ......................................................................................................48 – 51
• Los números racionales y los deportes............................................................52 – 55
• El legado egipcio ...........................................................................................................56 – 59
• Juego de salud mental ..............................................................................................60 – 63
• Los movimientos en el nado sincronizado ...................................................64 – 67
• Escalando los Andes ....................................................................................................68 – 71
• Movimientos.....................................................................................................................72 – 75
• Rotación y traslación en disciplinas deportivas..........................................76 – 79
• Deporte
y salud ...........................80 – 81
Consumo de servicios
básicos 82 – 83
• Energía eléctrica..............................................................................................................84 – 87
• Importancia del agua..................................................................................................88 – 91
• Evolución de la telefonía ..........................................................................................92 – 95
• Centrales eólicas.............................................................................................................96 – 99
• Mapas y planos a escala........................................................................................100 – 103
• Proporcionalidad en la vida diaria .................................................................104 – 107
• Red vial del Perú .......................................................................................................108 – 111
• El proyecto Olmos ...................................................................................................112 – 115
• Los jardines
de Yanira.................116 – 117
Los números en la
economía familiar
118 – 119
• Presupuesto familiar................................................................................................120 – 123
• Importancia del ahorro..........................................................................................124 – 127
• Impuesto general a las ventas (IGV) .............................................................128 – 131
• Ganar, administrar y ahorrar...............................................................................132 – 135
• Tranquilidad financiera en el hogar...............................................................136 – 139
• Los fondos de jubilación.......................................................................................140 – 143
• Vivienda...........................................................................................................................144 – 147
• Ahorro de ingresos ..................................................................................................148 – 151
• Ahorro para la
educación..............152 – 153
Números, formas
y nuestros recursos
154 – 155
• Plataformas petrolíferas.........................................................................................156 – 159
• Perforación de pozos..............................................................................................160 – 163
• Geometría al nivel del mar..................................................................................164 – 167
• Triángulos y círculos a nuestro alrededor..................................................168 – 171
• Perforación de un pozo.........................................................................................172 – 175
• Dividiendo figuras.....................................................................................................176 – 179
• Antenas que comunican......................................................................................180 – 183
• Rectas en oleoductos.............................................................................................184 – 187
• Producción
del petróleo .........188 – 189
5
Unidad
4
Unidad
3
Unidad
2
Unidad
1
Unidad

9
Apertura Contenido Evaluación
Nuestra casa: la Tierra
190 – 191
• Ecuaciones en el medioambiente..................................................................192 – 195
• El agua: fuente de vida...........................................................................................196 – 199
• Paseo en familia..........................................................................................................200 – 203
• Reforestando................................................................................................................204 – 207
• Geometría en los volcanes .................................................................................208 – 211
• Identificando prismas.............................................................................................212 – 215
• Geometría en el desierto ....................................................................................216 – 219
• La industria del plástico en el Perú ...............................................................220 – 223
• Seguridad industrial ...............................................................................................224 – 227
• Figuras geométricas en
construcciones.... 228 – 229
Riquezas del Perú
230 - 231
• Conociendo mi país.................................................................................................232 – 235
• Museo Tumbas Reales de Sipán.......................................................................236 – 239
• Pirámides de Túcume.............................................................................................240 – 243
• Chavín de Huántar....................................................................................................244 – 247
• Observando prismas y pirámides ..................................................................248 – 251
• Tambomachay o Baños del Inca .....................................................................252 – 255
• El lago Titicaca.............................................................................................................256 – 259
• Calculando con cubos...........................................................................................260 – 263
• Piquillacta: arqueología wari..............................................................................264 – 267
• Recorriendo
el Perú ..................... 268 – 269
Matemática en
alimentación y turismo
270 - 271
• Tuna, la reina de las frutas....................................................................................272 – 275
• Platos típicos peruanos ........................................................................................276 – 279
• Fiesta del Inti Raymi.................................................................................................280 – 283
• El turismo y las fiestas costumbristas............................................................284 – 287
• Festividades peruanas............................................................................................288 – 291
• La papa, fuente de carbohidratos...................................................................292 – 295
• Festival de la Vendimia...........................................................................................296 – 299
• Probabilidad en concursos..................................................................................300 – 303
• Eventos y juegos tradicionales ........................................................................304 – 307
• Fiestas y costumbres
de nuestro país.... 308 – 309
Comunicación a través
del teléfono celular
310 - 311
• Operadores móviles.................................................................................................312 – 315
• Evolución tecnológica............................................................................................316 – 319
• Teléfonos inteligentes............................................................................................320 – 323
• Cuanto más, menos... .............................................................................................324 – 327
• Durabilidad de las baterías en los celulares..............................................328 – 331
• Tecnología, recurso educativo..........................................................................332 – 335
• Comportamiento de funciones.......................................................................336 – 339
• Tecnología y geometría.........................................................................................340 – 343
• Fondos de pantallas personalizados.............................................................344 – 347
• Redes sociales..... 348 – 349
Bibliografía / Sitios web 350 - 351
Sección desglosable 353 - 383
6
Unidad
7
Unidad
8
Unidad
9
Unidad

10
154
Uso de la tierra en Cajamarca - Altitud
Altitud
Po
rce
nta
je
de
cul
tivo
s
70
80
60
50
40
30
20
10
0
< 2400 2400 - 2800 2800 - 3200 3200 - 3600 > 3600
Cereal
Maíz
Tubérculos
Frejol
Pastos
GALLETAS DE QUINUA Y CHOCOLATE
Ingredientes:
• 1 taza de quinua cocida
• 1 taza de copos de
avena
• 1/2 taza de
matequilla
• 1/4 taza de miel
• 1 huevo
•1/2cucharadadesal
• 1/4 cucharadita de
vainilla
10
1
Unidad
Lafusióndelacocinaperuanasedebealintercambioculturalatravésdeltiempo,
en el cual destacan la inmigración española, africana, china, japonesa e italiana.
Entre los alimentos más importantes que usa nuestra gastronomía están la
quinua, el maíz morado, diversidad de pescados, frutas y otros alimentos; estos
se deben cultivar en ciertas condiciones de acuerdo con la altura sobre el nivel
del mar a la que se encuentre el terreno en que se hará el cultivo. Por ejemplo,
en el gráfico se muestra el porcentaje de cultivos en la región Cajamarca, de
acuerdo con la variación de la altura.
La quinua es uno de los ingredientes que se usan para elaborar diversos platos;
por ejemplo, postres como galletas de quinua y chocolate.
El consumo de alimentos como la quinua, la kiwicha, el sacha inchi y el camu
camu son valorados por los peruanos.
¿Cuáleslaalturaidóneaparasembrarelfrejol?¿Conquéporcentajeserepresenta
su producción a dicha altura? ¿Cómo se pueden determinar las condiciones de
altitud para el cultivo de la quinua y de otros cereales?
¿Qué fracción del total de tazas empleadas en la receta de galletas corresponden
a la quinua?
¿Cómo promover una alimentación saludable?, ¿cómo recoger las opiniones de
las personas sobre un alimento?
Nutrición
y gastronomía

11
Aprendizajes esperados
Competencia Capacidad Indicadores
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de cantidad
Matematiza situaciones
•
• Reconoce relaciones no explícitas en problemas aditivos
de comparación e igualación con decimales, fracciones
y porcentajes, y los expresa en un modelo.
•
• Usa modelos aditivos que expresan soluciones con
decimales, fracciones y porcentajes al plantear y resolver
problemas.
•
• Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió
resolver el problema.
Comunica y representa
ideas matemáticas
•
• Expresa que siempre es posible encontrar un número
decimal o fraccionario entre otros dos.
•
• Expresa la equivalencia de números racionales
(fracciones, decimales, potencia de base 10 y
porcentaje) con soporte concreto, gráfico y otros.
Elabora y usa estrategias
•
• Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación
y resolución de problemas.
•
• Emplea procedimientos para resolver problemas
relacionados con fracciones mixtas, heterogéneas y
decimales.
•
• Emplea procedimientos de simplificación de fracciones
al resolver problemas.
•
• Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas
que combinen cuatro operaciones con decimales,
fracciones y porcentajes.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Propone conjeturas referidas a la noción de densidad,
propiedades y relaciones de orden en ℚ.
•
• Justifica cuando un número racional en su expresión
fraccionaria es mayor que otro.
•
• Justifica que dos números racionales son simétricos
cuando tienen el mismo valor absoluto.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de gestión de datos
e incertidumbre
•
ideas matemáticas
•
• Expresa información y el propósito de cada una de las
medidas de tendencia central, para datos no agrupados.
•
• Expresa información y el propósito del rango con la
media, para datos no agrupados.
•
• Selecciona la medida de tendencia central apropiada para
representar un conjunto de datos al resolver problemas.
•
• Determina el rango o recorrido de una variable y la usa
como una medida de dispersión.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Argumenta procedimientos para hallar la media,
mediana y moda de datos agrupados; determina la
medida más representativa de un conjunto de datos y
su importancia en la toma de decisiones.
•
• Justifica el proceso de obtención de frecuencias de datos
generados a partir de un proceso probabilístico no uniforme.

12
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Qué ingredientes utilizas
para preparar un jugo de
frutas?
•
• De acuerdo con los
ingredientes, ¿crees que
esta bebida puede ser parte
de un buen desayuno?
•
• ¿Sabes qué cantidad de
fruta se necesita para
preparar un jugo para dos
personas?
Las frutas que alimentan al Perú
Cantidad
En distintos establecimientos donde ofrecen jugos es común encontrar,
dentro de la carta, una bebida refrescante y nutritiva llamada surtido.
Para prepararla se necesita:
•
• 2
1
2
plátanos dulces en rodajas.
•
• 1 papaya madura en trozos.
•
• 3 rodajas de piña en cubos.
•
•
1
5
kg de betarraga.
•
• 5 o 6 fresas medianas.
•
• Miel al gusto.
Para su elaboración debemos hacer lo siguiente:
Verter los ingredientes en el vaso de la licuadora y licuarlos hasta que
estén bien triturados. Probar con una cuchara si está a punto el dulce o
agregarle más miel según el gusto de la persona. Se le puede agregar un
par de cubos de hielo para que sea más refrescante. Lo mejor es beberlo
en menos de 4 horas, pues el sabor cambiaría.
1
Responde las siguientes preguntas.
•
• ¿Qué tipos de números identificas en la lista de ingredientes?
•
• Organiza los números que observas según el conjunto numérico al
que pertenezcan.
•
• ¿Dequémodoseleenlasexpresiones“2
1
2
plátanos”y“
1
5
kgdebetarraga”?
Cuenta tu experiencia

13

Resolvamos: Laboratorio matemático
1. Trabajo con material manipulable
José, para su desayuno, desea preparar una ensalada de frutas. El ingrediente principal
de su ensalada es la manzana. Veamos qué procedimiento sigue:
•
• Corta la manzana por la mitad y una de las mitades la vuelve a cortar por la mitad.
•
• Divide en dos una de las porciones más pequeñas.
Toma como referencia una manzana y realiza el procedimiento hecho por José. Luego,
grafica lo realizado en la siguiente tabla:
Primer corte Segundo corte Tercer corte
2. Incorporo lenguaje matemático a mis acciones
•
• Completa la siguiente tabla.
Tamaño de porción de la manzana Partes de la manzana (en fracciones) En palabras
Grande
Mediana
Pequeña
1
8
Un octavo
•
• Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones.
1
2
;
1
4
;
3
8
; 1
1;
2
4
;
1
4
;
3
4
1
2
;
1
3
;
3
8
a. b. c.
3. Expreso mis ideas
•
• Discute con tu compañero(a) y escribe las operaciones matemáticas que hicieron para repartir en partes
iguales los dos trozos de manzana.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Cómo hallarías una fracción que se encuentra entre dos fracciones?
_______________________________________________________________________________________

14

•
• Encuentra una fracción que esté entre las siguientes:
a.
a.
1
3
=
b.
3
8
=
c.
d.
b.
1
3
1
3
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
4. Formulo expresiones simbólicas
•
• Representa con un gráfico las siguientes situaciones:
–
– Un cuarto de manzana.
–
– La fracción de manzana pequeña.
–
– La fracción de manzana grande.
•
• Establece un proceso matemático para identificar quién comió mayor cantidad de manzana.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• Dibuja una recta numérica con la ayuda de una hoja milimetrada. Ubica las siguientes fracciones y pégalas
en frente de cada fracción.
•
• Representa en decimal y en porcentaje las siguientes fracciones:
a.
1
3
b.
3
8
c. 3
4
c. 3
4
=
d.
1
2
=
1
5

15

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué conocimientos nuevos adquirí en esta
actividad?
•
• ¿En qué aplicaría estos nuevos conocimientos
en mi vida diaria?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades tuviste al realizar las actividades?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te facilitó utilizar papel milimetrado para
representar las fracciones?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué situaciones has utilizado gráficos para
resolver problemas?
________________________________________
________________________________________
Realiza las siguientes actividades
1. Divide una manzana en partes iguales; pide a un
amigo que realice lo mismo pero con diferentes
cortes; brinda una parte a tus compañeros y
cómete el resto.
2. Escribe en una hoja la parte que cada uno consumió,
lo que regalaste y su equivalente en porcentaje
y en decimal.
3. Elabora una situación problema para que puedas
expresar como fracción, decimal y porcentaje.
•
• Representa en una hoja de papel milimetrado y en una sola recta numérica las fracciones del ejercicio ante-
rior; discute con tu compañero(a) y escribe las dificultades con las cuales te encontraste para realizar la tarea.
–
– Pega aquí tu recta numérica.
–
– ¿Qué dificultades se presentaron?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Relaciono y comparo decimales,
fracciones y porcentajes, y los expreso
en un modelo.
Represento y ubico fracciones en una
recta numérica.
Resuelvo problemas fracciones.
Siempre puedo encontrar una fracción
entre otras dos.
Coevaluación
Realizamos el trabajo en equipo.
Analizamos las ideas de manera crítica
y constructiva.

16
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Cómo escribes la altura que se encuentra sobre el nivel del mar, y la
altura que se encuentra debajo del nivel del mar?
•
• Si una planta de quinua mide 2,5 m, y su raíz, 0,5 m, ¿qué relación existe
entre la altura de la planta y la profundidad que alcanza la raíz?
•
• ¿Cuánto mide en total la planta de quinua si la parte sobre el suelo
mide 2 m, y el largo de su raíz es de
2
3
m?
2
•
• ¿En qué tipos de
preparación se utiliza la
quinua?
•
• ¿Se podría cultivar la quinua
en una altitud mayor de los
4000 m?
La quinua se cultiva en los Andes peruanos, bolivianos, ecuatorianos,
chilenos y colombianos desde hace unos 5000 años. Al igual que la papa,
fue uno de los principales alimentos de los pueblos andinos preincaicos
e incaicos. Se piensa que en el pasado también se empleó para usos
cosméticos.
Crecedesdeelniveldelmarhastalos4000mdealtitudenlosAndes,aunque
comúnmente la encontramos a partir de los 2500 m. s. n. m. La planta de
quinua alcanza una altura de 1 a 3 m y su raíz, debajo del nivel del suelo,
puede variar desde unos cuantos centímetros hasta llegar o sobrepasar
el metro de longitud.
La quinua de los Andes
Cantidad

17

Resolvamos: El juego
1. Exploro las reglas y condiciones del juego
•
• Recorta las 12 fichas de recortables de la página 373.
•
• Explora las fichas:
–
– ¿Qué datos identificas?
–
– ¿Qué juego propones?
–
– ¿Qué regla tendría tu juego?
2. Comprendo las características del juego
•
• Jugadores: formar equipos de 4 estudiantes.
•
• Materiales para cada equipo.
–
– Lapiceros.
–
– Cronómetro.
–
– Fichas sobre los valores nutritivos y poducción de quinua.
–
– Tablero de juego, en el que debe presentarse el siguiente esquema, con 10 o 12 filas.
Número
racional
Se lee Opuesto
Lectura
del
opuesto
Suma del
número
racional y
su opuesto
Distancia
del número
racional
al cero
Distancia
del
opuesto
al cero
Dibujo en
la recta
numérica
Puntaje
total
•
• Normas del juego:
–
– Un jugador saca una ficha de la bolsa y la pone boca arriba.
–
– Los jugadores inmediatamente tienen que completar todas las casillas, que son: número racional (el
que salió en la ficha); cómo se lee; su opuesto; cómo se lee su opuesto; suma del número racional y su
opuesto; distancia del número racional al cero; distancia del opuesto al cero; dibujo en la recta numé-
rica, puntaje total.
–
– El primer equipo que finalice dice "pare" y cuenta 20 segundos; pasado ese tiempo todo el salón deja
de escribir.
–
– Una vez terminada la ronda se revisa la puntuación: 2 puntos si es correcta, 0 si no hay respuesta
y –2 puntos si es errónea.
–
– Se termina la partida una vez completada la plantilla.
–
– Gana la partida el equipo que ha conseguido mayor puntuación.

18

3. Reconozco relaciones matemáticas en el juego
•
• Luego de realizado el juego, responde las siguientes preguntas:
–
– ¿A qué juego se parece el que acabaste de jugar?
________________________________________________________________________________
–
– ¿Cuál es la diferencia entre este juego y el que tú conoces?
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
–
– ¿Lograron obtener un buen puntaje? ¿Por qué?
________________________________________________________________________________
–
– ¿Qué otro tema matemático puedes trabajar con esta estrategia de juego?
________________________________________________________________________________
4. Expreso de forma esquemática
•
• Completa la tabla y comprueba si seguiste la estrategia del juego correctamente.
Número
racional
Se lee Opuesto
Lectura
del
opuesto
Suma del
número
racional y
suopuesto
Distancia
delnúmero
racional
al cero
Distancia
del
opuesto
al cero
Dibujo en
la recta
numérica
Puntaje
total
−
1
2
Menos un
medio
−
1
2
Un medio −
1
2
−
1
2
1
2
0
–
5
3
Cinco
tercios
–
5
3
0 –
5
3
5
3
5
3
–
1
2
3
Un entero
dos tercios
Menos un
entero dos
tercios
0 1
2
3
0
–
2
3
–
2
3
0 –
2
3
–
2
3
2
3
– 0
–
3
10
Tres
décimos
–
3
10
Menos tres
décimos
–
3
10
3
10
0
5. Describo usando la matemática
•
• Completa.
–
– El valor absoluto de un número siempre es _______________________________________________
–
– El valor ________________________ de un número es igual en un número positivo y en un número
negativo.
–
– El valor absoluto del opuesto de un número positivo es un número ________________________ .

19

Finalicemos
Metacognición
•
actividad?
•
• ¿En qué situaciones cotidianas utilizaría el valor
absoluto de un número?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades tuviste con el desarrollo de la
actividad? ¿Cómo las solucionaste?
________________________________________
•
• Reflexiona y escribe verdadero (v) o falso (f) con
respecto a las siguientes afirmaciones.
•
• El valor absoluto de un número racional
|a/b| es a/b y, el valor absoluto de un
número racional |-a/b| es a/b.
•
• En la recta numérica, la distancia del
valor absoluto de los números racionales
|a/b| y |–a/b| al origen es la misma.
•
• En la recta numérica, cuando la distancia
al origen entre dos números racionales
de igual medida pero con diferente
signo es igual, ¿existe una simetría?
Realiza la siguiente actividad
1. En una hoja de papel milimetrado grafica
una recta numérica, y con tus compañeros(as)
representa el valor absoluto de siete quintos y
menos siete quintos y, midiendo la longitud de las
cuadrículas, comprueba la igualdad de distancias
con respecto al origen del valor absoluto de los
números dados.
6. Expongo lo encontrado
•
• Luego de haber jugado escribe la definición de:
–
– Valor absoluto: ____________________________________________________________________
–
– Se lo simboliza: ____________________________________________________________________
–
– Escribe el valor absoluto de los siguientes números racionales:
a. =
2
3
b. =
–
2
3
c. =
5
4
d. =
–
5
4
e.
f.
g.
h.
–
7
4
7
4
–
15
7
15
7
=
=
=
=
–
7
4
7
4
–
15
7
15
7
=
=
=
=
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Represento el valor absoluto de los
números racionales dados.
Determino que la distancia del valor
absoluto del número racional al origen
es la misma.
Relaciono la igualdad de la distancia
del valor absoluto del número racional
con la simetría.
Coevaluación
Argumentamos ideas adecuadamente
frente al equipo.
Se tomaron decisiones en equipo de
forma asertiva.

20
Ficha
Iniciemos
•
• El tipo de partición propuesto en la imagen, ¿divide al total en partes
iguales?
•
• ¿A qué fracción representa cada porción de la torta?
•
• ¿Es posible determinar la fracción que corresponde al centro de la
torta? Exprésalo numéricamente.
3
•
• ¿Por qué los cortes que
se realizan para una torta
circular no son los mismos
que se utilizan para una
torta rectangular?
•
• Cuando realizas una
repartición, ¿las partes son
iguales?
Las tortas cumpleañeras no necesariamente se cortan de manera diametral
ni radial, pues existen varios métodos para maximizar la cantidad de
porciones repartidas, pensando, incluso, en la presentación. Uno de ellos
consiste en hacer primero un círculo central, para luego cortar las tajadas.
Al partir de esta manera, se pueden encontrar muchas ventajas:
•
• Salen más tajadas.
•
• Las tajadas son más estables porque no hay puntas que se rompan
como sucede al cortar como cuñas.
•
• Cada persona puede indicar qué tan grueso quiere su pedazo, a
diferencia de los cortes diametrales.
•
• El cumpleañero se guarda el círculo central para poder disfrutarlo al
día siguiente.
Compartiendo una torta
de cumpleaños
Cantidad
Centro de la torta

21

Para su cumpleaños, María invita a cuatro amigos. Ella prepara una torta de forma rectángular. Si quiere
compartir la torta con sus amigos en partes iguales, ¿de qué forma realizará los cortes?
Ayuda a realizar la partición de la torta, para lo cual haz uso de una hoja milimetrada. Traza un rectángulo
de 5 cm por 2 cm y divídelo en 5 partes iguales. Determina el número de milímetros cuadrados de las varias
partes del rectángulo y represéntalo como fracción decimal, porcentaje y fracción.
•
• Pega aquí tu rectángulo.
•
Números de
porciones
Número de
cuadrados
Fracción decimal Decimal Porcentaje
1 20
2 40 %
3
60
100
4 0,8
5 100 %
•
• Escribe en palabras la tabla de la sección anterior.
Números de
porciones
Número de
cuadrados
Fracción decimal Decimal Porcentaje
Uno
Veinte milímetros
cuadrados
Dos
Cuarenta por
ciento
Tres
Sesenta
centésimos
Cuatro Ocho décimos
Cinco Cien por ciento

22

•
• Responde:
–
– Escribe en palabras los porcentajes
correspondientes:
a. 0,3 ___________________________
b. 3
4
___________________________
–
– Escribe en palabras las fracciones
correspondientes:
a. 35 % _________________________
b. 0,2 __________________________
•
• Dialoga con tus compañeros(as) sobre las siguientes situaciones y escribe los resultados.
–
– La estrategia adecuada para expresar un decimal en fracción.
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
–
– La estrategia adecuada para expresar un decimal en porcentaje.
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
–
– La estrategia adecuada para expresar un porcentaje en fracción.
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
–
– La estrategia adecuada para expresar un porcentaje en decimal.
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
–
– La estrategia adecuada para expresar una fracción en decimal.
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
–
– La estrategia adecuada para expresar una fracción en porcentaje.
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
•
• Representa gráficamente cada situación.
–
– El 40 % de la barra.
–
– El 25 % de la barra.

23

Finalicemos
Metacognición
•
actividad?
•
en mi vida diaria?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades encontraste en el proceso de
resolución del problema?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te sirvió utilizar papel milimetrado para entender
la relación entre decimal, porcentaje y fracción?
________________________________________
________________________________________
•
resolver problemas?
________________________________________
________________________________________
1. Calcula el área de tu dormitorio y el área que
ocupa tu cama.
2. Expresa como fracción, decimal y porcentaje, el
área que ocupa tu cama con respecto al área de tu
dormitorio.
3. Elabora una situación problemática para que puedas
expresar como fracción, decimal y porcentaje.
4. Con la ayuda del desglosable 5 de la página 361,
identifica las relaciones entre porcentajes y
fracciones, jugando con el dominó.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Expreso la equivalencia de fracciones
decimales y porcentajes con gráficos
y otros.
Compruebo si el método utilizado me
permite resolver el problema.
Escribo correctamente decimales,
fracciones y porcentajes.
Convierto fracciones y decimales
a porcentajes.
Coevaluación
y constructiva.

•
• Dibuja un pastel y divídelo en 8 porciones iguales, luego responde.
–
– ¿Qué porcentaje representan 3 porciones? _______________________________________________
–
– ¿Cuántas porciones equivalen al 75 %? __________________________________________________
–
– ¿Cómo expresas en fracción 6 porciones del total? ________________________________________

24
Ficha
Iniciemos
4
•
• ¿Qué alimentos consumes
en el desayuno?
•
• ¿Qué tipos de vegetales
consumes?
•
• En tu dieta diaria, ¿incluyes
el consumo de frutas?
•
• ¿Qué fracciones representan la cantidad de cada nutriente en el
desayuno?
•
• ¿Cuáleslafracciónquerepresentaeltotaldecarbohidratosconsumidos
en la cena?
•
• ¿Cuál es la fracción que representa los vegetales o frutas consumidas
en el almuerzo?
La pirámide nutricional y las dosis recomendadas por cada nutriente, nos
especifica la cantidad de estos que deberíamos ingerir a diario para una
sana y adecuada alimentación. Sin embargo, en la mayoría de los casos no
nos guiamos por tales reglas, y terminamos por consumir alimentos poco
saludables.
En los gráficos se muestra la proporción que debe manejarse en una dieta
diaria de calidad.
Cantidad
Una alimentación de calidad
Desayuno Almuerzo Cena
Proteínas
Carbohidratos
Vegetales
o frutas
Vegetales
o frutas
Vegetales
o frutas
Carbohidratos
Proteínas
Proteínas
Carbohidratos

25

Resolvamos: Juego
•
• Observa las tarjetas referidas a los alimentos y su valor nutritivo. Luego, responde las preguntas, para lo cual
deberás ponerte de acuerdo con tu compañero(a).
–
– ¿Qué características tienen las tarjetas?
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
–
– ¿Qué reglas plantearías para jugar con estas tarjetas?
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
•
• Por c/100 g
Kcal. 63
Proteínas: 16/5
•
• Por c/100 g
Kcal. 327
Proteínas: 2
•
• Por c/100 g
Kcal. 45
Proteínas: 0,2
•
• Por c/100 g
Kcal. 156
Proteínas: 13
•
• Por c/100 g
Kcal. 19
Proteínas: 1
4
5
•
• Por c/100 g
Kcal. 10,4
Proteínas: 0,7
•
• Por c/100 g
Kcal. 398
Proteínas: 14,5
•
• Por c/100 g
Kcal. 270
Proteínas: 8,1
•
• Por c/100 g
Kcal. 5
Proteínas: 0,3
•
• Por c/100 g
Kcal. 288
Proteínas: 24
1
5
•
• Por c/100 g
Kcal. 123
Proteínas: 2,2
•
• Por c/100 g
Kcal. 118
Proteínas: 2
4
5
•
• Por c/100 g
Kcal. 113
Proteínas: 19,5
•
• Por c/100 g
Kcal. 41
Proteínas: 0,7
•
• Por c/100 g
Kcal. 130
Proteínas: 19,6

26

•
• El juego con las tarjetas se realiza entre dos personas. Cada participante selecciona una tarjeta y registra los
datos de esta en la siguiente tabla. Solo se elegirán cuatro tarjetas por persona:
Alimentos
Cantidad de
porciones
Calorías Proteínas
Escribe de
otra forma la
cantidad de
proteínas
Desayuno
Total
•
• Gana el juego quien llega a completar las calorías necesarias para un niño de 12 a 14 años de edad, es decir,
2500 por día o una cantidad aproximada a esta. Sin embargo, no solo se trata de completar o aproximarse
a la cantidad de calorías, sino también a la de proteínas que debe consumir un niño del rango de edad
referida, la cual es de 0,8 g por cada kilogramo de peso del cuerpo.
Alimentos
Cantidad de
porciones
Calorías Proteínas
Escribe de
otra forma la
cantidad de
proteínas
Desayuno
Almuerzo
Cena
Total
•
• Utiliza gráficos para representar las cantidades de uno de los alimentos seleccionados en el almuerzo.

27

Finalicemos
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades encontraste al usar el material?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te sirvieron los rectángulos de cartulina para
entender la clasificación de fracciones?
________________________________________
________________________________________
•
• Con el material utilizado, ¿cuándo obtendrías
fracciones decimales y por qué?
________________________________________
________________________________________
1. Toma 8 alambres de 20 cm y representa varias
fracciones.
2. En tu salón de clase, pregunta los gustos
musicales; por ejemplo, cumbia, huaino, rock o
pop. Cuenta a tus compañeros(as) que tienen
estos gustos musicales y expresa como fracción,
decimal y porcentaje.
3. Elabora una situación problemática para que
puedas expresar como fracción, decimal y
porcentaje.

Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Encuentro equivalencias de fracciones
en su forma decimal y viceversa.
Realizo la clasificación de fracciones.
Expreso una fracción impropia en
fracción mixta y viceversa.
Explico qué es una fracción impropia y
qué es una fracción decimal.
Realizo operaciones con fracciones
y decimales.
Coevaluación
Analizamos las ideas que se generan
con el material de manera crítica y
constructiva.
•
• Organiza en la siguiente tabla las cantidades de las proteínas de los alimentos referidos al almuerzo:
Cantidad Fracción impropia Fracción mixta Fracción decimal
Almuerzo
•
• Completa las frases de acuerdo con el tipo de fracciones.
–
– Una fracción impropia es ____________________________________________________________
–
– Una fracción decimal es ____________________________________________________________
Metacognición
•
• ¿Qué conocimientos nuevos adquirí en el
desarrollo de las actividades?
•
• ¿En qué otras situaciones cotidianas usaría las
fracciones?

28
Ficha

Taller matemático
1. Concurso (Problemas de traducción simple)
El concurso Dulce Perú Sur se realizó en una plaza de la
ciudad surandina de Cusco, al cual asistieron varios
participantes. En este concurso se impuso la categoría
"Amas de casa", y la ganadora fue aquella que preparó unos
deliciosos picarones. El certamen, en el que compitieron
100 participantes de varias regiones del Perú, tuvo gran
acogida tanto por parte del público cusqueño como de los
turistas. Si en la categoría "Amas de casa" participaron 25
personas, ¿qué fracción del concurso representaban? ¿Qué
fracción de su categoría representa la persona que ganó?
Cantidad
Recetas deliciosas
•
• Representa gráficamente la fracción que corresponde a la categoría "Amas de casa" con respecto a todos
los participantes.
•
• Escribe la fracción reducida.
•
• Escribe la fracción que corresponde a la ganadora con respecto a su categoría.
2. Pastel geométrico (Problemas de traducción compleja)
Lorena preparó un pastel cuadrangular y lo partió como se muestra en la
figura. ¿Qué parte del pastel representa cada pieza formada? Si repartió
a los asistentes 8/16 del pastel, ¿qué partes sobraron? Represéntalo
mediante una fracción.
5

29

Comprendo el problema
•
• ¿En cuántas partes se cortó el pastel?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuántas partes se repartieron a los asistentes?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué figuras conforman el pastel? Dibújalas por separado sin repetirlas.
Diseño una estrategia
•
• Recorta el tangram de la página 359; manipúlalo para diseñar la estrategia.
•
• Emplea las fichas del tangram; responde y grafica.
a. El cuadrado rojo, ¿a qué figuras del
tangram equivale?
b. El triángulo verde, ¿a qué figuras del tangram
equivale?
c. El paralelogramo, ¿a qué figuras del tangram equivale?
d. El triángulo azul, ¿a qué figuras del tangram equivale? ¿Cuántas equivalencias encontraste?
e. Si el pastel representado por el tangram se corta en triángulos como los del color morado o naranja,
¿a cuántos pedazos de estos equivale el pastel? Representa numéricamente tres partes.

30

Aplico la estrategia
•
• Presenta actividades de equivalencias.
•
• Tomando en cuenta la información anterior completa la siguiente tabla.
Partes del tangram
Partes que representa en relación a
Triángulos pequeños Tangram
Cuadrado rojo
Triángulo verde
Triángulo azul Un cuarto
Paralelogramo
•
• Escribe la fracción simplificada que representa los siguientes casos, en relación con el tangram:
–
– Dos triángulos pequeños.
–
– El cuadrado y el triángulo verde juntos.
–
– El paralelogramo y el cuadrado juntos.
–
– Triángulos grandes, los pequeños y el mediano juntos.
Transfiero lo aprendido
•
• Utilizando el tangram, analiza qué partes del pastel quedaron luego de repartirlo.
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
3. Armando un gato (Situaciones problemáticas realistas)
•
• Forma la siguiente figura con tu tangram y escribe la fracción que corresponde a cada parte.
a. Las orejas y la cola
b. La cola
c. El cuerpo
d. Una oreja y la cola
e. La mitad de la cola
y una oreja

31

Finalicemos

Metacognición
•
actividad?
•
en mi vida diaria?
Reflexiona
•
• ¿Qué proporcionan los postres al cuerpo?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Qué te gusta más del tangram?
________________________________________
________________________________________
•
resolver problemas?
________________________________________
________________________________________
1. Dibuja el tangram en una hoja de papel
milimetrado.
2. Calcula el área en milímetros cuadrados de cada
una de las figuras del tangram.
3. Escribe en cada una de las figuras del tangram
una fracción. En el numerador escribe el área
calculada, en el denominador el área total del
tangram y simplifica.
4. Con ayuda del desglosable 4 de la página 359,
calcula qué fracción representa la cabeza de toda
la figura en cada caso.
•
• Forma con tu tangram la siguiente figura y colorea únicamente las figuras que representen cinco octavos
del total.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Simplifico fracciones.
Empleo procedimientos para
simplificar fracciones.
Resuelvo problemas usando la
simplificación de fracciones.
Simplifico fracciones en
representaciones gráficas.
Coevaluación
Ayudamos a otros compañeros a
resolver los problemas.

32
Ficha

Taller matemático
1. A. El tipo de cambio (Problemas de traducción simple)
Mei-Ling, ciudadana de Singapur, hizo los preparativos para ir a Sudáfrica como estudiante de intercambio durante
tres meses. Necesitó cambiar dólares de Singapur (SGD) en rands sudafricanos (ZAR).
•
• Pregunta 1
Mei-Ling se enteró de que el tipo de cambio entre el dólar de Singapur y el rand sudafricano era de
1 SGD = 4,2 ZAR
Mei-Ling cambió 3000 dólares de Singapur en rands sudafricanos con este tipo de cambio. ¿Cuánto dinero
recibió Mei-Ling en rands sudafricanos?
•
• Pregunta 2
Al volver a Singapur, tres meses después, a Mei-Ling le quedaron 3900 ZAR. Los cambió en dólares de Singapur,
dándose cuenta de que el tipo de cambio había variado a:
1 SGD = 4,0 ZAR
¿Cuánto dinero recibió en dólares de Singapur?
•
• Pregunta 3
Al cabo de estos tres meses el tipo de cambio había variado de 4,2 a 4,0 ZAR por 1 SGD.
¿Favoreció a Mei-Ling que el tipo de cambio fuese de 4,0 ZAR en lugar de 4,2 ZAR cuando cambió los rands
sudafricanos que le quedaban por dólares de Singapur? Da una explicación que justifique tu respuesta.
Liberado de http://www.mecd.gob.es/inee
Cantidad
Ingresos, compras y cambios
de monedas
6

33

B. Situaciones cotidianas
2008 2009 2010 2011 2012
Bolivia
Ecuador
Perú
50000
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
•
• Responde las situaciones planteadas:
–
– Tomás recibe mensualmente un salario de S/ 1459,58. Si gasta S/ 700 en alimentación y vivienda,
S/ 358,50 en salud y educación, ¿cuánto le queda de su salario?
___________________________________________________________________________________
–
– Martha y tres amigas comparten una pizza que está dividida en 12 pedazos. ¿Qué parte de la pizza lleva
Martha a su hermano si ella y cada una de sus amigas comieron 2 pedazos?
___________________________________________________________________________________
–
– Ricardo compra algunas verduras que se detallan en el siguiente cuadro. Llénalo y verifica si le alcanza
comprar todo con S/ 20.
Verdura Unidad de medida Precio unitario Cantidad Total
Zanahoria kg 0,80 2
Betarraga atado 1,00 2
Rábano atado 1,00 5
Pimiento unidad 0,60 5
Apio unidad 0,80 4
Espinaca kg 2,00 2
Total
_________________________________________________________________________________
•
• En el siguiente gráfico se muestra a los tres principales países productores de quinua en el mundo; la
producción es en toneladas. Observa y contesta.
–
– ¿Cuál es el país que produce más
quinua?
_______________________________
–
– ¿Cuántas toneladas se produjeron
en el 2010?
_______________________________
–
– ¿Qué porcentaje de la producción
del 2010 le corresponde al Perú?
_______________________________
–
– ¿Qué porcentaje de la producción
del 2010 le corresponde a Bolivia?
_______________________________
Año
Producción
(toneladas)
2008 2009 2010 2011 2012
Bolivia 27 169 34 156 36 106 38 257 37 500
Ecuador 741 800 897 816 800
Perú 29 867 39 397 41 079 41 182 44 210

34

–
– ¿Qué porcentaje de la producción del 2010 le corresponde a Ecuador?________________________
–
– ¿Cuántas toneladas produjo Bolivia en los 5 años?_________________________________________
–
– ¿En qué año el Perú produjo la mayor cantidad de quinua?__________________________________
•
• Para controlar la nutrición de un equipo de estudiantes se realizaron mediciones de la talla según su edad.
El siguiente cuadro muestra los resultados de las mediciones con los promedios de tallas de los estudiantes.
Observa y contesta.
Edad Talla promedio en niñas Talla promedio en niños
9 años 132,4 cm 131,7 cm
10 años 138,1 cm 136,5 cm
11 años 142,9 cm 141,5 cm
12 años 149,1 cm 146,2 cm
13 años 154,1 cm 156,1 cm
14 años 157,8 cm 160,9 cm
–
– ¿Cuál es la diferencia de talla entre una niña de 9 y 13 años?_________________________________
–
– ¿Cuál es el promedio de tallas entre los niños de 9 a 11 años? _________________________________
–
– Segúnlatabla,¿cuántosmilímetrosmediráunaniñade12años?_______________________________
–
– ¿Qué diferencia de talla existe entre la medida de un niño de 14 años y una niña de 10?
_________________________________
2. Alimentación y venta (Problemas de traducción compleja)
•
• El señor López separa cierta cantidad de dinero para su alimentación durante las tres semanas que pasará
fuera de su casa. La primera semana gasta los dos quintos del total, y la segunda semana gastará la mitad
de lo que le sobre. Si para la tercera semana le queda S/ 60, ¿cuánto separó para las tres semanas?

35

Finalicemos
Metacognición
•
actividad?
•
en mi vida diaria?
Reflexiona
•
• ¿Qué sección de problemas te causó mayor
dificultad?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Qué consideras que es necesario para resolver
problemas?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Cuáles son las razones que te motivarían para
realizar un emprendimiento?
________________________________________
________________________________________
1. Escribe en tu cuaderno cinco alimentos que
consumes con frecuencia.
2. Elabora una tabla sobre el valor nutricional de los
alimentos escogidos.
3. Sustituye uno de los alimentos que consumes
con frecuencia por otro de mayor valor nutricional.
3. Compras en el supermercado (Situaciones problemáticas realistas)
•
• Fernanda realiza las siguientes compras en un supermercado para preparar una comida: zanahorias 3 kg,
papas 20 kg, manzana 3
1
2
kg, piña 1
1
4
kg, mandarina 3 kg y papaya 1
3
4
kg. Los precios se muestran en la
tabla. ¿Cuánto debe pagar Fernanda por toda la compra? Justifica tu respuesta.
Alimento Precio por kg
Zanahoria S/ 1,78
Papa S/ 1,90
Manzana S/ 2,20
Piña S/ 2,55
Mandarina S/ 2,12
Papaya S/ 1,43
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Resuelvo problemas con las cuatro
operaciones con decimales y
fracciones.
Utilizo estrategias heurísticas para
resolver problemas.
Reconozco errores en las
argumentaciones.
Coevaluación
Completamos todas las tareas.
Atendemos a las indicaciones del
profesor.

36
Ficha

Taller matemático
7 Análisis de datos en la gastronomía
Gestión de datos e incertidumbre
•
• ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
_________________________________________
•
• ¿Qué plato es el que gusta más?
_________________________________________
1. A. Porciones (Problemas de traducción simple)
En un restaurante se preparan 25 platos. La porción media de cada plato es de 455 gramos.
•
• Pregunta 1
Explica cómo se calcula la porción media.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Pregunta 2
Rodea con un círculo Verdadero o Falso según corresponda para cada una de las siguientes afirmaciones.
Afirmación Verdadero / Falso
La porción de la mayoría de los platos es de 455 gramos. Verdadero / Falso
Si se ordenan los platos, del de menor cantidad al de mayor cantidad, entonces el plato
que ocupa la posición central tiene que ser igual a 455 gramos.
Verdadero / Falso
La mitad de los platos deben tener menos de 455 gramos y la otra mitad más de
455 gramos.
Verdadero / Falso
Si la porción de uno de los platos es de 457 gramos, tiene que haber otro plato con una
porción de 453 gramos.
Verdadero / Falso
•
• Pregunta 3
Se encontró un error en la medida de la porción de uno de los platos: era de 465 gramos en lugar de 440
gramos. ¿Cuál es la porción media correcta de los platos preparados?
a. 454 gramos b. 456 gramos c. 458 gramos d. 460 gramos e. 465 gramos
B. Comida típica preferida
•
• Observa el gráfico de barras y responde las siguientes preguntas.
14
12
10
8
6
4
2
Personas
Comida típica
Cebiche Causa Ají de
gallina
Caldo de
carnero
Menestrón
N.
o
de
personas
9
10
14
11
2

37

2. Porción de papas (Problemas de traducción compleja)
En un restaurante de comida típica se revisó el peso, en kilogramos, de 50 porciones de papa durante un mes y se
obtuvieron los resultados registrados de la siguiente manera:
3 3 3,3 2,5 2,6 4,5 3,5 3,5 4 4
3 3,3 3,4 3,6 3,7 3,2 3,3 3,4 3 3
3,9 3,7 3,5 3,1 3,1 3,2 4,3 4,2 4 4
2,7 2,8 2,9 3,4 3,2 3,1 2,5 3,3 3 3
3,6 3,8 3,5 3,1 3,2 4,1 4,2 3,6 3,9 3,2
•
• ¿Los datos registrados corresponden a la población o a una muestra?
_______________________________________________________________________________________
•
• Si un kilogramo es aproximadamente igual a 2,2 libras, ¿cuántas porciones tienen más de 8 libras?
_______________________________________________________________________________________
•
• Representa en un gráfico de barras la información recogida.
•
• ¿Qué porcentaje de porciones tienen peso inferior a 3,2 kg?
_______________________________________________________________________________________
•
• Calcula el peso promedio de las porciones.
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuál es la media de los datos obtenidos?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuál es la moda de los datos?
_______________________________________________________________________________________
Peso por porción
N.º
de
porciones

38

3. Destino gastronómico (Situaciones problemáticas realistas)
•
• En el año 2015 el Perú ganó en China el galardón al mejor destino gastronómico otorgado por la revista Top
Travel, especializada en turismo. Por tal razón, se realizó una encuesta a varios turistas (varones y mujeres)
durante una exposición de comidas típicas para conocer cuál de ellas es la comida favorita. Luego de
realizar la encuesta se generaron los siguientes datos.
Cebiche 75 varones 80 mujeres
Ají de gallina 120 varones 60 mujeres
Tallarín saltado 80 varones 120 mujeres
Causa 125 varones 140 mujeres
Arroz con pato 100 varones 100 mujeres
•
• Con la información obtenida, completa la tabla.
Datos
Varón Mujer
Frecuencia
absoluta (fi)
Frecuencia
relativa (fr)
Frecuencia
acumulada (Fi)
Frecuencia
absoluta (fi)
Frecuencia
relativa (fr)
Frecuencia
acumulada (Fi)
Cebiche
Ají de
gallina
Tallarín
saltado
Causa
Arroz con
pato
a. De los encuestados varones y mujeres,
¿qué grupo consume mayor cantidad de
cebiche?
_____________________________________
b. ¿Cuál es la media aritmética de mujeres que
consumen platos típicos?
_____________________________________
c. De los cinco platos típicos, ¿cuál es el predi-
lecto de los encuestados?
_____________________________________
d. ¿Es posible calcular el rango de los datos?
Explica.
_____________________________________
•
• A continuación, se muestra el registro de la estatura de varios estudiantes:
1,54 1,61 1,67 1,72 1,81 1,67 1,61 1,54 1,53 1,61
1,81 1,67 1,57 1,61 1,67 1,80 1,57 1,67 1,72 1,85
a. ¿En qué unidad de medida está expresada
la estatura de los estudiantes?
_____________________________________
b. Representa la información en un gráfico de
barras.
Estatura
N.º
de
estudiantes

39

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué aprendí en esta actividad?
•
• ¿Cómo puedo aplicar lo aprendido en una
situación cotidiana?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades encontraste en el levantamiento
de la información?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿El uso de tablas y gráficas de barras te permite
presentar de mejor forma la información? ¿Para qué?
________________________________________
________________________________________
•
• De lo aprendido, ¿qué actividades realizarías
para incentivar el consumo de los platos típicos
peruanos?
________________________________________
________________________________________
1. Realiza una encuesta en tu barrio sobre los platos
típicos peruanos.
2. Elabora una tabla de datos y represéntalos en
una gráfica de barras y circular.
3. Calcula la media, moda y mediana de estos datos.
4. Planifica actividades en tu localidad para fortalecer
la identidad peruana a través de la gastronomía.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Realizo un instrumento para recoger la
información del problema investigado.
Construyo tablas para el manejo
y tabulación de datos.
Represento mediante gráficas de
barras y circular los datos de la tabla.
Interpreto las gráficas y asocio con la
media aritmética, mediana y moda.
Coevaluación
Argumentamos las ideas
adecuadamente frente al equipo.
Se tomaron decisiones en equipo de
forma asertiva.
c. Calcula la estatura media.
___________________________________________________________________________________
d. Averigua la estatura media de los compañeros de tu clase.
e. Elabora una tabla y registra la estatura de tus compañeros. Luego, determina el rango.
f. ¿Cuál es la moda de las estaturas de tus compañeros?
___________________________________________________________________________________

40
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Qué tipos de datos se presentan en la información sobre la kiwicha?
•
• Formula una pregunta sobre las propiedades de la kiwicha.
•
• ¿Qué tipo de dato obtendrías de tu pregunta formulada?
•
• ¿Conoces los beneficios de
los cereales?
•
• ¿Qué cereales cultivan en tu
localidad?
El origen de la planta de kiwicha se ubica en el Perú, Ecuador, México y
Guatemala, la cual se comenzó a cultivar hace 7000 años. Consumirla
produce grandes beneficios para la salud. Esto se debe a su alto valor
nutricional, ya que provee una cantidad superior de proteínas en
comparación con la de otros cereales. Esta característica la convierte en un
alimento con la capacidad de satisfacer gran parte de la ración de proteínas
paras las personas y a la vez proveer el 70 % de energía de la dieta.
Algunos de sus múltiples beneficios son:
•
• Esunafuentecompletadeproteína.
•
• Está libre de gluten.
•
• Es rica en fibra dietética.
•
• Tiene beneficios cardiovasculares.
•
• Es densa en minerales.
Beneficios de la kiwicha
8
Composición química y valor nutricional
(contenido en 100 gr de kiwicha cruda)
Elemento Unid Valor Elemento Unid Valor
Calorías cal 377 Calcio mg 236
Agua g 12,0 Fósforo mg 453
Proteínas g 13,5 Hierro mg 7,5
Grasas g 7,1 Retinol mcg -
Carbohidrat. g 64,5 Vit. B1 (Tiamina) mcg 0,30
Fibra g 2,5 Vit. B2 (Riboflavina) mcg 0,01
Ceniza g 2,4 Vit. B5 (Niacina) mcg 0,40
Ác. Ascórbico reduc. mcg 1,3

41

Resolvamos: Investigación escolar
1. Planteo un problema
Muchas personas no aprovechamos al máximo los alimentos nutritivos y saludables que nos brinda nuestro
país. Estados Unidos, por ejemplo, ya incluyó la quinua y la kiwicha como parte obligatoria para la dieta de sus
astronautas. Los franceses han premiado al aceite sacha inchi como el más saludable del mundo. El camu camu
es la fruta con mayor contenido de vitamina C de todo el planeta.
¿Qué crees que podemos hacer para incentivar el consumo de quinua, kiwicha, sacha inchi y camu camu en tu
familia y en las familias de tus compañeros? Además reflexiona sobre la importancia de estos alimentos.
2. Llevo a cabo un plan para solucionar el problema
•
• Forma un equipo de cuatro estudiantes.
•
• El tema de estudio de este caso es: consumo de quinua, kiwicha, sacha inchi y camu camu.
•
• El objetivo que se tiene es la difusión y socialización mediante campañas de motivación para consumir
alimentos saludables.
•
• Se va a implementar la siguiente ficha de encuesta:
Edad: ____ años Grado: 1.° 2.° 3.° 4.° 5.° Mujer Varón
1. ¿En qué región del Perú se cultiva en mayor cantidad la kiwicha?
Costa Sierra Selva
2. Selecciona cuál de los siguientes alimentos consumes más:
Quinua Kiwicha Sacha inchi Camu camu Otro
3. ¿En qué presentación preferirías consumir la kiwicha?
Guiso Postre Sopa Tortilla
4. ¿Sabías que las flores se usan para elaborar tinta de diferentes colores? Sí No
Ficha de encuesta
3. Recopilo datos
•
• Antes de aplicar la encuesta deberás tener en cuenta que:
–
– Si tu institución educativa cuenta con varias secciones de cada grado, se aplicará la encuesta solo a una
sección del grado. ¿Cuántas secciones tiene tu institución? __________________________________
•
• Para aplicar la encuesta a una sección del grado se realizará por sorteo colocando papeles con los nombres
de los grados y secciones en una caja.
Instrucciones: Estimado estudiante, esta encuesta permitirá averiguar el consumo de quinua, kiwicha,
sacha inchi y camu camu en tu familia.

42

•
• Se extraerá un papel de la caja; el primer papel determinará el grado y la sección donde se aplicará
la encuesta. Se procede a realizar la encuesta en el grado seleccionado.
•
• Escribe el grado que seleccionaste. ________________________________________________________
4. Analizo datos
•
• Cada equipo realizará el análisis de los datos del grado y sección que le tocó aplicar la encuesta. En cada
equipo dos estudiantes elaborarán tablas de frecuencia para la pregunta 1 y 2. Los dos estudiantes restan-
tes elaborarán tablas de frecuencia para las preguntas 3 y 4. El coordinador del equipo unificará en una sola
tabla los datos que le den sus compañeros.
•
• Llena los resultados de cada pregunta.
• Pregunta 1. ¿En qué región del Perú se cultiva en mayor cantidad la kiwicha?
Frecuencia absoluta (fi) Frecuencia acumulada (Fi) Porcentajes
Costa
Sierra
Selva
Total
• Pregunta 2. Selecciona cuál de los siguientes alimentos consumes más:
Quinua
Kiwicha
Sacha inchi
Camu camu
Otro
Total
• Pregunta 3. ¿En qué presentación preferirías consumir la kiwicha?
Guiso
Postre
Sopa
Tortilla
Total
• Pregunta 4. ¿Sabías que las flores se usan para elaborar tinta de diferentes colores?
Sí
No
Total
•
• Contesta las siguientes preguntas:
–
– ¿Qué porcentaje de los estudiantes consume kiwicha? ________________

43

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Cuáles son los conocimientos nuevos que
adquirí en esta actividad?
•
• ¿Cómo aplicaría estos nuevos conocimientos
en mi vida diaria?
Reflexiona
•
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te fue de gran ayuda utilizar las tablas y los gráficos
estadísticos? ¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué casos es pertinente calcular el rango de
los datos?
________________________________________
________________________________________
1. De las encuestas que realizaste, separa los
resultados en hombres y mujeres.
2. ¿Qué alimento prefieren los hombres?
________________________________________
3. ¿Qué alimento prefieren las mujeres?
________________________________________
–
– ¿Qué tipo de alimento es el más consumido? ____________________________________________
–
– ¿Qué porcentaje de los padres consumieron dichos productos en la misma presentación? _________
__________________________________________________
–
– ¿Qué porcentaje prepara la mazamorra en menos de una hora? ______________________________
5. Planteo conclusiones
•
• Dados los resultados, el equipo debe contestar las siguientes preguntas:
–
– ¿Cómo llamarían al número de estudiantes que fueron encuestados por tu equipo y por qué?
___________________________________________________________________________________
–
– ¿Cómo llamarían al número de estudiantes que fueron encuestados por todos los equipos y por qué?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Elaboro preguntas identificando
la variable que quiero investigar.
Explico el proceso de cómo llenar una
encuesta.
Elaboro tablas para realizar gráficos
estadísticos.
Coevaluación
Asumimos con responsabilidad
el trabajo en equipo.
Presentamos el trabajo con tablas
y gráficos para ser explicado de manera
crítica y constructiva.

44
Evaluación
Resuelve las siguientes preguntas utilizando la
información del texto anterior.
1. ¿Cuál es el porcentaje que se tiene como meta
incrementar para el 2016 en el Programa Nacional
de Alimentación Escolar?
________________________________________
2. Si de las 58 mil escuelas beneficiadas, unas 7000 co-
rresponden a instituciones educativas del Gobierno
Regional de Cajamarca, ¿cuál es la fracción atendida
en esa región?
________________________________________
3. Una de las recetas que se preparan en el programa
es la siguiente:
a. Si quieres preparar una porción para 15 perso-
nas, ¿cuál es la cantidad de cada ingrediente que
requieres? Reescribe la receta.
______________________________________
______________________________________
______________________________________
b. Completa la tabla calculando la cantidad reque-
rida de los ingredientes mostrados para el nú-
mero de personas que se indica:
Ingredientes
Unidad de
referencia
1
persona
3
personas
5
personas
10
personas
12
personas
Caldo de
verduras
Taza
Zanahoria en
cubitos
Taza
Puntas de
espárragos
Taza
Arvejas Taza
4. Los precios (por kilogramo) de algunos de los in-
gredientes son: verduras picadas S/ 9,65; zanahoria
S/ 7,25; espárragos, S/ 11,85. Las arvejas cuestan
20 % más que las verduras.
Unidad de
referencia
Gramos
Verduras picadas Taza 225
Zanahoria Taza 80
Espárragos Taza 100
Arvejas Taza 200
¿Cuál es el costo aproximado para una preparación
de 20 porciones?
________________________________________
5. En el mercado, un comerciante vende las verduras
picadas a S/ 9,65 y otro comerciante a S/ 9,66. ¿Es
posible encontrar entre el valor de las ofertas otro
precio? Justifica tu respuesta.
________________________________________
________________________________________
Programa Nacional de Alimentación Escolar
“Nuestros usuarios son aproximadamente 3 100 000 niños y niñas de más de 58 000 instituciones educativas
públicas a nivel nacional. Para el 2016 el programa tiene como meta atender a más de 3 800 000 niños y niñas
de Inicial y Primaria de las escuelas públicas de todo el país, y de Secundaria de las comunidades nativas de los
pueblos amazónicos”. (Segundo Informe Avances PNAIA 2021- Año 2013)
Receta de pasta (5 porciones)
• 1
1
2
tazas de caldo de verduras picadas
•
2
3
de taza de zanahorias en cubitos
•
3
4
de taza de puntas de espárragos
•
5
6
de taza de arvejas
• 1,5 kg de pasta
• 2 cucharas de aceite de oliva
• 1
1
6
tazas de queso parmesano

45
Metacognición
1. ¿Qué aprendí al resolver estas actividades? __________________________________________________
2. ¿En qué situaciones de mi vida puedo aplicar lo aprendido? ____________________________________
Autoevaluación
Indicadores Siempre A veces Pocas veces
Empleo procedimientos para resolver problemas relacionados con
fracciones mixtas, heterogéneas y decimales.
Empleo estrategias heurísticas para resolver problemas que combinen
cuatro operaciones con decimales, fracciones y porcentajes.
Encuentro un número decimal o fracción entre otros dos.
Expreso la equivalencia de números racionales (fracciones,
decimales, potencias de base diez y porcentajes) con soporte
concreto, gráfico y otros.
Justifico cuándo un número fraccionario es mayor que otro.
Elaboro tablas para realizar gráficos estadísticos.
Coevaluación
Participamos todos en las actividades de equipo.
Respetamos los razonamientos diferentes a los nuestros.
6. Completa los datos de la tabla.
7. Se anotaron las edades (en años) de 50 estudiantes
beneficiarios del programa de alimentación.
13; 12; 13; 14; 11; 12; 13; 14; 13; 13; 13; 15; 16; 16; 15;
13; 14 11; 12; 13; 12; 15; 11; 13; 13; 13; 12; 14; 11; 12;
12; 13; 13; 15; 15; 16; 13; 14; 14; 11; 12; 14; 13; 10; 10;
13; 10; 16; 15; 13.
a. Elabora una tabla de frecuencias absolutas y
frecuencias relativas para los datos.
b. ¿Cuáleslamayorfrecuenciarelativa?¿Aquédato
corresponde? __________________________
c. ¿Quéporcentajedelosestudiantesquepertene-
cen al programa, de la muestra tomada, tienen
15 años? ______________________________
8. Se sabe que del total de escuelas beneficiadas
1/145 corresponde a Tacna, mientras que el 0,52 %
está en Tumbes.
a. ¿En qué región hay más escuelas beneficiadas?
__________________________
b. ¿Cuántas escuelas hay en cada región?
_____________________________________
9. Elabora un organizador donde se visualice todo lo
aprendido en esta unidad.
Producto
Decimal Fracción Porcentaje
0,1
2/10
40 %
0,6
90 %

46
A
B
46
Unidad
La buena salud se relaciona con la ejercitación y la recreación. Podemos notar,
por ejemplo, las ventajas de las actividades físicas para aumentar el gasto
calórico, así como el beneficio de los juegos como el ajedrez, las damas, etc.,
que nos estimulan cognitivamente y ayudan a fortalecer la memoria y prevenir
enfermedades como el alzhéimer.
En algunas actividades deportivas es importante considerar los desplazamientos
que se realizan. Por ejemplo, en el karate es recomendable la práctica del
thenshin happo (desplazamiento de ocho direcciones), el cual se puede expresar
en un esquema que señala los desplazamientos. Otro ejemplo es el ajedrez, cuya
importancia radica en conocer los movimientos que ejecuta cada una de sus
fichas, como el caballo, que se mueve en “L” y puede cubrir todas las casillas del
tablero con sus movimientos.
• Si por el primer casillero del tablero de ajedrez te dieran un grano de trigo;
por el segundo, el doble del anterior; por el tercero, el doble de este último, y
así sucesivamente, ¿podrías determinar cuántos granos de trigo tendrías en
el casillero 64?
• ¿QuétipodedesplazamientorealizaelcaballoA?¿Quétipodedesplazamiento
ejecuta el caballo B? Observa la imagen del tablero.
• ¿Qué tipo de desplazamientos observas en la imagen de nado sincronizado?
El deporte, la salud
y la matemática
2

47
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de cantidad
•
• Relaciona datos en situaciones de medidas y plantea
modelos referidos a potenciación de base 10 con
exponente positivo y negativo.
•
• Reconoce la pertinencia de modelos referidos a la
potenciación en determinados problemas.
•
ideas matemáticas
•
• Representa un número decimal o fraccionario, en una
potencia con exponente entero.
•
• Describe las operaciones de multiplicación y división
con potencias de bases iguales y de exponentes iguales.
•
• Emplea estrategias heurísticas al resolver problemas con
números racionales y base 10 con exponente positivo
y negativo.
•
• Emplea procedimientos basados en teoría de
exponentes (potencias de bases iguales y de
exponentes iguales) con exponentes enteros al resolver
problemas.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Propone conjeturas para reconocer la teoría de
exponentes con números fraccionarios.
•
• Comprueba a partir de ejemplos las operaciones con
potencia de base entera, racional y exponente entero.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de forma, movimiento
y localización
•
• Plantea relaciones geométricas en situaciones artísticas
y las expresa en un modelo que combinan
transformaciones.
•
• Reconoce la restricción de un modelo relacionado
a transformaciones y lo adecúa respecto a un problema.
ideas matemáticas
•
• Describe las características de la composición
de transformaciones geométricas de figuras.
•
• Grafica la composición de transformaciones de rotar,
ampliar y reducir en un plano cartesiano o cuadrícula.
•
• Realiza composición de transformaciones de rotar,
ampliar y reducir, en un plano cartesiano o cuadrícula
al resolver problemas, con recursos gráficos y otros.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Plantea conjeturas respecto a las partes
correspondientes de figuras congruentes y semejantes
luego de una transformación.
•
• Explica las transformaciones respecto a una línea o un
punto en el plano de coordenadas por medio de trazos.

48
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Cuántas casillas tiene un tablero de ajedrez?
•
• Escribe los nombres de las fichas de un juego de ajedrez y los movi-
mientos que pueden realizarse en el tablero con ellas.
•
• ¿Cuántos cuadrados puedes identificar en un tablero de ajedrez?
•
• ¿Cuántos movimientos
realiza un peón para llegar
al otro extremo?
•
• ¿Puedes pasar por todas las
casillas y una sola vez con el
desplazamiento del caballo?
El ajedrez es un juego considerado un deporte debido a la necesidad de sus
jugadores de contar con la competencia, el razonamiento y la estrategia
para ganar en el juego.
Los competidores requieren de una buena preparación que les permita
estar en competición en juegos de hasta seis horas, en las que la
concentración y la resistencia física son importantes.
En los últimos años, los científicos han realizado diferentes estudios que
relacionan el desarrollo de pensamiento con el juego habitual del ajedrez,
por lo que ha llegado a catalogarse como un deporte intelectual que
estimula la mente.
El juego del ajedrez
Cantidad
9

49

Una historia sobre el origen del ajedrez indica que
un famoso matemático de la India le presentó el
juego a un rey de un lejano país de Oriente. El rey,
satisfecho con el invento del matemático le con-
cedió la oportunidad de pedir, a cambio, la recom-
pensa que él quisiera.
El matemático, ante la voluntad del rey, le pidió
recibir por la primera casilla del juego, un grano
de trigo; por la segunda casilla, dos granos; por la
tercera, cuatro; por la cuarta, ocho; por la quinta,
dieciséis; y así sucesivamente hasta llegar a la úl-
tima casilla del ajedrez.
–
– Dibuja las dos primeras filas del tablero y es-
cribe en cada casillero el número de granos de
trigo que recibe el matemático.
–
– ¿Puede establecerse una operación matemática para conocer el número de granos de trigo que debe en-
tregar el rey en cada una de las casillas del tablero de ajedrez? Explica.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
–
– ¿Cómo expresarías el cuatro, el ocho, el dieciséis o el resto de números como la multiplicación de números
iguales?
___________________________________________________________________________________
–
– ¿Consideras que la petición del matemático es muy poca para pagar el desarrollo del juego del ajedrez?
Explica tu respuesta.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

50

•
• ¿Qué relación existe entre la cantidad de trigo de una casilla y la siguiente?
•
• Escribe una multiplicación que permita establecer el número de granos de trigo que recibe el matemático
por cada una de las 16 primeras casillas. Ten en cuenta que uno de los factores es el número de granos de
la casilla anterior.
•
• Analiza el número de granos que corresponde a cada casilla y escribe cada cantidad como una potencia
de dos.
•
• ¿Puede la cantidad de granos de trigo de la primera casilla expresarse como una potencia de dos? Explica
tu respuesta.
•
• Escribe la expresión matemática que permite calcular el número de granos de trigo que corresponden a
las casillas 20, 30, 40 y 50.
•
• Escribe como potencia de dos la cantidad de granos de trigo que corresponden a la última casilla del ta-
blero de ajedrez. Utiliza una calculadora para determinar el número de granos de trigo.
•
• Luego de establecer la expresión matemática que permite determinar el número de granos de trigo,
¿consideras que la petición del matemático es exagerada? Explica.
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Consideras que el rey puede cumplir la solicitud del matemático? Explica.
___________________________________________________________________________________

51

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿En qué me aportó este conocimiento?
•
• ¿Puedo utilizar lo aprendido en situaciones
prácticas de mi entorno?
Reflexiona
•
• ¿Cuándo una multiplicación puede reescribirse
como una potenciación?
________________________________________
________________________________________
•
• En la potenciación, ¿la base puede ser un número
decimal?
________________________________________
________________________________________
•
• En la potenciación, ¿el exponente puede ser un
número decimal?
________________________________________
________________________________________
1. Con la ayuda de tu profesor, encuentra una forma
de llegar a determinar que 100
= 1.
2. Investiga sobre la historia del matemático que
inventó el juego del ajedrez y establece el número
de granos de trigo que recibió por parte del rey.
3. Consulta otras situaciones de la vida cotidiana
en las que se puede trabajar el concepto de
la potenciación. Presenta tu consulta a tus
compañeros.
•
• De acuerdo con el trabajo realizado, completa la tabla.
Casilla Número de granos de trigo Base Exponente
2 2 2 21
4 2 × 2
4 2 × 2 × 2
5 2
2 25
•
• Establece una expresión que permita indicar el número de granos que corresponden a una casilla
determinada.
___________________________________________________________________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Comprendo que la potenciación es
una multiplicación abreviada.
Identifico a la potenciación como
una expresión abreviada de una
multiplicación de factores iguales.
Realizo operaciones con factores
iguales y exponentes diferentes.
Establezco la operación con la que se
halla la potencia.
Coevaluación
Expusimos verbalmente los procesos
realizados.
Tomamos decisiones en equipo de
forma asertiva.

52
Ficha

52
Taller matemático
Cantidad
Los números racionales
y los deportes
10
1. Figuras - Superficie de canchas (Problemas de traducción simple)
Un jardinero cobra 60 dólares
por darle mantenimiento a cada
pie cuadrado en un campo de
béisbol. El campo tiene una zona
de forma cuadrada limitada por
la zona de bateo y las tres bases
(primera, segunda y tercera), de
unos 90 pies de lado. Expresa
como un producto de factores
primosloquecobraríaeljardinero
al darle el mantenimiento a esta
zona del campo.
•
• Expresa, como producto de factores primos, el área de la zona del campo.
•
• Expresa, como producto de factores primos, el precio en dólares de lo que se paga al jardinero por cada
pie cuadrado.
•
• Expresa el producto del área por el precio por unidad.

53

53
2. Entrenamiento (Problemas de traducción compleja)
Óscar propone una rutina de entrenamiento para una carreta atlética de dos formas diferentes.
1. Entrena una hora y media diaria durante 30 días.
2. Cinco minutos el primer día, 10 minutos el segundo día, 20 minutos el tercer día y así duplicándose el
tiempo durante 9 días.
•
• ¿Con cuál opción logra entrenar por más tiempo?
•
• ¿De qué se trata el problema?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Con qué datos útiles cuentas para poder diseñar una estrategia de resolución?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué estrategia utilizarías para conocer cuál es la opción que permite entrenar la mayor cantidad de
tiempo? Trabajen en parejas.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
1.a
forma
•
• Realicen los cálculos para todos los días y completen la tabla con los datos solicitados.
___________________________________________________________________________________
Día 1.º 2.º 3.º 4.º 5.º 6.º 7.º 8.º ... 27.º 28.º 29.º 30.º Total
Tiempo
en horas
Decimal 1,5
Fracción
3
_
2

54

2.a
forma
•
• Realicen los cálculos para todos los días y completen la tabla con los datos solicitados.
•
• ¿Con cuál opción logra entrenar la mayor cantidad de tiempo durante el mes?
___________________________________________________________________________________
3. Práctica de deportes (Situaciones problemáticas realistas)
Un profesor de Educación Física pidió a la administración de un colegio las medidas de las dimensiones de los
dos espacios cuadrangulares que iban a ser destinados para la práctica deportiva. Por una desconfiguración de
la computadora, los resultados que le alcanzaron fueron los siguientes:
•
• Para practicar deportes con balón: 2,25 × 105
mm de lado. Expresen la cantidad en metros.
•
• Para practicar gimnasia: 2 × 105
mm de lado. Expresen la cantidad en metros.
Día
Tiempo
En horas En minutos
Decimal
Fracción con
exponente positivo
Fracción con
exponente negativo
Producto
Expresión
exponencial
1.o
0,083
1
__
12 12–1 5 × 1 5 × 20
2.o
3.o
4.o
5.o
6.o
7.o
8.o
9.o
Total

55

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué dificultades tuve al realizar las actividades
de esta ficha?
•
• ¿Cómo puedo aplicar lo aprendido a una
situación de la vida cotidiana?
Reflexiona
•
________________________________________
•
• ¿Crees que fue útil el uso de tablas para organizar
los cálculos?
________________________________________
•
• ¿En qué situaciones de tu vida puedes aplicar este
procedimiento?
________________________________________
1. Expresa las siguientes cantidades como producto
de un número por una potencia de base 10:
•
• La distancia entre el Sol y la Tierra es de
150 000 000 km. ________________________
•
• La población mundial en 20 años alcanzará los
8 000 000 000 de personas. ________________
2. Una fábrica produce 3 toneladas de alambre al día.
¿Cuántos kilogramos de alambre fabricará en 5 días?
Expresa el resultado con potencia de base 10.
________________________________________
________________________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Represento los números decimales
en fraccionarios.
Transformo el producto de números
fraccionarios en potencias.
Relaciono la equivalencia entre
números fraccionarios y números
decimales.
Coevaluación
Elaboramos las tablas sin mayor
dificultad para expresar los números
fraccionarios de diferente forma.
•
• ¿Cuántos metros mide el lado del espacio destinado para deporte con balón?
•
• ¿Qué fracción representa el campo destinado a gimnasia?

56
Ficha
Iniciemos
•
• Pregunta a tus compañeros qué otras culturas antiguas han destacado
por sus aportes a la matemática.
•
• Los números racionales se podían también expresar, pero solamente
como sumas de fracciones unitarias, es decir, sumas de los inversos de
los números enteros positivos, a excepción de 2/3 y de 3/4. El jeroglífico
que indicaba una fracción era una boca, y significaba la "parte", era: .
¿Qué fracción sería la equivalente a esta expresión: ?
•
• Luego de observar la simbología egipcia en la imagen, ¿cómo repre-
sentarías 1/11? ¿Crees que podían representar todas las fracciones
usando su simbología?
•
• ¿Qué conoces más del
antiguo Egipto?
•
• ¿Qué conoces del Egipto
actual?
Según un mito egipcio, para vengar la muerte de su padre, Horus tuvo que
luchar encarnizadamente con su tío Seth. Dicha narración cuenta cómo,
en la batalla, Horus perdió el ojo izquierdo, que fue dañado o robado por
Seth, motivo por el cual fue sustituido por el Udyat. En el antiguo Egipto,
el ojo de Horus simbolizaba la salud, la espiritualidad, la totalidad, aquello
que ha vuelto a su ser y se ha completado. Cada una de sus partes se
representaba mediante fracciones, las cuales los egipcios simbolizaron con
gráficos como los que se muestran en la imagen.
Cantidad
El legado egipcio
11

57

El ojo de Horus es uno de los amuletos de origen egipcio más
populares en la actualidad. En el antiguo Egipto, se lo dibujaba
también en la “receta” que prescribía un médico, con lo que
se buscaba dotar de virtudes mágicas a un simple papel (o
papiro), pues en medicina simboliza la curación. Cada una de
las partes del ojo de Horus representaba cantidades menores
que la unidad, reducidas cada vez a la mitad.
Fuente: http://goo.gl/u5hoKX
Resolvamos: Laboratorio de Matemática
•
• Utiliza una hoja tamaño A4 y dóblala por la mitad seis veces seguidas. Luego, en la primera columna de
una tabla como la de abajo, anota las fracciones que representa cada doblez.
•
• En la columna siguiente, escribe la fracción como un producto de fracciones de igual base.
•
• A continuación, utiliza la notación de exponente para indicar el número de veces que se repite la base.
•
• Observa los datos de la tabla y establece una relación entre los denominadores de las fracciones.
___________________________________________________________________________________
•
• En cada caso escribe el producto de manera simplificada y establece situaciones que pueden ser modeladas
por la expresión.
N.o
Fracción Producto Potencia
1.o
1/2 1 × ½ (1/2)1
2.o
1/4 ½ × ½ (1/2)2
3.o
4.o
5.o
6.o
1/2
1/64
1/32
1/16
1/8
1/4
1
2
×
1
2
=
1
2
1
×
1
2
1
=
1
2
1+1
=
1
2
2
1
2
×
1
2
×
1
2
=
1
2
×
1
2
×
1
2
×
1
2
=
1
2
2
×
1
2
2
=
1
2
3
×
1
2
3
=

58

•
• Realiza las siguientes operaciones con fracciones e identifica posibles expresiones que dan como resultado
la unidad.
•
• ¿Qué resultado se obtiene cuando un cociente tiene la misma base y el mismo exponente?
___________________________________________________________________________________
•
• Construye una unidad, divide la unidad en dos; luego, una de las mitades, divídela en dos. Realiza el mismo
proceso las veces que sea posible. Establece la relación entre cada parte y las fracciones del ojo de Horus.
•
• ¿Se puede continuar fraccionando las partes de un número indefinidamente?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué ocurre si en términos de cantidad, la sucesión de la partición continúa?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuál es el resultado de (1/2)8
? ___________________________________________________________
•
• ¿Cómo se expresa en forma general el término enésimo de la sucesión? ___________________________
•
• En el caso del ojo de Horus la suma de las partes es: __________________________________________
•
• Si comparas las fracciones de cada parte del ojo de Horus, ¿a qué conclusión llegas?
___________________________________________________________________________________
1
2
2
1
2
2
=
1
2
3
1
2
3
=
=
1
2
1–1
=
1
2
0
= 1
1
2
1
2

59

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué estrategias he utilizado para realizar las
actividades de esta ficha?
•
• ¿En qué situaciones prácticas puedo aplicar lo
aprendido en clase?
Reflexiona
•
resolución de esta situación?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué tema de estudio te puede aportar la teoría
de exponentes?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te aportó en este tema conocer sobre la formación
del ojo de Horus?
________________________________________
________________________________________
1. Investiga el uso de las fracciones por los incas
y las unidades de medida en los platos que
preparaban.
2. Trabaja con un tangram de siete piezas y
establece la fracción de cada pieza con respecto
al área total. Construye una tabla y establece una
relación entre las fracciones.
•
• Trabajen en equipo. En una hoja milimetrada, representen las seis fracciones del ojo de Horus en el plano
cartesiano. En el eje de las X ubiquen el número de partes, y en el eje Y, la fracción que corresponde a las
partes.
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Realizo la partición de un número dado
en fracciones cuya base sea la misma.
Puedo multiplicar y dividir potencias
de números fraccionarios iguales
y exponentes iguales.
Identifico expresiones que simplifican
multiplicaciones de productos iguales.
Elaboro tablas de potencias con las
operaciones de multiplicación y división.
Coevaluación
y constructiva.
Y
X

60
Ficha

60
Taller matemático
1. Movimiento de las fichas del ajedrez (Problemas de traducción simple)
•
• En un estudio realizado en Valencia sobre el ajedrez, resultó que jugarlo ayuda a mejorar la memoria y la
concentración de las personas adultas y de los niños. Asimismo, colabora en la prevención de enfermedades
como el alzhéimer y otras afecciones mentales. Consiste en un juego de estrategia en el que el objetivo es
“derrocar” al rey del oponente, para lo cual uno debe conocer sobre el movimiento de cada una de sus piezas.
Fuente: http://goo.gl/9x1xT8
•
• En el tablero mostrado se observa cómo es el ataque de la ficha que corresponde a la reina. ¿Qué tipo de
transformaciones geométricas ejecuta ella para “matar” a cada una de las fichas negras?
Juego de salud mental
Forma, movimiento y localización
12

61

61
2. Un movimiento muy especial (Problemas de traducción compleja)
•
• Dados unos tableros de 3 × 3 y 3 × 4, como se muestran en las figuras 1 y 2, indica los recuadros en los que
el caballo puede ejecutar los movimientos; determina qué tipo de transformaciones geométricas realizan
sus movimientos.
•
• ¿Qué solicita el problema?
•
• ¿Cuál es el movimiento que ejecuta el caballo? Representa su desplazamiento mediante un gráfico.
•
• ¿Puedes indicar qué transformaciones geométricas realiza el caballo?
Figura 1 Figura 2

62

•
• Realiza los gráficos de los movimientos del caballo en el tablero y describe las transformaciones geométricas.
•
• ¿Qué estrategia utilizarías para encontrar los recuadros en los cuales el caballo puede realizar el movimiento?
•
• En los siguientes recuadros indica los movimientos y las transformaciones geométricas que puedes realizar
considerando la posición del caballo.
•
• Ahora elabora todos los posibles tableros de 3 × 4 que se puedan cubrir con los movimientos del caballo
sin repetir el recuadro. Determina las transformaciones geométricas que se dan.

63

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué pasos sigo para trasladar una figura
geométrica?
•
• ¿Qué pasos sigo para rotar una figura
geométrica?
•
• ¿Puedo utilizar lo aprendido en situaciones
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades encontraste en la solución del
problema?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Qué características tienen las transformaciones
geométricas que empleaste?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué otras situaciones de tu vida utilizas las
transformaciones geométricas?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
1. Investiga sobre juegos de mesa y electrónicos en
donde se emplee las trasformaciones geométricas.
2. Representa gráficamente movimientos que se
pueden dar con las fichas del juego Tetris.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Diferencio la traslación de la rotación
de figuras geométricas.
Identifico la rotación de figuras
geométricas en situaciones cotidianas.
Identifico la traslación de figuras
Coevaluación
Respetamos las opiniones de nuestros
compañeros.
Trabajamos las actividades aportando
ideas.
3. Estacionamiento en paralelo (Situaciones problemáticas realistas)
•
• Escribe las transformaciones geométricas que realiza el vehículo rojo para estacionarse en cada caso.
1 2 3

64
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Participas en los juegos
deportivos escolares?
•
• ¿En qué deporte participas?
•
• ¿Qué relaciones geométricas reconoces en las figuras que forman las
nadadoras?
•
• Si solo contaras con la figura de una sola nadadora, ¿qué movimientos
realizarías con esta para poder crear toda la figura en cada caso?
•
• ¿Observas un solo tipo de simetría en las figuras formadas? Describe los
tipos de simetría que encuentras.
El movimiento es un cambio continuo en la localización de un cuerpo,
por lo que en el deporte de nado sincronizado, la coordinación y los
movimientos precisos permiten presentar majestuosas escenas donde se
mezclan la danza, la gimnasia y la natación.
Lacompetenciadenadosincronizadoconsisteeneldesarrollodeejercicios
técnicos, donde todos los participantes deben hacer la rutina obligatoria, y
el ejercicio libre. La calificación de la presentación se basa en la calidad, la
gracia y la delicadeza de los movimientos.
Los movimientos
en el nado sincronizado
13

65
1. Respondo interrogantes
En uno de los entrenamientos, el equipo de nado sincronizado realizó la siguiente figura. Describe la figura que
se genera.
Resolvamos: Modelo de Van Hiele
• Identifica el polígono que mejor describe la posición de las nadadoras.
___________________________________________________________________________________
• ¿Consideras que el polígono que se forma al unir por segmentos los extremos de los pies de las nadadoras
es un polígono regular? Explica tu respuesta.
___________________________________________________________________________________
• ¿Cuál es el ángulo que giraría la nadadora A para estar en la posición de la nadadora B?
___________________________________________________________________________________
2. Realizo actividades organizadas
• El entrenador representó en la pizarra la ubica-
ción de cada una de las deportistas. Cada punto
representa a una de las nadadoras.
Describe lo que sucede en el movimiento que se
plantea.
• El entrenador prepara una nueva sesión de
movimientos. Analiza la propuesta del entrenador;
describe el movimiento y su sentido.
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
Vector
Entrenador
Segunda posición
Primera posición
A
B
C
D
E
Sin título-2 1 15/08/16 14:02

66

3. Explico lo realizado
El entrenador del equipo de nado trabaja en las nuevas coreografías que presentará en las próximas
competiciones, por lo que se ayuda de un plano cartesiano para analizar los movimientos que deben
trabajar las nadadoras.
•
• Cuatro de las nadadoras deben formar un rombo.
1. El lado de la figura a formar debe medir dos
unidades.
2. Luego de generar el rombo, deben trasladarse
5 unidades a la derecha.
3. Establece la nueva ubicación de las nadadoras.
4. Propongo un diseño creativo
•
• Plantea una coreografía para las nadadoras donde la figura que generen se amplíe o se reduzca. Dibuja los
dos momentos y describe los movimientos.
•
• Cinco nadadoras generan un pentágono no regular.
1. Representa la posición de las nadadoras.
2. Considera como eje de rotación la intersección
de los ejes coordenados.
3. Se propone hacer un movimiento de rotación
90° en sentido negativo.
4. Representa la nueva ubicación de las nadadoras.

67

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿En qué situaciones cotidianas se utilizan los
movimientos en el plano?
•
• ¿Me resultó sencillo resolver las distintas
actividades de la ficha?
Reflexiona
•
• ¿En qué movimientos se mantiene las
características de una figura?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Cómo determinas si el ángulo de rotación es
positivo o negativo?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿El punto de rotación puede ubicarse dentro de la
figura a la que se va a aplicar el movimiento?
________________________________________
________________________________________
1. Investiga si todos los planetas del sistema solar
tienen movimientos de rotación o traslación.
2. Consulta qué son los teselados y construye uno a
partir de traslaciones y rotaciones.
5. Organizo mis ideas
•
• En parejas, completen el cuadro con las características de las transformaciones.
Transformación geométrica Característica Dibujo
Traslación
Rotación
La figura gira alrededor de un punto
de acuerdo al valor del ángulo de
giro. La figura no cambia.
Ampliación o reducción
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Diferencio las transformaciones
geométricas.
Puedo definir con mis propias palabras
las transformaciones geométricas.
Identifico las transformaciones
Coevaluación
Desarrollamos las actividades de
manera colaborativa.
Tomamos decisiones con base en el
consenso y el sano debate.
Vector

68
Ficha
Iniciemos
Realiza la siguiente actividad.
•
• Elabora un gráfico de cuadrículas relacionando el pico más alto del
Perú con su altitud.
•
• ¿Cuál ha sido el lugar con
mayor altitud que has
podido visitar en el Perú?
•
• Según la región en la que
vives, ¿qué cordillera está
más cercana?
•
• En tu entorno, ¿puedes
acceder con facilidad a
paquetes turísticos que
promuevan la práctica del
andinismo?
El montañismo es una disciplina que consiste en realizar ascensos y
descensos en las montañas. No es un simple deporte, pues deriva de
una antigua actividad exploratoria del ser humano, que es otra forma de
turismo de aventura.
Cuando esta práctica se realiza en la cordillera de los Andes, el término
dado a esta disciplina es andinismo. El Perú es un escenario privilegiado
para llevarla a cabo, pues cuenta con cientos de opciones a través de todo
el país, en las cuales el ascenso se acompaña con impresionantes paisajes,
así como de la historia de cada lugar. Por ejemplo, la forma piramidal casi
perfecta del Alpamayo (5947 m. s. n. m. – cordillera Blanca) le valió ser
calificada como la montaña más bella del mundo en 1966.
Cordillera Blanca Huayhuash Volcánica
Nevado
Ampay
Vilcabamba Vilcanota
Pico más alto Huascarán Yerupajá Chachani Ampay Salkantay Ausangate
Altitud 6768 m 6634 m 6075 m 5235 m 6271 m 6384 m
Departamento Áncash Áncash Arequipa Apurímac
Apurímac
y Cusco
Cusco
Escalando los Andes
14

69

Un grupo de escaladores plantearon una expedición para llegar a la cumbre del Huascarán.
Observa el gráfico e identifica las coordenadas donde estarán ubicados los campamentos de dicha expedición.
•
• ¿Cuántos días duró la expedición?
____________________________________________________________________________________
•
• Determina la altura aproximada en la que se ubicó cada uno de los campamentos durante la expedición.
•
• ¿En qué número de día llegaron a la cumbre?
____________________________________________________________________________________
•
• El punto de partida, ¿a qué altura se encuentra?
_______________________________________________________________________________________
En el día dos, debido a cambios climáticos, la expedición debe mover la posición de su campamento mante-
niendo la altura en la que se encuentran.
Observa la reubicación del campamento de acuerdo con la cumbre del nevado.
•
• ¿Qué tipo de transformación fue aplicada para
trasladar el campamento?
•
• ¿Cuáles son las características de la transformación
geométrica?
0 1 2 3 4 5 6 7 Días
Metros
2000
4000
6000
Cumbre
1.er
campamento
2.º campamento

70

La expedición, al llegar al campamento del día cuatro,
trasladó su campamento a una nueva posición.
•
• ¿Qué transformaciones identificas en el movi-
miento del campamento?
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
•
• Describe la transformación de la ubicación del
campamento desde el día tres hasta el día cuatro
en la tarde.
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
4. Orientación libre
•
• Realiza la representación del campamento en el plano cartesiano. Ubica la cumbre en el punto (0; 0) y
realiza una reflexión con respecto a cada uno de los ejes.
•
• Establece las coordenadas de los vértices del campamento en cada una de sus ubicaciones.
Trabajen en pareja y realicen la siguiente actividad:
•
• Diseñen la ubicación de un campamento para cada uno de los días que dura la expedición.
•
• Establezcan las transformaciones realizadas hasta llegar al último día de viaje.
Día tres
Día 4 en la
mañana
Cumbre
Día 4 en la
tarde
Y
X
0
0

71

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Cómo puedo aplicar lo aprendido en una
situación real?
Reflexiona
•
• ¿Cuál es la utilidad de las transformaciones
geométricas?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
•
• ¿El sistema de direcciones de la ciudad puede
compararse con un plano cartesiano?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
1. Consulta sobre el juego de batalla naval y plantea
un juego similar utilizando como mapa un plano
cartesiano. Juega con tu familia y explícales el uso
de las coordenadas en la actividad.
2. Consulta sobre el sistema de posicionamiento
global y establece algunas relaciones con el plano
cartesiano.
3. Investiga sobre las homotecias y relaciona el
concepto con las transformaciones trabajadas
en la ficha.
•
• Establece algunas transformaciones y entrégalas a un compañero para que las aplique a una figura cual-
quiera sobre el plano.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Reconozco las transformaciones
geométricas aplicadas a una figura.
Describo los movimientos
involucrados en una transformación
geométrica.
Utilizo instrumentos que permiten
hacer transformaciones geométricas.
Coevaluación
El trabajo en equipo permitió
establecer soluciones a las situaciones
planteadas.
El trabajo realizado se retroalimentó
en grupo.
Y
X
0
0

72
Ficha
72
Taller matemático
15
Movimientos
1. Congruencia y semejanza (Problemas de traducción simple)
Luis tiene que presentar una exposición sobre figuras congruentes y semejantes. ¿Qué características tienen
las figuras de cada cartel?
• Observa el par de figuras de cada cartel; analízalas e indica si son congruentes o semejantes. Explica tu
respuesta.
A
B
x
y
C
D
Propiedad Lados Ángulos
Congruencia
Semejanza
• En la siguiente tabla indica las características de la congruencia y semejanza de figuras geométricas.
D'
C'
B'
A'
A
B
C
D
C'
B'
A'
A
B
C

73

73
2. Movimiento de figuras (Problemas de traducción compleja)
Una maestra solicita a sus estudiantes que realicen diferentes movimientos a ciertas figuras geométricas. Para
ello, tiene que realizar paso a paso la traslación de un triángulo, la rotación de 45º de un pentágono y el
aumento de un triángulo. ¿Cuáles son los pasos a seguir? ¿Qué características tienen dichas figuras?
•
• ¿Qué movimientos tienen que realizar a cada figura?
_______________________________________________________________________________________
Diseño la estrategia
•
• ¿Qué pasos tienes que realizar?
_______________________________________________________________________________________
•
• Dibuja en el plano cartesiano un triángulo de vértices ABC; realiza la traslación de la figura y luego mide sus
lados y ángulos.
•
• Utiliza la regla y mide las longitudes de los segmen-
tos de cada triángulo: AB; AC; BC; A'B' ; A'C'; B'C'.
Comprueba si las longitudes de los lados corres-
pondientes son iguales.
•
• Toma el transportador y mide ahora los ángulos internos
del triángulo y compáralo con su correspondiente.
A B C A B C
, , ; ', ', '.
 
   
•
• Con esta transformación lineal, ¿se mantendrán las características originales del pentágono ABCDE?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Cómo son las medidas de los lados y los ángulos correspondientes?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
7
6
5
4
3
2
1
0
–1
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
7
6
5
4
3
2
1
0
–1
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
•
• Dibuja un pentágono de vértices ABCDE;
realiza una rotación de 45º en sentido horario,
y obtén un pentágono de vértices A’B’C’D’E’.
•
• Una vez realizada la transformación lineal de la
rotación, toma la regla y el transportador para
medir las longitudes y los ángulos correspon-
dientes de las dos figuras pentagonales.
Y
X
Y
X

74

•
• Dibuja un triángulo; luego realiza un aumento en la relación 1:2.
•
• Mide las longitudes de los lados correspondientes de los triángulos ABC y A’B’C’ y sus ángulos corres-
pondientes.
•
• ¿Qué sucede con las longitudes y sus ángulos?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Transformación
lineal
Medidas obtenidas
Longitud de los segmentos
correspondientes
Medida de los ángulos
correspondientes
Traslación
Rotación
Disminución
o aumento
7
6
5
4
3
2
1
0
–1
8
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4
Cuando dos figuras geométricas cumplen con lo descrito anteriormente, que los lados correspondientes
tienen la misma longitud, y que los ángulos correspondientes también tienen la misma medida, decimos que
las dos figuras son congruentes. Y si los lados de una figura son proporcionales o los lados de otra figura y sus
ángulos correspondientes tienen la misma medida, entonces las figuras son semejantes.
Por lo tanto, el triángulo ABC es congruente con el triángulo A’B’C’. El pentágono ABCDE es congruente con el
pentágono A’B’C’D’E’, y el triángulo ABC es semejante con el triángulo A’B’C’.
•
• Formen equipos de trabajo y realicen el análisis de las figuras anteriores y resuman las características de la
congruencia y semejanza en la siguiente tabla:
Y
X

75
Finalicemos
Metacognición
• ¿Qué pasos sigo para determinar si una figura
es congruente con otra?
• ¿Relaciono lo aprendido en situaciones
Reflexiona
• ¿Qué dificultades encontraste en la identificación
de traslación y rotación?
________________________________________
________________________________________
• ¿Crees que las transformaciones lineales te
pueden ayudar a realizar el plano de tu casa?
________________________________________
________________________________________
• ¿En qué situaciones cotidianas puedes hacer uso
de las transformaciones lineales?
________________________________________
________________________________________
1. Explica a través de ejemplos gráficos en qué
transformación lineal se evidencia la congruencia
de figuras y en cuál se evidencia la semejanza de
figuras.
2. Dibuja en tu cuaderno una pareja de figuras
congruentes.
3. Dibuja en tu cuaderno un par de figuras semejantes.
3. Identificando movimientos (Situaciones problemáticas realistas)
• Observa las figuras; describe qué movimiento se realizó y señala líneas de referencia.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Comprendo que las transformaciones
geométricas generan congruencia
o semejanza de figuras geométricas.
Puedo definir la congruencia de figuras
geométricas.
Interpreto claramente la semejanza
de figuras geométricas.
Diferencio entre congruencia
y semejanza de figuras geométricas.
Coevaluación
Expusimos con claridad las características
de la congruencia y semejanza de
figuras.
Manejamos fácilmente los procesos
de construcción del conocimiento en
esta ficha.
A
A'
B
B'
P'
O
_______________________________________________________________________________________
A
B
B'
P'
P

76
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Qué tipos de transformaciones realiza la gimnasta que se observa en la
imagen?
•
• Al pasar de la barra pequeña a la barra grande, ¿qué tipo de transfor-
mación realiza la gimnasta?
•
• ¿Qué tipos de ejercicios
físicos realizas?
•
• ¿Practicas algún tipo de
rutina física similar a esta
disciplina?
Las barras asimétricas, también denominadas paralelas asimétricas, son
uno de los cuatro aparatos que componen las competiciones de gimnasia
artística. Consisten en dos barras paralelas horizontales, de 2,4 m de largo
y 4 cm de diámetro, colocadas a distinta altura (2,5 m y 1,7 m). La distancia
entre las barras varía entre 1,3 m y 1,8 m.
La rutina de los ejercicios de este aparato debe fluir de un movimiento a
otro sin pausas, balanceos de sobra o apoyos de más. Cada ejercicio debe
incluir dos vueltas. Los gimnastas suelen subir a las barras utilizando un
trampolín.
Rotación y traslación
en disciplinas deportivas
16

77

Estela entrena en la Federación Peruana de Gimnasia tres veces por semana. Dentro de las prácticas realiza,
junto con sus compañeras, ejercicios de calentamiento sobre colchonetas llamadas "volteretas". ¿Qué trans-
formaciones podrían describir dichos movimientos?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• Cuando las 3 estudiantes de gimnasia rítmica entrenan su coreografía en el gimnasio de su colegio lo ha-
cen en un espacio reducido. Ellas son conscientes de que para la competencia semestral de su localidad el
escenario será 3 veces más amplio que el que usan regularmente. Ellas representan sus ubicaciones en el
gimnasio donde practican con tres puntos: A(2; –2), B(3; 0) y C(–1; 0). Grafica el ∆ABC en el plano cartesiano.
•
• Mide las longitudes de sus lados AB, BC y AC.
_______________________________________________________________________________________
•
• Para representar su ubicación en el escenario de la competencia, ellas mantienen fija una ubicación (A) y
triplican las distancias a las otras dos. Dibuja en el diagrama anterior dicha formación. Denota cada punto
con A', B' y C'.
•
• Mide ahora las longitudes de los lados A'B', B'C' y A'C'.
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Cómo varían las longitudes de los segmentos del ∆ABC y de ∆A'B'C'?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Cómo varían las longitudes de los segmentos del ∆A'B'C' y de ∆ABC?
_______________________________________________________________________________________
1
–1
–2
2
3
4
5
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7 2 3 4 5
0

78

•
• ¿Qué tipo de triángulo es ∆ABC? ¿Qué tipo de triángulo es ∆A'B'C'? ¿Por qué ocurre eso?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• Puedes indicar la medida de los ángulos internos del triángulo ∆ABC; mide también los ángulos internos
del triángulo ∆A’B’C’. ¿Han variado sus valores?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• Formen equipos de trabajo y empleen el programa GeoGebra para verificar lo realizado.
•
• En el primer cuadrante del plano cartesiano, construye un cuadrado de vértices ABCD, de lado 2 u, y a este
hazlo rotar al segundo cuadrante en sentido antihorario con un ángulo de 45º respecto al punto (–3; –2).
•
• ¿Han variado las dimensiones originales del cuadrado ABCD?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• Mide las distancias de los vértices de la figura ABCD al eje Y. Luego, mide las distancias de las longitudes
de los vértices de la figura A’B’C’D’ al eje Y. ¿Puedes decir que los segmentos correspondientes tienen las
mismas medidas?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
6
5
4
3
2
1
0
–1
–2
7
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4
Y
X

79

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué pasos he seguido para rotar una figura?
•
• ¿Relaciono lo aprendido en situaciones prácticas
de mi entorno?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades tuviste en representar la
rotación?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué momento de tu vida puedes utilizar uno
de los movimientos estudiados?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Crees que existe otra herramienta como
GeoGebra que te facilite hacer los trazos de forma
exacta?
________________________________________
________________________________________
1. Traslada un pentágono ABCDE del segundo
cuadrante al primer cuadrante y señala el
recorrido de sus vértices con rectas discontinuas
o punteadas. ¿Puedes decir que la longitud
de los segmentos que unen los vértices
correspondientes de las dos figuras es la misma?
Además, ¿con qué valor de otro segmento puedes
comparar?
•
• Completa el organizador gráfico con definiciones de cada movimiento.
Trazos
de
las
transformaciones
geométricas
Traslación.
Rotación.
Simetría.
Aumento o disminución de tamaño.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Dibujo los trazos de las transformacio-
nes geométricas.
Uso el programa GeoGebra para
representar transformaciones
geométricas.
Interpreto los trazos de cada una de las
transformaciones geométricas.
Diferencio las transformaciones
geométricas de acuerdo con sus trazos
o 'rastros'.
Coevaluación
Expusimos con claridad las formas
de trazos de las transformaciones
geométricas.
Manejamos fácilmente los procesos de
construcción del conocimiento en esta
unidad.

80
Evaluación
1. Juan es un corredor cuyo peso es 75 kg, aproximadamente. ¿Cuántas calorías habrá gastado en dicha competencia
al trasladarse de Tambomayo a Lucmapampa? Expresa en calorías y kilocalorías (considera kilocalorías = 103
cal).
2. Otro corredor ha considerado prepararse y correr tres veces a la semana un tramo de 15 km, para lo cual estima
gastar 1000 calorías. Si empieza su entrenamiento en el mes de enero y el evento es en la última semana de
junio, ¿cuánto habrá sido su gasto calórico en ese tiempo?
3. Completa la siguiente tabla con las operaciones indicadas:
Deporte y salud
¿Sabías que una persona que pesa más, necesita mayor energía para mover el cuerpo frente a alguien que es
más delgado? En la tabla, puedes encontrar el gasto calórico para los pesos más habituales.
Número Producto Potencia Raíz
100 10 × 10 102
102 = 10
1000
8 23
3
= 2
128 4 × 4 × 4 × 4
5 km 10 km 15 km 20 km Maratón
65 kg 337 cal 673 cal 1010 cal 1347 cal 2841 cal
75 kg 388,5 cal 777 cal 1165,5 cal 1554 cal 3278,5 cal
MARATÓN 40 km Perfildelatleta
Altura máxima 542 m CHASKY
Salida
32,9 km
18,7 km
13 km
6,1 km
29 km
23,7 km
Meta
36,5 km
Cerrillo Tambomayo La Quinua Oxamarca Lucmapampa Quisquimayoc Salvia Granja
Porcón
Cerrillo
Observa la siguiente información y responde.

81
5. Realiza un cartel sobre la importancia de hacer deporte y las ventajas que tiene para nuestra salud.
4. Observa los pasos de karate y expresa en
una cuadrícula cada desplazamiento.
Metacognición
1. ¿Qué ficha de esta unidad identifico como la más sencilla? ¿Por qué?____________________________
2. ¿Relaciono lo aprendido en situaciones prácticas de mi entorno? ________________________________
Autoevaluación
Relaciono las operaciones de la potenciación y la radicación
como opuestas.
Escribo un número en base 10.
Entiendo y aplico las reglas de la potenciación y radicación.
Identifico una transformación geométrica.
Represento una transformación geométrica en el plano
cartesiano.
Coevaluación
Realizamos operaciones aplicando las propiedades de la
potenciación y radicación.
Exponemos con claridad las formas de trazos de las
transformaciones geométricas.
Manejamos fácilmente los procesos de construcción del
conocimiento en esta unidad.
Producto
Pasos de karate
Tsugi-Ashi Ayumi-Ashi Okuri-Ashi
1
2
1
2
2 2 2
3 3
3
1
1 1

82
82
Unidad
3 Consumo de servicios
básicos
El Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) dio a conocer que, en el primer trimestre del 2014, se
incrementó el acceso a servicios básicos en los hogares del área rural. Según el informe técnico “Condiciones de
Vida en el Perú”, el mayor incremento se reportó en el acceso al servicio de agua.
Si se lee un recibo del agua, ¿de cuánto fue el
consumo en el mes que señala?, ¿qué tipo de
gráfico se reconoce en el recibo?, ¿cómo se
pueden inferir los posibles valores de consumo
entre setiembre del 2015 a abril del 2016?, ¿en
qué te basarías para plantear tales valores? Si
proyectáramos que el incremento de consumo
seguirá hasta diciembre del 2016, ¿de cuánto sería
este valor?, ¿cómo se comportó el consumo de
otros servicios en tu familia el año anterior?
La instalación de algunos servicios básicos como
electricidad, agua, telefonía fija, requiere el uso
de planos a escala que permiten economizar los
recursos de instalación y reconocer los procesos
que se van a realizar en un escenario real.
¿Cuántos metros de cable se necesitan para una
instalación como la que se muestra en el gráfico?,
¿qué se debe tener en cuenta para saber tal
cantidad?
Calle Yanahuara 323
OFICINA COMERCIAL YANAHUARA
Información general:
Información complementaria
Titular de la conexión:
Dirección del sumnistro:
Distrito:
YANAHUARA
Tipo de facturación: Frecuencia de facturación:
LECTURA Mensual
Tarifa: Categoría:
DOMÉSTICO RESIDENCIAL
Unidad de Uso: Tipo de descarga:
1
Información de pago
Evolución de su consumo de agua
Detalle de facturación
Fecha de emisión: Periodo
16/07/2016 06/2016 - 07/2016
Ref. de cobro: N.º de recibo:
5382900432 0847892003-272
Para Consultas
Sumnistro N.º
31074784
Concepto: Importe:
Volumen de Agua Potable 9,28
Servicio de Alcantarillado 4,06
Cargo Fijo 4,89
I.G.V. 31,82 x 18 % 5,73
Mora 0,03
Consumo del mes 23,99
Conex. dom. Cuota 58/120 7,72
Intereses 5,87
Estructura Tarifaria (05/07/2016)
Tarifa Rango Agua Alcant.
DOMÉSTICO 0 a 10 1,011 0,451
10 a 25 1,197 0,524
25 a 50 2,648 1,157
50 a más 4,490 1,962
Horario de abastecimiento
Código : VIN008
Frecuencia : DIARIO
De : 04:00 hrs.
Hasta : 21:00 hrs.
Diámetro Conex: 15 mm
Fecha de vencimiento: 22/08/2016
Importe total a pagar S/ *******37,58
0
5
10
15
25
30
35
m3
My Jn Ju Ag St Oc Nv Dc En Fb Mz Ab My
EMPRESA
DE AGUA
DEL SUR

83
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de regularidad,
equivalencia y cambio
•
• Identifica relaciones no explícitas entre términos y
valores proposicionales, y expresa la regla de formación
de una progresión aritmética.
•
• Usa la regla de formación de una progresión aritmética
al plantear y resolver problemas.
ideas matemáticas
•
• Describe el desarrollo de una progresión aritmética
empleando el término n-ésimo, índice del término,
razón o regla de formación.
•
• Emplea tablas y diagramas para reconocer relaciones
entre términos y valores proposicionales.
•
• Halla el n-ésimo término de una progresión aritmética
con números naturales.
•
• Emplea estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros
al resolver problema de progresión aritmética.
•
• Calcula la suma de n términos de una progresión
aritmética.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Plantea conjeturas respecto a la obtención de la suma
de términos de una progresión aritmética.
•
• Justifica el vínculo entre una sucesión y una progresión
aritmética.
•
• Prueba la progresión aritmética a partir de su regla de
formación (expresado de manera verbal o simbólica).
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de forma,
movimiento
y localización
•
• Expresa diseños de planos y mapas a escala con
regiones y formas.
•
• Diferencia y usa planos o mapas a escala al plantear
o resolver un problema.
ideas matemáticas
•
• Representa cuerpos en mapas o planos a escala,
considerando la información que muestra posiciones
en perspectiva o que contiene la ubicación y distancias
entre objetos.
•
• Usa estrategias y procedimientos relacionados a la
proporcionalidad entre las medidas de lados de figuras
semejantes al resolver problemas con mapas o planos
a escala, con recursos gráficos y otros.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Justifica la localización de cuerpos a partir de sus
coordenadas (con signo positivo y negativo) y ángulos
conocidos.
•
• Justifica condiciones de proporcionalidad en el
perímetro, área y volumen entre el objeto real y el de
escala, en mapas y planos.

84
Ficha
Iniciemos
17
•
• Determina la diferencia en la producción de los años 2011 y 2012; 2012 y
2013; 2013 y 2014; 2014 y 2015.
•
• ¿Cuál es la tendencia del consumo eléctrico para el 2020?
•
• ¿Se puede estimar cuál sería la producción nacional para el año 2016
con los datos presentados?
•
• ¿Sabes cuántos voltios
son necesarios para
que funcione un
electrodoméstico?
•
• ¿De qué depende
el pago por servicio
eléctrico?
•
• ¿Los electrodomésticos
consumen la misma
cantidad de energía?
Explica.
En nuestro país, actualmente se está trabajando en la concientización del
ahorro de energía y en cómo ser eficientes energéticamente; esto significa
consumir menos energía para obtener un mismo servicio.
Es importante plantear un plan de ahorro energético e implementarlo a
nivel industrial, pero sobre todo a nivel doméstico. Es también importante
conocer las cifras que nos han ido acompañando como usuarios. En la
tabla se muestra la producción de energía eléctrica, en gigavatios-hora, a
nivel nacional en el quinquenio (2011-2015).
Año 2011 2012 2013 2014 2015
Producción Nacional (GWh) 3205 3369 3541 3721 3911
Un crecimiento del consumo eléctrico, como se viene dando, implica que
en menos de 9 años ese consumo se duplicará, lo cual exige la construcción
de grandes y numerosas instalaciones eléctricas.
Energía eléctrica
Regularidad, equivalencia y cambio

85

1. Planteo problemas de acuerdo al contexto
Con el fin de dar un buen uso de la energía, el administrador de un conjunto residencial ha organizado
un concurso para reducir el consumo de energía eléctrica; por lo cual premiará a los 5 primeros lugares.
Para ello, ha asignado S/ 3000 para los premios, de los cuales S/ 1000 son para el primer lugar, el resto será
para los 4 lugares restantes, con la condición de que siempre haya una misma diferencia entre dos lugares
consecutivos. ¿Cómo logró repartir los premios? ¿Cuánto recibió cada ganador?
2. Reconozco el principal problema y trazo un plan
•
• Reúnete con tres compañeros; discutan las posibles ideas para resolver el problema y regístrenlas.
3. Experimento para resolver el problema
•
• ¿Cómo representarías a cada participante?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué tipo de progresión representan los cinco términos?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuántos términos tiene la progresión?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuál es el valor del primer término de la progresión? _________________________________________
•
• ¿Cuál es el valor del primer premio? _______________________________________________________
•
• Supón que la diferencia entre el primer lugar y el segundo lugar es de 500; ¿cuánto recibiría el segundo
lugar? ______________________________________________________________________________
•
• ¿Cuántos términos tendría la progresión si existieran 6 lugares restantes? __________________________
•
• ¿Cuánto deben sumar los cinco premios? ___________________________________________________
•
• Escribe una situación en la que realices una progresión aritmética.
Resolvamos: Modelación matemática
•
• ¿Es correcto suponer que la diferencia entre el primer lugar y el segundo sea 500? Explica.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

86

4. Propongo una expresión matemática
•
• Representa el primer término de una progresión aritmética. ____________________________________
•
• Representa el segundo término de una progresión aritmética en función del primero. ________________
•
• Representa el tercer término de una progresión aritmética en función del primero. __________________
•
• Representa el segundo premio del concurso en función del primero. _____________________________
•
• Representa el tercer premio del concurso en función del primero. _______________________________
•
Primer lugar = a1 Segundo lugar = a2 Tercer lugar = a3 Cuarto lugar = a4 Quinto lugar = a5
1000 1000 + 2d
•
• Suma los cinco términos obtenidos en el paso anterior; iguala a 3000.
•
• Reduce términos semejantes.
•
• De la expresión anterior, despeja d.
•
• Simplifica la expresión que representa d.

87

Finalicemos

Metacognición
•
• ¿Qué pasos seguí para determinar el término
n-ésimo en una sucesión?
•
• ¿En qué otros casos aplicaría estos nuevos
conocimientos en mi vida diaria?
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Expreso la regla de formación de una
progresión aritmética.
Uso la regla de formación de una
progresión aritmética para plantear
y resolver problemas.
Expreso el término n-ésimo (an) de una
progresión aritmética en función del
primer término y de su razón.
Coevaluación
Logramos comunicarnos entre
equipos de trabajo.
Participamos todos para resolver el
problema.
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultad tuviste para encontrar los términos
de una sucesión?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿De qué tipos pueden ser las progresiones aritméticas?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Es posible resolver el problema si se cambia el
valor que recibe el primer lugar?
________________________________________
________________________________________
1. Organiza con tus compañeros de tu clase un
simulacro de reducción de consumo eléctrico de
tu barrio. Designa una cantidad de dinero para
repartir como premios a 5 personas.
2. Presenta tu plan para repartir el dinero recaudado
entre los 5 primeros lugares de tal forma que la
diferencia entre dos ganadores consecutivos
siempre sea la misma.
3. ¿Cuáles son las condiciones que se deben conocer
para encontrar los términos de una progresión?
5. Valido la solución del problema
•
• Reúnete con compañeros de otros equipos y discutan cómo se puede llegar a saber cuánto le corresponde
a cada ganador. Escribe el valor que recibirá cada ganador y compara con tus compañeros.
Primer lugar = a1 Segundo lugar = a2 Tercer lugar = a3 Cuarto lugar = a4 Quinto lugar = a5
•
• Encuentra el 5.o
término de una progresión cuyo primer término es 3 y su diferencia 2.
___________________________________________________________________________________
•
• Encuentra el 8.o
término de una progresión cuyo primer término es 5 y su diferencia 3.
___________________________________________________________________________________

88
Ficha

Taller matemático
1. Plan de riego (Problemas de traducción simple)
Para elaborar un plan de riego, Carlos ha observado el comportamiento de una tubería; para eso necesita
calcular la suma de las gotas de los 10 primeros momentos. Si observó que inicialmente cayeron 20 gotas y la
diferencia entre cada momento es de –2.
•
• ¿Qué necesita calcular Carlos?
•
• ¿Qué conocimientos debe tener?
•
• ¿Qué datos conoce?
•
• ¿Qué expresión utiliza para resolver la situación problemática?
•
• Responde la interrogante.
18
Importancia del agua

89

2. Uso del agua (Problemas de traducción compleja)
Con el fin de optimizar el uso del agua en regiones
áridas, se desarrolló la técnica de irrigación por go-
teo o gota a gota. Andrés es un científico especiali-
zado en esta técnica. En uno de sus experimentos
más recientes, organizó la irrigación de un cultivo de
la siguiente manera: el primer día una gota de agua,
el segundo día tres gotas, el tercer día cinco gotas
y así sucesivamente, cada día dos gotas más que el
día anterior. Explica cómo se puede saber cuántas
gotas se han gastado hasta el día 7.
•
• Escribe el problema de otra forma para que puedas resolverlo.
•
• ¿Cuántas gotas le corresponden al día 3? ___________________________________________________
•
• ¿Cuántas gotas se han gastado hasta el día 3? _______________________________________________
•
• Elabora una tabla para conocer el número de gotas al 7.º día.
¿cómo sería el registro hasta el quinto día?
•
• Si el científico ha registrado las gotas gastadas
de la siguiente manera:
N.º de gotas
1 3 5
Día 1
Día 2
Día 3
Número de días Número de gotas Total gotas
1 1 1
2 3 4
3

90

•
• Representa el primer término de una progresión aritmética _________________________________
•
• Representa el número de gotas gastadas en el día 7 en función de las gotas gastadas en el primer día.
________________________________________________________________________________
•
• Representa la suma de gotas para cualquier número de días.
________________________________________________________________________________
Escribe el número de gotas que corresponde a cada día y compara con tus compañeros los resultados obtenidos.
•
• Observa la tabla anterior y escribe cuántas gotas se han gastado hasta el día 7. __________________
•
• Observa la tabla anterior y escribe cuántas gotas se han gastado hasta el día n. __________________
3. Ahorro de agua (Situaciones problemáticas realistas)
Con motivo de cuidar el medioambiente, Luis quiere
ahorrar el agua con la que lava los autos. Él utiliza 2000 litros
de agua en una semana. Si se propone ahorrar la mitad
de lo que ahorró la semana anterior, ¿cuántos litros habrá
ahorrado en 10 semanas?
•
• ¿Cuáles son los datos del problema?
•
• ¿Qué fórmula utilizas para la solución?
Primer día = a1 Segundo día = a2 Tercer día = a3 Cuarto día = a4 Quinto día = a5
12
22
= 1 + 3 32
= 1 + 3 + 5 42
= 1 + 3 + 5 + 7 52
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9
Total de gotas gastadas

91

Finalicemos

Metacognición
•
• ¿Qué estrategia utilicé para el desarrollo de las
actividades?
•
• ¿En qué otros casos de mi vida diaria aplicaría
estos nuevos conocimientos?
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Hallo cualquier término de una
Expreso cualquier término en función
del primero.
Calculo la suma de los términos de una
progresión.
Planteo formas para obtener la suma
de los términos de una progresión
aritmética.
Coevaluación
equipos de trabajo.
Todos participamos para resolver
el problema.
Reflexiona
•
• ¿Qué parte de la resolución del problema te pareció
más difícil?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Qué te parece la forma de registrar las gotas
consumidas por el científico?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Porquéesnecesarioencontrarmodelosmatemáticos?
________________________________________
________________________________________
1. Pinta con un solo color un rectángulo de dos
cuadrados de base por un cuadrado de alto.
2. Toma otro color y pinta 4 rectángulos de manera
que el rectángulo anterior se complete a un
rectángulo de tres cuadrados de base por dos de
alto; por ejemplo:
•
• Resuelve el problema.

92
Ficha
Iniciemos
Responde la pregunta.
•
• En la tabla, ¿observas alguna relación entre la masa y el precio de cada
celular? Fundamenta tu respuesta.
•
• ¿Qué empresas de telefonía
conoces?
•
• ¿Qué planes o servicios
ofrecen estas empresas en
tu localidad?
Uno de los mejores inventos del ser humano es, sin duda, el teléfono. La
creación de este aparato ha mejorado las condiciones de vida de quienes
lo usamos; ha permitido salvar vidas y nos ha mantenido comunicados con
nuestros seres queridos y compañeros de estudio y trabajo. A lo largo del
tiempo la telefonía ha ido evolucionando desde el discado automático y los
teléfonos inalámbricos, hasta los celulares y, actualmente, los smartphones.
Estos últimos, a su vez, se han convertido en un beneficio incomparable
por la gran variedad de aplicaciones que nos pueden ofrecer, impensables
pocos años atrás.
Algunos modelos de celulares a lo largo del tiempo
Modelo
Motorola
Dynatac
8000X
Simon
Personal
Communicator
Motorola
Startac
Kyocera
QCP6035
Samsung
Galaxy S6
Año de
lanzamiento
1982 1993 1996 2000 2015
Masa (g) 780 500 94 208 138
Precio
(dólares)
3995 900 1000 500 699
En la actualidad, encontramos en el mercado equipos y planes telefónicos
que facilitan la comunicación de toda la población.
Evolución de la telefonía
19

93
Mes del año Consumo de teléfono Dinero en el banco
1 1 300
2 1
3
4
5
6 8 330
7
8
9
10
11
12

1. Planteo problemas de acuerdo con el contexto
Carlos, que es un adolescente aficionado a la tecnología y la matemática, deposita en el banco S/ 300, el cual le
paga mensualmente el 2 % de lo depositado siempre y cuando no retire el capital durante un año. Por otro lado,
planifica hacer sus consumos de teléfono del siguiente modo: los dos primeros meses únicamente consumirá
S/1 por mes, y a partir del tercer mes consumirá lo que sumen los dos meses anteriores. Carlos se da cuenta
de que tanto el monto ahorrado en el banco como el consumo forman sucesiones, pero una de ellas es una
progresión aritmética. ¿Cómo puedes explicar el descubrimiento de Carlos? ¿Le alcanzará para pagar lo que
consuma durante un año con lo que tenga en el banco?
•
• Reúnete con dos compañeros; discutan las posibles ideas para resolver el problema y regístrenlas.
•
• Llena la siguiente tabla.

94

•
• ¿Cuál es la diferencia de consumo telefónico entre el mes 6 y 7? ________________________________
•
• ¿Cuál es la diferencia de consumo telefónico entre el mes 10 y 11? ______________________________
•
• ¿Cuál es la diferencia de la cantidad de dinero que se encuentra en el banco entre el mes 6 y 7? _______
•
• ¿Cuál es la diferencia de la cantidad de dinero que se encuentra en el banco entre el mes 10 y 11? ______
•
• ¿Cuánto suma el consumo del primer mes y el mes décimo segundo? ____________________________
•
• ¿Cuánto suma el consumo del segundo mes y el mes décimo primero? ____________________________
•
• ¿Cuánto suma la cantidad de dinero que hay en el banco en el primer mes y el mes décimo segundo?
______________________
•
• ¿Cuánto suma la cantidad de dinero que hay en el banco en el segundo mes y el mes décimo primero?
______________________
Discute y compara con tus compañeros de equipo el método de cómo llegaron a determinar cuál sucesión es
una progresión aritmética. Escribe tus ideas a continuación.
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Reúnete con compañeros de otros equipos y discutan cómo se puede llegar a determinar si una sucesión es una
progresión aritmética o no. Una vez que hayan compartido sus conocimientos, pueden contestar individual-
mente las siguientes preguntas y discutir sus resultados.
•
• ¿La sucesión de números que Carlos verá cada mes en su cuenta de ahorros es una progresión aritmética o no?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿El incremento en los montos en la cuenta de Carlos es constante? ______________________________
•
• ¿Los incrementos mensuales en el consumo de teléfono de Carlos son constantes? _________________
•
• ¿Cuánto ha consumido Carlos en el mes 12? ________________________________________________
•
• ¿Cuánto ha consumido Carlos en los 12 meses? _____________________________________________
•
• ¿Cuánto se incrementa cada mes en la cuenta de Carlos? ______________________________________
•
• ¿Cuánto registraría en el mes 12 en la cuenta de Carlos? _______________________________________
•
• ¿Cuánto debería recibir Carlos después de los 12 meses? ______________________________________
•
• ¿Es suficiente lo que tiene Carlos en el banco en el mes 12 para pagar lo que ha consumido en los 12 meses?
___________________________________________________________________________________
•
• Escribe tres progresiones aritméticas crecientes. ______________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Escribe tres progresiones aritméticas decrecientes. ____________________________________________
___________________________________________________________________________________

95

Finalicemos

Metacognición
•
• ¿Para qué me pueden servir las progresiones
aritméticas en mi vida?
•
• ¿Cómo relaciono este nuevo conocimiento
con lo que ya conozco?
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Diferencio claramente entre una
sucesión y una progresión aritmética.
Expreso la ley de formación de una
progresión aritmética de manera
verbal.
Escribo la ley de formación de una
Justifico cuándo una sucesión es una
Coevaluación
Nos comunicamos entre equipos de
trabajo.
problema.
Reflexiona
•
• ¿Qué diferencias y semejanzas existe entre una
sucesión y una progresión aritmética?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Qué parte de la resolución del problema te pareció
más difícil?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Por qué crees que se las llama progresiones
aritméticas?
________________________________________
________________________________________
1. Toma una hoja de papel, dóblala por la mitad
y registra cuántos rectángulos se forman.
2. Una vez doblada la hoja por la mitad, vuelve a
doblarla por la mitad y registra los rectángulos
que se forman. Repite este proceso las veces que
puedas. No llegarás a las 7 veces, ¡compruébalo!
3. Escribe la sucesión de rectángulos que se forman
al doblar una hoja en forma consecutiva por la
mitad y verifica si es progresión aritmética o no.
•
• Escribe tres sucesiones que no sean progresiones aritméticas.
__________________________________________________________________________________
•
• Escribe la palabra creciente o decreciente, según lo que corresponda a cada progresión aritmética.
–5; –7; –9; –11 ________________________________
–5; –4; –3; –2 _________________________________
95; 90; 85; 80 _________________________________
1; 2; 3; 4; 5; 6 _________________________________
•
• Escribe: progresión aritmética o sucesión, según lo que corresponda a cada caso.
–1; –1; –2; –3; –5 ______________________________
1; 2; 4; 8; 16 __________________________________
1; 2; 3; 4; 5 ___________________________________

96
Ficha
Iniciemos
• ¿Qué beneficios tiene la creación de centrales de energía eólica?
• Al girar el rotor, ¿qué figura plana describe?
• ¿Conoces los usos que se
pueden dar a la energía que
produce el viento?
• ¿Sabes lo que son los
molinos de viento?
• ¿Cuáles han sido los usos de
los molinos de viento?
Ensetiembredel2014,trasveintidósmesesdeconstrucción,seinauguraron
las centrales eólicas de Cupisnique y Talara, consideradas las más grandes
del Perú.
Las dos centrales poseen una capacidad instalada igual a los 114 MW.
Además, cada una de las centrales se beneficia de un acuerdo de compra
de energía por 20 años y forma parte del programa Recursos Energéticos
Renovables (RER) del Perú.
Con esta inauguración, nuestro país da un gran paso a la integración de la
energía eólica en la red eléctrica nacional.
Fuente: El Comercio, setiembre, 2014
Centrales eólicas
20
Incremento del tamaño
de la turbina
Boeing 747
1980-1990
1990-1995
1995-2000
2000-2005
2005-2010
2010-
2010-
Futuro Futuro
Futuro de las
turbinas de viento
Diámetro de rotor (m)
Clasificación (kW)
250m
20,000kW
150m
10,000kW
125m
5,000kW
100m
3,000kW
80m
1,800kW
70m
1,500kW
50m
750kW
17m
75kW
Campo
de fútbol
Altura
del
eje
(m)
300
260
220
180
140
100
60
20
30m
300kW

97

•
• Un arquitecto trabaja el plano de un proyecto de construcción de una central eólica. Él determina dos
terrenos proporcionales para la ubicación de una fuente primaria (terreno 1) y otra de apoyo (terreno 2).
Utliza una regla para medir las longitudes de cada terreno.
•
• Establece el porcentaje del área del terreno 1 con respecto al área del terreno 2.
__________________________________________________________________________________
•
• Identifica el porcentaje de reducción del terreno 2 en comparación con el terreno 1.
__________________________________________________________________________________
Sigue estas indicaciones y contesta cuando se solicita hacerlo.
•
• Reproduce las dos figuras en tu cuaderno y establece las dimensiones junto a la unidad de medida de cada
una de ellas.
__________________________________________________________________________________
•
• Calcula la diferencia entre las dimensiones respectivas.
__________________________________________________________________________________
•
• Calcula el porcentaje de aumento o disminución entre las dimensiones comparadas.
__________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuántas veces aumentaron o disminuyeron las dimensiones?
__________________________________________________________________________________
•
• Calcula el área de cada una de las figuras y escribe su resultado.
__________________________________________________________________________________
•
• Calcula la diferencia entre las áreas.
__________________________________________________________________________________
•
• Calcula el porcentaje de aumento o disminución entre las áreas comparadas.
__________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó un área con respecto a la otra?
__________________________________________________________________________________
•
• Al duplicar las dimensiones de uno de los terrenos, ¿cuánto se incrementa el área?
__________________________________________________________________________________
Terreno 1 Terreno 2

98

•
• Si incrementas el 100 % a cada una de las dimensiones, ¿en qué porcentaje se incrementa el área?
__________________________________________________________________________________
•
• Si triplicas las dimensiones de cada terreno, ¿cuántas veces se incrementa el área?
__________________________________________________________________________________
•
• Si incrementas al 200 % a cada una de las dimensiones, ¿qué porcentaje se incrementa el área?
__________________________________________________________________________________
•
• Si reduces a la mitad cada una de las dimensiones, ¿a qué parte del original se reduce el área resultante?
__________________________________________________________________________________
•
• Si reduces el 50 % cada una de las dimensiones, ¿a qué porcentaje del original se reduce el área resultante?
__________________________________________________________________________________
Elige un expositor y discute con tus compañeros; redacta lo que tu equipo va a exponer sobre cómo se consi-
guió contestar cada una de las siguientes preguntas.
•
• ¿Quéporcentajehanaumentadoodisminuidolasdimensionesdelosterrenosalcompararlaslaunaconlaotra?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué porcentaje ha aumentado o disminuido las áreas de los terrenos al compararlas la una con la otra?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué relación existe entre el aumento o disminución de las dimensiones de los terrenos con el aumento o
disminución de sus áreas respectivas?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
•
• Las turbinas eólicas que se ubican en cada uno de los terrenos son como se observa en la figura.
•
• Realiza la representación de la turbina con sus dimensiones si esta se reduce un 80 %.
5,5 m
1,8 m

99
Aumento de las
dimensiones
Porcentaje del área
inicial
10 %
50 %
100 %
1 000 %
Al doble
Al triple
Disminución de las
dimensiones
Porcentaje del área
inicial
10 %
50 %
A la mitad
A la tercera parte

Finalicemos

Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Amplío y reduzco figuras geométricas.
Utilizo la ampliación o reducción para
resolver problemas.
Establezco relación entre superficies.
Establezco semejanzas entre la figura
original y la figura transformada.
Coevaluación
Nos comunicamos entre equipos
de trabajo.
Participamos todos para elaborar
el cartel.
Metacognición
•
• ¿Qué pasos seguiría para graficar la ampliación
o reducción de una figura?
•
en mi vida diaria?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades tuviste al momento de resolver
la ampliación o reducción?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Es más fácil ampliar o reducir?
________________________________________
________________________________________
•
• Al ampliar o reducir una figura, ¿se mantienen sus
propiedades?
________________________________________
________________________________________
1. Consulta el proceso para hacer dibujos
empleando una cuadrícula. Escoge un dibujo
y realiza la ampliación y reducción de la figura
mediante dicho proceso.
2. Averigua sobre el pantógrafo y su uso en la
ampliación o reducción de dibujos.
3. Investiga sobre el compás de reducción y su
uso para el desarrollo de figuras. Establece si
las figuras construidas con este instrumento son
semejantes.
Reúnete con compañeros de otros equipos y elaboren un cartel para el aula en el que se expongan en un cua-
dro de doble entrada ampliaciones y reducciones. Completa el siguiente cuadro para que puedas guiarte.

100
Ficha
Taller matemático
1. A. Superficie de un continente (Problema de traducción simple)
A continuación, se presenta un mapa de la Antártida.
• Estima el área de la Antártida utilizando la escala que acompaña al mapa. Muestra cómo has hecho los
cálculos y explica cómo has realizado tu estimación. Puedes dibujar sobre el mapa si te es útil para hacer
tu estimado.
Mapas y planos a escala
21

101

B. Identificando mapas y planos
Xavier visitó una exposición de arquitectura donde se exhiben algunos mapas y planos; entre ellos pudo
observar los siguientes:
•
• ¿Cuáles son las escalas que observó Xavier en el mapa y en el plano de la casa?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué escalas son las más utilizadas para elaborar mapas? _____________________________________
•
• Si tomamos la escala 1:100 000, ¿qué representa el número 1 y qué representa el 100 000?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué escalas son las más utilizadas para elaborar planos? _____________________________________
•
• Si tomamos la escala 1:100, ¿qué representa el número 1 y qué representa el 100?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
•
• Escribe la relación que existe entre el mapa mostrado y la realidad.
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
•
• Escribe la relación que existe entre el plano mostrado y la realidad.
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
LORETO
UCAYALI
MADRE DE DIOS
PUNO
AREQUIPA
AMAZONAS
TUMBES
PIURA
SAN MARTÍN
HUÁNUCO
CAJAMARCA
JUNÍN
PASCO
CUSCO
TACNA
MOQUEGUA
ICA
ÁNCASH
APURÍMAC
LA LIBERTAD
AYACUCHO
LAMBAYEQUE
HUANCAVELICA
LIMA
CALLAO
Lago
Titicaca
Escala 1:140
0 100 000 200 000 300 000 400 000 500 000
1: 200 000

102

2. Analizando mapas y planos (Problemas de traducción compleja)
Xavier analiza el tamaño a escala del mapa y del plano y quiere compararlos con la realidad para conocer las
superficies correspondientes.
•
• ¿Cuál es la relación que existe entre cualquier mapa y la realidad?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuál es la relación que existe entre cualquier plano y la realidad?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
•
• En fórmula, ¿cómo expresarías la escala? __________________________________________________
•
• Si decimos que “Cada centímetro es cinco kilómetros”, en escala es: ____________________________
•
• En parejas, completen la tabla, analicen y calculen la medida real en kilómetros.
Escala
Medida
en dibujo
Medida real
Medida real en
metros
Medida real en
kilómetros
1:250 000 1 cm 250 000 cm 2500 m 2,5 km
1:1 000 000
1:100
1:150
3. Diseñando un plano (Situaciones problemáticas realistas)
Xavier desea aplicar los conocimientos adquiridos en su visita a la exposición de arquitectura y elabora un plano
de su dormitorio. Si la escala que va a utilizar es de 1:100 y su dormitorio es como la figura que se muestra,
¿qué medidas tiene la figura? Ayúdalo a resolver la inquietud.
4,10
0,93
3,07
0,98
4,75
2,69
1,57
Habitación 1
17,93 m2
4,36

103

Finalicemos

Metacognición
•
• ¿Qué conocimientos nuevos adquirí en estas
actividades?
•
en mi vida diaria?
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Identifico elementos de la escala.
Describo una escala.
Trazo planos empleando escalas.
Coevaluación
y constructiva.
Reflexiona
•
obtener medidas reales cuando se trabaja con
escalas?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te sirvió utilizar la tabla para reconocer los
elementos de una escala y su conversión?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué situaciones has utilizado escalas para
resolver problemas?
________________________________________
1. Elabora un plano de tu colegio utilizando la escala
1:100.
2. Mide sobre el plano los segmentos AB, BC y AC.
Calcula las distancias reales entre esos tres pueblos.
•
• Diseña el plano del dormitorio de Xavier con la escala correspondiente.
A
B
C
Escala 1 : 400 000

104
Ficha

Taller matemático
1. A. Compra de un departamento (Problemas de traducción simple)
Este es el plano del departamento que los padres de Jorge quieren comprar a una agencia inmobiliaria. ¿Cuál
es el área del departamento?
Para calcular la superficie (área) total del departamento (incluidas la terraza y las paredes) puedes medir el tamaño
de cada habitación. Calcula la superficie de cada una y suma todas las superficies.
•
• ¿Cuál es el área real del dormitorio?
__________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuál es el área real del baño?
__________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuál es el área real del salón?
__________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuál es el área real de la cocina?
__________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuál es el área real de la terraza?
__________________________________________________________________________________
Otro método
No obstante, existe un método más eficaz para calcular la superficie total en el que solo tienes que medir
4 longitudes. Señala en el plano anterior las cuatro longitudes necesarias para calcular la superficie total del
departamento.
Proporcionalidad
en la vida diaria
22
Escala: 1:100
7,5 cm
10 cm
11
cm
5,8
cm

105

B. Dibujando barcos
La maestra de matemática solicita a sus estudiantes hacer el gráfico de un barco; al revisar los trabajos observó
que cada estudiante utilizó escalas diferentes, y analizó dos de ellos.
•
• Observa la figura que comparó.
•
• Para obtener el dibujo grande, ¿qué escala se utilizó en relación con el dibujo pequeño?
•
• ¿Qué representa la escala 1:2?
•
• Si se utiliza la escala 1:10, ¿qué representa?
•
• Escribe como razón la escala que se generó entre los dibujos.
•
• Escribe la semejanza entre los dibujos.
•
• ¿Para qué sirve una proporción?

106

2. Comparando terrenos (Problemas de traducción compleja)
Camila y Gustavo comparan sus terrenos, que se muestran como figuras semejantes. El terreno de Camila mide
8 m × 20 m, y el lado menor del terreno de Gustavo mide 6 m. Observa los terrenos y calcula:
•
• La razón de semejanza para pasar del primero al segundo.
•
• El lado mayor del terreno de Gustavo.
•
• Las áreas de ambos rectángulos.
•
• ¿Crees que los criterios de semejanza ayudan a comprender la realidad de forma acertada?
__________________________________________________________________________________
3. Confeccionando tapetes (Situaciones problemáticas realistas)
Susy confecciona dos tapetes para unas mesas centrales y necesita conocer si los tapetes confeccionados son
semejantes, para lo cual mide sus lados y sus ángulos. Si los tapetes tienen las medidas que se muestran a
continuación, verifica si son semejantes o no.
20 m x
8 m 6 m
Terreno de Camila Terreno de Gustavo
A
A’
B
5 dm
5 dm
8 dm
24º
125º
10 dm
B’
C
C’

107

Finalicemos

Metacognición
•
actividad?
•
• ¿Tuve alguna dificultad para entender los
ejemplos o términos usados?
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Diferencio una razón de una
proporción.
Amplío o reduzco polígonos a partir
de una muestra dada.
Identifico mediante cálculos figuras
semejantes.
Aplico criterios de semejanza para
solucionar triángulos.
Coevaluación
y constructiva.
Reflexiona
•
obtener razones y proporciones?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué situaciones empleas la semejanza?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Has utilizado semejanzas para resolver problemas?
________________________________________
________________________________________
1. Se tiene una avioneta hecha a escala 1:50 con las
siguientes medidas: largo 32 cm, ancho 24 cm
y alto 8 cm. Calcula las dimensiones reales del
aparato.
2. Elabora una nueva situación para que puedas
aplicar semejanza de figuras y calcula distancias
o áreas.
3. Selecciona una fotografía de tu familia en la que
estén de pie. Sabiendo la estatura de tu papá,
calcula las demás estaturas.
•
• Calcula ángulos y lados.

108
Ficha
Iniciemos
•
• Cuando nos expresamos al guiar un camino o indicar un lugar, en
ocasiones, denominamos a dos calles como paralelas. ¿Dos avenidas
denominadas paralelas, serán representadas en un mapa como seg-
mentos paralelos?
•
• Elabora un croquis donde indiques dos maneras de llegar a la tienda, a
la librería o a otro centro cercano respecto de tu colegio.
•
• ¿En tu localidad hay un
sistema de red vial?
•
• ¿La señalización que
encuentras en tu localidad
permitiría encontrar
fácilmente tu vivienda en
caso de guiar a alguien que
no la conoce?
La red vial del país cuenta con más de 78 000 km de carreteras, las cuales
se organizan en tres grupos: longitudinales, de penetración y de enlace. El
Perú cuenta con varios tipos de carreteras. Existen rutas internacionales,
como la Panamericana; rutas nacionales, como la Carretera Central; rutas
departamentales y rutas rurales.
Cada una de las vías reciben mantenimiento, construcción o mejoramiento
por parte del Estado o de cualquier empresa que las reciba en concesión.
Por su composición y el tipo de vehículos que las transitan, las vías peruanas
se pueden clasificar en autopistas, asfaltadas o caminos afirmados.
Red vial del Perú
23

109
Cuando te trasladas de un lugar a otro, realizas un trayecto. Considerando tu casa como punto de referencia,
dibuja un croquis del trayecto que recorres hasta una vía principal de tu ciudad.
• ¿Cuál es tu punto de partida? ___________________________________________________________
• ¿Qué puntos consideraste como referencias para trazar el recorrido?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
• ¿Cuál es tu punto de llegada? __________________________________________________________
• ¿Cómo representas la longitud real del trayecto en tu croquis?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Supongamos que tu casa está ubicada en la ciudad de Tumbes, en las calles Benavides y San Román. El centro
de recaudación se encuentra en la esquina de la Plaza de Armas de Tumbes, en las calles Francisco Bolognesi y
Miguel Grau, como lo indica el siguiente croquis o mapa.
Fuente: https://www.google.com.pe/maps/@-3.5717983,-80.4583988,17.5z
Filipinas
F
i
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Armas de
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Benavides
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Miguel Grau
Catedral de Tumbes
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J
o
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G
á
l
v
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7 De Enero

110

•
• Ahora traslada el recorrido de mapa o croquis a un sistema de ejes coordenados.
•
• Ubica tu punto de partida en el origen de coordenadas (0; 0) y el punto final del recorrido (lugar de
recaudación).
•
• Un centímetro de cuadrícula representa aproximadamente una cuadra o 100 m.
•
• Identifica las transformaciones utilizadas para describir la ruta que te lleva del punto inicial al centro de
recaudación.
___________________________________________________________________________________
•
• Con tus compañeros de equipo, comenten las diferencias entre un croquis y un plano de coordenadas.
___________________________________________________________________________________
•
• Puedes llegar al centro de recaudación, siguiendo otra ruta. Representa la nueva trayectoria y sus
coordenadas en el plano.
•
• ¿Existeunatrayectoriamáscortaparallegaralcen-
tro de recaudación? Si es así, grafica en el plano.
•
• Si tu trayectoria forma un ángulo de inclina-
ción, ¿cuánto mide dicho ángulo?
____________________________________
____________________________________
Resumiendo, se puede llevar un gráfico de un croquis
al plano cartesiano para conocer sus coordenadas de
ubicación, así como las distancias de la trayectoria se-
guida y el ángulo de inclinación.

111

Finalicemos

Metacognición
•
• ¿En qué otras situaciones Google maps es útil?
•
• ¿En qué otras situaciones de la vida cotidiana
puedo aplicar lo aprendido?
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Utilizo los instrumentos pertinentes
para realizar un croquis o mapa.
Represento una situación real en el
plano cartesiano.
Relaciono distancias reales en la
cuadrícula del plano cartesiano.
Diferencio un ángulo positivo de un
ángulo negativo.
Coevaluación
Utilizamos coordenadas para
representar la localización de objetos.
Apoyamos a otros compañeros en el
desarrollo de la actividad.
Reflexiona
•
• Dadas las coordenadas de un objeto, ¿podemos
conocer su ubicación con respecto a un punto
que nos sirve como referencia?
________________________________________
•
• Mediante las transformaciones geométricas,
¿podemos representar cuerpos en el plano
cartesiano?
________________________________________
•
• ¿Se puede representar las dimensiones reales de
cualquier objeto en el plano cartesiano?
________________________________________
1. Ingresa a Google maps, identifica la distancia de
Lima a Cusco.
a. Representa la trayectoria del viaje en
automóvil desde la ciudad de Lima a la ciudad
del Cusco. Utiliza trayectorias perpendiculares.
b. Representa la trayectoria del viaje en avión
desde Lima a Cusco.
2. Busca en un mapa del Perú dos ciudades, identifica
las vías que las comunican y consulta por las rutas
que viajan de una ciudad a otra. Construye una tabla
y establece el trayecto más corto.
•
• De acuerdo con el trabajo realizado, completa el esquema.
Localización de objetos
Transformaciones
geométricas
Trayectoria
Ángulos de
inclinación
Coordenadas
en el plano

112
Ficha
Iniciemos
• ¿Qué formas geométricas identificas en la imagen?
• ¿Este tipo de proyectos solo beneficia a la región donde se ubica?
¿Por qué?
• ¿Te ha beneficiado en alguna forma el proyecto Olmos?
• ¿Te has beneficiado en algún proyecto en tu localidad?
• ¿En tu región hay canales de
irrigación? Indica cuál es su
utilidad.
• ¿Sabes cómo tu región es
abastecida de energía?
El megaproyecto Olmos, ubicado en Lambayeque, permitirá el
fortalecimiento de la agroindustria del país, pues el objetivo de la
construcción es convertir en tierra fértil 38 000 hectáreas de arena.
El desarrollo de esta infraestructura ha beneficiado a los habitantes de la
zona, pues ha generado más de 40 000 puestos de trabajo y propiciará
que los agricultores de Valle Viejo y la comunidad campesina de Santo
Domingo de Olmos trabajen la tierra. Además, la construcción de la presa
del Limón permitirá la generación de energía eléctrica y beneficiará a los
habitantes de Chiclayo y otras localidades.
El proyecto Olmos
24
Proyecto
integral
Olmos
Producción agrícola Producción de energía Trasvase de agua
Conducto Norte
Conducto Central
Conducto Sur
Central Hidroeléctrica N.º 1
Salto bruto 404 m
Central Hidroeléctrica N.º 2
Salto bruto 472 m
Embalse Limón
V: 44 mmc hm3
Tunel Trasandino
L: 19,3 km D: 4,8 m
Objeto
de la IP
Conmutador 1104 m. s. n. m.
Olmos
Río Huancabamba
Conducto Norte
Conducto Central
Conducto Sur
228 m. s. n. m.
Río Olmos Qda Lajas
Túnel D-1
L: 3,71 km 1160 m. s. n. m.
Tierras a
incorporar

113
Observa el mapa del proyecto de irrigación Olmos y la ubicación del túnel trasandino.
• El trayecto del túnel trasandino es de 20 km.
Si el mapa está construido a una escala
de 1:200 000, ¿cuánto mide el trazo en el
plano?
___________________________________
___________________________________
___________________________________
• En la región Lambayeque el trayecto de
la carretera Panamericana Norte mide
187,20 km. En el mapa, ¿cuánto mide la ca-
rretera?
___________________________________
___________________________________
La represa del Limón, desarrollo del proyecto Olmos, tendrá las siguientes dimensiones: 43 m de alto, 32 m de
ancho y 3,2 km de largo. Construye una representación a escala de la represa.
• Si la capacidad de almacenamiento de la represa es de 44 000 000 m3
, calcula la capacidad de la represen-
tación construida.
___________________________________________________________________________________
• ¿Qué sucede con la capacidad de la represa cuando la altura se reduce a la mitad? Explica.
• Calcula el volumen de la represa si se duplican todas sus dimensiones.
• Calcula el volumen de la represa si solo dos de sus dimensiones se duplican.
PIURA
PUERTO
DE PAITA
SECHURA
LAMBAYEQUE
OLMOS
PIURA
LAMBAYEQUE
MOTUPE
ILLIMO
CHICLAYO
OCÉANO PACÍFICO
TIERRAS A
SUBASTAR
CAMINO DE
ACCESO
TÚNEL
TRASANDINO
Irrigación
Olmos
Proyecto de irrigación
C
O
R
D
IL
L
E
R
A
D
E
L
O
S
A
N
D
E
S
RÍ
O
H
U
A
N
C
A
BA
M
BA
C
A
R
R
E
T
E
R
A
I
I
R
S
A
N
O
R
T
E
CAR
RETE
RA
P
A
N
A
M
E
R
I
C
A
N
A
N
O
R
T
E

114

•
• Establece una relación entre el volumen inicial y el volumen final, luego de reducir a la mitad sus dimensiones.
Trabaja con la representación que realizaste o la maqueta de la represa. Calcula el perímetro del modelo y con
base en él determina el perímetro del embalse en su tamaño real.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Determina el perímetro del embalse si sus dimensiones se reducen a la mitad.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
¿Cuál es la relación entre los perímetros inicial y final?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• Determina las dimensiones de un nuevo embalse y, trabajando una homotecia, establece las dimensiones
de un embalse auxiliar.
•
• Calcula el perímetro de los esquemas propuestos y determina el volumen de cada uno de ellos.

115

Finalicemos

Metacognición
•
• ¿Qué dificultades se me presentaron en el
estudio del tema?
•
• ¿Relaciono lo aprendido en situaciones prácticas
de mi entorno?
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Entiendo que la relación entre dos
figuras semejantes difieren en la razón
o proporción de la medida de sus lados.
Uso las escalas para representar
situaciones reales en el plano de
coordenadas.
Relaciono las unidades de acuerdo
con las dimensiones de la figura o del
cuerpo geométrico.
Coevaluación
El trabajo en equipo permitió
establecer soluciones a las situaciones
planteadas.
El trabajo realizado se retroalimentó en
equipo.
Reflexiona
•
• ¿Se pueden establecer relaciones de
proporcionalidad entre las longitudes de los lados
de dos figuras semejantes?
________________________________________
________________________________________
•
• Dada una figura y la razón de proporcionalidad,
¿pueden hallarse las medidas de los lados de otra
figura semejante?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Crees que lo estudiado te permite cimentar tu
aprendizaje para alcanzar un nuevo conocimiento?
________________________________________
________________________________________
1. Consulta el trazado de la obra del proyecto de
Olmos y construye un mapa a escala sobre él.
2. Realiza la construcción de un mapa a escala de tu
barrio. Identifica en él algunas instituciones.
3. Utiliza la aplicación Google maps y recorre una
ciudad de tu interés; realiza un listado de los sitios
turísticos que presenta la ciudad.
•
• Completa la tabla con las medidas de cada una de las representaciones.
Esquema Largo Alto Ancho Perímetro Volumen
Razón de
proporcionalidad
Embalse
principal
Embalse
auxiliar

Evaluación
116
7. Usando la escala 1:2, dibuja nuevas gráficas.
Resuelve las siguientes tareas utilizando la información
previa.
1. Representa cada diseño con una clase más de
planta.
2. Representa con una secuencia de números según
el número de plantas de cada tipo en cada uno de
los diseños.
_________________________________________
_________________________________________
3. Escribe el número de plantas que tendría el sexto
tipo de plantas, en cada caso.
Triángulo _____________________________
Cuadrado _____________________________
Pentágono ____________________________
Hexágono_____________________________
4. ¿Cuántas plantas habría en cada uno de los diseños
si se sabe que Yanira tiene 10 distintas clases de
plantas en cada diseño?
Triángulo _____________________________
Cuadrado _____________________________
Pentágono ____________________________
Hexágono_____________________________
5. De las sucesiones formadas en los diseños de Yanira,
¿qué diseños forman una progresión aritmética?
_________________________________________
6. Explica cómo determinar la diferencia en las progre-
siones aritméticas de la actividad.
_________________________________________
Los jardines de Yanira
Yanira es una amante de los diseños, por lo que en su casa siembra flores formando diseños muy
curiosos. Para muestra de esto, a continuación se presentan cuatro distintas plantaciones de flores, en las
cuales cada color es un tipo distinto de flor.
8. Se tiene un módulo de vivienda hecha a escala 1:50 con las siguientes medidas: largo 42 cm, ancho 20 cm y
alto 10 cm. Calcula las dimensiones reales del aparato. ___________________________________________

117
Producto
Metacognición
3. ¿En todos los diseños está la matemática? __________________________________________________
Autoevaluación
Reconozco la diferencia entre una progresión aritmética y una sucesión.
Doy soluciones a problemas usando las progresiones aritméticas.
Hallo el enésimo término de una progresión aritmética con
números naturales.
Encuentro el término general de una progresión aritmética.
Calculo la suma de los términos de una progresión aritmética.
Realizo representaciones gráficas a distintas escalas.
Utilizo las escalas para resolver problemas.
Coevaluación
Respetamos los razonamientos diferentes de los nuestros.
10. Elabora un plan de ahorro de energía y agua potable.
9. En sus tardes de descanso, Juan
tiene previsto ver sus progra-
masfavoritosenunintervalode
dos horas semanales.
a. ¿Cuántos watts consumirá
en la primera y en la cuarta
semana?
____________________
b. Determina una expresión
general para calcular el
número de watts consumi-
dos hasta la semana n.
____________________
c. Describe cómo obtener una expresión que generalice el número de watts de acuerdo con el número de meses.
___________________________________________________________________________________
Este artefacto consume en una
hora
... lo mismo que estos focos de 60 watts en
igual tiempo encendidos simultáneamente
Televisor = 2
Refrigeradora = 6
Lavadora = 8
Refrigeradora con congeladora = 8
Aire acondicionado (3000 frigorías) = 15
Horno de microondas = 15
Estufa = 16
Plancha = 16

118
118
¿Cuánto puedo gastar? ¿Cuánto ahorrar?
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
Rojas
Quispe
Neciosup
Narro
Gonzales
50 %
60 %
60 %
20 %
10 %
20 %
20 %
20 %
20 %
10 %
10 %
50 % 25 % 5%
20 %
50 % 30 % 20 %
118
Unidad
4 Los números
en la economía familiar
La economía familiar (también llamada doméstica) es considerada una técnica de administración
de la casa que contempla un conjunto de medidas cuyos objetivos son, entre otros, cuidar de las
personas que conforman el núcleo familiar, mantener la pertenencia de los bienes patrimoniales y
realizar una correcta distribución de los ingresos familiares.
Las familias que elaboran un presupuesto tienen en cuenta aspectos como gastos necesarios
(servicios de agua, luz, movilidad, etc.), ahorros para gastos irregulares, gastos de entretenimiento
(paseos, viajes, etc.), ahorro y otros.
Según la tabla, ¿qué aspecto (expresado en porcentaje) es el más común? ¿Cuál es el aspecto que no
consideran todas las familias? Si la familia Gonzales cuenta con unos ingresos de S/ 1500 y destina
50 % para gastos necesarios, ¿cuánto destina para ahorro de gastos irregulares? ¿Qué debes tener en
cuenta para elaborar un presupuesto familiar?
Mariella afirma que las variaciones en los gastos y el ahorro se deben a que los ingresos no son iguales
en todas las familias. ¿Qué opinas respecto a esta afirmación? ¿Cómo es el ahorro en las familias de
tu aula?
Gonzales Narro Neciosup Quispe Rojas
Gastos necesarios 50 % 50 % 60 % 60 % 50 %
Ahorros para gastos irregulares 0 % 0 % 10 % 0 % 0 %
Gastos de entretenimiento 30 % 25 % 10 % 20 % 20 %
Ahorros 20 % 20 % 20 % 20 % 20 %
Otros 0 % 5 % 0 % 0 % 10 %
MALICI2CT-U4.indd 118 5/23/16 6:43 PM

119

Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de cantidad
•
• Relaciona cantidades y magnitudes en situaciones,
y los expresa en un modelo de aumentos y descuentos
porcentuales sucesivos.
•
• Reconoce la restricción de un modelo de aumentos
y descuentos porcentuales sucesivos de acuerdo
a condiciones.
ideas matemáticas
•
• Elabora un organizador de información relacionado
a la clasificación de las fracciones y decimales, sus
operaciones, porcentaje y variaciones porcentuales.
•
• Representa aumentos o descuentos porcentuales
sucesivos empleando diagramas, gráficos, entre otros.
•
• Emplea estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros,
para resolver problemas relacionados con el aumento
o descuento porcentual sucesivos.
•
• Halla el valor de aumentos o descuentos porcentuales
sucesivos al resolver problemas.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Justifica los procedimientos empleados para obtener
un aumento o descuento porcentual sucesivo.
•
• Explica el significado del IGV y de cómo se calcula.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de gestión de datos
e incertidumbre
•
• Organiza datos en variables cualitativas (ordinal
y nominal) y cuantitativas provenientes de variadas
fuentes de información y los expresa en un modelo
basado en gráficos estadísticos.
•
• Selecciona el modelo gráfico estadístico al plantear
y resolver situaciones que expresan características
o cualidades de una población.
ideas matemáticas
•
• Sugiere preguntas para el cuestionario de una encuesta
presentada acorde al propósito planteado.
•
• Expresa información presentada en tablas y gráficos
estadísticos para datos no agrupados y agrupados.
•
• Usa cuadros, tablas y gráficos estadísticos para mostrar
datos no agrupados y datos agrupados, y sus relaciones.
•
• Recopila datos cuantitativos discretos y continuos
o cualitativos ordinales y nominales provenientes de su
comunidad usando una encuesta de preguntas cerradas.
•
• Organizan datos en histogramas y polígonos
de frecuencias al resolver problemas.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Justifica los procedimientos del trabajo estadístico
realizado y la determinación de la(s) decisión(es) para
datos no agrupados y agrupados.

120
Iniciemos
Ficha
Cantidad
•
• ¿Qué gastos crees que son
obligatorios en tu hogar?
•
• ¿Has tenido una experiencia
de gastos en tu vida
personal? ¿De qué manera?
La primera herramienta sencilla y eficaz con la que cuenta la economía
del hogar, es el presupuesto familiar, es decir, calcular en forma anticipada
los ingresos y gastos que una familia puede tener.
Tener un presupuesto trae beneficios como saber en qué se gasta
el dinero, y así priorizar, reducir o eliminar los gastos, llevar un seguimiento
de todo lo que se gasta, y evitar el derroche de dinero.
Es necesario tener un pequeño fondo de emergencia para gastos y
situaciones inesperadas (una enfermedad, un gasto repentino o perder
el empleo).
Presupuesto familiar
25
•
• Clasifica los siguientes gastos en la tabla: comidas fuera de casa,
electricidad, gas, alquiler de la vivienda, transporte, préstamos, agua
potable, vestimenta.
•
• ¿Qué harías para reducir un gasto obligatorio como el de energía eléctrica?
Obligatorios, que no
se pueden dejar
de pagar
Necesarios, que se
pueden reducir, pero
no eliminar
Ocasionales, que se
pueden eliminar

121

Dentrodelosingresosdeunafamiliaperuanasehanregistradodossueldos,cadaunodeS/937,50.Paraelpróximo
mes, uno de esos sueldos será incrementado en el 10 %, y en el siguiente mes el nuevo sueldo experimentará
un aumento del 20 %. Registra en la siguiente tabla los ingresos que se escribirán en el presupuesto familiar en
los tres meses.
Meses Primero Segundo Tercero
Ingresos (S/)
•
• Corta un pedazo de cartulina de forma rectangular de 20 cm de base y 10 cm de altura. El pedazo cortado
representará el sueldo de S/ 937,50.
•
• Expresa en forma fraccionaria irreducible el 10 %.
•
• Divide el rectángulo tantas veces como indica el denominador de la fracción irreducible.
•
• Escribe sobre cada rectángulo resultante el valor que representa cada uno de ellos con respecto al sueldo
de S/ 937,50.
•
• Recorta de otro pedazo de cartulina, un rectángulo del tamaño de los obtenidos anteriormente; también
escribe en él, el valor que representaron los otros con respecto al sueldo.
•
• Añade este nuevo rectángulo al grande para obtener la nueva unidad que representa el nuevo sueldo.
•
• Selecciona la operación más adecuada para obtener el valor del nuevo sueldo.
•
• Recorta un rectángulo de base igual a la nueva unidad constituida.
•
• Obtén la fracción que representa el 20 %; simplifícala.
•
• Divide el rectángulo tantas veces como indica el denominador.
•
• Escribe sobre cada rectángulo formado su equivalencia con respecto al nuevo ingreso.
•
• Recorta un rectángulo de medidas iguales a los obtenidos anteriormente y escribe también en él
la respectiva equivalencia.
•
• Calcula el valor total de esta nueva unidad.
•
• ¿Cómo puede ser representado el cien por ciento de una cantidad?
____________________________________________________________________________________
•
• ¿El 10 % con qué fracción irreducible queda representado?
____________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué cantidad del sueldo representa a la fracción obtenida?
____________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué representa el nuevo rectángulo que obtienes al ubicar el pequeño rectángulo junto al rectángulo
inicial?
____________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuál es el valor del nuevo sueldo?
____________________________________________________________________________________

122

•
• ¿Qué fracción irreducible representa el 20 %?
____________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué cantidad del nuevo sueldo representa la fracción obtenida?
____________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué representa el rectángulo que obtienes al unir este nuevo pequeño rectángulo con el que represen-
taba el nuevo sueldo?
____________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuál es el valor del sueldo para el tercer mes?
____________________________________________________________________________________
•
• Únete a un compañero y explícale todo lo que hiciste.
•
• Completen cada tabla con los números decimales equivalentes a las dos fracciones utilizadas y el porcen-
taje que representan.
N.º decimal Porcentaje N.º decimal Porcentaje
•
• Relacionen el número decimal con el valor porcentual y emitan una conclusión.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• Sumen la unidad a la parte decimal y el 100 % a la parte porcentual y llenen las tablas.
N.º decimal más
la unidad
Porcentaje
más 100 %
N.º decimal más
la unidad
Porcentaje
más 100 %
•
• Desarrollen los siguientes productos; luego emitan una conclusión.
–
– 1,1 × 937,50 = ___________________________________________
–
– 1,2 × 1 031,25 = __________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• Calculen el producto indicado; luego concluyan.
–
– 1,1 × 1,2 × 937,5 = _________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• Redacten una regla general para calcular aumentos porcentuales sucesivos.
_______________________________________________________________________________________
•
• Indiquen qué harían si hubiera descuentos.
_______________________________________________________________________________________
•
• Den respuesta al problema propuesto.

123

Finalicemos
Metacognición
¿En qué situaciones de la vida me ayuda elaborar un
presupuesto?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades tuviste para resolver el problema?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Fue de utilidad conocer de porcentajes para
resolver la situación?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué otras situaciones utilizarías esta estrategia?
________________________________________
________________________________________
Manuel tiene un rubro de gasto necesario de S/ 200,
y quiere disminuirlo el primer mes en un 8 %, y el
siguiente mes en un 5 %. ¿Qué valor tendrá este gasto
el tercer mes?
•
• Completa la tabla de acuerdo con las condiciones.
Condición Expresión matemática Resultado
Aumento sucesivo del 20 % y 30 % de 300.
Descuento sucesivo del 5 % y 10 % de 150.
Aumento del 45 % al que le sigue un descuento del 10 % de 600.
Descuento del 15 % al que les sigue un aumento del 8 % y otro
aumento del 10 % de 1000.
•
• ¿De cuántas formas se puede representar un porcentaje?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuándo se produce un aumento o un descuento sucesivo?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Relaciono cantidades y magnitudes
en situaciones, y las expreso en un
modelo de aumentos y descuentos
porcentuales sucesivos.
Reconozco la restricción de un
modelo de aumentos y descuentos
porcentuales sucesivos de acuerdo con
condiciones.
Coevaluación
Ponemos atención a las exposiciones
de nuestros(as) compañeros(as).
Realizamos con agrado las correcciones
recomendadas.

124

Taller matemático
Ficha
1. A. Reproductores de MP3 (Problemas de traducción simple)
REPRODUCTORES DE MP3 ---> Music City: especialistas en MP3 <---
Reproductor de MP3 Auriculares Altavoces
155 zeds 86 zeds 79 zeds
Pregunta 1
Olivia sumó los precios del reproductor de MP3, los auriculares y los altavoces en su calculadora. El resultado
que obtuvo fue 248 zeds. El resultado de Olivia es incorrecto. Cometió uno de los siguientes errores:
A. Sumó uno de los precios dos veces.
B. Olvidó incluir uno de los tres precios.
C. Dejó sin introducir la última cifra de uno de los precios.
D. Restó uno de los precios en lugar de sumarlo.
¿Qué error cometió?
Pregunta 2
Music City está de rebajas. Si compras dos o más artículos en las rebajas, Music City hace un descuento del
20 % sobre el precio de venta normal de estos artículos.
Julio tiene 200 zeds para gastar. ¿Qué puede permitirse comprar en las rebajas?
•
• Rodea con un círculo «Sí» o «No» según corresponda a cada una de las siguientes opciones.
Artículos ¿Julio puede comprar los artículos con 200 zeds?
El reproductor de MP3 y los auriculares. Sí / No
El reproductor de MP3 y los altavoces. Sí / No
Los 3 artículos: el reproductor de MP3, los auriculares
y los altavoces.
Sí / No
Pregunta 3
El precio de venta normal de los artículos del MP3 incluye un beneficio del 37,5 %. El precio sin este beneficio
se denomina precio de venta al por mayor.
El beneficio se calcula como un porcentaje del precio de venta al por mayor. ¿Indican las siguientes fórmulas
una relación correcta entre el precio de venta al por mayor m, y el precio de venta normal v?
•
• Rodea con un círculo «Sí» o «No» según corresponda a cada una de las siguientes fórmulas.
Fórmulas ¿Es correcta la fórmula?
v = m + 375,0 Sí / No
m = v − 375,0 v Sí / No
v = 375,1 m Sí / No
m = 625,0 v Sí / No
Importancia del ahorro
Cantidad
26
Fuente: http://www.mecd.gob.es/inee

125

B. Ahorro de una familia
En el gráfico se muestra la forma en que una familia ha
ahorrado durante cuatro meses.
•
• ¿Cuánto han ahorrado hasta el momento?
•
• ¿Podrías asegurar que lo hizo siguiendo un aumento
sucesivo del 10 %?
•
• Verifica y contesta.
–
– ¿Cuánto ha ahorrado la familia en el mes de enero?
–
– ¿Cuánto ha ahorrado la familia en el mes de febrero?
–
– ¿Cuánto ha ahorrado la familia en el mes de marzo?
–
– ¿Cuánto ha ahorrado la familia en el mes de abril?
–
– Durante los cuatro meses, ¿cuánto ha ahorrado la familia?
–
– ¿Cuáles serían los números decimales que representarían a los aumentos porcentuales? ______________
–
– ¿Cuál sería la expresión matemática que te permitiría calcular el aumento sucesivo por cada mes?
Escríbela en la tabla y obtén el resultado. ________________________________________________
•
• Completa la redacción de tus respuestas.
–
– Durante los cuatro meses _______________ ha ahorrado _______________ .
–
– El aumento en los ahorros sí corresponde a un ___________________________ .
Mes Expresión Valor calculado
Febrero
Marzo
Abril
399,3 soles 300 soles
330 soles
363 soles

126

2. Ahorro para educación (Problemas de traducción compleja)
•
• Elisa ha egresado de la universidad y ha empezado a trabajar con un sueldo de S/ 1600. Se ha propuesto ahorrar
durante un año para hacer una maestría fuera del país. Para ello, elabora un plan de ahorro que empieza en el
mesdeeneroconunvalorquecorrespondeal12,5%desusalario,parairluegoaumentandoel8%desusueldo
cada mes hasta terminar el año. ¿Cuánto ahorra cada mes? ¿Cuánto ahorra durante el periodo que se propuso?
•
• Losprogenitoresdeunafamiliasehanpropuestocomenzarunahorroparalaeducaciónsuperiordesushijos.
Empiezan el ahorro con S/ 160, y durante dos meses más realizan un aumento sucesivo de 2%. Luego
de ello, frente a una calamidad, se ven obligados a llevar a cabo el ahorro con un descuento sucesivo del
5% hasta terminar el primer semestre del año. ¿Cuánto ahorraron al final del semestre?
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Setiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Total ahorrado
3. Ahorro para construcción (Situaciones problemáticas realistas)
•
• La familia Flores adquirió un terreno de forma rectangular. En primera instancia asignaron ciertas medidas
para la base y la altura, pero luego se vieron en la necesidad de disminuir la medida de la base en un 10 %,
en tanto que la medida de la altura la aumentaron en un 12 %. Determina el porcentaje en que varía el área
de construcción. Dibuja en la cuadrícula el rectángulo que representa la superficie de construcción inicial y,
luego, el que representa la superficie con las variaciones.

127

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué estrategia empleo para calcular descuentos
o aumentos sucesivos?
•
• ¿En qué aporta en mi vida cotidiana tener
conocimientos acerca del ahorro?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades tuviste para resolver el problema?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Utilizaste la potenciación para expresar
situaciones de descuentos sucesivos?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué otras situaciones utilizas la variación
porcentual?
________________________________________
________________________________________
1. Pedro ha invertido en un negocio una cierta
cantidad de dinero, pero ha tenido pérdidas por
no hacerlo de manera planificada. Si la inversión
ha sido de S/ 280 y ha perdido consecutivamente el
25 %, 10 % y 50 % respectivamente, ¿cuánto dinero
le queda?
–
– Escribe la fórmula para calcular el área de un rectángulo. __________________________________
–
– Escribe el número decimal que representa la reducción de la base. ___________________________
–
– Escribe el número decimal que representa el aumento de la altura. ____________________________
–
– Calcula el área en términos de la disminución y aumento. __________________________________
–
– Multiplica el valor del área por 100 para obtener la variación en términos del porcentaje. ___________
•
• Sielvalorcalculadosobrepasael100%,significaquelavariaciónfueenaumentodelárea;si,porelcontrario,
es menor, la variación fue en disminución.
–
– Únete a un compañero para comparar tus respuestas y contestar a la interrogante del problema.
__________________________________________________________________________________
–
– Ahora calculen la variación del área de construcción si la base experimenta un aumento de 10 %
y la altura una disminución del 12 %.
__________________________________________________________________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Represento aumentos o descuentos
porcentuales sucesivos empleando
diagramas, gráficos, entre otros.
Empleo estrategias heurísticas,
recursos gráficos y otros, para resolver
problemas relacionados con el aumento
o descuento porcentual sucesivos.
Hallo el valor de aumentos o
descuentos porcentuales sucesivos al
resolver problemas.
Justifico los procedimientos empleados
para obtener un aumento
o descuento porcentual sucesivo.
Coevaluación
Respetamos el punto de vista de
nuestros compañeros.
Prestamos atención a las explicaciones
de nuestros compañeros.

128
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Cuál es la tasa del IGV en nuestro país?
•
• ¿Las personas dedicadas a la importación y exportación de productos
pagan IGV?
•
• Si por un producto se pagó S/ 9,00 en IGV, ¿cuál fue su valor de venta?
•
• Cuando compras leche
o carne, ¿pagas IGV?
•
• Cuando compras ropa
o zapatos, ¿pagas IGV?
No todos los peruanos tienen un empleo remunerado. Muchos de ellos se
dedican a la actividad comercial; de ahí que es importante que conozcan
sobre sus obligaciones tributarias.
El IGV grava una serie de operaciones como:
• Venta en el país de bienes muebles.
• Prestación o utilización de servicios en el país.
• Contratos de construcción.
• Primera venta de bienes inmuebles ubicados en el país.
• Importación de bienes.
El IGV está compuesto por una tasa de impuesto general al consumo del
16 %, y la del impuesto de promoción municipal equivalente al 2 %.
Impuestogeneralalasventas(IGV)
Cantidad
27

129

Resolvamos: El juego
Reúnete con un compañero del salón de clase y elaboren cada uno un dado de cartón con el molde desglosa-
ble 7 de la página 365. Uno escogerá 6 productos de los aquí mencionados y el resto será para el otro partici-
pante. Los productos escogidos los escribirán en las caras del dado.
•
• Comenta con tu compañero(a) sobre el tipo de juego que quisieran desarrollar.
•
• Inventen algunas reglas del juego y escriban en el espacio.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• Presten atención a las reglas que a continuación se indican:
a. Cada integrante del equipo debe lanzar los dados tres veces. Para la asignación del turno lanzarán pri-
mero uno de los dados y empezará el juego quien obtenga un producto de mayor costo.
b. Si en un lanzamiento obtuvieran por lo menos un producto que no grava IGV, repetirán el lanzamiento.
c. Los nombres de los dos productos que no gravan IGV no se anotarán en la tabla, sino los obtenidos
en un lanzamiento posterior.
d. Iniciado el juego, cada integrante anotará en la siguiente tabla el nombre, el costo de los productos
que obtuvo al lanzar el par de dados y su respectivo IGV.
e. Realicen algunos lanzamientos de prueba y llenen la tabla. Revisen si lo hicieron bien.
Auto nuevo
S/ 48 750
Libro
S/ 32,50
Vivienda
S/ 160 000
Espectáculo
cultural público
S/ 20
Pantalón jean
S/ 150
Vestido de
fiesta
S/ 299
Metro
cuadrado
de terreno
S/ 4882
Televisor LED
S/ 1700
Kilogramo
de ajo
S/ 4,68
Transporte
público
S/ 1,20
Jornada
diaria de un
operario en la
construcción
S/ 60
Refrigeradora
S/ 1500

130

•
• Contesten las siguientes preguntas:
a. De los productos que se encuentran en las caras de los dados, ¿cuáles gravan IGV? Y ¿cuáles no?
Producto Costo IGV
Gravan IGV
No gravan IGV
b. ¿Qué deben hacer si en un lanzamiento obtienen dos productos que gravan IGV?
___________________________________________________________________________________
c. ¿Qué deben hacer si en un lanzamiento obtienen, por lo menos, un producto que no grava IGV?
___________________________________________________________________________________
•
• Luego del juego, registren los productos o servicios en la siguiente tabla.
•
• Propongan una expresión matemática que les permita determinar el IGV en los productos o servicios
gravados.
Producto Costo Grava IGV No grava IGV IGV
•
• Calcula el IGV de cada uno de los productos que enumeraste; luego regístralos en la tabla.
•
• Suma todos los valores de IGV calculados.

131

Finalicemos
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades tuviste para realizar el juego?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Fue de utilidad conocer sobre el IGV para la
aplicación de la estrategia?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Crees que es importante pagar impuestos? ¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
1. De un valor de venta de S/ 5676, ¿qué valor
correspondería a la tasa de impuesto general
al consumo, cuál al impuesto de promoción
municipal y cuál al IGV?
Metacognición
•
• ¿Aprendí algo importante en la solución de la
estrategia?
•
• ¿En qué momento de la vida cotidiana me sirve
el conocimiento sobre el IGV?
•
• Obtén la suma de los costos de los productos que gravan IGV.
___________________________________________________________________________________
•
• Calcula el IGV de la suma de los costos de los productos que gravan IGV.
•
• Compara los resultados obtenidos en 2 y 4, y junto con tu compañero elaboren una conclusión.
•
• Proclamen ganador a aquel estudiante que obtuvo el mayor valor en la declaración del IGV.
•
• Realicen las siguientes variaciones al juego e inicien un nuevo juego.
–
– Cuando salgan dos productos que no gravan IGV, regístrenlos en la tabla trabajada anteriormente.
–
– Cuando salgan dos productos que gravan IGV, repitan el turno hasta que no se dé esta posibilidad.
–
– Declaren ganador a quien obtenga el mayor valor a declarar por concepto de IGV.
2. Si una empresa que comercializa ropa, vende en
un mes S/ 30 172, ¿qué valor debe declarar por
concepto de IGV en la SUNAT?
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Explico el significado del IGV y cómo
se calcula.
Identifico a qué tipos de productos se
aplica el IGV.
Coevaluación
Mantenemos orden y respeto durante
el juego.
Brindamos y recibimos ayuda mutua.
Participamos activa y críticamente para
estructurar conclusiones.

132
Ficha
Iniciemos
•
• Construye una tabla en la que coloques los ingresos y egresos que ten-
gas durante la semana.
•
• Calcula tus egresos promedio por día.
•
• ¿Ahorras dinero?
•
• ¿Qué gastos tienes durante
la semana que pueden ser
cubiertos?
•
• ¿De qué manera
organizarías tus ingresos y
egresos?
La mejor fórmula para aprender a gastar con responsabilidad es establecer
un presupuesto semanal. En un cuaderno se apuntan los ingresos y los
egresos. En él se deben anotar todos los gastos que se tienen: comidas,
transporte, celular… y también los ingresos con los que se cuenta, como
las propinas. Es prudente separar una cantidad de dinero para ciertos
gastos extras: arreglar la bicicleta, comprar un regalo o una salida con los
amigos.
Ganar, administrar y ahorrar
28

133

Los estudiantes de segundo año de Secundaria están interesados en conocer si los estudiantes de la institución
cuentan con una educación financiera proporcionada por los padres y en determinar si, como consecuencia
de esa educación, sus compañeros tienen la costumbre de ahorrar. ¿Cuál es la mejor manera de satisfacer este
interés?
•
• Formen equipos de trabajo de cuatro integrantes para seleccionar el tema de investigación que abarque
las inquietudes de los estudiantes mencionados en el problema.
_______________________________________________________________________________________
•
• Definan dos preguntas que involucren dos variables cualitativas, una de tipo ordinal y otra de tipo nominal.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• Justifiquen la creación de estas dos preguntas a partir de las definiciones de variables cualitativas ordinal
y nominal.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• Elaboren una encuesta que contenga las tres preguntas dadas en la siguiente ficha y anexen las dos
preguntas creadas anteriormente.
•
• Impriman tantas encuestas como elementos tiene la muestra seleccionada.
Instrucciones: Apreciado(a) compañero(a), la siguiente encuesta nos ayudará a determinar si los
estudiantes de la institución cuentan con una educación financiera. La veracidad con que respondas
garantizará el éxito de nuestra investigación.
1. ¿Tus padres o las personas con quienes vives te
han inculcado hábitos financieros?
Sí No
2. ¿Ahorras tu dinero?
Sí No
Si contestaste “Sí” a la pregunta anterior, contesta
la siguiente pregunta.
3. Tus ahorros los tienes en:
Una alcancía Una entidad bancaria
Encargados a mis padres o tutores
4. ________________________________
________________________________
5. ________________________________
________________________________
Ficha de encuesta

134

3. Recopilo datos
•
• Organicen equipos de acuerdo con el número de grados y secciones que tiene la institución educativa.
•
• Apliquen la encuesta al año que les corresponde.
•
• Realicen el conteo y organicen la información en tablas como se muestra para el prototipo de encuesta
presentada. Anexar las dos tablas correspondientes a las preguntas creadas.
Tienes hábitos financieros
Sí No
Ahorras tu dinero
Sí No
Dónde depositas los ahorros
Alcancía
Encargados a mis
padres o tutores
Entidad bancaria
4. Analizo los datos
•
• Utilicen la aplicación de Word insertar para construir gráficos circulares para cada una de las variables consi-
deradas en cada caso. Busquen la opción que les permita obtener los valores en forma porcentual.
•
• Peguen los gráficos en los espacios en blanco y completen la redacción de acuerdo con lo que obtuvieron.
Presenten el análisis porcentual de las dos preguntas creadas.
El ________ % de los encuestados
consideran que sí poseen hábitos
financieros, mientras que el ______ %
considera que no poseen.
ahorran su dinero, en tanto que el
________ % no ahorra su dinero.
El _____ % de los encuestados
guarda sus ahorros en una alcancía,
mientras que el _____ % los encarga
a sus padres o tutores y el _____ %
lo tiene en una entidad bancaria.
obtiene dinero para sus ahorros
de regalos, el ________ % de su
propina semanal, y el ________ %
de su trabajo en el hogar.
ahorran diariamente, el ______ %
semanalmente, y el ________ %
mensualmente.

135

Finalicemos

Metacognición
•
• ¿Enquésituacionesdelavidatengoquecalcular
porcentajes de ahorro?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades tuviste para aplicar la encuesta?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Qué conocimiento fue el más útil para el
desarrollo de la estrategia?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Crees que la cultura del ahorro es importante?
¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
1. Elabora una encuesta con las acciones que los
padres deben realizar para crear una cultura
financiera en sus hijos; aplícala a diez padres
dentro de tu círculo familiar o en tu localidad.
2. Realiza todos los pasos que seguiste en esta
investigación.
3. Registra las tablas, gráficos y conclusiones en
papelógrafos para que los expongas en clase.
•
• Escriban conclusiones relacionadas con el análisis de los datos obtenidos con respecto a:
a. Los estudiantes de la institución educativa tienen hábitos financieros en un...
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
b. La cultura de ahorro que tienen los estudiantes del plantel.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Organizo datos en variables cualitativas
(ordinal y nominal) y cuantitativas
provenientes de variadas fuentes de
información y los expreso en un modelo
basado en gráficos estadísticos.
Identifico variables cualitativas y las
organizo.
Identifico variables cuantitativas y las
organizo.
Expreso gráficos estadísticos.
Coevaluación
Demostramos compromiso en la
elaboración del cartel y de la encuesta.
Fuimos asertivos en la recopilación
y conteo de datos.
Fuimos críticos y participativos en el
análisis de datos y la formulación
de las conclusiones.

136
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Sabes si los fenómenos naturales, como El Niño, afectan económica-
mente en tu región?
•
• ¿Por qué crees que es importante tener un fondo de emergencia en tu
familia?
•
• Elabora una lista de las situaciones en las cuales consideras se debería
contar con un fondo de emergencia.
•
• ¿En tu casa cuentan con
algún seguro preventivo?
•
• ¿En qué proporción se
reparten los gastos y pagos
de cuentas los distintos
miembros de tu familia?
A medida que pasa el tiempo se adquiere más responsabilidades para las
cuales es necesario anticipar y planificar, con el fin de enfrentar aquellos
sucesos de la vida que pasarán en algún momento, tales como el alquiler
o compra de una vivienda, la compra de un auto… También es importante
estar preparado para lo que el futuro pueda traer y para esos grandes
acontecimientos del año que ya se sabe que ocurrirán, así como para
aquello que inesperadamente pueda suceder; por ejemplo, arreglar el
auto que nadie esperó ver averiado. Todo esto requiere de un respaldo
económico disponible que solo se logra con disciplina financiera.
Tranquilidad financiera
en el hogar
29

137

Los estudiantes del segundo año de Secundaria están interesados en conocer la tendencia que tendría el ahorro
mensual destinado al fondo de emergencia de sus familias, expresado en porcentajes con respecto a los ingre-
sos y su monto expresado en función de los gastos.
•
• Comenten a sus padres sobre el fondo de emergencia: lo importante que es contar con él, el rango
del monto recomendable al que debería llegar y anticiparles que se les aplicará una encuesta con fines
didácticos.
•
• Elaboren una encuesta en donde consten como variables:
–
– El ingreso familiar.
–
– El porcentaje de los ingresos de la familia que destinarían para implementar el fondo de emergencia.
En la encuesta se les dará a elegir entre el 5 %, 8 %, 10 %, 12 %, 15 % y 20 % de los ingresos.
–
– El total de los gastos.
•
• Consideren la relación entre los gastos y el monto del fondo de emergencia, a la que estarían dispuestos a
llegar con su ahorro. En la encuesta se considerará el doble, triple, cuatro veces mayor, cinco veces mayor
y seis veces mayor.
La ficha de la encuesta podría quedar así:
Instrucciones: Este instrumento de carácter didáctico tiene como objetivo recabar información para
determinar la tendencia del ahorro mensual destinado al fondo de emergencia de las familias
de los estudiantes de segundo año de Secundaria y el monto al que aspirarían llegar; por tal razón, le
solicitamos veracidad al momento de contestar.
Edad: ____ años Año: 1.° 2.° 3.° 4.° 5.° Mujer Varón
1. Total ingresos familiares
Porcentaje que estarían dispuestos a ahorrar para implementar el fondo de emergencia.
5 % 8 % 10 % 12 % 15 % 20 %
2. Total gastos
Ahorraríamos hasta que el monto del fondo de emergencia llegue a ser con respecto a los gastos el:
Doble Triple Cuatro veces Cinco veces Seis veces
Ficha de encuesta
3. Recopilo datos
•
• Apliquen la encuesta a sus padres.
•
• Realicen el conteo y registren sus resultados sobre un papelógrafo.
•
• Llenen las siguientes tablas con la información registrada.

138

•
• Formen equipos de trabajo para elaborar manualmente con los datos de la frecuencia absoluta de cada
tabla, gráficos de barras que serán expuestos en la cartelera del salón de clase.
•
• Realicen gráficos circulares con los datos de la frecuencia absoluta de cada tabla haciendo uso de las
aplicaciones de Word.
•
• Pega los gráficos circulares en los espacios en blanco; luego realiza y escribe el respectivo análisis.
Porcentaje del ingreso destinado al fondo de emergencia
xi fi hi Fi Hi
%
5 %
8 %
10 %
12 %
15 %
20 %
Total
Monto al que debe llegar el fondo de emergencia con relación a los gastos
xi fi hi Fi Hi
%
Doble
Triple
Cuatro veces
Cinco veces
Seis veces
Total
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________

139

Finalicemos

Finalicemos
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades tuviste para resolver esta situación?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Este tema te ayudó en la importancia de ahorrar?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Es importante hacer uso de herramientas
informáticas para graficar porcentajes?
________________________________________
________________________________________
1. Utiliza los datos de la encuesta para informar a
tus padres el número de meses que deben ahorrar
para alcanzar el monto del fondo de emergencia
que seleccionaron.
2. Si planificas ahorrar, ¿cuál sería tu estrategia y
objetivo de ahorro?
Metacognición
•
• ¿Cómo motivaría a mi familia a tener un fondo
de emergencia?
•
• ¿El tema aprendido me ayuda para aplicarlo en
mi diario vivir?
•
• Forma otro equipo con tus compañeros para estructurar conclusiones con respecto a las dos variables
analizadas.
Conclusión 1
Conclusión 2
•
• En esta investigación, ¿la muestra es la misma población? Explica.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuál es el valor que se obtiene al sumar todas las frecuencias absolutas acumuladas? _________________
•
• ¿Cuál es el valor que toma la frecuencia relativa acumulada en el último dato? ______________________
•
• ¿A qué clase de variable corresponde cada variable de la investigación? ___________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Selecciono el modelo gráfico estadístico
al plantear y resolver situaciones que
expresan características o cualidades de
una población.
Expreso información presentada en
tablas y gráficos estadísticos para datos
no agrupados y agrupados.
Uso cuadros, tablas y gráficos estadísticos
para mostrar datos no agrupados y
datos agrupados, y sus relaciones.
Coevaluación
Realizamos el conteo de datos
enmarcados en el orden y el respeto.
Mostramos iniciativa al momento de
estructurar conclusiones.
Respetamos la diferencia de opiniones.

140
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Cómo se administran los aportes de la jubilación en la AFP y en la
ONP?
•
• ¿Por qué es importante contar con un fondo de jubilación?
•
• ¿Cuál es el monto máximo que puedes retirar con la ley 30425?
•
• En tu familia, ¿conviven
personas jubiladas?
•
• ¿Tus padres aportan
en algún sistema de
pensiones?
LossistemasdepensionesutilizadosenelPerúsonlasAFP(Administradoras
de Fondos de Pensiones) y la ONP (Oficina de Normalización Previsional).
Las AFP son instituciones financieras privadas que tienen como fin la
administración de los Fondos de Pensiones bajo la modalidad de cuentas
personales. Otorgan pensiones de jubilación, invalidez, sobrevivencia y
proporcionan gastos de sepelio.
En la ONP, que es un organismo público técnico y especializado del sector
de Economía y Finanzas, el dinero que aportas mes a mes ingresa a un
fondo común que se usa para pagar las pensiones de los jubilados de hoy;
mientras que en las AFP, el dinero aportado ingresa a una cuenta individual,
el cual se invierte para que siga creciendo.
Los fondos de jubilación
30
De acuerdo con nuestra
legislación las personas
pueden jubilarse a partir de los
65 años.
¿Sabías que...?

141

Los estudiantes de segundo año de Secundaria están interesados en tomar una muestra considerable
de personas que se encuentran en la etapa de senectud para determinar en qué edad se encuentran la mayoría
de ciudadanos que gozan de su fondo de jubilación. ¿Cómo pueden obtener esa información?
•
• Formen equipos de trabajo de cuatro integrantes.
•
• Seleccionen y escriban el tema de investigación que abarque las inquietudes de los estudiantes mencio-
nadas en el problema.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• Determinen la población y la muestra para la investigación. Escriban lo que determinaron.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• Escriban cuándo se debe trabajar con datos agrupados.
_______________________________________________________________________________________
•
• Elaboren una encuesta; utilicen la siguiente como modelo.
•
• Impriman tantas encuestas como elementos tiene la muestra seleccionada.
•
• Entreguen a cada estudiante dos encuestas, una para el padre y otra para la madre.
Recuerda
•
• Cuando trabajamos con datos agrupados, el último intervalo es cerrado; todos los demás son cerrados al
inicio y abiertos al final: [65; 68[ [68; 71[, etc.
Instrucciones: Apreciado padre o madre, la siguiente encuesta nos ayudará a determinar el porcentaje
de personas mayores de 65 años que cuentan con un fondo de jubilación. La veracidad con que
responda garantizará el éxito de nuestra investigación, por lo cual le agradecemos anticipadamente.
1. ¿Tienes padre? Sí No
Si contestaste “Sí”, responde:
¿Cuál es la edad de tu padre? _______________
Si es mayor de 65 años, contesta:
¿Tiene fondo de jubilación? Sí No
2. ¿Tienes madre? Sí No
Si contestaste “Sí”, responde:
¿Cuál es la edad de tu madre? _______________
Si es mayor de 65 años, contesta:
¿Tiene fondo de jubilación? Sí No
Ficha de encuesta
Padre Madre

142

3. Recopilo datos
•
• Apliquen la encuesta a los integrantes de la muestra seleccionada.
•
• Seleccionen solo las encuestas de las personas cuyos padres sean mayores de 65 años y que cuenten con
un fondo de jubilación para el conteo.
•
• Determinen la edad máxima y la mínima de las personas seleccionadas.
•
• Calculen el rango de los datos, restando el valor mínimo del máximo.
•
• Obtengan el número de clase extrayendo la raíz cuadrada del número de datos.
•
• Determinen la longitud o amplitud de los intervalos dividiendo el rango y el número de clase.
•
• Calculen los intervalos: el primero tomando la edad mínima y sumando la longitud del intervalo antes
obtenido, el segundo tomando el valor antes obtenido y sumando el intervalo, y así sucesivamente.
•
• Organicen los intervalos en una tabla de frecuencia semejante a la que se muestra a continuación.
•
• Inicien el conteo y completen la tabla.
•
• Utilicen la aplicación de Word “Insertar” para construir gráficos de barras.
•
• Peguen el gráfico obtenido en el espacio en blanco.
Intervalos
edad
fi Fi hi Hi
Frecuencia %
Frecuencia %
acumulada
Total

143

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿En qué situación cotidiana utilizo los datos
agrupados?
•
• ¿Utilizo una tabla de frecuencias para organizar
datos?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades tuviste para analizar los
resultados de la encuesta?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Crees que es necesario organizar los datos en
intervalos?
________________________________________
•
• ¿En qué situación utilizas datos representados en
intervalos?
________________________________________
1. Realicen lo siguiente:
a. Formen grupos de trabajo.
b. Soliciten a un docente de cualquier curso que
les proporcione las notas de un parcial de
30 estudiantes.
c. Realicen todos los pasos que siguieron en esta
investigación.
d. Registren la tabla, gráfico y conclusiones en
papelógrafos para que expongan en clase.
•
• Analicen la tabla de frecuencias y el gráfico de barras; luego completen las siguientes conclusiones que
corresponden al propósito de la investigación.
1. La mayor cantidad de personas que gozan de su fondo de jubilación tienen una edad comprendida
entre ______________ y ______________ años.
2. La menor cantidad de personas que gozan de su fondo de jubilación tienen una edad comprendida
entre ______________ y ______________ años.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Expreso información presentada
en tablas y gráficos estadísticos para
datos agrupados.
Uso cuadros, tablas y gráficos estadísticos
para mostrar datos agrupados.
Coevaluación
Demostramos compromiso en la
elaboración de la encuesta.
Fuimos asertivos en la recopilación
y selección de los datos.
Estructuramos adecuadamente la tabla
de frecuencias.
Fuimos críticos y participativos en el
análisis de datos y la formulación de
conclusiones.

144
Investigación escolar
Ficha
1. Ahorro para vivienda
Una de las máximas aspiraciones de las familias es la adquisición de una
vivienda. Para obtenerla, deben iniciar un plan de ahorro, bien sea para
pagar por ella completamente o cancelar un abono.
Existen algunos planes de vivienda en donde se entrega una cuota
inicial y por el saldo restante se hipoteca la casa.
• Realiza en tu aula de clase una encuesta.
1. ¿En qué vivienda vives?
Propia Alquilada
2. ¿Cuántos dormitorios tiene tu casa?
1 2 3 4 Más de 4
Ficha de encuesta
• Con los datos obtenidos realiza el siguiente análisis.
– ¿A cuántos compañeros realizaste la encuesta? ___________________________________________
– ¿Cuántos compañeros tienen casa propia? ______________________________________________
– ¿Cuántos compañeros tienen casa alquilada? ____________________________________________
– ¿Cuántos compañeros tienen en casa 1; 2 y 3 dormitorios? _________________________________
¿Cuántos compañeros tienen en casa 4 o más dormitorios?
– _________________________________
• Realiza un diagrama de barras para representar el resultado de las dos preguntas.
31
Vivienda propia o alquilada Número de dormitorios
1.

145
Realizando una encuesta (Problema)
Un grupo de estudiantes están interesados en conocer la forma en la que sus padres adquirieron la vivienda donde
habitan. Además, quieren conocer el área de construcción de dicha vivienda. Y de quienes posean vivienda propia,
desean saber cuántas tienen. ¿Cómo pueden obtener esa información?
• ¿Qué quieren conocer los estudiantes?
____________________________________________________________________________________
Desarrollo un plan
• ¿Qué estrategia podrías utilizar? _________________________________________________________
• Comenta a tus padres sobre el proyecto de investigación que deseas llevar a cabo de manera que puedan
darte información veraz. Elabora una ficha de encuesta que contenga las siguientes variables:
– Tenencia de la vivienda.
– El número de viviendas propias que poseen.
– El área de construcción de la vivienda donde habitan.
• Observa un ejemplo de encuesta; puedes diseñar la tuya.
Instrucciones: Este instrumento de carácter didáctico tiene como objetivo recabar información
referente a la vivienda de las familias de los estudiantes de segundo año de Secundaria; por tal razón, le
solicitamos veracidad al momento de contestar.
1. Marque con una x de acuerdo con la tenencia de la vivienda de su familia.
Propia pagada completamente Alquilada
Propia pagada a plazos Otra modalidad
2. Si posee vivienda propia, indique cuántas tiene ____________________________ .
3. El área de construcción de la vivienda que habita es ____________________________ .
Ficha de encuesta
Tenencia de la vivienda de las familias de los estudiantes de segundo año de Secundaria
Tenencia (xi) fi Fi hi Hi
%
Propia pagada completamente
Propia pagada a plazos
Alquilada
Otra modalidad
Total de datos
Recojo y manejo datos
• Aplica la encuesta a tus padres.
• En conjunto con todos tus compañeros de clase, realicen el conteo y registren sus resultados sobre un
papelógrafo.
• Llena la siguiente tabla con la información registrada.
2.

146
• Formen equipos de trabajo para elaborar la tabla de frecuencia con datos agrupados para la variable “áreas
de las viviendas”.
Analizo y planteo conclusiones
• Realiza gráficos circulares con los datos de la frecuencia absoluta de cada tabla, haciendo uso de las aplicaciones
de Word o Excel. Pega los gráficos en el espacio en blanco. Interpreta en los gráficos los datos obtenidos.
Número de viviendas propias que poseen algunas familias
Xi fi Fi hi Hi
%
Una
Dos
Tres
Cuatro
Cinco
Más de cinco
Total de datos
Intervalos
edad
fi Fi hi Hi
Frecuencia %
Frecuencia %
acumulada

147

Finalicemos

Metacognición
•
• ¿Aprendí a diferenciar una variable discreta de
una continua?
•
• ¿En qué aplico esto en la vida diaria?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades tuviste para analizar la encuesta?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te fue de gran ayuda conocer sobre datos
discretos y agrupados?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué otras situaciones realizarías una encuesta
con datos agrupados?
________________________________________
________________________________________
1. Registra en un listado de estudiantes su estatura
y el número de hijos que conforman su familia.
2. Utiliza los datos obtenidos para elaborar las
respectivas tablas de frecuencia, análisis de datos
y emisión de conclusiones.
3. Propón preguntas que se puedan responder con
la información obtenida.
3. Construcción de un conjunto habitacional
Un grupo de ingenieros desean construir un conjunto habitacional, para lo cual necesitan conocer qué necesida-
des tienen las personas que desean adquirir una vivienda. Con este fin, deciden realizar una encuesta de preguntas
cerradas para tomar una decisión. ¿Qué preguntas debería tener esta encuesta?
a. ____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
b. ____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
c. ____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
d. ____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Según el propósito planteado,
propongo preguntas para el
cuestionario.
Recopilo datos cuantitativos discretos
y cualitativos nominales provenientes
de una encuesta.
Coevaluación
Mostramos iniciativa al momento
de estructurar conclusiones.
Respetamos la diferencia de opiniones.

148

Taller matemático
Ficha
1. A. Puntuaciones en un examen (Problemas de traducción simple)
El diagrama siguiente muestra los resultados en un examen de Ciencias para dos grupos denominados Grupo
A y Grupo B.
La puntuación media del Grupo A es 62,0, y la media del Grupo B es 64,5. Los estudiantes aprueban este examen
cuando su puntuación es 50 o más.
Al observar el diagrama, el profesor afirma que en este examen el Grupo B fue mejor que el Grupo A.
Pregunta 1
Los estudiantes del Grupo A no están de acuerdo con su profesor. Intentan convencerlo de que el Grupo B
no tiene por qué haber sido necesariamente el mejor en este examen. Presenta un argumento matemático,
utilizando la información del diagrama, que puedan emplear los estudiantes del Grupo A.
Ahorro de ingresos
32
60
50
40
30
20
10
0
0
-
9
Número
de
estudiantes
Puntuación
Grupo A Grupo B
10
-
19
20
-
29
30
-
39
40
-
49
50
-
59
60
-
69
70
-
79
80
-
89
90
-
100

149

B. Ahorro de ingresos
Se realizó una encuesta a varias familias sobre la cantidad de dinero que destinan de sus ingresos para el ahorro.
En la siguiente tabla se puede evidenciar el resultado de la encuesta.
Cantidad ahorro (S/) Número de familias
[149 ; 156[ 7
[156 ; 163[ 10
[163 ; 170[ 8
[170 ; 173[ 5
•
• Realiza un histograma y un polígono de frecuencias con los datos recogidos en la tabla.
–
– ¿Cuántas familias fueron encuestadas? ________________________________________________
2. Ahorro de jubilados (Problemas de traducción compleja)
La tabla adjunta muestra las edades de las personas que ahorran fondos de su jubilación.
Edad xi fi
[56; 62[ 59 9
[62; 68[ 65 7
[68; 74[ 71 3
[74; 80[ 77 6
[80; 86[ 83 5
Total 30
Histograma
En el eje de las abscisas se construye unos rectángulos que tienen por base la amplitud del
intervalo y por altura la frecuencia absoluta de cada intervalo.
Polígono de
frecuencias
Primero se marca el punto medio de cada base superior de los rectángulos; luego se unen
esos puntos medios.
•
• Describan cómo se construye un histograma y cómo un polígono de frecuencias.

150

•
• Seleccionen una escala adecuada para proceder con la elaboración de un histograma y un polígono
de frecuencias y constrúyanlos en el espacio en blanco.
•
• Escribe si las afirmaciones son verdaderas o falsas.
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
3. Pago de ingresos (Situaciones problemáticas realistas)
El jefe de una empresa requiere conocer los días asistidos por sus trabajadores para cancelar el sueldo corres-
pondiente. Su asistente le entrega el siguiente gráfico; ¿cuánto cobra cada empleado? Responde.
•
• ¿Cuántos trabajadores faltaron 5 días?
•
• ¿Cuántos trabajadores faltaron 3 y 4 veces?
•
• ¿Es cierto que 4 trabajadores faltaron 2 veces?
•
• Elaboren un histograma y su polígono de frecuencias. Luego, a partir del gráfico, determinen si las afirma-
ciones son verdaderas:
a. Las edades de 7 personas fluctúan entre 62 y 68 años.
b. Las personas que tienen menos de 80 años son 25.
c. Las personas que tienen entre 62 y 80 años son 16.
16
14
12
10
8
6
4
2
0
2 3 4 5 6
Ausencia (días)
Número
de
trabajadores

151

Finalicemos
Metacognición

Finalicemos
•
• ¿Qué aprendí al resolver estas actividades?
•
• ¿De qué manera puedo utilizar datos agrupados
en mi vida cotidiana?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades tuviste para elaborar histogramas?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Por qué crees que los datos se organizaron en
intervalos?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué otra encuesta utilizarías datos agrupados?
________________________________________
________________________________________
1. Registra en un listado de estudiantes de tu nivel
el peso de cada uno de ellos.
2. Obtén el respectivo histograma y polígono de
frecuencias.
3. Propón preguntas que no se puedan responder
con la información de los gráficos elaborados.
4. Emite conclusiones.
Si por cada día de ausencia el jefe les descuenta el 2 % de su sueldo, el cual es de S/ 3600:
•
• ¿Cuánto le descuenta al empleado que faltó 2 días y cuánto recibe este?
•
•
•
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Organizo datos en histogramas
y polígonos de frecuencias al resolver
problemas.
Explico los procedimientos para
determinar conclusiones para datos
agrupados.
Coevaluación
Estructuramos tablas de frecuencia
con asertividad.
Fuimos ordenados y precisos al
elaborar histogramas y polígonos de
frecuencia.
Mostramos iniciativa al momento
de estructurar conclusiones.

152
Evaluación
Organiza los datos en una tabla de frecuencia.
Realiza el respectivo histograma y polígono de fre-
cuencia; luego redacta una conclusión.
Resuelve las siguientes situaciones del matrimonio
Sánchez-Huamán, que cuenta con dos hijos que van
a la misma institución educativa.
1. El costo de los uniformes que necesitan es S/ 420
por cada uno. Si el almacén donde van a comprar,
por ser hermanos, les hace un descuento del 5 %
y les recarga el IGV, ¿con cuánto dinero debe ir el
matrimonio a realizar la compra?
2. Hace 6 años este matrimonio inició su ahorro para
la educación superior de sus hijos. Empezaron el
ahorro con 20 soles mensuales y decidieron cada
año incrementarlo en un 20 %. Completa la tabla
del ahorro por año y con el total de los 6 años.
3. Si el ahorro para la educación lo proyectaron para
12 años, ¿cuál es la cuota mensual del último año?
4. Cuando sus hijos eran pequeños los Sánchez-Hua-
mán visitaban al pediatra para realizar los controles
recomendados. En cada control se registraban el
peso, la talla, el perímetro encefálico, la temperatura
y la edad. ¿A qué tipo de variable corresponde cada
una de estas variables?
________________________________________
Frente al compromiso mostrado por los padres
es satisfactorio observar reportes de notas que
muestran el buen desempeño de los hijos.
5. La libreta de notas del hijo menor trae en su gran
mayoría la calificación de “Muy satisfactorio”, segui-
dos de “Satisfactorio”.
Contesta: ¿A qué tipo de variable corresponde la
nota del hijo menor?
________________________________________
6. El hijo mayor presenta a sus padres la carpeta donde
archiva las actividades extracurriculares de Matemá-
tica. Las notas obtenidas son:
Ahorro para la educación
La familia hoy en día tiene una gran preocupación, que es la de costear una mejor educación para sus
hijos. Para llegar a un objetivo es importante realizar un plan de ahorro. Una vez que hayan decidido que la
prioridad financiera para su familia es ahorrar para la educación universitaria de sus hijos, el siguiente paso
es hacerlo. Para eso, se debe tomar la decisión lo más pronto posible, calcular el monto que se quiere ahorrar
sin salirse del presupuesto, crearse una meta de ahorro y reducir gastos innecesarios.
19,6 18,7 20 17,6 19,2
20 19 18,5 15 13,5
16 18,5 20 20 19
18,8 19,2 13,5 19,5 18,8
15 20 20 19 18,5
19,2 16 20 19,2 17
Año Ahorro mensual Ahorro anual
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
Quinto
Sexto
Total

153
Metacognición
1. ¿Es importante en mi vida cotidiana organizar información en tablas de frecuencias y en gráficos
estadísticos?
Autoevaluación
Relaciono cantidades y magnitudes en situaciones, y los expreso
en un modelo de aumentos y descuentos porcentuales sucesivos.
Empleo estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, para resolver
problemas relacionados con el aumento o descuento porcentual sucesivos.
Hallo el valor de aumentos o descuentos porcentuales sucesivos
Justifico los procedimientos empleados para obtener un aumento
o descuento porcentual sucesivo.
Explico el significado del IGV y cómo se calcula.
Uso cuadros, tablas y gráficos estadísticos para mostrar datos
no agrupados y datos agrupados, y sus relaciones.
Organizo datos en histogramas y polígonos de frecuencias al resolver
problemas.
Justifico los procedimientos del trabajo estadístico realizado y la
determinación de la(s) decisión(es) para datos no agrupados y agrupados.
Coevaluación
Tomamos una actitud crítica y reflexiva frente a situaciones problemáticas reales.
Respetamos las opiniones vertidas en torno a una situación problemática
planteada que requiere de la emisión de conclusiones.
Valoramos la importancia de aprender Matemática porque nos ayuda a
resolver situaciones reales.
Intervalos notas fi fr %
[13,5; 14,8[
[14,8; 16,1[
[16,1; 17,4[
[17,4; 18,7[
[18,7; 20]
n
7. Elabora en una cartulina un plan de ahorro familiar para educación, con recomendaciones para una buena
práctica de ahorro.
Producto

154
154
E
D
A 45º
B 60º
C
154
5
Unidad
Nuestro país basa su economía en la explotación, el procesamiento y la
exportación de recursos naturales, principalmente mineros, agrícolas y
pesqueros. Uno de estos recursos naturales de tipo no renovable es el petróleo.
Para la explotación del petróleo se usa maquinaria especializada que funciona
tanto en áreas terrestres como marítimas. Parte de esta maquinaria son las
cañerías, que son empleadas en ciertas etapas de la explotación del petróleo.
Las medidas de la longitud de la cañería y su diámetro se expresan como se
muestra en la gráfica. ¿Cómo puedes expresar dichas medidas de forma
simplificada? ¿Se puede usar para la cañería de producción un conducto con un
diámetro de 4 1/8’’?
El proceso de perforación involucra
establecer ciertas condiciones para la
dirección de los tubos de perforación, así
como diseñar torres que hagan sostenible
el proceso de explotación del petróleo.
¿En qué se diferencian las torres de
exploración del petróleo? ¿Qué
características tienen las bases de las
torres? En la estructura de estas torres,
los diseños basados en conceptos
relacionados con triángulos son
importantes; ¿por qué ocurre esto?
Números, formas
y nuestros recursos
Conductor
Profundidad:10a100m/Diámetro:16”a36”
Cañería guía
Profundidad:100a500m/Diámetro:95/8”a20”
Cañería intermedia
Profundidad:400a5000m/Diámetro:5”a133/8”
Cañería de producción
Profundidad:1000a7500m/Diámetro:4 1/2”a95/8”

155
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de regularidad,
•
• Codifica condiciones de desigualdad considerando
expresiones algebraicas al expresar modelos relacionados
a inecuaciones lineales con una incógnita.
•
• Asocia modelos referidos a inecuaciones lineales con
situaciones afines.
ideas matemáticas
•
• Representa las soluciones de inecuaciones lineales de la
forma: x > a o x < a; ax > b o ax < b.
•
• Emplea la representación gráfica de una inecuación
lineal para obtener su conjunto solución.
•
• Emplea estrategias heurísticas al resolver problemas
de inecuaciones lineales.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Justifica la obtención del conjunto solución de una
inecuación lineal.
Actúa y piensa
matemáticamente
movimiento
y localización
•
• Organiza características y propiedades geométricas en
figuras y superficies, y las expresa en un modelo referido
a figuras poligonales regulares y compuestas, triángulos
y el círculo.
•
• Usa modelos, relacionados con figuras poligonales
regulares y compuestas, triángulos y círculos para
plantear y resolver problemas.
ideas matemáticas
•
• Describe las relaciones de paralelismo
y perpendicularidad en polígonos regulares
y compuestos, y sus propiedades usando terminologías,
reglas y convenciones matemáticas.
•
• Emplea procedimientos con dos rectas paralelas
y secantes para reconocer características de ángulos
en ellas.
•
• Calcula el perímetro y área de figuras poligonales
regulares y compuestas, triángulos, círculos,
componiendo y descomponiendo en otras figuras cuyas
medidas son conocidas, con recursos gráficos y otros.
•
• Emplea propiedades de los ángulos y líneas notables
de un triángulo al resolver un problema.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Plantea conjeturas para reconocer las líneas notables,
propiedades de los ángulos interiores y exteriores de un
triángulo.
•
• Justifica enunciados relacionados a ángulos formados
por líneas perpendiculares y oblicuas a rectas paralelas.

156
Ficha 33
Iniciemos
Una plataforma petrolera es una estructura de grandes dimensiones que
sirve para extraer petróleo y gas natural del mar.
Las primeras plataformas en las profundidades se asentaban sobre pilotes
de madera, pero los moluscos los debilitaban y, debido a los altos costos
para tratarlas, se comenzaron a construir sobre pilotes de concreto,
posteriormente se las construyeron móviles.
La plataforma petrolífera más grande del mundo se construyó en el mar
de Ojotsk (Rusia). Bautizada como Berkut, pesa 200 000 toneladas y su
construcción ha costado 12 000 millones de dólares.
Plataformas petrolíferas
•
• ¿Por qué construyeron plataformas móviles?
•
• La temperatura en el mar de Ojotsk varía entre los –28,6 °C y los 15 °C,
en promedio, durante el año. Representa qué temperaturas soporta la
estructura durante el año.
La mayor cantidad de
plataformas petroleras se
encuentran en el sector Z-2B
frente a las costas de Piura, en
tanto que frente a las costas
de Tumbes en el sector Z -1
está la menor cantidad, pero
estas plataformas son las más
modernas.
¿Sabías que...?
•
• ¿Cuál es la utilidad más
cercana a tu realidad que
conoces sobre el petróleo?
•
• ¿Conoces algún derivado
del petróleo?
En la página de URL https://
goo.gl/urFXvs encontrarás un
video sobre la instalación de
una plataforma petrolera.
TIC

157

Después del periodo de exploración una empresa petrolera ha determinado en un sector del mar la existencia
de tres pozos petroleros contiguos que serán cubiertos por una plataforma petrolera móvil. La profundidad
a la que se encuentra el primero es 110 m; la del segundo es 80 m, y la del tercero es mayor que la del segundo
pero menor que la del primero.
•
• ¿Con qué expresión se puede representar a la profundidad desconocida?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué símbolos representan la comparación de la profundidad desconocida y las conocidas?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué expresión unifica las expresiones de comparación planteadas?
___________________________________________________________________________________
•
• De acuerdo con la expresión unificada, ¿cuáles son los valores dentro de los enteros que podría tomar la
profundidad desconocida?
•
• Únete a un compañero y propongan un esquema que represente la situación. Analicen la información e
intercambien ideas.
•
• Decidan la expresión que representará a la profundidad desconocida.
•
• Realicen cada uno el esquema en el espacio disponible.
•
• Compara tu esquema con el de tu compañero.

158

•
• Deduzcan y escriban por lo menos cinco valores que podría tener la profundidad desconocida.
•
• Escriban los símbolos matemáticos que se usan cuando se hacen comparaciones, con su respectiva lectura.
Símbolo matemático Lectura
•
• Escriban las expresiones de comparación de la profundidad desconocida respecto a cada una de las
conocidas.
Respecto a la primera
Respecto a la segunda
•
• Escriban la expresión de comparación unificada.
•
• Escriban dos valores que no podrían corresponder a la profundidad desconocida.

159
•
• Reemplacen aleatoriamente en la expresión unificada dos valores que podría tener la profundidad
desconocida y dos valores que no podrían corresponderle.
Expresión unificada con el valor reemplazado Correcta Incorrecta
•
• Intercambien sus fichas de trabajo con otros compañeros para que determinen las expresiones que son
correctas y las incorrectas.
•
• Evalúen entre las dos parejas los posibles valores que puede tomar la profundidad desconocida.

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Me fue difícil codificar condiciones de
desigualdad?
•
• ¿Soy capaz de explicar a un compañero cómo
resolví la situación planteada?
Reflexiona
•
• ¿Te ayudó a comprender mejor el problema
la elaboración del gráfico esquemático de la
situación?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Qué otras letras del alfabeto podrías utilizar para
representar algo desconocido?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Para qué utilizas los símbolos > y <?
________________________________________
________________________________________
1. Lee cada uno de los enunciados; luego
exprésalos en términos de una desigualdad.
a. La profundidad de los pozos petroleros no
sobrepasa los 120 m.
b. En el 2014, la producción diaria de petróleo
en el Perú fue treinta veces menor que la
producción diaria de 300 000 de barriles de
petróleo de Venezuela.
c. En el año 2014, la producción de petróleo en
el Perú varió entre 62 000 y 70 000 barriles.
d. El peso de un litro de petróleo varía entre
950 g y 750 g.
2. Formula una situación que represente a cada
desigualdad.
a. x > 50 b. 12 > x > 28 c. 5x < 48
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Reconozco y expreso desigualdades
usando una expresión algebraica.
Expreso desigualdades mediante una
inecuación con una incógnita.
Asocio modelos a unas inecuaciones
lineales con situaciones afines.
Coevaluación
Aportamos con ideas para encontrar
soluciones.
Trabajamos en forma autónoma
e independiente.

160
160
Ficha

Taller matemático
1. Precio máximo (Problemas de traducción simple)
Carlos necesita comprar una escalera para armar la base de una plataforma.
Si tres veces el valor de una escalera disminuida en S/ 150 no puede ser más de
S/ 1500, ¿cuál es el precio máximo que puede tener la escalera?
•
• ¿Con qué letra representamos el valor de la escalera?
______________________________________________________________
34 Perforación de pozos
•
• ¿Qué inecuación modela la situación?
•
• Resuelve la inecuación.
•
• ¿Cuál es el conjunto solución? ¿Por qué?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Representa gráficamente el conjunto solución.

161
161

2. Perforación de un pozo (Problemas de traducción compleja)
Durante la perforación de un pozo petrolero, el tré-
pano sufrió una avería porque se chocó con una roca
bastante dura.
Hasta ese momento se habían usado 2 cilindros
metálicos de distinta longitud, uno dentro de otro.
La diferencia de altura entre los tubos fue de 2 m.
La longitud del último tubo utilizado es de 10 m.
¿Cuál es el valor máximo de distancia medida desde
la parte final del último que debió recorrer el trépano
para no sufrir la avería? La profundidad de perforación
registrada al momento de la avería fue de 20 m.
•
• Únete a un compañero para analizar la información del enunciado del problema e intercambien ideas so-
bre el esquema que representaría a la situación. Respondan las interrogantes: ¿De qué trata el problema?
¿Qué datos les brinda? ¿Qué les pide el problema?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Realicen el esquema en el espacio disponible; no olviden colocar los datos y la incógnita.
•
• La expresión que representa a la profundidad total que debería recorrer el trépano para no averiarse.
•
• La expresión algebraica que se debe plantear para cumplir con la condición de distancia máxima.

162

•
• Reemplacen en la expresión algebraica el o los valores numéricos de la solución; verifiquen que la expre-
sión algebraica sea verdadera.
•
• Júntense en parejas, socialicen la situación problema e identifiquen la expresión para la solución.
•
• Escriban la expresión acordada.
•
• Reemplacen en la expresión algebraica con un valor que no sea solución y verifiquen la falsedad de la expre-
sión algebraica.
•
• Resuelvan en equipo la expresión algebraica planteada; escriban paso a paso el proceso.
•
• Representen gráficamente la solución que obtuvieron.

163

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué estrategia me permitió resolver
el problema?
•
• ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?
•
• ¿Logré socializar mis aprendizajes con
mis compañeros?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades se presentaron durante la
elaboración del esquema de la situación?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Contribuyó la elaboración del esquema a dar
solución al problema?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Las palabras “máxima” y “distancia” te orientaron
a plantear una ecuación o una inecuación?
________________________________________
________________________________________
Belén requiere una repisa. La tabla muestra la cantidad
de libros y su peso. Si la repisa que compra soporta un
peso de 8 kg, ¿cuál debería ser el peso máximo
del adorno que desea colocar? Si el adorno pesa
1 kg, ¿hay peligro de que la repisa se desprenda de la
pared? ¿Y si el peso es de 2,2 kg?
N.o libros Peso por libro
5 1/2 kg
2 1 kg
4 3/5 kg
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Empleo la representación gráfica
de una inecuación lineal para obtener
su conjunto solución.
Empleo estrategias heurísticas al
resolver problemas de inecuaciones
lineales.
Justifico la obtención del conjunto
solución de una inecuación lineal.
Coevaluación
Intercambiamos ideas para elaborar
un esquema.
Respetamos las ideas de nuestros
compañeros.
3. Importación de piezas (Situaciones problemáticas realistas)
Una plataforma petrolera importa algunas cajas para utilizar en su trabajo, y cuando las traen, el volumen de
estas no puede superar los 1250 cm3
. Si las medidas del alto y ancho de una caja son 15 cm y 25 cm respecti-
vamente, ¿cuál es el valor máximo permitido de su profundidad?

164
Ficha
Iniciemos
•
• Representa los límites de profundidad en los que se puede instalar una
plataforma petrolífera semisumergible.
•
• Si se tiene indicios de que existen pozos petroleros a 3800 m de pro-
fundidad, ¿es recomendable usar una plataforma semisumergible?
Explica.
•
• ¿Qué polígono es el que se reconoce en la plataforma para aterrizaje
de helicópteros?
Las plataformas petrolíferas también sirven como vivienda de los
trabajadores que operan en ella y como torre de telecomunicaciones; por
eso,muchasrequierendeunhelipuerto.Dependiendodelascircunstancias,
la plataforma puede estar fija en el fondo del océano, flotar o ser una isla
artificial. Este tipo de plataformas puede moverse de un lugar a otro y subir
o bajar de nivel; en estos casos se altera el contenido de los tanques de
flotación. Por esta razón, se las llama plataformas semisumergibles y se las
usa para profundidades comprendidas entre 60 m y 3000 m.
Geometría al nivel del mar
35
El petróleo líquido puede
presentarse asociado a capas
de gas natural en yacimientos
que han estado enterrados
durante millones de años,
cubiertos por los estratos
superiores de la corteza
terrestre.
¿Sabías que...?
•
• ¿Qué clase de combustible
es el más utilizado en tu
hogar?

165

•
• Escribe tres objetos que representen las figuras poligonales propuestas.
Figura geométrica Objeto
Figuras poligonales regulares
Figuras poligonales compuestas
–
– ¿Qué otra figura geométrica se puede apreciar en el gráfico?
En el diseño de una plataforma petrolera intervienen los arquitectos navales, quienes proyectan la forma y el
diseño que ha de tener una plataforma petrolera de acuerdo con las necesidades expuestas por los ingenieros.
La fotografía muestra una plataforma terminada sobre la base del trabajo de arquitectos navales e ingenieros.
•
• Observa detenidamente la estructura de la plataforma en la fotografía; luego forma con tus compañe-
ros(as) equipos de trabajo y contesten las siguientes preguntas.
–
– ¿Encuentran objetos que representan figuras poligonales en el esquema y la fotografía de la plataforma?
–
– Si encontraron figuras poligonales, ¿cómo las clasificarían?
–
– ¿Qué tomaron en cuenta para realizar esa clasificación?

166

Selecciona un objeto escogido por cada figura solicitada y explica frente a tus compañeros el porqué de
tu elección.
•
• Contesta las siguientes interrogantes:
–
– ¿Por qué los tubos anchos no representan una forma poligonal regular?
–
– ¿Las poleas que se encuentran en el extremo de la grúa mecánica representan una figura poligonal?
Explica.
•
• Organicen parejas de trabajo.
•
• Dibujen el contorno de la figura poligonal que representa la superficie ocupada por la vista de la
plataforma de aterrizaje.
•
• Descompongan en otras formas poligonales la figura poligonal obtenida.

167

Finalicemos
Metacognición
•
actividad?
•
en mi vida diaria?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultad encontraste al dibujar el contorno
de las dependencias de la plataforma?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Qué tipo de figuras poligonales encuentras en tu
comunidad?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿De qué manera están relacionadas las figuras
poligonales compuestas con las figuras
poligonales regulares?
________________________________________
________________________________________
Imagina que eres un arquitecto de interiores y
debes diseñar una mesa de estudio para 6 estudiantes.
Dibuja dos propuestas para este sitio de estudio,
incluye las sillas representadas como cuadrados.
En la cubierta de la mesa dibuja un papel tapiz donde
se miren seis triángulos pintados de distinto color.
•
• Completa la siguiente información.
Figuras poligonales regulares
Son aquellas que Por ejemplo:
Son aquellas que
pueden ser descompuestas en
otras figuras poligonales
Por ejemplo:
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Diferencio características y propieda-
des de figuras poligonales regulares
y compuestas.
Identifico figuras poligonales regulares
y compuestas al resolver problemas.
Uso modelos relacionados con figuras
poligonales regulares y compuestas
para plantear o resolver problemas.
Coevaluación
Usamos el lenguaje apropiado para
explicar criterios de clasificación.
Compartimos ideas para reproducir
esquemas.

168
168
Ficha

Taller matemático
1. A. La noria (Problemas de traducción simple)
A la orilla de un río se encuentra una noria gigante. Fíjate en el dibujo y en el diagrama que se muestran
a continuación.
36 Triángulos y círculos
a nuestro alrededor
•
• La noria tiene un diámetro exterior de 140 metros y su punto más alto se encuentra a 150 metros sobre el
cauce del río. Da vueltas en el sentido indicado por las flechas.
Pregunta 1
•
• La letra M del gráfico señala el centro de la noria. ¿A cuántos metros (m) sobre el cauce del río se encuentra
el punto M?
Pregunta 2
•
• La noria da vueltas a una velocidad constante. Tarda exactamente 40 minutos en dar una vuelta completa.
Juan inicia su viaje en la noria en el punto de acceso P. ¿Dónde estará Juan después de media hora?
A. En R
B. Entre R y S
C. En S
D. Entre S y P
R
M
P
Q
150 m
10 m
Cauce del río
Plataforma de acceso
S

169
169
B. Ángulo de inclinación
En el momento de presentar los planos para la creación de nuevas torres de perforación se tiene en cuenta el
ángulo de inclinación de esta, como se muestra en la siguiente figura:
En un instante dado se quiere determinar
la medida de los ángulos internos del trián-
gulo (ABC); sin embargo, solo se sabe que el
ángulo de inclinación de la torre mide 120°,
y que entre el tubo de extracción y uno de
los lados de la torre, hay un ángulo de 20°.
¿Cuánto miden los ángulos internos del
triángulo si AD es bisectriz del ángulo CAB?
• ¿Cómo está relacionada la medida del ángulo interno adyacente al ángulo de inclinación de la torre?
___________________________________________________________________________________
• ¿Cómo está relacionada la medida del ángulo de inclinación con los otros dos ángulos internos del
triángulo?
___________________________________________________________________________________
• ¿Se puede determinar la medida del ángulo superior de la torre? ¿Cómo?
___________________________________________________________________________________
En el siguiente dibujo nombra los tres ángulos internos del triángulo que representa la torre de extracción de
petróleo.
Presenta una expresión matemática que per-
mita relacionar la medida del ángulo de incli-
nación de la torre con la medida del ángulo
adyacente a él.
________________________________
Presenta una expresión matemática que rela-
cione la suma de las medidas de los ángulos.
________________________________
A
B
C
D
120º
A
B
C
D
120º
Tubo de
extracción
Tubo de
extracción

170
Determina los valores de cada una de las medidas de los ángulos internos usando las expresiones algebraicas.
¿Cuál es la medida del ángulo x?
3. Triángulos en ventana (Situaciones problemáticas realistas)
La torre de extracción tendrá forma piramidal de base triangular. Esta se va armando por pisos y cada corte
transversal es un triángulo equilátero, variando de tamaño, como se muestra en la siguiente figura:
Carlos dice que los triángulos ordenados de menor a mayor perímetro son C, B y A.
Agustina dice que los triángulos ordenados de menor a mayor área son C, B y A.
Sofía dice que los triángulos ordenados de menor a mayor de acuerdo con la suma de los ángulos interiores
son C, B y A.
• ¿Cómo varían los ángulos a medida que estos cambian de piso? Justifica.
___________________________________________________________________________________
• ¿Cuánto miden los ángulos externos de estos triángulos? ¿Por qué?
A
B
C
A
B
C
D
120º
Tubo de
extracción
x

171

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Que aprendí en esta unidad?
•
• ¿Por qué es importante lo que aprendí?
Reflexiona
•
• ¿Encontraste dificultades para determinar medidas
internas de un triángulo? Explica.
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Podemos generalizar que todo triángulo isósceles
tiene dos ángulos externos congruentes? ¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
•
• Menciona otras propiedades de los ángulos de un
triángulo.
________________________________________
________________________________________
1. Imagina que en el proceso de clasificación de
triángulos encuentras que un ángulo externo que
analizas es agudo. ¿Tienes que analizar la amplitud
de otro ángulo o ya puedes decidir qué clase de
triángulo es? Explica tu respuesta.
________________________________________
________________________________________
•
• Grafica un triángulo. Señala sus elementos y líneas notables escribiendo sus nombres respectivos. Escribe
las fórmulas para determinar su área. Trabaja con un(a) compañero(a).
Líneas características Ángulos Área
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Organizo características y propiedades
geométricas en figuras y superficies.
Identifico y resuelvo problemas de
triángulos.
Uso modelos relacionados con
triángulos al plantear o resolver
problemas.
Coevaluación
Respetamos las opiniones y decisiones
de los demás.
Participamos de manera asertiva en las
decisiones que se toman en el equipo
de trabajo.
Mostramos oportunamente nuestros
hallazgos y dudas en el equipo de
trabajo.
Trabajamos con mayor agilidad
cuando resolvemos problemas.

172
A
Impedimento
natural
(estrato)
45º
B C
60º
Ficha
Iniciemos
• Si consideramos que el límite superior del estrato es paralelo a la
superficie, ¿cómo son los ángulos que forman estos con el tubo de
perforación?
• ¿Cuál es la medida del mayor ángulo formado por las direcciones del
tubo de perforación en el segundo caso?
Enelprocesodeperforacióndeunpozosecorreelriesgodeencontraralgún
estrato que no puede ser atravesado por el trépano. En esas circunstancias
se planifica una perforación direccionada, para lo cual los ingenieros
constructores han diseñado sistemas apropiados que permiten direccionar
la sarta.
La imagen muestra dos formas diferentes de direccionar la sarta, una
manteniendolatorredeperforaciónenposiciónverticalylaotrainclinando
a la torre.
Según estas direcciones al perforar, se pueden clasificar distintos tipos de
pozos: pozo vertical, donde la desviación es menor de 2°; pozo desviado,
en el cual la desviación varía de 1° a 5° por cada 30 metros, y el pozo
horizontal, que cuenta con más de 80° de desviación.
Perforación de un pozo
37
Rectas perpendiculares
Rectas paralelas
Rectas secantes oblicuas
Recuerda
• Los ingenieros y arquitectos
navales constructores
no solo se preocupan
de diseñar sistemas para
superar los inconvenientes
al momento de extraer el
petróleo; también es parte
de su trabajo velar por la
seguridad de quienes
trabajan en las plataformas.
¿Sabías que...?
• ¿Qué otras estructuras
conoces que deben ser
instaladas formando
ángulos distintos de 90° con
la superficie?
• ¿Qué estrategias o
instrumentos crees que
utilizan los especialistas en
perforación para calcular los
ángulos en estos casos?

173

Los ingenieros constructores de plataformas petroleras han visto la necesidad de construir un muro protector
para ser colocado en la pared que divide a la zona donde se manipula el petróleo y la dependencia donde
habitan las personas que operan en las plataformas, pues en el área de trabajo se pueden producir explosiones.
Con la presencia de este muro que estará cubierto de un material no inflamable se reduciría el número de
víctimas humanas en caso de un accidente de ese tipo.
Diseña una propuesta de muro; para ello, considera que será de forma rectangular y que necesitará una estruc-
tura metálica de gran estabilidad.
•
• ¿Con qué figura poligonal se representará al muro?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuál es la figura poligonal que da mayor estabilidad a las estructuras?
___________________________________________________________________________________

174

•
• Dibuja en el espacio en blanco un rectángulo (en representación del muro protector de una plataforma)
donde la longitud de la base, medida en cm, sea el doble de la longitud de la altura.
•
• Traza líneas paralelas a la base; considera una distancia de 1 cm.
•
• Traza líneas paralelas a la altura; también a una distancia de 1 cm.
•
• Dentro de cada una de las figuras poligonales que obtuviste, traza una de sus diagonales; sigue la misma
dirección para todas las diagonales.
•
• Contesta:
–
– ¿Qué figura poligonal obtuviste después de trazar las rectas paralelas solicitadas?
________________________________________________________________________________
–
– ¿Qué sucedió con las diagonales?
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
–
– ¿Qué figuras poligonales obtuviste una vez trazadas las diagonales?
________________________________________________________________________________
•
• Únete a un compañero, muéstrale tu diseño y explícale cómo fuiste cumpliendo paso a paso lo solicitado.
Describe cada una de las figuras poligonales y la relación de paralelismo y perpendicularidad.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• En el diseño de uno de los integrantes de la pareja identifiquen un par de rectas paralelas y un par de rectas
perpendiculares; utilicen la simbología adecuada.
•
• En el diseño del otro integrante, seleccionen una recta secante a las bases del rectángulo. Identifiquen
usando la simbología adecuada un par de ángulos alternos internos, alternos externos y correspondientes.
•
• Realiza en tu diseño los trazos necesarios para que el muro tenga aún más estabilidad.
•
• Socialicen sus diseños. Si no coinciden sus soluciones, seleccionen la que consideren que proporciona
mayor estabilidad.

175

Finalicemos
Metacognición
•
•
• ¿En qué situaciones de mi vida puedo aplicar
el tema aprendido?
•
• ¿Qué pasos sigo al trazar la diagonal de un
polígono?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultad encontraste al seguir las
instrucciones para conseguir el diseño del muro
protector?
________________________________________
•
• ¿Cuántas diagonales fue posible trazar en un
cuadrado?
________________________________________
•
• ¿Cuál es la medida de los ángulos alternos internos
en el diseño del muro de la plataforma?
________________________________________
1. El gráfico muestra la disposición de dos pinturas
en una pared al frente de la cual se encuentra un
arreglo de dos lámparas empotrado al mismo nivel
en otra pared. La luz de las lámparas puede ser
direccionada en forma independiente. Las líneas
oblicuas indican la dirección de los haces que
alumbrarían a las pinturas. ¿Cuáles son los valores
de los ángulos θ y α que se forman al inclinarse las
lámparas para conseguir dicho efecto?
•
• Realiza en las siguientes figuras poligonales lo propuesto:
–
– Traza una recta paralela a uno de sus lados.
–
– Traza una recta secante oblicua a las dos paralelas obtenidas.
–
– Identifica con la simbología adecuada los ángulos formados en el arreglo paralelas-secante de la
segunda figura poligonal.
–
– Escribe los pares de ángulos alternos internos, alternos externos, correspondientes, conjugados, opues-
tos por el vértice y suplementarios que se forman en el arreglo.
145º
50º
θα
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Describo las relaciones de paralelismo
y perpendicularidad en polígonos
regulares y compuestos.
Expreso propiedades de polígonos
regulares y compuestos en relación al
paralelismo y perpendicularidad.
Reconozco características de los
ángulos formados por dos rectas
paralelas y una secante.
Coevaluación
Tuvimos igual participación en la
elaboración del arreglo paralelas-
secante.
Respetamos el punto de vista de los
integrantes del equipo.

176
176
Ficha

Taller matemático
1. A. Garaje (Problemas de traducción simple)
La gama básica de un fabricante de garajes incluye modelos de una
sola ventana y una sola puerta.
Jorge elige el siguiente modelo de la gama básica. A continuación se
muestra la posición de la ventana y de la puerta.
Dividiendo figuras
38
Pregunta 2
Los dos planos siguientes muestran las dimensiones, en metros, del garaje elegido por Jorge. El tejado está
formado por dos secciones rectangulares idénticas.
•
• Calcula el área total del tejado. Escribe tus cálculos.
Pregunta 1
Las siguientes ilustraciones muestran distintos modelos básicos vistos desde la parte posterior. Solo una de las
ilustraciones se corresponde con el modelo anterior elegido por Jorge.
•
• ¿Qué modelo eligió Jorge? Rodea con un círculo la respuesta correcta.
A.
B.
C.
D.
6,00
2,40
1,00
2,50
1,00
2,40
1,00 2,00 1,00 0,50
0,50

177
177
• Calcula el área de cada figura y luego súmalas para obtener el área total.
Área figura 1 Área figura 2
Área figura 3 Área figura 4
Área figura 5 Área total
2. Derramamiento de petróleo (Problemas de traducción compleja)
B. Compra de terreno
Andrés compró un terreno y necesita
conocer su área. ¿Cómo la calcula?
• Divide el terreno en figuras más simples.
1,2 km
0,6 km
0,8 km
0,3 km
0,2 km
0,25 km
Desde el helicóptero de una compañía petrolera se observa la forma que ha tomado el petróleo que fue
derramado en forma accidental en una zona del mar. ¿Cuál es el área aproximada del derrame?
3 m
3 m
3 m
3 m
3 m
3 m
7 m
7 m
4,23 m
4,23 m
2,82 m
2,82 m
1,41 m
1,41 m
K
K
L
L
M
M
N
N
O
O
P
P
Q
Q

178

•
• Responde.
–
– ¿La forma que ha tomado el petróleo en la superficie del mar es poligonal? _____________________
–
– ¿Es posible aproximar la forma del derrame a una sola figura poligonal regular? __________________
–
– ¿Es posible aproximar la forma del derrame a una figura poligonal compuesta? __________________
–
– ¿Cuántos lados puede tener la figura poligonal formada? ___________________________________
–
– ¿Qué nombre tendría el polígono formado? _____________________________________________
•
• Realiza un bosquejo de forma poligonal del derrame del petróleo y divide en figuras más simples.
•
• Calcula el área de cada figura.
Área figura 1
Área figura 2
Área figura 3
•
• Calcula el área total. Expresa la respuesta usando el símbolo de aproximación; recuerda que no es el valor
exacto.

179

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué pasos sigo para dividir figuras
compuestas en triángulos y rectángulos?
•
• ¿En qué momento de mi vida puedo utilizar
esta estrategia?
3. Derrame terrestre (Situaciones problemáticas realistas)
•
• En un sector terrestre se ha producido un derrame como muestra la figura. Calcula el área afectada.
1,5 km
1,8 km
1 km
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultad encontraste para aproximar la
forma irregular a una forma poligonal compuesta?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Por qué es conveniente descomponer una figura
poligonal en otras conocidas?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué casos sumas áreas? ¿Y en qué casos las restas?
________________________________________
________________________________________
1. Eloísa construye un árbol de Navidad con cilindros
de cartón cuyo radio es
de 5 cm y los ubica como
muestra la figura. Si quiere
colocar un pedazo de cartón
en la parte de atrás para
sostener los cilindros. ¿Qué
área debe tener el cartón y
cuánto medirá su perímetro?
________________________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Calculo el perímetro de figuras
poligonales regulares y compuestas.
Hallo el área de figuras compuestas
mediante descomposición en otras
figuras.
Determino el área de triángulos y
círculos al resolver problemas.
Coevaluación
Reflexionamos y discutimos posibles
soluciones.
Compartimos recursos en el desarrollo
de la actividad.
Sector terrestre
Zona del derrame

180
Ficha
Iniciemos
La comunicación entre plataformas e instalaciones en tierra es vital para la
seguridad y la información.
Para los ingenieros en telecomunicaciones, realizar una instalación de
esta naturaleza en una plataforma es un verdadero desafío. Generalmente
se utilizan dos tipos de antenas. Las que se encuentran en la instalación
en tierra suelen ser parabólicas, en tanto que las que se ubican en las
plataformas son omnidireccionales, y cada una de ellas maneja un tipo de
cobertura.
• Establece diferencias entre la estructura de una antena parabólica
y una omnidireccional.
• Establece diferencias entre los espacios cubiertos por las antenas
parabólicas y por las omnidireccionales.
• ¿Qué antena crees que utilizan las operadoras de telefonía móvil?
• Comenta con tus
compañeros sobre los
lugares donde has visto
este tipo de antenas.
Antenas que comunican
39
21 dBi
Lóbulo principal
Lóbulo del lado
Lóbulo trasero
Lóbulo trasero
10 dBi
0 dBi

181

Una empresa petrolera ha descubierto algunos pozos en una zona como muestra la figura. La empresa
va a instalar una plataforma fija con una antena que le permita estar comunicada con el buque petrolero que
se moviliza a los pozos más alejados. ¿Qué ubicación deben aconsejar los ingenieros tanto para realizar la explo-
tación como para mantener una buena comunicación?
•
• ¿Cuántos pozos petroleros están alejados? __________________________________________________
•
• ¿Qué figura geométrica se obtiene al unir los puntos que representan a los pozos más alejados?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué figura geométrica representa el área de cobertura de una antena omnidireccional?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué punto notable inscribe a un triángulo? ________________________________________________
•
• Une los puntos que representan a los pozos periféricos y traza las mediatrices del triángulo que se forma.
•
• Traza el círculo que es posible construir con base en el punto notable obtenido.
•
• Responde: ¿Quedan los tres pozos petroleros dentro del área de cobertura de la antena omnidireccional?
___________________________________________________________________________________
•
• Únete con un compañero para contestar las interrogantes.
•
• Realicen el gráfico de las actividades anteriores. Expliquen las características de los puntos y las líneas.
•
• Comparen sus gráficos y las respuestas con otra pareja. Escriban sus conclusiones.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Pozo

182

En las instalaciones de explotación y producción del petróleo, también es necesario instalar un sistema
de comunicación. Las antenas son colocadas en torres de alturas considerables. La imagen muestra la distri-
bución de algunos pozos petroleros. Ayuda a los ingenieros en telecomunicaciones a ubicar dónde se debe
instalar la torre que contendrá a la antena omnidireccional.
•
• Compara los trazos que realizaste con los de otro compañero.
•
• Traza en cada espacio el triángulo indicado con las líneas notables señaladas. En cada uno identifica
el respectivo punto notable.
•
• Traza los círculos inscrito y circunscrito en donde sea posible.
•
• Completa el siguiente cuadro.
Escaleno
Medianas
Isósceles
Alturas
Equilátero
Bisectrices
Obtusángulo
Mediatrices

183

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Para qué situación cotidiana me sirve conocer
las líneas notables del triángulo?
•
• ¿En qué otro conocimiento me aporta
este tema?
Reflexiona
•
• Si la empresa petrolera que explota en el mar
encuentra dos pozos petroleros debajo del pozo
petrolero superior alejado, ¿los ingenieros tendrían
que reubicar a la plataforma? ¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Dónde debería estar un pozo petrolero en las
instalaciones de tierra para que no goce de la
cobertura de la antena?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Qué pasaría si en las instalaciones de tierra los
ingenieros decidieran reemplazar a la antena
omnidireccional por una parabólica?
________________________________________
________________________________________
1. Adriana va a construir una artesanía colgante
sobre la base de triángulos que serán ubicados
como muestra la figura. ¿Cuál es el punto notable
que Adriana debe ubicar para colocar el cordón y
mantener el equilibrio? Realiza el trazo que Adriana
debe ejecutar.
Punto notable Característica
Equidista de los tres vértices de un triángulo.
Baricentro
Ortocentro en un triángulo
obtusángulo
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Empleo propiedades de los ángulos
y líneas notables de un triángulo
al resolver un problema.
Realizo supuestos para reconocer las
líneas notables, propiedades de los
ángulos interiores y exteriores de un
triángulo.
Coevaluación
Aportamos con ideas para estructurar
una respuesta.
Consensuamos respuestas con la
respectiva justificación.
Respetamos el razonamiento de cada
integrante.
Desistimos cortésmente de nuestras
ideas apegadas a razonamientos
lógicos.

184
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Qué conoces sobre los
oleoductos?
Rectas en oleoductos
•
• Escribe el valor estimado del ángulo comprendido entre el oleoducto
Norperuano y el Ramal Norte.
•
• En la disposición de los tubos transportadores del crudo, mostrados en
la imagen, ¿puedes identificar al menos dos pares de líneas paralelas?
_______________________________________________________
_______________________________________________________
•
• Si el oleoducto Ramal Norte entró en operaciones en el año 1978,
¿cuántos años han pasado hasta el momento?
El transporte del petróleo se hace a través de oleoductos, formados
por tuberías de dimensiones considerables, que atraviesan grandes
extensiones de territorio. El oleoducto Norperuano se extiende desde
Bayóvar hasta San José de Saramuro, y el oleoducto Ramal Norte va desde
la estación Andoas hasta la estación 5.
40
LORETO
AMAZONAS
TUMBES
PIURA
LAMBAYEQUE
CAJAMARCA
SAN MARTÍN
LA LIBERTAD
ÁNCASH
HUÁNUCO
PASCO
UCAYALI
JUNÍN
LIMA
MADRE
DE DIOS
CUSCO
HUANCAVELICA
AYACUCHO
APURÍMAC
ICA
PUNO
AREQUIPA
MOQUEGUA
Lago
Titicaca
TACNA
CALLAO
ECUADOR
COLOMBIA
BRASIL
BOLIVIA
CHILE
OCÉANO
PACÍFICO
Ramal Norte
252 Km
BAYOYAR
ANDOAS
ESTACIÓN 5
Tramo I
305 Km.
San José de Saramuro
Tramo II
548 Km.
Km.
300
0 100
LORETO
AMAZONAS
TUMBES
PIURA
LAMBAYEQUE
CAJAMARCA
SAN MARTÍN
LA LIBERTAD
ÁNCASH
HUÁNUCO
PASCO
UCAYALI
JUNÍN
LIMA
MADRE
DE DIOS
CUSCO
HUANCAVELICA
AYACUCHO
APURÍMAC
ICA
PUNO
AREQUIPA
MOQUEGUA
Lago
Titicaca
TACNA
CALLAO
ECUADOR
COLOMBIA
BRASIL
BOLIVIA
CHILE
OCÉANO
PACÍFICO
Ramal Norte
252 Km
BAYOYAR
ANDOAS
ESTACIÓN 5
Tramo I
305 Km.
San José de Saramuro
Tramo II
548 Km.
Km.
300
0 100

185

Guiados por el sentimiento de hermandad entre los pueblos latinoamericanos y velando por los intereses
nacionales, las autoridades peruanas alquilarán a los ecuatorianos el oleoducto Norperuano para que ellos
transporten su petróleo desde el sur de su Amazonía. Para ello, construirán un ducto. Los ingenieros encargados
de la obra han visto en un tramo la necesidad de colocar codos como muestra la figura. Ayuda a los ingenieros
a determinar el valor del ángulo que tendrá el segundo de los codos.
Fuente: infraestructuraperuana.blogspot.com.co/2009/06/oleoducto-nor-peruano.html
•
• ¿Qué tipos de líneas observas en el gráfico de la zona de explotación ecuatoriana y el oleoducto San José
de Saramuro?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Puedes obtener arreglos de líneas paralelas cortadas por una transversal?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué tipo de ángulos observas en la figura?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué representa α?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuántas paralelas a la recta representada por el oleoducto Norperuano puedes hacer?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Zona de explotación ecuatoriana
Ducto
Oleoducto Norperuano
120º
110º
α

186

•
• En el espacio en blanco ejecuta las siguientes actividades:
–
– Traza las rectas que representan el tramo inicial del ducto y el oleoducto Norperuano.
–
– Prolonga la recta que representa el tramo inicial del ducto.
–
– Traza las dos rectas oblicuas.
–
– Transcribe los valores de ángulos indicados.
–
– Traza una línea paralela al tramo inicial del ducto que pase por el vértice del ángulo desconocido.
–
– Designa con θ y β a los dos ángulos que se formaron al trazar una paralela a las dos anteriores.
–
– Comprueba con el transportador la medida del ángulo β y súmalo con 110º. Escribe la suma. Com-
prueba con el ángulo θ y 120º.
–
– Propón una ecuación para determinar θ y β.
•
• Únete con dos compañeros y comparen los arreglos que obtuvieron.
•
• Elaborenenunahojaapartelosarreglosobtenidosdespuésderealizarcorreccionesyconsensuar.Expongan
en clase.
•
• Júntate con un compañero.
•
• Encuentren el valor de los ángulos desconocidos.
56º
5x
3x

187

Finalicemos

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué aprendizaje fue más significativo en esta
ficha?
•
• ¿En qué situación cotidiana puedo aplicar lo
aprendido?
Reflexiona
•
• ¿En qué otras situaciones de la vida aplicamos
arreglos de rectas paralelas?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Por qué a pesar de que los ángulos conjugados
suman 180°, no se les identifica como suplementarios?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué figuras poligonales puedes obtener
arreglos de rectas paralelas cortadas por una
secante sin necesidad de trazar rectas paralelas a
uno de los lados, solo trazando la recta transversal?
________________________________________
________________________________________
1. Un estudiante está elaborando una maqueta de
su institución, y junto a la cancha de básquet
debe representar una zona cubierta de césped;
para ello, necesita recortar un pedazo de papel
con cierta inclinación. Ayuda a este estudiante a
determinar el valor del ángulo de inclinación sin
usar el transportador.
•
• Realiza las siguientes actividades sobre la base de las rectas graficadas.
•
• Agrega la construcción necesaria para obtener un arreglo de rectas paralelas cortadas por una secante.
•
• Identifica con θ a uno de los ángulos agudos y con ω a uno de los ángulos obtusos.
•
• Determina los valores correspondientes a los otros ángulos de acuerdo con el tipo de ángulo que es cada
uno con respecto a θ y ω.
•
• Forma un equipo de 3 integrantes.
•
• Explica a tus compañeros por qué determinaste estos valores a cada ángulo.
150º
β
Autoevaluación Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Justifico enunciados relacionados
con ángulos formados por líneas
perpendiculares y oblicuas a rectas
paralelas.
Coevaluación
Argumentamos oportunamente y
adecuadamente las justificaciones
solicitadas.
Respetamos los puntos de vista.

188
Evaluación
Resuelve.
1. Expresa como una desigualdad el porcentaje de
producción obtenido a través de la producción
primaria.
________________________________________
2. Después de los estudios realizados, los ingenieros
diseñadores del sistema han llegado a obtener la ex-
presión 33 cm ≤ 3/5x ≤ 42 cm para calcular el valor
del diámetro de la tubería del pozo de inyección. Si
se dispone de dos tipos de tubería, una de 24 pulga-
das y otra de 36 pulgadas, y cada pulgada equivale a
2,54 cm, ¿cuál es la tubería que deben seleccionar?
________________________________________
3. Reconoce y señala en la imagen dos pares de líneas
paralelas y dos pares de líneas perpendiculares.
Contesta.
4. Uno de los pozos de inyección no puede ser cons-
truido en forma vertical por la naturaleza del te-
rreno, por lo que los constructores deben colocar la
sarta con un ángulo de inclinación. La información
con la que cuentan es la mostrada en el gráfico.
a. ¿Cuál es el valor del ángulo de inclinación de la
sarta? Justifica tu respuesta.
________________________________________
________________________________________
b. ¿Cuál es el valor del área vertical de la zona de
difícil perforación?
________________________________________
________________________________________
5. Dibuja un triángulo escaleno y grafica en él las
alturas, medianas, mediatrices y bisectrices con
diferentes colores. Identifica los puntos notables.
Producción del petróleo
Despuésdequeunpozohasidoperforado,seprocede
a su producción. Si la presión es suficiente, el pozo
producirá petróleo sin necesidad de ayuda; pero, si no,
se emplearán métodos artificiales de bombeo.
La producción de petróleo a través de la energía varía
entre el 15 y el 35 % de la producción total del pozo.
En el siguiente gráfico se muestra un sistema de
recuperación secundaria constituido por pozos de
inyección de gas.
Gas Petróleo Agua
Pozos de inyección de gas
Inyección de gas
120 m
109,4 m
pozos de inyección
superficie
20 m
62º
Petróleo

189
Autoevaluación
Codifico condiciones de desigualdad considerando expresiones
algebraicas relacionadas con inecuaciones lineales con una
incógnita y justifico el conjunto solución.
Empleo estrategias heurísticas al resolver problemas.
Describo las relaciones de paralelismo y perpendicularidad
en polígonos regulares.
Uso modelos relacionados con figuras poligonales regulares
y compuestas para plantear o resolver problemas.
Planteo conjeturas para reconocer las líneas notables, propiedades
de los ángulos interiores y exteriores de un triángulo.
Justifico enunciados relacionados con ángulos formados por
líneas perpendiculares y oblicuas a rectas paralelas.
Calculo el perímetro y área de figuras poligonales regulares
y compuestas.
Coevaluación
Tomamos decisiones cuando trabajamos en equipo y asumimos
una postura crítica.
Escuchamos con atención los procesos seguidos para realizar
las debidas correcciones a nuestros compañeros.
Metacognición
1. ¿Cuál de las fichas de esta unidad me puede servir como estrategia para situaciones cotidianas?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
6. El petróleo que ha sido extraído se almacena en grandes tanques cilíndricos; las dimensiones de estos tanques
suelen ser de 12 metros de diámetro y 10 metros de altura.
Contesta.
a. ¿Cuál es el área ocupada por cien tanques de almacenamiento uno al lado del otro? _________________
b. ¿Qué cantidad de material se usó para la construcción de los cien tanques de almacenamiento?
______________________________________________________________________________________
7. Realiza una presentación en PowerPoint sobre las líneas y puntos notables del triángulo.
Producto

190
154
190
6
Unidad
Vivimosenunmundomaravillosodondetenemostodoparaunavidaplena:losbosquesnosproporcionan
airelimpioypuropararespirar;delosríosobtenemoselaguaindispensableparatodoserviviente;también
nos beneficiamos del sol, la lluvia y el viento. Sin embargo, el incremento del dióxido de carbono (CO2)
provocado por las grandes industrias hace que la capa de ozono se esté deteriorando vertiginosamente y
se produzca el deshielo en los polos. Lo que no está muy difundido es que este CO2 es también producto
de la actividad volcánica en la Tierra. Observando la gráfica podemos responder las preguntas.
¿Es posible deducir el valor de la concentración
de dióxido de carbono en 1975, 1995 y 2015?
¿Es posible, a partir de la gráfica, deducir de
cuánto será la concentración de CO2 en el 2020 y
2040? ¿Qué expresión general permitirá saber la
concentración de CO2 para cualquier año desde
1965 al 2015?
Parte de la naturaleza que integra el paisaje de
nuestro país son los volcanes, los cuales se asocian
a sólidos geométricos por su forma. Algunos de
estos volcanes están activos, como el Ubinas, el
Tutupaca, el Misti, el Huaynaputina, el Yucamane,
el Ticsani y el Sabancaya, entre otros.
Dichos volcanes activos pertenecen a la Zona Volcánica Central (ZVC) de los Andes y expresan ciertas
características geométricas que son importantes para conocer los lugares que podrían verse afectados
por una eventual activación. ¿Qué características geométricas tienen los volcanes?
Nuestra casa:
la Tierra
400
380
360
340
320
Dióxido de carbono atmosférico
medido en Mauna Loa, Hawaii
1960 1970 1980 1990 2000 2010
Concentración
de
dióxido
de
carbono
(ppmv)
Ciclo anual
Ene Abr Jul Oct Ene
Incremento de CO2 desde el 1965 hasta el 2015
1965 1975 1985 1995 2005
Norte
Norte

191
191
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de regularidad,
•
• Identifica relaciones no explícitas en condiciones de
igualdad al expresar modelos relacionados a ecuaciones
lineales con una incógnita.
•
• Selecciona y usa modelos referidos a ecuaciones
lineales al plantear y resolver problemas.
ideas matemáticas
•
• Describe una ecuación lineal reconociendo y
relacionando los miembros, términos, incógnitas y su
solución.
•
• Representa operaciones de polinomios de primer grado
con material concreto.
•
• Emplea operaciones con polinomios y transformaciones
de equivalencia al resolver problemas de ecuaciones
lineales.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Prueba las propiedades aditivas y multiplicativas
subyacentes en las transformaciones de equivalencia.
•
• Plantea conjeturas a partir del reconocimiento de pares
ordenados que sean solución de ecuaciones lineales de
dos incógnitas.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de forma, movimiento
y localización
•
ideas matemáticas
•
• Describe el desarrollo de conos considerando sus
elementos.
•
• Describe el desarrollo de prismas, considerando sus
elementos.
•
• Describe el desarrollo de pirámides considerando sus
elementos.
•
• Emplea características y propiedades de polígonos para
construir y reconocer prismas y pirámides.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Justifica la pertenencia o no de un cuerpo geométrico
dado a una clase determinada de prisma según
sus características de forma (regulares, irregulares,
rectos, etc.).

192
Ficha
Iniciemos
41
Ecuaciones en el medioambiente
•
• ¿Conoces el papel de los árboles dentro del ecosistema?
•
• ¿Por qué muchos peruanos aún no reciclamos?
•
• ¿Cómo podríamos hacer para incentivar el cuidado de los bosques
y reflexionar sobre el impacto ambiental?
Nadiepuedenegarlobeneficiosoquepuedeserunárbolparalaspersonas.
Transforma el CO2 (dióxido de carbono) en oxígeno y regula la temperatura
de su entorno. Es realmente el pulmón de la Tierra.
“Un equipo de investigadores del Servicio Forestal de EE. UU. y del
Instituto Davey ha desarrollado una investigación que determina el nivel
de fallecimientos que son evitados por los árboles. Solo en EE. UU. se ha
calculado que todos los beneficios que brinda esta planta han salvado
a 850 personas al año de morir. Además, han prevenido más de 670 000
casos de problemas respiratorios agudos”.
Fuente: diario El Comercio, 10 de agosto del 2014, Lima, Perú.
Nuestro país cuenta con grandes extensiones naturales llenas de árboles
y plantas. Por ejemplo, el Parque Nacional del Manu es un espacio natural
ubicado en las regiones de Madre de Dios y Cusco, con un territorio de
1 532 806 ha.
•
• ¿Conoces sobre la
importancia de proteger los
árboles?
•
• ¿Se realizan campañas de
reciclaje y de disminución
del uso de papel en tu
comunidad?
•
• ¿Qué harías para promover
el cuidado de los bosques?

193

•
• Arequipa es una de las ocho ciudades que conforman la región de Arequipa. Según los datos oficiales, la
superficie de la ciudad se extiende en 9682,02 km2
y su población aproximada llega a 936 461 habitantes.
El último informe de la Superintendencia Nacional de los Registros Públicos indica que en Arequipa existen
240 000 vehículos.
–
– ¿Cuántas personas aproximadamente habitan en un kilómetro cuadrado en la ciudad de Arequipa?
______________________________________________________________________________________
–
– ¿Con qué expresión se puede representar el dato desconocido?
______________________________________________________________________________________
•
• Considerando los datos anteriores:
–
– Formen equipos de cuatro a cinco estudiantes.
–
– Definan los pasos necesarios para contestar las siguientes preguntas:
•
• Si se quiere conocer cuántas personas aproximadamente habitan en un metro cuadrado en la ciudad
de Arequipa, ¿cuál es el proceso a seguir?
•
• Plantea una ecuación para resolver la situación.
•
• Únete con dos compañeros(as) y, siguiendo los pasos anteriores, resuelvan las situaciones.
–
– ¿Cuántos vehículos, en promedio, posee cada habitante? (densidad vehicular por habitante).
–
– ¿Cuántos vehículos, en promedio, tiene cada metro cuadrado del territorio? (densidad vehicular por
metro cuadrado).

194

•
• ¿Será necesario dividir el número de kilómetros cuadrados y el número de habitantes para determinar el
número de habitantes en un metro cuadrado?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Será necesario dividir el número de vehículos entre el número de habitantes para determinar la densidad
vehicular por habitante?
_______________________________________________________________________________________
•
• Representa en términos matemáticos los pasos definidos en el punto 2, considerando lo planteado
en cada literal y resuelve las ecuaciones reemplazando los datos que conoces.
• H: número de habitantes; S: superficie de la ciudad (expresada en metros cuadrados);
DP: la densidad poblacional.
• V: número vehículos; H: número de habitantes; DVH: densidad vehicular por habitante.
• V: número vehículos; H: número de habitantes; DVS: densidad vehicular por metro cuadrado.
•
• Por equipos argumenten sobre el proceso del trabajo realizado. Respondan:
–
– ¿Qué operación realizarías para verificar si la densidad vehicular por metro cuadrado es correcta?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

195

Finalicemos
Reflexiona
•
resolución de problemas?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te fue de gran utilidad el uso de las ecuaciones?
¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué otras situaciones de tu vida diaria
emplearías las ecuaciones?
________________________________________
________________________________________
1. Realiza una consulta sobre la tala de bosques
en el Perú, considerando la cantidad de superficie
cubierta por bosques en el año 1970 (por ejemplo)
y en el año 2000. También consulta la cantidad de
empresas procesadoras de madera y la cantidad
de habitantes del país en los años 1990 y 2010.
2. Elabora un problema utilizando los datos
estadísticos y siguiendo los pasos de la
investigación.
Metacognición
•
•
–
– ¿Qué operación realizarías para verificar si la densidad vehicular por habitante es correcta?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
–
– Discutan entre los compañeros de tu equipo sobre las respuestas obtenidas y corrijan sus errores.
Estructuren un plan de mejora.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
–
– Compartan su plan con los compañeros de otros equipos.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Manejo adecuadamente el lenguaje
matemático.
Expreso la información presentada
en términos matemáticos.
Soluciono situaciones reales a partir
de las ecuaciones.
Coevaluación
Tomamos decisiones de manera
autónoma.
Trabajamos en equipo aportando
ideas.

196
Ficha

Taller matemático
1. Diseño de maqueta (Problemas de traducción simple)
Un arquitecto ha diseñado la maqueta de un reservorio de agua, como muestra la figura, y ha dejado abiertas
las medidas para que se construya con base en el espacio disponible. Si se desea calcular el perímetro de la
maqueta, ¿qué expresión algebraica podría expresarlo?
El agua: fuente de vida
42
•
• ¿Cuál es la expresión algebraica que describe el perímetro de la maqueta?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuál es el perímetro de la maqueta? ______________________________________________________
•
• Separando cada una de las zonas, ¿cual sería la suma total de las áreas de cada zona?
•
• Como cada zona está separada por muros, es decir, en la maqueta hay segmentos compartidos, representa
los monomios que quedaron de la expresión anterior.
•
• El polinomio que representa solo el área de los muros requeridos en la construcción de la maqueta es:
______________________________________________________________
2x 2 x
x
x
y

197

2. Agua dulce (Problemas de traducción compleja)
Una de las fuentes más importantes de agua dulce
son los lagos alimentados por los ríos subterráneos. En
muchas ocasiones es necesario saber la cantidad de agua
reservada con el fin de potabilizarla para el uso humano.
a
c
d d
b
a
c
d d
b
El lago de la fotografía tiene aproximadamente la siguiente forma (vista desde el vuelo del pájaro): una profun-
didad uniforme de e metros y un ancho uniforme.
¿Es posible obtener el área del lago? ¿Cómo lo harías?
¿Es posible calcular la cantidad del agua reservada en el lago? ¿Qué magnitudes matemáticas estaríamos
calculando? (suponemos que la profundidad es constante).
•
• ¿Qué se quiere conocer? ________________________________________________________________
•
• ¿Qué estrategia utilizas para calcular el área?
•
• Utiliza la estrategia de dividir la figura de otra forma. ¿Cómo se puede calcular la cantidad de agua
reservada? ¿Cuál es el área? (b = 500 m, c = 800 m, e = 200 m, d = 1/2 b)
a
c
d d
b
_______________________________________________________________________________________

198

•
• Comparen las respuestas.
•
• Discutan entre los compañeros de tu equipo sobre las respuestas. Estructuren un plan de mejora y corrijan
los errores. Escriban las equivocaciones en común.
•
• Compartan su plan con los compañeros de otros equipos.
3. Armando maquetas (Situaciones problemáticas realistas)
•
• Si tienes las siguientes piezas, ¿cómo armarías la maqueta de un pequeño departamento y cuál sería la
expresión algebraica de su perímetro?
•
• Suponiendo que a las orillas del lago viven aproximadamente 500 000 habitantes y su consumo diario es
de 200 litros, ¿para cuánto tiempo les alcanza el agua del lago? (se comprende que no existen afluentes
externos).
2x
2
3
x + 1
x – 1
2x – 2
2x
–
2
x
x
sala comedor
dormitorio
cocina
baño
x

199

Finalicemos
Reflexiona
•
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Consideras de gran utilidad el uso de los
polinomios? ¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Qué es un polinomio? Propón dos ejemplos.
________________________________________
________________________________________
1. Crea un problema similar a los resueltos para
proponer en la clase, utilizando la figura planteada
y la misma estrategia; busca un tema de interés de
tus compañeros.
Metacognición
•
• ¿Por qué es importante lo que aprendí?
•
• ¿Qué recursos utilicé para solucionar el
problema?
•
• Inventen un problema a partir de la siguiente figura.
•
• Por equipo, argumenten sobre el proceso del trabajo realizado.
–
– ¿Qué dificultades tuvieron al realizar el trabajo propuesto? __________________________________
–
– ¿Es importante trabajar en equipo? _____________________________________________________
–
– ¿Cuál es la conclusión más importante a la que llegaron? ____________________________________
x
x
z
y
y
z
z
c
c
a
a
a
a a
a
b
b
b b
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
matemático.
de los polinomios.
Represento operaciones con
polinomios de primer grado con
material concreto.
Coevaluación
Respetamos las apreciaciones de cada
participante.
ideas.
2. Con ayuda del desglosable 8 de la página 367
calcula el perímetro de cada figura y encuentra su
respectiva ficha.

200
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Qué actividades relacionadas con la matemática puedes hacer en un
parque?
•
• ¿Por qué crees que se debe cuidar el parque de tu localidad?
•
• Muchos distritos tienen en sus parques zonas destinadas a juegos.
¿Qué características observas en estos juegos?
•
• ¿Qué parques visitas con tu
familia?
•
• ¿Qué sueles hacer en un
parque?
43 Paseo en familia
María y Juan viven en un pequeño condominio en el centro de la ciudad.
A ellos les gustaría que sus hijos contaran con áreas verdes como las
tuvieron de niños en su natal Tarma. Hacen lo posible por llevarlos a los
parques más cercanos en sus días libres. Ello es una buena opción para
tener momentos familiares en medio de la naturaleza, hacer picnic con
amigos, realizar juegos entre familias o simplemente para respirar aire puro.
Piensan adquirir más adelante un terreno rural en la periferia para que sus
hijos tengan más espacio. Esto no significará un sacrificio para Juan, pues
la vida en medio de la naturaleza es importante para su familia y trabaja
mucho para lograr su proyecto.

201

Deseosos de disfrutar de la naturaleza y compartir un tiempo de calidad
con otras familias, María, Juan y sus hijos fueron a un parque. En ese lugar
encontraron a un personaje muy particular, “un mago matemático”, que
asombraba a su público con trucos numéricos. Él daba a los espectadores
unas instrucciones precisas para realizar sus trucos, y todos quedaban
maravillados.
•
• Sigue las instrucciones del mago matemático y, para más seguridad, apunta los resultados intermedios
en una hoja.
a) Piensa un número cualquiera.
b) Súmale 3.
c) Multiplica el resultado por 2.
d) Réstale 8.
e) Divide por 2.
f) Escribe lo que te sale y te diré, rápidamente, el número que pensaste inicialmente.
•
• Escribe el resultado del número que pensaste.
a) ¿Crees que este tipo de problemas convierten a la matemática en un curso agradable?
_______________________________________________________________________________________
b) Realiza el truco de magia a un compañero de tu aula.
Considerando los datos anteriores:
•
• Formen equipos de cuatro a cinco estudiantes.
•
• Definan los pasos necesarios para contestar las siguientes preguntas:
–
– ¿Lograste adivinar el número de tu compañero? ¿Cómo lo hiciste? ¿Qué dificultades tuviste?
–
– ¿Es necesario que la persona que interactúa con el mago sepa matemática?
___________________________________________________________________________________
–
– ¿Se debe saber resolver ecuaciones para llegar a una respuesta correcta?
___________________________________________________________________________________
–
– Si cambiamos una o varias operaciones, ¿se podrá llegar a algún resultado?
___________________________________________________________________________________

202

•
• Escribe el proceso y la obtención del resultado si tu compañero pensó el número 5.
•
• ¿Qué proceso mental debes realizar para tener la respuesta correcta?
•
• ¿Es suficiente la información proporcionada por el problema para que sepas el número en el que pensó?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué datos debemos considerar para contestar las preguntas planteadas?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Se debe hacer algunos cálculos adicionales para llegar a la respuesta?
___________________________________________________________________________________
Completa los pasos:
•
• Si tu compañero pensó en el número 8:
a. Súmale 3. ____
b. Multiplicalo por 2. ____
c. Réstale 8. ____
d. Divídelo por 2. ____
Responde:
•
• ¿Qué relación encuentras entre el resultado y el número original?
Escribe en lenguaje matemático, tomando en cuenta la siguiente incógnita:
1. Número del resultado.
2. Número que pensaste.
a. La expresión para sacar el resultado final.
b. Ecuación para obtener el número pensado.
___________________________________________________________________________________

203

Finalicemos
Reflexiona
•
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Consideras de gran utilidad el uso de las
ecuaciones? ¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
•
emplearías las ecuaciones?
________________________________________
________________________________________
1. Crea un problema similar al propuesto por el
mago matemático.
2. Comprueba todos los pasos realizados.
3. Escribe si es posible utilizar las ecuaciones para
hacer más sencilla la solución.

Metacognición
•
•
•
• Formen equipos de trabajo.
•
• Con base en la ecuación propuesta, reemplaza los datos de la incógnita y comprueba que esta ecuación
es útil con todos los números. Por ejemplo, con el número pensado 15.
•
• Reemplaza en la expresión para obtener el resultado inicial:
•
• Reemplaza en la expresión para obtener el número pensado:
•
• Comparen sus ecuaciones con otro equipo.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Empleo operaciones con polinomios
de manera adecuada.
Empleo transformaciones de
equivalencias para resolver ecuaciones
lineales.
Coevaluación
Tomamos acuerdos para resolver los
ejercicios.
Compartimos ideas importantes.

204
Ficha
Taller matemático
44
Reforestando
1. A. Vender periódicos (Problemas de traducción simple)
En Zedland dos periódicos quieren contratar vendedores. Los siguientes anuncios muestran cómo les pagan
a sus vendedores.
Pregunta 1
Federico vende 350 ejemplares de La Estrella de Zedland cada semana en promedio. ¿Cuánto gana cada
semana en promedio?
Pregunta 2
Cristina vende El Diario de Zedland. En una semana ganó 74 zeds. ¿Cuántos periódicos vendió esa semana?
¿NECESITAS DINERO
EXTRA?
VENDE NUESTRO
PERIÓDICO
Pagamos:
0,20 zeds por periódico
para los primeros 240
ejemplares que vendas
en una semana, más
0,40 zeds por cada
periódico
adicional vendido.
LA ESTRELLA
DE ZEDLAND
¡TRABAJO BIEN
PAGADO QUE
TOMA POCO TIEMPO!
Vende El Diario de Zedland
y gana 60 zeds a la semana
más 0,05 zeds
adicionales por periódico
adicional vendido.
EL DIARIO
DE ZEDLAND

205

A. B.
C. D.
El Diario de Zedland
N.o
de periódicos vendidos
Ingresos
semanales
zeds
La Estrella de
Zedland
N.o
Ingresos
semanales
zeds
La Estrella de
Zedland
Pregunta 3
Juan decide solicitar un puesto de vendedor de periódicos. Tiene que elegir entre La Estrella de Zedland
y El Diario de Zedland.
•
• ¿Cuál de los siguientes gráficos es la representación correcta de cómo pagan a sus vendedores los dos
periódicos? Rodea con un círculo la respuesta correcta.
B. Sembrando árboles
Mateo desea plantar árboles en un terreno rectangular; ¿cuál es el área del terreno si se conoce que su perímetro
mide 160 m y que el largo mide el triple de su ancho?
•
• Expresa una representación gráfica del terreno y escribe los datos.
•
• Determina el perímetro.
•
• Pasa a calcular el área.
N.o
Ingresos
semanales
zeds
La Estrella de
Zedland
N.o
Ingresos
semanales
zeds
La Estrella de
Zedland

206

2. Reforestación (Problemas de traducción compleja)
Lucía llevó a sus estudiantes a una actividad de re-
forestación. Para este propósito, se invirtieron S/ 120
en 33 árboles, de los cuales algunos costaron
5solesyotros2solescadauno.Lucíadeseaintercalar
los árboles; para eso necesita saber cuántos árboles
de 5 soles y cuántos de 2 soles se han comprado.
•
• ¿Cuántas incógnitas hay en el problema? __________________________________________________
•
• ¿Es suficiente la información proporcionada por el problema? ¿Por qué?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué datos debemos considerar para contestar las preguntas planteadas?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Se deben hacer algunos cálculos adicionales para llegar a la respuesta? __________________________
•
• Representa en lenguaje matemático las incógnitas: utiliza A para señalar los árboles de 5 soles, y B para los
árboles de 2 soles. Escribe el enunciado completo relacionando los datos con las incógnitas.
•
• Resuelve las ecuaciones formadas.
•
• Contesta la pregunta formulada en el problema.
___________________________________________________________________________________
3. Representación gráfica (Situaciones problemáticas realistas)
•
• Formen equipos de cuatro estudiantes.
•
• Considera esta nueva ecuación: 2x + y = 3. Completa la tabla con los valores correspondientes y representa
los pares ordenados formados en el plano cartesiano.

207

Finalicemos
Metacognición
•
•
Reflexiona
•
• ¿Será posible expresar una ecuación con tres
incógnitas? Justifica tu respuesta.
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Podemos resolver el problema sin plantear
ecuaciones? Justifica tu respuesta.
________________________________________
________________________________________
•
emplearías los sistemas de ecuaciones?
________________________________________
________________________________________
1. Crea un problema relacionado con el
medioambiente, que pueda ser traducido en
lenguaje matemático, y sigue los pasos sugeridos.
Si es necesario, representa los datos en un plano
cartesiano.
x 0 1 2 –3
y 0 2 –3 –5
12
10
8
6
4
2
0
–2
–4
–8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 12
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
matemático.
Expreso en términos matemáticos la
información presentada.
Expreso afirmaciones sobre la solución
de ecuaciones lineales con dos
incógnitas a partir del conocimiento
de sus pares ordenados.
Coevaluación
Respetamos las decisiones de cada
participante.
ideas.
X
Y

208
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Qué sólido geométrico es el que se asemeja más a un volcán?
•
• Representa gráficamente la vista lateral y superior, aproximada, del
volcán. ¿Qué figuras geométricas reconoces?
•
• ¿Conoces el Misti u otro
volcán del Perú?
•
• ¿Qué características
geométricas presentan
los cerros más cercanos
al lugar en que vives?
¿Son simétricos o muy
irregulares?
Soberbio, lleno de altivez, ufano
de su bella apostura y gallardía,
cuando amanece, el Misti con humano
sentimiento bendice el nuevo día.
Los gallos le saludan desde el llano
con una orquestación de algarabía,
queélcontesta,arrogante,conunvano
gesto de nieve de su testa fría.
Al ocultarse el Sol en el poniente,
parece un inca de nevada frente
coronado de innúmeras centellas.
Y resurge del fondo de la noche,
cuando comienza el sideral derroche,
como una copa derramando estrellas.
El Misti. Alberto Hidalgo
Será su simetría o el ángulo que dibuja la cima con su silueta, la que inspira
a representar de distintas formas la belleza del Misti. De todos los tipos
de elevaciones que existen, son los volcanes los que mantienen mayores
similitudes unos de otros.
Geometría en los volcanes
45
Si quieres conocer algo más
sobre los volcanes de nuestro
país, ingresa a
http://goo.gl/FCVUcn
TIC

209

•
• ¿Qué forma tienen los volcanes?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Existe algún otro objeto en la naturaleza que tenga la misma forma de un volcán?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Existe algún otro elemento que hayas visto que tenga la misma forma de un volcán?
___________________________________________________________________________________
•
• Si comparamos dos volcanes que tienen la misma área en la base pero diferente altura, ¿crees que debemos
considerar las mismas magnitudes para comparar la fuerza destructiva de dos volcanes?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Contesta:
a. ¿Qué forma geométrica tiene la base del cono? ___________________________________________
b. ¿Cuál es la fórmula para calcular el área del círculo? ________________________________________
c. Recorta un triángulo rectángulo, gira uno de los catetos y hazlo coincidir con el otro cateto. Dibuja lo
que se obtuvo.
d. ¿Qué cuerpo geométrico representa? __________________________________________________
e. Si aumentamos la medida de ese cateto, ¿qué magnitud del cuerpo de revolución cambia? _________
f. Nombra los elementos del cono y señálalos en el siguiente gráfico:
g. Describe cada elemento.
= g
= h
= r
1
2
3

210

h. Con el triángulo rectángulo que recortaste al inicio, arma un cono y realiza un corte de los que muestra
la figura.
¿Sabías que al cortar un cono se pueden obtener algunas figuras planas llamadas cónicas?
i. ¿Qué corte escogiste y qué cónica obtuviste? _____________________________________________
•
• Formen equipos de tres o cuatro estudiantes para realizar lo siguiente: (Considera π = 3,14)
–
– Expresa e intercambia tus visiones sobre las actividades resueltas.
–
– Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Principalmente de qué depende el área de la base de un cono? _____________________________
b) Si aumentamos el radio de la base del cono en un 25 %, ¿cómo aumenta el área de la base? ¿Cómo
aumenta el volumen del cono? ________________________________________________________
–
– Construye cada cono y calcula su volumen.
•
• Elijan a un integrante del equipo para que explique al resto de compañeros las respuestas generadas.
•
• Milbor quiere hacer más grande el contenedor de granos de maíz de su granja, la cual tiene forma de un
cono con radio de 20 metros y una profundidad de 2 metros. Quiere aumentar el radio a 22 metros y la
profundidad a 2,5 metros. ¿Cuánto más es la capacidad del contenedor de granos? (Considera π = 3,14)
•
• Para una fiesta, Laura, profesora de matemática, ha hecho 10 gorros de forma cónica. ¿Cuánto de material
habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz? (Considera π = 3,14)
Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola

211

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué sabía sobre el tema?
•
• ¿Qué nuevos conocimientos tengo ahora?
Reflexiona
•
• ¿Qué fase del modelo de Van Hiele te ayudó a
resolver tus problemas?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te fue de gran utilidad el uso de los conos? ¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
•
emplearías las propiedades matemáticas del
cuerpo geométrico estudiado?
________________________________________
________________________________________
1. Elabora gorros de cumpleaños con una medida
definida y comparte con tus compañeros.
2. Calcula el volumen de un gorro de cumpleaños.
3. Crea un problema relacionado con el cuerpo
geométrico estudiado y reta a tus compañeros a
resolverlo.
•
• Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de su base es de
3 cm. (Redondea la respuesta, considerando que π = 3,14).
•
• Elabora un mapa conceptual donde se mencione la definición del cuerpo geométrico; sus principales
elementos; el desarrollo del cono; las fórmulas para calcular el área de la base, el área lateral, el área total y el
volumen; y las aplicaciones del cono.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
matemático.
Compruebo si el desarrollo me
permitió resolver el problema.
Describo el desarrollo del cono
considerando sus elementos.
Hallé el área y el volumen de un cono
empleando unidades de medida
convencionales.
Coevaluación
autónoma.
ideas.

212
Ficha

Taller matemático
Identificando prismas
1. A. Dados (Problemas de traducción simple)
Los dados son cubos con un sistema especial
de numeración en los que se aplica la siguiente regla:
El número total de puntos en dos caras opuestas
es siempre siete.
46
Pregunta 1
A la derecha se pueden ver tres dados colocados uno encima del otro.
El dado 1 tiene cuatro puntos en la cara de arriba.
•
• ¿Cuántos puntos hay en total en las cinco caras horizontales que
no se pueden ver (cara de abajo del dado 1, caras de arriba y de
abajo de los dados 2 y 3)?
______________________________________________________
Pregunta 2
Puedes construir un dado sencillo cortando, doblando y pegando cartón. Estos dados se pueden hacer de
muchas maneras. En el dibujo siguiente puedes ver cuatro recortes que se pueden utilizar para elaborar cubos,
con puntos en las caras.
•
• ¿Cuál de las siguientes figuras se puede doblar para formar un cubo que cumpla la regla de que la suma
de caras opuestas es 7? Para cada figura, rodea con un círculo.
Forma
¿Cumple la regla de que la suma de los puntos
de las caras opuestas es 7?
I Sí / No
II Sí / No
III Sí / No
IV Sí / No
Dado 1
Dado 2
Dado 3
I II III IV

213

B. Identificando prismas
El maestro Oliver presenta en la mesa de trabajo cajas de medicina, de zapatos, de leche y otras más. ¿Qué tipo
de cuerpos geométricos son las cajas?
•
• Si quisiéramos comparar dos prismas, ¿qué propiedades matemáticas deberíamos considerar?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cómo clasificamos los prismas?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Si queremos saber la cantidad de material que necesitamos para la construcción de un prisma de base
cuadrada, ¿qué variable se debe considerar?
___________________________________________________________________________________
•
• Si comparamos dos prismas que tienen la misma área en las bases pero diferente altura, ¿crees que debe-
mos considerar las mismas magnitudes para compararlas? ______________________________________
•
• Si comparamos dos prismas que tienen la misma área en la base y la misma altura pero la una es recta y la
otra es oblicua, ¿crees que debemos considerar las mismas magnitudes para compararlas?
___________________________________________________________________________________
2. Elementos de un prisma (Problemas de traducción compleja)
La maestra solicita a sus estudiantes preparar una exposición de prismas geométricos, para lo cual los estudian-
tes deben responder las siguientes preguntas:
•
• ¿Qué forma geométrica puede tener la base de un prisma cualquiera?
___________________________________________________________________________________
•
• Si el prisma tiene base cuadrangular, ¿cómo expresarías su área? ________________________________
•
• Si incrementamos la diagonal del cuadrado de la base, ¿qué magnitud del prisma cambia?
___________________________________________________________________________________
•
• Si la base del prisma es un triángulo o un pentágono, ¿qué fórmula utilizas para calcular el área de la base?
•
• Nombra los elementos del prisma y señálalos en el siguiente gráfico:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

214

Camila elabora contenedores para guardar árboles para la reforestación. Si el diseño del contenedor es como
el que se muestra, ¿cómo se llama el sólido que forma la caja armada?
_______________________________________________________________________________________
Durante la clase de geometría la maestra saca acertijos de una caja, para que los estudiantes ganen puntos por
su participación. Los acertijos se encuentran en forma de adivinanzas; ¿a qué sólido corresponde la adivinanza
que está a continuación?
•
• Dibuja el prisma de acuerdo con dos características:
–
– Bases triangulares.
–
– 9 aristas.
Soy un sólido geométrico
con 2 bases formadas por
pentágonos; tengo 15 aristas,
10 vértices y 5 caras laterales.
¿Quién soy?
___________________________________________________

215

Finalicemos

Metacognición
•
• ¿Qué estrategias empleo para representar
en el plano un prisma?
•
• ¿En qué situaciones de la vida puedo emplear
las propiedades de un prisma?
Reflexiona
•
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te fue de gran utilidad el uso de los prismas?
¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
•
________________________________________
________________________________________
1. Elabora una caja en forma de un prisma.
2. Intercambia la caja con un compañero y calcula
el volumen.
resolverlo.
5 cm
8 cm
5
cm
15
cm
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Identifico el desarrollo de los diferentes
prismas.
Describo el desarrollo de un prisma,
Trazo correctamente el desarrollo
de un prisma.
Coevaluación
Compartimos respuestas y
experiencias.
ideas.
3. Constuyendo prismas (Situaciones problemáticas realistas)
•
• Observa el gráfico; traza en una cartulina el desarrollo del prisma con las mismas medidas y luego ármalo.
•
• ¿Cuál debe ser el área de la cartulina para hacer el prisma del modelo? ____________________________
•
• ¿Qué elemento no puedes dejar de trazar para poder unir sus aristas y lograr la construcción del prisma?
___________________________________________________________________________________

216
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Qué figura geométrica describe cada una de las caras de las pirámides
mayores? ¿Qué figuras geométricas reconoces en las caras de las
pirámides escalonadas?
•
• Explica la estrategia que utilizarías para calcular el área total de la pirá-
mide. ¿Qué datos necesitarías?
•
• ¿Existe una estructura de
enormes dimensiones en tu
región?
•
• Dentro de las actividades
del colegio, ¿has armado
sólidos geométricos en
papel o cartulina?
Las pirámides de Giza son la única maravilla del mundo antiguo en pie
en la actualidad. Estas construcciones han ostentado durante mayor
tiempo el título de construcción artificial más alta del mundo. Desde que
fueron construidas hace unos 4000 años, nunca fueron superadas en
altura por otro edificio hasta el siglo XIV. La gran pirámide de Giza medía
originariamente 147 metros de altura.
Las dimensiones y localización de las pirámides tienen un gran número de
curiosidades. Por ejemplo, la masa y el área de la superficie de la Tierra son
5,97 · 1024
kg y 5,1 · 108
km2
, respectivamente, mientras que la masa y el
área de la gran pirámide de Giza son 5,9 · 109
kg y 5,1 · 103
m2
, de manera
respectiva. Del mismo modo, llama la atención la perfecta alineación de
las tres pirámides con la constelación de Orión.
47 Geometría en el desierto

217
• Consideremos dos pirámides de Egipto; ¿qué magnitud matemática está implícita para compararlas?
___________________________________________________________________________________
• ¿Cómo clasificamos las pirámides?
___________________________________________________________________________________
• Si queremos saber cuánto de material necesitamos para la construcción de una pirámide de base cuadrada,
¿qué variables debemos considerar?
___________________________________________________________________________________
• Si comparamos dos pirámides que tienen la misma área en la base pero diferente altura, ¿crees que debe-
mos considerar las mismas magnitudes para compararlas?
___________________________________________________________________________________
• Si comparamos dos pirámides que tienen la misma área en la base y la misma altura pero la una es recta y la
otra es oblicua, ¿crees que debemos considerar las mismas magnitudes para compararlas?
___________________________________________________________________________________
• Contesta:
a. ¿Qué forma geométrica tienen las bases de las pirámides?
b. ¿Qué forma geométrica tienen las caras de las pirámides?
c. Escribe en el siguiente gráfico los elementos de la pirámide.
O
C
B
N
D
A
K
1.
2.
4.
6.
7.
3.
5.

218

d. Observa el gráfico; traza en una cartulina el desarrollo de la pirámide con las mismas medidas y
luego ármala.
e. ¿Cuál debe ser el valor del área de la cartulina para lograr hacer la pirámide del modelo?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
f. ¿Qué conocimientos debes tener para trazar el desarrollo de la pirámide?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Formen equipos de tres o cuatro estudiantes.
–
– Describan el proceso que utilizaron para trazar el desarrollo de la pirámide, las dificultades que tuvieron
y las soluciones que dieron a estas.
•
• Respondan las siguientes preguntas:
a. ¿Qué relación existe entre el número de lados de la base de una pirámide y el número de caras?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
b. ¿Existirán otros desarrollos para el prisma de la interrogante 2d?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Elijan a un integrante del equipo para que explique al resto de sus compañeros las respuestas generadas.
Dificultades Soluciones
1
8
c
m
18 cm
18 cm
18
cm
30
cm
18
cm
18 cm

219

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué pasos sigo para dibujar en el plano
el desarrollo de una pirámide?
•
• ¿En qué situaciones de la vida cotidiana
empleo las propiedades de las pirámides?
Reflexiona
•
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te fue de gran utilidad el uso de las pirámides?
¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
•
________________________________________
________________________________________
1. Consigue una caja en forma de pirámide; de lo
contrario, constrúyela, desármala y encuentra el
valor de su área total.
resolverlo.
•
• Propón dos desarrollos para un prisma de base pentagonal.
•
• Enumera las características principales de las pirámides.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Elabora en tu cuaderno un mapa conceptual de la pirámide; menciona la definición del cuerpo geométrico
y sus principales elementos, así como las fórmulas para calcular el área de la base, el área lateral y el volumen,
y las aplicaciones de la pirámide.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Identifico diversos desarrollos en
pirámides.
Describo el desarrollo de pirámides
Trazo correctamente el desarrollo
de una pirámide.
Coevaluación
autónoma.
ideas.

220
Ficha
Iniciemos
•
• Si se tiene una lámina rectangular de plástico, ¿qué tipo de recipiente
podrías hacer? Realiza la gráfica del molde que crearías.
•
• Y si la lámina fuese circular, ¿cómo diseñarías un recipiente? Diseña
también la gráfica del molde.
•
• ¿Qué usos, distintos de su
utilidad original, se pueden
dar a estos objetos en casa?
•
• ¿Algunos de estos
recipientes pueden ayudar a
medir magnitudes? ¿Cuáles?
•
• ¿Qué sólidos geométricos
reconoces en estos objetos?
Nuestro país, en los últimos años, ha tenido un crecimiento importante en
la industria de producción de plásticos, por lo cual actualmente ocupa un
lugar importante a nivel de América Latina.
Alrededor de los años 70, el PVC era el plástico de mayor uso, debido
a su versatilidad de procesamiento y mayor rendimiento. Luego se
pudo evidenciar el desarrollo de la industria de telas plásticas, juguetes,
maquinaria, tecnología, de tal manera que su uso ha ido creciendo
paulatinamentehastaposicionarseenelnivelenelqueahoraseencuentra.
48 La industria del plástico en el Perú

221

Una fábrica que elabora envases plásticos realizó un bosquejo de
los posibles diseños, pues tienen un pedido y deben fabricar cajas
individuales.
•
• Observa la imagen y responde.
a. Si se realizan los envases para cada objeto, ¿qué forma
pueden tener las diferentes cajas?
_______________________________________________
b. ¿Qué botella plástica lleva más líquido? ¿Una en forma de cono o una en forma de prisma? (Considera
que el área de la base y la altura es la misma). ¿Por qué?
___________________________________________________________________________________
c. Para las mismas botellas, ¿cuál tiene mayor superficie lateral? ¿Por qué?
___________________________________________________________________________________
Proyecto sólidos
•
• Lleva un objeto cualquiera para trabajar en clase.
•
• Mide el objeto y aproxima su volumen.
•
• Con la guía de tu maestro, construye una caja para guardar el objeto; diséñala y decórala usando tu creatividad.
Para la decoración, observa algunos diseños de cajas.
•
• ¿Qué sólido geométrico utilizaste para guardar el objeto? ______________________________________
•
• ¿Qué experiencia tuviste al decorar tu caja? _________________________________________________
Capacidad de los sólidos
•
• En una cartulina, traza el desarrollo de un prisma de base cuadrada (lado del cuadrado = 10 cm, arista = 15 cm).
•
• Enotracartulina,trazaeldesarrollodeunapirámidedebasetriangularequilátero(ladodeltriángulo=10cm,
altura = 15 cm).
•
• Construye la pirámide y el prisma trazados (deja un pequeño orificio para completar el siguiente punto).
•
• Llena cada una de las figuras elaboradas con granos de arroz seco.
•
• Pide una balanza. Pesa cada uno de los sólidos llenos y escribe sus medidas.
Prisma cuadrangular _________________________________________________________________
Prisma triangular ____________________________________________________________________
•
• Formen equipos de tres o cuatro estudiantes e intercambien sus experiencias sobre el proyecto realizado.

222

•
• Calcula la longitud de la diagonal del siguiente prisma recto de base rectangular:
•
• Halla la longitud de la arista de un prisma recto de base cuadrada (10 cm de lado), sabiendo que la diagonal
mide 18 cm.
•
• Tenemos una pirámide de base cuadrada (7 cm de lado). Sabiendo que la arista lateral mide 10 cm, halla la
longitud de la diagonal y de la altura.
•
• Juan desea elaborar una carpa de base cuadrada para acampar en el parque Huáscar, pero no sabe cuánta
tela debe comprar. La tela para la carpa mide de ancho, 1,9 m, y se vende por metros lineales. ¿Puedes
ayudarlo? (el lado de la base mide 3 m, y la altura, 130 cm).
5 cm
3 cm
3 cm
•
• Responde a las preguntas:
a. ¿Existe diferencia entre los pesos obtenidos? ¿A qué se debe?
___________________________________________________________________________________
b. ¿Cuál de los sólidos contiene la mayor cantidad de arroz?
___________________________________________________________________________________
c. Si las bases de las figuras fueran las mismas, ¿la cantidad de arroz sería la misma?
___________________________________________________________________________________
d. ¿De qué depende principalmente el volumen?
___________________________________________________________________________________
e. ¿Cuál es la unidad más apropiada para expresar el volumen calculado de sólidos construidos?
___________________________________________________________________________________
•
• Elijan a un integrante del grupo para que explique al resto de compañeros las respuestas generadas.

223
Finalicemos
Metacognición
• ¿Fue importante el estudio de este tema?
• ¿Fue ventajoso trabajar con material concreto
para las construcciones?
Reflexiona
• ¿Qué relación hay entre el volumen de un prisma
y el de una pirámide?
________________________________________
________________________________________
• ¿Es de gran utilidad el uso de los sólidos? ¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
1. Los juguetes para niños (hechos de un plástico
biodegradable) en forma de prisma y pirámide
tienen estas dimensiones: base = 10 cm × 10 cm,
y altura = 15 cm. Si consideramos que por cada
cm2
se emplean 2 gramos de plástico, ¿cuánto
material se necesitó para elaborarlos?
2. Si se sabe que cada kilogramo de este material
tiene un tiempo de descomposición de 50 años,
¿cuánto tiempo tardarán en desaparecer los
juguetes?
• En el mes de junio por el Día del Padre, los directivos de un supermercado piensan comprar algunos televi-
sores. Para apilar las cajas disponen de un área de 150 m2
. Cada caja tiene una forma de prisma rectangular
de las siguientes medidas: la base es de 20 cm × 120 cm, y la altura es de 80 cm. El fabricante recomienda
no apilar más de tres cajas verticalmente. ¿Cuántos televisores, como máximo, se podrán adquirir?
• En el diagrama de Venn escribe características de semejanza y diferencia entre un prisma y una pirámide.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Empleo características de polígonos
para construir y reconocer prismas
y pirámides.
del cálculo de volúmenes de sólidos.
Identifico semejanzas y diferencias
entre prismas y pirámides.
Coevaluación
autónoma.
Trabajamos en equipo aportando ideas.

224
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Qué figuras geométricas observas en una tuerca?
•
• Las tuercas mostradas, ¿a qué cuerpo geométrico se parece?
•
• ¿Existe en tu comunidad
alguna empresa industrial?
•
• ¿Has utilizado tuercas para
armar algún objeto?
Las tuercas son las piezas que facilitan el ensamblaje y la fabricación de
objetos y maquinarias que se emplean en distintos ámbitos. En el campo
de la ingeniería y la industria, existen tuercas de diferentes tipos y tamaños.
Las más comunes son las de forma hexagonal, como las que se muestran
en la imagen. Son, principalmente, elementos que permiten unir un
conjunto de piezas organizadas para un fin.
En una industria, siempre será necesario tener las herramientas adecuadas
para poder manipular las partes o elementos que se ensamblan. Para esta
labor, al igual que en otros rubros, deben seguirse normas estandarizadas
de fabricación. La mayoría de trabajadores deberían estar familiarizados
con esas normas al momento del ensamblaje de objetos, estructuras y
máquinas.
Seguridad industrial
49

225

A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
•
• Si aumentamos la cantidad de aristas en un prisma hasta 100, ¿a qué cuerpo se parecerá?
___________________________________________________________________________________
•
• Si quisiéramos comparar dos prismas, ¿qué magnitudes matemáticas deberíamos considerar?
___________________________________________________________________________________
•
• Si queremos saber cuánto de material necesitamos para la construcción de un prisma de base cuadrada,
¿qué medidas debemos considerar?
___________________________________________________________________________________
•
• Si comparamos dos tuercas que tienen la misma área en la base pero diferente altura, ¿crees que debemos
considerar las mismas magnitudes para compararlas?
___________________________________________________________________________________
•
• Entre las siguientes imágenes, ¿cuál se asemeja más a la forma de la tuerca? Enciérrala.
•
• Realiza el desarrollo de un prisma de base hexagonal regular de lado 2 cm y de altura 4 cm.

226

•
• Observa los desarrollos y responde.
•
• ¿Con qué desarrollos no se pueden armar sólidos? ____________________________________________
•
• ¿Cuáles son los errores?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Identifica los desarrollos que están correctos y escribe el nombre del sólido geométrico que se formará
al armarlo.
Formen equipos de tres o cuatro estudiantes para que:
•
• Expresen e intercambien sus visiones sobre las actividades resueltas.
•
• Respondan las siguientes preguntas:
–
– Si arman el prisma de la actividad 2, ¿cuál será el valor de su área total y su volumen?
–
– ¿Se puede predecir, en forma aproximada, el área lateral, el área total y el volumen de un prisma de
base octogonal?
•
• Elijan a un integrante del equipo para que explique al resto de compañeros las respuestas generadas.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.

227

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué recurso o estrategia me ayudó a resolver
el problema?
•
• ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?
Reflexiona
•
________________________________________
________________________________________
•
emplearías los cuerpos geométricos estudiados?
________________________________________
________________________________________
1. El señor Castañeda compró una casa campestre
en la afueras de Lima. La casa tiene una piscina,
pero por falta de mantenimiento el recubrimiento
está deteriorado. Para renovarlo, se han destinado
S/ 350 000. La piscina tiene la forma de prisma
rectangular de estas dimensiones:
base = 50 m × 30 m, y profundidad = 5 m.
Si el metro cuadrado del recubrimiento cuesta
S/ 200 (incluida la mano de obra), ¿es suficiente el
presupuesto? En caso afirmativo, indica cuántos
metros más se podrían cubrir. En caso negativo,
señala cuántos metros faltan para cubrir.
2. Para la actividad anterior, si se deseara cubrir con
el mismo material una franja de 1 metro alrededor
de la piscina, ¿cuánto de dinero faltaría?
•
• Un edificio en el Centro de Lima tiene las siguientes dimensiones: la base es un cuadrado de lado de 40 m,
y la altura es de 40 pisos de 2,5 m de alto cada uno. Su fachada fue cubierta completamente de baldosas de
60 cm × 60 cm. ¿Cuántas cajas de baldosas se usó para esto? Considera que cada caja contiene 8 baldosas
y que no existe desperdicio.
•
• Elabora en un papelote un mapa conceptual sobre la clasificación de los prismas y las pirámides. Toma en
cuenta la forma de la base.
•
• Expón tu mapa conceptual en la clase.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Identifico clases de prismas según sus
formas.
Justifico la pertenencia de un cuerpo
geométrico a una clase determinada.
Identifico prismas según características
de forma.
Coevaluación
Trabajamos todos participando
de forma equitativa.
Trabajamos las actividades aportando
ideas.

228
Evaluación
Resuelve las siguientes preguntas utilizando la infor-
mación del texto anterior.
1. ¿Cuál es la forma geométrica de las tumbas de los
faraones? ________________________________
2. ¿Qué figura representa un prisma?
A. B.
C. D.
3. Escoge la respuesta correcta. El siguiente cuerpo
tiene:
A. Dos caras basales y dos laterales
B. Una cara basal y tres laterales
C. Cuatro caras basales y una lateral
D. Una cara basal y cuatro laterales
4. Si miramos una pirámide desde arriba, ¿qué figura
podemos observar?
5. Si los egipcios quisieran ubicar las pirámides en un
gran plano cartesiano, sabiendo que A = Keops (1; 2),
B = Kefrén (–2; 3), C = Micerino (4,5; –3), D = Otra
(–4; –3 1/3), ¿puedes ayudarlos?
Figuras geométricas en construcciones
Las figuras geométricas han sido usadas ampliamente para varias construcciones a lo largo de la historia de la
humanidad. Su simetría y exactitud provocan mucha admiración. En el Perú, tenemos las pirámides de Machu
Picchu. En Egipto las famosas “pirámides de Giza o Gizeh son la única de las Siete Maravillas del Mundo Anti-
guo que han sobrevivido. Como sabemos son tres las pirámides que conforman este complejo: Keops, Kefrén
y Micerino. Sus nombres se corresponden con las del faraón sepultado en cada una de ellas, ya que fueron
construidas con el único fin de servir como tumba y templo funerario de los faraones”.
Fuente: http://sobrehistoria.com/las-piramides-de-egipto/
6. Si suponemos que las bases de las pirámides de Egipto son rectangulares y construidas de las siguientes
formas, determina el área de las figuras sombreadas y coloca una X donde corresponda.
A. B.
C. D.
2ab – (a – d)(b – c)
(a – d)(b – c)
2ab – 2(a – d)(b – c)
(a + d)(b + c)
a
c
d
b
Y
X
0
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
4
3
2
1

229
Metacognición
1. ¿Es importante conocer las propiedades geométricas para el desarrollo del pensamiento abstracto?
___________________________________________________________________________________
2. Los conocimientos adquiridos, ¿son de utilidad en mi vida cotidiana?
___________________________________________________________________________________
Autoevaluación
Identifico las figuras geométricas.
Traduzco los enunciados al lenguaje algebraico.
Ubico correctamente los puntos en el plano cartesiano.
Empleo estrategias apropiadas para resolver problemas.
Creo problemas basados en la realidad.
Coevaluación
Trabajamos en equipo respetando las opiniones individuales.
Asumimos una postura crítica en la discusión del problema.
Formulamos la pregunta antes de exponerla.
7. Si la base de las tumbas de los faraones fuera un cono, los egipcios deberían considerar que un cono tiene:
A. Vértice, altura, generatriz y una cara basal. B. Generatriz, base, eje y vértice.
C. Altura, base, eje y una cara lateral. D. Vértice, base, eje y apotema.
8. Inventa un problema cuya expresión matemática es la siguiente y resuélvelo: 5x + 4(x + 20) = 620.
Producto
9. Elabora el desarrollo de una pirámide pentagonal y ármalo.

230
230
Unidad
El Perú se caracteriza por ubicarse entre los primeros países en la extracción de oro,
plata, hierro, cobre y plomo, entre otros metales. Para la explotación y exportación
de estos minerales se realizó una inversión cercana a los US$ 7000 millones,
permitiendo ampliar los índices y opciones de exportación, principalmente hacia
China.OtrotipoderecursosqueseencuentranenelPerúsonlosnometálicos.Estos
tienen la cualidad de tener características similares a los cristales. La forma de estas
piedras se ve afectada por distintas variantes durante su elaboración natural; por
tal motivo, se pueden encontrar distintas estructuras. Por ejemplo, bloque cúbico,
prismático de diferente base o tubular. Asimismo, resalta la gama de colores.
Otra de las riquezas de nuestro país, luego de la pesca y la minería, es el turismo.
Entre los sitios de interés se pueden nombrar al turismo colonial, gastronómico,
de aventura y playa. Camino al sur, en el kilómetro 421,3 de la Panamericana Sur,
se encuentra la Casa Museo de la doctora María Reiche. Allí vivió esta notable
matemática alemana que realizó estudios sobre las líneas y figuras de Nasca. En
ese lugar encontramos materiales elaborados por ella, así como mapas, planos,
fotos, piezas arqueológicas y una maqueta didáctica de sus diseños. El ingreso a
ese museo tiene un costo de 5 soles.
¿Cómo se expresa la inversión dada en x dólares sabiendo que estuvo por debajo
de los 7000 millones, pero encima de los 6000 millones?
¿Con qué frecuencia se realizan actividades de turismo en tu región? ¿Cuántos
visitantes extranjeros ha recibido el Perú en los dos últimos años?
¿Cómo representas con una ecuación el pago que realiza un grupo de 6 turistas
para ingresar al museo María Reiche?
Riquezas del Perú
7

231
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de regularidad,
•
ideas matemáticas
•
• Emplea gráficas, tablas que expresan ecuaciones
lineales de una incógnita para llegar a conclusiones.
•
• Emplea estrategias heurísticas al resolver problemas de
ecuaciones lineales expresadas con decimales o enteros.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Identifica diferencias y errores en las argumentaciones
de otros.
Actúa y piensa
matemáticamente
movimiento
y localización
•
• Reconoce relaciones no explícitas entre figuras y las
expresa en un modelo basado en prismas o pirámides.
•
• Selecciona un modelo relacionado a prismas o pirámides
ideas matemáticas
•
• Describe prismas y pirámides en relación al número
de sus lados, caras, aristas y vértices.
•
• Describe prismas y pirámides indicando la posición
desde la cual se ha efectuado la observación.
•
• Halla el volumen de prismas y pirámides empleando
unidades de referencia (basadas en cubos),
convencionales o descomponiendo formas
geométricas cuyas medidas son conocidas, con
recursos gráficos y otros.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Propone conjeturas respecto a las relaciones de volumen
entre un prisma y la pirámide.
•
• Justifica las propiedades de prismas y pirámides.

232
Ficha

Taller matemático
50 Conociendo mi país
1. Visitando la feria (Problema de traducción simple)
Susana visita una feria de artesanías. Compra un cuadro de exhibición y lo manda a enmarcar. Si sabe que el
largo del cuadro rectangular es el triple que el ancho, ¿cuáles son sus dimensiones si el maestro utilizó 400 cm
de marco?
•
• Expresa en lenguaje algebraico.
Ancho _____________ Largo _____________
•
• Realiza cálculos.
2. Visitando un museo (Problema de traducción compleja)
Leonor y Eduardo visitan un museo de la ciudad. Juntos tienen 75 soles para sus gastos. Si Eduardo posee el
doble de dinero que Leonor, ¿cuánto tiene cada uno para sus gastos?
•
• Escribe el problema de una manera más comprensible para ti.
•
• ¿Qué dato es el más importante?

233

•
• ¿Con qué letra representas la incógnita?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué deseas calcular?
___________________________________________________________________________________
Completa la siguiente tabla proponiendo una expresión algebraica.
Número de soles que tiene Leonor. Frecuencia absoluta(f)
Número de soles que tiene Eduardo.
Número de soles que tienen juntos.
Como x + 2x y 75 soles es lo mismo, la ecuación será:
Reduciendo términos semejantes, quedará:
Si multiplicamos por 1/3 a cada miembro,
obtendremos:
Comprobamos reemplazando el valor de 25 en la ecuación. Queda de este modo:
Como puedes observar, es una identidad:
•
• ¿Crees que está bien planteada la expresión algebraica?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Con la expresión algebraica planteada formalmente x + 2x = 75, continuamos con su resolución.
•
• Para finalizar ejecutamos la verificación reemplazando el valor calculado en la ecuación x + 2x = 75; así:
•
• ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

234

•
• En pareja escriban una situación similar a la anterior y en la que deban plantear una ecuación y resolver
utilizando la misma estrategia.
3. Viaje familiar (Situaciones problemáticas realistas)
Cristina viaja con su familia para conocer una ciudad del Perú. Ellos se encuentran en una ciudad A y quieren
viajar a una ciudad B, la cual está a 300 km de distancia. A las 9 de la mañana parten en auto desde la ciudad
A hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y desde la ciudad B parte otra familia hacia la ciudad A con
una velocidad de 60 km/h.
•
• Realiza un gráfico que te ayude a comprender el problema.
•
• ¿Qué tiempo tardarán en encontrarse?
•
• ¿Cuál es la hora de encuentro?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué distancia ha recorrido cada familia? La distancia recorrida por cada uno.
Familia 1 ____________________________________________________________________________
Familia 2 ____________________________________________________________________________

235

Finalicemos

Metacognición
•
actividad?
•
en mi vida diaria?
Reflexiona
•
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te sirvió utilizar la tabla para completar el
modelamiento matemático?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué situaciones has utilizado ecuaciones de
una incógnita para resolver problemas?
________________________________________
________________________________________
1. Calcula el perímetro de tu dormitorio y luego
compara la relación que existe entre la medida
del largo y del ancho. Redacta un texto que
involucre el largo, el ancho y el perímetro.
Formaliza una ecuación.
2. Antonio tenía cierta cantidad de dinero y su
abuela le da el doble de lo que poseía. Si se
gasta 5 soles, le quedan 4. ¿Cuánto dinero tenía
Antonio?
•
• Luego del encuentro, ¿cuántos kilómetros y cuánto tiempo le falta a cada familia para llegar a su destino?
Familia 1 ____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Familia 2 ____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Compara las respuestas y verifica la solución con otra estrategia?
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Expreso mediante una letra
la incógnita que deseo calcular.
Comprendo el texto planteado
mediante una incógnita.
Escribo formalmente la ecuación del
texto planteado.
Compruebo que la solución satisface
la ecuación escrita.
Coevaluación
Realizamos el trabajo en pares.
y constructiva.

236
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Hace cuántos años se realizó el hallazgo de las tumbas del Señor de
Sipán?
•
• ¿Cuántos metros le falta a la rampa para ser el equivalente a 100 metros?
•
• ¿En tu localidad hay restos o
vestigios arqueológicos?
•
• ¿Has visitado museos o
sitios arqueológicos?
•
• ¿Qué características has
encontrado en cada uno de
ellos?
El hallazgo de las tumbas del Señor de Sipán (1987) marcó un importante
hito en la arqueología del continente, porque por primera vez se reveló la
majestuosidad del único gobernante del antiguo Perú encontrado hasta
esa fecha. Por ello, en 2002 se construyó el Museo Tumbas Reales de Sipán
en la región Lambayeque. Su diseño arquitectónico recuerda las antiguas
pirámides truncas de la cultura mochica (siglo I al VII d. C.).
La estructura, en un área techada de 3156,45 m², tiene tres pisos. El acceso
es a través de una rampa de 74,21 metros de largo, tal y como se accedía
a los antiguos templos moches. La visita se realiza de arriba hacia abajo
reviviendo la experiencia del descubridor del Señor de Sipán.
Museo Tumbas Reales de Sipán
51

237

Resolvamos: Cruz demostrativa
1. Comprendo una situación e identifico la pregunta
Marcelo y Carlos están dando mantenimiento a una sala del museo Tumbas Reales de Sipán. Marcelo puede pintar la
sala en 6 horas y Carlos lo puede hacer en 8. ¿Cuánto tiempo demorarán en pintar la sala si trabajan juntos?
•
• ¿Qué deseas calcular?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Con qué incógnita identificas lo perdido?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿La expresión algebraica 6x + 8x = 14 corresponde al texto planteado?
•
• Para responder la pregunta, completa la siguiente tabla:
Podemos comparar la expresión algebraica planteada 6x + 8x = 14 con la expresión algebraica deducida formal-
mente 4x + 3x = 24, y determinamos que la correcta es 4x + 3x = 24, por lo que continuamos con su resolución.
Número de horas que se demorarán en pintar juntos.
Para el análisis tomemos el tiempo que demora Marcelo en una hora.
Para el análisis tomemos el tiempo que demora Carlos en una hora.
Ya que no sabemos el tiempo que se demorarán en pintar juntos la
habitación, realizando el mismo análisis, obtenemos:
Como
1
6
+
1
8
y
1
x
es el mismo tiempo que se demorarán trabajando
juntos, la ecuación será:
Podemos multiplicar por 24 x, que es el m. c. m., a toda la ecuación, y
queda:
Reducimos términos semejantes. Queda:
Si multiplicamos por
1
7
cada miembro, obtenemos:
Aproximamos a los centésimos y nos queda:
Comprobamos reemplazando el valor de 3,43 en la ecuación. Queda:
Como puedes observar, es una identidad:
Para finalizar, ejecutamos la verificación reemplazando el valor calculado en la ecuación 4x + 3x = 24; así:
2. Comprendo una situación e identifico la pregunta
•
• ¿Por qué creo que la ecuación planteada es la correcta?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

238

•
• ¿Por qué creo que la ecuación planteada no es la correcta?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
3. Demuestro la validez de mi respuesta
•
• ¿Es correcto anotar las expresiones =
x
24
7
como solución de la ecuación? ¿Por qué?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cómo podemos saber que no existe otra solución?
•
• Expresa gráficamente y con fracciones equivalentes.
–
– ¿Qué tiempo dedica Marcelo a pintar la habitación?
–
– ¿Qué tiempo dedica Carlos a pintar la habitación?
–
– ¿Qué tiempo dedican los dos juntos a pintar la habitación?
•
• Para fortalecer tu conocimiento, expresa en lenguaje matemático.
–
– La décima parte de la diferencia de cuadrados es:

239

Finalicemos

Metacognición
•
• ¿Qué pasos sigo para resolver una ecuación?
•
en mi vida diaria?
Reflexiona
•
identificación, planteo, formalización y resolución
del problema?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te sirvió utilizar la tabla para completar el
modelamiento matemático?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué situaciones has utilizado ecuaciones de
una incógnita para resolver problemas?
________________________________________
________________________________________
1. Un estudiante debe leer una novela en una
semana. Entre lunes y martes lee ¼ del libro, y el
miércoles lee 1/5 del resto. Si para los restantes días
de la semana todavía le quedan 30 páginas por leer,
¿cuál es el número total de páginas del libro?
2. Una solución de sal se hizo al 8 % y otra al 20 %.
¿Cuántos litros de cada una se deben mezclar para
obtener 10 litros de solución al 12 % de sal?
•
• ¿Cuál es mi conclusión?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Escribe una transformación del problema planteado inicialmente, para escribirlo en el espacio que sobra.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Expreso mediante una letra
la incógnita que deseo calcular.
Comprendo el texto planteado
mediante una incógnita.
Escribo formalmente la ecuación
del texto planteado.
Compruebo que la solución satisface
la ecuación escrita.
Coevaluación
Realizamos el trabajo en pares.
y constructiva.

240
Ficha
Iniciemos
•
• Esboza el desarrollo del poliedro que representa la pirámide de Túcume.
•
• ¿Qué polígonos pueden representar las caras laterales y las bases de
este poliedro?
•
• ¿Qué vestigios históricos
hay en tu localidad?
•
• ¿Qué harías para
promocionarlos?
Túcume es un sitio arqueológico muy notable por su extraordinario tamaño
y porque se formó de restos de pirámides o huacas de adobe. La pirámide
de mayor tamaño se construyó con más de 130 millones de ladrillos, pues
tuvo una altura de 30 m, un ancho de 270 m y una longitud de 700 m.
A diferencia de las pirámides de Egipto, las de Túcume forman grandes
plataformas superpuestas y no acaban en punta sino que se asemejan a una
pirámide truncada. Actualmente se las puede ver como grandes promontorios
o cerros naturales, pero originalmente tenían formas geométricas, lo cual
ha ocurrido por el efecto de los fenómenos naturales, como las lluvias
torrenciales que periódicamente azotan a la región. ¿Qué características y
qué elementos geométricos tienen las pirámides de Túcume?
Pirámides de Túcume
52

241

•
• Observa los cuerpos geométricos.
•
• ¿Cuál de los cuerpos representa a las plataformas de Túcume?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cómo clasificarías los objetos?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué característica consideraste para esa clasificación?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuántos sólidos son prismas? ____________________
•
• ¿Cuántos sólidos son pirámides? ____________________
•
• ¿Qué características comunes tienen todos los prismas y pirámides?
___________________________________________________________________________________
•
• Agrupen los objetos considerando ciertas características:
–
– Por sus caras laterales, rectangulares y triangulares.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Crees que lo propuesto anteriormente es una característica geométrica?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

242

•
• ¿Cómo llamarías a los cuerpos geométricos que tienen caras laterales?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cómo llamarías a los cuerpos geométricos que terminan en punta?
___________________________________________________________________________________
•
• Escribe el nombre de cada sólido.
•
• Escribe las semejanzas que encontraste en los prismas.
___________________________________________________________________________________
•
• Escribe la diferencia entre una pirámide y un prisma.
___________________________________________________________________________________
•
• Reflexiona acerca del significado de truncado en la pirámide y escríbelo con tus palabras.
___________________________________________________________________________________
•
• Describe los elementos y las características de la pirámide de Túcume.
___________________________________________________________________________________
•
• Observa los dos cuerpos geométricos y analiza.
•
• Escribe las características comunes que encuentres.
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Crees que tendrán el mismo volumen? ___________________________________________________
•
• ¿Qué diferencias encuentras en los sólidos? ________________________________________________
Sólidos con caras rectangulares Sólidos con caras triangulares

243

Finalicemos

Metacognición
•
actividad?
•
en mi vida diaria?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades encontraste en el proceso de la
clasificación de prismas y pirámides?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te sirvió identificar sólidos para clasificar prismas
y pirámides?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
1. Calcula el área de cada una de las paredes de
tu dormitorio incluyendo el piso y el techo,
luego súmalas. Con estos datos acabas de
encontrar el área total de un prisma. Indica qué
tipo de prisma.
2. Elabora una nueva situación problemática
para que puedas identificar un prisma o una
pirámide.
•
• Formen equipos de trabajo y realicen un organizador gráfico, con ayuda del desglosable 9 de la página
369, sobre lo que aprendieron en esta ficha. Encuentren semejanzas, diferencias y errores entre los distintos
organizadores y expongan en clase.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Identifico las caras laterales y las
puntas de cuerpos geométricos.
Clasifico prismas y pirámides.
Escribo diferencias y semejanzas
de prismas y pirámides.
Identifico prismas y pirámides.
Coevaluación
y constructiva.

244
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Cuántos años aproximadamente duró la construcción del templo?
•
• ¿Cómo está construido el templo chavín?
•
• ¿Qué diferencias existen entre la arquitectura pasada y la arquitectura
actual?
•
• ¿Has visitado el templo
Chavín de Huántar?
•
• ¿Qué sitio del Perú se
parece a este templo?
Cuando hablamos de Chavín de Huántar o Templo Chavín decimos que es
un sitio arqueológico de un valor histórico y cultural insuperable, ya que fue
el principal centro de culto y urbano de la cultura chavín, construido entre
los años 850 y 300 a. C., con una técnica de arquitectura en piedra tallada
que ninguna otra cultura ha podido superar. Este espectacular monumento
se encuentra aproximadamente a 250 km al norte de Lima. Está construido
en tres plataformas con columnas cilíndricas talladas y labradas, y pozos de
ventilación horizontales y verticales. En su interior existen muchos pasadizos
laberínticos, galerías y nichos en algunas paredes. Su construcción tiene
distintos niveles, comunicados por escaleras talladas en granito. ¿Qué
relación existe entre el número de lados, caras, aristas y vértices de los
nichos y pasadizos?
53 Chavín de Huántar

245

•
• La imagen muestra la estructura del templo Chavín de Huántar.
•
• Responde.
–
– ¿Qué sólido geométrico representa el brazo derecho del templo? ___________________________
–
– ¿Cuántas caras tiene dicho brazo? ___________________________________
–
– ¿Cuántas aristas tiene un brazo del templo? ___________________________________
–
– ¿Cuántos vértices tiene el brazo izquierdo? ___________________________________
–
– ¿Cuántas caras tiene el ala derecha del templo? _____________________________________
–
– ¿Cuántas aristas tiene el ala izquierda del templo? ___________________________________
–
– ¿Cuántos vértices tiene el ala derecha? ___________________________________
•
• Describe los aspectos generales de la cerca del vestíbulo.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Crees que lo propuesto describe geométricamente al prisma?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cómo llamarías a los cuerpos geométricos que tienen caras laterales perpendiculares a las bases?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cómo llamarías a los cuerpos geométricos que no tienen caras laterales perpendiculares a las bases?
___________________________________________________________________________________
Atrio Ala
Ala
Vestíbulo
Escalera
Pozo circular
Brazo
derecho
Brazo izquierdo
Plaza

246

•
• Completa la siguiente tabla de cuerpos geométricos:
•
• A partir de la síntesis mostrada en la tabla, explica en forma discursiva y con tus propias palabras el nuevo
conocimiento adquirido.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Escribe las semejanzas que encontraste en los prismas con respecto a las aristas y vértices.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Escribe las semejanzas que encontraste en las pirámides con respecto a las aristas y vértices.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Escribe las diferencias entre un prisma y una pirámide regular.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Cuerpo
geométrico
N.° de caras N.° de aristas N.° de vértices
N.° de caras
laterales
N.° de bases Nombre
Prisma de base
triangular
5
10
12
3

247

Finalicemos

Metacognición
•
actividad?
•
en mi vida diaria?
Reflexiona
•
descripción de prisma y pirámide?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te sirvió utilizar la tabla para reconocer y describir
prismas y pirámides?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué situaciones has utilizado caras laterales,
bases, aristas o vértices para resolver problemas?
________________________________________
________________________________________
1. Cuenta y mide cada una de las aristas del
dormitorio de tus padres. También calcula el
área de cada una de sus paredes, incluyendo el
piso y el techo. Asimismo, cuenta su número
de vértices. Con estos datos que acabas de
encontrar elabora una tabla similar a la que
llenaste anteriormente y aumenta una columna
para el área total de un prisma.
•
• Formen parejas de trabajo, escojan un sólido geométrico, dibújenlo y realicen una descripción de sus
elementos y características.
•
• Comparen los cuerpos geométricos escogidos y escriban sus semejanzas y diferencias.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Identifico las caras laterales bases,
aristas y vértices de cuerpos
geométricos.
Describo prismas y pirámides.
Escribo diferencias y semejanzas de
prismas y pirámides.
Dibujo prismas rectos y pirámides
regulares.
Coevaluación
y constructiva.

248
Ficha

Taller matemático
1. A. Mirando la torre (Problemas de traducción simple)
En las figuras 1 y 2 de abajo se ven dos dibujos de la misma torre. En la figura 1 se observan tres caras del tejado
de la torre. En la figura 2 se notan cuatro caras.
Observando prismas y pirámides
54
•
• En el siguiente dibujo se muestra la vista del tejado de la torre desde arriba. Se han señalado cinco posicio-
nes en el dibujo. Cada una de ellas está marcada con una cruz (×) y se han denominado de P1 a P5.
•
• Desde cada una de estas posiciones, una persona que mirase la torre sería capaz de ver un número deter-
minado de las caras del tejado de la torre.
•
• En la tabla siguiente, rodea con un círculo el número de caras que se verían desde cada una de estas
posiciones.
Figura 2
Figura 1
Posición Número de caras que se verían desde esa posición
P1 1 2 3 4 más de 4
P2 1 2 3 4 más de 4
P3 1 2 3 4 más de 4
P4 1 2 3 4 más de 4
P5 1 2 3 4 más de 4
P1
P2
P3
P4
P5

249

B. Formando sólidos
Camila fue de visita al centro arqueológico de Chan Chan y en sus paredes encontró las siguientes figuras
geométricas. Si utiliza cinta adhesiva para formar sólidos geométricos, ¿qué sólidos podría formar con estas
figuras? Dibújalos y describe cómo los formaste.
2. Identificando sólidos (Problemas de traducción compleja)
En un paseo por los museos de La Libertad, Marco y Rocío encuentran dos plantillas y deciden armar dos sóli-
dos geométricos. ¿Qué características encuentran en cada uno? ¿Cómo son sus vistas desde arriba y de frente?
•
• ¿Qué sólidos se formaron?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuántas aristas, caras y vértices tiene cada sólido?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

250

•
• Trabajen en parejas para observar las vistas de los sólidos.
•
• Coloquen el prisma y la pirámide en el suelo; miren desde arriba y dibujen lo que observan.
•
• Coloquen los sólidos en una mesa y mírenlos de frente; dibujen lo observado.
•
• ¿Cuántas caras, aristas y vértices pudiste observar de frente en el prisma? ___________________________
•
• ¿Cuántascaras,aristasyvérticespudisteobservardesdearribaenelprisma?__________________________
•
• ¿Cuántascaras,aristasyvérticespudisteobservardefrenteenlapirámide?__________________________
•
• ¿Cuántascaras,aristasyvérticespudisteobservardesdearribaenelprisma?__________________________
•
• Al terminar, compara los dibujos e identifica el lugar desde donde se realizó la observación.
–
– ¿Cuántas caras, aristas y vértices pudiste observar de frente en el prisma?
___________________________________________________________________________________
–
– ¿Cuántas caras, aristas y vértices pudiste observar desde arriba en el prisma?
___________________________________________________________________________________
–
– ¿Cuántas caras, aristas y vértices pudiste observar de frente en la pirámide?
___________________________________________________________________________________
–
– ¿Cuántas caras, aristas y vértices pudiste observar desde arriba en la pirámide?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Crees que es acertada la descripción geométrica propuesta desde la posición frontal al prisma?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Crees que es acertada la descripción geométrica propuesta desde la posición superior a la pirámide?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Para qué crees que es necesario observar un cuerpo geométrico desde distintas posiciones?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

251

Finalicemos

3. Observando sólidos (Situaciones problemáticas realistas)
•
• Juan tiene el siguiente sólido geométrico formado por cubos pequeños. ¿Qué figura observas si lo miras
desde arriba y desde cualquiera de los frentes?
Metacognición
•
actividad?
•
en mi vida diaria?
Reflexiona
•
• ¿Te sirvieron las plantillas de los prismas y las
pirámides para reconocer sus propiedades?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te sirvió utilizar los objetos que construiste al
iniciar la ficha?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué situaciones de la vida has utilizado la
posición de observación para resolver problemas?
________________________________________
________________________________________
1. Lee la descripción y dibuja el cuerpo al que se
refiere: “Es un cuerpo geométrico con 4 caras
rectangulares, 2 caras cuadradas, 8 vértices y 12
aristas”.
2. Describe la pirámide de las Tumbas Reales del Señor
de Sipán y establece diferencias y semejanzas con los
sólidos geométricos que conoces.
3. Elabora una nueva situación problemática para
que puedas describir un prisma o una pirámide.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Identifico los elementos de los prismas.
Identifico los elementos de las
pirámides.
Escribo diferencias y semejanzas de
prismas y pirámides según su posición.
regulares según su descripción.
Coevaluación
y constructiva.
Arriba Frente

252
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Qué área ocupa Tambomachay?
•
• ¿Qué formas tienen las piedras labradas de Tambomachay?
•
• ¿Cómo podrías hacer para calcular el volumen de una de las piedras?
•
• ¿En tu localidad existen
canales de irrigación?
•
• ¿Qué formas geométricas
tienen?
Tambomachay se encuentra a 8 km al noreste del Cusco, ubicado en
las faldas de un cerro, sobre el río Tambomachay; ocupa un área de 437
metros cuadrados, ubicados sobre los 3700 metros de altitud.
Su nombre proviene del quechua tampu (alojamiento colectivo) y machay
(lugar de descanso). Los acueductos artísticamente tallados que se pueden
observar conservan y derraman agua limpia durante todo el año en forma
permanente y controlada. En este monumento se observan cuatro muros
o terrazas escalonadas adosadas al cerro, construidos sobre la base de
poliedros irregulares de piedra labrada, magistralmente ensambladas. ¿Cuál
será el área de la piedra labrada si tiene la forma de un prisma cuadrangular?
Tambomachay o Baños del Inca
55

253

•
• Las figuras 1 y 2 son artesanías de resina transparente que contienen en su interior una piedrita tallada.
•
• Responde.
–
– ¿Cómo se calcula el perímetro de la base del prisma y de la pirámide?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
–
– ¿Cómo se calcula el área de la base del prisma y de la pirámide?
___________________________________________________________________________________
–
– ¿Cómo se calcula el área total del prisma y de la pirámide?
___________________________________________________________________________________
–
– ¿Qué es la apotema de un polígono?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Escribe las ecuaciones para calcular lo solicitado en cada sólido.
Para el prisma: Para la pirámide:
•
• Describan en parejas los elementos que componen la fórmula del área de la base y del área lateral del prisma.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Perímetro
Área de la base
Área lateral
Área total
Perímetro
Área de la base
Área lateral
Área total
base
cara lateral
arista lateral
vértice
arista básica
vértice
arista lateral
cara lateral
apotema
altura
base
Figura 2
Figura 1
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

254

•
• ¿Por qué son diferentes las fórmulas del área lateral?
___________________________________________________________________________________
•
• Relaciona en la siguiente tabla la definición con su correspondiente fórmula:
•
• Escribe las semejanzas que encontraste en las fórmulas entre el prisma y la pirámide.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Escribe las diferencias que encontraste en las fórmulas entre el prisma y la pirámide regular.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Calcula el área total del prisma.
Orden Definición Orden Fórmula Relación
1 Teorema de Pitágoras A P = n . a
2 Perímetro B AB =
P . ap
2
3 Área total del prisma C AL =
n(a . hp)
2
4 Área lateral de la pirámide D AT = 2AB + AL
5 Área de la base del prisma E c2
= a2
+ b2
•
• Utiliza las fórmulas definidas:
P =
AB =
AL =
AT =
10,2 cm
16 cm
11,76 cm

255
Finalicemos
Metacognición
• ¿Qué habilidades nuevas adquirí en esta
actividad?
en mi vida diaria?
Reflexiona
• ¿Qué estrategia fue útil para resolver el problema?
________________________________________
________________________________________
• ¿Fue útil identificar primero las fórmulas de cada
área para encontrar el área total?
________________________________________
________________________________________
• ¿En qué otras situaciones utilizarías las
propiedades de las pirámides?
________________________________________
________________________________________
rectangulares, 2 caras pentagonales, 10 vértices y 15
aristas, con un radio de 2,5 cm, una arista básica de
3 cm y una altura de 6 cm”. Calcula el área total.
2. Describe una pirámide irregular; establece
diferencias y semejanzas comparando con una
pirámide regular.
• Calcula el área total de la pirámide hexagonal.
• Utiliza las fórmulas definidas.
P =
AB =
AL =
AT =
x = 5
r = 5
L = 9,1
h = d
a = 4,33
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Identifico fórmulas de área según las
figuras geométricas conocidas.
Relaciono las fórmulas de áreas según
los cuerpos geométricos estudiados.
Escribo diferencias y semejanzas de las
fórmulas de prismas y pirámides.
Calculo perímetros y áreas de prismas
y pirámides regulares según un texto
planteado.
Coevaluación
y constructiva.

256
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Cuál es el área y la profundidad del lago Titicaca?
•
• ¿Quiénes fueron Manco Cápac y Mama Ocllo?
•
• De acuerdo con la imagen, ¿qué forma tienen sus casas?
•
• ¿Existen lagunas en tu
región? Indica cuáles.
•
• ¿Existen viviendas cerca de
las lagunas?
Es uno de los lugares más hermosos y misteriosos de América. Sus aguas
bañan y conservan a una población que en su mayoría es de indígenas,
quienes aún guardan las tradiciones del Imperio inca. Ubicado en una zona
compartida por el Perú y Bolivia, este lago navegable se distingue por las
grandes dimensiones que posee: una superficie aproximada de 8490 km2
y una profundidad de 280 metros.
De acuerdo con la antigua leyenda inca, desde las profundidades del lago
Titicaca emergieron Manco Cápac y Mama Ocllo, fundadores del imperio
incaico.
El lago Titicaca
56
©
Daniella
Orellana

257

•
• Observa los sólidos geométricos que se asemejan, en escala, a la base y el techo de una vivienda de los uros.
•
• ¿Cómo se llaman los sólidos presentados? ___________________________________________________
•
• ¿Tiene apotema un cuadrado? ___________________________________________________________
•
• ¿Cómo se calcula el volumen del prisma? ___________________________________________________
•
• ¿Cómose calculael volumen delapirámideregular? _____________________________________________
•
• Observa la figura y responde la pregunta planteada.
•
• ¿Por qué el volumen de una pirámide regular es la tercera parte del prisma de la misma base y altura?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Escribe las fórmulas para calcular el perímetro, el área de la base y el volumen de un prisma y de una pirá-
mide con la misma base y altura.
Para el prisma: Para la pirámide:
•
• Formen parejas y describan los elementos que componen la fórmula del volumen de la pirámide.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿En qué varía la fórmula del volumen de la pirámide y la del volumen del prisma?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
Altura = 8 cm
Arista básica = 4 cm
Altura = 8 cm
8 cm
B = 18 cm2
8 cm
B = 18 cm2
8 cm
B = 18 cm2
+ + =
8 cm
B = 18 cm2

258

•
• Si para que el volumen de un prisma se llene con agua se necesitan tres veces el volumen de una
pirámide de la misma base y la misma altura, ¿crees que de la misma manera se cumple con el área lateral?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Completa la tabla y analiza cómo varía el volumen en relación con la altura, si el área de la base es constante,
y para ello calcula el volumen del prisma y el de la pirámide.
Figura Área de la base Altura Volumen del prisma
Volumen
de la pirámide
16 cm2 1 cm 16 cm3
5,33 cm3
2 cm
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm

259
Finalicemos
Metacognición
• ¿Cómo puedo aplicar estos nuevos
Reflexiona
• ¿Qué dificultades encontraste al calcular
el volumen de la pirámide y cuál es el
razonamiento para deducir el volumen del
prisma que tiene la misma base?
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
• ¿Te sirvió utilizar la tabla para reconocer las
fórmulas de volumen de prismas y pirámides?
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
rectangulares, 2 caras pentagonales, 10 vértices
y 15 aristas, con un radio de 5 cm, una arista
básica de 6 cm y una altura de 9 cm”. Calcula su
volumen y deduce el volumen de la pirámide
que tiene la misma base.
• Calcula el volumen del prisma y el de la pirámide.
AB=____________________
h = ____________________
V = ____________________
Por deducción el volumen de
la pirámide es:
V = ____________________
AB=____________________
h = ____________________
V = ____________________
Por deducción el volumen
del prisma es:
V = ____________________
10,2 cm
16 cm
11,76 cm x = 5
r = 5
L = 9,1
h = d
a = 4,33
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Identifico fórmulas de área de la
base según las fórmulas de figuras
geométricas conocidas.
Relaciono las fórmulas de volumen
según los cuerpos geométricos
estudiados.
fórmulas de volumen de prismas
y pirámides.
regulares según un texto planteado.
Coevaluación
y constructiva.

260
Ficha

Taller matemático
57
Calculando con cubos
1. A. Construyendo bloques (Problemas de traducción simple)
A Susana le gusta construir bloques con cubos pequeños como el que se muestra en la siguiente figura:
Susana tiene muchos cubos pequeños como este. Utiliza pegamento para unir los cubos y construir otros
bloques.
Primero, Susana pega ocho cubos para hacer el bloque que se muestra en la figura A:
Luego, Susana hace los bloques macizos que se muestran en las figuras B y C:
Pregunta 1
•
• ¿Cuántos cubos pequeños necesitará Susana para hacer el bloque que se muestra en la figura B?
Pregunta 2
•
• ¿Cuántos cubos pequeños necesitará Susana para construir el bloque macizo que se muestra en la figura C?
Cubo pequeño
Figura A
Figura B Figura C

261

B. Completando sólidos
Nancy quiere formar un paralelepípedo y conocer su volumen, para lo cual debe completar lo que ya
adelantó su amiga Martha.
Pregunta 3
Susana se da cuenta de que ha utilizado más cubos pequeños de los que realmente necesitaba para hacer un
bloque como el que se muestra en la figura C. Advierte que pudo haber construido un bloque pegando los
cubos pequeños pero dejando un vacío en el centro.
•
• ¿Cuál es el mínimo número de cubos que necesita para hacer un bloque como el que se muestra en la
figura C pero vacío?
Pregunta 4
Ahora Susana quiere construir un bloque que parezca un bloque macizo y tenga 6 cubos pequeños
de largo, 5 de ancho y 4 de alto. Quiere usar el menor número posible de cubos dejando el mayor hueco
posible en el interior.
•
• ¿Cuál es el mínimo número de cubos que necesitará Susana para hacer este bloque?
•
• Observa la figura.
•
• ¿Cuántos cubos de 1 cm3
faltan para cubrir todo el espacio?
___________________________________________________
•
• ¿Cuál es el volumen de la figura incompleta?
___________________________________________________
•
• ¿Cuál es el volumen de la figura completa?
___________________________________________________
•
• Por deducción ¿cuál sería el volumen de una
pirámide si la base y la altura tuvieran las mis-
mas medidas?
4 cm
5 cm
3 cm

262

Cubo Arista básica
Volumen del prisma
en cubitos
Volumen de la pirámide en cubitos
2 8 cubitos 2 cubitos más
2
__
3
de cubo
4
216 cubitos
170 cubitos más
2
__
3
de cubo
2. Comparando prismas y pirámides (Problemas de traducción compleja)
Juan quiere conocer la cantidad de cubos de 1 cm3
que pueden contener diferentes cajas en forma de prismas
y pirámides.
Para esto, compara dos sólidos con bases y alturas iguales.
•
• Observa los cuerpos geométricos.
•
• ¿Cómo se llama la primera figura? ________________________________________________________
•
• ¿Cómo se calcula el volumen del cubo? ___________________________________________________
•
• ¿Cuántos cubitos de 1 cm3
son necesarios para completar el cubo? ______________________________
•
• ¿Cuántos cubitos de 1 cm3
son necesarios para completar la pirámide? ___________________________
•
• Luego quiere saber cómo varía el volumen en relación con la arista básica del cubo; para ello, calcula el
volumen del prisma y el de la pirámide en cubitos de 1 cm3
. Completa la tabla.
Altura = 4 cm
Altura = 4 cm

263

Finalicemos

Metacognición
•
actividad?
•
en mi vida diaria?
Reflexiona
•
calcular el volumen del cubo con cubos más
pequeños, y así deducir el volumen de su
correspondiente pirámide?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te ayudó a reforzar las fórmulas para calcular áreas
y volúmenes a través del organizador gráfico?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué situaciones cotidianas has utilizado el cálculo
de volúmenes?
________________________________________
________________________________________
1. Mide el tamaño de un bloque y luego las
paredes de tu dormitorio. Ahora calcula el
número de bloques que existen en tu dormitorio,
descontando los que no están en la/s ventana/s.
2. Si el volumen de cada cubito que compone el
cubo de rubik es 1,125 cm3
, ¿cuál es el volumen
del cubo de rubik?
3. Calculando volumen (Situaciones problemáticas realistas)
Carlos quiere completar un paralelepípedo con cubos de madera. Si su hermano ya inició el trabajo, ¿cuántos
cubos faltan para completarlo?
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Identifico fórmulas de volumen del cubo.
Relaciono las fórmulas de volumen
según los cuerpos geométricos
estudiados.
fórmulas de volumen del cubo,
ortoedro y pirámides.
Dibujo figuras en tres dimensiones
con cubitos que representen prismas
rectos y pirámides regulares.
Coevaluación
y constructiva.
•
• Si cada cubo mide de arista 2 cm, ¿cuál es el volumen del paralelepípedo completo?

264
Ficha
Iniciemos
•
• ¿De qué material fue construido Piquillacta?
•
• ¿Hasta cuántos metros llegan a medir sus muros?
•
• Si tuvieras que preparar un volante para promocionar a Piquillacta, ¿qué
características nombrarías?
58
•
• ¿Cómo son las
construcciones de tu
localidad?
•
• ¿Qué forma tienen las
edificaciones de tu
localidad?
Piquillacta es un complejo arqueológico wari, considerado actualmente
como una de las ciudades preíncas más conservadas del Perú; está ubicado
a 30 km del Cusco a una altura de 3350 m. s. n. m.
La ciudadela presenta una planificación urbana notable, con un plan
geométrico casi perfecto, cuyos edificios, canchas y plazas son de forma
rectangular y cuadrada. Las construcciones, de piedra sin tallar y adobe
con argamasa, están ordenadas en conjuntos separados por calles
rectas y circundadas por muros de hasta 12 m de alto, que la asemejan
a una fortaleza.
Piquillacta: arqueología wari

265

•
• Observa los sólidos e identifica cuáles de ellos podrían haber sido empleados en las construcciones de
Piquillacta.
•
• ¿Por qué se llaman prismas regulares?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cómo reconoces a un prisma?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Por qué se llaman pirámides regulares?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cómo reconoces a una pirámide?
___________________________________________________________________________________
•
• Completa la tabla con las fórmulas de prismas y pirámides regulares.
Forma de la base Área de la base
Forma de la cara
del prisma
Área de las caras
laterales del
prisma
Forma de la cara
de la pirámide
Área de las caras
laterales de la
pirámide
Triangular
Cuadrangular
Pentagonal
Hexagonal
Prisma
triangular
Prisma
cuadrangular
Prisma
pentagonal
Prisma
hexagonal
Pirámide
pentagonal
Pirámide
cuadrangular
Pirámide
triangular
Pirámide
hexagonal

266

•
• Completa la tabla y analiza las formas de las caras laterales, las aristas laterales y el número de vértices. Ana-
liza el número de los lados, las caras, los vértices y las aristas para concluir si es un prisma o una pirámide.
•
• A partir de la síntesis mostrada en la tabla, los estudiantes explican en forma discursiva y con sus propias
palabras el nuevo conocimiento adquirido.
•
• Aplicando propiedades de prismas identifica y describe cuál de las siguientes figuras planas no forma un
prisma recto.
Cuerpo geométrico
N.º de
bases
Forma de
caras laterales
Aristas
laterales
N.º de vértices
n lados
n + 2 caras
2n vértices
3n aristas
n lados
n + 1 caras
n + 1
vértices
2n aristas
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
•
• Escribe las propiedades que tiene el prisma.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
a.
c.
b.
d.

267

Finalicemos
Reflexiona
•
justificar propiedades de prismas y pirámides?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Qué característica crees que es la más importante
al momento de encontrar el volumen de un
prisma o una pirámide?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué situaciones has utilizado propiedades de
prismas y pirámides para resolver problemas?
________________________________________
________________________________________
1. Determina si tu colegio o escuela tiene propiedades
de prismas y pirámides; explica cuáles son.
5. Organizo mis ideas.
•
• Completa el organizador nombrando las principales propiedades de un prisma y de una pirámide.
•
• Recorta el material de las páginas 375, 377, 379, 381 y 383 y arma los poliedros para tu explicación.
Propiedades
Pirámide Prisma
Metacognición
•
•
en mi vida diaria?
5 m
3 m
2 m
5 m
2. En la siguiente figura
explica las propiedades
Calcula el área total
y el volumen.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Justifico propiedades de prismas
y pirámides.
Relaciono propiedades de prismas y
pirámides con propiedades de sólidos
y poliedros.
propiedades de prismas y pirámides.
Trazo y obtengo figuras en tres
dimensiones aplicando propiedades
Coevaluación
y constructiva.

268
Evaluación
2. En una caminata por las ruinas de Machu Pic-
chu, Antonio lleva sobre sus hombros a Lucía,
su hija, quien pesa la mitad de él; Lucía, al mismo
tiempo, lleva un perrito que pesa la mitad de ella,
y el perrito lleva un collar que pesa la mitad de él.
Si Antonio con su carga pesa 120 kilogramos,
¿cuánto pesa Antonio sin carga alguna?
3. La base de una pirámide rectangular tiene un perí-
metro de 86 cm. Si el largo mide 13 cm más que su
ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la base de la
pirámide y cuál es su área?
Recorriendo el Perú
El informe de la Organización Mundial del Turismo (OMT) detalla que el Perú recibió en el 2013 a cerca de 3,2
millones de turistas internacionales, ubicándose en el tercer lugar del ranking (sin contar a Brasil) después de
Argentina y Chile, que recibieron 5,5 y 3,5 millones de visitantes extranjeros, respectivamente.
El tour más promocionado en el Perú es de 5 días, en el que se visitan Lima, Cusco, Machu Picchu y el Valle
Sagrado.
Resuelve:
1. LadistanciadesdeLimaalapuertadeMachuPicchuesdeaproximadamente1800km,mientrasqueladistancia
desde Lima al Cusco es de aproximadamente 1093 km. ¿Cuál es la distancia aproximada que existe entre
el Cusco y Machu Picchu? Además expresa dicha distancia en decámetros, metros y centímetros.

269
4. Luis diseña una pirámide regular de cartulina para presentar una exposición de su trabajo sobre los sitios turís-
ticos de nuestro país. ¿Cuáles son el área y el volumen de dicha pirámide?
5. Elabora un prisma cuadrangular y coloca en él propaganda para promocionar nuestra diversidad cultural de los
monumentos estudiados en esta unidad.
Metacognición
2. ¿En qué situaciones de mi vida puedo aplicar lo aprendido? _____________________________________
Autoevaluación
Identifico la incógnita para formalizar una ecuación lineal de una
incógnita y resolverla.
Elaboro modelos matemáticos basados en perímetros para
calcular áreas.
Calculo áreas y volumen de prismas rectos.
Calculo áreas y volumen de pirámides regulares.
Realizo conversiones de unidades de longitud, área y volumen.
Coevaluación
Participamos activamente en actividades planificadas para
reforzar el aprendizaje.
Trabajamos en equipo respetando las opiniones y delegamos a
un representante de manera consensuada.
18 cm
1
8
c
m
B
Altura de una de las
caras laterales: 30 cm
A
C
Producto

270
154
Ingredientes:
1 kg choclo desgranado
150 g cebolla
40 g culantro
100 g de maní
2 ajíes verdes
1 cucharadita de ajo molido
150 g de manteca
Sal, pimienta
270
8
Unidad
Los productos peruanos son reconocidos a nivel nacional e internacional gracias a sus
sabores —en lo cual uno de nuestros platos bandera es el cebiche— y a productos
vegetales con valores nutricionales como la maca, la tuna, la quinua y otros. Por otro
lado, las diversas festividades y expresiones culturales, como el Inti Raymi, se han
convertido en un recurso turístico importante y se celebran a lo largo de todo el año.
Un grupo de jóvenes participan en la festividad del Inti Raymi por quinto año
consecutivo. Ellos apuestan por la gastronomía, para lo cual preparan tamales
cusqueños. La receta para su preparación es una fórmula secreta que ha pasado
de generación en generación. Las cantidades y porciones de los ingredientes
que aparecen en ella, rinden para cuatro tamales. Los organizadores han dado la
información del número de asistentes a la festividad:
¿Cómo se puede determinar la cantidad de asistentes, aproximadamente, a la
festividad del 2016 si se mantiene el patrón de crecimiento?
Un estudio realizado muestra que hay una tendencia en la que 20 de cada 100
asistentes tienen preferencias por los tamales; ¿cómo puede ayudar este dato a
decidir cuántos tamales elaborar?
¿Qué plato típico es representativo en tu región? ¿Qué fiestas celebran en tu
región? ¿De qué manera consideras que las festividades aportan en la economía
del país?
Matemática en
alimentación y turismo
Festividad 2009 Festividad 2011 Festividad 2013 Festividad 2015
400 800 1200 1600

271
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
cantidad
•
• Reconoce relaciones no explícitas en problemas
multiplicativos de proporcionalidad y lo expresa en un
modelo basado en proporcionalidad directa e inversa.
•
• Diferencia y usa modelos basados en la
proporcionalidad directa e inversa al plantear y resolver
problemas.
ideas matemáticas
•
• Describe que una cantidad es directamente
proporcional a la otra.
•
• Organiza datos en tablas para expresar relaciones de
proporcionalidad directa e inversa entre magnitudes.
•
• Expresa la duración de eventos, medidas de longitud,
peso y temperatura considerando múltiplos y
submúltiplos, °C, °F, K.
•
• Emplea convenientemente el método de reducción
a la unidad en problemas de proporcionalidad.
•
• Emplea convenientemente la regla de tres simple,
en problemas de proporcionalidad.
•
• Emplea estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros,
al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Justifica cuándo una relación es directa o inversamente
proporcional.
•
• Diferencia la proporcionalidad directa de la inversa.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
gestión de datos e
incertidumbre
•
• Ordena datos al reconocer eventos independientes
provenientes de variadas fuentes de información, de
característica aleatoria al expresar un modelo referido
a probabilidad de sucesos equiprobables.
•
• Plantea y resuelve problemas sobre la probabilidad
de un evento en una situación aleatoria a partir de un
modelo referido a la probabilidad.
ideas matemáticas
•
• Representa con diagramas de árbol, por extensión
o por comprensión, sucesos simples o compuestos
relacionados a una situación aleatoria propuesta.
•
• Expresa el concepto de la probabilidad de eventos
equiprobables usando terminologías y fórmulas.
•
• Reconoce sucesos equiprobables en experimentos
aleatorios.
•
• Usa las propiedades de la probabilidad en el modelo
de Laplace al resolver problemas.
•
• Reconoce que si el valor numérico de la probabilidad
de un suceso se acerca a 1 es más probable que suceda
y, por el contrario, si va hacia 0 es menos probable.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Propone conjeturas sobre la probabilidad a partir de la
frecuencia de un suceso en una situación aleatoria.

272
Ficha
Iniciemos
59
Cantidad
Tuna, la reina de las frutas
•
• ¿Quéporcentajeaproximadodecadasustanciaencontramosenlatuna?
•
• ¿En qué zonas de nuestro país encuentras la tuna?
•
• Una mandarina de 100 g tiene 26,7 mg de vitamina C, aproximadamente.
¿Cuántas tunas proporcionan, en vitamina C, lo equivalente a una
mandarina?
•
• ¿Qué frutas hay en tu
región?
•
• ¿Qué valores nutritivos
tienen las frutas producidas
en tu región?
Producida en la región andina, la tuna es una fruta nativa del Perú; el cactus,
que es la planta donde crece, está constituido por un 90 % de agua y crece
en zonas áridas y desérticas. Por cada 100 g de tuna, aproximadamente,
encontramos 20 mg de vitamina C, 16 mg de calcio, 26 mg de fósforo y
30 mg de potasio. Se recomienda incluir una porción de tuna en la dieta
de personas con problemas gástricos y con enfermedades coronarias, ya
que tiene propiedades antisépticas y astringentes. Es una de las riquezas
de nuestro país y es fuente de sustento para muchas familias.

273

Para una fiesta de cumpleaños se servirá jugo de tuna, por lo que se ha comprado 400 tunas; además, se han
adquirido vasos de 100, 200, 400 y 800 ml. Se han necesitado 2 tunas para llenar un vaso de 100 ml.
Para conocer la cantidad de jugo que se va a obtener de 2 tunas realiza lo siguiente:
•
• Llena de agua un vaso (el contenido aproximado del vaso es de 250 ml) .
•
• Marca el vaso dividiéndolo en 5 partes iguales, como se muestra en la figura.
•
• La figura muestra que los 100 ml corresponden a las _____ partes del vaso.
•
• En las siguientes tablas se mostrarán cuántas tunas se necesitaron para llenar diferentes tipos de vasos,
y cuántos vasos se necesitarán para emplear las 400 tunas en los diferentes envases.
•
• Completa las tablas y los espacios en blanco.
•
• Observa que, mientras más es la capacidad del vaso a llenar, más tunas se necesitan.
–
– 2 tunas llenan un vaso de 100 ml.
–
– 4 tunas llenan un vaso de ________________________________________.
–
– 8 tunas llenan un vaso de ________________________________________.
–
– ________________________llenan un vaso de 800 ml.
•
• De igual manera, observa que, mientras menos es la capacidad de los vasos, mayor es la cantidad de vasos
necesarios para emplear las 400 tunas.
–
– Se necesitan 200 vasos de 100 ml.
–
– Se necesitan 100 vasos de ________________________________________.
–
– Se necesitan 50 vasos de _________________________________________.
–
– Se necesitan _________ vasos de 800 ml.
Cantidad de
tunas
Medida de
vasos (ml)
2 100
4
8
800
Tabla 1
Medida de vasos
(ml)
Cantidad de vasos necesarios
para las 400 tunas
100 200
100
50
800
Tabla 2
100 ml

274

•
• ¿Qué entiendes al decir que la cantidad de tunas es directamente proporcional a la medida de los vasos
que se llenarán?
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué entiendes al decir que la cantidad de vasos es inversamente proporcional a la medida de los vasos
que se usarán?
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
•
• Entonces, cuando una magnitud aumenta y la otra también, se dice que es:
______________________________________________________________________________________
•
• Entonces, cuando una magnitud aumenta y la otra disminuye, se dice que es:
______________________________________________________________________________________
•
• Trabaja con un compañero y encuentren la solución para calcular cuántos vasos de 50 ml se llenan con el
jugo de 400 tunas. Y si tengo un recipiente de 2000 ml, ¿cuántas tunas se necesitan para llenarlo? Ayúdate
con la tabla 1.
•
• Escribe los pasos que siguieron para encontrar la respuesta y qué estrategias utilizaron para resolverlo.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
•
• Expongan en el aula cómo encontraron la solución a este problema.
•
• Planteen y resuelvan un problema en el que se pueda presentar magnitudes inversamente proporcionales
y realicen tablas para su solución.

275

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué estrategias sigo para resolver un
problema de proporcionalidad?
•
• ¿Puedo aplicar los conocimientos adquiridos en
situaciones de mi vida diaria? ¿Como cuáles?
Reflexiona
•
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te fue de gran ayuda utilizar las tablas? ¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
•
emplearías las tablas para resolver un problema?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
1. Haz jugo de lima y llena un vaso; ten en cuenta
cuántas limas utilizaste para llenarlo.
2. Elabora una tabla de datos con posibles cantidades
de vasos que puedes utilizar con un número
determinado de limas y analiza los resultados.
3. Crea un problema y resuélvelo usando el proceso
del laboratorio matemático.
•
• Completa las tablas, analiza e identifica en cuál se presenta una proporcionalidad directa y en cuál una
proporcionalidad inversa.
Cantidad de
tunas
Medida de
vasos (ml)
100
4 200
400
16 800
20
40
80
Tabla 1
Medida de vasos
(ml)
Cantidad de vasos necesarios
para usar las 400 tunas
25
50
100 200
100
400 50
800
Tabla 2
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Identifico operaciones que se realizan
en una proporción.
Reconozco cuándo una proporcionalidad
es directa o inversa.
Planteo y resuelvo correctamente
problemas de proporcionalidad.
Comprendo la diferencia entre una
proporcionalidad directa e inversa.
Coevaluación
Intercambiamos los problemas creados
para comparar procesos en el planteo
y resolución de problemas.
Expusimos nuestras ideas de manera
clara, usando el lenguaje matemático
apropiado.

276
Ficha

Taller matemático
1. Cebiche (Problemas de traducción simple)
Es un plato muy típico de nuestro país, reconocido y
consumido en todo el mundo, y es, sino la principal,
una de las delicias más solicitadas y vendidas a turistas
nacionales y extranjeros. Sus orígenes se remontan al
antiguo Perú, donde se usaban ingredientes básicos
y propios de la zona, como limón, culantro y varias
plantas vasculares que servían como aderezo para la
carne de mariscos.
Cantidad
Platos típicos peruanos
60
Si sabemos que un plato de cebiche cuesta S/ 22, dos platos valen S/ 44, diez platos cuestan S/ 220, ¿es posible
afirmar que el costo es directamente proporcional en relación con la cantidad de los platos?
•
• Completa la tabla y encuentra la constante de proporcionalidad.
Cebiches 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Precio (S/) 22 44 220
•
• Busca la constante de proporcionalidad.
•
• Busca la constante de proporcionalidad.
En una feria de platos típicos contrataron 2 meseros para servir a los asistentes y terminaron de repartirlos en 3
horas. Si se contrata 2; 3; 5 y 8 meseros más, ¿en qué tiempo se terminarán de repartir los platos? Completa la
tabla y encuentra la constante de proporcionalidad.
Meseros 2 4 5 7 10
Tiempo 3

277

La costa de nuestro país es la región en donde se pueden conseguir los mejores ingredientes para la prepara-
ción del cebiche, ya que por la frescura de los mariscos este plato es más deseado aquí que en otras zonas del
país. Sin embargo, en regiones lejanas a la costa también se consume esta delicia, por lo que es necesario que el
transporte de los ingredientes a otras ciudades sea lo más pronto posible.
Analiza qué factores influyen en un viaje que realiza una compañía gastronómica para transportar un pedido de
cebiches de manera óptima, y pueda cumplir con el contrato establecido a tiempo.
•
• Se deben enviar en un tiempo determinado los ingredientes para preparar cebiche desde una ciudad A
hasta una ciudad B, cuya distancia entre ellas es de 100 km.
–
– ¿Cuál es la relación que existe entre la distancia que debe recorrer el transporte y el tiempo que se
demora en hacer la entrega?
–
– ¿A qué velocidad debe ir el transporte para llegar en 2 horas?
–
– Si el auto que traslada los ingredientes debe tener cuidado porque lleva envases delicados y viaja
a 25 km/h, ¿en qué tiempo llegará a su destino?
–
– ¿A qué conclusión llegaste al resolver el problema?

278

2. Transportando cebiches (Problemas de traducción compleja)
Se quiere calcular la velocidad promedio de viaje que realiza una compañía que reparte cebiches del local
de expendio al restaurante La sazón peruana, para lo cual se tomaron mediciones cada 10 segundos de la
distancia recorrida.
Distancias recorridas
•
• Observa el gráfico y completa la tabla.
Velocidad
Tiempo (seg) Distancia (m)
10 200
20
600
40
1 000
60
200 m 400 m 600 m 800 m 1000 m 1200 m
3. Feria de comida típica (SItuaciones problemáticas realistas)
La familia Chávez quiere realizar una feria de comida típica y para eso necesitan trasladar los ingredientes desde
una ciudad a otra. Al salir de una ciudad los alimentos están a 3 ºC, y por cada 10 kilómetros recorridos la tem-
peratura sube un grado.
•
• ¿Con qué temperatura llegarán los alimentos si el recorrido del camión es de 60 km?
•
• Grafica una tabla como la del ejercicio anterior y calcula la temperatura a la que llegarán los ingredientes.
•
• ¿Cuál es la velocidad a la que va el camión? _________________________________________________
•
• Determina la constante de proporcionalidad.
•
• ¿Cada cuántos segundos se tomaron las mediciones? _________________________________________
•
• ¿Qué se debe determinar? _______________________________________________________________
Diseño una estrategia Aplico la estrategia
•
• Calcula la razón de cada medición para determinar
la velocidad a la que se traslada el camión.

279

Finalicemos
Metacognición
•
•
• ¿En qué situaciones puedo utilizar el método
de reducción a la unidad para resolver
problemas en la vida diaria?
Reflexiona
•
• ¿Tuviste alguna complicación en encontrar los
datos y en la resolución del problema?
________________________________________
________________________________________
•
• Medita si fue de ayuda haber usado como
elemento principal del problema una magnitud
física muy conocida como es la velocidad.
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Comprendes qué es una constante de
proporcionalidad?
________________________________________
________________________________________
1. Recopila datos del tiempo que se demora en
imprimir una copiadora 10 veces un documento,
considerando que se deben obtener 100 copias.
2. Elabora una tabla de datos y analiza los resultados.
del Taller de matemática.
•
• Únete con un compañero y planteen un problema de su vida cotidiana en donde tengan que aplicar
la misma estrategia de solución utilizando medidas de peso.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Reconozco propiedades de la
multiplicación y las relaciono con la
proporcionalidad inversa o directa.
Organizo datos en tablas para expresar
relaciones de proporcionalidad directa
e inversa entre magnitudes.
Empleo estrategias heurísticas, recursos
gráficos y otros, al resolver problemas
relacionados con la proporcionalidad.
Coevaluación
Comparamos los procesos y el orden
a seguir en la resolución de problemas.
Propusimos ideas propias en el planteo
de posibles formas de encontrar la
respuesta.

280
Ficha

Taller matemático
1. Asistentes a la fiesta (Problemas de traducción simple)
Cantidad
Fiesta del Inti Raymi
61
El Inti Raymi o Fiesta del Sol es una ceremonia incaica
y religiosa que hoy es considerada una fiesta andina
recordatoria.El24dejuniodecadaañolaciudaddelCusco
se ve envuelta del misterio que encerraban las ancestrales
culturasydelhermosoparajequerepresentanlauniónde
la naturaleza con la complejidad arquitectónica del lugar.
Durante la fiesta se venden comidas típicas. Si dos platos
de chiri uchu se venden en S/ 24, ¿cuánto se pagará por
la compra de ese plato para una familia de 6 miembros?
•
• Si la familia tiene S/ 80, ¿les alcanza el dinero?
•
• ¿Las dos magnitudes son directamente proporcionales? Justifica.
•
• Localiza los datos en la tabla.
•
• ¿Cómo se obtiene el valor a cancelar por los 6 platos?
•
• ¿Cuánto se pagará por los 6 platos? ¿Les alcanzó el dinero?
_____________________________________________________________________________________
Cantidad de platos Cantidad de dinero (S/)

281

La fiesta del Inti Raymi es muy concurrida tanto por turistas extranjeros como locales, debido a su riqueza cultural
y todo lo que ella representa. Los visitantes suelen observar las maravillas arqueológicas y culturales del Cusco.
La relación que tiene la concurrencia de turistas a la fiesta del Inti Raymi y la publicidad que se realiza sobre ella
están íntimamente ligadas y se representaría como una proporción.
•
• Si el año anterior se entregaron 500 volantes en una ciudad y asistieron 1000 turistas, ¿cuántos turistas
asistieron por volante entregado?
•
• ¿Qué otras relaciones similares puedes evidenciar en las fiestas?
2. Publicidad de fiestas (Problemas de traducción compleja)
Para la publicidad del evento también se usaron afiches que se colocaron en lugares estratégicos de las ciuda-
des, y se vio que de los 360 afiches colocados hubo una asistencia de un total de 2520 turistas. ¿Cuántos turistas
se espera que lleguen si se colocaron 450 afiches?
•
• ¿Cuántos afiches se deberían colocar si se espera la asistencia de 5600 turistas, aproximadamente?
•
• ¿Qué solicita el problema?
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué estrategia utilizas para resolver el problema?
______________________________________________________________________________________
•
• Calcula los turistas esperados si se colocan 450 afiches.

282

•
• Con los datos brindados anteriormente, calcula el total de asistentes al evento utilizando los datos de la
siguiente tabla y la misma relación entre volantes-turistas y afiches-turistas.
Ciudades Volantes Afiches Turistas (al usar volantes) Turistas (al usar afiches) Total de turistas por ciudad
A 500 360
B 600 400
C 800 500
•
• ¿Qué estrategia o proceso utilizaste para resolver la situación planteada?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué conocimientos matemáticos utilizaste para resolverlo?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Crees que la aplicación de esta estrategia aporta en tu vida para solucionar situaciones de tu entorno?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• Calcula los afiches a colocarse si se espera la asistencia de 5600 turistas.

283

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué pasos sigo para aplicar la reducción
a la unidad?
•
• ¿En qué situaciones problemáticas puedo
aplicar la reducción a la unidad?
Reflexiona
•
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Consideras útil reducir a la unidad las expresiones
de cantidad para calcular así la incógnita
faltante?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Identificas la operación matemática que se usa
para encontrar el valor que representa la unidad
en la resolución del problema?
________________________________________
________________________________________
1. Recopila datos de la venta de kg de naranjas,
sabiendo que el kg cuesta 2 soles.
Taller matemático.
3. Asistentes a la fiesta (Situaciones problemáticas realistas)
Para las fiestas del Inti Raymi, se ha calculado que 2000 personas podrían llegar de diferentes partes del Perú
y se ha destinado para vigilar la ciudad a 500 policías; pero si llegan 1500 personas más, ¿cuántos policías
deberían haber para resguardar de la misma manera a los visitantes a la ciudad?
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Identifico en qué consiste la reducción
a la unidad.
Reconozco la operación que realizo,
cuando calculo el valor que representa
la unidad en un problema.
problemas en los que es necesario
utilizar la reducción a la unidad.
Coevaluación
a seguir en la resolución de problemas
con mis compañeros.
Propusimos ideas propias en el
planteamiento de posibles formas
de encontrar la respuesta.

284
Ficha

Taller matemático
1. A. Pingüinos (Problemas de traducción simple)
El fotógrafo de animales Jean Baptiste realizó una expedición de un
año de duración y sacó numerosas fotos de pingüinos y sus polluelos.
Se interesó especialmente por el aumento de tamaño de distintas
colonias de pingüinos.
Pregunta 1
Normalmente, una pareja de pingüinos pone dos huevos al año. Por
lo general, el polluelo del mayor de los dos huevos es el único que
sobrevive. En el caso de los pingüinos de penacho amarillo, el primer
huevo pesa aproximadamente 78 g y el segundo huevo pesa alrede-
dor de 110 g.
Aproximadamente, ¿en qué porcentaje es más pesado el segundo
huevo que el primer huevo?
A. 29 %
B. 32 %
C. 41 %
D. 71 %
Pregunta 2
Jean se pregunta cómo evolucionará en los próximos años el tamaño de una colonia de pingüinos. Para deter-
minarlo elabora las siguientes hipótesis:
A comienzos de año, la colonia consta de 10 000 pingüinos (5000 parejas). Cada pareja de pingüinos cría un
polluelo todos los años por primavera. A finales de año, morirá el 20 % de los pingüinos (adultos y polluelos).
•
• Al final del primer año, ¿cuántos pingüinos (adultos y polluelos) hay en la colonia?
_______________________________________________________________________________________
Pregunta 3
Jean establece la hipótesis de que la colonia seguirá creciendo de la siguiente manera:
Al comienzo de cada año, la colonia consta del mismo número de pingüinos machos y hembras que forman
parejas. Cada pareja de pingüinos cría un polluelo todos los años por primavera. Al final de cada año, morirá el
20 % de los pingüinos (adultos y polluelos). Los pingüinos de un año de edad también criarán polluelos.
•
• Según las anteriores hipótesis, ¿cuál de las siguientes fórmulas expresa el número total de pingüinos,
después de 7 años?
A. P = 10 000 × (1,5 × 0,2)7
B. P = 10 000 × (1,5 × 0,8)7
El turismo y las fiestas
costumbristas
Cantidad
62
C. P = 10 000 × (1,2 × 0,2)7
D. P = 10 000 × (1,2 × 0,8)7

285

B. Fiestas patronales
Una institución educativa venderá comidas típicas para celebrar las fiestas patronales con el fin de obtener cierta
cantidad de dinero, de la cual un porcentaje se destinará a la implementación de aulas virtuales. Mientras más
personas asistan, más será la ganancia.
Si la sugerencia de las autoridades es que se realicen las programaciones solo en 5 horas, entonces:
•
• ¿Qué relaciones se pueden evidenciar en esta situación?
2. Función del Inti Raymi (Problemas de traducción compleja)
La Municipalidad del Cusco dona el 10 % del valor de cada entrada del espectáculo del Inti Raymi a una funda-
ción para la compra de medicinas. Si cada entrada tiene un valor de 6 soles y se entrega a la fundación 10 000
entradas, ¿cuánta es la ganancia que recibirá la fundación para la compra de medicinas?
•
• ¿Cuántas magnitudes intervienen?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué operación matemática debo realizar?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué resultado se obtendrá si se realiza una solución errónea?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Es lógica la respuesta obtenida?
_______________________________________________________________________________________

286

Una de las condiciones más beneficiosas que tiene el contrato para la fundación es que mientras más pronto
se vendan las entradas, aumentará el porcentaje en 2 % por día descontado. El plazo total para vender las
10 000 entradas es de 2 semanas. Calcula la ganancia total si terminaron de vender las entradas 5 días antes de
las 2 semanas. Guíate con la siguiente tabla y completa los espacios de ser necesario.
Porcentaje % Tiempo (días)
10 14
12
12
11
10
•
• Ahora, si la ganancia con el 10 % del total fue de 6000, ¿cuál será la ganancia con el 18 %?
•
• ¿Cuál fue el primer paso para resolver el problema?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿La ganancia es inversamente proporcional a la venta? ¿Por qué?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué dificultad se te presentó al resolver el problema?
_______________________________________________________________________________________
3. Reparto (Situaciones problemáticas realistas)
Luego de una fiesta costumbrista, una empresa de alimentos obtiene una ganancia de S/ 780 000 y se reparte
los 3/20 del total a las personas que colaboraron. Si el resto lo invierte en compra de mercadería y autos,
¿cuánto dinero gastará?
Porcentaje (%) Ganancia (S/)

287

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué pasos sigo para resolver una regla de tres
simple?
•
• ¿Puedo identificar en mi vida cotidiana cómo
resolver problemas mediante la utilización de
la regla de tres simple?
Reflexiona
•
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué tipo de problemas crees que es útil
resolverlos con una regla de tres directa e inversa?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Identificas qué operaciones usas para encontrar
la incógnita en el caso de usar una regla de tres
directa e inversa?
________________________________________
________________________________________
1. Recopila datos de la venta de boletos, sabiendo
que cada uno cuesta S/ 5 y el porcentaje de
ganancia por boleto es del 15 % .
Taller matemático.
•
• ¿Qué diferencia encontraste en este problema con respecto a los otros?
_______________________________________________________________________________________
•
• Formen parejas y comparen los resultados obtenidos. Contesta: ¿llegaron los dos al mismo resultado?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué estrategia utilizó cada uno?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué aciertos o errores tuvieron en común?
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Crees que tienes claro el conocimiento de regla de tres?
_______________________________________________________________________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Reconozco dónde y cómo usar la regla
de tres simple.
Relaciono correctamente los valores
a multiplicar y dividir al usar la regla de
tres simple directa e inversa.
utilizar la regla de tres simple.
Coevaluación
planteo de posibles formas de
encontrar la respuesta.

288
Ficha

Taller matemático
1. A. Las monedas (Problemas de traducción simple)
Se te pide que diseñes un nuevo conjunto de monedas. Todas serán circulares y de color plateado, pero de
diferentes diámetros. Los investigadores han llegado a la conclusión de que un sistema ideal de monedas debe
cumplir los siguientes requisitos:
Festividades peruanas
Cantidad
63
•
• Los diámetros de las monedas no deben ser menores de 15 mm ni mayores de 45 mm.
•
• El diámetro de cada moneda debe ser al menos un 30 % mayor que el de la anterior.
•
• La maquinaria de acuñar solo puede producir monedas cuyos diámetros estén expresados en un número
entero de milímetros (por ejemplo, 17 mm es válido, pero 17,3 no).
Pregunta 1
•
• Diseña un conjunto de monedas que satisfaga los requisitos anteriores. Debes empezar con una moneda
de 15 mm, y el conjunto debe tener el mayor número de monedas posible.

289

B. Crianza de toros
Para la crianza de un toro por un periodo de 4 años se gasta S/ 15 700. ¿Qué cantidad de dinero se utilizó para
la crianza de 20 toros?
•
• Utiliza varias razones e identifica los medios y extremos para resolver.
•
• ¿Qué dato no es indispensable? ___________________
•
• ¿Cuál es la razón?
•
• Escribe la proporción para conocer el gasto de 20 toros.
•
2. Alimentación de toros (Problemas de traducción compleja)
En un establo 20 toros se alimentan diariamente con 5 kg de pasto. Si trasladan a 5 toros a otro lugar, ¿cuántas
porciones consumirán los que quedan?
•
• ¿Qué magnitudes intervienen en la solución del problema?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué clase de proporción existe entre las dos magnitudes?
___________________________________________________________________________________
•

290

Cinco camiones viajan a 40 km/h y se demoran 4 horas para trasladar a 20 toros a otro lugar. Si se desea
llegar 2 horas antes de lo previsto, ¿a qué velocidad deben ir los camiones para llegar a tiempo?
•
• ¿Qué datos no son indispensables para la solución?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué magnitudes intervienen en la solución del problema?
___________________________________________________________________________________
•
•
• ¿Qué diferencia encuentras entre este problema y el anterior?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué competencia desarrollaste al resolver el problema?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
3. Entrenamiento de toros (Situaciones problemáticas realistas)
Se sabe que siete personas tardan 4 horas en alimentar a 80 toros. ¿Cuántas horas tardarán 2 personas menos
en alimentar a 100 toros?
•
• Escribe las magnitudes que existen en el problema.
___________________________________________________________________________________
•
• Identifica las proporcionalidades correspondientes.
–
– Menos personas, más horas demorarán en alimentar a los toros: ___________________________
–
– A más toros, más horas se necesitan para alimentarlos: ___________________________________
•
• Resuelve.
•
• Formen equipos de trabajo e intercambien sus problemas.

291

Finalicemos
Metacognición
•
•
• ¿Qué pasos sigo para resolver problemas de
proporcionalidad?
•
• ¿Cómo diferencio las magnitudes directamente
proporcionales de las inversamente
proporcionales?
Reflexiona
•
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Qué tipo de magnitudes se utilizan para resolver
problemas de proporcionalidad?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Identificas las operaciones correctas para
encontrar la incógnita en problemas de
proporcionalidad directa e inversa?
________________________________________
________________________________________
1. Recopila datos de cuántos toros se utilizan en la
celebración de las Fiestas Patrias de alguna región
del Perú; por ejemplo, en Apurímac.
Taller matemático.
•
• Verifiquen las respuestas y escriban en la tabla los aciertos y errores que encontraron en su solución.
Aciertos Errores
•
• Plantea un problema de proporcionalidad.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Reconozco los extremos y los medios
de una proporcionalidad.
Relaciono las magnitudes e identifico
la proporcionalidad directa e inversa.
utilizar la proporcionalidad.
Coevaluación

292
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Cuánto del porcentaje del PBI representa el cultivo de la papa?
•
• Un plátano contiene 400 mg de potasio por cada 100 g de la fruta.
¿Cuál es la razón entre las cantidades de potasio que aportan una papa
y un plátano en la misma cantidad?
•
• Esboza un gráfico circular donde se muestren las proporciones de cada
sustancia presente en la papa.
•
• ¿Se cultiva la papa en tu
región? De ser afirmativa tu
respuesta, ¿qué variedades
se cultivan?
•
• ¿Sabes qué platos típicos
se pueden preparar con la
papa?
•
• Comparando con la
información de la página
272, ¿dónde encontramos
mayor cantidad de vitamina C
entre la papa y la tuna?
Es un tubérculo de consumo muy popular, se adapta a diferentes
condiciones ambientales como clima, tipo de terreno y altura: aunque
un factor que favorece el cultivo de esta, es una temperatura mínima
como la que existe en los Andes. Este tubérculo se cultiva en otros países
andinos tales como Bolivia, Ecuador, Colombia, Chile y Venezuela, así
como en México y Canadá.
En nuestro país esta planta alimenticia representa el 25 % del PBI
agropecuario y es también el principal cultivo competitivo del trigo y
el arroz en la dieta alimenticia; una papa contiene en 100 gramos: 78 g
de humedad; 18,5 g de almidón y es rica en potasio (560 mg) y vitamina C
(20 mg).
La papa, fuente de carbohidratos
64

293

Angie es una estudiante de segundo grado de Secundaria del colegio Virgen de las Mercedes, de Huancayo,
pero se trasladó a un colegio de la ciudad de Trujillo por motivos del trabajo de su padre. En su tierra, ella y su
familia acostumbraban consumir frecuentemente los cuatro tipos de papa que se muestran en las siguientes
imágenes.
Si dentro de tres días será su cumpleaños y desean preparar una rica pachamanca, ¿de cuántas maneras podrán
escoger las papas?
2. Reconozco el problema principal y trazo un plan
•
• ¿Cuál es la tierra natal de Angie?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué tipo de papa es más recomendable para una pachamanca?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué tienes que averiguar en el problema?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué estrategia usarías para saber de cuántas maneras Angie podrá escoger las papas?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Papa canchán Papa huayro
Papa yungay Papa amarilla

294

•
• Supón que en el mercado no hay papa huayro ni amarilla; ¿cuáles son las otras posibilidades?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cuántos son los posibles tipos de papa que escogerá Angie? Anótalos.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Expresa en términos de conjuntos la respuesta anterior.
Ω = {___________________________________________}
•
• Responde: ¿Cómo denominamos al conjunto de estos eventos?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Si cada tipo de papa es representado con la letra inicial de su nombre, usa un diagrama para expresar todas
las posibilidades de escoger un tipo de papa.
•
• ¿Qué expresión matemática emplearía para hallar el número total de posibilidades?

295

Finalicemos
Metacognición
•
•
• ¿En qué situaciones en mi vida cotidiana
puedo identificar sucesos simples y
compuestos?
Reflexiona
•
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te fue de gran ayuda utilizar el diagrama de
árbol? ¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
•
emplearías diagramas de árbol?
________________________________________
________________________________________
1. Mentaliza y escribe una situación similar en la
cual identifiques y organices sucesos simples y
compuestos.
2. Elabora un diagrama de árbol que indique estos
sucesos.
3. Crea un problema utilizando los pasos de
la investigación escolar en la resolución del
problema.
•
• Formen equipos y argumenten sobre el proceso del trabajo realizado.
–
– ¿Qué instrumento utilizaron para conocer los posibles eventos?
_______________________________________________________________________________________
–
– ¿Qué elaboraron para organizar la información que necesitaban? ¿Cómo lo elaboraron?
_______________________________________________________________________________________
–
– ¿Cómo se organizaron para realizar el trabajo?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
–
– ¿A qué conclusiones llegaron? ¿Qué diferencia tiene un suceso simple de un compuesto?
______________________________________________________________________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Reconozco cuándo un suceso es
simple o compuesto.
Interpreto correctamente los datos
que se encuentran en el diagrama de
árbol.
problemas en los que se encuentran
presentes sucesos simples
y compuestos.
Coevaluación

296
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Sabes de qué fruta se
hacen los vinos?
•
• ¿Conoces si existen distintos
tipos de vinos?
En la ciudad de Ica, desde el año 1958, en el mes de marzo se celebra el
Festival Internacional de la Vendimia, representada principalmente por la
cosecha de la uva, el cual dura aproximadamente 2 semanas.
La atracción principal es la elección de la reina del festival, quien, una vez
elegida, realiza la tradicional "pisa de la uva", que es una forma de extraer
el jugo de esta fruta. El año 2016, el festival recibió alrededor de 25 000
visitantes nacionales y extranjeros, quienes permitieron generar ingresos
por más de 30 millones de soles, lo que representó un crecimiento
aproximado de 12 % respecto al año anterior. Los turistas tuvieron la
oportunidad de hacer un recorrido por las bodegas y viñedos de la zona.
Festival de la Vendimia
65
•
• ¿En qué ciudad se celebra el Festival Internacional de la Vendimia,
y desde qué año?
•
• Representa, empleando gráficos estadísticos, la información mostrada
en el texto. ¿A qué conclusiones puedes llegar?
•
• Analiza si todas las plantas de vid tienen la misma oportunidad de ser
escogidas para la elaboración de un vino entre un sembradío de cerca
de 1000 vides. ¿Por qué?

297

Una compañía productora de vinos cumple 100 años de vida corporativa, por lo que han tomado la decisión de
promocionar la elaboración y venta de 10 vinos de edición limitada, y además un vino especial que representará
el espíritu de emprendimiento y perseverancia de la compañía.
El principal proveedor de uvas de la compañía ha plantado los mejores viñedos en la localidad de Ica, recono-
cidos por su calidad a nivel internacional. Se ha seleccionado una de las plantaciones más difundidas del sitio,
que consta de 200 vides, las cuales se encuentran numeradas y están muy bien cultivadas y son de idénticas
características.
Se elegirán 10 vides al azar para la elaboración de los vinos de edición limitada, y otra vid será escogida al azar
para la elaboración del vino que representará el aniversario número 100 de la empresa.
¿Qué probabilidad hay de que cada vid sea escogida para la elaboración de estos vinos?
•
• Forma un equipo de hasta 5 compañeros.
•
• El equipo debe analizar la probabilidad que tienen las vides de ser elegidas para la edición limitada de
vinos.
Instrucciones: Escoge al menos 2 opciones de vid con las que probablemente se puedan realizar los
vinos de edición limitada; toma en cuenta sus características. Marca tus respuestas.
De cada característica, escoge al azar el número de 5 vides para obtener
el resultado de 10 vides para edición limitada.
Características de la vid Opción
1. Vides de la 1-40; su fruto es de color verde, son jugosas y medianas.
2. Vides de la 41-80; su fruto es de color rojo, no tan jugosas y son grandes.
3. Vides de la 81-120; su fruto es de color negro y son pequeñas, pero muy jugosas.
4. Vides de la 121-160; su fruto es de color verde y son jugosas y grandes.
5. Vides de la 161-200; su fruto es de color rojo y son grandes.
Opción 1
Opción 2
Ficha de encuesta
•
• Realiza la encuesta a diferentes equipos; explica su finalidad y recopila datos.
3. Recopilo datos
•
• Toma en cuenta que para encontrar el resultado de un suceso equiprobable, es necesario calcular el
cociente entre los casos favorables sobre los casos totales.

298

•
• Del resultado de la encuesta y la numeración de vid de las dos opciones, cada equipo tomará datos
(máximo 10) al azar para demostrar que en el problema se suscita un suceso equiprobable.
•
• Usa una tabla con los datos que se escogieron al azar.
Total de vides
Número de vid tomada
al azar
Número de vid escogida
entre cada característica
entre el total
200 vides numeradas
Tabla 1
4. Realiza la formulación
•
• Con la fórmula P(A) =
cantidad de casos favorables de A
cantidad de casos totales
, calcula la probabilidad que tiene cada dato
tomado al azar de ser escogido entre la totalidad de vides.
•
• Calcula cuál sería la probabilidad si de las 10 vides escogidas, solo una de ellas debe ser seleccionada para
el vino especial.
•
• Analiza si el resultado de cada probabilidad demuestra que este es un suceso equiprobable.
Total de vides
Número de vid tomada
al azar
entre cada característica
entre el total
200 vides enumeradas
Tabla 2

299

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Cómo identifico los sucesos equiprobables?
•
• ¿En qué situaciones de mi vida identifico
sucesos equiprobables?
Reflexiona
•
• ¿Tuviste dificultades en el proceso de resolución
del problema?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te fue de gran ayuda utilizar tablas? ¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
•
identificarías sucesos equiprobables?
________________________________________
________________________________________
1. Mentaliza una situación similar en la cual puedas
identificar y organizar sucesos equiprobables.
2. Elabora tu propia tabla de recopilación de datos
y calcula la probabilidad del suceso.
problema.
4. Elabora un esquema en el que se presenten los
pasos a seguir en una investigación escolar.
5. Valido
•
• Por equipo argumenten sobre el proceso del trabajo realizado.
–
– ¿Qué elaboraron para obtener posibles opciones de vid?
_______________________________________________________________________________________
–
– ¿Qué instrumento utilizaron para organizar la información que necesitabas?
_______________________________________________________________________________________
–
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
–
– ¿A qué conclusiones llegaron? ¿Qué diferencia tiene un suceso simple de un compuesto?
_______________________________________________________________________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Reconozco un suceso equiprobable.
que se encuentran en la recopilación
de datos.
presentes sucesos equiprobables.
Coevaluación
de posibles formas de encontrar
la respuesta.

300
Ficha
Iniciemos
•
• ¿En qué año el Festival de Marinera fue reconocido de manera oficial?
•
• ¿Cuántos años han pasado desde su reconocimiento oficial?
•
• La probabilidad de que una pareja de extranjeros gane este concurso,
¿de qué depende?
•
• ¿Realizan concursos con tus
compañeros(as) del colegio?
•
• ¿Alguna vez has ganado
en un concurso a tus
compañeros(as)?
El Concurso Nacional de Marinera se realiza todos los años en el mes de
enero en la localidad de Trujillo. Se organiza desde 1960 y está reconocido
de manera oficial a partir de 1986. La marinera es un baile muy típico. En
el festival participan gran cantidad de parejas de baile de todo el país
y también de algunos países invitados, lo que ha convocado a miles de
turistas de diversas partes del mundo a presenciar y disfrutar de esta fiesta.
Probabilidad en concursos
66

301

1. Planteo un problema vinculado a la realidad
En el concurso de marinera, que se realiza cada año en la localidad de Trujillo, asisten miles de turistas y entre
ellos muchos se inscriben para este gran concurso de baile.
Enelconcursoseinscribieron50parejasdebailedediferentesnacionalidades;9parejasperuanas,9colombianas,
7 ecuatorianas, 6 argentinas, 3 uruguayas, 6 bolivianas, 2 cubanas, 2 paraguayas, 4 venezolanas y 2 mexicanas.
El concurso se divide en dos grandes equipos de 25 parejas cada uno, de las cuales clasificarán las cuatro mejores.
El primer equipo participará el primer día de competencias, mientras que el segundo lo hará al día siguiente.
•
• ¿Qué probabilidadestienecadapaísdeserelegido mediante unsorteo paraformarpartedelprimer equipo?
•
• ¿De qué datos dispones?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué te piden averiguar?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué estrategias usarás para determinar las probabilidades que tiene cada país?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
3. Experimento
•
• Ordena los datos en la tabla.
•
• Identifiquen y completen la tabla con la posibilidad que tiene cada pareja de cada país de ser elegida frente
al total de participantes en el sorteo.
Países participantes Número de parejas por país Parejas frente al total
Perú
Colombia
Ecuador
Argentina
Uruguay
Paraguay
México
Bolivia
Venezuela
Cuba
Total: 50
Tabla 1

302

4. Realizo la formulación matemática
•
, calcula la probabilidad que tiene cada dato frente
al total y completa la tabla.
•
• Interpreta los resultados obtenidos con la frase: ______________________ (país) tiene la posibilidad del
______________________ (P(A)) de que una de sus parejas sea escogida en el primer equipo.
Parejas por país P(A) =
Perú = 9 P(A) =
9
50
Colombia = 9 P(A) =
Ecuador = 7 P(A) =
Argentina = 6 P(A) =
Uruguay = 3 P(A) =
Paraguay = 2 P(A) =
México = 2 P(A) =
Bolivia = 6 P(A) =
Venezuela = 4 P(A) =
Cuba = 2 P(A) =
Tabla 2
–
– _____________tiene la posibilidad de de que una de sus parejas sea escogida en el primer equipo.
–
–
–
–
–
–
–
–
–

303

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Qué conocimientos matemáticos apliqué en
esta actividad?
•
• ¿En qué situaciones de mi vida cotidiana
puedo distinguir sucesos?
Reflexiona
•
• ¿Qué sección del proceso de resolución del
problema te causó más dificultad?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te fue de gran ayuda utilizar tablas de
recopilación de datos? ¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
•
aplicarías esta forma de cálculo?
________________________________________
________________________________________
1. Mentaliza una situación donde puedas identificar
y organizar sucesos similares para calcular la
probabilidad que tienen.
y calcula la probabilidad de cada variable.
problema.
5. Valido la solución
•
• Se reúnen los equipos y argumentan sobre el proceso del trabajo realizado.
–
– ¿Qué elaboraron para organizar la información que necesitaban y qué resultados obtuvieron?
_______________________________________________________________________________________
–
– ¿Fue necesaria la información brindada para la elaboración de tablas?
_______________________________________________________________________________________
–
_______________________________________________________________________________________
–
– ¿A qué conclusiones llegaron?
_______________________________________________________________________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Reconozco dónde y cómo puedo
calcular la probabilidad de varios
sucesos.
que se encuentran recopilados.
presentes varios sucesos.
Coevaluación
de posibles formas de encontrar
la respuesta.

304
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Cuántos jugadores pueden participar en el juego de la urda?
•
• Si participas en la urda, junto a 15 personas más, ¿cuál es la probabili-
dad que empieces el juego?
•
• Si en un grupo hay la misma cantidad de damas y varones, ¿cuál es la
probabilidad de que empiece el juego una dama?
•
• ¿Qué otros juegos
tradicionales conoces?
•
• ¿De qué modo forman
equipos en algunos juegos?
La urda es un juego tradicional en distintas partes del mundo. Este juego
comienza con una persona que va integrando en una “cadena” a otras al
tocarlas, hasta que todos ingresen a la urda (un lugar seguro, delimitado,
que puede ser dibujado en el piso). No hay límite de jugadores en esta
actividad, lo que lo hace muy llamativo, popular y participativo.
Los orígenes de este juego están en la combinación de elementos
culturales de distintas épocas, y son modificados según la región donde se
los practica, basándose en sus respectivas culturas y costumbres.
Eventos y juegos tradicionales
67

305

Para comenzar el juego, por sorteo se designa al jugador que se colocará en la “urda”, un lugar en donde se ubican
los que van a perseguir a los demás, que es como su casa (puede dibujarse en el piso). El jugador se coloca en la
urda con las manos unidas y grita: “¡Urda!”. Entonces los demás jugadores responden: “¡La burra!”, y luego corren.
El que está en la urda los persigue con las manos unidas tratando de tocar a un jugador. Cuando lo haga, los dos
regresarán corriendo a la urda para ponerse a salvo, pues los demás los perseguirán tratando de golpearlos sua-
vemente en la espalda con la mano abierta.
Una vez en la urda se agarrarán de una mano como haciendo una cadena y así saldrán a tocar a otro jugador, tam-
bién gritando “¡Urna!”, a lo que los demás volverán a responder: “¡La burra!” (deberán decir lo mismo cada vez que
salgan). Cuando logren tocar a otro jugador, se soltarán y regresarán a la urda corriendo, mientras los demás, como
ya se ha dicho, los perseguirán para golpearlos en la espalda. Está prohibido que los golpeen en otra parte que no
sealaespaldaoconlamanocerrada,porque,delocontrario,elquelohagapasaráaformarpartedelacadena.Yaen
laurna,lostresvolveránahacerunacadenatomándosedelasmanosynuevamentesaldránaperseguiralosdemás.
En el momento en que estén tratando de tocar a un nuevo jugador, los perseguidores no deben dejar que los
demás rompan la cadena dándoles un golpe en las manos. Si esto ocurriera, deberán regresar corriendo a la
urda, también evitando que los golpeen en la espalda.
Hay que resaltar que solo los participantes que están en los extremos de la cadena pueden tocar a los demás,
ya que únicamente ellos tienen una mano libre. Por este motivo, los perseguidores pueden regresar a la urna
cuando lo necesiten para reacomodarse y poner en los extremos a los más hábiles en el juego.
El juego continuará de la misma manera hasta que el último jugador se haya integrado a la cadena. Este último
será el ganador.
Instrucciones: Responde las siguientes preguntas. Marca tus respuestas en los círculos.
1. ¿Te gustaría jugar a la urda? Sí No
2. Si tu respuesta es Sí, responde:
¿Qué lugar te gustaría que fuera la urda?
Un terreno Un poste Una pared Otro
Ficha de encuesta
•
• Formen 5 equipos de trabajo.
•
• Realicen la siguiente encuesta a 60 niños entre 8 y 12 años.
•
• El equipo debe analizar la probabilidad que tienen para escoger un espacio o lugar que ocupará la urda.
•
• Para encontrar el resultado de una probabilidad se debe calcular el cociente entre los casos favorables
sobre los casos totales.
3. Recopilo datos
•
• El equipo debe analizar la probabilidad que tienen los niños de los distintos equipos de ser escogidos para
iniciar el juego.
•
• Cada equipo tomará los datos de los otros equipos de niños existentes por edades y los organizará en una tabla.
•
• Identificarán y relacionarán la posibilidad que tiene cada niño de ser elegido frente al total de participantes
en el sorteo.

306

–
– Tabla 1. Edad de los estudiantes encuestados.
Equipos de niños por edades Número de niños por equipo
Número de niños por equipo
frente al total
Total: 60
–
– Tabla 2. Lugar que se determinará como urda.
Lugar que se definirá
como urda
Número de niños que
contestaron
Número de lugar definido
frente al total
terreno
poste
pared
otro
Total: 60
•
, calcula la probabilidad de cada dato frente al total.
•
• Con los resultados obtenidos analiza y determina cuál de estos tiene mayor posibilidad de ser escogido.
Recuerda que, mientras más se acerque a la unidad el resultado, más probable será que ocurra el suceso;
por el contrario, mientras más se acerque a 0, el suceso será menos probable.
•
• Ordena la tabla del suceso más probable al menos probable e indica cuál es el equipo de niños que más
posibilidad tiene de ser escogido.
Equipos de niños P(A)
12 años P A
( )
8
60
0,13
= =
11 años
10 años
9 años
8 años
Tabla 3
Lugar que se
definirá como
urda
P(A)
terreno
poste
pared
otro
Tabla 4

307

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿Para qué fue útil elaborar la encuesta?
•
• ¿En qué situaciones de mi vida cotidiana
identifico distintos sucesos?
•
• ¿Cómo determino la probabilidad de un suceso?
Reflexiona
•
• ¿De qué manera separé las dificultades?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te fue de gran ayuda utilizar tablas de
recopilación de datos? ¿Por qué?
________________________________________
________________________________________
•
aplicarías esta forma de cálculo?
________________________________________
________________________________________
1. Propón una situación donde puedas identificar
y organizar sucesos similares para calcular la
probabilidad que tienen y la frecuencia de un
suceso frente a los demás.
y calcula la probabilidad de cada variable.
3. Crea un problema utilizando los pasos de la
investigación escolar en la resolución del problema.
•
• Orden de frecuencia de los sucesos respecto a la edad de los niños.
–
– 1.º _________________________
–
– 2.º _________________________
–
– 3.º _________________________
–
– 4.º _________________________
–
– 5.º _________________________
–
– Pared ______________________
–
– Poste ______________________
–
– Otro ______________________
–
– Terreno ______________________
•
• Orden de frecuencia de sucesos respecto al lugar definido como urda.
•
• Por equipo argumenten sobre el proceso del trabajo realizado.
–
– ¿Qué elaboraron para organizar la información que necesitaban y qué resultado obtuvieron?
_____________________________________________________________________________________
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Propongo las preguntas adecuadas
para aplicar una encuesta.
Ordeno correctamente los datos que se
encuentran en una encuesta.
Resuelvo correctamente problemas
en los que se encuentra presente el
cálculo de la probabilidad.
Coevaluación
con mis compañeros(as).

308
Evaluación
Resuelve las siguientes preguntas.
1. En un colegio se colocarán 70 afiches sobre la
exposición, y se espera que por cada 10 de estos,
asistan 30 estudiantes. Construye una tabla donde
se representen los datos y llénala, relacionando el
tiempo (en horas que demorará en ser difundido
el mensaje) versus el número de afiches usados.
Calcula las constantes de proporcionalidad que se
presentan en el problema.
2. La compañía publicitaria realizó un concurso en el
cual participaron cuatro de los mejores colegios
que usaron esta estrategia publicitaria en sus res-
pectivos planteles; el certamen consiste en diseñar
un afiche que represente la cultura de nuestro país.
El premio para el colegio ganador será de 2000
soles en efectivo y la implementación de canchas
deportivas. Identifica y organiza mediante un dia-
grama de árbol los sucesos simples y compuestos
que existen y analiza si son equiprobables o no.
Fiestas y costumbres de nuestro país
Se ha realizado una campaña publicitaria para dar realce y reconocimiento a las fiestas y costumbres de
nuestro país. Debido a que en las generaciones actuales se ha ido perdiendo el interés por la riqueza cultural,
las campañas se han centrado en establecimientos educativos como escuelas y universidades. También se
han usado estrategias publicitarias como volantes y afiches de exposiciones sobre las principales fiestas y
costumbres, para de esa manera crear en los jóvenes un interés genuino en nuestra cultura.
Afiches Tiempo (horas)
10 400
200
40
80
80
40
Afiches Asistentes
10 30
•
• Constante de proporcionalidad inversa:
•
• Constante de proporcionalidad directa:
Estudiantes Cantidad P(A)
Hombres
Mujeres
Total:
3. Un colegio realiza una exposición de fiestas y
costumbres a la que asistirán 700 estudiantes; 319
hombres y 381 mujeres. Al final del evento se hará
un sorteo entre todos los estudiantes, en el cual el
premio será una tablet. Calcula la probabilidad que
tienen un hombre y una mujer de ganarse el premio.

309
Metacognición
1. ¿Qué conocimientos adquirí al desarrollar las actividades de esta unidad? _______________________
Autoevaluación
Reconozco relaciones no explícitas en problemas multiplicativos
de proporcionalidad.
Diferencio y uso modelos basados en la proporcionalidad directa
e indirecta al plantear y resolver problemas.
Organizo datos en tablas para expresar relaciones de
proporcionalidad directa e inversa entre magnitudes.
Empleo convenientemente el método de reducción a la unidad
y regla de tres simple en problemas de proporcionalidad.
Diferencio la proporcionalidad directa de la inversa.
Planteo y resuelvo problemas sobre la probabilidad de un
evento en una situación aleatoria a partir de un modelo referido
a la probabilidad.
Represento con diagramas de árbol, por extensión o por
comprensión, sucesos simples o compuestos relacionados con
una situación aleatoria propuesta.
Expreso el concepto de la probabilidad de eventos equiprobables
usando terminologías y fórmulas.
Coevaluación
Todos participamos en las actividades planteadas.
Nuestra comunicación en todo el proceso fue asertiva.
4. Luego de los resultados de haber usado afiches como forma de publicidad, otro colegio adoptó la misma es-
trategia y decidió imprimir 50 afiches por 300 soles. Al colocarlos, se percataron de que harían falta 28 afiches
más. ¿Cuánto más deben pagar? Resuelve por regla de tres y reducción a la unidad.
•
• Regla de tres simple:
•
• Reducción a la unidad:
Producto
5. Realiza un afiche de propaganda sobre una fiesta costumbrista de nuestro país.

310
310
La tecnología ha mejorado notablemente nuestro estilo de vida. Uno de los
campos donde su accionar es notorio, es el de la comunicación, a tal punto de
que bastan unos segundos para comunicarnos con una persona que puede estar
a cientos de kilómetros de distancia.
Uno de los tantos dispositivos utilizados en la comunicación es el teléfono
celular, cuyo uso ha causado bastante polémica, sobre todo en los consumidores
adolescentes.
El teléfono celular en sus inicios era de uso exclusivo de personas consideradas
de élite; sin embargo, en cuestión de una década pasó a ser un aparato de
uso común en todo el planeta. Las compañías productoras de los celulares
crean nuevas versiones cada vez más inteligentes, es decir, incorporan nuevas
opcionesdecómoaccederaredessociales,alaweb,alamensajeríainstantánea
y a los videojuegos, entre otras aplicaciones.
Formula estas preguntas a personas mayores que tú: ¿Cómo era la
comunicaciónantesdelaño2000?¿Quédiferencias,encuantoalacapacidad,
encuentras en comparación con teléfonos antiguos? ¿Cómo van mejorando
las cámaras de los celulares? ¿Cómo identificamos esos cambios?
Comunicación a través
del teléfono celular
9
Unidad

311
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de regularidad,
•
• Reconoce relaciones no explícitas entre datos de dos
magnitudes en situaciones de variación, y expresa
modelos referidos a proporcionalidad inversa, funciones
lineales y lineales afines.
•
• Usa modelos de variación referidos a la función lineal
ideas matemáticas
•
• Emplea representaciones tabulares, gráficas y algebraicas
de la proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín.
•
• Describe las características de la función lineal y la
familia de ella de acuerdo a la variación de la pendiente.
•
• Describe gráficos y tablas que expresan funciones
lineales, afines y constantes.
•
• Emplea estrategias heurísticas y procedimientos para
resolver problemas de proporcionalidad inversa, función
lineal y lineal afín considerando ciertos valores, su regla
de la función, o a partir de su representación.
•
• Determina el conjunto de valores que puede tomar una
variable en una proporcionalidad inversa, función lineal
y lineal afín.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Plantea conjeturas sobre el comportamiento de la
función lineal y lineal afín al variar la pendiente.
•
• Prueba que las funciones lineales, afines y la
proporcionalidad inversa crecen o decrecen por
igualdad de diferencias en intervalos iguales.
•
• Justifica a partir de ejemplos, reconociendo
la pendiente y la ordenada al origen el comportamiento
de funciones lineales y lineales afines.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de forma, movimiento y
localización
•
ideas matemáticas
•
• Representa figuras poligonales, trazos de rectas paralelas,
perpendiculares y relacionadas a la circunferencia
siguiendo instrucciones y usando la regla y el compás.
•
• Emplea las propiedades de los lados y ángulos
de polígonos regulares al resolver problemas.
Razona y argumenta
generando ideas
matemáticas
•
• Plantea conjeturas para reconocer las propiedades
de los lados y ángulos de polígonos regulares.
•
• Justifica la pertenencia o no de una figura geométrica
dada a una clase determinada de paralelogramos
y triángulos.

312
Ficha

Taller matemático
Operadores móviles
68
1. Armando redes telefónicas (Problemas de traducción simple)
Para armar una red telefónica en Otuzco, provincia de la región La Libertad, la operadora contrató
a cinco hombres, quienes tardaron 48 días en terminarla. ¿Cuántos días habrían tardado 20 hombres en armar
la red telefónica?
•
• ¿Qué magnitudes intervienen en el problema?
___________________________________________________________________________________
•
• Elabora una tabla considerando que el doble de hombres tardará la mitad del tiempo; el triple, un tercio, y
así sucesivamente.
•
• ¿Qué sucede con las cantidades de las magnitudes?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Qué relación existe entre las dos magnitudes?
___________________________________________________________________________________
•
• ¿Cómo obtienes la constante de proporcionalidad? ¿Cuál es?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Realiza un gráfico.
48
42
36
30
24
18
12
6
5 10 15 20 25 30
0
Tiempo (d)
Número de hombres

313

2. Usuarios telefónicos (Problemas de traducción compleja)
Una compañía telefónica al ser concebida proyecta tener 1 200 000 usuarios. Para dar atención a sus clien-
tes debe crear centrales de atención. Debido a investigaciones realizadas, se sabe que en una central podrá
atender a 8000 usuarios diariamente. Por lo tanto, si pusiera una central de atención al cliente, se demoraría
150 días si tuviera que atender a todos, y 75 días si implementase 2 centrales. ¿Cuál es la expresión algebraica
que relaciona el número de días que se demora en atender a todos los clientes y el número de centrales de
atención al cliente?
•
• ¿Qué datos nos proporciona el problema?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Reúnete con tres compañeros; discutan las posibles ideas para resolver el problema y registren en una tabla
los datos referentes a la relación entre las magnitudes mencionadas.
Número de
centrales
de atención
Número de días para atender
a todos los clientes
1 150
2
3
4
5
10
•
• Entre dos compañeros partan de datos más
sencillos.
•
• Agreguen en la tabla de la derecha, en la co-
lumna del número de días para atender a todos
los clientes, los valores que faltan y deduzcan el
número de días que se demorarían en atender
a los usuarios proyectados.
•
• Escriban una expresión matemática que gene-
ralice lo que se quiere conocer.

314

•
• Escriban el tipo de relación matemática que se presenta entre las dos magnitudes involucradas en el
problema.
___________________________________________________________________________________
•
• Con la expresión definida completa la siguiente tabla.
Número de centrales
de atención
Número de días para atender
a todos los clientes
6
8
20
25
•
• Comprueba a través de una gráfica si la relación entre las magnitudes es la señalada inicialmente.
La gráfica muestra que es una proporcionalidad inversa.
3. Atención al cliente (Situaciones problemáticas realistas)
Un móvil recorre la distancia de 36 m a velocidades diferentes, tal como lo muestra la tabla. Determina si la
relación entre la velocidad y el tiempo empleado para recorrer dicha distancia es directamente proporcional;
luego realiza su representación gráfica.
d/t = velocidad (v) Tiempo en segundos
36 m/s 1 s
18 m/s 2 s
12 m/s 3 s
9 m/s 4 s
•
• ¿Qué relación existe entre las dos magnitudes?
___________________________________________________________________________________

315

Finalicemos
Metacognición
•
• ¿En qué situaciones aplicaría estos nuevos
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades tuviste en la modelización
matemática?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Para qué sirve la modelización matemática?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué situaciones de tu vida has utilizado la
modelización?
________________________________________
________________________________________
1. Benito decidió pintar su casa; sabe que si contrata a
un solo pintor, el trabajo durará 12 días.
Determina la expresión matemática que
relaciona el número de días con el número de
pintores. Elabora la gráfica.
•
• ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? _______________________________________________
•
• Grafica y comprueba si la proporcionalidad es inversa.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Reconozco la variación entre los datos
de una relación de proporcionalidad
directa.
Reconozco la variación entre los datos
de una relación de proporcionalidad
inversa.
Resuelvo problemas usando las
características de la variación de datos
de una proporcionalidad inversa.
Resuelvo problemas usando las
características de la variación de datos
de una proporcionalidad directa.
Coevaluación
equipos de trabajo.
Participamos todos para resolver
el problema.

316
Ficha
Iniciemos
• Según la información de la gráfica, ¿entre qué años existe un mayor
aumento de la densidad de telefonía fija en el Perú?
• ¿Has revisado alguna vez una factura del consumo telefónico fijo de tu
casa? Describe sus características.
• ¿Sabes cuáles son las empresas de telefonía fija que hay en el mercado?
• ¿Qué plan de telefonía fija
observas que promocionan
en los medios de
comunicación?
• ¿En qué beneficios se
diferencian las distintas
empresas que ofrecen
telefonía fija?
• ¿Qué tipo de gráficos
encuentras frecuentemente
en los recibos de telefonía?
Así como la telefonía móvil ha evolucionado con la tecnología, la telefonía
fija también lo ha hecho y las personas no han dejado de utilizar este servicio.
Las operadoras, tanto de la telefonía fija como de la telefonía móvil, emiten
facturas a sus clientes. Para ello, utilizan modelos matemáticos que son
ingresados en las computadoras a través de un lenguaje de programación,
de manera que el consumo de cada cliente se calcula en forma automática.
En los últimos tiempos, en nuestro país se han aprobado reducciones en
las tarifas con la finalidad de acrecentar el uso de la telefonía.
Evolución tecnológica
69
25
20
15
10
5
0
Densidad de telefonía fija en el Perú, 2003-2008
(en líneas en servicio por cada 100 habitantes)
2003
13,8
2004
15,0
2005
16,0
2006
16,8
2007
18,5
2008
19,9
Lima Resto Total
Fuenta: OSIPTEL Elaboración: IPE

317

1. Comprendo la situación e identifico la pregunta
A tres analistas de sistemas se les ha encargado modelar la forma más sencilla de un plan de tarifación. La
indicación que se les da es: “Por cada minuto consumido se les cobrará 20 céntimos y se les incluirá una pensión
básica de S/ 20”. Las propuestas de cada analista se han presentado en distintos formatos y son los que se
muestran a continuación. Demostrar si las tres propuestas obedecen a lo solicitado.
•
• Lee el problema y escribe una pregunta adecuada que permita saber lo que vas a probar.
•
• Únete con un compañero para intercambiar ideas y observen si sus interrogantes apuntan a los siguientes
objetivos:
1. La expresión algebraica propuesta por el analista 1 cumple con la condición propuesta.
2. La gráfica realizada por el analista 2 cumple con la condición del problema.
3. La tabla de valores se acoge a lo solicitado.
2. Analizo la información y respondo la pregunta
•
• Detallen para cada propuesta lo que harían para demostrar su validez.
Resolvamos: La cruz demostrativa
Analista 1 C = 0,2x + 20
Analista 2
Analista 3
Minutos 20 50 100 200
Consumo 24 30 40 60
Propuesta 1
5
10
15
20
25
30
35
40
5
–5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
0

318

Propuesta 2
Propuesta 3
•
• Junto a dos compañeros más, analicen una por una las propuestas de los analistas.
•
• Responde las siguientes preguntas para cada caso.
Propuesta 1
a. ¿Cuál es el valor que permanecerá constante?
__________________________________________________________________________________
b. ¿Cuál es la variable en el problema?
__________________________________________________________________________________
c. ¿Cómo obtienes el valor del consumo?
__________________________________________________________________________________
d. ¿Cómo obtienes el valor a pagar por el uso de ese mes de telefonía fija?
__________________________________________________________________________________
e. ¿La expresión algebraica que corresponde a esta propuesta incluye todos los parámetros analizados?
Escribe una conclusión.
_________________________________________________________________________________
Propuesta 2
a. ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a las condiciones del problema? ___________________
b. Recuerda que para determinar los puntos de corte en una función afín se despeja la ecuación de manera
que el término independiente quede en el segundo miembro; luego se divide la ecuación para el valor
independiente de manera que obtengas la forma:
x
a
+
x
b
= 1, siendo a el punto de corte con el eje X, y b
el punto de corte con el eje Y.
c. Determina los puntos de corte con los ejes y verifica si la gráfica que corresponde a la propuesta 2 tiene
los puntos de corte que obtuviste.
d. De acuerdo con los resultados, escribe una conclusión.
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________

319

Finalicemos

Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Describo tablas que expresan
funciones lineales, afines y constantes.
Empleo representaciones tabulares
de la función lineal y lineal afín.
Empleo representaciones gráficas de la
función lineal y lineal afín.
Empleo representaciones algebraicas
de la función lineal y lineal afín.
Coevaluación
equipos de trabajo.
problema.
Metacognición
•
• ¿Qué pasos seguí para solucionar el problema?
•
• ¿En qué casos de la vida tengo que demostrar?
Reflexiona
•
• ¿Cuáles fueron las dificultades que encontraste en
la demostración?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Siempre se pueden representar las funciones con
un equivalente, ya sean enunciados o tablas?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Qué diferencia existe entre una función constante
lineal y lineal afín?
________________________________________
________________________________________
1. Utiliza las tres formas de presentación de la función
afín para diseñar la tarifación del servicio de taxi de
tu localidad.
Propuesta 3
a. Para demostrar esta propuesta toma la expresión algebraica antes determinada y completa la tabla.
b. Compara con la tabla de la propuesta y concluye.
_______________________________________________________________________________
4. Conclusiones
•
• Revisa la pregunta del problema y con base en ello escribe una conclusión general.
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
Minutos 20 50 100 200
Consumo

320
Ficha
Iniciemos
Responde las siguientes preguntas:
•
• ¿Qué aparatos electrónicos podrías controlar desde un celular?
_______________________________________________________
_______________________________________________________
•
• ¿Cómo puedes convertir el celular en un control multimedia?
_______________________________________________________
_______________________________________________________
•
• ¿Qué dificultades podrías encontrar para convertir un celular en un
control remoto?
_______________________________________________________
_______________________________________________________
•
• ¿Para qué te serviría controlar aparatos electrónicos con tu celular?
_______________________________________________________
_______________________________________________________
•
• ¿Qué aplicaciones conoces
o has utilizado?
•
• ¿Cuáles te han parecido más
interesantes?
•
• ¿Con qué expresión
matemática se presenta,
por lo general, el nivel de
batería que les queda a los
celulares?
Hoy en día, resulta raro encontrar móviles que sirvan solo para hablar
con los demás, aunque este sigue siendo su uso principal. De hecho, el
teléfono móvil sirve para una variedad de propósitos; por ejemplo, para
controlar de forma remota otros dispositivos, tomar fotos, grabar videos,
realizar videollamadas o escuchar música.
Existen muchas aplicaciones gratuitas y con costo que son muy útiles en
nuestra vida cotidiana, pues nos ayudan a resolver situaciones en pocos
minutos.
Teléfonos inteligentes
70

321

1. Comprendo la situación e identifico la pregunta
Cada operadora asigna un costo distinto por consumo de llamadas telefónicas según el tiempo de consumo.
¿Es posible representar con una función lineal de la forma f(x) = mx?, donde m es el precio por minuto de con-
sumo y x la cantidad de minutos consumidos.
•
• Discute con tu compañero(a) y completa lo que se desea demostrar.
¿La función de la forma ___________________ es una ___________________ lineal?
2. Analizo la información y respondo la pregunta
Antes de contestar la pregunta planteada, junto con tu compañero(a), analiza la información que proporciona
la expresión f(x) = mx; compara con las características de la función lineal y contesta.
a. La gráfica de una función lineal siempre es una línea ___________________.
b. El corte con el eje de las y está siempre en el punto ( ____; ____)
c. Una función lineal es creciente si la ___________________ es ___________________.
d. Una función lineal es decreciente si la ___________________ es ___________________.
e. ¿Qué valores puede tomar m? ___________________
f. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar x? ___________________
g. ¿Por qué m no puede tomar valores negativos? ______________________________________________
h. ¿Qué harías para demostrar tu respuesta?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Resolvamos: La cruz demostrativa

322

Lo que puedes demostrar es que para cualquier valor positivo que pueda tomar m, la función siempre
va a ser una función lineal. Esto significa que puedes fijar distintos valores para el precio por minuto
consumido, elaborar una tabla de datos y representar gráficamente; así:
a. ¿Cómo se representa la expresión f(x) = mx cuando el precio se fija en 0,2?
__________________________________________________________________________________
b. ¿Cómo se representa la expresión f(x) = mx cuando el precio se fija en 0,3?
__________________________________________________________________________________
c. Completa la siguiente tabla y grafica cuando el precio se fija en 0,2.
d. Completa la siguiente tabla y grafica cuando el precio se fija en 0,3.
e. En tu cuaderno elabora una tabla de datos y grafica cuando el precio se fija en 0,25. Escribe la expresión
algebraica para este caso y menciona si es una función lineal.
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
x f(x)
10
20
30
40
50
x f(x)
10
20
30
40
50
12
10
8
6
4
2
0 10 20 30 40 50
16
14
12
10
8
6
4
2
0 10 20 30 40 50
Y
X
Y
X

323

Finalicemos

Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Describo las características de la
función lineal.
Cambio la pendiente de la función
lineal y encuentro una familia de
funciones lineales.
Empleo representaciones tabulares
para graficar una función lineal.
Empleo representaciones gráficas para
reconocer una función lineal.
Coevaluación
equipos de trabajo.
el problema.
Metacognición
•
• ¿Qué aprendí al desarrollar las actividades de la
ficha?
•
• ¿En qué otras situaciones cotidianas utilizo las
funciones?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultades encontraste en la demostración?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Por qué es importante una demostración?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿De qué maneras se puede representar una
función lineal?
________________________________________
________________________________________
1. Representa en un plano cartesiano las funciones
f(x) = 2x + 2; f(x) = 3x + 2 y f(x) = 4x + 2. Hazlo en tu
cuaderno.
2. La familia de funciones representadas, ¿es una
familia de funciones del tipo f(x) = mx + 2?
________________________________________
3. La familia de funciones f(x) = mx + 2, ¿es del tipo de
funciones lineales?
________________________________________
•
• Discute con tu compañero(a) sobre lo que fue necesario hacer para demostrar que la expresión f(x) = mx
es una función lineal y registra tus ideas a continuación.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________

324
Ficha

Taller matemático
1. A. Concentración de un fármaco (Problemas de traducción simple)
A una mujer internada en un hospital le ponen una inyección de penicilina. Su cuerpo va disolviendo
gradualmente la penicilina de modo que, una hora después de la inyección, solo el 60 % de la penicilina perma-
nece activa.
Esta pauta continúa: al final de cada hora solo permanece activo el 60 % de la penicilina presente al final de la
hora anterior.
Supón que a la mujer se le ha administrado una dosis de 300 miligramos de penicilina a las 8 de la mañana.
Pregunta 1
•
• Completa esta tabla escribiendo la cantidad de penicilina que permanecerá activa en la sangre de la mujer
a intervalos de una hora desde las 08:00 hasta las 11:00 horas.
Cuanto más, menos...
71
Pregunta 2
•
• Pedro tiene que tomar 80 mg de un fármaco para controlar su presión sanguínea. El siguiente gráfico
muestra la cantidad inicial del fármaco y la cantidad que permanece activa en la sangre de Pedro después
de uno, dos, tres y cuatro días.
•
• ¿Qué cantidad de fármaco permanece activa al final del primer día?
a. 6 mg c. 26 mg
b. 12 mg d. 32 mg
Hora 8:00 9:00 10:00 11:00
Penicilina (mg) 300
1 2 3 4 5
0
Tiempo (días) desde que se ha tomado el fármaco
Cantidad de fármaco activo (mg)
20
40
60
80

325

Pregunta 3
•
• En el gráfico de la pregunta precedente puede verse que, cada día, permanece activa en la sangre de
Pedro aproximadamente la misma proporción de fármaco con relación al día anterior. Al final de cada día,
¿cuál de las siguientes alternativas representa el porcentaje aproximado de fármaco del día anterior que
permanece activo?
A 20 %
B 30 %
C 40 %
D 80 %
B. Identificando gráficos
Andrés analiza gráficos de un estudio estadístico sobre el consumo telefónico. ¿Cuál de los gráficos
representa una proporcionalidad inversa?
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
2. Consumo telefónico en minutos (Problemas de traducción compleja)
Cierta operadora peruana calcula el valor de cada minuto consumido por cada usuario, dividiendo 30 por
la cantidad de minutos. Es así que se puede representar con la expresión algebraica f(x) = 30/x. ¿Es esta una
representación de proporcionalidad inversa?
¿Qué se desea demostrar?
______________________________________________________________________________________
Junto con tu compañero analiza la información que proporciona la expresión f(x) = 30/x; compara con las
características que corresponden a la proporcionalidad inversa y responde.
a. La gráfica de una función de proporcionalidad inversa es decreciente si x es _______________________ .
b. A medida que los valores de x aumentan, los valores de y _____________________________________ .
c. A medida que los valores de y aumentan, los valores de x ______________________________________ .
d. Si elaboramos una tabla de datos, al multiplicar el valor de x con el valor de y, el resultado siempre es el
_____________________________________ .
Y Y
X X

326

Lo que puedes demostrar es que para cualquier valor positivo que pueda tomar x, el valor de y siempre va
disminuyendo. Registra estos valores en una tabla de datos; multiplica los valores de cada pareja de datos; verifica
si siempre se obtiene el mismo resultado al multiplicarlos y, por último, representa esta tabla de datos en un
plano cartesiano y confirma si corresponde a la gráfica de una función de proporcionalidad inversa; así:
3. Observa la columna de la tabla anterior y verifica si se obtuvo siempre el mismo valor. En caso de que la res-
puesta sea afirmativa, escribe el resultado obtenido en la columna 3. ____________________________
4. Representa en el plano cartesiano los datos de la tabla 2.
x f(x)
10
15
20
25
30
40
50
60
x f(x) = 30/x Multiplicación
1. Completa la siguiente tabla para la expresión
f(x) = 30/x .
2. Copia la tabla anterior y multiplica cada pareja.
5. ¿La gráfica obtenida en la actividad anterior, corresponde a una función de proporcionalidad inversa?
___________________________________________________________________________________
-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,1
2,2
2,4
2,6
2,8
3
2
Y
X
Tabla 1 Tabla 2

327

Finalicemos

3. Redes telefónicas (Situaciones problemáticas realistas)
•
• En una superficie rectangular
de 24 m2
de área se debe hacer
una instalación de equipos
para mejorar la calidad en la
señal telefónica. Los técnicos
no se ponen de acuerdo en
las medidas que tendrán las
dimensionesdedichasuperficie.
¿Qué valores enteros podrían
tener las longitudes del largo
y el ancho de esta superficie?
Representa todos los posibles
valores mediante una gráfica.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Diferencio la función de
proporcionalidad directa de la
muestra.
Represento gráficamente la función de
proporcionalidad inversa.
Reconozco las características de la
función de proporcionalidad inversa.
Coevaluación
Logramos comunicarnos en pareja.
Participamos en todas las actividades
planteadas.
Metacognición
•
• ¿En qué creo que me ayuda el estudio de la
función de proporcionalidad inversa?
•
• ¿En qué otros casos de la vida me puede servir
el estudio de la función de proporcionalidad
inversa?
Reflexiona
•
• ¿Qué estrategia te ayudó a resolver el problema?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿La información proporcionada por una fórmula
es la misma que proporciona una gráfica, una tabla
de datos o un enunciado?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿De qué maneras se puede representar una
función de proporcionalidad inversa?
________________________________________
________________________________________
1. Representa en tu cuaderno como una función de
proporcionalidad inversa si un médico trabaja 6
horas diarias, de las cuales a cada paciente le asigna
un tiempo para atención de acuerdo con el número
de pacientes que hayan hecho la cita.
2. Elabora en tu cuaderno en una tabla de datos el
tiempo que le corresponde a cada paciente, si en
los cinco días de una semana, registró 8; 6; 3; 12 y 5
pacientes, respectivamente.
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
2
–2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 100
0

328
Ficha
Iniciemos
•
• Enumeraalgunasaplicacionesqueenlaactualidadofrecenlosteléfonos
celulares.
•
• Un celular usado ha depreciado su valor hasta lograr venderse a la mi-
tad de su precio. Escribe el precio actual en función del precio inicial.
•
• ¿Qué tipos de aplicaciones
consumen más energía de
una batería?
•
• ¿Existe alguna relación entre
el tamaño del celular y su
capacidad de memoria?
La tecnología ha hecho del celular un dispositivo versátil, pues, además de
servirparacomunicarseentrepersonassalvandodistancias,enlaactualidad
ofrece una gama de aplicaciones. Pero si hablamos de la batería que
utiliza, debemos decir que, si bien es cierto que ha evolucionado, no lo ha
hecho al mismo ritmo de los teléfonos celulares, ya que el tiempo que dura
su carga sigue siendo un limitante.
Los avances en cuanto a batería se refiere han logrado eliminar el efecto
memoria, por el cual antes, la primera vez había que cargarla por algunas
horas hasta alcanzar el 100 % de carga. Los fabricantes de baterías han
sustituido materiales y han creado circuitos inteligentes que funcionan en
el momento de la carga.
Durabilidad de las baterías
en los celulares
72
•
• Investiga en qué consiste el efecto memoria que se producía en las bate-
rías de celulares y compártelo en clase.

329

•
• Coloca en los gráficos los siguientes puntos con sus coordenadas.
Gráfico 1 (1; 2) (2; 1) (4; 0,5) Gráfico 2 2;
37
30
4;
37
15
•
• Reúnete con tres compañeros; discutan las posibles ideas para resolver el problema y regístrenlas.
Una empresa productora de baterías de 3,7 voltios, presenta a sus clientes la siguiente información gráfica
sobre la descarga y carga de uno de sus productos. Determina el tipo de función y la expresión matemática que
modela cada situación.
Energía (voltios)
Tiempo (horas)
Carga de la batería
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Energía (voltios)
Tiempo (horas)
4
0,5
0
0 1 10
4 13
7 16 19
2 11
5 14
8 17 20
3 12
6 15
9 18 21 22 23 24
1,5
2
2,5
3
3,5
4,5
1
Descarga de la batería en el uso del celular
Gráfico 1
Gráfico 2
0

330

•
• Contesta:
a. Por la forma de los gráficos, ¿qué función representa cada situación?
b. ¿Qué pretende explicar el productor de baterías con el segundo gráfico?
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
•
• Toma los valores de las coordenadas de los puntos de los gráficos y organízalos en las tablas.
•
• Contesta:
a. ¿Qué sucede cuando multiplicas los valores de x con los valores de y, respectivamente, de la primera tabla?
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
b. ¿Qué sucede cuando divides los valores de x entre los valores de y, respectivamente, de la segunda tabla?
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
c. ¿Qué sucede con el valor de y para cualquier valor de x en la tercera tabla?
____________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
•
• Únete con un(a) compañero(a); comparen sus respuestas y determinen las expresiones matemáticas para
cada situación.
Gráfico 1
x y
Gráfico 2
Segunda parte
x y
Gráfico 2
Primera parte
x y
Gráfico 1 Gráfico 2
y
Gráfico 1 Gráfico 2

331

Finalicemos

•
• Completa la tabla y realiza el gráfico para otros valores propuestos, según la relación f(x) =
2
x
.
Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Empleo métodos heurísticos para
resolver problemas de proporcionalidad
directa a partir de datos, su
representación gráfica o su regla.
Empleo métodos heurísticos para
resolver problemas de proporcionalidad
inversa a partir de datos, su
representación gráfica o su regla.
Determino el conjunto de valores que
puede tomar una variable en una
proporcionalidad inversa, función
lineal y lineal afín.
Coevaluación
equipos de trabajo.
problema.
Metacognición
•
• ¿La información que me proporcionan los
productores en forma gráfica resulta útil? Explica.
•
• ¿En qué otras situaciones puedo aplicar la
proporcionalidad inversa?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultad tuviste al realizar el nuevo gráfico?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Cómo son los gráficos de la función de
proporcionalidad inversa, lineal y constante?
•
• ¿El dominio y el rango del gráfico 2 constituyen
todos los números reales?
1. Realiza los gráficos de descarga y carga de una
batería de auto de 12 voltios; para ello, investiga los
tiempos empleados para realizar las dos acciones.
Gráfico 3
x y
0,5
8
10
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0,5
–0,5
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0
0

332
Ficha
Iniciemos
Responde las siguientes preguntas:
•
• ¿Has utilizado tu computadora o teléfono celular para reforzar algún
conocimiento?
•
• Con ayuda de un graficador, traza los gráficos de distintas funciones.
•
• ¿Cómo realizas los gráficos
de funciones?
•
• ¿Has usado algún material
para graficar funciones?
Actualmente muchos maestros utilizan nuevas tecnologías educativas
o programas innovadores que buscan mejorar la calidad de la educación de
las escuelas vulnerables.
Esto permite que el profesor descargue de manera gratuita videos educativos
en su celular o computadora, a fin de proyectarlos o compartirlos con los
estudiantes durante la clase. Esta es solo una de las actividades que pueden
realizar los docentes de varias escuelas para el desarrollo amigable de una
clase. Es importante que el docente incorpore la tecnología al aula, ya que
ello aumentará el interés en sus estudiantes por aprender, con lo cual los
recursos tecnológicos se convertirán en un complemento y apoyo efectivo.
Tecnología, recurso educativo
73

333

Una institución educativa desea adquirir un sistema de comunicación entre los profesores y los padres de fami-
lia. Para esto, ha obtenido tres presupuestos de distintas empresas especializadas en este tipo de plataformas.
Estos presupuestos han sido analizados en el departamento técnico, los cuales han sido representados con una
función. ¿Cómo podría el asesor recomendar la opción más rentable para la institución?
•
• Reúnete con tres compañeros(as); discutan las posibles ideas para resolver el problema y luego regístrenlas.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
35
0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 200 250 300
0 50 100 150 200 250 300
35
30
25
20
15
10
5
35
30
25
20
15
10
5
35
30
25
20
15
10
5
Presupuesto 1 Presupuesto 2
Presupuesto 3
Precio
por
cada
padre
Precio
por
cada
padre
Número de padres afiliados Número de padres afiliados
(300; 21)
(0; 4)
(300; 16)
Número de padres afiliados
Precio
por
cada
padre

334

a. Entre las rectas que representan los presupuestos 2 y 3, ¿cuál tiene mayor pendiente?
____________________________________________________________________________________
b. Si la diferencia de pago entre 50 y 100 padres de familia es de 3,5 en el presupuesto 2, entonces ¿la diferencia
de pago entre 50 y 100 padres de familia en el presupuesto 3 es mayor o menor?
____________________________________________________________________________________
c. Si la diferencia de pago en un mismo intervalo entre el presupuesto 2 y 3 es mayor, ¿la pendiente del presu-
puesto 2 es mayor o menor?
____________________________________________________________________________________
d. A medida que se afilian más padres, ¿qué presupuesto disminuye el costo que se pagará?
____________________________________________________________________________________
e. Si se afilian menos de 100 padres, ¿qué presupuesto es más barato?
____________________________________________________________________________________
f. Si se afilian entre 150 y 200 padres, ¿qué presupuesto es más conveniente?
____________________________________________________________________________________
g. Si se afilian más de 250 padres, ¿qué presupuesto es más conveniente?
____________________________________________________________________________________
h. Representa los tres presupuestos en el gráfico que se presenta a continuación.
•
• ¿Por qué se deben pagar 4 soles en el presupuesto 3 si no hay padres afiliados?
____________________________________________________________________________________
•
• Discute y compara con tus compañeros de equipo el método de cómo llegaron a determinar cuál de los tres
presupuestos es más barato. Escribe en palabras el resultado al cual pudiste llegar.
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
0 50 100 150 200 250 300
35
30
25
20
15
10
5

335

Finalicemos

Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Propongo afirmaciones sobre el
comportamiento de la función lineal y
lineal afín al variar la pendiente.
Puedo verificar si una función crece o
decrece si conozco una tabla de datos,
su representación gráfica o su regla.
Justifico a partir de ejemplos el
comportamiento de una función lineal
o afín.
Coevaluación
equipos de trabajo.
el problema.
Metacognición
•
• ¿Siempre es posible representar con funciones
lineales o de proporcionalidad inversa los
planes de consumo de telefonía móvil?
•
• ¿Podré utilizar las funciones lineales para
representar otro tipo de relaciones?
Reflexiona
•
• ¿Qué dificultad tuviste al resolver el problema?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Qué presupuesto convendría escoger?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Crees que las promociones ayudan a incrementar
clientes?
________________________________________
________________________________________
1. Consulta a tus vecinos o familiares sobre distintos
planes para consumo de mensajes de texto en
telefonía móvil.
2. Elabora una tabla de datos para cada plan con
distintas situaciones de consumo.
3. En una hoja de papel milimetrado representa
gráficamente los planes y analiza cuál de ellos te
convendría más.
5. Valido la solución del problema.
•
• Reúnete con compañeros(as) de otros equipos y discutan cómo el asesor técnico puede sugerir cuál de los
presupuestos le conviene tomando en cuenta el número de padres. Para esto pueden responder cuál de los
presupuestos es más barato en las siguientes situaciones:
a. La institución con menos de 100 padres afiliados.
________________________________________________________________________________
b. La institución con menos de 250 padres afiliados.
________________________________________________________________________________
c. La institución con más de 150, pero menos de 200 padres afiliados.
________________________________________________________________________________
d. La institución con más de 200, pero menos de 250 padres afiliados.
________________________________________________________________________________

336
Ficha

Taller matemático
Comportamiento de funciones
74
1. A. Paseo en auto (Problemas de traducción simple)
Mónica fue a dar un paseo con su automóvil. Durante el paseo, un gato se cruzó delante del vehículo. Mónica
frenó de golpe y esquivó al gato. Ligeramente afectada, ella decidió volver a casa.
El gráfico siguiente es un registro simplificado de la velocidad del auto durante el paseo.
Pregunta 1
•
• ¿Cuál fue la velocidad máxima del auto durante el paseo?
Pregunta 2
•
• ¿Qué hora era cuando Mónica frenó de golpe para evitar atropellar al gato?
Pregunta 3
•
• ¿El camino de vuelta a casa de Mónica fue más corto que la distancia recorrida desde su casa al lugar
donde ocurrió el incidente con el gato? Da una explicación que fundamente tu respuesta utilizando la
información que proporciona el gráfico.
9:04 9:12
9:08
9:00
0
12
Hora
Paseo en auto de Mónica
Velocidad
(km/h)
24
36
48
60
72

337

B. Analizando gráficos
Observa el gráfico; elabora una tabla y crea una situación problemática con sus datos.
2. Teléfonos inteligentes (Problemas de traducción compleja)
Juan y Guillermo activaron sus teléfonos inteligentes para registrar la cantidad de kilómetros que recorren
diariamente; es así que sus smartphones registran los siguientes datos, respectivamente:
Juan
N.o
día
kilómetros
recorridos
3 36
8 96
Guillermo
N.o
día
kilómetros
recorridos
5 60
7 80
•
• Si cada uno recorrió una misma cantidad cada día respectivamente, ¿cómo podrías averiguar si sus celulares
tenían kilómetros registrados antes de empezar el registro?
a. ¿Cuántos kilómetros recorrió Juan entre los días 3 y 8? ______________________________________
b. ¿Cuántos kilómetros recorrió Guillermo entre los días 5 y 7? __________________________________
c. ¿Quién recorre más kilómetros diarios? __________________________________________________
d. ¿En cuántos días recorre Juan 60 kilómetros? _____________________________________________
e. ¿Cuántos kilómetros recorren diariamente cada uno? ______________________________________
f. ¿Cuántos kilómetros registraría cada celular en el día 20? ____________________________________
1 2 3 5
4
0
80
Tiempo (horas)
Distancia
(km)
160
240
320
400

338

g. Indica en un plano cartesiano los puntos que representan los registros y traza una recta para cada uno. Puedes
asignar al eje x el número de días, y al eje y el total en kilómetros.
•
• Discute y compara con tus compañeros de equipo el método de cómo llegaron a determinar si los celulares
tenían registrados los kilómetros antes de empezar el registro.
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
a. ¿Cuántos kilómetros registraron los celulares de Juan y Guillermo en el día uno?
___________________________________________________________________________________
b. ¿Cuántos kilómetros registra cada celular en el día 200?
___________________________________________________________________________________
c. Si uno de los registros del celular de Guillermo es de 160 kilómetros, ¿a qué día corresponde este registro?
___________________________________________________________________________________
3. Cantidad de mensajes (Situaciones problemáticas realistas)
La tabla muestra la cantidad de mensajes que le llegan a Martina a su celular durante ocho días. A cada día le
corresponde una cantidad determinada de mensajes, de manera que la tabla muestra una función. Representa
en el plano cartesiano los datos de la tabla, considerando como variable independiente el día, y como variable
dependiente, la cantidad de mensajes.
N.° de día 1 2 3 4 5 6 7 8
Cantidad
de mensajes
25 36 41 24 50 55 21 60

339

Finalicemos

Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Analizo el comportamiento de las
funciones lineales afines a través de
pares ordenados.
Justifico a partir de ejemplos el
comportamiento de una función lineal
o lineal afín conjuntamente.
Coevaluación
equipos de trabajo.
el problema.
Metacognición
•
• ¿Siempre es posible representar con
expresiones matemáticas un evento cotidiano?
•
• ¿Sé distinguir las características que presenta
una función lineal?
•
• ¿Qué pasos sigo para diferenciar una función
lineal de una función lineal afín?
Reflexiona
•
• ¿Qué aprendiste con esta estrategia?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué se diferencia una función lineal y una
función lineal afín?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Te ayudó a entender la situación graficar las
funciones?
________________________________________
________________________________________
1. Mide la distancia entre tu casa y tu colegio; registra
en una tabla de datos el recorrido durante una
semana.
2. Averigua la distancia que recorre tu compañero(a)
diariamente de su casa al colegio; registra en una
tabla el recorrido de una semana.
3. Representa con una fórmula cada recorrido.

340
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Crees que el uso de la tecnología es importante para realizar diversos
gráficos?
•
• Grafica una serie de figuras geométricas que podrías elaborar sin difi-
cultad en cualquier programa usado comúnmente en la computadora.
•
• ¿Qué herramienta de tu
computadora te ayuda
a realizar figuras?
•
• ¿Qué conocimientos
deberías tener para poder
manejar cualquier software
de aplicación geométrica?
En el ámbito educativo la tecnología cumple un papel muy importante.
Actualmente vivimos en una era tecnológica y los avances que se vienen
con ella nos obligan a estar cada vez más actualizados y a utilizar estas
innovaciones en nuestro diario vivir educativo.
Tanto docentes como estudiantes tienen al alcance recursos informáticos
innovadores que permiten trabajar y manipular elementos geométricos,
los cuales se convierten en una herramienta importante en el quehacer
educativo.
Tecnología y geometría
75

341

1. Represento figuras y cuerpos
Unos estudiantes de Secundaria, durante sus clases de geometría, llegaron a la conclusión de que el área de la
región amarilla de la figura 1 es equivalente al área de la región amarilla de la figura 2.
Figura 1 Figura 2
¿Cómo lo supieron? Sigue las siguientes instrucciones y podrás comprender:
a. Recorta dos cuadrados de la misma área, por ejemplo de 8 centímetros de base.
b. Representa la figura 1 dibujando triángulos rectángulos cuyos catetos sean de 2 y 6 centímetros,
respectivamente.
c. Con el segundo cuadrado representa la figura 2, donde cada lado del cuadrado sea dividido en 2 y 6
centímetros, respectivamente.
d. Recorta los 4 triángulos de la figura 1.
e. Recorta los 4 triángulos de la figura 2.
•
• Compara los triángulos de la figura 1 con respecto a los triángulos de la figura 2. ¿Cómo son los triángulos?
___________________________________________________________________________________
•
• Si a cada uno de los cuadrados les quitas 4 triángulos, ¿cómo son las áreas que quedan?
___________________________________________________________________________________
2. Reproduzco figuras a partir de modelos
•
• Pega en el siguiente espacio los triángulos obtenidos y demuestra que tienen las mismas áreas.
Resolvamos: El dibujo y la construcción

342

•
• Para comprobar, calcula las áreas involucradas; llena la siguiente tabla.
–
– ¿Cuánto es el área de los 4 triángulos de la figura 1?______________________________________
–
– ¿Cuánto es el área que queda en la figura 1 al restar los 4 triángulos? ________________________
–
– ¿Cuánto es el área de los 4 triángulos de la figura 2?______________________________________
–
– ¿Cuánto es el área que queda en la figura 2 al restar los 4 triángulos? __________________________
3. Construyo propiedades y conceptos
•
• Traza un cuadrado de dos maneras diferentes siguiendo estos pasos:
Figura Áreas
Cuadrado de base 8 cm
Triángulo de catetos 2 cm y 6 cm
Cuadrado mediano figura 1
Cuadrado mediano figura 2
Cuadrado pequeño figura 2
Pasos Dibujo paso a paso
Traza un segmento AB de 4 cm de longitud.
4
3
2
1
0
A B
Con la ayuda de una escuadra, traza una recta
perpendicular por el extremo A.
A B
Con el centro en el extremo A y radio igual al
segmento AB, traza un arco de circunferencia que
corta a la perpendicular en D.
B
D
A
Con la ayuda de una escuadra, traza una recta
perpendicular por el extremo B.
A B
D
Con el centro en el extremo B y radio igual al
segmento BA, traza un arco de circunferencia que
corta a la perpendicular en C y une
los puntos C y D.
B
D C
A

343

Finalicemos

Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Trazo perpendiculares con regla
y compás.
Trazo paralelas con regla y compás.
Trazo triángulos con regla y compás.
Trazo cuadrados con regla y compás.
Coevaluación
Logramos comunicarnos entre equipos
de trabajo.
el problema.
Metacognición
•
• ¿Qué pasos sigo para dibujar un cuadrado
empleando regla y transportador?
•
• ¿En qué otros casos aplicaría estos nuevos
Reflexiona
•
• ¿Cuál de los trazos te pareció más comprensible?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Cuáles fueron las dificultades que encontraste?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
1. Confecciona un tangram como el siguiente.
2. Forma un triángulo y un rectángulo con todas las
piezas.
3. Traza con regla y compás un rectángulo y un
triángulo de las dimensiones que obtuviste con el
tangram.
Pasos Dibujo paso a paso
Traza la circunferencia y un diámetro horizontal.
Cuadrado
R = 35 mm
A C
D
B
0

344
Ficha
Iniciemos
•
• ¿Qué unidades de longitud usarías para medir la región superficial de
la pantalla de un celular?
•
• En la imagen de la situación, ¿qué tipos de ángulos se forman en las
esquinas de la pantalla del teléfono celular?
•
• ¿Tu celular presenta este
tipo de opciones de
personalización?
•
• ¿Qué figura geométrica
encuentras con mayor
frecuencia en el diseño de
un teléfono celular?
Muchas de las distintas funciones presentes en los celulares permiten
personalizarlos según nuestros propios gustos, ya sea por descargas que
cada usuario quiera hacer, o por temas predeterminados que encontramos
en los mismos aparatos.
De este modo, muchos teléfonos móviles presentan temas, fondos de
pantalla y protectores de pantalla, en los cuales encontramos formas
y figuras geométricas muy atractivas, las que pueden ser elegidas o
descartadas según las preferencias del mismo usuario.
Fondosdepantallaspersonalizados
76

345

•
• Observen los polígonos regulares y contesten las siguientes preguntas:
a. Supón que cada polígono regular será empleado para componer una imagen que será utilizada como fondo
de pantalla en un celular. Para esta composición consideraremos elegir un solo tipo de polígono. ¿Cuál
elegirías?
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
b. ¿Qué polígonos podrías combinar para realizar una composición?
____________________________________________________________________________________
c. ¿Cómo deberían ser los polígonos regulares para hacer otras combinaciones?
____________________________________________________________________________________
•
• Recorten los polígonos de las páginas 371 y 373; luego, junto con otros compañeros, pongan los polígonos
sobre la mesa y unan los lados de los distintos polígonos y contesten.
a. ¿Es posible llenar la pantalla con los triángulos? ___________________
b. ¿Es posible llenar la pantalla con los cuadrados? ___________________
c. ¿Es posible llenar la pantalla con los pentágonos? ___________________
d. ¿Es posible llenar la pantalla con los hexágonos? ___________________
e. ¿Es posible llenar la pantalla con los heptágonos? ___________________
f. ¿Es posible llenar la pantalla con los octógonos? ___________________
g. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de los polígonos? __________________________
h. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de los polígonos que se pueden usar para llenar la pantalla? _____
•
• Observa los siguientes diseños elaborados y decóralos.

346
• Del mismo modo, los criterios para elaborar un diseño para un fondo de pantalla de este tipo, puede
aplicarse si quisiéramos recubrir un piso con baldosas.
a. Supón que cada polígono regular es una baldosa y se desea embaldosar un piso con un solo tipo de bal-
dosa. ¿Qué baldosas escogerías?
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
b. ¿Qué polígonos podrías combinar para embaldosar el piso?
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
c. ¿Cómo deberían ser los polígonos regulares para hacer otras combinaciones?
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
• Mira el siguiente recubrimiento; decóralo e inventa otro.

347

Finalicemos

Autoevaluación
Debo
esforzarme
Lo
estoy
logrando
Lo
logré
Empleo las propiedades de los lados
y ángulos de polígonos regulares
Justifico la pertenencia o no de una
figura geométrica dada a una clase
determinada de paralelogramos
y triángulos.
Coevaluación
Construimos el cartel para el curso.
Participamos todos para elaborar
el cartel.
Metacognición
•
• ¿Identifico con facilidad los tipos de polígonos
presentes en distintas composiciones?
•
• ¿Sé diferenciar, tanto visual como
conceptualmente, un polígono regular de uno
irregular?
•
• ¿Soy capaz de proponer algún diseño de
recubrimiento?
Reflexiona
•
• ¿Qué usos puedes dar a los polígonos regulares?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿Se puede decir que una circunferencia es un
polígono regular?
________________________________________
________________________________________
•
• ¿En qué se diferencian los polígonos regulares
y los triángulos?
________________________________________
________________________________________
1. Con regla y compás realiza un recubrimiento de
cuadrados y decóralo.
2. Con regla y compás realiza un recubrimiento de
hexágonos y decóralo.
3. Inventa un recubrimiento y decóralo.
4. ¿Qué características tienen los recubrimientos?
•
• Reúnete con compañeros de otros equipos y elaboren un cartel para el aula en el que se expongan las carac-
terísticas y elementos de los polígonos regulares.
Propiedades de los polígonos regulares
•
• Escribe otras propiedades de los polígonos.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

348
Evaluación
5. En las siguientes tablas de datos, escribe si los datos son de una función lineal, una función lineal afín o una fun-
ción de proporcionalidad inversa.
Resuelve las siguientes tareas utilizando la información
previa.
1. Completa la siguiente tabla.
2. ¿Cómo pueden saber Juan y sus amigos cuántos
miembros hay en su página de la infancia al cabo
de 10 días?
________________________________________
________________________________________
3. ¿Cuántos amigos habrá en la página en el día 10?
________________________________________
Día
Númerodeamigosingresados
porcadaunodelos4miembros
Miembros
nuevos
Miembros
en la
página
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
10 11
4. Escribe las expresiones algebraicas que repre-
sentan la situación de los amigos en Facebook:
f(x) = 20x – 3; o f(x) = 30/x; debajo de cada gráfica
según corresponda.
Redes sociales
Uno de los usos que da Juan a su celular es para encontrar a sus compañeros de la infancia a través de las redes
sociales. Juan y tres amigos crearon con este propósito una página en Facebook. El primer día cada uno de
ellos ingresó a dos nuevos amigos; el segundo hicieron lo mismo con tres, y el tercero con cuatro. Cada día,
cada uno puede ingresar a un amigo más que el día anterior.
x f(x)
10 30
15 45
12 36
x f(x)
12 20
15 23
20 28
x f(x)
15 20
10 30
30 10
_________________________ _________________________ _________________________
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-1
0 5 10 15 20 25
15
10
5
Y
X
Y
X

349
Metacognición
1. ¿Cómo reconozco las características de las funciones estudiadas? ________________________________
2. ¿Identifico casos de situaciones contextualizadas que se pueden representar con funciones? __________
____________________________________________________________________________________
Autoevaluación
Expreso mediante tablas una situación matemática.
Reconozco las diferencias de la función lineal, función lineal afín,
función de proporcionalidad y función constante.
Reconozco las propiedades de los polígonos regulares.
Construyo con regla y compás polígonos regulares.
Reconozco la regla de una función lineal.
Escribo la expresión algebraica que corresponda a su
respectiva gráfica.
Coevaluación
Respetamos los razonamientos diferentes de los nuestros.
6. Con las medidas dadas de los catetos, 3 cm y 4 cm,
respectivamente, construye con regla y compás un
triángulo rectángulo.
¿Cuánto mide el ángulo interior de un decágono?
________________________________________
¿Cuánto mide el ángulo central de un decágono?
________________________________________
Producto
7. Elabora un mosaico de figuras geométricas a manera de vitral para que lo puedas enmarcar; coloréalo y expón
en clase.

Bibliografía
350
Bibliografía
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352
352
238-240_CTBIB COM5.indd 240 8/27/15 7:35 PM
El 22 de julio de 2002, los representan-
tes de las organizaciones políticas, re-
ligiosas, del Gobierno y de la sociedad
todos, para conseguir el bienestar y de-
sarrollo del país. Este compromiso es el
Acuerdo Nacional.
El acuerdo persigue cuatro objetivos fun-
damentales. Para alcanzarlos, todos los
peruanos de buena voluntad tenemos,
desde el lugar que ocupemos o el rol
que desempeñemos, el deber y la res-
ponsabilidad de decidir, ejecutar, vigilar
o defender los compromisos asumidos.
Estos son tan importantes que serán
respetados como políticas permanentes
para el futuro.
Por esta razón, como niños, niñas, ado-
lescentes o adultos, ya sea como estu-
diantes o trabajadores, debemos promo-
ver y fortalecer acciones que garanticen
el cumplimiento de esos cuatro objetivos
que son los siguientes:
1. Democracia y Estado de Derecho
La justicia, la paz y el desarrollo que ne-
cesitamos los peruanos sólo se pueden
dar si conseguimos una verdadera de-
mocracia. El compromiso del Acuerdo
Nacional es garantizar una sociedad en
la que los derechos son respetados y
los ciudadanos viven seguros y expre-
san con libertad sus opiniones a partir
del diálogo abierto y enriquecedor; deci-
diendo lo mejor para el país.
2. Equidad y Justicia Social
Para poder construir nuestra democra-
cia, es necesario que cada una de las
personas que conformamos esta socie-
dad, nos sintamos parte de ella. Con
-
so a las oportunidades económicas, so-
ciales, culturales y políticas. Todos los
peruanos tenemos derecho a un empleo
digno, a una educación de calidad, a una
salud integral, a un lugar para vivir. Así,
alcanzaremos el desarrollo pleno.
3. Competitividad del País
se compromete a fomentar el espíritu
de competitividad en las empresas, es
decir, mejorar la calidad de los produc-
tos y servicios, asegurar el acceso a la
formalización de las pequeñas empre-
sas y sumar esfuerzos para fomentar la
colocación de nuestros productos en los
mercados internacionales.
4. Estado Transparente y
Descentralizado
Es de vital importancia que el Estado
cumpla con sus obligaciones de mane-
-
se al servicio de todos los peruanos. El
Acuerdo se compromete a modernizar
la administración pública, desarrollar
instrumentos que eliminen la corrupción
o el uso indebido del poder. Asimismo,
descentralizar el poder y la economía
para asegurar que el Estado sirva a to-
dos los peruanos sin excepción.
Mediante el Acuerdo Nacional nos com-
prometemos a desarrollar maneras de
controlar el cumplimiento de estas po-
líticas de Estado, a brindar apoyo y di-
fundir constantemente sus acciones a la
sociedad en general.
EL ACUERDO NACIONAL

353 Desglosable
Desglosable
Sección
1
Tarjetas
1. Un poliedro
está limitado
por regiones
poligonales
denominadas…
a. Aristas
b. Caras
c. Lados
3. Los lados de la cara
de un poliedro se
llaman…
a. Aristas
b. Bases
c. Vértices
4. En una arista de un
poliedro, ¿cuántas
caras pueden
intersecarse?
a. 2
b. 3
c. Infinitas
5. ¿Qué nombre recibe
el poliedro que
tiene 4 caras?
a. Cuatriedro
b. Cuadrilátero
c. Tetraedro
12. Si un poliedro
convexo tiene 10
caras y 5 vértices,
¿cuántas aristas
tendrá?
a. 11
b. 12
c. 13
14. Si un poliedro
convexo tiene 8
caras y 13 aristas,
¿cuántos vértices
tendrá?
a. 7
b. 8
c. 9
15. Las bases de un
prisma son…
a. Paralelas
b. Congruentes
c. Ambas son
correctas
17. ¿Cuántas caras
laterales tiene un
prisma triangular?
a. 3
b. 4
c. 5
el poliedro que
tiene 6 caras?
a. Hexágono
b. Hexaedro
c. Pentaedro
el poliedro que
tiene 8 caras?
a. Heptaedro
b. Octágono
c. Octaedro
10. ¿Cuántas caras tiene
un dodecaedro?
a. 2
b. 12
c. 20
un icosaedro?
a. 10
b. 15
c. 20
en total un prisma
octagonal?
a. 8
b. 9
c. 10
20. ¿Cuántas caras
tiene una pirámide
triangular?
a. 3
b. 4
c. 5
21. ¿Cuántos vértices
tiene una pirámide
cuadrangular?
a. 4
b. 5
c. 6
22. ¿Cuántas aristas
tiene una pirámide
triangular?
a. 3
b. 6
c. 9
24. ¿Cuál es el volumen
de una pirámide
que tiene una base
de 4 m2 y una altura
de 6 m?
a. 8 m3
b. 10 m3
c. 12 m3
de un prisma que
tiene una base de
10 cm2 y una altura
de 6 cm?
a. 20 cm3
b. 40 cm3
c. 60 cm3
de una pirámide de
altura 6 m y cuya
base cuadrada tiene
3 m de lado?
a. 6 m3
b. 12 m3
c. 18 m3
28. Si los siguientes
poliedros son
regulares y sus
aristas miden 2 m,
¿cuál tendrá un
mayor volumen?
a. Un tetraedro
b. Un hexaedro
c. Un octaedro
LICIT_CT_PEmateDesglosables.indd 353 5/23/16 6:54 PM

4
5 14 15
12
7 11
1
3
8 10 Adelanta 2
Adelanta 4
Retrocede 1
Retrocede 2
355 Desglosable 2
PARTIDA
El juego de la oca

28
27
22
17 18
25
24
20
21
Tarjetas
LLEGADA
357 Desglosable 3

359 Desglosable 4
Recorta y arma la figura.

1
__
3
50
%
1
__
6
75
%
25
%
2
__
7
80
%
3
__
7
2
__
3
2
__
6
62,5
%
75
%
40
%
4
__
7
1
__
7
10 %
50
%
6
__
7
2
__
3
5
__
6
100
%
50
%
12,5
%
60
%
30
%
37,5
%
70
%
50
%
20
%
50
%
361 Desglosable 5
Recorta las fichas y juega dominó.

363 Desglosable 6
Tangram.

7
Auto nuevo
S/ 48 750
Vivienda
S/ 160 000
Libro
S/ 32,50
Espectáculo
público cultural
S/ 20
Pantalón
jean
S/ 150
Vestido
de fiesta
S/ 299
Metro cuadrado
de terreno
S/ 4882
Kilogramo
de ajo
S/ 4,68
Televisor LED
S/ 1700
Transporte
público
S/ 1,20
Jornada diaria
de un operario
en la
construcción
S/ 60
Refrigeradora
S/ 1500
365 Desglosable
Recorta y arma la figura.

2xy
4xy 22,5x + 16y + 31,5xy
26,5x + 17y + 13,5xy
20x + 12xy
10x + 5xy
28x + 12y + 12xy
26x + 12y + 12xy
50,5xy
48,5xy
14x + 9,5y + 15xy
14x + 12y + 15xy
10x
3y
3y
6xy
6x
2xy
3xy
6xy
y
2x
2x
2,5y
xy
4,5xy
3xy
4xy
2xy
2xy
5xy
5xy
3,5xy
3,5xy
2,5y
xy
xy
xy
3x
6x
3y
y
3x
2x
5x
4x
2x
2y
2xy
2,5x
3,5xy
x 2y
3y
367 Desglosable 8
Recorta y encuentra a su pareja.

POLIEDROS ARISTAS
CARAS VÉRTICES REGULARES
ÁREA TOTAL
DE LA PIRÁMIDE
CONO
VOLUMEN
DE LA PIRÁMIDE
VÉRTICE
ALTURA
DE LA PIRÁMIDE
HEXAEDRO
REGULAR
DODECAEDRO
REGULAR
OCTAEDRO
REGULAR
ICOSAEDRO
REGULAR
ÁREA TOTAL
DE UN PRISMA
PRISMA
IRREGULARES PIRÁMIDE
VOLUMEN DEL
PRISMA
CÚSPIDE
RADIO
DE LA BASE
ALTURA
DEL CONO
GENERATRIZ
TETRAEDRO
REGULAR
APOTEMA PRISMA RECTO
BASE
PRISMA
OBLICUO
TEOREMA
DE EULER
369 Desglosable 9
Recorta y elabora un organizador visual.

371 Desglosable 10
Recorta los polígonos regulares.

373 Desglosable 11
Recorta los polígonos regulares.
Aporta, en proteína,
3
20
de cada ración.
Ideal para personas
con diabetes.
1
16
de
peruanos padecen de
esta enfermedad.
Es equivalente a los
13
6
del arroz blanco, en
contenido proteico.
Aporta, en grasas,
7
50
de cada ración.
Una porción contiene
los
12
25
de nuestros
requerimientos diarios
de magnesio.
Se cocina en
4
7
del
tiempo necesario para
cocinar arroz.
Aporta, en fibra,
3
20
de
cada ración
Controla los niveles
de colesterol.
4
7
de las
personas que acuden
al médico sufren de
colesterol.
Según la FAO, en 2014,
Perú exportó
5
19
del
total que produjo.
Aporta, en
carbohidratos, 7
10
de
cada ración.
Es equivalente a los
13
7
del arroz integral, en
contenido proteico.
Perú produce
16
11
de los
que produce Bolivia.

375 Desglosable 12
Recorta y arma la pirámide pentagonal.

377 Desglosable 13
Recorta y arma la pirámide cuadrangular.

379 Desglosable 14
Recorta y arma el cubo.

381 Desglosable 15
Recorta y arma el prisma triangular.

383 Desglosable 16
Recorta y arma el prisma pentagonal.

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