Este documento presenta conceptos preliminares sobre amplificadores operacionales. Explica la ley de Ohm y define cuadripolos elementales como convertidores o amplificadores de tensión, corriente, transresistencia o transconductancia. También discute los efectos de carga que ocurren cuando se mide la señal de salida de un circuito y cómo esto debe considerarse para analizar circuitos con realimentación.

1. Diseño con Amplificadores Operacionales 1
Capítulo I.
Conceptos preliminares

2. 2

3. Diseño con Amplificadores Operacionales 3
Capítulo I: Conceptos Preliminares
I.1- Ley de Ohm
Suponemos al lector familiarizado con los conceptos de diferencia de
potencial o tensión eléctrica entre dos puntos de un circuito (voltios, V) y la
corriente eléctrica que produce (amperios, A) cuando entre esos dos puntos
existe algún medio conductor como puede ser una resistencia eléctrica. La
Ley de Ohm establece que la diferencia de potencial V entre los extremos
de una resistencia eléctrica R y la corriente I que circula de un extremo a
otro a través de esa resistencia, son directamente proporcionales. Una de las
formas que adopta la Ley de Ohm es:
V
R= (Ω ≡ V /A) (1)
I
forma ésta que permite definir la unidad de resistencia eléctrica, el Ohmio
(Ω) como el valor de aquella resistencia que cuando es atravesada por una
corriente de 1 A, presenta un voltaje entre sus extremos de exactamente 1
voltio. Como el tiempo de relajación dieléctrica [1] del material de la
resistencia (τd) suele ser inferior al picosegundo, podemos suponer que a
efectos prácticos, V e I aparecen simultáneamente en el circuito, siendo su
cociente el valor R. Una vez establecido lo anterior, no hay inconveniente
en suponer que uno es la causa de que aparezca el otro y esta forma de
pensar nos permite considerar unos cuadripolos elementales con una señal
de excitación a su entrada que hace aparecer instantáneamente una señal
respuesta a su salida.
I.2- Cuadripolos elementales
La forma de pensar que supone que la entrada se excita en corriente
(generador I) y que a consecuencia de ello se genera la tensión V entre los
extremos de la resistencia R (señal de salida), nos permite obtener la señal
respuesta a la salida mediante la Ley de Ohm, como el producto de una
función de transferencia del cuadripolo y de la señal excitación. Así
tenemos la expresión:
V (respuesta) = R (función de transferencia) × I (excitación) (2)
que corresponde a la visión circuital de un cuadripolo amplificador que se
presenta en la Figura 1.

4. 4
Figura 1
Nótese que en la Figura 1 atacamos el cuadripolo con el generador de
señales de corriente I, y medimos la salida con un osciloscopio o voltímetro
que se supone que no afecta a lo que debe medir (tensión V en este caso).
Ello significa que el medidor empleado para muestrear la tensión que haya
entre los terminales de salida, añadirá su propia resistencia RM en paralelo
con R (notación: RM||R), pero que tal efecto será despreciable, o en otras
palabras: que RM||R será esencialmente igual a R. Como la combinación de
RM y R en paralelo es:
R × RM
R RM = RM R = (3)
R + RM
diremos que el medidor o muestreador de tensión empleado a la salida casi
no perturba a la medida o al circuito sobre el que mide, si su resistencia RM
es mucho mayor que R, por ejemplo: RM=100R (condición RM>>R). En
nuestro lenguaje electrónico diríamos que ese medidor es de alta resistencia
de entrada y por tanto su efecto de carga sobre el circuito de salida es
despreciable. Nótese que muestrear bien la tensión de salida supone medir
la señal de salida V con los terminales de salida del cuadripolo en circuito
abierto (“al aire” o sin nada más). Esto exigirá que RM ∞ o que RM sea
incluída en el propio cuadripolo en paralelo con su salida. Este aspecto de
incluir los efectos de carga del muestreador de la señal de salida resultará
esencial a la hora de analizar circuitos con realimentación.
En cuanto a la utilidad del cuadripolo de la Figura 1 diremos que, si
tomamos un valor alto de resistencia (R=1 MΩ por ejemplo), podemos ver
dicho cuadripolo como un convertidor-amplificador I V de alta ganancia,
ya que una débil señal de entrada de algunos microamperios producirá una
señal de salida de algunos voltios. Esta conversión-amplificación mediante
resistencias resulta esencial en Electrónica para diseñar diversos tipos de
amplificadores. Respecto a éstos, hay cuatro tipos básicos según su función

5. Diseño con Amplificadores Operacionales 5
de transferencia. En el caso de la Figura 1 la señal de salida es una tensión
y la señal de entrada es una corriente, por lo que la función de transferencia
salida/entrada tiene dimensiones de ohmios: V/A=Ω. Por ello diremos que
es un amplificador cuya ganancia GZ (o función de transferencia) es una
transresistencia. De forma análoga, un amplificador de transconductancia
tendrá una señal de entrada en tensión y la señal de salida que nos
interesará será una señal de corriente. Su ganancia GY tendrá dimensiones
inversas de ohmios: A/V=Ω-1, es decir mhos o Siemens, que es la unidad de
conductancia. Finalmente hay dos tipos más de amplificadores cuyas
ganancias son adimensionales: (V/V) o (A/A). Corresponden a ganancias
de tensión (GV) o de corriente (GI) y en ellos las señales de entrada y de
salida consideradas son del mismo tipo. Todo ello queda recogido en la
Tabla I y sólo añadiremos que, aunque otras ganancias son posibles (por
ejemplo ganancia en potencia) son fáciles de obtener a partir de las cuatro
anteriores y de la Ley de Ohm.
Tipo de ganancia Señal de entrada Señal de salida Símbolo y dimens.
De tensión Tensión (V) Tensión (V) GV (V/V)
Transresistencia Corriente (A) Tensión (V) GZ (V/A)
Transconductancia Tensión (V) Corriente (A) GY (A/V)
De corriente Corriente (A) Corriente (A) GI (A/A)
Tabla I
Volviendo a la Ley de Ohm, la forma de pensar que supone que la
entrada se excita en tensión (generador V) y que a consecuencia de ello
circula una corriente I a través de la resistencia R (señal de salida), nos
permite obtener la señal respuesta a la salida mediante la Ley de Ohm,
como el producto de la función de transferencia de otro cuadripolo y de la
señal excitación. Así tenemos la expresión:
I (respuesta) = 1/R (función de transferencia) × V (excitación) (4)
que corresponde a la visión circuital de un cuadripolo amplificador o
convertidor V I que se presenta en la Figura 2.
De forma dual al caso anterior atacamos la entrada del cuadripolo
con el generador de señales de tensión V y medimos o muestreamos la
salida con un medidor (amperímetro o sonda de corriente) que se supone
que no afecta a lo que debe medir (corriente I en este caso). Ello significa
que el medidor empleado para muestrear la corriente que sale y entra por
los terminales de salida (sale por uno y entra por el otro), añadirá su propia
resistencia RM en serie con R (notación: RM+R), pero que tal efecto será
despreciable, o en otras palabras: que RM+R será esencialmente igual a R.

6. 6
Como la combinación de RM y R en serie es simplemente su suma, diremos
que el medidor o muestreador de corriente empleado a la salida casi no
perturba a la medida o al circuito sobre el que mide, si su resistencia RM es
mucho menor que R, por ejemplo: RM=R/100 (condición RM<<R). En
nuestro lenguaje electrónico diremos que ese medidor es de baja resistencia
de entrada y por tanto su efecto de carga sobre el circuito de salida es
despreciable.
Figura 2
Obsérvese que muestrear bien la corriente de salida del cuadripolo
requiere medir la corriente de salida I con un buen cortocircuito en los
terminales de salida. Esto exigirá que RM 0, o que RM sea incluída en el
propio cuadripolo en serie con su salida. Al igual que dijimos con los
efectos de carga en paralelo al muestrear tensión de salida, el incluir los
efectos de carga en serie del muestreador de la corriente de salida resultará
esencial a la hora de analizar circuitos con realimentación.
I.3- Efectos de carga entre circuitos
Los efectos de carga que hemos comentado aparecen siempre en
Electrónica y parte de la formación de un buen ingeniero consiste en
conocerlos, saberlos evaluar e incluso modificarlos a su voluntad mediante
técnicas electrónicas tan poderosas como la Realimentación Negativa de
circuitos. Con vistas a esta técnica sobre todo resulta esencial entender qué
significa muestrear la señal de salida, sea una tensión o sea una corriente, y
saber cómo aparecen y a qué se deben los efectos de carga que tal muestreo
inevitablemente conlleva.
Para que sirva de ejemplo de efecto de carga y por la enorme utilidad
que presentará en capítulos posteriores vamos a pensar más detalladamente
sobre el circuito de la Figura 2 y la imposibilidad de tener un amperímetro
ideal (RM→0) que muestree perfectamente la corriente de salida I en dicha
figura. De hecho, es casi una práctica habitual en Electrónica el muestreo

7. Diseño con Amplificadores Operacionales 7
de corrientes mediante una pequeña resistencia sensora RS sobre la que se
mide la caída de tensión VS para obtener el valor de la corriente que se
desea conocer como: I=VS/RS. Si RS es pequeña para perturbar poco el
muestreo de la corriente, la tensión recogida sobre RS será pequeña, pero en
Electrónica resulta bastante sencillo obtener una réplica de esa pequeña
tensión que sea mil veces mayor por ejemplo, para que sea leída por un por
voltímetro cómodamente.
Supongamos que para medir la corriente de salida I del cuadripolo de
la Figura 2, conectamos una pequeña resistencia RS en vez del cortocircuito
teórico de la Figura 2, como aparece en la Figura 3.
Figura 3
La corriente que circula ahora por R debido a la excitación V ya no
es exactamente I, sino un poco menor (I’) debido al efecto de carga de RS
en serie con R. En efecto, la nueva corriente I’ es:
V
I '= (5)
R + RS
que como vemos, difiere de la que venía dada por la ecuación (4), que es la
que circularía si nuestro muestreador de corriente fuera ideal (RS→0).
La diferencia entre I e I’ será pequeña si ocurre que: Rs<<R. Por
ejemplo, si R=1KΩ y RS=1Ω, el error sólo será del orden del 1 por mil o
del 0,1 %. Entonces, midiendo la pequeña tensión que aparece sobre RS
(VS) y aplicando la ley de Ohm (I’=VS/RS) obtendremos la corriente I’, que
es una muy buena aproximación de I en este caso (error debido a efectos de
carga de sólo el 0,1 %). Con valores numéricos, si V fuese de 1 voltio, la
corriente I para una R=1KΩ sería de 1mA en la Figura 2. Sin embargo, con
la resistencia sensora de corriente RS de la Figura 3, la corriente I’ será de
1V/1001Ω=0,999 mA y esta corriente, al atravesar RS generará en ella una
pequeña caída de tensión V’=RS×I’=0,999 mV, que muestreada o leída de

8. 8
forma adecuada nos permite medir I con una buena aproximación, de una
parte por mil en este caso.
Los efectos de carga no sólo aparecen en serie como nos ha ocurrido
al insertar RS para muestrear (o “sensar”) la corriente I. También aparecen
en paralelo como ya anticipamos al hablar de la Figura 1. De hecho, para
medir la corriente I de la Figura 2 tuvimos que intercalar RS, que introdujo
un efecto de carga serie haciendo que la corriente pasara a ser I’ (Figura 3).
Y ahora, para muestrear la pequeña tensión VS, conectaremos en paralelo
con ella el correspondiente voltímetro, cuya resistencia interna RM se
combinará en paralelo con RS haciendo que la corriente pase a ser I’’ en
lugar de I’. No obstante, dado el bajo valor de RS frente al de un voltímetro
normal, su combinación paralelo será esencialmente igual a RS, por lo que
I’’ e I’ sólo diferirán en unas pocas partes por millón. La nueva corriente I’’
vendrá dada por la siguiente expresión:
V
I ''= (6)
R + RS RM
expresión que será de utilidad en el siguiente apartado.
I.4- Divisores de tensión
Lo visto en el apartado anterior nos permite dibujar el circuito de la
Figura 4, denominado “divisor de tensión”, de gran utilidad en Electrónica:
Figura 4
Como vamos a ver enseguida, en este circuito la tensión de salida VO
es una fracción de la tensión de entrada VI. Tal fracción, menor que la
unidad, viene determinada por R1 y R2 con sólo respetar una condición: que
la corriente de salida sea despreciable frente a la corriente I que circula por
las resistencias R1 y R2. A veces, lo que se conecta a la salida posee cierta

9. Diseño con Amplificadores Operacionales 9
resistencia que hace que la corriente de salida no sea despreciable. En este
caso hay que hacer que tal resistencia entre a formar parte del divisor de
tensión, poniéndola en paralelo con R2 lo que hace que cumpla la condición
mencionada. Si no hay RM (RM ∞) la tensión de salida se obtiene a partir
de la expresión (5) y de la Ley de Ohm. Si se incluye una resistencia RM de
la etapa siguiente en paralelo con R2, habrá que usar la expresión (6) en
lugar de la (5), pero ello no supone mayor inconveniente. Así tenemos:
R2
Vo = Vi × (7)
R1 + R2
sin RM y considerando el efecto de carga de la etapa siguiente (RM):
R2 RM
Vo = Vi × (8)
R1 + R2 RM
Las ecuaciones (7) y (8) pueden verse como la relación entre señales
respuesta y excitación (ambas en tensión) del cuadripolo de la Figura 4. La
función de transferencia VO/VI de este cuadripolo es adimensional (V/V) y
se puede leer como el cociente entre la resistencia sobre la que se muestrea
la tensión de salida y la suma de resistencias sobre las que se aplica la
tensión de entrada. De ahí el nombre de “divisor” de tensión (de entrada)
aplicado a la estructura. Con estos componentes resistivos, esta función de
transferencia está comprendida entre cero y uno según sea la relación entre
R1 y R2. Si R1<<R2, la función de transferencia tiende a la unidad y esta
condición suele buscarse a menudo en Electrónica para no perder ganancia
al acoplar etapas amplificadoras en cascada (una detrás de otra). En otros
casos se utilizan ventajosamente sus propiedades divisoras de tensión para
obtener muestras de tensión manejables a partir de otras mucho mayores.
Tal es el caso de una fuente de Muy Alta Tensión (MAT) donde haya que
mantener bajo control una tensión de salida de 10KV (10.000 voltios) por
ejemplo. En este caso podemos utilizar un divisor de relación 10.000/1
(R1=100 MΩ y R2=10 KΩ) para obtener una muestra de la tensión de salida
de tan sólo 1 voltio. Esta muestra (que es proporcional a la salida MAT) se
lleva a un comparador que posea una referencia interna de 1 voltio y actúe
de forma adecuada, según el diagrama de la Figura 5. Esta es una situación
razonable debida a un muestreo de tensión de la salida y lo que resultaría
extraño sería ver a un comparador manejando tensiones de miles de voltios
tanto en su tensión de referencia como en su sensor de tensión de salida.

10. 10
Figura 5
I.5- Circuitos equivalentes Thèvenin y Norton
Una vez presentados los efectos de carga de unos circuitos sobre
otros conviene recordar la forma en que un circuito electrónico “es visto”
por otro circuito electrónico que se conecte a dos de sus terminales. Ello
nos llevará a los denominados circuitos equivalentes, que pueden ser en
modo serie (equivalente de Thèvenin) o en modo paralelo (equivalente de
Norton). Aunque sea redundante decirlo, estos circuitos equivalentes son
funcionalmente iguales (equivalentes) al circuito original y su empleo de
forma sistemática puede ayudarnos a simplificar muchos análisis y
cálculos, por lo que no hay que dudar en usarlos tantas veces como sea
necesario. Hay que señalar que por ahora nos referimos a equivalentes para
circuitos electrónicos con dos terminales (dipolos) en lugar de cuadripolos
(con dos terminales de entrada y otros dos de salida). El manejo de
cuadripolos y sus equivalentes adecuados se verá más adelante. Como
punto de partida tomaremos del circuito de la Figura 1, encerrando en una
“caja negra” tanto el generador de corriente de entrada I como la resistencia
R y dejando fuera de esa caja negra los dos terminales de salida. Tenemos
por tanto lo que se muestra en la Figura 6.

11. Diseño con Amplificadores Operacionales 11
Figura 6
Pensemos en un circuito o equipo electrónico conectado entre los
terminales A y B que pretende “saber” qué hay dentro de esa “caja negra”,
cuyo interior no puede “ver”. Para ello sólo puede llevar a cabo acciones
electrónicas tendentes a mostrar qué hay dentro y una de esas acciones es
medir la tensión que existe entre los terminales A y B “en vacío”, es decir:
sin que el voltímetro muestreador o medidor de esa tensión absorba
corriente de los terminales A y B (sin que introduzca efectos de carga). Si
hace eso, encontrará una tensión (Ley de Ohm) de valor: VVACÍO =I×R que
es la máxima tensión que puede encontrar de forma pasiva (sin inyectar
corriente por ejemplo). Otra operación electrónica útil que puede hacer es
ver qué corriente entrega el circuito en las mejores condiciones para ello, es
decir: sin que el amperímetro muestreador o medidor de esa corriente
presente resistencia alguna al paso de la misma (sin que introduzca efectos
de carga serie). Si hace esto, encontrará una corriente de valor: ICORTO =I,
que es la máxima corriente que el circuito de la figura 6 puede entregar
cuando toda la corriente I elija el camino fácil de salida con OΩ en vez de
circular a través de R, que requiere cierta tensión entre A y B.
Figura 7

12. 12
Con estos dos datos, el equipo conectado a los terminales A y B
puede proponer que el circuito que hay dentro de la “caja negra” es el de la
Figura 6: dos elementos en paralelo (generador de corriente y resistencia) o
puede proponer en el circuito serie de la Figura 7, que recuerda mucho al
circuito de la Figura 2 y que se comporta exactamente igual que el de la
Figura 6 de cara al exterior por sus terminales A y B.
En efecto, la tensión “en vacío” del circuito de la Figura 7 es I×R,
porque en R no cae tensión al no haber corriente de salida (terminales A y
B al aire). Del mismo modo, la máxima corriente de salida del circuito de
la figura 7 (terminales A y B cortocircuitados) es: ICORTO=VVACIO/R=I; que
es la misma que daba el circuito de la Figura 6. Por lo tanto, no es posible
distinguir uno de otro mediante medidas electrónicas realizadas en los
terminales A y B, por lo que son totalmente equivalentes entre sí, siendo el
de la Figura 6 el equivalente Norton o paralelo y el de la Figura 7 el
equivalente Thèvenin o serie.
Para mostrar cómo se obtienen y manejan estos equivalentes, nótese
que ambos poseen el mismo valor de R que es el cociente: VVACIO/ICORTO,
que además es el que se obtendría al medir la resistencia entre los
terminales A y B “cuando se anulase cualquier generador independiente”
como el generador I en la Figura 6. Esta es una “operación electrónica
sofisticada” que el equipo explorador conectado a los terminales A y B no
puede hacer (la caja negra está cerrada y él sólo puede acceder a los
terminales A y B). Por tanto, el equipo explorador deduce R del cociente:
R=VVACIO/ICORTO (es decir: hace dos medidas complementarias y aplica la
Ley de Ohm) y lo de “ver” la resistencia entre los terminales A y B
“cuando se anula cualquier generador independiente...”, no es necesario,
aunque ahorra tiempo a quien lo hace bien recordando cosas adicionales
como el cortocircuito que supone anular el generador de tensión o el
circuito abierto que aparece al anular uno de corriente.
Para asentar estas ideas emplearemos el divisor de tensión de la
Figura 8 con sus resistencias de 9 y 1 KΩ y su tensión de entrada de 12V.
Figura 8

13. Diseño con Amplificadores Operacionales 13
Según la ecuación (7) este divisor presentará en vacío a su salida una
tensión que es la décima parte de los 12 voltios aplicados a su entrada.
Supongamos que deseamos saber cual será la tensión a la salida si, para
medirla, se conecta en ella un “mal” voltímetro con una resistencia interna
de sólo 50 KΩ. Aunque el problema puede resolverse directamente con la
ecuación (8) porque da la casualidad de que lo que queremos calcular es lo
que da aquella ecuación, vamos a mostrar que el uso de equivalentes resulta
igualmente sencillo. Obteniendo el equivalente Thèvenin del circuito de la
Figura 8, formaremos un nuevo divisor de tensión con la resistencia de ese
equivalente y la del voltímetro que se va a conectar. La tensión Thèvenin
(VVACIO) de los terminales de salida de la Figura 8 es: 1.2 voltios. La
corriente Norton o de cortocircuito (ICORTO) en esa figura se obtendrá al
hacer lo que se muestra en la Figura 9, lo que da: ICORTO=12V/9000Ω. Por
tanto, la resistencia del circuito equivalente (Thèvenin o Norton) será:
R=VVACIO/ICORTO, que es de 900Ω y es además la resistencia que se mediría
entre los terminales A y B de la Figura 8 (la combinación en paralelo de R
y RS) si se anulase VI.
Figura 9
Por tanto, el valor de tensión buscado se obtiene al resolver el divisor
de tensión de la Figura 10. Ello supone que el voltímetro de 50 KΩ medirá
una tensión que es V=1.2×(50000/50900)=1.18V.
Figura 10

14. 14
En otras palabras, la resistencia del circuito equivalente y la del
propio voltímetro han formado un atenuador o divisor de tensión que hace
que el voltímetro sólo mida el 98.23% de la tensión que había antes de
conectar el voltímetro. El resultado de la Figura 10 permite predecir que la
estructura del divisor de tensión se va a repetir en Electrónica con mucha
frecuencia, en especial al acoplar etapas en cascada, como ha sido el caso
(voltímetro de 50 KΩ que se conecta a un divisor previo y sobre el que
ejerce su correspondiente efecto de carga). De hecho, salvo cuando se
manejan circuitos realimentados, el cálculo de ganancias se reduce muchas
veces al manejo de divisores de tensión simples como el que acabamos de
ver (u otros algo más complejos, generalizados para impedancias en lugar
de resistencias), incrustados entre diversos generadores dependientes o
controlados que componen la cadena amplificadora. Así pues, sabiendo
resolver divisores de tensión y obtener circuitos equivalentes, se puede
obtener la ganancia de una gran cantidad de circuitos electrónicos y lo que
es más importante: se tiene una visión intuitiva de qué planteamientos hay
que hacer a fin de no formar atenuadores importantes en el camino de la
señal que se desea amplificar.
I.6- Superposición de efectos debidos a generadores
La equivalencia entre los equivalentes Thèvenin y Norton y la forma
de obtener R (cociente entre VVACIO e ICORTO) nos lleva a pensar si no puede
haber un equivalente que sea mezcla del Thèvenin y del Norton. La
respuesta es que sí, que no hay ningún problema en tomar el equivalente
Norton de la Figura 6 y hacer lo siguiente:
Figura 11
donde vemos que el generador de corriente I se ha partido en dos (50%
cada uno en este caso, pero cualquier otro reparto es factible) y luego se ha
obtenido el equivalente Thèvenin de R con una de las mitades del
generador de corriente. Así pues, los efectos en los terminales A y B de los
dos generadores del circuito final de la Figura 11, se obtienen mediante lo
que es la “superposición de efectos de generadores”, aunque a menudo se

15. Diseño con Amplificadores Operacionales 15
denomina: “superposición de generadores”. Este es un término equívoco
porque dos generadores ideales de tensión por ejemplo, con diferentes
tensiones, no se pueden superponer en el sentido estricto de la palabra. Al
superponer sus terminales se tendría su conexión en paralelo, de forma que
un generador aniquilaría al otro. Lo que sí se pueden superponer son sus
efectos sobre una carga R, que es lo que vamos a ver a continuación.
La tensión total entre los puntos A y B del circuito final de la Figura
11 será la superposición de dos efectos: uno debido al generador de
corriente I/2 cuando el de tensión está anulado y el otro debido al generador
de tensión R×I/2 cuando el de corriente está anulado. Esa superposición
supone una suma en todo el sentido de la palabra: se consideran los signos
de los efectos si aquellos existen. Este es el caso y así tenemos lo que se
muestra en la Figura 12.
Figura 12
La Figura 12-a muestra que, cuando el generador de tensión está
anulado, el efecto debido al generador de corriente es una tensión entre los
terminales A y B de valor: I×R/2 y la Figura 12-b nos dice que, cuando el
generador de corriente está anulado, el efecto debido al generador de
tensión es otra tensión entre los terminales A y B de valor: I×R/2. Sumando
ambos efectos vemos que la tensión total entre los terminales A y B es I×R,
que es el valor de tensión entre los terminales A y B de la Figura 6 o de su
equivalente, la Figura 7. No insistiremos más sobre esta superposición de
efectos, pero advertimos al lector que su uso será frecuente en lo sucesivo,
casi tanto como el empleo de equivalentes Thèvenin o Norton, según nos
convenga. También resultará interesante recordar qué supone anular un
generador independiente de tensión o de corriente (cortocircuito o circuito
abierto respectivamente) como se ha hecho en la Figura 12.

16. 16
I.7- Generalización de la Ley de Ohm: Impedancias
Hemos ido viendo que una ley simple como la de Ohm, utilizada con
sentido común, nos da bastantes recursos para analizar circuitos (efectos de
carga, superposición, etc.). Sin embargo, el alcance de estos recursos sólo
se puede apreciar en su totalidad si se extienden a circuitos que además de
resistencias tengan otros componentes, y a señales de tensión y de corriente
que, en lugar de ser constantes en el tiempo, varíen de alguna forma a
medida que éste transcurre. Esos otros componentes lineales a los que nos
referimos son los condensadores (C) y las bobinas o inductancias (L). En
cuanto a la forma de variación temporal de las señales de tensión o de
corriente, la que estudiaremos es la variación senoidal o cosenoidal debido
a que cualquier otra forma de variación temporal de una magnitud física
(tensión, corriente, temperatura, etc) se puede “construir” como una suma
cuidadosa de señales senoidales y cosenoidales. Nos referimos a la síntesis
de Fourier de señales periódicas mediante sus armónicos, con la que
suponemos familiarizado al lector y si no es el caso, hay buenas referencias
sobre el tema [2] [3], que puede consultar. De esta forma, la respuesta de
un circuito a una señal excitación triangular periódica por ejemplo, será la
superposición de las respuestas a cada una de las señales senoidales que la
forman y esto no deja de ser una aplicación más de la superposición de
efectos de generadores que ya hemos recordado en este capítulo.
Aunque un estudio profundo nos llevaría a conceptos de autovalores,
autofunciones y aplicaciones entre espacios vectoriales, prescindiremos de
todo de ello y vamos a centrarnos en las señales senoidales y una de sus
interesantes propiedades que las hace únicas para su empleo en circuitos
Lineales e Invariantes en el Tiempo (LIT) como los que usaremos. Dicha
propiedad es que la señal respuesta de un circuito LIT a una señal senoidal
de excitación, también tiene la misma forma senoidal y, para fijar ideas,
podemos pensar que excitación y respuesta están relacionadas por una
función de transferencia como las expresiones (2) o (4). Por el contrario,
esto no sucederá en general con otras señales. Así por ejemplo, una señal
triangular aplicada a la entrada de un circuito LIT, no tiene por qué
conservar su forma cuando aparece a la salida, mientras que la senoidal
siempre lo hará. De ahí el interés de estas señales senoidales el tiempo.
Hasta ahora hemos considerado señales de tensión y de corriente que
eran constantes en el tiempo (de ahí su nombre con mayúsculas:V e I) y
como R también lo era, la relación entre la entrada y la salida del circuito
de la Figura 1 por ejemplo, era un simple número real que expresaba su
razón o cociente. Si en el circuito de la Figura 2 aplicamos una tensión
continua V=1V a una resistencia R=100 KΩ, la representación en el tiempo
de la tensión aplicada y de la corriente I que circula por la resistencia es la
de la Figura 13, donde puede verse que las formas de onda temporales de V

17. Diseño con Amplificadores Operacionales 17
e I son idénticas y sus valores se relacionan por: 1V/10µA=100.000=R.
Podemos decir que la corriente I es plana en el tiempo como V y su valor
en amperios es el de V en voltios dividido por 105 en este caso, que es el
valor de R. Es decir: un simple número real (R=105) es lo que necesitamos
para expresar la relación entre señal de excitación v(t)=1V y señal de
respuesta i(t)=10 µA. Nótese de paso la nomenclatura empleada ahora con
letras minúsculas: v(t) e i(t), que se reserva para señales que pueden variar
en el tiempo, sólo que en este caso concreto no lo hacen o lo hacen con una
frecuencia de oscilación nula (dc).
12
Corriente=10 microamperios
10
Tensión y corriente en R=100K
8
6
4
2
Tensión=1 voltio
0
-2
0 0.5 1 1.5
Tiempo
Figura 13
Veamos qué ocurre si la excitación v(t) es ahora una señal senoidal
en el tiempo como aparece dibujada en la Figura 14.
10
8 Corr. de pico=10 microamp.
Tensión y corriente en R=100K
6
4
2 Tensión de pico=1V
0
-2
-4
-6
-8
-10
0 0.5 1 1.5
Tiempo
Figura 14

18. 18
La corriente i(t) será una señal senoidal tambien, obtenida al dividir
v(t) en cada punto o instante de tiempo, por R=105 Ω y esta otra señal
senoidal da la casualidad de que cruza por cero en los mismos instantes que
v(t). En otras palabras: v(t) e i(t) se encuentran “en fase”, como se ha
dibujado en la Figura 14, siendo una de ellas exactamente igual a la otra en
su forma (senoidal) y estando relacionadas ambas mediante un factor de
escala R (su cociente es R). De nuevo basta un número real (R) para dar la
relación entre los valores de pico de ambas señales: 1Vp/10µAp=105Ω y
esto sin importar la escala de tiempos. Si el eje de tiempo tuviera unidades
de segundos, la frecuencia de las señales de la Figura 14 sería de 1Hz, pero
si tal eje tuviera unidades de µs, dicha frecuencia sería de 1 MHz (106 Hz).
Esto significaría que dicha señal cruzaría por cero 2 millones de veces por
segundo, la mitad de ellas pasando de valores positivos a valores negativos
(decreciendo por tanto) y la otra mitad de las veces pasando de valores
negativos hacia positivos (creciendo).
Veamos qué ocurre al aplicar esta señal de 1MHz al circuito de la
Figura 15, que es el de la Figura 2 con un condensador C en paralelo con R.
Figura 15
Al tener en vez de una resistencia R el simple circuito R-C paralelo
de la Figura 15, las cosas cambian porque ante la excitación v(t) variable en
el tiempo, el condensador conduce cierta corriente alterna iC(t). En efecto,
el condensador C que ante una señal v(t) continua como la de la Figura 13,
simplemente quedaría cargado con una tensión entre placas constante de
1V en aquel caso, ahora se ve forzado a seguir las variaciones de tensión
que aplica el generador de la Figura 15. Debido a ello, la evolución
temporal de la carga del condensador es algo como lo representado en la
Figura 16 bajo la señal senoidal v(t) que ataca al condensador. Suponemos
al lector familiarizado con el campo eléctrico existente entre las placas del
condensador creado por su carga, siendo carga y campo proporcionales a su

19. Diseño con Amplificadores Operacionales 19
tensión entre placas. Pues bien, según la Figura 16, la carga de las placas y
por tanto el campo eléctrico existente entre ellas, varía con el tiempo, lo
que según las Ecuaciones de Maxwell conlleva una corriente eléctrica de
desplazamiento. En otras palabras: para que ocurra la variación de campo
eléctrico que conlleva la variación de carga representada en la Figura 16,
tiene que entrar o salir por los hilos que conectan las placas, una corriente
eléctrica de conducción igual a la corriente de desplazamiento que se
requiere para variar el campo eléctrico entre placas en la forma indicada.
Figura 16
Como la variación de campo eléctrico es senoidal, la corriente de
desplazamiento que conlleva es cosenoidal y la corriente de conducción
que exige por los hilos externos del condensador, también lo será. Nótese la
interesante diferencia entre la corriente de conducción, a la que estamos
más habituados, que supone el paso de cargas a través de un hilo conductor
o de una resistencia y la corriente de desplazamiento entre placas, que no
requiere el paso de cargas de una placa a otra por dentro del condensador.
Las cargas llegan a las placas, se acumulan ahí (no pasan de una a otra) y
dan lugar a un campo eléctrico entre placas, cuya variación temporal es la
causa de la corriente de desplazamiento.
El que la corriente de desplazamiento sea proporcional a la derivada
temporal del campo eléctrico, hace que dicha corriente y la tensión v(t) de
la Figura 15 estén en cuadratura o con 90º de desfasaje. Por tanto, si v(t) es
una función seno (cruza por cero al tomar una referencia de tiempo) su
derivada o pendiente será una función coseno, por lo que la corriente iC(t)
de conducción en los terminales del condensador aparecerá con un adelanto
de fase de 90º, lo que no tiene nada que ver con una anticipación temporal
de la respuesta a la excitación (circuito no-causal) o errores similares. Este
adelanto de fase de 90° sólo es la forma de superponerse en el tiempo la
señal de tensión y la señal de corriente del condensador mucho tiempo

20. 20
después de haber conectado v(t) (régimen permanente) y de igual forma
podemos decir que iC(t) está retrasada en fase respecto a v(t) en 270°. En la
Figura 17 se ha dibujado la corriente iC(t) para un valor del condensador de
tan solo 1 picofaradio (1pF=10-12F) y una tensión v(t) cuyo valor de pico es
Vp=1V. Para ello se ha tenido en cuenta que la amplitud IC de tal corriente
en función de la amplitud de la onda senoidal de tensión Vp viene dada por:
IC =2×π× f ×C×Vp (9)
La ecuación (9), que se obtiene a partir de las de Maxwell, nos indica
en esencia que iC(t) es proporcional al número de veces por segundo que
deben variar las cargas de la Figura 16 (frecuencia f) y a la amplitud de la
tensión v(t), porque el campo eléctrico del condensador es reflejo de su
carga y ésta lo es de la tensión v(t) que hay entre sus placas (la que le aplica
el generador de la Figura 15). Por otro lado la capacidad de un condensador
se define como:
∂Q
C= (10)
∂V
expresión que para condensadores cuya capacidad no depende de la tensión
aplicada, nos permite escribir la carga Q del mismo como: Q=C×V, siendo
V la tensión entre sus placas. Con todo esto el lector puede recordar mejor
la ecuación (9), que será esencial para lo que viene a continuación.
Figura 17

21. Diseño con Amplificadores Operacionales 21
Según la ecuación (9), la amplitud o valor máximo de corriente que
circula por el condensador de la Figura 15 para una excitación de 1V de
amplitud y 1 MHz de frecuencia, es de 2π microamperios (≈6.3µA). Es la
señal que en la Figura 17 aparece etiquetada como “Corr de C” mientras
que la etiquetada como “Corr de R” es la que corresponde a la corriente a
través de la resistencia R=100KΩ como la que usamos para las Figuras 13
y 14. La amplitud de esta corriente iR(t) es de 10 µA, que se obtiene
fácilmente aplicando la Ley de Ohm a la resistencia R. Como vemos en la
Figura 17, iR(t) es senoidal (fase 0°, que es la misma que la de v(t) como
aparece en la Figura 14), pero iC(t) es cosenoidal: desfasada +90° o -270°
con respecto a v(t). Salvo este “detalle” del desfasaje de 90°, la ecuación
(9) nos hace ver una relación proporcional entre las amplitudes o valores de
pico de la corriente iC(t) y de la tensión v(t). Esto nos permite pensar en una
nueva Ley de Ohm que sirva para señales senoidales y condensadores,
similar a la ecuación (4), que como sabemos sirve para resistencias y
señales tanto continuas como senoidales (recuérdese la Figura 14).
Esa nueva Ley de Ohm para “condensadores y señales senoidales de
frecuencia f” es posible diciendo que por analogía con la resistencia, el
condensador ofrece a estas señales una “resistencia especial” o reactancia
de valor X(f)=1/(2πfC) y diciendo además que la corriente iC(t) está
desfasada +90° o -270° respecto a la tensión v(t) entre los extremos del
condensador. En el caso de una resistencia, decimos que ofrece a estas
señales una resistencia de valor R(f)=R y que la corriente iR(t) no está
desfasada respecto a la tensión v(t) entre los extremos de la resistencia.
Entonces, podemos resolver circuitos con sólo resistencias o con sólo
condensadores mediante la Ley de Ohm y hasta con un poco de cuidado,
llevando por separado las corrientes de un tipo y otro según el desfasaje,
podríamos pensar en resolver circuitos con ambos elementos y al final
sumar de algún modo las corrientes de un tipo u otro. Así surge la pregunta:
¿Existe una ley de Ohm más general que permita manejar condensadores y
resistencias juntos, a fin de obtener la corriente total i(t) del circuito de la
Figura 17?. La respuesta es sí, pero empleando números complejos en vez
de números reales, como veremos enseguida.
Para llegar a este interesante resultado, vamos a obtener la corriente
total i(t)=iR(t)+iC(t) en la Figura 15. Esto se ha hecho en la Figura 17 al
sumar en cada instante de tiempo los valores de iR(t) y de iC(t). Por tanto, la
corriente total i(t) que da el generador v(t) de la figura 15 será la suma de
una corriente iR(t) que está en fase con v(t) y otra ic(t) que está desfasada
+90º con respecto a v(t). Tal suma i(t) aparece en la Figura 17 con símbolos
del tipo “+” y como puede verse, esa suma también tiene forma senoidal de
amplitud mayor que cualquiera de las dos componentes iR(t) (en fase) o
iC(t) (en cuadratura) y con un desfasaje θ que no es cero como el de iR(t) ni

22. 22
es de +90º como el de iC(t), sino intermedio entre ellos y más cercano a 0º
que a 90º en este caso. Lo anterior proviene de las propiedades de las
funciones seno y coseno (trigonometría). Así θ depende del tamaño relativo
de iR(t) e iC(t) y con los datos empleados en la figura 17 la componente en
fase iR(t) domina (0°<θ<45°), pero si C fuese mayor o la frecuencia más
alta, bien podría dominar iC(t), con lo que el desfasaje de i(t) estaría más
cerca de 90° que de 0° (45°<θ<90°).
Aunque podemos anticipar que la forma de obtener la amplitud o el
módulo de i(t) a partir de las amplitudes de sus componentes en fase y en
cuadratura (P=10µA y Q=2πµA≈6.3µA respectivamente) va a ser mediante
el Teorema de Pitágoras, no está de más recordar un poco de Trigonometría
y deducirlo. Así pues, tenemos:
i (t ) = iR (t ) + iC (t ) = P × sen(2πft ) + Q × cos(2πft ) =
 P Q 
P +Q × 2
2 2
sen(2πft ) + cos(2πft ) (11)
 P +Q P +Q
2 2 2

Dada la forma de los factores que multiplican a las funciones seno y
coseno en la ecuación (11) (la suma de sus cuadrados es igual a 1), no hay
inconveniente en denominarlos cos(θ) y sen(θ). De esta forma tenemos:
i (t ) = P 2 + Q 2 × [cosθ × sen(2πft ) + sen θ × cos(2πft )] (12)
i (t ) = P 2 + Q 2 × [sen(2πft + θ )] (13)
y además:
sen θ Q Q 
tg θ = = ⇔ θ = arctg   (14)
cosθ P P
De las ecuaciones (11) a (14) o considerando la ortogonalidad de las
funciones seno y coseno, se puede dibujar la Figura 18 como forma de
memorizar la obtención de i(t) a partir de P=iR(t) y Q=iC(t). El módulo de
i(t) y su defasaje θ salen de forma natural con el Teorema de Pitágoras
aplicado a la figura 18, de modo que sin mucha trigonometría (sólo este
Teorema) podríamos combinar adecuadamente (en rigor sumar) corrientes
desfasadas 90° (en cuadratura entre sí) y manejar circuitos con resistencias

23. Diseño con Amplificadores Operacionales 23
y condensadores. Tan sólo haría falta llevar por un lado las corrientes en
fase y por otro las corrientes en cuadratura, ambas obtenidas mediante sus
leyes de Ohm correspondientes y a la hora de combinarlas, hacerlo como
corresponde a su relación en cuadratura (usando el Teorema de Pitágoras).
Figura 18
Es fácil comprobar que la amplitud de la corriente total i(t) que se
obtiene así en la Figura 18 es de 11.81 µA y que este valor es el valor de
pico de la corriente total de la Figura 17. Por cierto, ese valor máximo
aparece en la Figura 17 cierto tiempo antes de que aparezca el máximo de
la curva etiquetada como: “Corr. de R”, que va en fase con la tensión v(t) y
cuyo máximo está exactamente a los 0.25 microsegundos. El adelanto
“temporal” al que nos referimos es de unos 0.09 microsegundos (los
símbolos “+” molestan un poco a la hora de determinarlo en el pico, pero
no tanto en el cruce por cero). Para traducir este adelanto en el tiempo a su
adelanto de fase correspondiente, hay que considerar que el periodo de la
señal es T=1µs y en un periodo hay un ciclo completo de señal o 360° de
fase. El adelanto de fase al que nos referimos es por tanto: θ=360×0.09/1,
es decir: unos 32°, que no es otra cosa que el arco cuya tangente vale 0.628
según la ecuación (14).
Como el lector irá intuyendo, todo este complicado o “complejo”
método para combinar las componentes iR(t) e iC(t), ortogonales entre sí,
queda muy simplificado si empleamos números complejos para representar
impedancias en general (Z) en vez de resistencias en particular. De este
modo, la impedancia compleja que denominaremos Z(jω) siendo “j” la
unidad del eje imaginario de los números complejos y ω=2πf la frecuencia
angular de la señal de interés, va a ser un número complejo con su parte
real llamada Resistencia (R) y su parte imaginaria llamada Reactancia (X).
Así tenemos Z(jω)=R(jω)+jX(jω) cuyas partes real e imaginaria suelen

24. 24
depender de la frecuencia, que nos va a permitir aplicar la Ley de Ohm a
cualquier circuito con resistencias, condensadores y bobinas. Como forma
de empezar podemos escribir la versión generalizada de la ecuación (1) en
la forma siguiente:
V ( jω )
Z ( jω ) = (Ω ≡ V /A) (15)
I ( jω )
siendo ésta la Ley de Ohm generalizada que se utiliza de forma similar a
como vimos que se empleaba la ley de Ohm básica de la ecuación (1).
Para emplear bien la ecuación (15) hay que recordar que las señales
V(jω) e I(jω) poseen amplitud o módulo y cierta fase con relación a una
referencia de fases. Eso hace directa su expresión en forma compleja en la
notación módulo-fase y se ve de forma inmediata que el cociente de dos
números complejos V(jω) e I(jω) dará otro número complejo cuyo módulo
será el cociente de los módulos o amplitudes de V(jω) e I(jω) y cuya fase
es la resta de las fases de V(jω) (minuendo) e I(jω) (sustraendo). De esta
forma vemos que Z(jω) va a tener cierto módulo y cierta fase, siendo por
tanto un valor complejo para cada valor de frecuencia f. Como además su
módulo y su fase suelen variar al variar la frecuencia f, decimos que Z(jω)
es una función compleja de la variable real f.
La forma de “construir” impedancias mediante las de elementos
circuitales (R, L y C) utiliza las mismas operaciones que vimos con las
resistencias para combinarlas en paralelo o en serie y sólo se requiere
conocer las tres impedancias individuales correspondientes a resistencias,
bobinas y condensadores. Para una resistencia de R Ohmios (Ω) tenemos:
Z ( jω ) = R + j 0 (sólo parte real) (16)
La impedancia de una bobina de inductancia L Henrios (H) es:
Z ( jω ) = 0 + j ω L (sólo parte imaginaria) (17)
y la impedancia de un condensador de capacidad C Faradios (F) es:
1 1
Z ( jω ) = 0 + = 0− j (sólo parte imag.) (18)
jωC ωC

25. Diseño con Amplificadores Operacionales 25
Con esto ya estamos en condiciones de resolver con la simple Ley de
Ohm generalizada el problema de obtener la corriente i(t) en el circuito de
la Figura 15. Como la resistencia y el condensador están en paralelo, hay
que combinar en paralelo las impedancias dadas por las expresiones (16) y
(18). Ello se hace con arreglo a la ecuación (3) que vimos al principio, solo
que trabajando con números complejos. Así tenemos que la impedancia del
circuito RC paralelo de la Figura 15 será:
1
R×
jω C R
Z RC ( jω ) = = (19)
1 1 + jωRC
R+
j ωC
Puede comprobarse que cuando el condensador se carga y descarga
pocas veces por unidad de tiempo (en bajas frecuencias) la impedancia es
esencialmente el valor R de la resistencia: ZRC(jω) R. Por el contrario, a
muy altas frecuencias, la corriente dominante es la de cargar y descargar
muchas veces por segundo el condensador, lo que se traduce en que la
impedancia es esencialmente la del condensador: ZRC (jω) 1/jωC. La
coriente i(t) se obtendrá a partir de la ecuación (15) o de la versión
generalizada de la ecuación (4) cambiando la conductancia G=1/R de (4)
por la admitancia Y(jω)=1/ZRC(jω). Esta magnitud inversa de impedancia,
al igual que ZRC(jω) es un valor complejo YRC(jω)=G(jω)+jB(jω), cuya
parte real se llama conductancia y cuya parte imaginaria es la susceptancia.
La corriente I(jω) será por tanto:
V ( jω ) 1 
I ( jω ) = = V ( jω ) ×  + jωC  (20)
Z ( jω ) R 
La ecuación (20) nos dará tanto el módulo como la fase de la onda de
corriente senoidal i(t) en relación con la onda de tensión senoidal v(t). Si
tomamos como fase cero la de v(t) y su amplitud de 1V, tendremos:
V(jω)=1∠0 y la ecuación (20) nos dará:
 1 
I ( jω ) = 1∠ 0 ×  5 + j 2π × 10 6 × 10 −12  =
10 
= 10−5 × (1 + 0.628 j ) = 11.8 × 10−6 ∠ + 32.13 (21)
que son exactamente las mismas corrientes que vimos en la Figura 17.

26. 26
La referencia [4] citada en la Bibliografía es muy aconsejable para el
lector interesado en profundizar en las interesantes propiedades de estas
funciones típicas del régimen permanente senoidal de circuitos LIT y en las
de otras funciones muy relacionadas (variable “s”) que permiten su estudio
en régimen transitorio. Igualmente encontrará esta información en obras
más específicas sobre análisis de circuitos [5].
I.8- Algunos divisores de impedancias interesantes
Con ayuda de la Ley de Ohm generalizada vamos a estudiar unos
divisores de impedancias sencillos, pero de gran utilidad para la educación
del sentido común necesario para abordar con éxito muchos problemas en
Electrónica. El primero de ellos será el circuito R-C paso-bajo de primer
orden, el segundo será su versión paso-alto y el tercero será el que
podríamos denominar R-C paso-banda del oscilador en puente de Wien, un
circuito muy interesante con Amplificadores Operacionales.
La figura 19 resume el enfoque de impedancias y tensiones
complejas (módulo y fase) que emplearemos para estudiar estos circuitos:
Figura 19
Empleando la Ley de Ohm generalizada, la señal de salida Vo(jω) (su
módulo y su fase) vendrá dada por la ecuación generalizada equivalente a
la ecuación (7), es decir:
Z 2 ( jω )
Vo ( jω ) = × Vi ( jω ) (22)
Z1 ( jω ) + Z 2 ( jω )
La ecuación (22) es válida con las mismas consideraciones que se
hicieron para la ecuación (7): que la tensión de salida fuese muestreada sin
provocar corriente de salida. Esto requiere que el módulo de la impedancia
del circuito que se conecte a la salida ZM (jω) sea enorme o, si no es así,
que su efecto de carga ya esté incluido en Z2 (jω).

27. Diseño con Amplificadores Operacionales 27
I.8.1- R-C paso-bajo
Este divisor de impedancias, que se muestra en la Figura 20, está
compuesto por una resistencia y un condensador conectados en serie de
cara al generador excitador vi(t). La señal de salida se toma en paralelo con
el condensador y sirven las mismas consideraciones hechas para el divisor
resistivo de la Figura 4 en cuanto a que no haya corriente en la salida al
muestrear la tensión de salida vo(t).
Figura 20
En el dominio de la variable jω (regimen permanente sensoidal) la
ecuación (22) que nos da la señal de salida Vo(jω) en función de la señal de
entrada Vi(jω) y de las impedancias del circuito se convierte en:
1
× Vi ( jω )
jωC V ( jω ) V ( jω )
Vo ( jω ) = = i = i (23)
1 1 + jωRC 1 + j f
+R
jωC fC
Al interpretar la ecuación (23) en función de la frecuencia lo primero
que debemos hacer es considerar la frecuencia de corte fc=ωc/2π=1/2πRC,
que nos va a permitir hablar de altas (f>>fc) y bajas (f<<fc) frecuencias. Así
en bajas frecuencias la señal de salida y la de entrada tienden a ser iguales:
1
Vo ( jω ) = × Vi ( jω ) ≅ 1∠ 0 × Vi ( jω ) (24)
1 + j (a lg o << 1)
Es decir: las bajas frecuencias aparecen a la salida sin atenuación ni
desfasaje importantes.

28. 28
Por el contrario, las altas frecuencias (f/fc>>1) hacen que el “1” (la
parte real) del denominador de la ecuación (23) sea despreciable frente a la
parte imaginaria y en este caso se tiene:
1 Vi ( jω )
Vo ( jω ) = × Vi ( jω ) ≅ 1∠ − 90 × (25)
f f
1+ j
fC fC
La ecuación (25) significa que las altas frecuencias aparecen a la
salida atenuadas, tanto más cuanto mayor sea su frecuencia y además
presentarán un retraso de fase de unos 90º debido al complejo 1/j =1∠-90. De
aquí la característica de filtro paso-bajo de este circuito. Para fijar ideas,
vamos a diseñar este filtro de la Figura 20 con una frecuencia de corte
fc=10 KHz (1/2πRC=104) y de forma que no cargue al generador vi(t) con
menos de 100 KΩ. Esta última condición es necesaria para poder definir el
valor de R, ya que fc sólo nos permite definir el del producto RC. Como a
frecuencias muy altas el módulo de la impedancia del condensador se hace
muy pequeño (el condensador tiende a ser un cortocircuito) la forma de
garantizar 100 KΩ. o más como módulo de la impedancia de R en serie con
C, es hacer R=100 KΩ. Esto ya nos permite obtener C a partir de fc,
obteniéndose un valor de 159 pF. Con el circuito así diseñado, una señal de
entrada vi(t) de 1 KHz y 1V de amplitud y la señal de salida vo(t) se verían
en un osciloscopio como se muestra en la Figura 21.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Amplitud
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tiempo (un periodo completo)
Figura 21
Aquí vemos que la amplitud de la señal de salida (0.995V) es
prácticamente igual a la de entrada y casi no está desfasada respecto a ésta:
sólo unos 6°≈arctg(1KHz/10 KHz).

29. Diseño con Amplificadores Operacionales 29
Por el contrario, una señal de entrada de 100 KHz y 1V de amplitud
y la señal de salida correspondiente aparecerían en un osciloscopio como se
muestra en la Figura 22, donde se aprecia un factor de atenuación de 10
aproximadamente (unos 20 dB) y el desfasaje previsto de –90º.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Amplitud
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo (dos periodos completos)
Figura 22
Finalmente una señal de entrada de frecuencia igual a fc (10 KHz) y
1V de amplitud y su señal de salida se verían en el osciloscopio como se
muestra en la Figura 23. En ella podemos ver que la atenuación es de 3 dB,
ya que la amplitud de la señal de salida es 1V/√2=0.707V (el 70% de la
amplitud de entrada) y el desfasaje es justamente de -45º.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Amplitud
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tiempo (un periodo completo)
Figura 23

30. 30
El paso de las señales Vo(jω) y Vi(jω) desde el dominio de la
frecuencia donde tienen la forma compleja M∠θ (siendo M su amplitud y θ
su fase respecto a una referencia dada) hasta el dominio del tiempo para
obtener vo(t) y vi(t) ha sido necesario para obtener las Figuras 21, 22 y 23.
Ello consiste simplemente en suponer la excitación senoidal y con fase
cero: vi(t)=A×sen (2πft), por lo que vo(t) es otra onda senoidal con su
amplitud B=A/[1+(f/fc)2]1/2 y cierto retraso de fase dado por: arctg(f/fc),
ambas evaluadas a partir de la ecuación (23).
Este comportamiento de la ganancia Vo(jω)/Vi(jω) en función de la
frecuencia (cuyo aspecto en el tiempo hemos visto en las figuras 21 a 23)
queda plasmado en el Diagrama de Bode de la Figura 24. En esta gráfica, el
módulo de la ganancia se representa mediante las dos rectas asintóticas de
las expresiones (24) y (25) que se cruzan justo en fc. La fase de la ganancia
quedaría razonablemente representada por tres rectas asintóticas, dos de
ellas horizontales a 0º (bajas frecuencias) y a -90º (altas frecuencias) y una
tercera con pendiente de -45º por cada década en frecuencia y que pasase
por -45º de desfasaje en fc. Nótese además la pendiente de -20 dB/década
(atenuación) en la asíntota del módulo para frecuencias altas.
Figura 24

31. Diseño con Amplificadores Operacionales 31
La utilidad del circuito R-C paso-bajo que acabamos de ver es muy
grande en Electrónica. Como ejemplo, la Figura 25 muestra el circuito que
aparece al definir la frecuencia de transición (fT) de un transistor bipolar y
la frecuencia de corte de su ganancia en corriente fβ. El lector debería ver
de forma sencilla que la ganancia en corriente Ic(jω)/Ib(jω) es similar a la
del divisor R-C paso-bajo. Para ello debería hacer de forma automática el
proceso que conduce a la Figura 26, que no es más que el empleo de un
circuito equivalente Thévenin, más adecuado para este caso.
Figura 25
De la Figura 26 podemos decir que ic es una réplica (gm veces) de la
tensión vbe sobre el condensador y ésta es la salida de un R-C paso-bajo.
Por tanto, el módulo de la ganancia en corriente ic/ib debe ser algo como lo
representado en la Figura 27.
Figura 26

32. 32
En la Figura 27 se observa que por debajo de fβ=10MHz la ganancia
de corriente Ic(jω)/Ib(jω) es constante e igual a: gm×R=100 en este caso. Sin
embargo, a partir de 10MHz esa ganancia empieza a disminuir a razón de
un factor 10 (20dB) por cada factor 10 (década) que varíe la frecuencia, de
modo que a f=1GHz (109 Hz) tal ganancia ha caído hasta 1 (0dB). Según
esta gráfica, la frecuencia de transición de este transistor sería fT=1GHz y la
frecuencia de corte para su ganancia en corriente sería: fβ=10MHz. Sin
entrar en muchos detalles para no alargar este ejemplo, ese transistor podría
ser utilizado como amplificador, con una configuración circuital adecuada,
hasta algunos cientos de MHz. Remitimos al lector interesado en estos
temas de transistores a obras como [6] donde se tratan con detalle.
Figura 27
El ejemplo anterior sobre la fT de un transistor es sólo uno de los
muchos casos en Electrónica en los que la función de transferencia del
divisor R-C paso-bajo encuentra aplicación directa. Hay muchos más casos,
como puede ser el de la respuesta en frecuencia de un lazo enganchado en
fase (PLL) utilizado para demodular FM, la respuesta en frecuencia de un
amplificador cuando viene limitada por un condensador que aprovecha el
efecto Miller, etc. en los que una buena comprensión por parte del lector de
esta función de transferencia R-C paso-bajo de primer orden, será de gran
utilidad.

33. Diseño con Amplificadores Operacionales 33
I.8.2- R-C paso-alto
Este divisor de impedancias, que se muestra en la Figura 28, está
compuesto por una resistencia y un condensador conectados en serie de
cara al generador excitador vi(t). La señal de salida se toma en paralelo con
la resistencia y sirven las mismas consideraciones hechas para el divisor
resistivo de la Figura 4 en cuanto a que no haya corriente en la salida al
muestrear la tensión de salida vo(t).
Figura 28
En el dominio de la variable jω (regimen permanente sensoidal) la
ecuación (22) que nos da la señal de salida Vo(jω) en función de la señal de
entrada Vi(jω) y de las impedancias del circuito se convierte en:
f
j × Vi ( jω )
R × Vi ( jω ) Vi ( jω ) × jωRC fC (26)
Vo ( jω ) = = =
1 1 + jωRC f
+R 1+ j
jωC fC
Para interpretar la ecuación (26) en función de la frecuencia
volvemos a considerar la frecuencia de corte fc=ωc/2π=1/2πRC, que nos va
a permitir hablar de altas frecuencias (f>>fc) y bajas frecuencias (f<<fc)
para la expresión (26). Para bajas frecuencias la ecuación (26) pasa a ser:
f
j × Vi ( jω )
fC f f
Vo ( jω ) = ≅ j × Vi ( jω ) = 1∠90 × × Vi ( jω ) (27)
1 + j (a lg o << 1) fC fC

34. 34
Por tanto las bajas frecuencias sufren atenuación, tanto mayor cuanto
más baja es la frecuencia respecto a la de corte fc. Además aparecen con un
desfasaje de +90° respecto a la entrada, en régimen permanente senoidal. Si
empleamos los mismos valores de R y C que para el filtro R-C paso bajo
que ya vimos, tendremos la misma frecuencia de corte fc=1/2πRC=10KHz.
En este caso, una señal senoidal de 1 KHz estará en la zona de bajas
frecuencias y, si su amplitud a la entrada es de 1V, la excitación vi(t) y la
respuesta vo(t) vistas simultáneamente en un osciloscopio, estarán como se
muestra en la Figura 29.
Figura 29
Por el contrario, en altas frecuencias (f/fc>>1), la ecuación (26) da:
f f
j j
fC fC
Vo ( jω ) = × Vi ( jω ) ≅ × Vi ( jω ) ≅ 1∠0 × Vi ( jω ) (28)
f f
1+ j j
fC fC
resultado que indica que las altas frecuencias aparecen en la salida casi sin
atenuación ni desfasaje (sólo un ligero adelanto de fase que decrece a
medida que la frecuencia aumenta). Por tanto, una señal senoidal de entrada
de 100KHz y 1V de amplitud y su correspondiente señal de salida se verían
en la pantalla de un osciloscopio como se muestra en la Figura 30. Como
puede verse, casi no hay atenuación en la señal de salida (amplitud 0.995V)
y tan solo un pequeño adelanto de fase de casi 6° respecto a la de entrada.

35. Diseño con Amplificadores Operacionales 35
1
0.8
0.6
Amplitud (voltios) 0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tiempo (un periodo completo)
Figura 30
Para el caso de una señal de entrada de 1V de amplitud y 10KHz de
frecuencia (f=fc) dicha señal y su señal de salida correspondiente se verían
en el osciloscopio como se muestra en la Figura 31. En ella podemos ver
que la atenuación es de 3dB, ya que la amplitud de la señal de salida es
1V/√2 (el 70% de la amplitud de entrada) y el desfasaje es de: +45º.
Figura 31

36. 36
La frecuencia de corte fc=1/2πRC sirve por tanto como valor frontera
entre frecuencias que pasan bien hacia la salida y otras que no pasan tan
bien (bajas frecuencias). Pero además de este significado circuital, fc posee
otro interesante: es la frecuencia a la que la reactancia del condensador
XC=1/2πfC se hace igual a la resistencia R. Así tenemos que:
1 1
XC ( f ) = =R⇒ f = = fC (29)
2 ×π × f × C 2 ×π × R × C
A esta frecuencia por tanto, las tensiones alternas entre los extremos
del condensador (ver Figura 31) y de la resistencia (ver Figura 23) son de
igual amplitud pero con desfasajes opuestos de +45° y -45°, con lo que su
suma punto a punto es igual a la señal de entrada vi(t), como el lector puede
comprobar a partir de las Figuras 23 y 31. Esto nos permite ver una
interesante aplicación de este circuito R-C paso-alto en Electrónica, que es
el diseño de condensadores de acoplo (en alterna) entre etapas. Estos
condensadores tienen la misión de acoplar lo mejor posible las señales
variables (ac) que genera una etapa (etapa anterior) a fin de que entren en la
etapa siguiente, bloqueando al mismo tiempo la posible corriente continua
(dc) que circularía entre esas etapas si se conectasen directamente sin el
condensador. El no bloquear esta señal dc suele acarrear la pérdida del
punto de polarización de algunos dispositivos en ambas etapas, que dejan
de funcionar normalmente. Por ello, este condensador de desacoplo en dc y
de acoplo en ac resulta esencial en esos casos. Esta situación se representa
en la Figura 32.
Figura 32
En altas frecuencias se espera que la reactancia del condensador sea
muy pequeña (XC 0) por lo que, comparado con RANT y RSIG tiende a ser

37. Diseño con Amplificadores Operacionales 37
un cortocircuito que acopla bien RANT con RSIG. Así se obtiene la máxima
señal sobre RSIG, que es:
RSIG
Vo ( jω ) = × Vi ( jω ) (30)
RSIG + RANT
Sin embargo, a medida que la frecuencia de las señales consideradas
va disminuyendo, la reactancia XC(f) aumenta, igualando primero (a cierta
frecuencia fc) y superando después (a menores frecuencias) el valor de la
suma RANT+RSIG (su combinación en serie). Pues bien, a la frecuencia en la
que esa reactancia es igual a la suma (RANT+RSIG) la tensión alterna en el
condensador y la tensión alterna en las dos resistencias puestas en serie o
juntas, son iguales en amplitud y tienen desfasajes opuestos de +45º y –45º.
Como hemos visto, esa amplitud de tensión alterna es igual a la de entrada
dividida por √2, o lo que es lo mismo: 3dB menos que la amplitud de
entrada (20log√2=3). A esta frecuencia por tanto, la señal acoplada sobre
RSIG en la Figura 32 es 3dB menos que la máxima que es posible acoplar
según la ecuación (30). Esto nos define por tanto la frecuencia de corte a
potencia mitad, o a –3dB, del acoplamiento mediante condensador de la
Figura 32. Tal frecuencia de corte es simplemente:
1
fC = (31)
2 × π × ( R ANT + RSIG ) × C
La utilidad de la ecuación (31) en Electrónica es enorme. Sirva como
ejemplo el diseño del condensador de acoplo entre un micrófono magnético
cuya impedancia de salida es una resistencia de 600Ω (RANT) y la etapa
preamplificadora que recoge su señal y cuya impedancia de entrada es una
resistencia RSIG=10KΩ. Si queremos que ese acoplo sea de alta fidelidad,
habrá que poner un condensador de valor suficiente para que señales de tan
solo 20Hz queden bien acopladas y esto puede conseguirse haciendo que la
frecuencia de corte ƒc de la ecuación (31) sea de 20Hz. Así, la frecuencia
de 20Hz se acoplará con 3dB de atenuación y cualquier otra frecuencia de
audio más alta lo hará con menor atenuación. Para que sean así las cosas la
ecuación (31) nos dice que el condensador ha de ser: C=0.75µF, por lo que
usando el valor normalizado de 1µF cumpliríamos mejor la especificación
de alta fidelidad. Por el contrario, el empleo de un condensador menor, de
0,1 µF por ejemplo, no dejaría entrar bien al amplificador las frecuencias
bajas (tonos graves) de las señales de voz o música, y ello daría lugar a que
el sonido resultase “chillón” o carente de tonos graves.

38. 38
I.8.3- R-C paso-banda del puente de Wien
El divisor de tensión que vamos a ver ahora se utiliza para el diseño
de osciladores senoidales con AO, que utilizan una red de realimentación
en puente, muy adecuada para excitar la entrada diferencial del AO. En
concreto, el divisor al que nos referimos aparece en la Figura 33 y es una
de las ramas de la red en puente comentada, conocida como puente de
Wien.
Figura 33
Como puede observarse consta de una impedancia Z1(jω) compuesta
por una combinación R-C serie y otra impedancia Z2(jω) formada por una
combinación R-C paralelo. La función de transferencia de este divisor es la
siguiente:
R
Vo ( jω ) Z 2 ( jω ) 1 + jωRC 1
= = = (32)
Vi ( jω ) Z1 ( jω ) + Z 2 ( jω ) R  1   f f 
+R +  3+ j − o 
1 + jωRC   jωC 
 f 
 o f 
donde la frecuencia ƒo=1/2πRC tiene la propiedad de ser la única
frecuencia a la que el divisor no desfasa. En otras palabras: una señal de
entrada con esta frecuencia y su señal de salida correspondiente estarán, en
régimen permanente senoidal, totalmente en fase. Ello sucede porque a esta
frecuencia, se anula la parte imaginaria del denominador de la función de
transferencia (32), con lo que la función de transferencia vale 1/3∠0. Por
tanto, si ƒ=ƒ0, la señal de salida será la tercera parte de la de entrada en
amplitud (atenuación 9,5dB: 20log (1/3)=-9.5) y estará totalmente en fase

39. Diseño con Amplificadores Operacionales 39
con la señal de entrada, aspecto éste que resulta de enorme utilidad para el
diseño de osciladores como se verá más tarde. La Figura 34 muestra cómo
se verían en un osciloscopio las señales de entrada y de salida cuando la
primera es de 1V de amplitud y de frecuencia igual a ƒ0.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Amplitud
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo (dos periodos completos)
Figura 34
Una vez analizada esta frecuencia central o especial ƒ0, ya podemos
prever qué ocurrirá en la zona de bajas frecuencias (ƒ<<ƒ0) y en la zona de
altas frecuencias (ƒ>>ƒ0). Para ello resulta muy interesante el empleo de
redes asintóticas para cuando la frecuencia tiende a ser muy baja (f→0,
ω→0) o muy alta (f→∞, ω→∞).
Si f→∞, la reactancia de los condensadores tienda a cero. Debido a
ello en Z1 quedará como dominante la resistencia (la impedancia serie cuyo
módulo sea el mayor) y en Z2 quedará como dominante el condensador (la
admitancia paralelo cuyo módulo sea el mayor). Por lo tanto, para f→∞,
nuestro divisor con cuatro elementos de la Figura 33 queda reducido al
divisor R-C paso-bajo de la Figura 20 y su función de transferencia debe
ser la misma. En efecto, si f→∞, el término ƒ/ƒ0 del denominador de la
ecuación (32) dominará, con lo que dicha ecuación se reduce a:
 
 
 Vo ( jω )   1  1

 V ( jω )  =  ≅
 i  f →∞ 3+  f fo    f  (33)
j −  
 j 

  fo f 
 f →∞
f 
 o

40. 40
que es igual a la ecuación (25) del filtro R-C paso-bajo en su zona de altas
frecuencias. En el caso opuesto, si f→0, la reactancia de los condensadores
será enorme y por tanto, el módulo de su impedancia también. Debido a
ello, en Z1 quedará como dominante el condensador y en Z2 dominará la
resistencia, quedando como red asintótica el filtro R-C paso alto de la
Figura 28. La función de transferencia (32) deberá reducirse en este caso a
la que vimos en la ecuación (27) como efectivamente ocurre al hacer tender
f→0 en la ecuación (32). Tenemos por tanto:
 
 
 Vo ( jω )   1  f

 V ( jω )  =  ≅ j f
 i  f →0   f f  (34)
3+ j − o  

o
  fo f 
  f →0
El diagrama de Bode de la función de transferencia dada por la
ecuación (32) se presenta en la Figura 35. Nótese el paso por cero de la
gráfica de la fase cuando la del módulo es máxima y véanse también las
asíntotas de +20 dB/década y –20dB/década en la gráfica del módulo para
bajas y altas frecuencias. Se ha elegido una fo=10KHz.
Figura 35

41. Diseño con Amplificadores Operacionales 41
Este empleo de redes asintóticas cuando se sabe el comportamiento
de unas pocas redes básicas como los R-C paso-bajo y paso-alto que hemos
revisado, es una buena práctica en Electrónica que puede ayudarnos en
muchas situaciones. Así ha sido en el caso para comprobar si una expresión
dada encaja con lo que se espera de un circuito determinado, como hemos
hecho con la ecuación (32). Sin embargo, su utilidad puede ser mucho
mayor todavía a la hora de aceptar o descartar algunas realimentaciones en
circuitos con Amplificadores Operacionales como veremos en su momento.
Finalmente diremos al lector que si no ha tenido dificultad para
entender todo lo que se ha presentado en este primer capítulo, su grado de
aprovechamiento de los capítulos restantes será muy alto por no decir total.
Si por el contrario, ha encontrado problemas para entender la ley de Ohm
generalizada con impedancias por carecer de conocimientos sobre números
complejos, ello no significa que no pueda sacar provecho de lo restante.
Sus conocimientos sobre el manejo de circuitos resistivos con números
reales le permitirán entender las ideas principales sobre realimentaciones
positivas y negativas que se exponen. Como podrá intuir si éste es su caso,
obtendrá una visión limitada de lo que se exponga, que podrá generalizar
después a medida que adquiera el conocimiento básico sobre manejo de
números complejos que resulta necesario para entender aquellas situaciones
en las que aparezcan impedancias en lugar de resistencias. Aunque desde
ahora le animamos a que adquiera ese conocimiento básico, también le
podemos decir que aun esa visión limitada a números reales que hemos
comentado, le permitirá entender y diseñar muchos de los circuitos con
amplificadores operacionales que se emplean en Electrónica.
***

42. 42

43. Diseño con Amplificadores Operacionales 43
Capítulo II.
Amplificadores Operacionales

44. 44

45. Diseño con Amplificadores Operacionales 45
Capítulo II: Amplificadores Operacionales
II.1- Conceptos básicos de amplificación
El concepto de amplificación de señales eléctricas, sean tensiones o
corrientes, es uno de los más importantes en Electrónica. La idea intuitiva
que sugiere la palabra “amplificación” se recoge en la Figura 1, donde se
ha representado el equivalente circuital (cuadripolo) de un amplificador
electrónico que probablemente llevará en su interior diversos elementos
activos (baterías, transistores bipolares o de efecto campo, etc.) y pasivos
(resistencias, condensadores, quizá transformadores, etc.) conectados de
forma adecuada para lograr la “amplificación” de la señal de entrada. Esa
amplificación consigue que la señal de entrada, de bajo nivel: unos pocos
milivoltios en este caso, haga aparecer a la salida sobre la carga RL una
réplica lo más fiel posible de ella misma, pero con un nivel de varios
voltios. La resistencia de carga RL representa simplemente el circuito
equivalente de entrada de la etapa o sistema posterior (por ejemplo un
altavoz) que va a utilizar la señal una vez amplificada.
Figura 1
De forma análoga, la entrada del amplificador de la Figura 1 está
utilizando la señal del generador de excitación vg cuyo circuito equivalente
serie o de Thèvenin ha sido dibujado (vg, Rg) por lo que convendrá emplear
también el equivalente serie de circuito de entrada del amplificador.
Supondremos que ese equivalente serie de entrada es simplemente una
resistencia Ri como se ha dibujado en la Figura 2. En la Figura 2 aparece
además el equivalente serie de la salida del amplificador, que por muy bien
que lo diseñemos, tendrá una resistencia de salida Ro no nula, aunque podrá
ser muy baja, que es lo que interesa para que no se forme un gran atenuador
con Ro y RL. La formación de este atenuador y la de otro a la entrada
formado por Rg y Ri es inevitable, pero será nuestro objetivo hacer que sus
efectos sean pequeños con un buen diseño de modo que: Ri>>Rg y Ro<<RL.

46. 46
Figura 2
En cuanto al generador de tensión del circuito de salida amplificador,
vemos que se trata de un generador controlado por una tensión, la que haya
sobre Ri en este caso. No es por tanto un generador independiente como Vg,
sino que es un generador dependiente de vε (o controlado por vε), ya que la
tensión que debe dar en este caso es 103 veces vε (Av=103) para que la
tensión de entrada se “amplifique” unas 1000 veces. A partir de la Figura 2
es inmediato obtener la ganancia total de tensión AT=vo/vg. Esta es:
vo v Av RL Ri
AT = = o × v ε = × Av ×
v g Av vε vg R L + Ro Ri + R g (1)
La ecuación (1) es el producto de tres factores o ganancias que son:
la ganancia del atenuador de entrada, la ganancia del generador controlado
y la ganancia del atenuador de salida.
Las ganancias de los atenuadores (pérdidas realmente) serán menores
que la unidad pero serán próximas a 1 si con un buen diseño hacemos que
Ri sea mucho mayor que Rg y que Ro sea mucho menor que RL como ya
anticipamos. Supongamos que hemos conseguido hacer Ri=100KΩ y
Ro=0,1Ω y que el generador de señal es un micrófono magnético cuya Rg es
de 1 KΩ. Supongamos también que RL son 8 Ω y corresponden a la
impedancia nominal de un altavoz. Si aplicamos la ecuación (1)
obtendremos: AT=0,99×103×0,988=978, por lo que la ganancia global
AT=V/VG no es 1000, sino un poco menor debido a las atenuaciones
mencionadas. Si deseáramos que fuera 1000, habría que hacer que la
ganancia del generador controlado fuese Av=1022. De lo anterior se deduce
que un método que permita controlar Ri, Ro y Av nos dará un control de
diseño prácticamente total para obtener la ganancia que deseemos y con la

47. Diseño con Amplificadores Operacionales 47
precisión que queramos. Esto es posible sabiendo aplicar Realimentación
Negativa a los Amplificadores Operacionales y para llegar a ello, debemos
ver antes algunos conceptos interesantes sobre amplificación.
Debido a cómo son internamente la mayoría de dispositivos activos
que podemos emplear para construir amplificadores electrónicos, desde las
válvulas de vacío hasta los más modernos transistores, ocurre que uno de
los terminales del dispositivo es utilizado tanto para formar la entrada de
señal al dispositivo, como para formar la salida de señal del mismo. Ello se
traduce en cuadripolos amplificadores que en realidad sólo tienen tres
terminales que son realmente distintos en lugar de los cuatro que vemos en
la Figura 2. Por ello, el terminal común para la entrada y para la salida se
dibuja como aparece en la Figura 3-a, y cuando se asocian varias etapas en
un mismo sistema con esa filosofía, los terminales comunes de los distintos
dispositivos empleados forman el a veces denominado “raíl de masa”, que
no es más que la interconexión metálica de esos terminales comunes.
Figura 3
Como a dicho “raíl de masa” van muchas conexiones debido a que
actúa como referencia de tensiones, en circuitos más complejos donde
dicho raíl moleste al cruzarse con muchas líneas con las que no debe hacer

48. 48
contacto, se adopta la representación de la figura 3-b, donde cada conexión
al raíl de masa se representa como una “toma de tierra” o conexión a una
superficie equipotencial cuyo potencial es nulo. El uso de este concepto de
un terminal común de referencia de tensiones parece suficiente a primera
vista, pero no resulta demasiado cómodo de cara a ciertas aplicaciones.
Este tipo de amplificación, que denominaríamos desbalanceada, asimétrica
o referida a un terminal común (single ended input output) resulta superada
en muchas aplicaciones por la denominada amplificación diferencial que
veremos a continuación.
Imaginemos el caso de dos hilos conductores de bastante longitud
que discurren cerca de líneas de distribución eléctrica y que se están
empleando para transmitir una señal eléctrica desde un extremo, al que se
aplica un generador vg, hasta el otro donde una etapa receptora recoge la
señal. Debido a la longitud del par de hilos, la señal de vg se atenúa y al
llegar al receptor puede ser de unos pocos milivoltios (vid). Esta señal
aparece como una tensión diferencia (o diferencial) entre los hilos en el
extremo receptor. Debido también a la importante longitud en la que esos
hilos están cerca de las líneas de distribución eléctrica, es muy posible que
se acople a ambos hilos la misma señal vic de 50Hz, de varios voltios de
amplitud respecto a la “masa” de un amplificador como el de la Figura 3.
Esta señal aparece como una tensión común a los dos hilos respecto de
masa (es decir: entre cualquiera de los hilos y masa).
La Figura 4 representa los circuitos equivalentes de los generadores
que el receptor “verá” en el par de hilos A y B. En aras de una mayor
simplicidad se han empleado las resistencias Rd y Rc (en modo diferencial y
común respectivamente, asumiendo Rd<<Rc ), pero bien podían haber sido
impedancias en un caso general.
Figura 4

49. Diseño con Amplificadores Operacionales 49
Como la señal que deseamos amplificar es la señal diferencial que
hay entre los hilos A y B y no queremos desequilibrar a la fuente de señal
(supongamos que tal fuente no admite que uno de sus hilos se conecte a
masa y el otro no) tendremos que utilizar dos amplificadores como los de la
Figura 3, uno para cada señal entre cada hilo y masa y aplicar sus salidas a
un restador. En otras palabras: no podemos conectar a masa uno de los
hilos y usar el otro como terminal activo excitando a un solo amplificador
(de hecho esto puede dar bastantes problemas de ruido). Debido a ello cada
amplificador de los dos propuestos ha de manejar una señal en modo
común vic de varios voltios y 50 Hz, que es la señal ac captada de las líneas
de distribución eléctrica, junto con unos pocos milivoltios (Vid) de señal
útil que necesitamos amplificar hasta el nivel de voltios por ejemplo. Esto
sugiere amplificadores con ganancia 1000, cuya señal en modo común a la
salida será de ¡varios miles de voltios! (mil veces la de 50 Hz) para que la
señal diferencial entre sus salidas sea del orden de voltios.
El restador cancelará la respuesta al modo común y quedará sólo la
señal diferencial de los voltios previstos, pero electrónicamente hablando,
deberíamos tener amplificadores capaces de manejar kilovoltios a su salida
y un restador capaz de aceptarlos en sus entradas. Esta “solución”, además
de complicada y cara, no es la más elegante en esta situación. Mucho mejor
resulta el empleo de “amplificadores diferenciales” cuya señal de salida
sólo es proporcional a la diferencia de tensiones entre sus dos terminales de
entrada, que además son “flotantes”, es decir: ninguno de ellos es un “raíl
de masa”. La señal de salida de estos amplificadores puede ser también
diferencial, con dos terminales específicos para ello o puede estar referida a
masa, dado que esa salida ya no contiene términos en modo común de gran
amplitud frente a la señal diferencial. La Figura 5 representa uno de estos
amplificadores con entrada y salida diferenciales o balanceadas como es el
caso del LM733. Sin embargo, la mayoría de ellos poseen salida referida a
masa o asimétrica y serán el objeto central del próximo apartado.
Figura 5

50. 50
II.2- Amplificadores Operacionales (AO)
Un Amplificador Operacional de tensiones (AO en lo sucesivo) no es
más que un amplificador con entrada diferencial de tensión (vid), salida de
tensión (vo) referida a masa y una ganancia Ad=vo/vid muy grande (valor
típico 106 V/V o 1V/µV: 1 voltio de salida por cada microvoltio de tensión
que exista entre sus entradas). Nótese la ganancia “mixta” en el sentido de
que la salida no es diferencial como la entrada, salvo en AO especiales
como el LM733 ya mencionado. Como puede verse en la Figura 6, la salida
“necesita” el terminal común para formar el “dipolo” de salida (los dos
terminales entre los que definir la tensión vo), pero no así la entrada, que
posee sus dos terminales propios: entrada inversora (-) y no inversora (+)
entre los cuales existe o aparece vid. Por tanto, la tensión de entrada de un
AO suele ser de pocos microvoltios si a su salida hay algunos voltios y casi
siempre vid aparecerá o se creará a partir de vo y de un generador de entrada
(vi o ii) mediante una circuitería adecuada como veremos.
Figura 6
Un AO ideal sólo respondería a la excitación diferencial vid sin
importar la tensión que hubiese entre las patillas (+) y (-) y la “masa” o
terminal común (excitación en modo común). Si hiciéramos lo que se
muestra en la Figura 7: unir las entradas (+) y (-) con un hilo conductor que
las cortocircuitase a efectos de señal de entrada diferencial (vid=0) la señal
vo sería nula, sin importar la tensión en modo común que pudiéramos
aplicar mediante el generador vic. Esa tensión en modo común será en
general alterna (ac) aunque también puede ser un nivel de continua (dc). Lo
que importa es que sea común a las entradas (+) y (-).

51. Diseño con Amplificadores Operacionales 51
Figura 7
Sin embargo, siempre aparece una pequeña respuesta en vo a la señal
vic, que en gran medida se debe a la forma de convertir, dentro del AO, una
señal balanceada o diferencial como vid, en una señal no-balanceada como
vo que está referida a masa. Es lo que se llama respuesta al modo común o
ganancia para modo común Ac=vo/vic y suele ser mucho menor que la
ganancia para excitación diferencial Ad. Así es posible que un AO posea
Ad=106 y Ac=-10, lo que significa que 1µV de señal diferencial (ac o dc)
aplicada a sus entradas (vid=1µV) generará una señal de 1V de amplitud a
la salida (Vo=1V) (ac o dc). Sin embargo, 1µV de señal en modo común (ac
o dc) aplicada a sus entradas (vic=1µV) sólo generará 10µV de amplitud en
vo y el signo negativo en este caso indica que aparecerá invertida a la
salida: cambiada de signo si es dc o con 180º de desfasaje si es ac (que
también es como decir ac cambiada de signo). En principio Ac debería ser
cero, pero por asimetrías tecnológicas en los componentes que forman el
AO, puede ser tanto positiva como negativa y depende del tipo de AO y de
las soluciones circuitales adoptadas en su interior. Por ello sólo importa el
módulo de Ac que es el significado que daremos desde ahora a esta
ganancia en modo común.
El Factor de Rechazo al Modo Común (CMRR) del AO se define
como:
Ad
CMRR =
Ac (2)
que con los datos anteriores valdría: CMRR=106/10=105=100dB.

52. 52
Como es incómodo dibujar figuras como las 6 y 7 con las dos fuentes
de alimentación dc (+Vcc y –Vcc), simplificaremos las cosas suponiendo
que esas fuentes siempre están conectadas entre los terminales +Vcc y
masa y –Vcc y masa respectivamente, y no las dibujaremos. Esa forma de
alimentación simétrica del AO y otras formas asimétricas que también son
posibles según los modelos de AO, no nos preocuparán por ahora a fin de
centrarnos en las señales que introducimos y extraemos del AO. Más
adelante se harán algunas advertencias a fin de tener buenas fuentes de
tensión de alimentación que permitan el paso fácil de señales alternas a su
través. Ello resultará esencial en algunos diseños para altas frecuencias o
para bajo ruido. Como ejemplo de la anterior simplificación, la figura 7
queda como aparece en la Figura 8 y se supone que el AO está
perfectamente alimentado.
Figura 8
Mientras no se diga lo contrario supondremos que la ganancia Ad
siempre tiene el mismo signo respecto a las patillas (+) y (-): una tensión vid
que haga positiva a la patilla (+) respecto a la (-) hará positiva la tensión de
salida respecto a masa y viceversa. Cuando esto deja de ser cierto debido a
la respuesta en frecuencia del AO, hay que tener especial cuidado a la hora
de realimentar señales, pero por ahora no lo consideraremos.
Por todo lo anterior, el modelo simplificado que usaremos para un
AO de tensión bajo un punto de vista circuital es el de la Figura 9, en el que
hemos empleado circuitos equivalentes serie (Thèvenin) tanto a la entrada
como a la salida y hemos despreciado la pequeña respuesta al modo común
frente a la mucho mayor respuesta a señales en modo diferencial. En cuanto
a los valores de los tres componentes del circuito de la Figura 9, diremos
que Ad puede estar comprendida entre 104 y 107 V/V que como vemos, son
ganancias en tensión muy altas.

53. Diseño con Amplificadores Operacionales 53
Figura 9
El valor de Ro depende mucho del tipo de AO que tengamos y así
podríamos pensar que Ro estaría comprendida en el rango 100Ω-1KΩ para
AO de pequeña señal y podría ser de pocos ohmios en AO de potencia
como los usados en etapas de salida de audio, o de control de pequeños
motores. En cuanto al valor de Ri depende mucho de la tecnología (bipolar,
FET o MOS) empleada en el par diferencial de entrada del AO. Así,
valores en el rango de 106-108 ohmios serían típicos de tecnología bipolar.
Por encima de 109 Ω serían típicos de tecnología FET y por encima de 1012
ohmios se obtendrían con tecnología MOS. En estos casos (FET, MOS)
suele ser más importante considerar la capacidad de entrada Cin que suele
haber en paralelo con Rin. No es raro tener Cin=2 pF debido a las puertas de
los FET’s de entrada y a los terminales metálicos de entrada del AO junto
con las pistas del circuito impreso. Si en este caso Rin=1011 Ω, es fácil ver
que a f=1Hz la reactancia de Cin ya domina a Rin y con más razón lo hará a
frecuencias más altas.
La sensación de desasosiego que puede invadir al lector al ver rangos
de variación de Rin y Ro en lugar de valores más o menos precisos es
comprensible ahora, pero desaparecerá pronto, cuando vea que un AO se va
a emplear generalmente con realimentaciones que cambian profundamente
tanto los valores como los significados de los Rin y Ro resultantes.
Volviendo a los parámetros de un AO, hay que considerar que su entrada
diferencial se consigue mediante el empleo de un par diferencial como
primera etapa amplificadora de su circuitería interna. A esta siguen otras
etapas amplificadoras que aportan ganancia y finalmente está la etapa de

54. 54
salida que permite manejar tensiones y corrientes a la salida de cierta
importancia (algunos voltios y decenas de mA en AO de propósito general
y decenas de voltios y algunos amperios en AO especiales).
Aunque éste es el tipo de AO que más emplearemos, hay que decir
que existen otros tipos de Amplificadores integrados como son los AO de
Transconductancia (OTA), los AO con entradas en Corriente (llamados
amplificadores Norton) y los AO preparados para ser realimentados en
corriente. Remitimos al lector interesado en ellos a referencias como [6],
[7], [8] y [14] porque no entraremos en su estudio dado nuestro objetivo de
que el lector asimile, en los ampliamente utilizados AO de Tensión, los
conceptos de Realimentación Negativa y Positiva. Una vez logrado esto, el
propio lector podrá adaptarlos a esos otros Amplificadores Operacionales.
Tan sólo daremos aquí, debido a su gran parecido con los AO, el circuito
equivalente simplificado de los OTA que es el que aparece en la Figura 10.
Figura 10
A la vista del circuito de la Figura 10, podríamos decir que es similar
al de la Figura 9, o que se ha obtenido de aquél transformando el circuito
equivalente serie de salida en un equivalente paralelo o Norton, con lo que
el generador de salida es ahora uno de corriente controlado por tensión a
través de la transconductancia gm (de ahí: Operational Transconductance
Amplifier). Pues bien, aunque ello podría ser cierto desde el punto de vista
circuital, hay una importante diferencia estructural entre un AO y un OTA.
De forma resumida podríamos decir que el OTA es un AO al que le falta la
etapa de salida, de forma que su resistencia de salida estaría por encima de

55. Diseño con Amplificadores Operacionales 55
la centena de kΩ en lugar de ser inferior al KΩ como en los AO. De hecho,
considerando este detalle sobre la Ro mucho más alta en los OTA que en
los AO, su empleo circuital no difiere mucho conceptualmente.
Las Figuras 11 y 12, tomadas de [9], muestran las estructuras
internas bastante simplificadas de un AO (LH0024) y un OTA (LM3080)
típicos y se han incluido para dar una idea al lector sobre los componentes
internos de estos circuitos integrados, que como puede verse, utilizan un
par diferencial como etapa de entrada. Esa etapa amplifica la pequeña
diferencia de tensión (Vid) que haya entre las entradas inversora (-) y no
inversora (+), y el resto del circuito proporciona tanto ganancia adicional
como el circuito de salida referido a masa que tienen estos dispositivos.
Según la tecnología empleada en el diferencial de entrada, los requisitos
necesarios para que esa etapa de entrada funcione varían mucho. Así, con
tecnología bipolar, habrá que prever caminos adecuados para que fluyan las
corrientes de base de los transistores bipolares del diferencial de entrada.
En otras palabras: esas patillas (+) y (-) no pueden estar “al aire”, ya que
muy probablemente en estas condiciones no existirá el AO que esperamos,
al no estar bien polarizado el par diferencial de entrada. Ello será así
aunque hayamos conectado las tensiones de alimentación +Vcc y –Vcc al
AO. Sin embargo, en circuitos con alguna realimentación, es habitual que
esas corrientes fluyan a través de resistencias empleadas para realimentar el
AO, por lo que el diseñador casi no suele preocuparse de ello.
Figura 11

56. 56
Deberá, eso sí, saber evaluar el efecto que ello tiene sobre la tensión
de salida, tema éste que veremos más adelante. La patilla (+) suele ser más
propensa a quedar sin ese camino para la corriente de polarización de la
base del transistor correspondiente. Ello se debe a que las resistencias de
realimentación no suelen ir conectadas a esta patilla, salvo en AO con
realimentación positiva, en cuyo caso es la patilla (-) la que puede carecer
de este camino de polarización. Esperamos que estas reflexiones sirvan al
lector para recordar este importante aspecto en sus diseños, como veremos
en capítulos posteriores. Evidentemente, este aspecto es menos exigente si
el par diferencial de entrada tiene dos transistores FET o MOS, pero no por
ello deja de existir. En este caso la propia naturaleza de lo construido a
veces ayuda y una “simple” capa de suciedad o de humedad entre las pistas
del circuito impreso puede proporcionar un camino (de elevada resistencia:
109 Ω por ejemplo) que, para una corriente del orden del pA (10-12 A) como
la de puerta de un FET, resulta ser un camino “fácil”. Unos pocos mV de
caída de tensión permiten que la corriente indicada circule por ese camino,
ya que: pAx109Ω=mV. Esta “ayuda” parece “solucionar” el problema del
camino para la corriente de polarización olvidado en un mal diseño, pero lo
normal es que se pague un precio por ello. Ese precio suele ser que la
tensión de esa patilla que quedó “al aire” a efectos de dc, adquiera un valor
imprevisto, por ejemplo cercano a +Vcc si la capa de suciedad y humedad
une a esa patilla con una pista del circuito impreso cuya tensión es +Vcc,
con lo que la tensión de salida resulta totalmente incontrolada.
Figura 12

57. Diseño con Amplificadores Operacionales 57
De ahí que el refrán de: “más vale prevenir que lamentar” adquiera
una gran transcendencia en el diseño electrónico en general y en el diseño
con AO en particular. De hecho, las técnicas de guarda (anillos de guarda)
que se emplean en diseños con AO para el manejo de señales débiles, no
son más que la consecuencia de aplicar el sentido común a la naturaleza de
los circuitos que podemos construir físicamente, que no es la misma que la
de los esquemas de circuitos dibujados sobre un papel. Así por ejemplo,
casi nadie suele dibujar esos caminos inesperados debidos a suciedad, entre
otras cosas porque dependen de cómo sea físicamente el circuito impreso,
trazado de las pistas, humedad ambiente, etc.
II.3- Nociones básicas sobre el uso de AO con Realimentación Negativa
Empleando el sentido común y educándolo un poco en este tema, no
resulta difícil analizar circuitos con AO. Dejando a un lado los aspectos de
polarización dc del AO, que serán considerados en su momento, vamos a
centrarnos en el tema y para fijar ideas pensaremos que tenemos un AO
cuyo circuito equivalente (Figura 9) contiene los tres valores siguientes:
Ad≈120dB = 10120/20=106 V/V=1V/µV, R0≈1 KΩ, Ri≈10MΩ
Lo primero que sorprende es que los tres valores anteriores se den
como aproximados, pero ésa es la realidad: no puede darse (ni hará falta,
como veremos) valores exactos, ya que cualquiera de ellos varía con la
temperatura por ejemplo y varían más aún al cambiar de un AO a otro del
mismo modelo y con las mismas características nominales. Esos dos AO
“iguales” sólo son “parecidos” y los valores de sus parámetros no son más
que valores medios estadísticos de los muchos AO del mismo tipo que
produce el fabricante. Otra cosa que sorprende, aunque es un valor típico
para un AO, es la enorme ganancia del circuito (1 millón), que ya nos pone
sobre aviso en cuanto al empleo de este dispositivo como amplificador en
lazo abierto. Esta conexión “en lazo abierto” se representa en la Figura 13 y
supone el empleo del AO con toda su ganancia, es decir, sin ningún tipo de
conexión entre las entradas y la salida del AO. Para una visión más general
de este estado de cosas, las entradas inversora (-) y no-inversora (+) se han
conectado a masa a través de resistencias de 1 MΩ, aunque podrían ser de
cualquier otro valor y nuestro próximo objetivo será obtener la tensión de
salida vo en estas condiciones. Para ir educando el sentido común del lector
diremos que a través de esas resistencias pueden circular las corrientes de
polarización IB+ e IB- del par diferencial de entrada del AO, por lo que el
AO está en condiciones de funcionar o “existe”.

58. 58
Figura 13
A la vista de la figura 13, el sentido común nos dice que como la
tensión de la entrada (+) es igual a la tensión de la entrada (-), la tensión
diferencial de entrada vid=v(+)-v(-) es cero, por lo que la tensión de salida
(vo=106 x vid) será cero también. Sin embargo, conectando un osciloscopio
a la salida del AO de la Figura 13 veríamos una señal oscilando alrededor
de 0V a un ritmo de miles de veces por segundo, o en otras palabras: una
señal de ruido con un ancho de banda de varios KHz. La causa de ello es
simplemente que veríamos amplificado un millón de veces el ruido térmico
generado por la resistencia de entrada del AO (Ri=107 Ω) y las resistencias
de 1 MΩ, que además estaría filtrado por una capacidad parásita (pistas,
patillas, etc) entre las entradas de unos pocos pF. Ese ruido es inevitable y
proporcional a la temperatura absoluta T de las resistencias (T=300 K a
temperatura ambiente) por lo que el circuito de la Figura 13 sería de poca
utilidad y nos muestra que un AO utilizado en lazo abierto no es de mucha
utilidad práctica.
Se puede entender además que el uso de resistencias de bajo valor
(por ejemplo de 50Ω) en lugar de las de 1MΩ no iba a cambiar mucho el
ruido en el circuito, aunque sería algo menor. Aun así, pensar que el
circuito de la Figura 13 podría ser útil para amplificar 1 millón de veces las
débiles señales que pudieran aparecer en generadores que sustituyeran a
esas resistencias es una ingenuidad. En efecto, “confiar” en que la ganancia
Ad de un AO va a permanecer constante es ingenuo. Dicha ganancia será en
general proporcional a la transconductancia gm de uno o más transistores.
Si estos son bipolares, gm es inversamente proporcional a T, por lo que una
variación de pocos grados en la temperatura podría hacer que esa ganancia

59. Diseño con Amplificadores Operacionales 59
nominal de 1 millón cambiase a 900.000 ó a 1.100.000. Aun manteniendo
constante la temperatura de funcionamiento de todos los transistores del
AO (tarea harto difícil) un nuevo problema aparecería al querer sustituir ese
AO por otro del mismo tipo cuando el primero fallase. El valor de Ad que
da el fabricante es un valor medio estadístico y además el fabricante puede
garantizar que Ad estará comprendida entre 600.000 y 1.400.000 en el 95%
de sus AO por ejemplo. Este tipo de fluctuaciones indeseadas, poco o nada
controlables, hacen que el empleo de AO en lazo abierto no sea una
solución profesional en general.
Entonces, si el AO no sirve de mucho en “lazo abierto”, ¿Cómo hay
que utilizarlo?. La respuesta es: añadiendo componentes de forma que parte
de la señal de salida vuelva hacia la entrada, formándose así un lazo o
bucle, o en otras palabras: realimentando señal desde la salida hacia la
entrada del AO. Esto se ha hecho en la Figura 14, donde se ha empleado un
divisor de tensión resistivo (R1 y R2) para tomar una fracción de la tensión
de salida vo (en este caso tal fracción o muestra es del 1%) y realimentarla a
la entrada inversora (-) del AO.
Figura 14
El funcionamiento del lazo de realimentación de la Figura 14 es
sencillo de entender. Si por cualquier causa la tensión de salida vo sufriese
un incremento (por ejemplo enfriando el AO) escribiríamos: vo↑. Esto hará
que la tensión realimentada (vo/100) aumente a su vez, ya que R1 y R2
muestrean todo lo que ocurra en vo. Así escribiríamos: vo↑⇒vr↑. Si la
tensión vr aumenta, la tensión v(-), que es la misma, aumentará también,

60. 60
por lo que vε=v(+)-v(-) disminuirá. Si esta tensión vε disminuye, la tensión
de salida vo=Ad×vε tenderá a disminuir, cancelando en buena medida el
incremento inicial de vo. Según lo anterior, podemos escribir:
vo↑ ⇒ vr=v(-)↑ ⇒ vε↓ ⇒ vo↓ (3)
Con el razonamiento anterior vemos que cualquier señal interna o
fluctuación incontrolada, al recorrer el lazo o bucle tiende a autocancelarse,
por lo que estaríamos ante un lazo de realimentación negativa (RN). No
resulta difícil ver en la Figura 14 que, en ausencia de excitaciones externas,
como el ruido que mencionamos anteriormente, la situación de equilibrio
del circuito es que la salida vo sea nula. En efecto:
vo=0V ⇒ vr=v(-)=0V ⇒ vε=v(+)-v(-)=0V ⇒ vo=Ad×vε=0V.
Consideremos ahora una excitación externa como la de un generador
de corriente i(t) conectado sobre la resistencia de 1MΩ de la Figura 14.
Para el lector preocupado por el ruido térmico que vimos anteriormente
diremos que el ruido correspondiente a esa resistencia se puede representar
por un generador de corriente como el de i(t), por lo que podrá extrapolar lo
que obtengamos al caso de ruido. Para fijar ideas vamos a suponer que i(t)
es constante y de 1 nA, por lo que al circular sobre 1MΩ, creará una
tensión de 1 mV en la patilla (+) del AO. Pronto demostraremos que a
efectos prácticos esto es lo que ocurrirá, ya que no va a circular corriente
hacia la entrada (+) del AO. En la Figura 15 se representa esta situación.
Figura 15

61. Diseño con Amplificadores Operacionales 61
La aparición de una tensión positiva en la entrada (+) hace que la
salida vo aumente, pero esto aumenta la tensión vr y ésta es la tensión de la
entrada (-). Ello irá reduciendo la señal vε hasta lograr un nuevo punto de
equilibrio del circuito en el que todas las tensiones sean coherentes. Por una
parte, la tensión vo ha de ser Ad veces la tensión vε o de forma equivalente,
vε va a ser muy pequeña, por lo que en primera aproximación podemos
suponer vε 0. Ello implica que v(-)=vr ha de ser igual a v(+), es decir:
1mV. Como vr=vo/100 debido a R1 y R2, la tensión de salida será cien veces
mayor: 100×1mV=100 mV. Con ello obtenemos a la salida una tensión que
es cien veces la tensión v(+) creada por i(t) sobre la resistencia de 1 MΩ.
El párrafo anterior resume la forma de hacer amplificadores con este
lazo de realimentación negativa: la tensión aplicada a la entrada (+) hará
aparecer una tensión igual en la entrada (-) y debido al atenuador por 100
(muestreador) ello exige una tensión de salida vo que es 100 veces la
tensión aplicada a la entrada (+). Por tanto, la tensión aplicada a la entrada
(+) hará aparecer en la salida vo una tensión que es 100 veces mayor y así
obtenemos un amplificador de ganancia 100 construido con un AO y un
atenuador de atenuación 100 formando un lazo.
Vemos por tanto que el empleo de realimentación negativa (RN) en
un amplificador de gran ganancia como es un AO, produce una Igualdad de
Tensiones Virtual (ITV) entre las entradas (+) y (-). Esta igualdad de
tensiones entre las entradas es una simple consecuencia del empleo de RN
en un AO y no una especie de “principio” que permita analizar toda clase
de circuitos que a uno se le ocurran en torno a uno o varios AO. Hacemos
esta advertencia para llamar la atención del lector sobre este fenómeno que
con demasiada frecuencia se inculca en los estudiantes bajo el, a nuestro
juicio, desafortunado nombre de “principio del cortocircuito virtual”. De
esta forma el estudiante lo recuerda de memoria y sin haber asimilado su
significado y lo que es peor: lo aplica a todo tipo de circuitos con AO sin
importarle el tipo de realimentación que tengan (negativa o positiva), lo
cual es un error conceptual en el segundo caso.
Decimos que la Igualdad de Tensiones es Virtual porque las dos
tensiones de las patillas (+) y (-) no son exactamente iguales, pero a efectos
prácticos parecen serlo. Para comprobarlo usaremos la Figura 16 que no es
más que la Figura 15 con las distintas tensiones involucradas. Como puede
verse, la tensión realimentada (0.9999 mV) sólo difiere de la tensión de
entrada (1,0000 mV=1nA×1MΩ) en lo necesario (tensión error vε=0,0001
mV) para que la enorme ganancia del AO (1 millón) genere a su salida
vo=100 mV. Obsérvese que hay que afinar hasta el cuarto decimal en los
valores de milivoltios para poder expresar esa pequeña desigualdad de
tensiones entre las entradas (+) y (-). Ello nos permite ver que la tensión de
salida tampoco es exactamente 100 veces el mV de entrada (100 mV por

62. 62
tanto) sino que difiere en una parte por diez mil de ese valor, siendo por
tanto de 99,99 mV.
Figura 16
Estos pequeños errores son cien veces menores que los debidos, por
ejemplo, a la tolerancia de R1 y R2, que aun siendo de precisión tendrán una
imprecisión en torno al 1% (es decir: de 100 partes por diez mil). De todo
ello deducimos una importante consecuencia para circuitos con AO y
realimentación negativa:
AO + RN ⇒ ITV a su entrada
Pero aún hay más cosas que son consecuencia de lo anterior: si entre
las entradas (+) y (-) del AO apenas hay diferencia de tensión, casi no
entrará ni saldrá corriente por esos terminales de entrada. En efecto, si
volvemos a la Figura 16, la corriente que entrará por la patilla (+) del AO y
que saldrá por la patilla (-) es simplemente: 0,0001mV/Ri=10-14 A. Esta
corriente de 0,00001 nA es totalmente despreciable frente a la corriente del
generador de entrada de 1nA, que como hicimos, puede considerarse que
circula por la resistencia 1MΩ. Por lo tanto, la consecuencia anterior debe
ampliarse diciendo que además de generarse una Igualdad de Tensiones
Virtual a la entrada, debido a ello y a la Ri no nula del propio AO, no habrá
entrada ni salida de corriente por las patillas (+) y (-) del AO. Se crea por
tanto una ITV Sin Corriente de señal apreciable que entre o salga por esos
terminales. Entonces la consecuencia completa de aplicar Realimentación
Negativa a un AO queda de la forma siguiente:

63. Diseño con Amplificadores Operacionales 63
(AO+RN) ⇒ ITV(SC) a su entrada. (4)
Esa corriente de entrada por las patillas (+) y (-) que estamos
despreciando es corriente de señal, proporcional a la del generador i(t) de la
Figura 15, por lo que en general unas veces entrará por la patilla (+) y
saldrá por la (-) y otras veces será al contrario según el semiciclo positivo o
negativo de i(t). Esta corriente no debe confundirse con las corrientes de
polarización del AO (IB+ e IB-) que son valores constantes (d.c) y ambas
entran o salen por las patillas (+) y (-), cosa que depende de la estructura
interna del AO. Por ejemplo, las corrientes de polarización IB+ e IB- del AO
de la Figura 11 entrarían hacia el AO al ser las corrientes de base de los dos
transistores bipolares tipo NPN de su par diferencial de entrada.
II.4- Aplicaciones de la Igualdad de Tensiones Virtual Sin Corriente
Una vez entendida la ITV(SC) que aparece como consecuencia de
aplicar Realimentación Negativa al AO, vamos a ver el amplio alcance que
posee para el análisis y el diseño de circuitos con AO. Comenzaremos
empleándola para analizar la configuración amplificadora no-inversora que
acabamos de ver y luego la extenderemos a un par de casos interesantes.
Así, el circuito de la Figura 17, que no es más que la forma simplificada
habitual del que vimos en la Figura 14, nos presenta esa Configuración
Amplificadora No-Inversora (CANI) basada en AO.
Figura 17

64. 64
La ganancia vo/vi se obtendrá aplicando ITV(SC) a la entrada tras
haber comprobado que el circuito tiene Realimentación Negativa, cosa que
vimos en la expresión (3). Si aplicamos ITV, vemos que sobre R1 debe
aparecer una tensión igual a Vi, lo que requiere una corriente i que entre en
R1 por su parte superior, de valor tal que:
i × R1 = vi (5)
Considerando SC, la corriente i tiene que venir a traves de R2 desde
la salida del AO, que pondrá la tensión vo necesaria para que esto ocurra, y
dará además esa corriente i, como se muestra en la Figura 18.
Figura 18
Por tanto, la tensión vo que pondrá el AO a su salida será:
vo = i × (R1 + R2 ) (6)
y para ello se verá obligado a dar una corriente i cuyo valor viene dado por
la ecuación (5). Pues bien, de las ecuaciones (5) y (6) es inmediato obtener
la ganancia de tensión G=vo/vi para esta configuración CANI. Esta es:
R2
GCANI = 1 +
R1 (7)
por lo que, si R2=99R1, entonces la Ganancia valdrá 100, que es lo que
teníamos en la Figura 14. Si vi(t) variase senoidalmente en el tiempo, con

65. Diseño con Amplificadores Operacionales 65
una frecuencia de 1 KHz y 5 mV de amplitud, haría que la tensión de salida
vo(t) variase senoidalmente en el tiempo, con una frecuencia de 1KHz y
con 500mV de amplitud, es decir: vo sería una réplica de vi(t), solo que 100
veces mayor y en fase con vi(t) (Ganancia 100 en módulo y fase 0º).
Esta forma de amplificar se puede generalizar cambiando el divisor
resistivo R1-R2 de la Figura 17 por un divisor de impedancias Z1-Z2. En
este caso la situación dibujada en la Figura 18 sigue siendo válida y
conduce a la siguiente expresión de la Ganancia para señales senoidales:
Z 2 ( jω )
GCANI ( jω ) = 1 + (8)
Z1 ( jω )
Puede comprobar el lector que con solo añadir un condensador en
paralelo con R2 en la Figura 17, la ecuación (8) indica que hemos obtenido
un filtro RC paso-bajo de primer orden parecido al que vimos en el
Capítulo I, pero con la ventaja de tener ganancia 100 en bajas frecuencias
(40 dB) en lugar de ganancia unidad como el del Capítulo I. Además, la
ganancia no sigue cayendo en altas frecuencias como en el caso del R-C sin
AO, sino que tiende a ser la unidad (0 dB) debido al “1” de la ecuación (8).
Es como si hubiéramos obtenido un filtro compuesto por un paso-bajo de
primer orden y ganancia 100 en bajas frecuencias y un paso-todo de
ganancia unidad, ambos trabajando en paralelo.
Vemos por tanto que la ITV(SC) es una herramienta de análisis muy
potente que refleja muy bien el comportamiento del AO con RN. Un nuevo
ejemplo de su utilidad sería el cálculo de efectos debidos a características
del AO no deseadas, pero que son inevitables. Una de ellas es la necesidad
de polarización de su par diferencial de entrada, lo que hace que por las
patillas de entrada (+) y (-) deban circular unas corrientes continuas IB+ e IB-
sobre las que luego se podrán superponer las fluctuaciones de corriente
(señal) que suelen ser despreciables (SC). Las corrientes dc IB+ e IB- no son
en general despreciables y cuando hay resistencias altas en el circuito de
entrada del AO, pueden dar efectos dc a su salida de cierta importancia.
Vamos a tomar como ejemplo el AO de la Figura 11 en el que vamos a
suponer que las corrientes IB+ e IB- son de 2nA. Según esa figura, IB+ e IB-
serán entrantes hacia las bases de los transistores Q8 y Q9 de tipo NPN. Si
empleamos ese AO en el circuito de la Figura 14, ¿Qué efecto dc
producirán IB+ e IB- en la salida del circuito de la Figura 14?.
La respuesta se obtiene mediante superposición de los efectos de IB+
e IB- por separado (al igual que superposición de efectos de generadores en
el Capítulo I) y aplicando ITV(SC) a continuación. Así la corriente IB+
estará circulando en la Figura 14 desde masa hacia la entrada (+) a través
de la resistencia de 1MΩ, por lo que en dicha resistencia habrá una caída de

66. 66
tensión de 2mV. Por tanto, la patilla (+) estará a –2mV respecto a masa y
aplicando ITV(SC) la patilla (-) estará a esa misma tensión, lo que requiere
que la tensión de salida vo sea -200mV. Por tanto, debido a IB+ la salida del
AO de la Figura 14 tendrá un nivel de continua negativo de -0.2V sobre el
que se superpondrán otras señales alternas que puedan existir en el circuito,
por ejemplo el propio ruido. Ahora vendría el efecto debido a IB-, que
deberá entrar por la patilla (-) del AO, circulando a través de R1 y R2, desde
masa y desde la salida del AO respectivamente. Sin embargo, el valor de
R1=1KΩ ya es mil veces menor que el de 1MΩ, lo que nos indica que la
tensión en la patilla (-) del AO debido a IB- va a ser unas 1000 veces menor
que el que produjo IB+ en la patilla (+), es decir: en torno a 2µV. Aplicando
ITV(SC) de nuevo llegaríamos a la conclusión de que el efecto de IB- sólo
modificaría el nivel dc de la salida del AO de la Figura 14 en unos 200µV,
haciéndolo positivo en este caso. La superposición de efectos daría: -
200mV+200µV≈-0.2V, que era en esencia el efecto de IB+.
Una tercera aplicación de la ITV(SC) a la vista de lo que aparece en
la Figura 18, es el diseño de circuitos que sean capaces de hacer circular
una corriente i(t) que sea proporcional a una tensión de control vi(t), por un
dispositivo que así lo requiera. Tal es el caso de un diodo emisor de luz
(LED) en el que la energía luminosa emitida es proporcional a la corriente
que lo excita. Si queremos modular linealmente esa emisión luminosa, de
modo que sea proporcional a una tensión vi(t) que es la señal que contiene
cierta información musical por ejemplo, podemos usar el circuito de la
Figura 19, derivado del de la Figura 18 con solo cambiar la resistencia R2
por el LED que va a ser nuestro transmisor óptico.
Figura 19
En el circuito de la Figura 19, el diodo LED permite que haya
realimentación negativa siempre que vi(t) sea positivo (lo que se consigue

67. Diseño con Amplificadores Operacionales 67
fácilmente añadiendo un nivel dc a la señal alterna musical). Debido a ello
se producirá la ya comentada ITV(SC) entre las entradas (+) y (-) del AO,
que hará que la caída de tensión en la resistencia R sea igual a vi(t). Como
tal caída es producto: R×i(t) y R es constante, la corriente i(t) reproducirá
todas las variaciones temporales de vi(t), conteniendo por tanto su misma
información y ésta pasará a estar en la luz que emita el LED. De esta forma
hemos obtenido un amplificador de transconductancia para excitar el LED,
en el que la señal de entrada es vi(t), la de salida es i(t) y la mencionada
ganancia de transconductancia es Gy=i(t)/vi(t)=1/R. Así una resistencia de
1KΩ nos dará una Gy de 1 mili-Siemens o 1 mili-mho, que significa que
cada voltio en vi(t) hará circular 1mA por el diodo LED.
Con las aplicaciones anteriores hemos visto la forma de obtener
amplicadores con ganancias de tensión (Gv=vo/vi) y de transconductancia
(Gy=io/vi). Quedarían por ver dos casos de amplificación: el de ganancia en
corriente (Gi=io/ii) y el de ganancia de transresistencia (Gz=vo/ii) que son
los que veremos tras analizar aplicando ITV(SC) el circuito de la Figura 20.
Este es un amplificador con AO utilizando la Configuración Amplificadora
Inversora (CAI) que, a diferencia de la CANI de la Figura 17, produce un
cambio de signo en la señal de salida respecto a la entrada (o un desfasaje
de ±180º si trabajamos con señales senoidales y preferimos decirlo así).
Figura 20
Nótese que este circuito y el de la Figura 17 quedan iguales si en
ambos anulamos la excitación vi, por lo que si el de la Figura 17 tenía RN,
éste también la tendrá, ya que la expresión (3) solo implica magnitudes
internas al circuito, nunca la excitación de entrada. Al existir RN en el
circuito de la Figura 20 se producirá una ITV(SC). Como la patilla (+) está

68. 68
conectada a masa (cero voltios) la tensión de la patilla (-) será también muy
próxima a cero voltios, debido a la acción del AO a través de R2 (camino
de Realimentación Negativa). Podemos decir que el punto de unión de R1 y
R2 se convierte en una “masa virtual” en este caso. Como a la entrada hay
vi(t) voltios, por R1 circulará una corriente i(t) dada por:
vi (t ) − v(−) vi (t ) − 0 vi (t )
i (t ) = = = (6)
R1 R1 R1
Por otra parte, la característica SC de la igualdad de tensiones virtual
implica que hacia el interior del AO (por su entrada) no circula corriente de
señal. Por tanto el AO ha de reaccionar haciendo que esa corriente i(t) que
atraviesa R1 se desvíe íntegramente a través de R2 hasta la salida del AO
donde será absorbida por el propio AO. Esta situación se ha dibujado en la
Figura 21 dada su importancia para entender el concepto de “masa virtual”
que debido a la RN aparece en la entrada (-) del AO en CAI.
Figura 21
La tensión vo(t) que necesita poner a su salida el AO para conseguir
lo anterior será:
v(−) − vo (t ) 0 − vo (t )
i (t ) = = ⇒ vo (t ) = − R2 × i (t ) (7)
R2 R2
Con la ayuda de las ecuaciones (6) y (7) el lector puede comprobar
que la ganancia de la etapa con AO en CAI que aparecía en la Figura 20 es:

69. Diseño con Amplificadores Operacionales 69
vo (t ) R
Gv = =− 2 (8)
vi (t ) R1
Tan importante como esta ganancia inversora que hemos obtenido es
el amplificador de transresistencia dibujado en la Figura 21, cuya ganancia
de transresistencia es Gz=vo(t)/i(t)=-R2 según la ecuación (7) y que presenta
el interés añadido de que su entrada es una “masa virtual” que estará a cero
voltios debido a la RN. Toda corriente i que llegue a ella será desviada a
través de R2 hacia la salida del AO o la corriente que salga de ella vendrá a
través de R2 desde la salida del AO. Estas peculiaridades hacen muy
interesante al circuito de la Figura 21 como convertidor I-V para convertir
y amplificar la fotocorriente iph generada por un fotodiodo que reciba luz
como se muestra en la Figura 22. Este podría ser el receptor para nuestro
transmisor óptico de la Figura 19.
Figura 22
Asimismo esa “masa virtual”, que es un punto cuya tensión de cero
voltios no varía aunque le llegue corriente o salga corriente del mismo, es
un excelente nudo sumador de corrientes. Esto permite hacer mezcladores o
sumadores de señales con un fácil control del peso que cada señal va a
tener en la suma final, como se muestra en la Figura 23. Es fácil comprobar
que las señales de entrada no se molestan unas a otras sea cual sea la
resistencia de ponderación Ri que tenga cada una de ellas. La señal de
salida es proporcional a la suma de las señales de entrada, cada una de ellas
ponderada por un factor 1/Ri. Si pensamos en una mesa mezcladora de
audio por ejemplo, la resistencia R de la Figura 23 controlaría la ganancia o

70. 70
volumen general (de todas las entradas a la vez) y cada resistencia de
entrada permitiría ajustar el nivel de salida de cada señal de entrada (canal
de audio) en particular.
Figura 23
Por ello se han puesto todas ellas variables en la Figura 23 y queda
como ejercicio para el lector comprobar, superponiendo los efectos de los
generadores de entrada y aplicando ITV(SC), que la señal de salida del
mezclador es:
v v v 
vo = − R ×  1 + 2 + ..... + n 
R R
 1 2 Rn 

(9)
A la vista de la ecuación (9) la salida del circuito de la Figura 23 es
la suma ponderada cambiada de signo o invertida, pero normalmente esto
no es ningún problema y si alguna vez lo fuese, un segundo AO en CAI
permitiría eliminar el signo negativo.
A fin de completar mediante realizaciones con AO toda la gama de
amplificadores que presentamos en la Tabla I del Capítulo anterior, vamos
a construir un amplificador de ganancia en corriente GI=io/ii a partir de la
combinación de dos que ya hemos visto. Para justificar en ciero modo su
diseño, supondremos que necesitamos un repetidor optoelectrónico que va
a recibir luz modulada sobre su fotodiodo de entrada y va a excitar su diodo
LED de salida con una corriente io(t) proporcional a la débil fotocorriente
iph(t) que genera el fotodiodo, a fin de que el repetidor óptico emita una luz
mucho más potente que la que recibe, pero con su misma información. Ello

71. Diseño con Amplificadores Operacionales 71
nos permitiría aumentar el alcance del enlace óptico o salvar obstáculos que
bloqueen la propagación óptica, como la esquina de un edificio. Para ello
podemos considerar la siguiente expresión:
i0 i 0 v int
GI = = × = GY × G Z (10)
ii v int ii
La ecuación (10) indica que un amplificador de transconductancia y
otro de transresistencia conectados uno tras otro (en cascada) nos pueden
dar lugar al que deseamos. Esta es una práctica común en Electrónica que a
veces se hace sin reflexionar mucho sobre lo que conlleva. Como veremos
en capítulos posteriores, esa conexión en cascada debe hacerse con cierto
cuidado, especialmente si las etapas que se acoplan de esa forma poseen
realimentación. Aquí sólo haremos esta reflexión porque antes de proponer
el circuito de la Figura 24, ya se han considerado cosas que veremos en los
próximos capítulos. De lo visto en este Capítulo, vamos a emplear primero
el circuito de la Figura 22 para convertir iph en una tensión proporcional a
ella (vint) y después emplearemos el circuito de la Figura 19 para excitar el
diodo LED con una corriente proporcional a vint. En la Figura 24 se
presenta esta estructura de amplificador de corriente con el fotodiodo de
entrada y el LED emisor de luz.
Figura 24
Nótese que el LED se ha conectado con polaridad cambiada respecto
a la Figura 19 debido a que la tensión vint es negativa, lo que requiere que la
corriente a través de R1 y del LED vaya desde masa hacia la salida del
AO2, que la absorberá. La ganacia GI=io/iph será por tanto:

72. 72
i 0 i 0 v int 1 R
GI = = × = ×R = = GY × GZ (11)
ii v int ii R1 R1
Según la ecuación (11), unos valores de R=10MΩ y R1=1KΩ nos
darían una ganancia en corriente de 10.000. Para obtener ganancias aún
mayores, la solución no sería en general reducir R1 y aumentar R mucho
más, sino intercalar entre AO1 y AO2 una etapa amplificadora de tensión
como la de la Figura 17 por ejemplo. Los motivos no pueden explicarse de
forma breve ahora, pero se verán más claramente en capítulos posteriores,
cuando veamos Realimentación Negativa y sus grandes posibilidades de
cara al diseño de sistemas electrónicos. Dejando este tema por ahora,
pasamos a ver los efectos del otro tipo de realimentación (la positiva) sobre
los circuitos con AO, que van a ser totalmente opuestos a los anteriores.
II.5- Empleo de AO con realimentación positiva
Una vez presentada la Realimentación Negativa, que aplicada a los
AO producía la ITV(SC) entre sus entradas, vamos a ver ahora qué efectos
produce el realimentar señal de salida hacia la entrada (+) o no-inversora
del AO, en lugar de hacerlo a la entrada (-) como hemos hecho. Para ir
fijando ideas, vamos a considerar el circuito de la Figura 25, que se parece
mucho al de la Figura 17 salvo en el “detalle” de que la señal de salida
muestreada por el divisor R1 y R2 se aplica ahora a la patilla (+) de la
entrada y la señal de entrada vi se aplica a la patilla (-) de dicha entrada.
Figura 25

73. Diseño con Amplificadores Operacionales 73
Mostremos en primer lugar la Realimentación Positiva (RP) que
tiene el circuito de la Figura 25. Se hace de forma similar a como hicimos
en la Figura 14 para obtener la expresión (3). Suponiendo, igual que
entonces, que la entrada vi no varía o que es nula mientras hacemos el
razonamiento, veamos cómo reaccionará el circuito ante una variación de la
tensión de salida por ejemplo. Si vo aumentase debido a cualquier causa
externa como puede ser un pico de tensión (ruido) en el circuito, la tensión
vr que es una muestra o fracción de vo también aumentará, en menor
medida pero lo hará. Si vr aumenta, la tensión diferencial de entrada al AO
[v(+)-v(-)] aumentará y, debido a la ganancia Ad del AO esto hará aumentar
vo de nuevo y así sucesivamente. Por tanto, una perturbación en cualquiera
de las señales internas del circuito es aumentada indefinidamente por éste,
a diferencia del caso con RN en el que esa perturbación tendía a ser
anulada. En nuestro caso con RP escribiríamos:
vo↑ ⇒ vr=v(+)↑ ⇒ vε↑ ⇒ vo↑↑ ⇒ vε↑↑ ⇒ vo↑↑↑ etc. (12)
La expresión (12) contiene un primer aviso de lo que se denomina
“regeneración” en este tipo de circuitos con RP que son capaces de generar
señales en ausencia de señal de entrada. En efecto, aunque en la Figura 25
parece que existe un punto de equilibrio con todas las tensiones nulas (vi,
vo, vr y vε) ese equilibrio no es estable como sucede, bajo RN, en el circuito
de la Figura 17. Así, aun cuando en el de la Figura 25 tuviéramos: vi=0,
vo=0, vr=0 y vε=0 en cierto instante, esta situación desaparecería en seguida
por la presencia del inevitable ruido electrónico.
Dada la imposibilidad de alcanzar el cero absoluto de Temperatura (y
de que el circuito funcionase a T=0K), siempre habrá ruido térmico [10] en
R1 y R2 o en cualquier resistencia interna del AO. Ese ruido se manifiesta
precisamente haciendo que ninguna tensión entre los extremos de una
resistencia pueda tener un valor constante. Siempre habrá una pequeña
fluctuación, unas veces positiva y otras negativa, de algún microvoltio o
nanovoltio de amplitud en bornas de una resistencia que no está a cero
grados Kelvin como mostró experimentalmente Johnson [11] y demostró
teóricamente Nyquist [12]. Debido a ello, la tensión vr de la Figura 25
puede en un instante ser de: vr=+1nV (+10-9 voltios). Si las demás tensiones
de la Figura fuesen nulas, tendríamos el AO excitado con vε=vid=1nV
debido al ruido. Como la ganancia del AO era Ad=106 según dijimos, ese
nanovoltio a la entrada será amplificado hasta el milivoltio (un millón de
veces) a la salida. Si pensamos que el divisor R1-R2 atenúa por 100 como el
de la Figura 16, (R1=1K, R2=99KΩ), ese mV a la salida en vo se habrá
convertido en 1mV/100=10µV sobre R1 y esto de forma casi instantánea
debido a la rapidez de la electrónica. Por tanto, una tensión de ruido que era
inicialmente de 10-9 V es ahora de 10-5 V y estos 10 µV sufrirán la misma

74. 74
autoamplificación por el circuito y se convertirán en 10-1V (100mV) y lo
mismo les ocurrirá a estos y tratarán de convertirse en ¡1000 voltios!
Estos 1000 voltios a la salida no aparecerán porque el AO estará
alimentado con una tensión mucho más baja de ±12 voltios por ejemplo. En
este caso la tensión de salida se quedaría en algo menos de +12 voltios
(esto depende de la tecnología del AO) que podemos suponer de +11V por
ejemplo, aunque en AO más modernos con margen dinámico de salida
denominado “rail to rail” podría ser prácticamente los 12V de alimentación
positiva del AO. Lo que vemos es que partiendo de “la nada”, es decir: sin
excitación de entrada vi que gobierne el circuito de la Figura 25, éste “se ha
inventado” una señal de salida de +11V. Realmente la ha generado a partir
de su ruido térmico, por lo que estos circuitos con RP suficiente para ello
deberían ser llamados “generativos” (que tienen la virtud de engendrar) en
lugar de regenerativos, que es como se les denomina.
El circuito anterior no sólo es capaz de generar la señal V0=+11V a
su salida. También puede generar del mismo modo una salida de –11V,
como el lector puede comprobar suponiendo que la tensión inicial de ruido
sobre R1 fuese de –10nV (-10-9 voltios) en lugar de los +10nV que hemos
puesto como ejemplo. Por lo tanto, el circuito de la Figura 25 una vez
alimentado, siempre dará a su salida una tensión vo de +11V o de –11V,
pero nunca dará cero voltios, ya que hemos visto que éste es un punto de
equilibrio inestable. Hemos construido por tanto un circuito que es capaz
de presentar dos estados estables a su salida, es decir: un circuito biestable
y más importante aún: hemos visto que, a diferencia de la RN que tiende a
estabilizar las cosas (a buscar el punto de equilibrio con vo=0V) la RP
tiende a crear la mayor desigualdad posible de tensiones a la entrada, es
decir a generar señales en el circuito.
Esta visión electrónica de la capacidad de generar señales de algunos
circuitos con Realimentación Positiva es muy importante de cara al diseño
de osciladores electrónicos (generadores de señal) que hoy en día están
presentes en casi todos nuestros aparatos electrónicos: relojes, ordenadores
personales, teléfonos móviles, posicionadores GPS, temporizadores en
electrodomésticos, etc. La diferencia entre los efectos de realimentar señal
desde la salida hacia la entrada como realimentación negativa (RN) y
positiva (RP) se esquematizan en la Figura 26, donde se ve que mientras la
RN busca el estado de equilibrio (vo=0 si vi=0), la RP busca justo lo
contrario y según por qué lado se aparte de vo, el circuito va al estado “1” o
al estado “0”, lo que tiene aplicación inmediata en el manejo electrónico de
datos binarios (unos y ceros) que es la base de los ordenadores electrónicos
digitales. Esta importante diferencia, la búsqueda del equilibrio por parte de
la RN y el máximo alejamiento del equilibrio por parte de la RP va a hacer
que la forma de abordar los circuitos con AO y RP sea totalmente distinta a
la que vimos para los circuitos con AO y RN.

75. Diseño con Amplificadores Operacionales 75
Figura 26
Como puede verse en la Figura 26 mediante la bola situada en el
punto de unión de dos rampas, la realimentación negativa tiende a hacer
cero la señal error (vε=V(+)-V(-)) que gobierna al AO. Por el contrario, la
realimentación positiva tiende a hacer lo mayor posible esa señal error una
vez que vε ha aparecido con un signo u otro.
Una vez entendido el concepto de regeneración, o mejor, generación
de señales, que presenta el circuito de la Figura 25, vamos a obtener con
ayuda de la Ley de Ohm las pautas que rigen su comportamiento a medida
que variamos la tensión vi. Para empezar supondremos que el AO está
alimentado con +12 V y –12V respecto a masa y que sus tensiones de
salida máxima y mínima son, debido a ello y a la tecnología de fabricación
del AO, V0MAX=11V y V0MIN=-11V. Suponiendo que inicialmente vi es cero
sólo nos falta elegir uno de los dos posibles estados estables del circuito,
bien sea vo=+11V o vo=-11V, porque vo=0V no es un estado estable y
evolucionará, como hemos mostrado, hacia uno de los dos estados estables.
Elegiremos el primero: v0=+11V y empezaremos nuestro razonamiento
recordando los tres valores importantes del AO que dimos en relación con
su modelo de la Figura 9: Ad≈106, Ro≈1KΩ y Ri≈10MΩ. Aunque éste era
un modelo de pequeña señal válido para valores muy pequeños de vid y
nosotros vamos a tener valores de vid importantes, lo consideraremos válido
por ahora para lo que viene.
En la Figura 27 se ha representado el punto de partida de nuestro
análisis: vo=+11V y vi=0V. En estas condiciones y con los valores de
R1=1KΩ y R2=99 KΩ (los mismos que usamos antes con realimentación
negativa) la corriente por las resistencias R1 y R2 será del orden de 0.11 mA
(11V/100KΩ=0,11 mA). Esta es la corriente IDIV que hemos dibujado en
esa figura y ello da lugar a que sobre R1 aparezca una tensión de +0.11V.

76. 76
Figura 27
Para calcular IDIV hemos despreciado la corriente que pueda ir hacia,
o venir de, la entrada (+) del AO. Sin embargo ahora no tendríamos
derecho a hacerlo a menos que demostrásemos que es despreciable, porque
ahora no se produce una ITV(SC) sino todo lo contrario. De hecho la
tensión que IDIV genera en R1 es de +0,11V: el divisor R1-R2 muestrea una
tensión vo= +11V y sobre R1 presenta la centésima parte de esa tensión. La
corriente que debido a esa tensión tendería a entrar hacia la entrada (+) del
AO sería del orden de: [v(+)-v(-)]/Ri≈ 0,11/107≈10-8 A. Por lo tanto, sólo
debido a la alta Ri del AO la corriente que absorberá por su entrada (+) es
completamente despreciable frente a IDIV. Nótese la importante diferencia
con el caso en el que había ITV(SC): allí la corriente aún era mucho más
baja porque v(+)-v(-) tendía a cero. Ahora, sólo la alta Ri del AO impide un
consumo apreciable de corriente por la entrada, cosa que con ITV(SC) ello
era debido más a la igualdad virtual de tensiones que al valor de Ri (aunque
éste también ayudaba).
Acabamos de presentar el máximo valor de la tensión en la entrada
(+) del AO que es de: +0,11V. Este valor no es más que el producto de vo
por el factor de atenuación del divisor R1-R2. Es decir:
R1
v(+ ) MAX = voMAX × (13)
R1 + R 2
Este valor es importante porque como veremos enseguida los valores
de tensión v(+) que van a generarse en el circuito al ir variando vi son éste
y su opuesto. Para demostrarlo vamos a ir aumentando el valor de vi desde

77. Diseño con Amplificadores Operacionales 77
donde está ahora: vi=0. Es fácil ver que hasta que vi no supere v(+)MAX, el
circuito seguirá en el estado en el que está con vo=+11V. Por ejemplo, si vi
aumenta hasta +0,1V, todavía la tensión v(+) es de +0,11V y como:
v0=Ad×[v(+)-v(-)], el circuito no variará su tensión de salida vo=+11V.
Ahora bien, en cuanto vi sobrepase ligeramente el valor v(+)MAX=0,11V
(por ejemplo vi=0,111 voltios) la tensión de la entrada (-) será 1 milivoltio
mayor que la entrada (+) y esto es suficiente para que la salida vo cambie
bruscamente a –11V. Realmente esto ocurriría con menos diferencia de
tensiones a la entrada que 1mV. Bastaría con 11 microvoltios de diferencia
a favor de v(-) ya que:
Vo=-11V=106×[v(+)-v(-)] ⇒ v(+)-v(-)=-11µV (14)
Como hablar de microvoltios es estar muy cerca de los valores de
tensión de ruido en resistencias como las empleadas a poco ancho de banda
que se considere, se acepta que cuando vi alcanza el valor v(+)MAX de la
ecuación (13), el circuito biestable de las Figuras 25 ó 27 bascula de su
estado estable definido por vo=+11V a su otro estado estable definido por
vo=-11V (tramo B1-B2 de la Figura 28). Esto a su vez hace que la tensión en
la patilla (+) cambie bruscamente al valor:
R1
v(+ ) MIN = voMIN × (15)
R1 + R 2
Este brusco cambio de v(+) hace que, como v(-)=vi es justamente
igual al valor v(+)MAX, la diferencia de tensiones entre las entradas se
amplifique bruscamente, pasando a ser el valor característico siguiente:
R1
∆vε = v(+ ) MIN − v(+ ) MAX = (voMIN − voMAX ) × (16)
R1 + R 2
Aquí vemos claramente que la RP tiende a hacer lo más desiguales
posible las tensiones en las entradas (+) y (-). Con los valores voMAX=+11V
y el atenuador por 100 (R1=1KΩ, R2=99KΩ) la ecuación (16) indica que la
zona de histéresis (luego veremos su significado) es: ∆Vε=-0,22V. Esta
zona es de gran interés si el circuito se emplea como comparador con
histéresis para luchar contra el ruido, como veremos más tarde. Si una vez
que el circuito ha basculado o cambiado de estado vi sigue aumentando, no
sucede nada más (salvo que vi sea tan alto que pueda dañar la entrada del
AO). El circuito permanece en su estado “0” (con vo=-11V).

78. 78
Toda esta evolución del circuito se ha dibujado en la Figura 28,
cuyos ejes son vo (salida) en función de vi (entrada) y donde el punto A) era
el punto de partida. Nótese que esta gráfica es parte de la función de
transferencia salida-entrada del circuito de la Figura 27.
Figura 28
La Figura 28 está incompleta, ya que nos falta ver qué ocurre si vi
adquiere valores negativos por ejemplo. Sin embargo, en lugar de empezar
de nuevo el razonamiento con Vi=0, vamos a continuarlo partiendo desde
donde habíamos terminado el razonamiento anterior: en el punto C de la
Figura 28, con una vi mayor que v(+)MAX y con el circuito biestable en el
estado “0” (vo=-11V). Si ahora vi se va reduciendo, el circuito permanece
en su estado “0” incluso cuando llegamos a vi=v(+)MAX (Punto B2) porque
ahora la señal error v(+)-v(-) es negativa y de valor igual a ∆VE. Por ello el
circuito no pasa del punto B2 al B1 sino que continúa hacia el punto D de la
Figura 29, en el que vi será cero y v(+) seguirá siendo v(+)MIN=-0,11V. Si
ahora vi sigue disminuyendo y empieza a ser negativa, hasta que no alcance
el valor de la entrada (+) (los –0,11V que acabamos de decir) el circuito
seguirá en su estado “0”. En cuanto vi sea ligeramente más negativa que
v(+)MIN, el circuito basculará a su estado “1” (al tener una señal error algo
positiva que se autoincrementará al bascular). Esta situación corresponde a
los puntos E1-E2 de la Figura 29 (que de hecho representan una transición
brusca de la salida, al igual que lo hacían los puntos B1-B2). Si vi sigue
decreciendo (haciéndose más negativa, el circuito permanece en su estado
“1” (punto F de la Figura 29) y no ocurre nada más si vi no alcanza valores
muy negativos que puedan dañar la entrada del AO.

79. Diseño con Amplificadores Operacionales 79
Figura 29
Se deja al lector como ejercicio que compruebe que, partiendo del
punto F, al aumentar vi pasaremos por el punto E2 cuando vi sea igual a
V(+)MIN y no pasará nada más, de modo que al seguir aumentando vi hasta
cero recorreremos el camino entre los puntos E2 y A en línea recta,
cerrando el ciclo con histéresis de la Figura 29 que se presenta completo en
la Figura 30 (histéresis en la tensión vi de valor ∆Vε).
Figura 30

80. 80
La función de transferencia de la Figura 30 que acabamos de ver es
la de un circuito comparador con histéresis. La anchura del ciclo de
histéresis ∆VE viene fijada en esencia por el divisor resistivo R1 R2 de la
Figura 25, ya que las tensiones máxima y mínima de salida son cercanas a
las de alimentación +Vcc y –Vcc. Por ello, haciendo R1→0 y R2→∞(que no
es más que suprimir R2 y R1, conectar la patilla (+) directamente a masa) la
anchura del ciclo de histéresis se hace nula: los puntos B1 B2 y E1 E2 pasan
a estar sobre los puntos A y D y el circuito pasa siempre por los mismos
puntos al variar Vi. Tenemos un simple comparador basado en un AO en
lazo abierto (sin lazo de realimentación de ningún tipo) que a primera vista
parece que cumpliría su función de comparador igual de bien o mejor que
el comparador generativo de la Figura 25. Sin embargo, el circuito con
histéresis puede ser ventajoso en algunos aspectos como vamos a ver.
Supongamos que tenemos una señal como la de la Figura 31-a en la
que deseamos detectar cuándo está por dabajo de cero (cuándo es negativa)
y cuándo es positiva, mediante un circuito que dé a su salida una tensión
alta y positiva en el primer caso y baja y negativa en el segundo.
Figura 31
Si la señal es limpia, como en la Figura 31-a, el comparador sin
histéresis funciona bien: cuando la señal cruza por cero (punto x) la salida
del AO basculará de voMAX≈+Vcc a voMIN≈–Vcc. Sin embargo, si la señal va
acompañada de ruido como en la Figura 31-b, las cosas son muy distintas.

81. Diseño con Amplificadores Operacionales 81
Al estar la señal cerca de cero, los picos de ruido harán que se
produzca una ráfaga de conmutaciones de +Vcc a –Vcc y de –Vcc a +Vcc en
puntos donde los picos de ruido hagan cruzar por cero la señal
[vi(t)+ruido], con lo que no tendremos una buena indicación del cruce por
cero de la señal vi(t) (el punto X). Curiosamente, la realimentación positiva
que hace al circuito generativo le permite también luchar contra los efectos
del ruido mostrados en la Figura 31-b. Si empleamos el comparador con
una histéresis ∆Vε como se muestra en la Figura 32, eliminaremos la ráfaga
de conmutaciones y disfrutaremos además de una ventaja adicional; el
circuito conmutará más deprisa debido a la acción de la realimentación
positiva, porque en cuanto cambia de estado, la entrada diferencial del AO
pasa a estar excitada por una señal que no es un valor cercano a cero de vi,
sino la diferencia entre ese valor casi nulo y uno de los valores v(+)MAX o
v(+)MIN que se realimentan a la patilla (+) del AO. Esto aumenta la rapidez
de evolución de la electrónica interna del AO durante la conmutación.
Figura 32
Tras esta primera aplicación del circuito de la Figura 25 diremos que
recibe el nombre de “comparador Schmitt” (Schmitt trigger) y es la base de

82. 82
otros circuitos (monoestables, aestables) que usan realimentación positiva.
Repetimos el importante papel que juega en su análisis el estado de partida:
el circuito recuerda en qué estado está y en función de ello reacciona de
una forma u otra ante la entrada vi. No en vano es un biestable: la base de
las memorias electrónicas. Por lo tanto, los aspectos de biestabilidad y
generación de señales a partir de ruido interno (autoamplificación), están
íntimamente relacionados con la realimentación positiva.
Por último, vamos a mostrar la forma de obtener la señal de salida
del circuito de la Figura 27 a partir de la de entrada vi y de la función de
transferencia de la Figura 30. Es lo que se ha hecho punto a punto (A, B, C,
D, etc.) en la Figura 33 donde en la zona de histéresis se ha considerado el
estado anterior para resolver la doble posibilidad debida a los tramos E2-B1
y E1-B2 de la Figura 30.
Figura 33
Como puede observarse, en cuanto la señal vi(t) es tan positiva que
hace bascular el trigger (punto B) ya no importa que se haga más positiva
todavía o que decaiga y se meta de nuevo en la zona de histéresis. Nada de
ello produce nuevas conmutaciones hasta que se vuelve tan negativa que se
sale de la zona de histéresis en el punto F haciendo que el circuito conmute
en sentido opuesto al anterior. Así se evita la ráfaga de conmutaciones

83. Diseño con Amplificadores Operacionales 83
debida al ruido que acompaña a la señal vi(t) cuando ésta se acerca a cero
voltios. La versatilidad del circuito que acabamos de ver aumenta si se le
añade una tensión de referencia vref debajo de la resistencia R1 como se
muestra en la Figura 34. De esta forma la tensión vref fija la tensión central
del bucle de histéresis de la curva de transferencia de la Figura 30, de modo
que la Figura 30 es la curva de transferencia del biestable de la Figura 34
con vref=0V.
Figura 34
Si quisiéramos detectar cuándo la señal vi(t) está próxima a 1.5V, el
circuito de la Figura 34 con Vref=1.5V sería muy adecuado. Esto ya nos da
un primer indicio de la flexibilidad de este circuito, pero todavía se pueden
prever otras utilidades considerando que las tensiones vi y vref pueden ser
intercambiadas. Nos referimos a la posibilidad de utilizar vi como
referencia y vref como señal de disparo del trigger. Dejamos al lector como
ejercicio la obtención de la curva de transferencia (vo en función de vref) del
circuito de la Figura 34 superponiendo los efectos de vref y vo en la patilla
(+) del AO para ver cómo es v(+) frente a v(-)=vi y por tanto cómo es la
salida vo. Si no le resulta fácil obtener esa curva de transferencia, puede
seguir leyendo el libro y la encontrará más adelante, aunque le animamos a
obtenerla por sí mismo, aplicando cosas que se han visto en este capítulo y
en el anterior.

84. 84
II.6- Conclusiones
Tras lo visto en este capítulo ya podemos explicar el calificativo de
“Operacional” dado a este tipo de amplificadores con entrada diferencial y
ganancia muy alta. Son amplificadores que con Realimentación Negativa
dan lugar a etapas cuya ganancia sólo depende de los elementos que se
utilicen para realimentarlos. Así, empleando un atenuador obteníamos un
amplificador (justo lo contrario del atenuador) y de forma similar, un filtro
paso-bajo se obtendrá empleando un atenuador variable con la frecuencia
que sea un filtro paso-alto. Esto permite hacer muchas “operaciones” con
señales analógicas (amplificarlas, filtrarlas, sumarlas, conversión i v y
v i, etc.) con sólo emplear una realimentación que haga la operación
contraria y de ahí el nombre de Amplificador Operacional dado a este
componente, al que podemos considerar como el componente analógico
más empleado en los diseños actuales.
Asímismo, hemos visto que la realimentación opuesta (la positiva),
aplicada a estos AO produce circuitos generativos (biestables por ahora,
luego veremos otros) que forman la base de las memorias electrónicas y de
muchos generadores de señal electrónicos. El comportamiento del AO en
este caso difiere totalmente del que se obtiene con realimentación negativa
y en el análisis de estos circuitos hay que considerar su “efecto memoria” o
dicho de otro modo, el estado del que parte el circuito cuando empieza a ser
excitado por una señal de entrada.
La forma de analizar circuitos con AO y RN se basa en el empleo de
la excelente aproximación de ITV(SC) que se crea entre las entradas del
AO con RN. La forma de analizar circuitos con AO y RP es totalmente
distinta, no siendo aplicable la ITV(SC) y debiéndose considerar el efecto
memoria del circuito mediante su estado inicial de partida.
***

85. Diseño con Amplificadores Operacionales 85
Capítulo III.
Circuitos basados en AO con
Realimentación Negativa

86. 86

87. Diseño con Amplificadores Operacionales 87
Capítulo III: Circuitos basados en AO con
Realimentación Negativa.
III.1- Introducción
En el Capítulo anterior hemos visto que si tomamos una muestra de
la señal de salida de un AO (con un divisor resistivo en aquel caso) y la
realimentamos negativamente hacia la entrada, obteníamos un amplificador
de menor ganancia que la del AO, pero cuyo valor era igual al inverso del
factor de atenuación del divisor. Realimentar “negativamente a la entrada”
suponía llevar la muestra de señal de salida al terminal (-) de entrada del
AO. Sin embargo hay algo más sutil en esta forma de hacer las cosas y ello
es la formación de un restador a la entrada del circuito debido a la conexión
en serie de dos redes o cuadripolos (el del AO y el de realimentación) como
podemos ver en las Figuras 16 y 17 del capítulo anterior, o de forma más
clara en la Figura 1 de este Capítulo.
Figura 1
La señal error vε, que es la resta o diferencia vε=vi-vr, es la señal que
se aplica a la que llamaremos red A o cuadripolo de transferencia directa.
La señal realimentada vr llega al restador de entrada a través de otra red o
cuadripolo que es el del circuito empleado para muestrear la señal de salida
y llevarla a la entrada. Este cuadripolo suele ser pasivo, a menudo formado
por resistencias como las del divisor resistivo que ya hemos utilizado y
recibirá el nombre de red β, cuadripolo de transferencia inversa o red de
realimentación. Véase la abstracción realizada al pasar del restador real que
es la conexión serie de cuadripolos con dos hilos en cada entrada, al
restador idealizado de señales en la derecha de la misma figura.

88. 88
Pues bien, con el restador de entrada y las redes A y β ya tenemos los
componentes necesarios para un diagrama muy utilizado en el estudio de
sistemas electrónicos que usan realimentación negativa (RN). Es el que se
presenta en la Figura 2 y lo primero que hay que señalar es su nivel
abstracto y general, de forma que las señales “viajan” por caminos con un
solo “hilo” y van a cajas o bloques con ganancias A y β que amplifican
esas señales sin preocuparnos de si se molestan unas a otras al tocar en el
mismo punto para compartir la misma señal. Esto en Electrónica no sucede,
porque siempre hay efectos de carga de unos circuitos sobre otros y si un
circuito se conecta a una entrada, siempre aporta su circuito equivalente,
serie o paralelo (Thèvenin o Norton). Olvidando por ahora estos efectos de
carga que luego serán esenciales, vamos a ver la simplicidad y belleza que
encierra el diagrama de señales de la Figura 2.
Figura 2
En esta figura, el bloque A es el de transferencia directa (transfiere
señal en el sentido entrada→salida) y el bloque β es el de transferencia
inversa: transfiere señal desde la salida hacia la entrada. Con la abstracción
realizada, la entrada del bloque β “toca” la salida del bloque A y se supone
que eso le permite muestrear la señal de salida vo sin “molestar” (sin que el
valor de vo varíe por el efecto de carga al tocar). Debido a ello la señal que
realimenta el bloque β es simplemente:
v r = β × vo (1)
A su vez vo es la señal de salida del bloque de ganancia A, por lo que:
vo = A × vε = A × (vi − vr ) = A × (vi − β × vo ) (2)

89. Diseño con Amplificadores Operacionales 89
De la ecuación (2) se obtiene la función de transferencia global vo/vi
del diagrama de la Figura 2. Esta función es:
vo A
G= =
vi 1 + Aβ (3)
La ecuación (3) resulta fundamental para entender las propiedades de
circuitos con realimentación negativa en los que tendremos un restador de
señales a la entrada como el de la Figura 1, o su versión dual para restar
corrientes, que como veremos será una conexión paralelo. Nótese que una
simple conexión serie a la entrada de la Figura 1 es el restador electrónico
de tensiones más simple y rápido que podemos hacer.
III.2- Propiedades de circuitos con Realimentación Negativa
Un ejemplo de la utilidad de la ecuación (3) es la fácil explicación
que nos da sobre los amplificadores basados en AO y atenuador (divisor de
tensión) que vimos en el capítulo anterior. Si un AO de alta ganancia
(A→∞) es realimentado con la ayuda de un divisor de tensión resistivo (R1-
R2) que muestrea la salida del AO y realimenta negativamente a su entrada
una fracción de vo (βvo) con β=R1/(R1+R2), la ganancia G del circuito total
realimentado será muy aproximadamente el inverso del factor de
atenuación β. Este resultado se obtiene al hacer que la ganancia A en la
ecuación (3) tienda a infinito. El producto A×β será mucho mayor que el 1
del denominador de dicha ecuación y obtendremos:
 A  A 1
Lim A→ ∞G = Lim A→ ∞   = =
1 + Aβ  Aβ β
(4)
El resultado de la ecuación (4) es lo que nos permite hacer diseños de
amplificadores y circuitos electrónicos con prestaciones profesionales. Si
empleando RN logramos A×β>>1, la ganancia global G no va a depender
apenas de la ganancia A (que puede variar por ejemplo entre 1.000.000 y
1.200.000), sino que va a venir fijada por un cociente de resistencias que es
mucho más estable. Este efecto suele cuantificarse y se recoge en lo que se
denomina Factor de desensibilización de la ganancia Fd, definido como el
cociente de las variaciones relativas de G y de A. La utilidad de Fd se ve
mejor con un ejemplo numérico. Supongamos que hemos construido un
amplificador de ganancia G=100 a partir de un AO de ganancia 1.000.000
realimentado mediante un divisor resistivo R1-R2 de factor de atenuación

90. 90
β=0.01 (por ejemplo: R1=1KΩ y R2=99KΩ en la Figura 17 del Capítulo II).
Según la ecuación (3) la ganancia G será: G=106/(1+106×0,01)=99,99 que
sólo difiere de 100 en 100 partes por millón (0,01%). Pues bien, si el AO
de este diseño se estropease y tuviéramos que reemplazarlo por un nuevo
AO del mismo tipo, éste bien podría tener una ganancia de 1.100.000, es
decir: un 10% mayor que la del AO inicial. Ahora la pregunta es: si la
nueva ganancia A es un 10% mayor, ¿Qué variación relativa sufrirá la
ganancia G? Podemos utilizar la ecuación (3) de nuevo para obtener la
nueva ganancia G´=1.1×106/(1+1.1×106×0,01)=99,991 que sólo difiere de
100 en 99 partes por millón. Como vemos, la variación relativa de G ha
sido de una parte en 99.990 (casi una parte en 105) mientras que la
variación en A fue del 10% (o de 10.000 partes en 105). Por tanto, la
ganancia G “siente” las variaciones de ganancia A, pero lo hace con una
sensibilidad 10.000 veces menor (o dicho de otro modo: G es 10.000 veces
más estable que A).
El Factor de desensibilización de la ganancia G se obtiene derivando
la ecuación (3) respecto de la ganancia A. Así tenemos:
∂G (1 + Aβ ) − Aβ A 1 1
= = × × ⇒
∂A (1 + Aβ )2 (1 + Aβ ) (1 + Aβ ) A
∂G 1 ∂A ∆G 1 ∆A ∆A
= × ⇒ = × = Fd ×
G (1 + Aβ ) A
(5)
G (1 + Aβ ) A A
La ecuación (5) que define el factor Fd, indica que es inversamente
proporcional al denominador de la ecuación (3), en el que juega un papel
importante el producto T=Aβ denominando ganancia de lazo. Este nombre
se entiende al ver la Figura 2 sin señal de entrada vi. En ese caso, T=Aβ es
la ganancia que experimentará una señal que salga del restador como vε y
vuelva él como señal realimentada vr tras recorrer el lazo del circuito. En
cuanto al factor Fd, mucho menor que la unidad en general, indica por tanto
cómo de sensible es la ganancia G ante pequeñas variaciones de ganancia
A (obsérvese el carácter diferencial de Fd). Para variaciones grandes de
ganancia A (por ejemplo: ∆A/A>5%), debemos usar dos veces la ecuación
(3) como hemos hecho en el ejemplo.
Tras la Desensibilización de la Ganancia producida por la RN vamos
a ver ahora otra propiedad, la modificación de Impedancias, de gran interés
en Electrónica. Para ello hay que dejar de momento el diagrama de bloques
de la Figura 2 y centrarse en el restador de la Figura 1, que reproducimos
con algún detalle adicional en la Figura 3. En esta figura vemos que la red
β muestrea la salida de la red A, por lo que realimentará hacia la entrada

91. Diseño con Amplificadores Operacionales 91
una señal que será βSo, siendo So=Avε la señal de salida de la red A. Por
tanto, la señal realimentada será vr=Aβvε=T×vε como acabamos de
comentar al definir la ganancia de lazo T.
Figura 3
Podemos ver las cosas de la siguiente forma: si alguien aplicase una
tensión de entrada vi, la realimentación negativa haría aparecer una tensión
realimentada vr=Aβvε (casi igual a vi) cuya suma con la pequeña tensión vε
iguala la tensión de entrada vi. Por tanto:
vi = vε + Aβvε = (1 + Aβ )vε (6)
La ecuación (6) muestra que debido al efecto del restador, sólo una
pequeña parte de la tensión vi queda aplicada sobre la resistencia de entrada
de la red A (la resistencia de entrada RiSR del AO en nuestro caso). Esa
pequeña parte de vi es concretamente (1+Aβ) veces menor que la propia vi,
por lo que la corriente común ii que circulará por las entradas de las redes A
y β, conectadas en serie para formar el restador de entrada, será:
vi
v
ii = e =
(1 + Aβ ) = vi
(7)
RiSR RiSR (1 + Aβ ) × RiSR
Si ahora queremos saber qué impedancia de entrada RiCR está viendo
el generador de excitación vi, no tenemos más que obtener el cociente entre
vi y la corriente ii a partir de la ecuación (7). Así obtenemos:

92. 92
RiCR = (1 + Aβ ) × RiSR (8)
La ecuación (8) muestra una importante consecuencia derivada del
esquema de RN de tensión a la entrada que hemos estudiado: la resistencia
de entrada del circuito con realimentación es (1+Aβ) veces mayor que la
resistencia de entrada del amplificacior sin realimentar RiSR. Todo ello es
debido a la conexión serie (restador de tensiones) en la entrada de las redes
A y β y es producido por la realimentación negativa, que hace que la señal
error vε aplicada sobre RiSR sea (1+Aβ) veces menor que la señal de entrada
vi. De ello se deriva que la corriente de entrada ii, común a los cuadripolos
conectados en serie, sea mucho más débil que si no existiera realimentación
y vi atacase a RiSR directamente.
El efecto anterior es generalizable totalmente al caso de impedancias,
por lo que la ecuación más general que debemos tener en cuenta para el
caso de una conexión restadora serie a la entrada, es:
Z iCR = (1 + Aβ ) × Z iSR (9)
Por lo tanto, el hecho de realimentar negativamente una tension vr
hacia la entrada, aumenta considerablemente la impedancia de entrada del
nuevo amplificador que se obtiene y cuya ganancia es G. En otras palabras:
aunque la RN reduce la ganancia del AO desde A hasta G, la hace mucho
más estable y de paso mejora muchísimo las características de entrada del
amplificador resultante, ya que proporciona una impedancia de entrada
muy alta, que es lo que se necesita para que un amplificador de tensión
cargue poco al generador vi que lo excita. Con los valores que venimos
manejando (Ad≈106 y β=0,01) para obtener un amplificador de ganancia
G=100 muy estable en configuración no-inversora (Figura 17 del capítulo
anterior) y el valor típico de Ri≈10 MΩ que dimos allí, la impedancia de
entrada del ese amplificador será: RiCR=107(1+106×0,01), que es un valor
enorme (1011 ohmios o 100GΩ). Podemos decir que para las situaciones
normales en Electrónica ese amplificador posee una impedancia de entrada
infinita, por lo que no cargará al generador que lo excite, cuya tensión será
recogida sin atenuación y amplificada después 100 veces. Tendremos un
amplificador ideal desde el punto de vista de características de entrada.
Dado lo adecuada que resulta la RN para mejorar las características
de entrada y de estabilidad de ganancia de amplificadores de tensión, cabe
preguntarse si tendrá algún efecto en las características de salida del
amplificador resultante. En concreto, deseamos saber si modificará su

93. Diseño con Amplificadores Operacionales 93
impedancia de salida y lo que hay que hacer para ello es medirla y ver qué
valor obtenemos. Una forma de medirla es similar a lo que aparecía en la
Figura 3: atacar con un generador de tensión v y ver qué fluctuaciones de
corriente i se ve obligado a entregar el generador de tensión para mantener
sus fluctuaciones de tensión v. La otra opción es atacar con un generador
de corriente i y obtener la fluctuación de tensión v que aparece entre sus
terminales debido a ello. La relación v/i para fluctuaciones senoidales, será
la impedancia de salida que buscamos (ley de Ohm generalizada).
Vamos a hacer esto último en la salida del circuito amplificador de la
Figura 17 del Capítulo II, cuyo restador de entrada es como el de la Figura
3 de este Capítulo. Sin embargo, lo primero que hay que hacer en el
restador de entrada es anular el generador de entrada vi porque puede ser de
una frecuencia que no nos interesa: podemos estar midiendo la impedancia
de salida a la frecuencia de 1KHz y el generador de entrada puede estar
dando señales de otras frecuencias, por lo que a efectos prácticos se anula.
Así aparece en la Figura 4, donde queda claro que la tensión error vε es
ahora: vε=0-Aβvε=-Tvε y donde aparece además el circuito equivalente de
salida del AO con su resistencia de salida sin realimentar RoSR. También
aparece claramente dibujada la conexión en paralelo de las salidas de los
cuadripolos A (el AO) y β (el divisor resistivo que muestrea la tensión de
salida vo). Al estar en paralelo, la magnitud común a los dos cuadripolos en
la salida es la tensión vo y esta conexión es la forma que tiene el cuadripolo
β de muestrear (o “enterarse” de) la tensión que hay a la salida (vo) para
poder realimentar algo proporcional a ella hacia el restador de entrada.
Figura 4
En el circuito de la Figura 4 hay un detalle que hemos resaltado
mediante las flechas a lo largo del restador y es que la tensión vε a la

94. 94
entrada debe ser igual a –Aβ veces ella misma. Al faltar la señal de entrada
vi tenemos: vε=–Aβvε y uno de los valores de vε que satisface esto es vε=0.
Es decir: sin señal de entrada la realimentación negativa admite y buscará
un punto de equilibrio con señal error nula y con señales tanto de salida
como realimentada, nulas también. Esto ya lo vimos en el capítulo anterior
al mostrar qué tipo de realimentación poseía el circuito. Si lo repetimos
para la Figura 4 partiendo de la suposición de que vo aumenta por causa
desconocida (vo↑), tendremos:
Si vo↑⇒vr↑⇒vε↓(porque: vε=-vr)⇒vo↓(vo=Avε)
Como vemos, el circuito posee realimentación negativa y ya sólo nos
falta ver qué resistencia de salida ofrece entre sus terminales de salida o lo
que es lo mismo: cómo reacciona ante una excitación eléctrica aplicada a
su salida. Podemos anticipar por lo que acabamos de ver, que va a intentar
que vo fluctúe poco, lo cual es sinónimo de una baja impedancia de salida.
Para obtenerla vamos a usar el circuito de la Figura 4, cuyas tensiones eran
todas nulas en ausencia de excitación vi, y lo vamos a excitar ahora en su
salida mediante un generador de corriente i. Ello dará lugar a que entre los
terminales de salida aparezca una tensión v. El cociente v/i=RoCR nos dará
la resistencia de salida con realimentación, por lo que debemos obtener i en
función de v y de la resistencia de salida RoSR de la red A.
Para obtener RoCR necesitamos que la red β de la Figura 4 muestree
la tensión de salida sin consumir ninguna corriente, es decir; sin aportar
efectos de carga en paralelo a la salida de la red A. Para ello supondremos
que su efecto de carga es despreciable o mejor aún: su impedancia de
entrada vista en la parte donde muestrea (su efecto de carga) ya ha sido
“subido” en paralelo y metido en la red A. Ello formaría un cierto divisor
de tensión con RoSR de la red A que reduciría algo la ganancia A, pero así
tendríamos una red β muestreadora “ideal” en el sentido de que “toca” la
salida de la red A sin cargar a ésta. Para evitar complicaciones innecesarias
ahora (luego veremos que lo que acabamos de decir es la forma de tratar
los efectos de carga) vamos a suponer que la red β de la Figura 4 muestrea,
sin cargar, la salida de la red A y realimenta β veces la tensión que detecte
o muestree en esa salida.
Al conectar el generador de fluctuaciones de corriente i en la salida,
se producirá como consecuencia alguna fluctuación de tensión v en esa
salida (esas fluctuaciones pueden ser pequeñas señales senoidales de cierta
frecuencia, a fin de hablar de impedancias en general). Ahora bien, la red β
nota que hay señal de salida en tensión v y la realimenta hacia la entrada,
por lo que allí tendremos vr=βv y además: vε=-βv. Con todo esto, el estado

95. Diseño con Amplificadores Operacionales 95
de cosas en la Figura 4 será el que se muestra ahora en la Figura 5, donde
se ve que cualquier corriente i entrará hacia la red A atravesando RoSR.
Figura 5
Por otra parte, la tensión vε=−βv hará que el generador controlado de
la red A genere una tensión con el signo + hacia abajo, como se muestra en
la Figura 6 y de valor absoluto: A×vε=Aβv.
Figura 6
Y ahora la Figura 6 tiene una interpretación muy simple: la RN hace
que la señal de tensión v que aparece a la salida, al excitarla con la señal de
corriente i, no sea el producto i×RoSR sino menor en la cantidad Aβv. En
otras palabras, la resistencia de salida del circuito realimentado RoCR va a
ser menor que la del AO sin realimentar y el factor de reducción, como

96. 96
vamos a ver enseguida, no es otro que (1+Aβ). En efecto, en la Figura 6, se
ve que la tensión v que observaremos no es toda la que veríamos sobre RoSR
debido al paso de i a través de RoSR como si no hubiera RN (vSR=i×RoSR).
Hay que restarle el valor Aβv, por lo que tendremos:
v RoSR
v = i × RoSR − Aβv ⇒ RoCR = = (10)
i (1 + Aβ )
El que veamos menos v para cierta inyección de corriente i nos dice
que la resistencia de salida con RN es menor que sin ella, resultado éste que
se ha obtenido en la ecuación (10) y que es generalizable totalmente al caso
de impedancias. Por tanto, la ecuación más general que debemos considerar
para la conexión en paralelo de los cuadripolos a la salida (muestreo de
tensión) es la siguiente:
v Z oSR
Z oCR = =
i (1 + Aβ ) (11)
Así pues, el hecho de muestrear la tensión de salida de la red A y
usar RN disminuye considerablemente la impedancia de salida del circuito
que se obtiene, en relación con la de la red A sin realimentar. De esta forma
mejoran mucho las características de salida del circuito como generador de
tensión. Con los datos que hemos manejado (A≈106, β=0,01 y RoSR≈1kΩ)
la resistencia de salida que tendría el amplificador de la Figura 17 del
capítulo anterior sería tan baja como: RoCR=1kΩ/(1+106×0,01)=0,1Ω, que
se acerca mucho a la de un generador ideal de tensión.
Este impresionante resultado puede hacer que algunos diseñadores se
queden con la idea de que la impedancia de salida de un AO con RN es tan
baja que puede atacar casi cualquier carga o circuito, como puede ser una
resistencia de 10Ω por ejemplo. Sin embargo nada más lejos de la realidad,
porque ZoCR≈0,1Ω es una impedancia de salida obtenida bajo ciertas
condiciones, que no incluían unos efectos de carga tan brutales como los
que provocaría una resistencia de 10Ω si se conectase a la salida. Pero este
será el tema central del siguiente apartado y a modo de resumen diremos
que las tres propiedades circuitales más importantes de la realimentación
negativa, esenciales para el diseño electrónico, son:
1.- Reducción de ganancia en un factor (1+Aβ) según la ecuación (3). Esta
ecuación merece la pena recordarse para lo sucesivo.

97. Diseño con Amplificadores Operacionales 97
2.- Desensibilización de ganancia por el mismo factor: la ganancia G es
(1+Aβ) veces menor que A, pero también es (1+Aβ) veces más estable o
menos sensible a las variaciones relativas de ganancia A.
3.- Modificación de impedancias de entrada y de salida, aumentándola en
un factor (1+Aβ) si la conexión es serie (entrada) y reduciéndola por el
mismo factor si la conexión es paralelo (salida). Más tarde comprobaremos
que esto ocurre tanto a la entrada como a la salida y sólo depende del tipo
de conexión (serie o paralelo).
Otras propiedades circuitales como son: reducción de distorsión,
reducción de efectos debidos a ruido interno, aumento de ancho de banda,
etc, son consecuencia de las anteriores y no entraremos aquí en detalle. El
lector interesado podrá encontrar tratamientos más amplios y con diversos
enfoques, en obras como: [6], [8], [13] y [14].
III.3- Efectos de carga de la red de realimentación
Hasta este momento hemos ido evitando deliberadamente los efectos
de carga de una red sobre otra en el esquema de dos cuadripolos A y β
interconectados en la forma mostrada. Tratábamos así de aproximarnos al
diagrama ideal de la Figura 2, con cajas o bloques que no se molestaban
entre sí. Sin embargo, esto no es posible en Electrónica y para ser capaces
de diseñar bien un circuito con AO y RN, debemos conocer el correcto
manejo de estos efectos de carga. El diagrama de la Figura 2 y su función
de transferencia asociada, la ecuación (3), son un buen ejemplo de algo que
casi todo estudiante capta y entiende, pero cuya implementación real con
circuitos electrónicos pocos dominan. No obstante, viendo de dónde vienen
las cosas, se puede dominar sin mayores problemas el diseño tanto de este
tipo de circuitos realimentados basados en AO, como el de otros que
empleen los diversos dispositivos electrónicos existentes.
Una vez hecha esta presentación pasamos a ver las “complicaciones”
que acarrea el empleo de una red β tan sencilla como el divisor resistivo del
amplificador de la Figura 17 del Capítulo II. Observando las Figuras 1, 3 y
4 del presente Capítulo vemos que el cuadripolo β y el cuadripolo A están
conectados en serie a la entrada para formar el restador de tensiones y en
paralelo a la salida para tener el muestreador de tensión. Esto significa que
la tensión de salida vo es una excitación común a los dos cuadripolos A y β,
o mejor dicho: a los tres cuadripolos existentes, que son:
1- El de transferencia directa o red A
2- El de transferencia inversa, de realimentación, o red β.
3- El global de ganancia G al que equivale la conexión de los otros
dos y que posee tanto transferencia directa como inversa, aspecto
éste que se olvida frecuentemente.

98. 98
Ahora cabe preguntarse cuál es la magnitud común a las entradas de
los tres cuadripolos mencionados, si es que existe. La respuesta es sencilla:
como los cuadripolos A y β están conectados en serie a la entrada, tienen
en común la corriente ii, que también es la corriente de entrada del tercer
cuadripolo, el cuadripolo total G.
Esta búsqueda de las excitaciones comunes a los cuadripolos tanto a
la entrada como a la salida resulta esencial para combinar de forma correcta
y simple (gráficamente) los parámetros de los cuadripolos A y β con el fin
de obtener los del cuadripolo total equivalente sometido a esas mismas
excitaciones. El lector familiarizado con el análisis de cuadripolos y sus
diferentes conexiones reconocerá en este proceder la búsqueda de los
parámetros privilegiados para esta conexión, pero quien no lo vea así no
debe preocuparse y debe sólo recordar la importancia de considerar como
excitaciones adecuadas “las señales comunes” a los tres cuadripolos que
tenemos realmente. Teniendo presente esta estructura de cuadripolos y de
señales comunes volvemos a la red β, para la que debemos tomar circuitos
equivalentes vistos por ambos lados y que serán Thèvenin o Norton según
convenga al tipo de conexión. Esto no es más que considerar juiciosamente
la forma en que la red β será “vista” electrónicamente por la red A y antes
de entrar en ello conviene considerar la red β sometida a esas excitaciones
comunes, como se muestra en la Figura 7.
Figura 7
Las excitaciones comunes que consideramos para el cuadripolo β son
la corriente ii a su izquierda y la tensión vo a su derecha. El lado izquierdo
es la “salida” de la red β por donde presenta la tensión vr que realimenta al
restador de entrada. Por el contrario, su lado derecho es la “entrada” de la
red β en la que muestrea la tensión vo. Aunque nos gustaría que esta red β

99. Diseño con Amplificadores Operacionales 99
sólo transfiriese señal desde su derecha (salida de la red A) hasta su
izquierda (restador de entrada), dicha red β tiene excitaciones eléctricas por
ambos lados, como se muestra en la Figura 7 y, dada su estructura, va a
transferir señal en ambos sentidos como veremos enseguida al obtener sus
circuitos equivalentes más convenientes por cada lado.
Para la red β vista desde el lado del restador, lo más conveniente será
un equivalente serie para no perder el restador de tensiones de entrada. Tal
equivalente quedará en serie con la entrada de la red A y compartirá por
tanto la corriente ii con dicha red. Este equivalente deberá obtenerse con la
excitación común vo conectada, porque así es como trabaja la red β para
realimentar algo proporcional a la tensión vo que muestrea. Esto es lo que
aparece en la Figura 8-a, donde se aprecia el equivalente Thèvenin de la
entrada. Recordamos que la obtención de circuitos equivalentes requiere
obtener dos cosas: la tensión en vacío vVACIO vista entre los dos terminales
de que se trate y la corriente iCORTO que circulará desde un terminal hasta el
otro a través de un cortocircuito que los conecte. Con estas dos magnitudes
hay que hacer su cociente R=vVACIO/iCORTO para obtener la resistencia
equivalente. A continuación se toma R y se elige entre poner un generador
de tensión vVACIO en serie con R (circuito equivalente serie o de Thèvenin)
o poner un generador de corriente iCORTO en paralelo con R (circuito
equivalente paralelo o de Norton). Sea cual sea el que se elija, el efecto de
carga (resistencia R) siempre será el mismo: el cociente entre la tensión en
vacío y la corriente en cortocircuito. En nuestro caso vVACIO=vo(R1/(R1+R2)
e iCORTO=vo/R2 dan R=(R1×R2)/(R1+R2). Vease Figura 8-a y Figura 9.
Figura 8-a
De forma análoga, el equivalente que obtengamos para la red β vista
por los terminales por los que muestrea la señal vo deberá serlo con la
excitación ii conectada, porque así es como trabaja la red β de la Figura 7
en el circuito real. Además, el empleo de la excitación común ii nos va a

100. 100
permitir comparar directamente las transferencias directas de la red A y de
la red β y lo que es mejor: despreciar esta última. El circuito equivalente
para el lado derecho de la red β (en los terminales de muestreo) puede ser
serie o paralelo porque aquí no hay que formar ningún restador y debe ser
obtenido en función de la excitación común ii por las razones que acabamos
de exponer. Podemos elegir un equivalente Norton y así obtendremos la red
β de la Figura 8-b, cuya total equivalencia con la de la Figura 7 puede
comprobar el lector mediante operaciones electrónicas en sus entradas.
Figura 8-b
De igual modo, la red equivalente de la red β con equivalentes serie
tanto a la entrada como a la salida es la de la Figura 8-c.
Figura 8-b
Como puede verse en las Figuras 8-a, 8-b y 8-b, aparecen efectos de
carga (cocientes vVACIO/iCORTO) que se han dibujado en vez de calcular su
valor en función de R1 y R2 como se ha hecho con los generadores

101. Diseño con Amplificadores Operacionales 101
Thèvenin o Norton correspondientes. Ello se ha hecho para simplificar las
Figuras y para enlazar con lo que viene a continuación, por lo que el lector
debe entender que R1 y R2 dibujadas en paralelo equivalen al valor de la
expresión: (R1×R2)/(R1+R2), mientras que dibujadas en serie equivalen a la
suma: (R1+R2). El lector debería comprobar, sólo por esta vez, que esos
valores escritos o dibujados en las Figuras 8-b y 8-c son los que salen al
calcular vVACIO e iCORTO para cada lado o puerta de la red β. Será la única
vez que los calcule porque a partir de ahora le bastará con dibujarlos
siguiendo un método simple que veremos enseguida.
A la vista de las Figuras 8-b y 8-c, la red β es bilateral: transfiere en
los dos sentidos. En el lado del restador aparece la tensión que esperábamos
realimentar: vr=vo×R1/(R1+R2), pero en el lado de salida aparece algo que
es proporcional a la corriente ii (excitación común a las redes A y β a la
entrada). Como vamos a mostrar, esta transferencia directa de la red β es
totalmente despreciable en comparación con la de la red A, por lo que tras
demostrarlo, nos olvidaremos de ella. En cuanto a los dos efectos de carga
(elementos resistivos) que aparecen en las Figuras 8-a y 8-b, se obtienen
mediante cálculos sencillos como hemos visto (vVACIO e iCORTO), pero su
obtención es mucho más sencilla e inmediata si se hace gráficamente de
modo que esos efectos aparezcan dibujados y no haya que calcularlos.
El primero de ellos es el efecto de carga de la red β a la entrada y
queda dibujado simplemente al anular la tensión vo (excitación común a las
redes A y β en la salida). Si hacemos esto en la Figura 7 (anular vo exige
cortocircuitar los terminales de muestreo de la red β) nos queda el dibujo
de la Figura 9.
Figura 9
No hay que hacer ningún cálculo de vVACIO ni de iCORTO: sólo anular
la excitación común en el lado contrario y ver qué dibujo queda.

102. 102
Aplicando este mismo procedimiento, el efecto de carga que la red β
hace a la salida queda dibujado como muestra la Figura 10. Aquí hemos
anulado la excitación ii abriendo la conexión serie de los cuadripolos.
Figura 10
Es ya el el momento de dibujar la Figura 3 completada con una de las
Figuras 8 y empezar a extraer conclusiones. Esto aparece en la Figura 11.
Figura 11
Como puede verse, el restador de entrada casi está formado, pero hay
un elemento que molesta: el efecto de carga de la red β a la entrada, cuya
obtención gráfica se vió en la Figura 9. Esa “molestia” desaparece si lo
hacemos “subir” hacia la red A, donde se sumará gráficamente con la Ri del
AO. Esto se ha hecho en la Figura 12, donde de forma análoga se ha
“subido” el efecto de carga de la red β a la salida. Este segundo efecto de

103. Diseño con Amplificadores Operacionales 103
carga forma un divisor de tensión con la resistencia de salida del AO (Ro)
que puede degradar, como veremos, las propiedades del circuito total.
Figura 12
El circuito de la Figura 12 debe interpretarse de la forma siguiente:
“Tenemos un amplificador o cuadripolo de transferencia directa A
cuya salida se muestrea con una red β real que, tanto por donde muestrea
como por donde realimenta, tiene circuitos equivalentes Thévenin o Norton
cuyas resistencias van a cargar a la red A. Las redes A y β no son bloques
que se tocan y no se influyen, sino circuitos electrónicos que sí lo hacen.
Ello conduce a que la conexión de los cuadripolos A y β equivalga a la de
una red A’ que ha “absorbido” los efectos de carga de la red β, un
restador de tensiones de entrada y una nueva red β ideal que muestrea y
realimenta sin cargar a la también nueva red A’. De esta forma las nuevas
redes A’ y β así obtenidas funcionan como los bloques del diagrama de la
Figura 2 y se les podrá aplicar la ecuación (3) para obtener la ganancia
directa G del cuadripolo total al que equivalen.”
En la Figura 12 vemos además que el generador de transferencia
directa de la red β aparece tachado: ni siguiera se ha “subido” hacia arriba.
Ello se debe a que su efecto es ridículo en comparación con los efectos del
generador de salida del AO. Este otro generador es uno de tensión (A×v)
que con la resistencia Ro se puede convertir en uno de corriente equivalente
(Norton) de valor in=A×R×v y a su vez la tensión v que lo gobierna es el

104. 104
producto ii×Ri. Por tanto, el generador de corriente in a que daría lugar sería
de la forma: in=A×Ro×Ri×ii=1016×ii, mientras que el que aparece tachado
(el de transferencia directa de la red β es de valor: iβ=10-2×ii. Hay por tanto
¡dieciocho órdenes de magnitud! de diferencia en nuestro caso, por lo que
el generador tachado es despreciable totalmente. Esta es la situación con
AO y RN, por lo que nos olvidaremos de la transferencia directa de la red β
y sólo consideraremos su transferencia hacia atrás (factor β) que es lo que
debe hacer para realimentar señal hacia el restador.
Figura 13
Siguiendo con la Figura 12 diremos que hemos formado dos redes
que no existen por separado. Sin embargo, la conexión del AO y del divisor
resistivo del amplificador de la Figura 13 (Figura 17 del Capítulo anterior)
contiene o equivale a las dos redes A’ y β de la Figura 12 (o a las A y β de
la Figura 11). La red β ideal que nos ha quedado en la Figura 12 realimenta
lo que queremos sin “molestar” a la tensión vo que muestrea. La red A’ que
resulta, ya ha absorbido las molestias o efectos de carga de la red R1-R2 real
y como vemos, esos efectos de carga tienden a reducir la ganancia original
A de la red activa (el AO). En concreto vemos que el efecto de carga a la
entrada (R1//R2) con R2=99KΩ y R1=1KΩ será muy cercano a 1KΩ. Este
valor frente al valor de la Ri=10 MΩ del AO apenas hace que difieran la
tensión error del restador vε y la tensión v que hay sobre Ri en la Figura 12.
La diferencia debida a este efecto de carga es de una parte en 10.000.
Por otra parte el efecto de carga a la salida (R1+R2=100KΩ) forma
un divisor de tensión con Ro que hace que la tensión de salida vo no sea
toda la que da el generador controlado del AO (A×v). Como Ro≈1KΩ es
unas cien veces menor que R1+R2, la atenuación de este divisor formado a
la salida es pequeña en nuestro caso (del 1% aproximadamente) y aunque
es 100 veces mayor que el del efecto de carga a la entrada, este otro efecto
de carga a la salida resulta pequeño debido a la buena elección que hicimos
de R1 y R2 (elección basada en la Figura 12, aunque entonces no podíamos

105. Diseño con Amplificadores Operacionales 105
decirlo). No obstante, una mala elección de R1 y R2 puede hacer perder
ganancia A’ sin necesidad. Por ejemplo, unos valores de R1=1Ω y R2=99Ω
darían lugar a un atenuador a la salida con 20 dB de atenuación (un factor
10) que además de forzar el circuito de salida del AO pidiéndole mayores
corrientes, darían lugar a un valor 10 veces menor también de ganancia A’,
reduciendo por 10 las buenas propiedades de la RN (desensibilización de
ganancia global, modificación de impedancias, etc).
La importancia de la Figura 12 está en su red β ideal que realimenta
“sin efectos de carga”, por lo que es equivalente al diagrama de bloques de
la Figura 2 con sólo cambiar A por A’. De ahí que el análisis de un circuito
con realimentación negativa se reduzca a:
1- Dibujar un par de efectos de carga que pasarán a la red A.
2- Calcular la ganancia de la nueva red A’ formada con esos efectos.
3- Calcular el factor β de realimentación.
4- Aplicar con A’ y β la ecuación (3): G=A’/(1+ A’×β) para obtener la
ganancia global y las ecuaciones (9) y (11) para ZiCR y ZoCR si se desea.
Esas cuatro sencillas operaciones nos van a dar una visión global del
circuito mediante la red A’ que resulta esencial para diseñar y elegir los
valores de los componentes adicionales al AO, R1 y R2 en este caso. Vamos
por tanto a calcular la ganancia A’ de la red de la Figura 12 que aparece
más compactada en la Figura 14.
Figura 14
Tal ganancia es:
vo Ri R1 + R2
A' = = × A× (12)
vε ( Ri + R1 R2 ) Ro + ( R1 + R2 )
donde vemos que, si se han elegido bien R1 y R2, resulta ser la máxima
ganancia posible (en este caso la ganancia A del AO) y ello significa que

106. 106
los efectos de carga del divisor R1-R2 apenas afectan. Véanse los dos
factores de atenuación que multiplican a la ganancia A en la ecuación (12)
y que se deben a los efectos de carga mencionados. Nótese también que la
resistencia de entrada sin realimentación RiSR es la suma de la Ri del AO y
del efecto de carga a la entrada y que la resistencia de salida sin
realimentación RoSR es la combinación en paralelo de la resistencia Ro del
AO y del efecto de carga a la salida, tal y como quedaron dibujados esos
efectos en las Figuras 9, 10 y 11. Visto esto, vayamos a la Figura 15 que no
es otra cosa que la Figura 12 con la red A’ de la Figura 14.
Figura 15
El cuadripolo global G al que equivalen las redes A’ y β de la Figura
15 conectadas en la forma mostrada (en serie a la entrada y en paralelo a la
salida) tendrá una ganancia G=vo/vi y unas impedancias de entrada y de
salida ZiCR y ZoCR. Todo ello depende del circuito equivalente del AO, del
circuito de realimentación o red β (en nuestro caso el divisor R1-R2) y sobre
todo, de la RN existente a través del factor (1+A’β) que afectará a ganancia
e impedancias. Aún más: el hecho de tener un circuito realimentado, que
une en un mismo lazo la entrada con la salida, hace que el circuito sea
sensible a todo lo que afecte a su entrada o a su salida. En otras palabras: la
filosofía de diseño basada en acoplar etapas en cascada (una detrás de otra)
teniendo en cuenta sólo el equivalente de salida de la etapa anterior y el de
entrada de la etapa siguiente para ver qué atenuador forman, aquí es más
sutil. Ello se debe a que si el circuito de la figura 15 va a atacar a otra etapa
con resistencia de entrada RSIG, esa resistencia debería meterse en la red A’

107. Diseño con Amplificadores Operacionales 107
con antelación, porque va a formar un nuevo divisor con RoSR, modificando
por tanto la ganancia A’ de la Figura 15 y todas aquellas magnitudes (por
ejemplo ZiCR) que dependan de A’ en alguna forma.
Un ejemplo muy ilustrativo es la impedancia de entrada ZiCR del
circuito de la Figura 15 que es la del amplificador de la Figura 13. Debido a
la conexión serie, esa impedancia de entrada se va regir por la ecuación (8)
o su versión más general, la ecuación (9). Según ella la impedancia ZiCR es
de: 107×(1+106×0,01)=1011Ω para los valores que venimos manejando del
AO y con R1=1KΩ y R2=99KΩ. En efecto, ése es su valor en la Figura 15
tal y como está dibujada y se debe al enorme factor Aβ=10.000, por lo que
el enorme valor ZiCR=1011Ω es producido esencialmente por la RN.
Sin embargo, si conectásemos a la salida de la Figura 15 una carga
RSIG muy baja (RSIG→0Ω) forzaríamos la condición: vo≈0. Con esa tensión
de salida casi nula, la red β de la Figura 15 apenas realimentaría nada y en
ese caso (vr=0) el generador βvo sería un simple hilo conductor, por lo que
la impedancia de entrada de la Figura 15 bajaría de 1011Ω a 107Ω, que es el
valor de RiSR. Por tanto, con RSIG→0Ω, apenas hay realimentación negativa
y perdemos sus efectos. De ello se deduce que cualquier RSIG que se vaya a
conectar a la salida de la Figura 15 debe incorporarse a ella, en su red A’,
para que sean válidas las conclusiones que vamos a obtener. Esto deja claro
cuál es el procedimiento a seguir con las posibles impedancias de carga
RSIG (o RL en algunos textos) que se prevea utilizar. La actitud dubitativa de
algunos de esos textos sobre RL, diciendo que “se puede o no” incluir en la
red A’, revela una falta de asimilación de la esencia misma de un circuito
con RN, en el que lo que conectemos a la salida afectará a la entrada y
viceversa.
Debido a esto necesitamos definir una condición de partida en la
Figura 15 para empezar a demostrar cosas que ya hemos anticipado. Esa
condición es que la red A’ ya engloba cualquier otra resistencia RSIG que
pueda venir después (como hicimos con el efecto de carga a la salida) y
esto equivale matemáticamente a la condición io=0 que se ha resaltado en la
Figura 15. En nuestro caso parece redundante hacer ésto porque no se ha
dibujado ninguna RSIG a la salida y la condición io=0 parece evidente, pero
ha quedado claramente expuesto su significado: todo lo que vaya a venir
conectado a la salida ya está metido en la red A’ de la Figura 15.
Pues bien, con esta condición io=0, toda la tensión del generador
controlado de la red A’ (A’vε) aparece a la salida de la Figura 15. Tenemos:
vo = A'×vε (13)
donde A’ era la ganancia obtenida con efectos de carga: ecuación (12).
Debido al restador de la Figura 15 tenemos:

108. 108
vε = v i − v r = v i − β v o (14)
Sustituyendo la ecuación (14) en la (13) y despejando obtenemos:
vo A'
G= = (15)
vi 1 + A' β
Esta ganancia es formalmente igual a la de la ecuación (3) obtenida
para el diagrama de bloques de la Figura 2 con el que se suele iniciar los
estudios de sistemas con realimentación negativa. El valor añadido para el
diseñador de circuitos está en la ecuación (12) de la ganancia A’, que nos
da las pautas para elegir R1 y R2 sobre todo, así como el AO a utilizar.
Respecto a la impedancia de entrada ZiCR del circuito de la Figura 15
es fácil obtenerla empleando la misma condición io=0 (sin esta condición
ZiCR no está definida, como hemos comentado). Con esa condición toda la
tensión A’v aparece a la salida como vimos en la ecuación (13) y debido al
restador de entrada, la tensión de entrada vi es la suma de la tensión error vε
y de la tensión realimentada vr=Aβvo=A’βvε, según la ecuación (14). De las
ecuaciones (13) y (14) es inmediato deducir la siguiente:
vi = (1 + A' β )vε (16)
Además:
vε = RiSR × ii (17)
De las ecuaciones (16) y (17) se obtiene:
vi
RiCR = = (1 + A' β ) × RiSR (18)
ii
que es idéntica a la ecuación (8) y conduce a la misma ecuación general, la
ecuación (9). Ello era de esperar porque la conexión de las redes A’ y β con
esa red β idealizada equivale a la “conexión” hecha en la Figura 3 para los
bloques o cajas de señal A y β que “se tocan sin efectos de carga mutuos”.
Respecto a la impedancia de salida ZoCR del circuito de la Figura 15
el lector puede ver el paralelismo total con la Figura 5 y la argumentación

109. Diseño con Amplificadores Operacionales 109
que hicimos allí para obtener la ecuación (10) y su versión generalizada la
ecuación (11). Por tanto, la conexión paralelo a la salida de las redes A’ y β
hace que la resistencia de salida del circuito realimentado sea la de la red
A’ dividida por el factor (1+A’β). Ello es: RoCR≈Ro/104=0.1Ω.
En resumen: pasando hacia la red A los efectos de carga de la red β
real obtenemos una red A’ y una red β idealizada que funcionan de acuerdo
a la ecuación (15) formalmente idéntica a la ecuación (3) que obtuvimos
para el diagrama de la Figura 2. Debido a ello, las impedancias de entrada y
de salida del circuito total realimentado son las de entrada y salida de la red
A’ multiplicadas o divididas por el factor (1+Aβ) según sea la conexión
(serie o paralelo) de las redes A y β a la entrada y a la salida.
Empleando la ecuación (15) es fácil comprobar con los valores que
venimos manejando que la ganancia del amplificador de la Figura 13, que
antes denominamos Configuración Amplificadora No-Inversora (CANI),
es: G=(1+R2/R1), justo el inverso del factor β de realimentación debido a
que la ganancia de lazo T=A’β=10.000 es mucho mayor que la unidad. El
alto valor de T también es la causa tanto de la alta impedancia de entrada
del circuito total (100GΩ ≈Ri×10.000), como de su baja impedancia de
salida (0,1Ω≈Ro/10.000). De este modo tenemos una visión muy completa
del amplificador global G tanto para su análisis como para su diseño. Este
potente método para resolver el circuito sin necesidad de aplicar ITV(SC)
resulta muy útil y aún va más allá al darnos pautas para elegir los valores
de R1 y R2 a la vista de la Figura 12 y de su ganancia asociada la ecuación
(12), cosa que la aproximación ITV(SC) no hace.
Así valores de R1 y R2 tales que R1+R2 fuese inferior a Ro(∼1KΩ) no
serían adecuados: la salida del AO sufriría y además se perdería ganancia
A’ inútilmente. Valores de R1 muy grandes tampoco serían recomendables
porque si tomásemos R1=1MΩ por ejemplo, entonces R2 sería de 99MΩ.
Su combinación en paralelo será muy próxima a R1 (1MΩ) lo que ya es el
10% de Ri, por lo que el efecto de carga a la entrada se empieza a notar
(perdemos un 10% de ganancia A’ de forma innecesaria) y por otra parte,
una resistencia R2 tan alta (99 MΩ) es muy proclive a ser “puenteada” por
elementos parásitos imprevistos que modificarán el valor de impedancia
que ofrece. Bastarían C=0.5 pF de capacidad parásita en paralelo con R2 (la
de sus propios terminales si no se dejan cortos) para que a la frecuencia de
unos 3 KHz el módulo de la impedancia ofrecida por el circuito R2-C
paralelo así formado, fuese sólo el 70% de 99 MΩ (99/√2 MΩ), cosa que se
reflejaría en la ganancia global G. Tendríamos una RN dependiente de la
frecuencia, lo que a su vez haría depender de la frecuencia el factor
[1+A’β(jω)] y todo aquello que depende del mismo: ganancia G(jω) e
impedancias terminales ZiCR(jω) y ZiCR(jω).

110. 110
Aunque no vamos a entrar en este tema de la dependencia con la
frecuencia, diremos que las ideas y el procedimiento mostrados en este
Apartado sirven para impedancias que dependan de la frecuencia. De hecho
podríamos cambiar R1 por un condensador C y manejar su impedancia
1/jωC en lugar de R1 en las expresiones que hemos venido usando. De
igual modo, el procedimiento mostrado sirve para cualquier topología con
dos cuadripolos A y β interconectados, que es lo que iremos viendo en el
resto del Capítulo.
III.4- Método Rápido de Análisis de circuitos realimentados (MRA)
Todo lo que acabamos de ver con el amplificador no inversor basado
en AO es la base de un método rápido y preciso de análisis de circuitos con
realimentación negativa. Este método se basa en despreciar la transferencia
directa de la red β (ridícula en comparación con la del AO) y en dibujar los
efectos de carga correspondientes añadidos a la red A para formar la red
A’. Con sólo calcular la ganancia A’ y el factor β se obtiene la ganancia G
aplicando la ecuación (15) y después se aborda el tema de las impedancias
de entrada y de salida a partir de las de la red A’, empleando el factor
(1+A’β): multiplicándolas por (1+A’β) allí donde la conexión sea en serie
y dividiéndolas por (1+A’β) allí donde la conexión sea en paralelo.
Vamos a emplear este método para resolver el amplificador inversor
con AO en configuración inversora (CAI) que vimos en la Figura 20 del
Capítulo anterior y que reproducimos aquí en la Figura 16.
Figura 16
Lo primero que debemos hacer es comprobar que en el circuito de la
Figura 16 hay realimentación negativa. Una forma de hacerlo es anular la
tensión de entrada vi y darse cuenta de que el circuito que se obtiene al

111. Diseño con Amplificadores Operacionales 111
hacerlo es idéntico al del amplificador no-inversor de la Figura 13 con su
excitación vi anulada. Como ya hemos mostrado la existencia de RN en
este circuito al hablar de la Figura 4, no repetiremos ahora el razonamiento,
quedándonos, eso sí, con la analogía de ambas configuraciones CANI y
CAI de cara a la impedancia de salida ZoCR. Esta analogía nos va a ser muy
útil, porque nos permite anticipar que la impedancia de salida ZoCR (o RoCR)
del circuito de la Figura 16 (amplificador inversor) ha de ser igual a la del
circuito no-inversor que ya hemos analizado y que, con los valores que
venimos manejando, es de 0,1Ω. Otro dato que deberemos obtener es la
ganancia vo/vg=-R2/R1, que ya obtuvimos en el capítulo anterior. Sólo nos
faltaría saber qué impedancia de entrada Rin “ve” el generador vg que ataca
a este amplificador. Este tema va a ser un poco más delicado de tratar, pero
podemos anticipar lo siguiente: deberá ser muy parecida a R1, porque, si
aplicamos la ITV(SC) a las entradas del AO en el circuito de la Figura 16,
la tensión en la entrada (-) del AO será de cero voltios prácticamente. En tal
caso la corriente que entregará el generador de tensión vg en la Figura 16 y
por tanto, la resistencia Rin que verá, serán:
vg − 0 vg vg
i= = ⇒ = Rin = R1 (19)
R1 R1 i
Bien, ya tenemos tres parámetros importantes cuyos valores vamos a
confirmar al resolver el circuito mediante el MRA que proponemos para
circuitos con AO y RN. Este método consiste en repetir con sentido común
los pasos que vimos en el párrafo anterior para el AO en CANI. El primer
paso va a ser buscar el restador de señales de entrada en el circuito de la
Figura 16 y este restador, a diferencia del restador de tensiones (conexión
serie) que hemos visto, va a ser un restador de corrientes o conexión en
paralelo de las redes A y β en la entrada. Para verlo más claro, vamos a
transformar el generador de tensión vg en serie con R1 (equivalente de
Thèvenin) en su equivalente paralelo o Norton. Empleando ya el circuito
equivalente del AO obtenemos el circuito de la Figura 17 para el
amplificador inversor de la Figura 16.
Obsérvese el restador de corrientes a la entrada que se obtiene con la
conexión en paralelo de las redes A y β y véase el sentido de la corriente ir
(corriente realimentada proporcional a la tensión vo muestreada a la salida)
necesario para que la corriente error iε sea la resta: iε=ii-ir. Obsérvese
también la red β que hemos dibujado, formada por R2 y el hilo de masa, y
pensemos qué tipo de excitaciones tiene por ambos lados esa red β. En el
caso de la salida la situación es similar a la de la Figura 7: la red β está
excitada por la tensión vo (lo que muestrea, que es lo común en la salida a

112. 112
los cuadripolos A y β (y G si queremos decirlo). En el caso de la entrada, lo
que debemos tomar como excitación de la red β es la tensión vi, común a
las redes A y β en la entrada debido a su conexión.
Figura 17
Es el caso dual de la conexión serie donde lo común era la corriente ii
de la Figura 3. Ahora lo común a la entrada para los tres cuadripolos A, β y
el global G, es la tensión vi que pueda aparecer a la entrada. Por tanto, la
red β excitada por ambos lados con lo común a los tres cuadripolos A, β y
el global G (que será lo que se anulará para dibujar sus efectos de carga)
queda como se muestra en la Figura 18.
Figura 18
La Figura 18 muestra que la red β va a transferir en los dos sentidos.
Como va conectada en paralelo por ambos lados, vamos a obtener la red β
equivalente con circuitos equivalentes Norton (en paralelo) en ambos lados.
El del lado izquierdo es necesario que sea un equivalente paralelo para

113. Diseño con Amplificadores Operacionales 113
obtener el restador de corrientes que buscamos. El del lado derecho es
indiferente, aunque para mostrar que la transferencia directa de la red β es
despreciable, basta con que sea un equivalente en función de lo común a la
entrada: vi. Los efectos de carga en cada lado quedarán dibujados con sólo
anular la excitación en el lado opuesto. El único cálculo necesario es el del
factor β de transferencia hacia la izquierda de la red β que será el cociente
ir/vo con los terminales de entrada de la red β cortocircuitados porque
estamos obteniendo un equivalente Norton y el correspondiente generador
Norton es el de la corriente máxima que se puede extraer debida a vo. Ello
requiere la entrada cortocircuitada como se muestra en la Figura 19 y esto
significa que la excitación del lado por el que no muestrea, esté anulada.
Figura 19
El cálculo del factor β en la Figura 19 es:
ir − 1
β= = (unidades: Ω-1 o mhos) (20)
vo R2
Como vemos sale un factor β negativo que exige que la ganancia A’
que obtengamos también lo sea, de modo que el producto A’β sea positivo,
como lo era en el amplificador no-inversor. De esta forma el denominador
de la ecuación (15) es mayor que la unidad, con lo que la ganancia G es
menor que la ganancia A’ y ello significa realimentación negativa al nivel
que estamos todavía (sin efectos con la frecuencia). La Figura 20 es la red
β que se obtiene para la red β de la Figura 18 poniendo equivalentes Norton
en ambos lados. Aunque no hace falta (sólo se pone para dar confianza), en
la Figura 20 aparece calculado el término de transferencia directa de la red
β que luego se despreciará ante la mucho mayor transferencia directa de la
red A. Es el que está junto al generador Norton tachado y se pone como
otra prueba más de que será totalmente despreciable, como ya ocurría en el
Apartado anterior con la topología serie-paralelo.

114. 114
Figura 20
De los cuatro elementos circuitales de la Figura 20, sólo es necesario
calcular el factor β, ya que el tachado se despreciará por la razón expuesta
y los otros dos (las dos resistencias), son los efectos de carga de la red β
que quedan dibujados al anular la excitación común en el lado opuesto al
que cargan. Con esta red β, equivalente a la de la Figura 17, obtenemos el
circuito de la Figura 21 con las redes A’ y β idealizadas. Nótese que A’
incluye los efectos de carga de la red β y un efecto de carga adicional, R1,
debido al generador de entrada Norton que obtuvimos a partir de vg en serie
con R1, con el fin de obtener el restador de corrientes de la Figura 17. Este
efecto de carga adicional no debe sorprendernos, porque al igual que los de
la red β, es consecuencia de cómo se ven entre sí los circuitos. Si no
hubiéramos hecho esa transformación entre equivalentes serie y paralelo,
no habríamos podido llegar al circuito de la Figura 21, que debido a su red
β idealizada, se va a poder resolver con la simple ecuación (15), de forma
similar a como resolvimos el de la Figura 12.
Figura 21

115. Diseño con Amplificadores Operacionales 115
Por lo tanto, la ganancia A’ que debemos obtener en la red A’ de la
Figura 21 será: A’=vo/iε que posee dimensiones (ohmios) inversas a las de
la red β (mhos), cosa necesaria para que el denominador de la ecuación
(15) sea dimensionalmente correcto, es decir: con T=Aβ adimensional, ya
que se suma a la unidad (sin dimensiones) de ese denominador. Vemos
además que A’ va a salir negativa como ya predijimos al obtener un factor
β negativo en la ecuación (19) para que el circuito tuviera RN. La ganancia
A’ es por tanto:
vo R2
A' = = −( Ri R1 R2 ) × A ×
iε ( Ro + R2 ) (21)
Merece la pena reflexionar un poco sobre la expresión (21) de A’ y
su significado electrónico. Como nos interesa que A’ sea lo mayor posible
para que el producto A’β también lo sea, vamos a ver qué decisiones de
diseño nos sugiere la ecuación (21) para elegir bien R1 y R2. El término
debido al atenuador de salida formado por la Ro del AO y el efecto de carga
R2 se acercará a la unidad si R2>>Ro, lo que no difiere mucho de lo que
vimos con el amplificador no-inversor, que exigía (R1+R2)>>Ro. Respecto
al otro término debido a la combinación en paralelo a la entrada de la Ri del
AO junto con R2 y R1 nos sugiere que empleemos valores no muy bajos de
R1, que es quien domina en esa combinación. La elección que hicimos de
R1=1kΩ y R2=99KΩ para el amplificador no-inversor de ganancia 100,
también encaja con lo que acabamos de obtener para este amplificador
inversor de ganancia 99. Lo que indica la ecuación (21) respecto a una alta
resistencia de entrada RiSR=Ri//R2//R1 es que esta configuración de AO
realimentado negativamente va a ser buena para generadores de excitación
con alta resistencia R1, es decir: generadores de corriente, que encajan
mejor con el restador de corrientes que tenemos a la entrada.
Merece la pena señalar que la ganancia A’ en este caso es muy alta
debido a que es una transresistencia. Tenemos A’z y βy (transconductancia)
y así como la primera es del orden de –109Ω con los valores que venimos
manejando, la segunda es bastante baja (–10-5). Su producto A’z×βy=+104
es un valor numérico que ya se obtuvo con otro tipo de ganancias A’ y β
(ambas en tensión) en el caso del amplificador no inversor. Esto no debería
sorprendernos, porque como anticipamos de cara a la impedancia de salida,
la del circuito de la Figura 16 y la del de la Figura 13 debían ser iguales.
Dado que en este caso la RoSR de la red A’ compacta de la Figura 22 es la
misma prácticamente que la de la Figura 14 (RoSR ≈Ro), el valor del factor
(1+Aβ) del caso anterior y el que obtengamos ahora deben ser muy
parecidos numéricamente (≈104).

116. 116
Figura 22
Una vez que obtenemos la red A’ y su ganancia, así como el factor β
que es el único término que se calcula de la red β (en rigor de una red β
equivalente circuitalmente), el MRA nos va a proporcionar los tres valores
de la ganancia total G y de las impedancias de entrada y de salida RoCR y
RiSR del circuito total en la forma siguiente:
1- Para obtener la impedancia de salida del amplificador inversor de la
Figura 16 o de su equivalente de la Figura 21, hay que tomar la RoSR de la
red A’ de la Figura 22 y dividirla por el factor (1+A’ZβY) como vimos para
la conexión paralelo a la salida al obtener la ecuación (10). Como RoSR es
Ro//R2≈Ro=1KΩ tendremos:
RoSR 1KΩ
RoCR = ≈ = 0.1Ω
(1 + Aβ ) (1 + 10 )
4 (22)
valor éste que ya predijimos a causa de la igualdad de los circuitos de las
Figuras 16 y 13 de este capítulo a la hora de medir su impedancia de salida
(resistencia RoCR). En ambos hay que anular sus generadores de excitación
vi y vg a la hora de calcular su impedancia de salida por los motivos que ya
explicamos, lo que hacía idénticos los circuitos resultantes.
2- Para obtener la ganancia total GZ del circuito de la Figura 21 hay que
emplear la ecuación (15). La condición io=0 en la salida del circuito es
totalmente necesaria como en el caso de la Figura 15 y exactamente por las
mismas razones allí expuestas: no olvidar ninguna otra cosa que vaya a ser
conectada a la salida. La ganancia G (GZ en este caso) será el cociente entre
vo y la excitación en corriente vg/R1 que pusimos para tener el restador de
corrientes a la entrada. Esta no es todavía la ganancia que buscamos (vo/vg),
pero es proporcional a ella a través de R1 que es un valor fijo o constante

117. Diseño con Amplificadores Operacionales 117
como puede verse en la expresión (23) que se obtiene al aplicar la ecuación
(15) al circuito de la Figura (21). Así obtenemos:
vo v v A'Z 1
GZ = = o = R1 × o = ≈ = − R2
ii vg vg 1 + A'Z β y β y (23)
R1
La ganancia GZ que nos proporciona el MRA al aplicar la ecuación
(15) es R1 veces el cociente vo/vg. Con sólo dividir por R1 la GZ obtenida se
llega a la expresión buscada: vo/vg=(–R2/R1), que es la prevista.
3- Finalmente la impedancia de entrada del circuito realimentado será,
según el MRA que hemos propuesto, la RiSR de la red A’ de la Figura 22
dividida por el factor (1+A’ZβY), como corresponde a la conexión paralelo
de las entradas de los cuadripolos. Por tanto, la impedancia de entrada del
circuito de la Figura 21 es:
RiSR 1KΩ
RiCR = ≈ = 0.1Ω
(1 + Aβ ) (1 + 10 )
4 (24)
Aquí terminaría la aplicación del MRA para el análisis del circuito
realimentado que nos ocupa, pero el bajo valor de RiCR que acabamos de
obtener y lo que comentamos sobre la impedancia que “ve” el generador vg
(que según dijimos debía ser R1) requiere alguna explicación adicional que
vamos a dar a continuación.
Lo primero que hay que estudiar es qué significa RiCR y si tiene algo
que ver o no con la resistencia o impedancia que “ve” el generador vg de la
Figura 16. Para ello conviene recordar la visión “dual” corriente/tensión
que dimos para un generador de señal en el Capítulo I y que reproducimos
ahora en la Figura 23, con la parte Norton activada y la parte Thèvenin
anulada. Este es el generador que excita la entrada del circuito de la Figura
21, con su parte Norton activada y su parte Thèvenin anulada porque así
nos interesó para formar el restador de entrada. Como se muestra en la
Figura 23, la RiCR que nos da el MRA en la expresión (24) al dividir la RiSR
de la red A’ por el factor (1+A’ZβY) es la que “ve” este generador Norton.
Casualmente (porque: RoSR≈Ro y RiSR≈R1 son casi iguales) sale un
valor de RiCR numéricamente igual al de RoCR, pero su significado está claro
en la Figura 23. En esta figura se ve que RiCR es la combinación en paralelo
de R1=1kΩ y cierta resistencia RMV vista hacia la entrada del resto del
circuito. Por tanto: RiCR=R1RMV, por lo que esta RMV (cuyo significado

118. 118
veremos enseguida), se obtendrá deshaciendo esa combinación en paralelo.
Así tendremos:
RiCR = 0,1Ω = R1 RMV = 1KΩ RMV ⇒ RMV ≅ 0.1Ω (25)
Figura 23
Si ahora volvemos a la Figura 23 y “activamos” la parte Thèvenin (el
generador vg) a la vez que anulamos la parte Norton (el generador vg/R1 se
elimina) vemos que el generador vg “ve” a R1 en serie con RMV≈0,1Ω, es
decir: 1000,1Ω. Así demostramos que la impedancia que “ve” el generador
vg de la Figura 16 es muy parecida a R1 como predijimos. Es más: los 0,1Ω
de discrepancia se deben a lo que hemos denominado RMV debido a que es
la impedancia que el AO crea mediante su RN entre su entrada (-) y su otra
entrada (+) conectada a masa en la Figura 16. El subíndice “MV” viene del
nombre de Masa Virtual que aparece entre la entrada (-) del AO de la
Figura 16 y masa. Los 0,1Ω de la Masa Virtual frente a los 1000Ω de R1,
suponen numéricamente un buen “cortocircuito virtual” a la entrada. Por
ello podemos suponer que en la entrada (-) hay cero voltios o una “masa
virtual” producida por el AO con RN, que logra mantener en esa entrada
una tensión prácticamente nula, al desviar cualquier corriente de entrada
hacia su salida a través de R2. De ahí que la aproximación ITV(SC) que
empleamos en el Capítulo II funcionase bien, en concreto bajo un error del
0.01% (0.1Ω de error en 1000,1) que ahora acabamos de cuantificar.
Como ejemplo de aplicación y asimilación de lo que hemos visto al
aplicar el MRA a circuitos con AO y RN, proponemos lo siguiente: ¿Se
puede crear una “masa virtual” de tan sólo 0,001Ω con el AO que venimos
manejando (Ri=10MΩ, Ro=1kΩ y A=106)?. Pensando en un circuito como
el de la Figura 24 (que es el convertidor I-V que vimos en la Figura 21 del

119. Diseño con Amplificadores Operacionales 119
Capítulo II) vemos que no hay R1 y podemos suponerlo excitado por un
generador ideal de corriente ig.
Figura 24
Deseamos que ese generador “vea” una impedancia (resistencia) muy
baja, de sólo 0,001Ω. Como éste es un efecto debido a la realimentación
negativa, interesará que el producto A’β sea lo más alto posible. Para ello
convendrá que R2 sea un valor bajo, porque: β=-1/R2. Sin embargo, la
ecuación (21) exige valores altos de R2 por un doble motivo: a) para no
reducir el factor Ri//R2 en este caso y b) para no formar un atenuador
apreciable con Ro del AO. Con un valor de R2=10kΩ podemos suponer que
el objetivo b) ya se cumple, por lo que: A’≈-(Ri//R2)×A≈-A×R2.
El producto A’β será en este caso: A’β=-A×R2/R2=A=106. Tenemos
por tanto un producto 100 veces mayor que el que vimos antes. Por otra
parte, la resistencia de entrada de la red A’ (RiSR en la Figura 22) será ahora
R2 esencialmente. Por tanto: RiCR=R2/106=0,01Ω que aún es 10 veces más
de lo que buscamos, por lo que R2=10KΩ no sirve y hay que bajar su valor.
Si reducimos R2 hasta 1kΩ, el atenuador de salida que se formará en la red
A’ dividirá por dos la señal. Con ello tendremos: A’=-(1kΩ)×A×0,5 y un
nuevo producto T=A’β=0,5A=5×105. La nueva impedancia de entrada del
circuito será: RiCR≈R2/5×105=0,002Ω, que casi logra (salvo en un factor 2)
la bajísima impedancia de entrada que buscamos. Valores más bajos de R2,
además de forzar la salida del AO, no mejoran las cosas porque reducen A’
al formar atenuadores serios a la salida. Por tanto, bajar de 0,002Ω como
“masa virtual” a la entrada del convertidor I-V de la Figura 24 ya va a ser
difícil con el AO que tenemos. Empleando otro AO con mayor ganancia A
o con menor resistencia de salida Ro, sí que sería posible. Nos serviría uno
con A>2×106 o con una Ro que estuviera por debajo de 500Ω, siempre que
este AO fuese capaz de gobernar a su salida cargas de 500Ω sin problemas
(el efecto de carga que el nuevo AO se encontraría a su salida sería de ese
orden: R2=500Ω por ejemplo).

120. 120
III.5- Aplicación del MRA al muestreo de la corriente de salida
Hemos visto un par de ejemplos de circuitos con AO realimentados
negativamente en los que la magnitud de salida muestreada era la tensión
vo. El “muestreador” empleado era la simple conexión en paralelo a la
salida de las redes A y β. Nos falta considerar qué ocurrirá si la conexión
de las redes A y β a la salida es en serie y, por analogía con lo que ocurría
con el restador de entrada, en la conexión serie a la salida se muestreará la
magnitud complementaria: la corriente de salida (io). Tendremos por tanto
realimentaciones proporcionales a la corriente de salida que podremos
resolver con la misma filosofía del MRA ya explicado. Ahora tendremos en
cuenta que la excitación en el lado derecho de la red β es corriente, dado
que muestrea la corriente de salida (lo común a los tres cuadripolos A, β y
G) a fin de que en su lado izquierdo aparezca una magnitud realimentada
(tensión o corriente) que sea proporcional a la corriente de salida (β×io). En
cuanto al equivalente para el lado izquierdo de la red β, será el adecuado
para formar el restador de tensiones o de corrientes que deseemos tener a la
entrada. De todas formas, esta elección es automática al considerar las
señales comunes a los cuadripolos (corriente a la salida y la que se elija a la
entrada) y no hay que preocuparse más sobre ello.
Para aprovechar cosas conocidas vamos a considerar bajo este nuevo
muestreo el amplificador no-inversor de la Figura 25, interesándonos más
la corriente que hacemos circular por R2 que la tensión de salida vo, que ni
se dibuja para no despistar. Nos interesa por tanto una corriente io que sea
proporcional a vi, como en el modulador para diodo LED que vimos en la
Figura 19 del Capítulo II. Con la misma idea subyacente en el modulador,
la corriente io circulará por R1, donde creará una tensión vr=R1×io que será
igual a vi. De este modo io(t) será una réplica fiel de vi(t) o, dicho de otra
forma: será proporcional a la excitación de entrada vi.
Figura 25

121. Diseño con Amplificadores Operacionales 121
En el circuito de la Figura 25 sabemos el valor de la resistencia de
entrada que “ve” el generador vi (del orden de 104 veces Ri, es decir: unos
1011 ohmios). Sabemos además que sobre R1 y R2 en la salida del AO habrá
una tensión vo=vi×(R1+R2)/R1=100vi, por lo que la corriente io será:
R1 + R2
× vi
vo R1 v
io = = = i (26)
( R1 + R2 ) ( R1 + R2 ) R1
valor que también podemos predecir basándonos en el hecho de que la
tensión realimentada sobre R1 es sensiblemente igual a vi, como hicimos al
diseñar el excitador en corriente para el diodo LED del Capítulo anterior.
Así ya tenemos dos valores conocidos del circuito, RiCR e io, con los que
podremos comprobar que el MRA, aplicado ahora al muestreo de corriente
de salida, funciona perfectamente.
Tomando el circuito equivalente del AO y dibujando adecuadamente
su salida (con la "masa" hacia arriba) obtenemos el circuito de la Figura 26
con las redes A y β conectadas en serie a la entrada (restador de tensiones
ya conocido al que se realimenta la tensión vr) y en serie a la salida, lo que
nos permite muestrear la corriente de salida para que la vr realimentada sea
proporcional a esa corriente. Según lo anterior, el factor β=vr/io deberá ser
una transresistencia βZ y la ganancia A’ que obtendremos más adelante,
deberá ser una transconductancia A’Y.
Figura 26

122. 122
Nótese en la Figura 26 la condición de partida necesaria: vo=0, que
es la dual de la que teníamos en la Figura 15 (io=0). Significa lo siguiente:
que el circuito de salida debe estar cerrado en la forma dibujada para que io
circule a través de todos los efectos de carga que estén en ese bucle cerrado
de salida. En otros circuitos puede aparecer alguna RL que ayude a cerrar el
circuito de salida. En esos casos la RL en cuestión debe estar incluida en el
circuito de la Figura 26, aunque casi siempre lo estará por pura necesidad:
si no estuviera no se cerraría el bucle para la circulación de io. Esto hace
que, para este enfoque donde se muestrea io, resulte menos fácil “olvidarse”
de RL o dudar sobre su inclusión en el circuito, tema que ya aclaramos para
el muestreo de vo (ver Figura 15) a tenor de lo leído en algún texto.
En la Figura 26 vemos que las redes A y β poseen como excitaciones
comunes a la entrada y a la salida las corrientes ii e io respectivamente, por
lo que los efectos de carga de la red β se obtendrán anulando la corriente
(lo común) en el lado opuesto. De esta forma cuesta muy poco dibujar esos
efectos y subirlos hacia la red A’ que es lo que se ha hecho en la Figura 27,
donde también aparece el generador de realimentación vr=βvo, cuyo cálculo
(tensión realimentada/corriente muestreada) es elemental y aparece en el
equivalente serie para el lado izquierdo de esa red β (vr=R1×io⇒βZ=R1).
Figura 27
Como puede verse en la Figura 27, la red β ideal muestrea sin cargar
la corriente io, porque el efecto de carga de la red β de la Figura 26 en el
lado de muestreo (R1 y R2 en serie) ya se ha pasado hacia la red A’ tras
quedar dibujado al anular lo común a la entrada (ii) abriendo el circuito de
la Figura 26 en los puntos x e y. Por otra parte, la red β presenta como
tensión realimentada vr toda la tensión R1×io porque su efecto de carga a la

123. Diseño con Amplificadores Operacionales 123
entrada (R1) también ha sido pasado hacia la red A’. Este otro efecto de
carga quedó dibujado al abrir el circuito en los puntos z y t de la Figura 26
para anular lo común a los cuadripolos en la salida (la corriente io).
Con la red β ideal y el bucle de salida cerrado (vo=0) como aparece
en la Figura 27, ya podemos aplicar la ecuación (15) para calcular GY=io/vi
y el resto de los datos que nos proporciona el MRA. Para ello necesitamos
la ganancia A’Y=io/ve, que en este caso es:
io A× v Ri 1
A'Y = = = × A× (27)
vε vε × ( Ro + R1 + R2 ) Ri + R1 Ro + R1 + R2
Según la ecuación (27) la ganancia A’Y posee dos términos que la
atenúan debidos a los efectos de carga de la red β a la entrada y a la salida
del AO. El primero es R1 que normalmente es despreciable frente a Ri (1kΩ
frente a 10MΩ en nuestro caso), por lo que este aspecto está cuidado y no
hay atenuación apenas debido a ello: Ri/(Ri+R1) ≈1. El otro término que
reduce A’Y es el efecto de carga a la salida (R1+R2) en serie con, o que se
suma a, la Ro del AO. En este caso, cuanto más bajo fuese el valor de R2
mayor sería A’. Ese valor de R2 (99KΩ) nos viene dado en nuestro caso
para tener el mismo amplificador que antes y poder comparar resultados,
pero en aplicaciones como el excitador de diodo emisor de luz de la Figura
19 del Capítulo II, ese valor sería bastante más bajo como pide la ecuación
(27). En ese excitador habría que poner en lugar de R2 la impedancia
dinámica del diodo (rd=26mV/IDiodo), un valor de pocos ohmios en cuanto
la corriente de polarización del diodo LED (IDiodo) fuese de algunos mA.
Dejando por ahora los consejos para un buen diseño de excitadores
de transconductancia podemos comprobar que el valor de A’Y es del orden
de 10 mhos o Siemens (A’Y≈A/R2) y como el de βz es de 1000 ohmios, el
producto A’YβZ vuelve a ser de 104 y adimensional. Esto hace que la
impedancia de entrada que “ve” el generador vi de la Figura 27 sea la que
hemos predicho de RiCR=104×Ri=1011Ω, valor que ya obtuvimos con otra
topología de realimentación de tensión proporcional a tensión. Finalmente,
dado el alto valor de la ganancia de lazo A’β, la ecuación (15) aplicada al
circuito de la Figura 27 nos da la ganancia GY=io/vi≈1/β=1/R1, que es el
resultado que ya predijimos en la ecuación (26). Por tanto el MRA utilizado
con muestreo de la corriente de salida, también da excelentes resultados y
permite además ver propiedades del circuito que no se ven al considerar el
muestreo de la tensión de salida, como vamos a mostrar enseguida.
Ello surge al considerar la resistencia de salida con realimentación en
la Figura 27. Debido a la conexión serie a la salida podemos anticipar que
habrá que multiplicar por el factor (1+A’β) la impedancia o resistencia de

124. 124
salida RoSR de la red A’. Ahora bien: ¿Qué significado tiene la RoCR que se
obtenga de esta forma? La respuesta a esta pregunta se obtiene a partir de la
Figura 28, donde se ha dibujado el mismo circuito de la Figura 27, solo que
con su equivalente Norton de salida y en las condiciones en las que se
encontraría si alguien hubiese insertado en el lazo de salida un generador
de tensión perturbadora v sin relación alguna (en frecuencia por ejemplo)
con el generador de señal vi, que por tanto se ha anulado. La señal insertada
v producirá una perturbación de corriente i que se sumará (perturbará por
tanto) a la corriente io que debe circular debido a vi. La eficacia con la que
v modifica a io dependerá de la relación v/i, pero esto es una impedancia: la
impedancia del lazo de salida en el que están incluidas Ro, R1 y R2 según la
Figura 27. Nótese que RoSR es justo la suma de esas tres resistencias y RoCR
va a ser la relación v/i, es decir: una medida de lo estable que es io frente a
perturbaciones en el lazo de salida como la tensión v, que podría ser debida
al ruido captado por algún componente electrónico. Esto es la versión dual
de lo estable que era la tensión de salida v frente a una posible perturbación
de corriente i en paralelo con la salida, en aquel caso del muestreo de la
tensión de salida: véanse la Figura 6 y la ecuación (10).
Figura 28
Si nuestro objetivo fuese hacer circular una corriente io=vi/R1, con la
mayor precisión posible, a través de la resistencia R2 (que podría ser la
resistencia de entrada de un transductor), el significado de RoCR sería este:
RoCR es prácticamente la resistencia del generador de corriente equivalente
con el que se excita a R2. En nuestro caso una RoCR cien o más veces mayor
que R2 nos permitirá decir que R2 es excitada en corriente por un generador
de valor vi/R1 con una precisión mayor que el 1% y éste va a ser el caso.
Para obtener RoCR vemos que cualquier perturbación de corriente i debida al
generador v en la Figura 28 es muestreada por la red β y realimentada
como tensión vr=β×i hacia la entrada de la red A’. Como vr y vε tienen
signo opuesto, el circuito de salida queda como el de la Figura 29.

125. Diseño con Amplificadores Operacionales 125
Figura 29
En esta figura se ve claramente que, debido a que la red β “vigila” lo
que sucede a la salida y lo realimenta hacia la entrada, la red A’ reacciona y
hace que la perturbación de corriente i sea pequeña para una perturbación
externa v razonable o que la perturbación de tensión externa v tenga que ser
muy grande para producir una variación de corriente i razonable. Todo ello
porque según esa Figura, por RoSR va a circular una corriente total (i+A’βi).
En otras palabras: el generador v “verá” una impedancia o resistencia R en
este caso, a la hora de crear i, de valor:
v (i + A' βi ) × RoSR
R= = = (1 + A' β ) RoSR = RoCR (28)
i i
En nuestro caso RoCR es del orden de 104×R2=109, por lo que a la
vista de las Figuras 27 y 28 podemos decir que R2 se encuentra metida en el
bucle de salida y “ve” a éste como un generador de corriente de altísima
impedancia. Tal impedancia es unas T veces la propia R2, lo que significa
que R2 está atacada por un generador de corriente io=vi/R1 muy bueno en
este caso. Tan bueno que aunque la propia R2 sufriese una variación del
10% por ejemplo, debida a una degradación, la corriente io=vi/R1 seguiría
fluyendo a través de la nueva R2 con una variación unas 10.000 veces
menor. Ahora puede el lector entender por qué el modulador de diodo LED
de la Figura 19 del Capítulo II tenía el diodo emisor de luz en lugar de R2 y
por qué la corriente por el LED va a ser una réplica fiel de la señal vi(t) sin
importar mucho que la tensión del diodo varíe algo debido a fluctuaciones
térmicas o a la propia impedancia cambiante del diodo al ser modulado. De
esta forma la luz emitida por el diodo LED será un fiel reflejo de la señal
moduladora vi(t) y se reducirán las distorsiones debidas a la presencia de un
componente circuital no lineal como es el propio LED. Nos referimos al
hecho de que es un componente cuya resistencia varía con la corriente que

126. 126
lo excita, por lo que no cumple la ley de Ohm. Por ello, si lo excitásemos
con una fluctuación de tensión senoidal, la corriente que lo atravesaría no
sería senoidal y aparecería distorsionada por tanto. Sin embargo, con el
LED conectado al circuito de la Figura 19 del Capítulo anterior, la corriente
que lo atraviese será senoidal si vi(t) lo es. La tensión entre los extremos del
diodo hará “lo necesario” (debido al AO+RN) para que ello ocurra, con una
precisión del orden indicado. De ahí la utilidad del muestreo de corriente
para diseñar amplificadores de transconductancia como el necesario para
hacer circular una corriente io=vi/R1 a través de una bobina L conectada en
lugar de R2 en la Figura 25. En este caso es fácil tener perturbaciones de
tensión v por inducción magnética en L debida a líneas de red eléctrica.
El cuarto ejemplo que nos falta para completar las cuatro topologías
de realimentación posibles atendiendo a la conexión de las redes A y β es
el de una realimentación de corriente hacia la entrada que sea proporcional
a la corriente de salida io. Esto supone una conexión serie a la salida para
muestrear io y una conexión paralelo a la entrada para tener el restador de
corrientes. Debido a ello la red β tendrá un factor βI que será una ganancia
en corriente y por tanto la ganancia de la red A’ será otra ganancia en
corriente A’I. La ganancia global G que resultará estabilizada por este tipo
de RN será una ganancia en corriente GI y la modificación de impedancias
será acorde con GI, siendo muy baja la de entrada y muy alta la de salida,
siendo esta última la del bucle cerrado correspondiente, como hemos visto
en el ejemplo anterior. Puede comprobar el lector en los tres casos ya vistos
que la modificación de impedancias siempre es acorde con la ganancia G
que se estabiliza. Así en el caso del amplificador no inversor, la ganancia
que se estabilizaba era una ganancia en tensión GV y un buen amplificador
de tensión debe tener alta impedancia de entrada y baja impedancia de
salida. La topología allí empleada (conexión serie a la entrada y paralelo a
la salida) tiende a conseguir esas prestaciones al multiplicar RiSR por el
factor (1+A’β) y al dividir RoSR por el mismo factor. Ese acuerdo entre el
tipo de ganancia G que se estabiliza y la correspondiente modificación de
impedancias por la RN resulta “lógico”, porque es más fácil desensibilizar
una ganancia si se modifican de forma acorde las impedancias terminales.
Hecha esta introducción vamos a analizar el circuito convertidor I-V
de la Figura 30 que ya encontramos en la Figura 21 del Capítulo anterior.
Aunque resulte más intuitivo el empleo de una topología con muestreo de
la tensión de salida, vamos a mostrar que no es gran problema el forzar un
poco las cosas para trabajar con muestreo de corriente de salida.
Aplicando ITV(SC) a las entradas del AO en la Figura 30 es fácil ver
que la tensión de salida v es R veces la corriente de entrada i cambiada de
signo (v=-Ri). Con R=10MΩ este circuito permite convertir en señales de
voltios las débiles corrientes de décimas de microamperio que puede
generar un diodo fotodetector por ejemplo.

127. Diseño con Amplificadores Operacionales 127
Figura 30
Aplicaremos el MRA para obtener la ganancia de conversión v/i y su
estabilidad, para saber cómo de virtual es la “masa virtual” que la RN crea
en la entrada (-) del AO y por último, para saber la impedancia del lazo de
salida en el que se halla inmersa la resistencia R que de por sí ya es alta
(R=107Ω). Empleando el circuito equivalente del AO se tiene la Figura 31
donde se ven las redes A y β conectadas en paralelo a la entrada y en serie
a la salida como propusimos.
Figura 31
Cortando la conexión serie en los puntos x e y para anular lo común
a los cuadripolos A, β y G en la salida (la corriente io) queda dibujado un
efecto de carga en paralelo a la entrada que es una conexión abierta, es

128. 128
decir: no hay efecto de carga de la red β a la entrada en esta topología. Por
el contrario, al anular lo común a los tres cuadripolos en la entrada (la
tensión vi) queda un efecto de carga a la salida que es la resistencia R, que
aparece en serie con Ro y se pasará enseguida hacia la red A’ La red β ideal
que queda sin estos efectos de carga una vez que han sido pasados hacia la
red A aparece en la Figura 32 junto con la red A’ formada con esos efectos
de carga en la red A.
Figura 32
Merece especial mención el factor β que será: β=ir/io con lo común a
la entrada (tensión) anulado, según se muestra en la Figura 33, donde se
excita con lo que se muestrea (corriente io) y se calcula la relación entre lo
que se realimenta (corriente io) y esa excitación. Ese factor es igual a –1 y
como es un cociente de corrientes, la ganancia A’ debe ser otro cociente de
corrientes y negativo también, como ya ocurrió en un caso anterior donde
vimos que A’ y β deben tener el mismo signo para que la realimentación
sea negativa. En efecto, la ganacia A’ en la Figura 32 es la siguiente:
io −A
A'I = = × Ri (29)
iε Ro + R
y como vemos, tiene signo negativo. Debido al elevado valor de R (10MΩ)
frente al de Ro (1KΩ) la ecuación (29) indica que la ganancia en corriente
A’I es inversamente proporcional a R y para este caso concreto en el que Ri
y R son iguales, A’I coincide numéricamente con la ganancia de tensión del
AO en lazo abierto (A=Ad=106V/V) aunque sus dimensiones son A/A.

129. Diseño con Amplificadores Operacionales 129
Tenemos: A’I=-106A/A y el producto T=A’I×βI=106 es positivo, como debe
ocurrir cuando la realimentación es negativa.
Figura 33
Obtenida la ganancia de lazo T=A’β, ya tenemos el factor (1+A’β) y
podemos por tanto responder a las preguntas que eran el objeto del análisis
mediante el MRA. En primer lugar, la impedancia que verá el generador de
corriente i de la Figura 32 será la impedancia de la “masa virtual” que la
realimentación negativa crea en la entrada (-) del A.O. Esa impedancia
(resistencia en este caso) será:
RiSR 107
ZiCR = RiCR = = ≈ 10Ω (30)
1 + A' β 1 + 106
Este valor, que en comparación con otros que hemos visto antes
parece alto, no lo es en absoluto para un fotodiodo que entregue corrientes
del orden de décimas de microamperio por ejemplo. Una corriente i=10-7A
de un fotodiodo encontraría esa “pseudo-masa” de 10Ω y daría lugar a una
tensión entre la entrada (-) y masa de tan solo 1 microvoltio (10-7A×10Ω).
Este valor es totalmente despreciable frente al voltio (negativo) de tensión
de salida que obtendríamos como respuesta de este convertidor I-V a esa
pequeña fotocorriente de 0.1 µA. La aproximación de ITV(SC) para este
caso supondrá un error de una millonésima parte en la tensión v de salida
debido al alto valor de T=106.
En cuanto a la ganancia v/i del conversor de la Figura 30, debemos
primero calcular la ganancia GI=io/i de la Figura 32 con la ecuación (15).
Dado el enorme valor de A’β frente a 1, tendremos GI≈1/βI=-1. Esto
significa que, con un error de una parte por millón, la corriente de entrada i
y la del bucle de salida io son iguales (el signo es sólo cuestión de los
sentidos de esas corrientes en las Figuras 31 y 32). Nótese que io sale del
AO a través de Ro y va a atravesar R (el efecto de carga de la red β a la

130. 130
salida). Nótese también que la tensión “de salida” v de la Figura 30 no ha
jugado ningún papel al resolver el circuito con la topología que hemos
elegido para aplicar el MRA. Sin embargo, sabemos que v es la tensión que
hay entre el punto de unión de Ro con R y masa (punto H en la Figura 32).
Ese punto de unión es la salida del AO y en la Figura 32 se ha dibujado con
línea de trazos qué parte del circuito de salida va conectada a masa. Por
simple inspección de la Figura 32 se obtiene que la tensión v que buscamos
es la caída de tensión en R debida a la corriente io, es decir: v=R×io. Con la
ganancia GI=io/ii=-1 que acabamos de ver al comienzo del párrafo, resulta
inmediato obtener la ganancia buscada:
v R × io
Az = = = R × GI = −R (31)
ii ii
El resultado obtenido coincide con el que anticipamos al presentar el
conversor I-V de la Figura 30 y sólo nos queda por responder la tercera
pregunta que hicimos entonces respecto a cómo de alta es la impedancia
que “ve” la ya de por sí alta resistencia R, por el hecho de estar metida en
el bucle de salida recorrido por io. Esa impedancia será simplemente:
ZoCR = RoCR = RoCR × (1 + A' β ) ≈ (Ro + R) ×106 ≈ 106 R (32)
La ecuación (32) significa que el generador de corriente equivalente
que ataca a R para hacer circular por ella la corriente i que entra al circuito,
tiene una resistencia que es un millón de veces mayor que R. Debido a ello,
la resistencia R se ve forzada a conducir toda la corriente i con una gran
precisión: ¡sólo una parte por millón de error!. Este nivel de precisión está
mucho más allá que el 0.1% de tolerancia del valor de R que podemos tener
si empleamos resistencias de alta precisión en el diseño. Por cierto, como el
lector podrá intuir, la millonésima parte de error se debe a la parte de i que
entra hacia la patilla (-) del AO por tener una igualdad de tensiones que es
casi total en las entradas. De ahí que la ITV(SC) funcione en el circuito de
la Figura 30 con esta precisión tan buena.
III.6- Conclusiones
Hemos presentado un Método Rápido de Análisis (MRA) que resulta
muy exacto para circuitos con AO y realimentación negativa. Tal método
se basa en buscar un restador de señales a la entrada que es simplemente
una conexión serie o paralelo y un muestreador de señal de salida que es
también una conexión serie o paralelo. De esta forma se tienen dos redes o

131. Diseño con Amplificadores Operacionales 131
cuadripolos, uno de transferencia directa con el AO (red A) y otro (red β)
de realimentación o transferencia inversa, cuya transferencia directa resulta
despreciable frente a la del primero en la práctica totalidad de los casos.
Una vez hecho lo anterior, hay que:
1- Calcular el factor β de realimentación para la topología que se
definió con el restador y el muestreador elegidos.
2- Dibujar los efectos de carga de la red β anulando la excitación
común a los cuadripolos en el lado opuesto y añadirlos (“subirlos”
o pasarlos) a la red A para formar la red A’.
3- Calcular la ganancia A’ y obtener la ganancia de lazo T=A’β para
obtener el factor (1+T), que con la ecuación (15) nos proporciona
la ganancia global G del circuito realimentado.
4- Obtener, si es preciso, las impedancias de entrada y de salida del
circuito total a partir de las impedancias de entrada y de salida de
la red A’ (ZiSR y ZoSR) multiplicadas (conexión serie) o divididas
(conexión paralelo) por el factor (1+T).
Con el MRA presentado para las cuatro topologías de realimentación
negativa existentes con dos cuadripolos A y β interconectados, disponemos
de una poderosa herramienta de análisis y sobre todo de diseño de etapas
basadas en AO y RN que nos permite responder a preguntas que quedan
fuera del alcance de otras técnicas muy sencillas como la aproximación
ITV(SC). Una vez más recordaremos la importancia de considerar “lo que
va a venir detrás” de una etapa basada en AO, cosa que conceptualmente
debe hacerse en el diseño de esa etapa. Otra cosa es que el efecto de carga
de lo que va a venir detrás sea despreciable frente a la resistencia de salida
Ro del AO y no lo tengamos en cuenta, pero esto debe hacerse con pleno
conocimiento de lo que hacemos. Del mismo modo, también se debe
considerar cómo es (qué circuito equivalente tiene) el generador o la etapa
anterior que excita a la que nos ocupa. El circuito equivalente del generador
de excitación interviene de modo que si lo cambiamos, otras cosas como la
impedancia de salida de la etapa realimentada, también cambiarán. Todo
ello porque en la esencia misma de la realimentación negativa está el hecho
de que lo que se hace a la entrada afecta a la salida y viceversa.
***

132. 132

133. Diseño con Amplificadores Operacionales 133
Capítulo IV.
Diseño de sistemas con AO y
Realimentación Negativa

134. 134

135. Diseño con Amplificadores Operacionales 135
Capítulo IV: Diseño de sistemas con AO y
Realimentación Negativa
IV.1- Introducción
En este capítulo veremos la forma de proceder a la hora de diseñar
sistemas formados por varias etapas con AO realimentados negativamente.
Salvo en algunos amplificadores en los que esas etapas quedan conectadas
de forma nativa en serie, es bastante común que se conecten en cascada,
una detrás de otra. En este caso una práctica bastante común es el diseño de
esas etapas por separado y luego conectarlas sin más, esperando que cada
una siga comportándose como si estuviera aislada, sin importar qué tiene
que excitar cada etapa ni qué le está excitando a cada etapa. Esta forma de
proceder es conceptualmente errónea, pero con ideas claras sobre lo que
estamos haciendo, puede resultar válida en la práctica.
Tras presentar esas ideas y sus fundamentos en etapas amplificadoras
diferenciales pasaremos a estudiar el diseño de etapas amplificadoras para
el manejo de señales débiles. Ello nos servirá para ver cómo armonizar los
criterios de diseño del MRA del Capítulo anterior con otros nuevos que
aparecen al querer diseñar etapas que añadan el menor ruido posible a las
débiles señales que tienen que amplificar o procesar.
No haremos una presentación exhaustiva de los muchos subsistemas
(amplificadores, integradores, convertidores I-V y V-I, filtros, sumadores,
etc.) que se pueden hacer con AO realimentados negativamente. Existen
excelentes libros [7], [8] y notas de aplicación de fabricantes de AO [9],
que cubren el tema ampliamente. Nuestra forma de proceder será más bien
la de tomar un cierto sistema o subsistema con AO, analizarlo mediante
ITV(SC) para ver rápidamente su funcionalidad (qué hace o para qué sirve)
y ver a continuación qué condicionantes de diseño nos sugiere el MRA que
vimos en el Capítulo anterior. Este proceso suele ser el más enriquecedor y
nos dará muchas veces ideas nuevas de diseño para nuevos sistemas o
subsistemas. Diremos aquí que serán subsistemas aquellos circuitos con un
solo AO, mientras que sistemas serán aquellos que lleven más de un AO o
más de una realimentación. De esta forma los circuitos analizados en el
Capítulo anterior serían subsistemas en general y a partir de ahora será
cuando empecemos a presentar algunos sistemas.
Con las ideas del párrafo anterior pasaremos a considerar algunos
aspectos relacionados con efectos relacionados con la frecuencia de señales
que varían en el tiempo. Estos efectos no son los “clásicos” sobre respuesta
en frecuencia de circuitos realimentados, sino otros menos tratados en los
libros debidos a efectos de capacidades parásitas inevitables en muchos
sistemas. El intento de reducirlas en algunos casos nos llevará a sistemas

136. 136
con un solo AO y más de una realimentación. Este tema relacionado con la
frecuencia terminará con una interesante aplicación del MRA para entender
otras redes de realimentación como redes en “T” empleadas con AO.
Tras esa breve incursión en realimentación negativa que depende de
la frecuencia se terminará la panorámica de RN con realimentaciones que
dependen tanto del signo como de la amplitud de la señal de entrada, a las
que hemos denominado realimentaciones no-lineales y ocasionales, para
hacer referencia a la existencia de elementos circuitales que permiten la
obtención de ganancias especiales como la de amplificadores logarítmicos
y rectificadores de precisión. El término de RN “ocasional” se ha empleado
para indicar claramente al lector que puede haber varias redes β1, β2, etc de
realimentación que entran en acción ocasionalmente, según sea la señal de
entrada.
Con todas las situaciones anteriores se cubre la mayor parte de las
muchas posibilidades que la Realimentación negativa con AO ofrece para
el diseño de sistemas utilizados en el acondicionamiento y el procesado de
señales. Visto el gran número de operaciones con señales que se pueden
hacer gracias al empleo de realimentación negativa en estos amplificadores,
se entiende mejor de dónde les viene el calificativo de Operacionales.
IV.2- Amplificadores diferenciales
Aunque los mismos AO son amplificadores diferenciales con salida
asimétrica o referida a masa, su enorme ganancia y sobre todo las grandes
variaciones de esa ganancia provocadas por cambios de temperatura por
ejemplo, los hacen inadecuados como amplificadores diferenciales en lazo
abierto. Como sabemos, el AO necesita ser realimentado de modo que su
ganancia disminuya mucho y se estabilice en la misma proporción (factor
1+A’β). Sólo así nos sirve como amplificador para diseños profesionales,
algunos de los cuales hemos visto en el Capítulo anterior: configuraciones
amplificadoras inversora y no-inversora (CAI y CANI respectivamente).
Sin embargo, estos dos tipos de amplificadores tenían que ser excitados por
una señal de entrada referida a masa, siendo pues incapaces de amplificar
correctamente una tensión diferencial entre dos puntos tales que ninguno de
ellos pueda ir conectado a masa ni conectarse con la idea de usar una de
esas configuraciones referida a masa. Un ejemplo de este tipo de señal sería
la débil señal del electroencefalograma de un paciente que aparece entre
dos electrodos conectados simétricamente a su cabeza. ¿Con qué “derecho”
podemos conectar a masa el del lado izquierdo por ejemplo?. Si hiciéramos
tal cosa estaríamos perturbando el generador de señal inicial, ya que uno de
los electrodos vería cierto entorno electrónico (por ejemplo la entrada del
amplificador con MΩ de impedancia respecto a masa) y el otro electrodo
vería un entorno electrónico muy distinto (la propia masa, cuya impedancia

137. Diseño con Amplificadores Operacionales 137
respecto a masa sería nula). Necesitamos por tanto amplificadores capaces
de amplificar la diferencia de tensiones entre dos puntos A y B (VA-B) y que
a ser posible no amplifiquen la tensión común que exista en ambos puntos.
Remitimos al lector a la Figura 4 del Capítulo I para recordar los conceptos
de tensión diferencial y tensión en modo común y ver mejor la perturbación
que supone el conectar a masa uno de los puntos A o B.
Una primera solución al problema planteado es el circuito de la
Figura 1, cuya tensión de salida es proporcional a la diferencia de tensiones
VA-B=(vA-vB).
Figura 1
Podríamos aplicar ITV(SC) a las entradas del AO de la Figura 1 para
obtener que vo es R2/R1 veces la diferencia de tensiones VA-B=(vA-vB), pero
ésta es una forma de proceder que creemos poco educativa. Por el contrario
vamos a pensar un poco sobre el circuito, viéndolo como un subsistema ya
conocido o mejor dicho: como dos subsistemas que ya conocemos y que
aparecen al aplicar superposición de efectos debidos a los generadores vA y
vB. Si anulamos el generador vA para ver el efecto del generador vB,
podemos decir que para vB tenemos un AO en CAI de ganancia: -R2/R1.
Nótese que no importa que la patilla (+) del AO no esté estrictamente
conectada a masa. A efectos prácticos lo está, ya que la corriente de señal
que sale o entra por la patilla (+) del A.O. es despreciable y no da lugar a
caida de tensión, por lo que esa patilla (+) del AO puede considerarse como
conectada a masa. Por tanto, el efecto del generador vB en la salida vo es:
R2
vo = − × vB (1)
R1

138. 138
Si ahora anulamos el generador vB para ver el efecto del generador
vA, vemos que de cara a la tensión v(+) de la entrada no-inversora tenemos
un AO en CANI cuya ganancia será: (1+R2/R1). Sabemos además que la
impedancia de entrada vista hacia dentro del AO en esta entrada (+) es
enorme: del orden de (1+A’β)×Ri, por lo que apenas cargará al atenuador
R1-R2 de vA, al combinarse en paralelo con R2. Debido a ello el efecto de vA
en la salida vo será el siguiente:
 R   R   R2  R
v o = 1 + 2 v ( + ) = 1 + 2  × 
 R   R  R +R 
vA  = 2 × vA (2)
 1   1   1 2  R1
donde vemos tanto la ganancia del AO en CANI como el factor por el que
se atenúa previamente vA. Superponiendo los efectos de vA y vB, la tensión
total de salida es:
R2
vo = × (v A − v B ) (3)
R1
La ecuación (3) indica que el circuito de la Figura 1 amplifica por un
factor R2/R1 la diferencia de tensiones de entrada. Pongamos valores a R1 y
R2, por ejemplo R1=1kΩ y R2=100kΩ, y veamos el circuito con un poco
más de detalle, en concreto las impedancias de entrada que presenta a cada
uno de los generadores. Procediendo igual que antes podemos anular vA
para ver qué impedancia “ve” el generador vB. Como vimos en el Capítulo
III, el AO en CAI crea una “masa virtual” en la patilla (-) cuya impedancia
RMV respecto a masa es muy pequeña (RMV<<1Ω generalmente). Así
sucede en este caso si aplicamos el MRA con esos valores de R1 y R2 y los
de A=106, Ri=107Ω y Ro=1kΩ para el AO, porque nos salen valores
RiSR≈1KΩ y A’β≈104 que ya obtuvimos en el capítulo anterior. Por tanto, el
generador vB verá una impedancia RB que será la de esa masa virtual en
serie con R1, es decir: RB≈R1=1kΩ. Por el contrario, el generador vA verá la
impedancia de entrada al divisor R1-R2, es decir: RA=(R1+R2)=101 KΩ, que
es unas ¡100 veces mayor! que la que ve el generador vB. Hay pues una
clara asimetría en este aspecto, que se traduce en que a efectos prácticos el
circuito no funciona como amplificador diferencial o sólo funciona bien
con generadores vA y vB de bajísima impedancia. Para ilustrar el efecto
pensemos en dos generadores de impedancia media, por ejemplo Rg=1KΩ,
que conectamos a los puntos A y B de la Figura 1. Pensemos además que
ambos generadores dan la misma señal senoidal de 2KHz de frecuencia y
vg=10mV de amplitud cuando se miden en vacío. Así acabamos de definir

139. Diseño con Amplificadores Operacionales 139
el equivalente serie o Thèvenin de esos dos generadores iguales que
aparecen en la Figura 2.
Figura 2
Pensando en la ecuación (3) uno esperaría que al conectar dos
generadores iguales a los puntos A y B de la Figura 1, la tensión a la salida
sería nula y sin embargo no es así. La causa es la asimetría en cuanto a las
entradas A y B que hemos comentado que hace que las tensiones VA y VB
sean distintas, lo que da lugar a una señal de salida vo no nula. La razón es
que de cara a vB, la resistencia Rg=1KΩ del generador y la impedancia de
entrada entre el punto B y masa, RB=1KΩ, formarán un atenuador del 50%.
Debido a ello vB será una señal de 2KHz de frecuencia y 5mV de amplitud
(el 50% de la amplitud vg=10mV) y por el contrario, la tensión vA será el
99% de vg porque RA=100KΩ y Rg=1KΩ apenas forman atenuador en la
entrada A. El resultado es esencialmente que vB tiene la mitad de amplitud
que vA, por lo que la salida será una señal de unos 500mV de amplitud y
2KHz de frecuencia en este caso, debido al predominio de vA sobre vB.
La aplicación del MRA al subsistema de la Figura 1 nos permite ver
sus limitaciones y el origen de las mismas. Si a ello unimos cierto sentido
común, podemos diseñar sistemas con mejores prestaciones. Vamos a
hacerlo viendo qué falla en el subsistema de la Figura 1 y lo primero que
llama la atención es que el generador vB debe ser de muy baja impedancia
(mucho menor que RB≈1KΩ) para que no se forme ese atenuador tan
distinto al de la otra entrada. Por tanto, una posible mejora a costa de añadir
un nuevo AO es hacer que el generador que va al punto B no lo haga,
yendo en su lugar a la entrada no inversora de un nuevo AO realimentado
negativamente, cuya salida (de muy baja impedancia debido a la RN) será
la que vaya al punto B. La ganancia de este nuevo AO realimentado estaría
por determinar aún y antes de hacerlo pensemos por qué la señal aplicada al

140. 140
punto A se atenuaba algo antes de aplicarse a la entrada (+) del AO en la
Figura 1. La razón no era otra que compensar la mayor ganancia del AO en
CANI que en CAI. En el primer caso la ganancia (en valor absoluto) es
(R1+R2)/R1 y en el segundo es R2/R1. La atenuación de vA compensaba la
diferencia de esas ganancias aunque nos hacía pagar un precio: tener una
impedancia de entrada RA=(R1+R2) cuando la impedancia de esa entrada
podría ser muy alta si la señal atacase directamente a la patilla (+) del AO.
Como estamos diseñando el sistema, vamos a buscar características
deseables y una de ellas es que la impedancia vista en las entradas sea lo
más elevada posible para no formar atenuadores de entrada con la Rg de los
generadores de excitación por elevadas que sean. Por ello prescindimos del
atenuador en el punto A y proponemos el sistema de la Figura 3.
Figura 3
En el sistema de la Figura 3 hay mejoras importantes referentes a las
impedancias RA y RB de cada una de las entradas. Estas serán ahora muy
altas debido a que ambas son impedancias de entrada de AO con RN en
CANI. Queda por ver lo que sucede en el punto B’, similar al punto B de la
Figura 1. Desde el punto de vista de RN, el primer AO va a tener a su
salida una impedancia conectada igual a R1 en serie con el valor óhmico de
la masa virtual que el AO2 consiga crear en su patilla (-). Por lo que vimos
esa impedancia es esencialmente R1 y si la seguimos manteniendo en 1KΩ
podría estropear parte de las prestaciones del primer AO, al formar con su
Ro=1KΩ un atenuador severo que reduciría a la mitad la ganancia A’ del
AO1. Esto además haría que la resistencia RB fuese la mitad de la que se
podría obtener gracias a la realimentación negativa: RB=(1+A’β)×RiSR.
Por ello sería buena práctica en nuestro caso elegir R1=10KΩ y para
tener la ganancia 100 del caso anterior deberíamos tomar R2=990 KΩ. De
esta forma el AO1 va a poder mantener un producto A’×β alto a poco que
cuidemos la elección de R3 y R4. La elección de R3 y R4 desde el punto de

141. Diseño con Amplificadores Operacionales 141
vista del MRA aplicado al AO1 sólo exige que R3+R4 (efecto de carga a la
salida) sea alto comparado con la resistencia de salida Ro del AO1. Bastará
con que (R3+R4) supere los 10KΩ para que no se forme un atenuador
severo con Ro=1KΩ y así no se pierda ganancia A’.
La relación entre R3 y R4 vendrá dada por la ganancia que se necesite
para la señal vB en el punto B’. Para ello hay que considerar que , con vB=0,
la tensión en el punto B’ será también cero y además la impedancia vista
entre el punto B’ y masa será muy baja. Es la impedancia de salida del
AO1 con una carga R1 en paralelo a su salida. Si tanto R1 como (R4+R3)
son mucho mayores que Ro, la resistencia de salida de la red A’ de la
primera etapa será : ROSR=Ro//R1//(R4+R3)≈Ro y por tanto la impedancia
entre el punto B’ y masa será del orden de: ROCR≈Ro/(1+A’β). Nos falta
saber cuánto vale β para el AO1, pero ya podemos anticipar que será
cercana a la unidad porque la tensión necesaria en B’ es muy parecida a vB.
Si ello es así, el producto A’β en AO1 va a ser del orden de 106, por
lo que RoCR=103/106=0,001Ω y ésta es la impedancia entre el punto B’ y
masa. Debido a ello la tensión que el AO1 haga aparecer en el punto B’
será amplificada en AO1 por un factor –R2/R1. Ahora bien, esa tensión en
el punto B’ será (1+R4/R3) veces la tensión vB debido a que AO1 trabaja en
CANI de cara a vB. Por lo tanto, haciendo vA=0 la tensión vB aparecerá a la
salida amplificada e invertida en la siguiente forma:
 R   R 
v o = 1 + 4  ×  − 2  × v B
    (4)
 R3   R1 
Haciendo ahora vB=0, la tensión en el punto B’ será cero y además la
impedancia entre B’ y masa será, como hemos visto, del orden de 0,001Ω.
En estas condiciones el AO2 trabaja en CANI de cara a vA, por lo que la
salida vo debida a vA será:
 R 
v o = 1 + 2  × v A
 R  (5)
 1 
Superponiendo los efectos debidos a vA y vB, la tensión de salida es:
 R1 + R2   R   R + R4 

vo =   × vA −  2  ×  3
 
 R   R  × vB (6)
 R1   1  3 

142. 142
Si queremos que el sistema de la Figura 3 sea un amplificador de la
diferencia de tensiones (vA-vB) debe cumplirse:
R1 + R2  R2   R3 + R4 
=  ×
 R   R  ⇒ R1 × R3 = R2 × R4
 (7)
R1  1  3 
La ecuación (7) es la condición que deben cumplir las 4 resistencias
del sistema de la Figura 3 para que sea un excelente amplificador de la
tensión diferencial entre los puntos A y B (vA-vB). De esa condición se
deduce además la relación entre R3 y R4 que nos dará el factor β para el
AO1. Tal relación es:
R3 R2
= (8)
R4 R1
Y con esta relación la ecuación (6) queda:
 R 
v o = 1 + 2  × ( v A − v B )
  (9)
 R1 
La ecuación (9) nos da la ganancia del amplificador diferencial que
hemos obtenido. Si queremos que esta ganancia sea 100, haremos R2=99R1,
por lo que R3/R4 deberá valer 99. Nótese que ello supone R3=99R4, o lo que
es lo mismo, que el AO1 posee una ganancia (R3+R4)/R3=100/99 muy
cercana a la unidad, por lo que su factor A’β debe ser enorme y su factor β
justo el inverso de esa ganancia. Por tanto el factor β para el AO1 es:
β=99/100≈1 y con los valores que venimos manejando para los AO, el
producto A’β será del orden de 106, lo que justifica el valor RoCR≈0,001Ω
que hemos empleado para obtener la impedancia entre el punto B’ y masa.
Resumiendo los resultados obtenidos, un buen diseño del sistema de
la Figura 3 para que sea un amplificador diferencial de ganancia 100 será el
que emplee los valores: R1=10KΩ, R2=990KΩ, R3=99KΩ y R4=1KΩ.
Estos valores cumplen la ecuación (7) que es el único criterio de diseño que
suele manejarse para diseñar un amplificador diferencial con el esquema de
la Figura 3. Con sólo este criterio es frecuente encontrar diseños con las
resistencias iguales dos a dos, es decir: R1=1KΩ, R2=99KΩ, R3=99KΩ y
R4=1KΩ. Sin embargo, este diseño no cumpliría para nuestros AO la
condición que dimos para R1 y que era: R1>>Ro, siendo Ro la resistencia de

143. Diseño con Amplificadores Operacionales 143
salida de los AO que suponemos iguales (del mismo modelo). El efecto de
este diseño no tan cuidadoso sería que la ganancia A’ del AO1 se reduciría
en un factor 2 aproximadamente y ello haría que su impedancia de entrada
fuese sólo la mitad de la que se obtendría con los valores dados en primer
lugar para las resistencias.
Con todo lo anterior vemos que los factores de realimentacion β1 y
β2 para AO1 y AO2 son muy distintos (β1≈1 y β2=0,01). Esto va a hacer
que la impedancia de entrada del AO1 sea unas 100 veces mayor que la del
AO2, debido a que el producto A’β del AO1 será unas 100 veces el de
AO2. Como en el primer caso A’β=106 y en el segundo A’β≈104, las
impedancias vistas por los generadores vB y vA serán unos 1013Ω y 1011Ω
respectivamente. Estos valores son tan altos que la diferencia apenas se
notará si los generadores de las tensiones vA y vB poseen impedancias
razonables e incluso hasta bastante altas. Sólo en casos extremos, donde la
impedancia de esos generadores sea del orden del GΩ (109 ohmios) se
empezarán a notar claramente los efectos de esa asimetría. Decimos
“claramente” porque hemos asumido que la relación entre las resistencias
dada por la ecuacción (8) se cumple exactamente. Sin embargo aun
empleando resistencias de cierta precisión (1% de tolerancia) esa relación
no podrá cumplirse exactamente y una imprecisión del 1% sería esperable
en principio. De este orden es la atenuación que los 1011Ω de la entrada A
producirían con una Rg=1GΩ, efecto que se empezaría a manifestar en esa
entrada y no en la otra, cuya impedancia de entrada sería de 1013 ohmios.
El sistema de la Figura 3 emplea dos AO y eligiendo las resistencias
R1, R2, R3 y R4 entre un conjunto de ellas del 0,1% de tolerancia (alta
precisión) es posible cumplir la ecuación (7) con gran exactitud, teniendo
así un buen amplificador diferencial con un alto factor de rechazo al modo
común (CMRR). Sin emgargo nos queda por resolver la asimetría en
cuanto a impedancias de entrada si queremos trabajar con generadores de
muy alta impedancia y débil señal, que nos obliguen a utilizar ganancias
diferenciales altas. Nótese que si necesitáramos una ganancia de 1000 en
vez de 100 como la propuesta, la impedancia de entrada vista por el
generador vA sería 10 veces menor que los 1011 ohmios de antes, es decir:
1010 ohmios y los problemas derivados de ello aparecerían con generadores
cuyas Rg fuesen diez veces menores (100 MΩ). Sería deseable por tanto
diseñar un sistema que tuviese alta impedancia en ambas entradas y lo más
parecidas posible entre sí. Ello necesita al menos dos etapas con AO en
CANI con el mismo factor β de realimentación o dicho de otro modo: con
ganancias iguales, y requiere restar luego sus señales de salida o amplificar
sólo la diferencia entre ellas. La Figura 4 recoge esta idea, aprovechando
como etapa de salida el subsistema de la Figura 1 (AO3 en este caso).

144. 144
Figura 4
Esta primera versión de amplificador diferencial con tres AO daría
una ganancia diferencial de la forma:
 R  R 
v o = 1 + 2  ×  4  × ( v A − v B )
 R  R  (10)
 1   3 
La ganancia de la ecuación (10) resulta sencilla sobre el papel, pero
difícil de conseguir en la práctica, ya que requiere en primer lugar que las
resistencias estén cuidadosamente elegidas o ajustadas de modo que el
cociente R4/R3 en cada rama del diferencial de salida sea idéntico. Esto se
logra empleando resistencias de precisión y, dejando fijas las resistencias
R4 y R3 de la rama de realimentación del AO3 (las que se unen en su patilla
inversora) se eligen cuidadosamente entre resistencias de precisión las del
divisor R3-R4 a la entrada (+) del AO3. Sólo así se logran altos factores de
rechazo al modo común para las tensiones en los puntos A y B y como el
lector podrá imaginar o comprobar si monta el circuito, este proceso resulta
tedioso y caro. Pues bien, no sólo hay que hacer eso para que el CMRR
global del sistema sea alto: se requiere también que las etapas de entrada
(AO1 y AO2) tengan ganancias lo más parecidas posible y ello requiere
elegir resistencias (pares de resistencias) de modo que el cociente entre R2
y R1 en el AO1 sea lo más parecido posible al que se tenga en el AO2. Una

145. Diseño con Amplificadores Operacionales 145
discrepancia del 1 por mil en esos cocientes hará que, si R2/R1 domina en la
ecuación (10) frente al 1 al que se suma, la ganancia de cada entrada difiera
en un valor similar, con lo que el CMRR difícilmente superará los 60 dB
para todo el sistema. En otras palabras: la misma señal aplicada a las
entradas (vA=vB=vg) no dará cero a la salida, sino la milésima parte
aproximadamente de la señal que obtendríamos aplicando esa señal de
entrada a una sola de las entradas (vA=vg y vB=0 por ejemplo).
Lo anterior nos da una nueva idea para luchar contra la necesidad de
este segundo ajuste o elección cuidadosa y lenta de R1 y R2 para los AO de
entrada. Tal idea supone matemáticamente: “hacer que el 1 domine sobre el
cociente R2/R1 en la ecuación (10)” y esto requiere eliminar físicamente las
resistencias R1 (R1→∞) y sustituir las resistencias R2 por cortocircuitos
(pistas de cobre en el circuito impreso) que conecten la entrada (-) de cada
AO de entrada con su salida. De esta forma AO1 y AO2 se convierten en
dos etapas de ganancia unidad (seguidoras de tensión), porque su red de
realimentación β pasa a tener un factor βv=1=vr/vo, el más alto que puede
lograrse con un divisor resistivo como los que venimos manejando para una
realimentación de tensión (vr) proporcional a tensión (vo). Por este motivo
el producto A’β es el más alto posible para AO1 y AO2 y será del orden de
106 con los valores que venimos manejaando para los AO.
Figura 5
Esto creará una resistencia de entrada en cada seguidor de tensión del
orden de 1013 ohmios que serán tan parecidas entre sí como lo sean las

146. 146
ganancias de los AO, por lo que variaciones del 20% son muy posibles. De
todas formas esa diferencia ya no será de un orden de magnitud o más
como sucedía con el sistema de la Figura 3. Así tendremos un amplificador
diferencial con excelentes propiedades en sus entradas y cuyo CMRR sólo
dependerá de los dos cocientes R4/R3 en cada rama del AO3 en la Figura 5.
El sistema de la Figura 5 es una buena solución como amplificador
diferencial, pero tiene el inconveniente de que toda la ganancia del circuito
la debe proporcionar AO3 y es igual a R4/R3, como puede verse en la
ecuación (10) haciendo R2=0 (y R1→∞ si se desea). Esta situación hace que
a veces el ancho de banda conseguido para una cierta ganancia no sea
suficiente, situación que se deriva del hecho de que muchos AO vienen
compensados internamente mediante lo que se llama ganancia controlada
por un polo dominante. Esa compensación resulta necesaria para evitar que
el AO se vuelva inestable al ser realimentado cada vez más (por ejemplo
con factores β cada vez más cercanos a la unidad). Los motivos de esta
forma de proceder pueden verse en [6, 8, 14] y por ahora lo único que hace
falta saber es que esa compensación da lugar a que el AO posea una figura
de mérito (G×Bw) conocida como producto Ganancia×Ancho de Banda.
Con el tipo de realimentación pasiva que tiene el AO3 de la Figura 5, el
producto G×Bw del AO3 y el del amplificador diferencial construido en
torno al AO3 son similares. De esta forma, si el AO3 posee un producto
G×Bw=5MHz y la realimentación que le aplicamos mediante R3 y R4 le
reducen su ganancia hasta un valor de 100 por ejemplo, la ganancia de 100
se mantendrá hasta la frecuencia ƒc=G×Bw/100=50KHz y a partir de ahí
caerá con la frecuencia. En otras palabras: el producto G×Bw se mantiene
al realimentar negativamente y es posible que el producto GBw del AO3 no
sea suficiente para lo que deseamos en el sistema de la Figura 5.
Por ello sería bueno que las etapas de entrada amplificasen también,
pero sin necesitar ese ajuste tan preciso de sus cocientes R2/R1 que vimos
para el sistema de la Figura 4. Sería mejor aún que esas etapas de entrada
amplificasen mucho la señal diferencial y poco la señal en modo común,
cosa que no ocurre en el circuito de la Figura 4, donde las etapas de entrada
amplifican por igual tanto la tensión común a vA y vB como la diferencial
entre vA y vB. La resta posterior en AO3 de las tensiones en los puntos A y
B es la que cancela las aportaciones debidas a la parte común de vA y vB en
las salidas de AO1 y AO2. Sin embargo, esta situación donde se arrastra y
se va amplificando a lo largo del circuito una componente común, que
suele ser además mucho mayor que la componente diferencial que interesa
amplificar, no es deseable en absoluto y un ejemplo aclarará las cosas.
Supongamos que las entradas del circuito de la Figura 4 se conectan
a sendos electrodos de un equipo de encefalografía (EEG) para recoger y
amplificar una débil señal eléctrica de 10 microvoltios eficaces que aparece
entre ellos (por tanto es señal diferencial: si fuera señal en modo común,

147. Diseño con Amplificadores Operacionales 147
aparecería por igual en ellos respecto a una referencia o masa). Esos
electrodos van conectados a dos puntos distintos de la cabeza del paciente
entre los que aparece la señal del EEG, pero en relación con el exterior, la
cabeza del paciente o todo su cuerpo en rigor tendrá acoplos capacitivos
con los hilos metálicos de la omnipresente red eléctrica de 50 Hz que pasen
a cierta distancia. Pensemos que debido a ello la cabeza del paciente
“capta” o presenta una tensión alterna de 50 Hz y 1V de amplitud eficaz
respecto a la “masa” del circuito de la Figura 4, cuyos acoplos con la red
son diferentes debido a su diferente geometría y situación espacial. De esta
forma las tensiones vA y vB de la Figura 4 poseen una tensión en modo
común de 1Veff con forma bastante senoidal en el tiempo y una frecuencia
de 50 Hz. Esta es la tensión que tiende a hacer iguales vA y vB y sólo la
señal del EEG de 10µVeff las hace diferentes, de ahí el calificativo
“diferencial” aplicado a esta segunda tensión.
Pues bien, tenemos una situación en la que nuestra señal de interés se
encuentra inmersa en una señal común indeseada que es 100.000 veces
mayor (relación 100dB=20log105). Necesitaremos un buen amplificador
diferencial cuyo CMRR sea de 100dB para lograr que a su salida los
valores eficaces de la señal diferencial y de la señal común sean similares.
Esto daría una señal que sería una especie de oscilación de 50Hz sobre la
que estaría superpuesta la señal del EEG con parecida amplitud. Todavía
sería necesario reducir más los 50Hz con un filtro “notch” por ejemplo,
pero no vamos a entrar en esto. Nuestro problema es cómo obtener una
amplitud de señal del EEG de 0,1V eficaces a partir de los 10µV eficaces
que recogen los electrodos. La respuesta es simple a primera vista: hay que
diseñar un amplificador diferencial de ganancia 0,1V/10µV=104 (80dB) y
con las mejores propiedades de rechazo al modo común que podamos
obtener (100dB o más de CMRR, pero esto ya empieza a ser difícil). Para
concretar más las cosas, supondremos que tenemos AO que son excelentes
para esta aplicación (alto CMRR, bajas tensiones de offset con baja deriva,
etc) cuyo producto G×Bw es de 500 KHz. Asumiremos que la señal del
EEG posee componentes de interés hasta 100Hz.
Necesitamos por tanto que nuestro sistema posea un producto G×Bw
de 1MHz (100Hz×104), por lo que el circuito de la Figura 5 no sirve debido
al insuficiente producto G×Bw del AO3. Por otra parte, la alta ganancia
obtenida de un solo AO requeriría poca RN en AO3 (β=10-4) por lo que el
producto A’β en AO3 sería bajo (en torno a 100 para la ganancia Ad=106
que asumimos para los AO). De esta forma no tendríamos un buen factor
de desensibilización de la ganancia, o en otras palabras: la ganancia
obtenida no sería suficientemente estable. Por tanto, vamos a realimentar
más esa etapa, por ejemplo con β=10-2 y así su ganancia será de sólo 102
(A’β>>1⇒G=1/β), pero será será 100 veces más estable. Esto requiere que

148. 148
las etapas de entrada tengan una ganancia adicional de 100 para lograr la
ganancia total de 104 que necesita el sistema. Parece pues, que con hacer
R2/R1=99 en las etapas de entrada de la Figura 4 el problema estaría
resuelto y sin embargo no es así por culpa de la gran señal en modo común
que hay en las entradas. Esta señal trataría de amplificarse por 100 en esas
etapas lo que daría lugar en los puntos A y B a tensiones eficaces de ¡100
voltios! (unos 140 voltios de pico para señal senoidal) que son valores que
los AO, alimentados con tensiones de ±12V por ejemplo, no podrán dar a
su salida, que aparecerá limitada o recortada a unos ±12V.
Sin embargo hay una solución para este problema que además de
elegante y efectiva nos recuerda cosas que ya hemos visto: conexiones en
serie que restan tensiones. En otras palabras: vamos a hacer la resta de
tensiones comunes antes de que se amplifiquen, aprovechando el restador
de tensiones que conocemos y éste es el motivo por el que la Figura 4 se
dibujó con cierta simetría en la entrada. Pensemos en lo que ocurrirá si, en
lugar de conectar a masa las resistencias R1 de la Figura 4, las unimos entre
sí como aparece en la Figura 6 sin conectarlas a masa en su punto de unión.
Figura 6
La primera cosa que nos va a preocupar es la corriente que fluye por
las resistencias R1 conectadas en serie ahora y ello va a depender del tipo
de excitación, común o diferencial en vA y vB. Para excitación pura en
modo común (vA=vB) las tensiones en las patillas (+) de AO1 y AO2 son
iguales (la misma tensión común vic). Como ambos AO poseen RN a través

149. Diseño con Amplificadores Operacionales 149
de sus respectivas resistencias R2, ambos crearán una ITV(SC) entre sus
entradas (+) y (-) por lo que las tensiones en las entradas (-) de AO1 y AO2
serán iguales entre sí e iguales a la tensión vic. Según esto la “nueva”
resistencia 2R1 posee la misma tensión entre sus extremos, por lo que no
fluye corriente por ella debido a la excitación común vic. Ello supone que
por las R2 de cada AO tampoco fluye corriente debido a vic y ello solo
ocurrirá si la tensión en los puntos A y B debido a la excitación vic es la
propia vic.
Acabamos de conseguir que en los puntos A y B la tensión vic no
aparezca amplificada o que sólo aparezca amplificada por el factor unidad.
Sólo nos falta ver si para excitación diferencial tenemos algún tipo de
amplificación al considerar las tensiones en los puntos A y B y para ello
vamos a descomponer la excitación diferencial vid=vA-vB en dos mitades
como hicimos en la Figura 4 del Capítulo II. Esta situación aparece
representada en la Figura 7 en la cual se muestra también que en cada R1
debe caer una tensión igual a vid/2 debido a la ITV(SC) que la RN crea
entre las entradas de AO1 y AO2.
Figura 7
La situación descrita requiere una corriente idif que circule a través de
las resistencias R1 desde la salida del AO2 hacia la salida del AO1, a través
de sus respectivas resistencias de realimentación R2. El valor de idif será:

150. 150
vid v
= idif × R1 ⇒ idif = id (11)
2 2 R1
Por lo tanto la diferencia de tensiones entre los puntos A y B será:
 R 
v A−B = idif × ( R2 + 2 R1 + R2 ) =vid ×1 + 2 
 R  (12)
 1 
La ecuación (12) significa que con la conexión de las dos resistencias
R1 propuesta en la Figura 6, la señal de entrada diferencial es amplificada
por un factor (1+R2/R1) y aparece como señal diferencial vA-B entre los
puntos A y B. Como la etapa de salida amplifica por un factor R4/R3 esta
tensión vA-B, la tensión de salida vo de las Figuras 6 y 7 vendrá dada por:
R   R  R   R 
  
v o =  4  × 1 + 2  × vid =  4  × 1 + 2  × (v A − vB )
 R   R  (13)
 R3   R1   3  1 
La ecuación (13) indica que tenemos un amplificador diferencial y
sabemos además que en los puntos A y B del mismo (ver Figura 6) la
tensión en modo común sólo se amplifica por un factor unidad, evitándose
limitaciones y recortes en las etapas de entrada ante la presencia de fuertes
señales en modo común, como en el ejemplo de las señales de los
electrodos del EEG. Pero hay más ventajas todavía: las dos resistencias R1
se pueden combinar en una sola de valor doble (R11=2R1) y será el circuito
mismo (la propia conexión de entrada) el que buscará ese “punto medio de
unión” de cara a la situación dibujada en la Figura 7 con ese eje de simería
en la entrada, sin que debamos nosotros preocuparnos por ello. Por tanto,
con solo elegir dos resistencias R2 entre varias de ellas de precisión del
mismo valor nominal, las podemos tener apareadas con el 0,1 por mil o
mejor con el fin de obtener un CMRR superior a 80dB. La resistencia
central R11 se elegirá de modo que la ganancia dada por la ecuación (14)
sea la que buscamos, una vez decidido el reparto de ganancias entre las
etapas de entrada y la de salida.
 R   2R 
v o =  4  × 1 + 2  × ( v A − v B )
R  
 3  R11 

(14)

151. Diseño con Amplificadores Operacionales 151
Como habíamos propuesto una ganancia 100 para la etapa de salida,
necesitamos una ganancia diferencial de 100 en las etapas de entrada. Por
tanto: 2R2/R11=99 y como el efecto de carga a la salida de AO1 y AO2 es
R2 en serie con R11/2 (R2 en serie con R1 en la Figura 7, porque la tensión
del punto de unión de las resistencias R1 no varía bajo excitación
diferencial: es como si fuera una “masa”), ya podemos elegir R2=99KΩ y
R11=2KΩ como valores razonables por ahora y así obtenemos la Figura 8.
Figura 8
El lector familiarizado con el análisis de redes simétricas reconocerá
aquí una aplicación del Teorema de Bartlett a la entrada simétrica del
circuito de la Figura 7 y quien desee más detalles puede consultar otra
bibliografía más específica como [5].
El circuito final que tendríamos para nuestro amplificador diferencial
con todas las mejoras propuestas sería el de la Figura 8. Este sistema de tres
AO es lo que se conoce como Amplificador de Instrumentación (AI) y
existe como componente integrado, donde las resistencias pueden aparearse
mejor que empleando componentes discretos. Para componentes discretos
recomendaríamos resistencias del 0,1% de tolerancia y a ser posible de las
que vienen encapsuladas en “arrays” de resistencias de precisión. También
es recomendable incluir la posibilidad de un ajuste preciso de una de las
resistencias de la etapa de salida (véase la pequeña resistencia variable en
la Figura 8) a fin de lograr el máximo CMRR.

152. 152
IV.3- Ruido en Amplificadores Operacionales
El ruido en componentes electrónicos y en los sistemas basados en
ellos que construyamos, es algo inevitable e incluso diremos que inherente
a la naturaleza de los mismos. Así el ruido de origen térmico resulta como
consecuencia del equilibrio termodinámico del componente con el universo
que le rodea y que se encuentra a cierta temperatura absoluta T. Por ello
podemos reducirlo mucho enfriando los componentes hasta temperaturas
muy bajas, pero nunca eliminarlo del todo. Más aún: en bastantes casos no
resulta posible llevar a cabo ese enfriamiento y en muchos más ni siquiera
hace falta. Lo que sí suele buscarse es el diseño de amplificadores para
manejar señales débiles con cierto ruido añadido, que amplifiquen esa señal
y ese ruido sin añadir apenas más ruido extra. Es decir: deben amplificar la
señal de entrada que les llega sin degradar mucho la relación señal/ruido de
entrada (S/N)i que trataremos de preservar a fin de que la nueva relación
señal/ruido a la salida (S/N)o no sea mucho peor que la (S/N)i. Veremos
que con cierto cuidado al elegir los componentes (AO, resistencias, etc), es
posible no tener degradaciones importantes de la relación S/N, o al menos
tener la menor posible para una fuente de señal dada.
Antes de ver cómo va a degradar la relación (S/N) una etapa
amplificadora con AO conviene tener claros algunos conceptos sobre ruido
y fuentes de señal. Por una mayor simplicidad y claridad en la exposición
que viene, supondremos fuentes de ruido térmico cuyo espectro en potencia
es plano con la frecuencia. Ello permite trabajar con valores de densidad
espectral de ruido o con potencias de ruido en un ancho de banda de 1Hz en
torno a una frecuencia dada (“spot noise”) y considerar después el ancho de
banda del sistema para obtener la potencia total de ruido. Esto supone un
tratamiento bastante básico en cuanto al tipo de ruido presente en nuestros
circuitos y sistemas, pero el lector interesado en el tema puede consultar
obras específicas mucho más amplias como [10].
Nuestro punto de partida será que una resistencia R a la temperatura
absoluta T presenta una pequeña fluctuación de tensión entre sus extremos
dejados “al aire” o una pequeña fluctuación de corriente entre sus extremos
cortocircuitados. El valor medio de esas fluctuaciones es cero, pero no así
el valor eficaz de las mismas, y podemos decir que se deben a la agitación
térmica de los portadores de carga que hay en su interior [11, 12]. Ese valor
eficaz depende del ancho de banda (Bw) que tenga el sistema de medida,
de modo que recogiendo todas las aportaciones entre 10 y 1010Hz de ese
ruido, se obtiene cierto valor eficaz y si se recogen las aportaciones entre
10Hz y 100.010Hz se obtendrá un valor eficaz 10 veces mayor. Por lo
tanto, el valor medio de los cuadrados de los valores de tensión medidos a
lo largo del tiempo (valor cuadrático medio vn2) resulta ser proporcional al
ancho de banda. La ecuación que los relaciona es:

153. Diseño con Amplificadores Operacionales 153
vn = 4kTR × Bw
2
(15)
donde R es el valor de la resistencia en ohmios y k=1,38×10-23 vatios/K×Hz
es la constante de Boltzmann, cuyas unidades se obtienen directamente de
la ecuación (15) al considerar que (vn)2/R tiene dimensiones de potencia y
que la temperatura absoluta se mide en grados Kelvin (K). El valor de
T=300K (temperatura ambiente) corresponde a unos 27º centígrados.
Para tener una idea del orden de magnitud de estas tensiones de
ruido, la ecuación (15) particularizada para una resistencia de 1MΩ y un
ancho de banda de 1 MHz, da una tensión eficaz de ruido de unos 130µV
eficaces. Reduciendo el ancho de banda en un factor 100, es decir con
Bw=10KHz, la tensión eficaz de ruido pasaría a ser de 13µVef, de donde se
deduce que una buena práctica para obtener bajos niveles de ruido es
limitar el ancho de banda del sistema al mínimo necesario. Suponiendo que
la resistencia anterior Rg=1MΩ es la resistencia de salida de un transductor
cerámico cuya señal en vacío es de 130 µV eficaces y cuyas componentes
quedan en la banda de 10KHz, asumiendo Bw=10KHz podemos decir que
tenemos una fuente de señal con la siguiente relación señal/ruido:
S  (
 130 ×10−6 2 
 )
  = 1MΩ  = 100 = 40dB
 N i  4kT ×1MΩ × Bw
1MΩ 
(16)
 
 
Obsérvese en la ecuación (16) el cociente de potencias (de señal y de
ruido), cada una de las cuales es una tensión eficaz elevada al cuadrado y
dividida por la resistencia sobre la que actúa (la propia R=1MΩ en este
caso). La representación de esta fuente de señal (y de ruido debido a su Rg)
aparece en la Figura 9, donde se muestran sus equivalentes Thèvenin y
Norton en unas condiciones en las que no se entrega potencia eléctrica al
exterior (terminales de salida abiertos). En estas condiciones el equivalente
Norton muestra la resistencia Rg disipando una potencia de ruido 4kTRgBw
sobre ella misma al ser atacada por el generador de corriente de ruido:
P=R×(ief)2 y el equivalente Thèvenin indica que en estas condiciones Rg no
disipa. Sin embargo, con los terminales de salida cortocircuitados tampoco
se entrega potencia eléctrica al exterior y el equivalente Thèvenin indicaría
que Rg se pondría a disipar la misma potencia de ruido 4kTRgBw, al quedar
atacada por el generador de tensión de ruido: P=(vef)2/R mientras que el
equivalente Norton indicaría que Rg no disipa. Esta aparente discrepancia
desaparece al pensar con cierto cuidado sobre lo que dichos equivalentes

154. 154
representan: el circuito equivalente (ruido eléctrico+impedancia) que se
mide entre los terminales de una resistencia Rg a la temperatura T. En esto
ambos equivalentes coinciden y si se tiene en cuenta la dualidad entre
modelos serie y paralelo, las cosas quedan más claras. En los dos casos
extremos en los que no puede entregarse potencia eléctrica la salida la
resistencia Rg se vería obligada a disipar una potencia de ruido 4kTRgBw
según uno de los equivalentes y una potencia nula según el otro. Ambos
aciertan, porque como consecuencia del equilibrio térmico con el exterior
que mantiene a Rg a una temperatura T, en Rg se disipa esa potencia, pero
también la absorbe del exterior. Para cualquier otra condición de carga que
no sea ni cortocircuito ni circuito abierto en los terminales de la resistencia,
ambos equivalentes coinciden, por lo que no hay problema en el empleo de
uno u otro y el lector puede elegir el que más le convenga.
Figura 9
Con los equivalentes de la Figura 9 y la suma de potencias (no de
tensiones) que debe emplearse para combinar señales de ruido incorreladas
entre sí ya podemos hacer algunos cálculos. El primero de ellos va a ser el
siguiente: ¿cúal será la nueva relación S/N de la fuente de señal anterior si
le conectamos en paralelo otra resistencia del mismo valor de 1 MΩ y a la
misma temperatura T?. Esto sería lo que ocurriría al conectarla a la entrada
de un amplificador que tuviese una resistencia de entrada igual a la del
sensor o transductor y como vamos a ver, resulta nefasto desde el punto de
vista de un diseño con la intención de no empeorar la relación S/N (diseño
para bajo ruido). No obstante, antes de hacer los cálculos numéricos
tratemos de razonar lo que debe ocurrir.
A la vista de la Figura 9-a, la nueva resistencia de 1 MΩ va a formar
con la del transductor un divisor de tensión que atenuará la tensión vg por
un factor de 2. Por tanto, la potencia de señal sobre la nueva resistencia de
entrada del amplificador será la cuarta parte de la que habría sobre la Rg

155. Diseño con Amplificadores Operacionales 155
de la Figura 9-b debida a vg sin atenuar. Sin embargo, a la vista de la Figura
9-b podemos decir que la combinación de Rg con una nueva resistencia de
igual valor dará una resistencia Rg/2 a la que corresponde una corriente
eficaz de ruido √2 veces mayor que a Rg. Este valor sin embargo, se
convertirá en potencia de ruido sobre Rg/2, dando una potencia de ruido
que es la mitad de la que corresponde a Rg sola. En resumen, la potencia de
ruido será la mitad como corresponde a la mitad de resistencia en la
ecuación (15) pero la potencia de señal será la cuarta parte. Por lo tanto, la
relación (S/N) habrá caído a la mitad, empeorando en un factor 2 (-3dB) y
será 50 en vez de 100 empleando de nuevo la ecuación (16).
Los cálculos númericos pueden hacerse tomando el circuito de la
Figura 9-a y añadiéndole una nueva resistencia Rg junto con su generador
de ruido, como se muestra en la Figura 10.
Figura 10
La tensión de salida vo tendrá parte debida a la señal vg y parte
debida a las fuentes de ruido que son en este caso incorreladas (diferentes
ruidos térmicos debidos a distintas resistencias aunque a la misma T). Las
tensiones de cada fuente de ruido se sumarán en potencia, es decir:
elevadas al cuadrado como si fueran componentes ortogonales (Teorema de
Pitágoras) y luego se extraerá la raíz cuadrada de esas potencias de ruido
sumadas. Como hay tres generadores, aplicaremos la superposición de sus
efectos. El efecto debido a la señal vg en la salida vo será:
2
 Rg   Rg  2
vg
v oS = vg ×   ⇒ voS = vg × 
2 2  =
  R +R  (17)
 Rg + Rg   g g  4

156. 156
El efecto debido al generador de ruido del transductor será:
2
 Rg 
von1 = 4kT × Rg × Bw × 
2  = kT × Rg × Bw
R +R  (18)
 g g 
y el efecto debido al generador de ruido de la nueva resistencia Rg será:
2
 Rg 
2
von 2 = 4kT × Rg × Bw ×   = kT × Rg × Bw
  (19)
 Rg + Rg 
Por lo tanto, la señal de salida total vo será:
2
vg 1 1
v =
2
+ 4kT × Rg × Bw ×  +  ⇒ S = 50
o
4 4 4 N (20)
La ecuación (20) muestra claramente cómo al formarse el atenuador
entre la Rg del transductor y la Rg de entrada del amplificador, la tensión
eficaz de señal cae a la mitad, pero la de ruido sólo cae en un factor √2. De
ello resulta una pérdida de 3dB en la relación (S/N)i de la fuente (relación
de potencias) lo que nos da una importante enseñanza para los diseños con
buenas prestaciones en cuanto a ruido, que es:
“No formar atenuadores al recoger la señal de la fuente”.
En vista de lo anterior, la etapa amplificadora con AO en CANI será
muy utilizada en diseño para bajo ruido debido a su grandísima impedancia
o resistencia de entrada, creada por la realimentación negativa. Debido a
ello, el circuito básico que vamos a considerar para el estudio de ruido en
AO con RN es el que aparece en la Figura 11. En este circuito, la presencia
de tres resistencias R1, R2 y R3 resulta necesaria para considerar tanto el
divisor de realimentación R1-R2, como la resistencia de la fuente de señal
(y otras que pudiera haber) en la entrada no-inversora del circuito, todas
ellas recogidas en R3. En ciertos casos donde falte alguna de estas
resistencias (por ejemplo en convertidores I-V o en seguidores de tensión)
sólo habrá que adaptar los resultados obtenidos, recogidos en una ecuación
de diseño, poniendo valores adecuados (R→0 o R→∞) a las resistencias
que falten en el circuito real.

157. Diseño con Amplificadores Operacionales 157
Figura 11
Nótese que el circuito de la Figura 11 es muy general porque permite
considerar cualquiera de las dos configuraciones amplificadoras con AO
que hemos visto (CANI y CAI) y también sirve para circuitos con ambos
generadores, como los que aparecen en los amplificadores diferenciales.
Como ambos generadores de señal quedan anulados para obtener la tensión
eficaz total de ruido a la salida, sólo debemos considerar los generadores de
ruido de las tres resistencias y otros tres generadores de ruido para el AO.
De éstos tres, uno es de ruido en modo tensión, en, y los otros dos lo son en
modo corriente (in+ e in-), uno para cada entrada del AO. Estos dos últimos
que en principio son distintos, se suelen representar con un solo valor in,
como veremos luego. Estos seis generadores aparecen en la Figura 12 y el
desarrollo que vamos a hacer para obtener sus contribuciones en la salida
vo, es un buen ejemplo de empleo de lo visto en capítulos anteriores sobre
AO con RN. Aplicando superposición de efectos iremos obteniendo cada
una de las contribuciones y luego las sumaremos en potencia (tensiones
eficaces al cuadrado) como corresponde a ruidos no correlados. Nótese
también la ausencia de polaridad en los seis generadores de ruido, un
indicador más de que deben sumarse en potencia (sus efectos al cuadrado)
y luego extraerse la raíz cuadrada si se desea la tensión eficaz de ruido a la
salida en vez de la potencia de ruido a la salida.
El efecto debido a vn1 en vo es simplemente (AO en CAI):
2
R 
vo1 =  2  × 4kT × R1 × Bw
2
R  (21)
 1

158. 158
Figura 12
El efecto debido a vn3 en vo será (AO en CANI)
2
 R 
vo3 = 1 + 2  × 4kT × R3 × Bw
2
 R  (22)
 1 
El efecto debido a in+ en vo, tras convertir el generador in+ en paralelo
con R3 en su equivalente serie, será el siguiente:
2
 R 
vo 4 = 1 + 2  × in+ × R32 × Bw
2
 R 
2
(23)
 1 
donde vemos que de cara a la tensión in+×R3, el AO funciona en CANI.
Análogamente, el efecto debido a in- se obtiene mejor convirtiendo
ese generador en paralelo con R1, en su equivalente serie o Thèvenin. Así
aparece un generador de tensión R1×in- para el que el AO trabaja en CAI.
Por tanto, el efecto en vo debido a in- será:

159. Diseño con Amplificadores Operacionales 159
2
R 
vo5 =  2  × R12 × in− × Bw
2
R 
2
(24)
 1
El efecto en vo debido al generador de ruido en tensión del AO en,
para el que el AO trabaja directamente en CANI, será:
2
 R 
vo 6 = 1 + 2  × en × Bw
2
 
2
(25)
 R1 
Nótese en la Figura 12 que sólo hay un generador de ruido en tensión
en para el AO. El generador dibujado con línea de puntos en la entrada (-)
del AO representa la situación que en algunos textos tiene el generador en
que nosotros hemos dibujado en la entrada (+) del AO. El lector puede
comprobar aplicando ITV(SC) que su efecto en una u otra posición es el
mismo y viene dado por la ecuación (25).
Hemos dejado para el final el efecto debido al ruido térmico en R2
debido a que su obtención resulta algo peculiar. El circuito que se tiene con
vn2 activo y los demás generadores de ruido anulados es el de la Figura 13.
Figura 13
Aplicando ITV(SC) a las entradas (+) y (-) de la Figura 13 podemos
decir que la entrada (+) está a tensión cero (potencial de masa) debido a
que la corriente de señal a través de R3 se desprecia (SC). La tensión de la
entrada (-) será mantenida a ese mismo valor por el AO con RN a través de
R2, que crea la ITV(SC) a la entrada. Por tanto el AO hará lo que haga falta
con su tensión de salida para mantener la ITV(SC) entre sus entradas. Pues
bien, todo lo que el AO tiene que hacer para que eso ocurra es “seguir” con
su salida las fluctuaciones de tensión que pueda hacer vn2 de modo que la

160. 160
tensión en el punto de unión de R2 y vn2 sea cero. Ello hará que la corriente
por R2 sea nula y nula también la corriente a través de R1 lo que garantizará
que la tensión en la entrada (-) sea igual a la de la entrada (+) que es nula.
Por tanto el efecto en vo debido a vn2 será:
vo 2 = 4kT × R2 × Bw
2
(26)
Antes de sumar las seis contribuciones contenidas en las ecuaciones
(21) a (26) hay que hacer una aclaración respecto a los generadores de
ruido del AO. Lo normal es encontrar equivalentes en e in en los libros que
son densidades espectrales de tensión o de corriente eficaz de ruido
respectivamente. No son por tanto voltios eficaces o amperios eficaces,
sino valores eficaces divididos por la raíz cuadrada de Hz. De esa forma al
elevarlos al cuadrado dan voltios o amperios eficaces al cuadrado divididos
por hercio y al multiplicarlos por los Hz del ancho de banda considerado ya
quedan con dimensiones de V2 o A2, como ocurre con los factores 4KTR o
4KT/R de la ecuación (15) al multiplicarlos por el término Bw. Por ello, las
ecuaciones (23), (24) y (25) están multiplicadas por el factor Bw para ser
valores eficaces de tensión de ruido elevados al cuadrado como lo son las
restantes contribuciones de las ecuaciones (21), (22) y (26).
Sumando las seis contribuciones obtenemos el siguiente ruido total a
la salida (valor cuadrático medio, porque al ser ruido, el valor cuadrático de
tensión de salida no es constante y fluctúa en torno a su valor medio von2):
2
 R 
 R 
2
[
von ≈ 1 + 2  × en + in × RN + 4kTRN × Bw
2 2 2
] (27)
 1 
La ecuación (27) no es estrictamente la suma exacta, pero es la que
se utiliza para el diseño por ser fácil de recordar. Las aproximaciones que
se han hecho para su obtención son dos bastante razonables. La primera
aproximación supone: in-=in+=in (bastante cierta en la mayoría de los casos)
y se refleja en que los fabricantes de AO sólo suelen dar una in (medida en
A/√Hz) y la en medida en V/√Hz. La segunda aproximación supone que:
in × R32 + ( R1 R2 ) 2 ×in ≈ in × ( R3 + R1 R2 ) 2 =in × RN
2 2 2 2 2
(28)
y se hace con el propósito de obtener una ecuación (27) que sea fácil de
recordar y aplicar como veremos enseguida. Antes hay que resaltar que la
Resistencia Total de Ruido RN viene dada por:

161. Diseño con Amplificadores Operacionales 161
R1 × R2
RN = ( R3 + R1 R2 ) = R3 + (29)
R1 + R2
El valor de RN resulta fácil de recordar e incluso de visualizar en la
Figura 11 en ausencia de excitaciones vg1 y vg2. En estas condiciones la
tensión de salida vo debería ser cero, por lo que la resistencia que se vería
desde las entradas (+) y (-) del AO mirando hacia fuera del AO sería R1 en
paralelo con R2 (desde la entrada inversora a masa) y todo ello en serie con
R3 (desde masa hasta la entrada no-inversora) y ése es el valor de RN.
Ahora el papel de RN en la ecuación (27) se puede ver como el de la
resistencia que convierte el ruido en modo corriente del AO, in, en ruido en
modo tensión (in×RN)2 y añade además su ruido térmico (4kTRN), todo ello
empleando densidades espectrales de ruido (V2/Hz) similares a (en)2. Con
este significado para RN y lo compacta que queda la ecuación (27) resulta
aceptable la aproximación de la ecuación (28) si se tiene en cuenta además
que en la mayoría de los casos sucede que: R3>>R1R2. Por último
diremos que al término (1+R2/R1) de la ecuación (27) se le llama Ganancia
de Ruido del circuito y como vemos es la ganancia en tensión vo/v(+) del
AO realimentado negativamente en CANI.
De lo que acabamos de ver se concluye que la tensión eficaz de ruido
a la salida de un AO conectado como amplificador según el esquema de la
Figura 11, es igual a la Ganancia de Ruido de la etapa multiplicada por una
raíz cuadrada. Dicha raíz contiene tres términos de ruido: uno térmico puro
debido a las resistencias exteriores combinadas en RN y dos más que son
propios del AO que se use, a través de sus generadores equivalentes de
ruido en tensión (en≡nV/√Hz) y en corriente (in≡pA/√Hz). El ruido en
corriente genera ruido en tensión al multiplicarse por RN y de ahí la
importancia de esta combinación de resistencias. Todo ello se recoge en la
ecuación (30) que resulta fácil de recordar y de aplicar en el diseño.
 R 
von = 1 + 2  ×
  (e2
n
2 2
)
+ in × RN + 4kTRN × Bw (30)
 R1 
IV.4- Diseño para obtener prestaciones de bajo ruido
En cuanto a la elección del AO para diseños con bajo ruido diremos
que cuanto más bajos sean los valores en e in, mejor será en general el AO
utilizado para este propósito. Sin embargo, hay que resaltar la conversión
in×RN de ruido en modo corriente a ruido en modo tensión, por lo que hay

162. 162
que cuidar la suma (en2+in2×RN2) más que en e in por separado. Como vamos
a mostrar, el cociente Ropt=en/in, que es una resistencia por sus dimensiones
de Ω, va a darnos una buena pauta para elegir el AO. En general, aquellos
AO cuyo en sea menor o igual que 5nV/√Hz pueden ser considerados como
de bajo ruido. Respecto a in, las cosas varían mucho según la tecnología
empleada en el par diferencial de entrada del AO. La tecnología bipolar
produce valores de in unas 100 veces mayores que la tecnología FET, pero
suele dar lugar a valores de en bastante más bajos que la segunda (por
ejemplo 3nV/√Hz y 0.4pA/√Hz el bipolar frente a 6nV/√Hz y 10fA/√Hz el
de entrada FET). Para saber elegir entre ellos veamos con más detalle lo
que conlleva a efectos de diseño, la ecuación (30).
Según la ecuación (30) hay dos cosas ajenas al tipo de AO que se
deben cuidar en un diseño para bajo ruido. La primera de ellas es limitar el
ancho de banda del circuito al mínimo estrictamente necesario. Así no tiene
mucho sentido diseñar un preamplificador de audio y dejar que su ancho de
banda sea de 500KHz por ejemplo. Lo normal sería limitarlo a 20 KHz, con
lo que la potencia de ruido a su salida sería 25 veces menor que sin esa
limitación. La segunda cosa que hay que hacer es reducir en lo posible,
pero con sentido común, el valor de RN. Así tampoco tiene mucho sentido
empeñarse en bajar R1//R2 por debajo de 10Ω cuando la resistencia de la
fuente de señal (R3 esencialmente) ya es de 1KΩ por ejemplo. Una RN de
1010Ω o de 1020Ω es a efectos prácticos casi la misma, pero R1//R2=20Ω
puede hacer en el AO un efecto de carga bastante menor que R1//R2=10Ω y
permitir de ese modo que el producto A’β no disminuya apreciablemente.
Respecto al valor de R1//R2 conviene hacer una observación importante y
es que normalmente R1//R2≈R1, debido a que R2 suele ser mucho mayor
que R1 para tener ganancias de tensión apreciables. Por ello suele elegirse
un valor lo más bajo posible de R2 para que no cargue mucho a la salida del
AO en la red A’ y el valor de R1 viene determinado por la ganancia que se
desea obtener.
Vamos a resumir todo lo anterior con un ejemplo que va a consistir
en diseñar un preamplificador para un sensor de tipo electrodinámico cuya
reistencia de salida es de 1KΩ. Supondremos que ese sensor entrega una
señal de 100µV eficaces medidos en su salida en vacío, señal que hay que
amplificar por un factor 1000 (60 dB) para atacar el circuito de procesado
de su señal, cuya impedancia de entrada es una resistencia de 50 KΩ. En
cuanto al contenido espectral de la señal que da ese sensor supondremos
que cae en la banda de 100Hz a 1KHz. Con todos esos datos ya podemos
proponer un primer circuito del preamplificador considerando el habitual
circuito equivalente para el AO (Ri=10MΩ, Ro=1KΩ y Ad=106), que podría
ser uno de bajo ruido con tecnología bipolar para el que supondremos
en=3nV/√Hz e in=0.4pA/√Hz, a fin de estimar el ruido a la salida.

163. Diseño con Amplificadores Operacionales 163
La Figura 14 presenta el circuito propuesto en el que se asume que la
corriente de polarización IB+ de la entrada (+) del AO circula a través del
propio sensor, cosa que dicho sensor debe permitir. Esto puede ser así en
captadores electrodinámicos, donde la bobina de hilo conductor que detecta
variaciones de flujo magnético suele permitir el paso de IB+ sin problemas.
Figura 14
Otra cosa sería un sensor piezoeléctrico por ejemplo, para el que
habría que modificar algo la entrada a fin de permitir el paso de IB+. No
vamos a entrar en detalles sobre este caso, pero hacemos ver la importancia
de que IB+ pueda circular: si no puede hacerlo, no existe el AO y menos aún
el amplificador propuesto. En este caso una resistencia entre la entrada (+)
y masa soluciona el problema si se puede elegir de modo que no forme
atenuador apreciable con la resistencia de salida del sensor.
Volviendo a la Figura 14, el condensador CA va a limitar el ancho de
banda en la parte de altas frecuencias a 1KHz y se diseña haciendo que a
1KHz su reactancia sea igual a la resistencia R2. Así el circuito presentará
un filtrado paso-bajo de primer orden con una frecuencia de corte superior
de 1KHz, que para potencia de ruido supone un Bw=(π/2)×1KHz [10]. El
condensador CB tiene la misión de limitar el ancho de banda en la parte de
bajas frecuencias a 100Hz y se diseña haciendo que su reactancia a 100 Hz
iguale a la suma de las resistencias que debe acoplar. Esas resistencias son
los 50KΩ de la etapa siguiente y la resistencia de salida del propio AO
realimentado que será del orden del ohmio si cuidamos el factor A’β del
circuito como permite hacerlo el MRA del capítulo anterior. Nótese que en
esa resistencia de salida debió intervenir la propia resistencia de 50KΩ en
serie con CB, porque según el MRA, todo lo que haya en la salida debe ser
incluido ya que afecta al producto A’β. En nuestro caso, su efecto es escaso

164. 164
porque debido al valor de Ro=1KΩ, apenas se formará atenuador con los
50KΩ en serie con CB, pero en rigor hay que incluirlos igual que el efecto
de carga de la red β a la salida (R2 en serie con R1) y luego “extraerlos”
porque la RoCR que obtengamos “contiene en paralelo” a todos ellos.
Precisamente el efecto de carga a la salida R2+R1 nos da la pauta para
elegir R2. Para una ganancia de 1000; tendremos R2=999R1, por lo que R2
en serie con R1 será esencialmente R2. Eligiendo R2=9990Ω, no se formará
un atenuador severo a la salida de la red A’ y ello exige: R1=10Ω. De esta
forma respetamos los aspectos de realimentación que nos sugiere el MRA.
Los aspectos de diseño para bajo ruido recogidos en la ecuación (30)
también han sido respetados: se ha limitado el ancho de banda al mínimo
necesario y el valor de R1//R2 es aproximadamente el de R1=10Ω. Ello hace
que RN sea prácticamente la resistencia Rg del sensor: RN=10Ω+Rg≈1KΩ,
valor éste que no podemos modificar a menos que usemos transformadores
(cosa que se hace en caso necesario, como veremos).
Como la señal del sensor se amplifica por la ganancia de ruido, la
(S/N)o a la salida será:
2
S vg
  = 2 2
(
 N o en + in × RN + 4kTRN × Bw
2
) (31)
El ruido generado en la propia Rg del sensor hace que la relación
señal/ruido a la entrada sea:
2
S vg
  = (32)
 N i 4kTRg × Bw
Como puede verse, la (S/N)o es peor o más baja que la (S/N)i debido
a la aportación de ruido del AO y de las resistencias asociadas, por lo que
nuestro preamplificador, como cualquier otro que consideremos, degrada la
relación (S/N)i de la fuente de señal. Una forma de ver esa degradación es
mediante la Figura de Ruido (F) del amplificador que se define así:
(S N )
F=
(S N )
i
(33)
o
Con las ecuaciones (31) y (32), la Figura de Ruido de nuestro diseño
viene dada por:

165. Diseño con Amplificadores Operacionales 165
en + in × RN + 4kTRN
2 2 2
en + in × RN
2 2 2
en + in × RN
2 2 2
F= = 1+ ≈ 1+
4kTRg 4kTRg 4kTRN (34)
La ecuación (34) indica que la Figura de Ruido siempre será mayor
que la unidad (siempre habrá degradación de la relación S/N). Cabe pensar
si habrá algún valor de RN para el que esa degradación sea mínima o lo que
es lo mismo: si hay un valor de RN para el que la Figura de Ruido se haga
la menor posible y la respuesta es afirmativa. Derivando la ecuación (34)
respecto a RN e igualándola a cero se obtiene que el valor de RN que anula
esa derivada es:
en
Ropt = (35)
in
Como la segunda derivada de la ecuación (34) respecto a RN es
positiva, el valor de Ropt produce un mínimo en la Figura de Ruido. Por lo
tanto, Ropt es la resistencia óptima de la fuente de señal para un AO dado,
de cara a conseguir la menor Figura de Ruido posible en las condiciones en
que RN es esencialmente igual a Rg. Para nuestro AO con en=3nV/√Hz e
in=0.4pA/√Hz, la resistencia óptima sería: Ropt=7.5KΩ. Como el valor de
Rg≈RN es de 1KΩ, eso significa que si quisiéramos mejorar un poco más
las prestaciones de bajo ruido del circuito de la Figura 14 podríamos
hacerlo adaptando con un transformador la fuente de señal a la Ropt del AO.
La relación de transformación necesaria sería: n=(Ropt/Rg)1/2, que resulta ser
de 3 tomando el valor entero más próximo, y que elevará la impedancia del
sensor desde Rg=1KΩ hasta n2×1KΩ=9KΩ (mucho más cercana a Ropt).
Esta es la nueva resistencia R3 que deseamos ver desde la entrada (+) hacia
afuera, por lo que el transformador se debe conectar como aparece en la
Figura 15.
El diseño de los demás componentes de la Figura 15 ya se vió antes y
ahora sólo queda advertir que el transformador amplifica en tensión por un
factor 3, por lo que habrá que rediseñar R1 y R2 para obtener una ganancia
de: 1000/3=333. Bastaría dejar igual R2 (y CA por tanto) y aumentar R1 en
un factor 3 (R1=30Ω) para tener el diseño de la Figura 15 completo. Nótese
que en este caso R2//R1≈30Ω y RN=R3+R2//R1≈9KΩ, por lo que en la nueva
RN sigue dominando R3, de modo que se cumplen los requisitos de diseño
para bajo ruido y seguimos cuidando la realimentación negativa a fin de no
perder sus ventajas (seguimos teniendo un aceptable efecto de carga de R1
y R2 en la red A’).

166. 166
Figura 15
El efecto de utilizar el transformador es una mejora en la Figura de
Ruido que vamos a evaluar. Aplicando la ecuación (34) al circuito de la
Figura 14 obtenemos F=1,55 (1,9dB) que ya es un valor muy bueno. No
obstante la adaptación mediante el transformador hace que la nueva Figura
de Ruido pase a ser FTR=1,15 (0.6dB) que es un valor excelente. En cuanto
al tipo de AO empleado, los valores de en e in que hemos utilizado son
típicos de un AO de bajo ruido con tecnología bipolar (el OP-27). El
empleo de un AO de propósito general en lugar del anterior, por ejemplo
un 741 con en=20nV/√Hz e in=0.5pA/√Hz hubiese dado una figura de ruido
en el circuito de la Figura 14 de unos 14dB (F=25) con los mismos valores
del resto de los componentes. De ahí la importancia de la resistencia Rg de
la fuente de señal en la elección del AO. Como el OP-27, los AO de bajo
ruido con tecnología bipolar presentan Ropt en el rango 1-10 KΩ. Los AO
con tecnología FET cuyos equivalentes de ruido en corriente son unas 100
veces inferiores, presentarán Ropt más elevadas, típicamente por encima de
los 100KΩ, y serán más adecuados que los primeros para amplificar la
señal de aquellos sensores (piezoeléctricos por ejemplo) cuya resistencia de
salida sea alta.
Respecto al transformador diremos que se utiliza cuando no hay más
remedio (con relaciones (S/N)i de la fuente de señal muy bajas) y tiene el
inconveniente de que no sirve para señales con componentes dc o de muy
baja frecuencia. Sin embargo, al igual que el transformador adapta la
resistencia de la fuente Rg a la Ropt del AO, resulta posible en algunos casos
“adaptar el AO” a la resistencia de la fuente. Esto se puede hacer cuando Rg
es menor que la Ropt del AO y consiste en conectar en paralelo N etapas
idénticas de forma que la señal vaya por N caminos de amplificación

167. Diseño con Amplificadores Operacionales 167
distintos. Luego se suman las salidas de esas N etapas y lo que es señal se
sumará en tensión mientras que los ruidos de las N etapas se sumarán en
potencia (es decir cuadráticamente). Con ello se logra reducir en un factor
√N el equivalente de ruido en tensión en del AO presente en las N etapas de
entrada a costa de aumentar en ese mismo factor el equivalente de ruido en
corriente in global. Con ello la nueva RoptN que resulta es:
en
RoptN = N = Ropt
N × in N (36)
Esta es la propuesta que aparece en la Figura 16, tomada del catálogo
de Linear Technology [15], que emplea el AO de muy bajo ruido LT-1028,
con equivalentes de ruido en=1nV/√Hz e in=1pA/√Hz, de los que se deduce
una Ropt=1KΩ. Haciendo n=5 en el circuito de la Figura 16, tendríamos un
sistema amplificador de bajo ruido para una fuente de señal de 200Ω de
resistencia de salida, que es bastante baja y plantea problemas con diseños
basados en un solo AO, aunque éste sea de los mejores existentes para bajo
ruido. Animamos al lector a demostrar la ecuación (36) para el circuito de
la Figura 16, porque es un excelente ejercicio de sumas (superposición más
bien) de señales, unas veces en tensión y otras en potencia, que ayudan a
educar el “sentido común” en esta temática de ruido electrónico. Como
ejemplo del modo de proceder, considérese que la corriente de ruido del
AO número “i” de los N de entrada, al circular por la resistencia de la
fuente de señal, generará una tensión de ruido que será “vista” por los N
amplificadores, por lo que sus salidas se sumarán en tensión . Sin embargo,
las aportaciones de este tipo debidas a los AO número “i” y número “j”
(hasta recorrer todo N) se sumarán en potencia, porque en principio la
generación interna de ruido en cada AO no tiene relación con la generación
de ruido en los restantes y por tanto esos ruidos estarán incorrelados.
El bajo valor de 470Ω en los AO de entrada de la Figura 16 requiere
cierta explicación. Ello se puede hacer sin estropear apenas el producto A’β
porque la Ro del AO LT-1028 es de unos 80 ohmios y no de 1KΩ como
valor típico que venimos asumiendo. Es éste un AO un tanto especial, de
reducidísimo ruido en conseguido por las altas corrientes de los transistores
del par diferencial de su entrada y que debido a ello posee una “baja” Ri de
sólo unos 20KΩ. Su ganancia Ad es del orden de 30×106, bastante más alta
que el valor típico de 106 que venimos empleando y debido a las altas
corrientes de polarización de su par diferencial de entrada, su equivalente
de ruido en corriente es algo mayor que en los AO con tecnología bipolar.

168. 168
Figura 16
Un último consejo relacionado con diseño para bajo ruido se refiere a
la necesidad de acoplar bien a “masa”, a efectos de variaciones de tensión,
los terminales +Vcc y –Vcc de los AO empleados. Así, dos condensadores
electrolíticos de un valor comprendido entre 10 y 100µF, conectados entre
cada uno de esos terminales y masa, suelen resolver la mayoría de los
problemas relacionados con bajas frecuencias. Para los relacionados con
altas frecuencias, en las que esos condensadores electrolíticos ya no
responden bien, un condensador cerámico de valor comprendido entre 10 y
100 nF, conectado en paralelo con cada electrolítico, resultará muy eficaz.
La eficacia de estos condensadores es tanto mayor cuanto más cerca se
pongan físicamente de las patillas +VCC y-VCC del AO. Si se colocan lejos
de ellas, la longitud de las pistas de circuito impreso que los unen al AO
puede dar lugar a la aparición de cierta inductancia parásita. Ello unido a la
propia resistencia óhmica de la pista, hace que los condensadores no
puedan mantener constante las tensiones +VCC y-VCC del AO cuando éste
varía la corriente que pide o da a dichos terminales, según se lo exigen las
señales que está manejando. Lo anteriormente expuesto es lo más básico de
un tema muy amplio y complejo a veces, que es la reducción de ruido en
sistemas electrónicos. Remitimos al lector interesado a referencias como
[16] y [17] donde encontrará más información sobre el tema.

169. Diseño con Amplificadores Operacionales 169
IV.5- Consideraciones iniciales sobre efectos de la frecuencia
Como el lector habrá podido comprobar, hemos pretendido resaltar
los efectos debidos a la realimentación negativa, considerando redes A y β
resistivas en general, es decir, sin efectos con la frecuencia. Ello hacía que
los valores de las ganancias A’ y β fuesen constantes, permitiendo apreciar
claramente los efectos del factor (1+A’β) tanto en la ganancia global G
(reducción y desensibilización por dicho factor) como en las impedancias
terminales de la red total G a la que equivalen las redes A y β conectadas
según alguna de las cuatro topologías que se han visto (modificación de
impedancias de la red A’ por dicho factor). Estas ideas permanecen aunque
aparezcan elementos reactivos (condensadores y bobinas) en los diseños
que den lugar a ganancias A’(jω) y β(jω) que varíen con la frecuencia.
Vamos ahora a dar una panorámica reducida pero ilustrativa del gran
campo que se abre al considerar simultaneamente realimentación negativa
y efectos con la frecuencia. Aspectos sobre el comportamiento con la
frecuencia de sistemas y circuitos realimentados aparecen en varias de las
referencias de la bibliografía [2], [4], [6], [8] a las que remitimos al lector
interesado en estos temas. Nuestro objetivo aquí va a ser más bien despertar
su curiosidad sobre este interesante tema con unos ejemplos basados en lo
visto hasta ahora, que muchas veces no son tratados en esas referencias,
aunque la teoría allí expuesta les sea aplicable. Serán ejemplos simples,
pero reales y por tanto útiles para educar el “sentido común electrónico”
del lector en estos temas. Los iremos presentando como casos de estudio a
los que aplicaremos lo visto hasta ahora.
Caso I.- Efecto de la capacidad parásita de entrada del amplificador.
Supongamos que tenemos un sensor o fuente de señal de alta
impedancia (10MΩ por ejemplo) cuya señal deseamos amplificar por un
factor 1000 en tensión (60 dB). Asimismo deseamos que el amplificador
que diseñemos apenas cargue a ese sensor, por lo que su impedancia de
entrada nos interesa lo más alta posible, por encima de 1012Ω si es posible.
Por otra parte queremos que esa amplificación sea con bajo ruido, lo que
nos sugiere que el AO que elijamos tenga su par diferencial de entrada con
tecnología FET. De nos ser así el ruido en corriente del AO a su entrada se
convertirá en un gran ruido en tensión sobre la alta resistencia del sensor
(que hará el papel de R3 en la Figura 11). Debido a esto, el impresionante
AO LT-1028 de la Figura 16 aquí no sirve, porque su in=1pA/√Hz sobre los
10MΩ se convierte en nada menos que 10µV/√Hz que dan una Figura de
ruido de varios centenares según la ecuación (34). Aquí nos viene mucho

170. 170
mejor el también impresionante AO LT-1169 cuyas características de ruido
a su entrada son: en=6nV/√Hz e in=1fA/√Hz. Este bajo valor de in frente al
moderado valor en el LT-1028 (in=1pA/√Hz) se debe a la tecnología FET
(1fA=10-15A). El reducido valor de in y el alto valor de RN≈10MΩ que
vamos a tener, hacen que la ecuación (34) aplicada al LT-1169 nos dé una
Figura de ruido F≈1 en lugar de 700 como daría para el LT-1028. Esto es
coherente con la Ropt=6MΩ del LT-1169, muy próxima a los 10MΩ del
sensor, que a su vez quedan muy lejos de la Ropt=1KΩ del LT-1028.
Una vez que nos hemos decidido por el LT-1169 para lograr una
excelente figura de ruido, tenemos una ventaja adicional de la tecnología
FET de este AO: su altísima resistencia de entrada Ri=1013Ω. Ese valor de
Ri por sí solo ya es enorme, pero debido a la realimentación negativa se va
a multiplicar por el factor (1+A’β). Para una ganancia 103 el valor de β será
de 10-3 bajo la condición de A’β>>1. Como en el LT-1169 la ganancia Ad
es típicamente de 4×106, el valor de A’ será de este orden si cuidamos los
efectos de carga, por lo que A’β será del orden de 4000 y en consecuencia,
la resistencia de entrada RiCR del amplificador propuesto en la Figura 17
será del orden de: 4000×Ri=4×1016Ω. Con ese valor de RiCR el amplificador
no cargará practicamente al sensor, cosa que será cierta en muy bajas
frecuencias donde las capacidades parásitas apenas afectan, pero en un caso
real las cosas van a ser muy distintas debido a las inevitables capacidades
parásitas presentes en la entrada de cualquier dispositivo o circuito con dos
terminales metálicos de entrada más o menos próximos entre sí.
Figura 17

171. Diseño con Amplificadores Operacionales 171
De esta forma, entre las entradas (+) y (-) del LT-1169 hay una
capacidad de 1,5 pF debido a las capacidades de puerta de los transistores
FET de su par diferencial de entrada. Si además consideramos 0,5 pF
residuales más, debido a los terminales metálicos y a las pistas del circuito
impreso a las que van soldadas esas patillas, tendremos una capacidad de
entrada Ci≈2pF en paralelo con la altísima resistencia de entrada Ri≈ 1013Ω.
Esta combinación en paralelo de Ri y Ci como impedancia es la que se
multiplicará por el factor (1+A’β)=4000 que hemos comentado, debido a la
realimentación negativa. Por tanto, la impedancia de entrada del circuito de
la Figura 17 sería igual a la combinación en paralelo de una resistencia de
valor 4×1016Ω y un condensador de valor 2pF/4000=0,5fF (0,5×10-15F).
Nótese que el valor de la resistencia se multiplica por 4000 pero el del
condensador se divide por 4000 a fin de aumentar su impedancia por 4000.
Como a la frecuencia de 10Hz la reactancia del condensador de 2pF
es de unos 8GΩ (8×109Ω) la altísima resistencia Ri=1013Ω está eficazmente
“puenteada” por la capacidad parásita a esta frecuencia y con más razón a
frecuencias más altas. Por tanto, el comportamiento de RiCi es capacitivo
esencialmente para frecuencias superiores al Hz, lo que hace que la ZiCR de
entrada al circuito de la Figura 17 sea la de CiCR multiplicada por el factor
(1+A’β). La reactancia de ZiCR, a pesar de ser mucho menor que RiCR,
todavía es enorme: unos 32×1012Ω a 10Hz. Por ello cualquier conductancia
que exista entre la pista de circuito impreso a la que va soldada la patilla
(+) (pista sensora) y la pista de masa, dominará. Por ejemplo algo de polvo
con cierta humedad puede dar unos pocos Gigaohmios de resistencia
“parásita” o inesperada que domine a los 32 Teraohmios en paralelo que es
la reactancia de CiCR a 10Hz. Más aún, el propio conector de entrada y el
cable que lo une a las pistas de masa y sensora, introducirá una capacidad
parásita de algunos pF que dominará sobre todo lo demás. Ese cable suele
ser coaxial o apantallado y puede tener unos 15 pF en 10 centímetros de
longitud. Si empleamos 20 cm de este tipo de cable para unir el sensor y el
amplificador, el circuito de entrada será en esencia un filtro R-C paso-bajo
formado por la resistencia de salida del sensor (Rg=10MΩ) y C=30pF. La
frecuencia de corte de este filtro es de unos 500 Hz, por lo que aquellas
frecuencias por encima de ésta que genere el sensor, entrarán atenuadas al
amplificador. Para reducir este efecto puede emplearse un cable triaxial
conectado en la forma indicada en la Figura 18. Con esa forma de conectar
la malla intermedia, la capacidad parásita de los 20 cm de cable se reduce
en un factor 10, siendo de sólo 3pF por tanto. Ello aumentaría el ancho de
banda del R-C parásito de entrada hasta 5 KHz. El motivo de tal reducción
de capacidad “vista” por el sensor es el valor 9 veces menor de la tensión (y
por tanto de la carga) que tiene el condensador formado por el conductor

172. 172
central del cable coaxial y la malla intermedia, respecto al formado por esa
malla y la malla exterior de blindaje electrostático.
Figura 18
Nótese en la Figura 18 que sólo hay una conexión “a masa” de la
malla exterior del cable triaxial en el lado del amplificador. Obsérvese
también que la malla intermedia está a un potencial que es el 90% del que
tenga el hilo central del cable triaxial debido al divisor de las resistencias
de 9Ω y 1Ω. Esto hace que el condensador coaxial cilíndrico existente entre
el hilo central y la malla intermedia, sea 10 veces menos efectivo que si esa
malla estuviera conectada al potencial de masa. Esta forma de proceder
pertenece al tipo de técnicas de guarda y “bootstrapping” que pueden
encontrarse en diversas referencias [18], [19] a las que remitimos al lector
interesado. Aquí solo diremos que bajo el punto de vista de realimentación,
la acción anterior conlleva la aparición de cierta realimentación desde la
salida del AO hacia su entrada (+) a través de la capacidad existente entre
el hilo central y la malla intermedia (condensador cilíndrico Cint). Esta es
una realimentación positiva que origina un circuito que tiene dos tipos de
realimentación (negativa y positiva), cuyas propiedades y comportamiento
no son ni evidentes ni tan sencillos de ver como los de circuitos con sólo
realimentación negativa. Este tema de la doble realimentación requiere
cierto sentido común electronico y será tratado en el último capítulo del
libro, por lo que concluiremos por ahora con la Figura 19 que muestra el
circuito al que equivale en primera aproximación el sistema sensor-
amplificador de la Figura 18. Nótese que Cext es el condensador cilíndrico
debido a la capacidad entre las mallas intermedia y exterior del cable
apantallado triaxial.

173. Diseño con Amplificadores Operacionales 173
Figura 19
Como puede intuirse, el circuito se complica de cara a su resolución
aun empleando ITV(SC). El MRA que hemos visto no sirve en este caso y
éste es un buen ejemplo de sistema real basado en AO para cuyo análisis se
requerirá el empleo de algún programa de simulación analógica.
Caso II.- Efectos de una red β dependiente de la frecuencia.
Vistos algunos efectos debidos a capacidades parásitas (de entrada al
AO y de entrada al subsistema amplificador) vamos a ver ahora qué ocurre
cuando en la propia red β introducimos condensadores a fin de obtener
cierta función de transferencia cuyas propiedades con la frecuencia nos
interesan y son debidas a esos condensadores introducidos voluntariamente.
Tal es el caso del amplificador-integrador que aparece en la Figura 20.
Figura 20

174. 174
La función transferencia vo/vi del circuito integrador presentado se
obtiene simplemente aplicando ITV(SC) a las entradas del AO. Debido a
ello: v(-)=v(+)=0, por lo que la tensión vi(t) dará lugar a una corriente i(t)
(pensemos en señales variables con el tiempo) a través de R de valor:
vi (t ) − 0 vi (t ) V ( jω )
i(t ) = = ⇒ I ( jω ) = i (37)
R R R
Esa corriente i(t) no entrará hacia el AO sino que será absorbida por
la salida del AO a través de la impedancia Z2 del condensador, que para
señales alternas sinusoidales era: Z2(jω)=0+1/jωC. Por lo tanto, una señal vi
senoidal y de frecuencia f, vi(t)=A×sen(2πft), producirá una corriente i(t)
senoidal de valor i(t)=(A/R)×sen(2πft) que tendrá ciclos positivos en los
cuales la corriente i(t) será absorbida a través de C por la salida del AO y
ciclos negativos en los que la corriente será inyectada por la salida del AO,
a través de C para que atraviese R y vaya hacia el generador de entrada vi.
Para que esto ocurra la tensión de salida vo tiene que tener unas variaciones
que son senoidales también como las de vi(t), pero aunque su frecuencia f
es la misma, su fase no va a serlo, apareciendo un retraso de 90º a cualquier
frecuencia junto a otros ±180º de desfasaje debido a un cambio de signo.
Todo esto se obtiene con la Ley de Ohm generalizada aplicada al
condensador y considerando la ITV(SC) a la entrada creada por la RN
existente a través de Z2 o de C si preferimos decirlo así. La corriente i(t)
que atravesará el condensador C será simplemente la diferencia de tensión
entre sus terminales dividida por su impedancia Z2. Tenemos por tanto:
0 − Vo ( jω ) − I ( jω )
I ( jω ) = ⇒ vo ( jω ) = (38)
Z 2 ( jω ) jωC
Combinando las ecuaciones (37) y (38) obtenemos la función de
transferencia vo(t)/vi(t) del circuito integrador de la figura 20.
vo ( jω ) −1 −1
= = (− j ) × (39)
vi ( jω ) jωRC ωRC
La ecuación (39) nos da la relación entre amplitudes y el desfasaje
relativo entre señales de entrada y salida senoidales en dicho integrador.
Podemos deducir que esas señales estarán desfasadas 90º debido al factor
“j” de la ecuación (39) y que la amplitud de la señal de salida será
inversamente proporcional a la frecuencia de la señal. Así a frecuencias

175. Diseño con Amplificadores Operacionales 175
bajas la amplitud de la señal de salida será grande y a frecuencias altas será
pequeña suponiendo constante la amplitud de la señal de excitación. Habrá
además una frecuencia a la que la amplitud de la señal de salida será igual a
la de la señal de entrada. Esa frecuencia fodB es simplemente la que cumple:
2πfodB×RC=1 y para señales senoidales de f=fodB, el circuito presenta una
ganancia unidad en amplitud y un desfasaje de +90º. Para unos valores de
R=10KΩ y C=0,1µF (10-7F) se tiene fodB=159Hz. Una señal de entrada vi(t)
de esta frecuencia y 1V de amplitud y su correspondiente señal de salida
v(t) se verían en un osciloscopio como se muestra en la Figura 21, de donde
podemos decir que, en régimen permanente senoidal, si la señal de entrada
es una función seno, la señal de salida es una función coseno de la misma
amplitud. Nótese que en la Figura 21 sólo se ha dibujado uno de los
muchos periodos de esas señales, que se suponen aplicadas y existiendo en
el circuito desde hace mucho tiempo (circuito en régimen permanente, no
en régimen transitorio tras una reciente modificación de la excitación por
ejemplo).
Figura 21
Algo parecido ocurre en la Figura 22, donde para una amplitud de
señal de entrada de 1V, se ha dibujado también la correspondiente señal de
salida, solo que a una frecuencia 4×f0dB. Como puede verse, la amplitud de
salida es ahora 4 veces menor como corresponde a una frecuencia 4 veces
mayor según la ecuación (39). También puede comprobarse que vi(t) es
senoidal y vo(t) cosenoidal. Recordando que la derivada respecto al tiempo
de y=Acos(2πft) es: y’=-2πfAsen(2πft), y dado que el circuito de la Figura
20, para una señal de entrada senoidal genera una señal cosenoidal de
salida cuya amplitud es inversamente proporcional a f, podemos decir que
está integrando la señal de entrada e invirtiendo el signo del resultado. De
ahí el nombre de integrador inversor que recibe dicho circuito.

176. 176
Figura 22
El factor constante 2π que acompaña a f y que parece que el circuito
no considera, es un simple factor de ganancia que puede compensarse con
un amplificador de tensión posterior, igual que la inversión del signo. Lo
importante del circuito es su salida retrasada 270º (o adelantada 90º) para
cualquier señal senoidal y la amplitud inversamente proporcional a la
frecuencia de la señal. Ello hace que integre las señales senoidales y
cosenoidales y por tanto también integrará señales cuadradas por ejemplo,
que pueden considerarse sumas cuidadosas de las primeras (Series de
Fourier). Como ejemplo para los nuevos valores de R=10KΩ y C=2µF, el
circuito integra la señal cuadrada de la Figura 23 obteniendo la señal
triangular de la misma Figura. Nótese que el periodo de la señal cuadrada
es de 20 milisegundos, por lo que estará compuesta por señales senoidales
de 50Hz y armónicos (múltiplos) de esta. Por la forma de la señal cuadrada
(función impar) sólo hay armónicos impares (50Hz, 150Hz, 250Hz, etc). El
efecto del integrador sobre esa suma cuidadosa de armónicos impares que
forman la señal cuadrada (desfasarlos todos 90º en retraso y atenuarlos
proporcionalmente a su frecuencia) da lugar a que su nueva suma o
superposición a la salida genere una señal triangular en vez de la señal
cuadrada que su suma generaba a la entrada antes de ser integrados
individualmente.
No insistiremos más sobre las interesantes propiedades del integrador
de la Figura 20. Sólo un pequeño detalle de cara a señales de entrada de
frecuencia nula (dc). Estas señales, al integrarse en el tiempo (misión del
circuito) acabarán llevando la señal de salida a los valores extremos de
+Vcc o -Vcc, que son los máximos que pueden dar el AO a su salida si está
alimentado a ±Vcc. Se dice entonces que la salida del integrador se ha

177. Diseño con Amplificadores Operacionales 177
saturado y en ese caso hay que descargar de alguna forma el condensador
(mediante un interruptor o una resistencia en paralelo con C) en la que no
vamos a entrar ahora.
Figura 23
Quedémonos con la idea de que el circuito es un buen integrador
para señales que no tengan componente continua ni sean de muy bajas
frecuencias y como ejemplo de la potencia del MRA que hemos visto, que
sirve también para cuando las funciones A’ y β dependen de la frecuencia,
vamos a mostrar cómo será la impedancia de salida del integrador de la
Figura 20. Debido a la RN esperamos una ZoCR que sea muy baja porque
será la ZoSR de la red A’ dividida por el factor [1+A’β(jω)] dada la
conexión paralelo de las redes A’ y β a la salida, pero nótese que ahora el
producto A’β depende de la frecuencia. La red A’ que obtendríamos
empleando el MRA sería la que se representa en la Figura 24.
Figura 24

178. 178
Con la gran mayoría de los AO y especialmente con los de entrada
FET, el valor de Ri sería mucho mayor que R, por lo que al combinarse en
paralelo con ella daría un valor esencialmente igual a R. Por tanto, las
impedancias de entrada y de salida de la red A’ serían: ZiSR=RC y
ZoSR=RoC, es decir: dos combinaciones R-C paralelo que para bajas
frecuencias serán ZiSR≈R y ZoSR≈Ro. Con los valores R=104 Ω y C=10-7 F,
esta zona de “bajas frecuencias” llegará hasta 159 Hz para ZiSR≈R y hasta
1590 Hz para ZoSR≈Ro. El lector debería comprobar a qué se iguala la
reactancia de cada condensador a estas frecuencias. Pues bien, supongamos
que estamos trabajando a frecuencias muy por debajo de éstas, por ejemplo
en la banda de 1 a 20 Hz. La ganancia A’(jω) vendrá dada por:
vo ( jω ) R R
A' ( jω ) = = × Av × (40)
ie ( jω ) 1 + jωRC 1 + jωRoC
En la banda de frecuencias que acabamos de citar, la ganancia A’
será esencialmente constante y de valor A’BF≈R×Av (ohmios). Sin embargo
la ganancia de la red β será βY=j2πfC (mhos) tanto en esta banda de
frecuencias como fuera de ella. Por tanto el producto A’β a la frecuencia de
1 Hz valdrá:
A' β ( j 2π 1Hz) ≈ R × Av × j (2 × π ×1×10−7 ) = j 2π ×103 (41)
Por tanto la impedancia de salida del integrador a esta frecuencia de
1 Hz será:
Ro 103 1
Z oCR (1Hz) = ≈ = (42)
1 + j 2π 103 j 2π 103 j 2π ×1Hz ×1F
que es formalmente igual a la de un condensador de ¡1 Faradio!, un valor
de capacidad enorme. Pero lo más impresionante de este resultado es que
esa impedancia no sea óhmica, en analogía con Ro que sí lo es. Es por tanto
una consecuencia de la realimentación negativa del circuito de la Figura 20
a través del condensador C y es la base de una forma de obtener o emular la
impedancia que ofrecería a 1 Hz un condensador tan grande como ése (que
sería electrolítico, con varios cm3 de volumen), mediante una resistencia,
un AO y un pequeño condensador de 0.1 µF (de poliéster por ejemplo). El
precio y volumen ocupado por estos tres componentes es muy inferior al de
un condensador real de 1 Faradio. Haciendo los cálculos para la frecuencia

179. Diseño con Amplificadores Operacionales 179
de 10 Hz volveremos a obtener el mismo resultado: la salida del integrador
ofrece una impedancia capacitiva con la misma forma de la ecuación (42)
pero con un módulo 10 veces menor. Vuelve a ser la de un condensador de
1 Faradio, sólo que a 10 Hz.
Aunque el resultado anterior sólo pretendía mostrar las posibilidades
del MRA en lo referente a la frecuencia, nos ha permitido obtener algo
equivalente a un condensador de 1 Faradio. El “condensador” así obtenido
tiene ciertas limitaciones en cuanto a la banda de frecuencias en la que se
comporta como tal y en el hecho de que uno de sus terminales es el de
“masa” (no es un condensador con dos terminales flotantes). Sin embargo
posee algunas ventajas como el que su valor sea proporcional a R. De este
modo, una resistencia variable entre 10 y 20 KΩ nos daría un condensador
variable entre 1 y 2 Faradios, que puede ser útil para algunas aplicaciones
de muy baja frecuencia.
De todos modos hay que ser cuidadosos al emplear un circuito como
el de la Figura 20 para alguna aplicación en la que queramos que funcione
como condensador. Ello se debe a que si vamos a usar su salida para algo,
habrá que conectarle algún componente adicional a su salida y como es un
circuito con RN, lo que se añada le va a afectar en mayor o menor medida.
Sin embargo, si la impedancia que conectemos a la salida es bastante
mayor que Ro, el circuito apenas variará su comportamiento y funcionará
con arreglo a lo previsto. Tal sería el caso de una resistencia de 100KΩ que
se conectase a la salida para obtener un R-C paso-bajo cuya frecuencia de
corte fuese de poco más de 1 microhercio. Dejamos por ahora este tema,
aunque diremos que no será ésta la última vez que veamos a los AO emular
impedancias (capacitivas, inductivas y resistivas) empleando la RN que se
requiera en cada caso.
Caso III.- Modificación de la red β para reducir efectos parásitos.
En este tercer y último caso de este capítulo vamos a ver cómo la
visión que proporciona el MRA sobre el circuito global realimentado
permite diseñar mejores sistemas cuando aparece cierto problema. Este es
el caso del convertidor I-V de la Figura 25, muy empleado para obtener
señales de tensión de niveles aceptables a partir de las pequeñas señales de
corriente (fotocorriente) generadas por un fotodiodo al recibir una serie de
impulsos luminosos. Como vimos en el capítulo anterior, el circuito de la
Figura 25 tiene una ganancia vo/iph que es igual al valor de la resistencia R,
con un cambio de signo que carece de importancia para lo que vamos a ver
a continuación. Nos referimos a la situación, bastante frecuente, en la que
el valor de R es bastante grande para tener una alta ganancia de conversión.
Supongamos que deseamos una ganancia de conversión de 108 V/A a fin de
que pequeños pulsos de corriente de 10 nanoamperios produzcan a la salida

180. 180
pulsos de tensión de 1 voltio. Ello supone R=100MΩ y el problema aparece
al considerar la inevitable capacidad parásita C en paralelo con R que
aparece debida a patillas de componentes y pistas de circuito impreso por
ejemplo.
Figura 25
Aun siendo bastante cuidadosos podemos decir que una capacidad
C=0,5ρF será probable que aparezca en paralelo con R. Debido a ello la
ganancia vo/iph pasa a ser la impedancia de R en paralelo con C, que en
bajas frecuencias coincide con R, pero que en altas frecuencias ya no. El
condensador tiende a “puentear” a la resistencia en altas frecuencias,
haciendo que el módulo de la ganancia vaya cayendo con la frecuencia.
A la frecuencia a la que la impedancia del condensador se hace igual
a la resistencia, el módulo de la ganancia cae en un factor √2 (3dB) y esa
frecuencia es fc=1/2πRC (poco más de 3KHz en nuestro caso). Tenemos
por tanto un reducido ancho de banda que nos va a limitar la velocidad
binaria de los pulsos de luz que puede manejar el circuito. Si quisiéramos
manejar pulsos con un régimen binario de unos 100 Kilobits por segundo,
nos haría falta un ancho de banda unas 20 veces mayor. Como la capacidad
C=0,5pF es la mínima que podemos tener por lo ya dicho, la resistencia a la
que “puentee” deberá ser 20 veces menor para que fc sea 20 veces mayor.
Ello supondría una R=5MΩ, pero esto implicará en el circuito de la Figura
25 una ganancia 20 veces menor.
Bajo el punto de vista del MRA, esa ganancia 20 veces menor será
debida a un factor β 20 veces mayor. La red β que obtenemos aplicando el
MRA al circuito de la Figura 25 es la que aparece en la Figura 26, donde
además se muestran las magnitudes que definen el factor β.

181. Diseño con Amplificadores Operacionales 181
Figura 26
En el factor βy=-1/R se ve que si rebajamos la resistencia en un factor
20, el factor βy aumentará en un factor 20 y ello reducirá por 20 la ganancia
Gz≈1/βy (para A’β>>1). Ahora podemos hacer la siguiente pregunta: ¿Es
posible debilitar en un factor 20 el factor de realimentación βy sin aumentar
el nuevo valor de R=5MΩ que hemos propuesto?. La respuesta es que sí y
se basa en atenuar la tensión vo en un factor 20 antes de que ataque a la
resistencia de 5MΩ. Ese cometido lo realizarán dos resistencias RA y RB,
dando lugar a la nueva red β de la Figura 27 donde el valor de R’ ha de ser
mucho menor que el de R=5MΩ para que ese factor de atenuación 20 se
mantenga a pesar de la corriente ir que llega hacia el divisor R’−19R’.
Figura 27
En nuestro caso podemos tomar R’=50KΩ y obtendremos el circuito
de la Figura 28 con la misma ganancia vo/iph≈108 V/A que el de la Figura
25, pero con un ancho de banda 20 veces mayor. De esta forma se entiende
fácilmente el circuito de la Figura 28, cuya red de realimentación en “T”
puede no estar tan clara sin el enfoque que nos proporciona el MRA para
circuitos con RN. El lector que desee profundizar en este tama específico

182. 182
de amplificadores basados en AO para fotodiodos, podrá encontrar mucha
más información en la referencia [20].
Figura 28
Con los valores de la Figura 28, el efecto de carga (dentro de la red
β) de los 5MΩ sobre el atenuador por 20 (resistencias de 50KΩ y 950KΩ)
es despreciable. En otras palabras, la tensión vo queda dividida por 20 antes
de ser aplicada a la resistencia de 5MΩ que realimentará una corriente ir
hacia la entrada, proporcional por tanto a vo/20. Esta visión del convertidor
I-V de la Figura 28 resulta mucho más instructiva que la simple resolución
de dicho circuito mediante la aproximación ITV(SC), que el lector puede
hacer como ejercicio práctico sabiendo ya “lo que tiene que obtener”.
IV.6- Realimentaciones negativas no-lineales y ocasionales
En los apartados anteriores hemos ido viendo diversos sistemas que
se obtenían al aplicar realimentación negativa a un AO mediante una red β
formada por elementos lineales, que para nosotros serán aquellos elementos
circuitales (resistencias, capacidades e inductancias) cuyo valor no depende
de la amplitud de las señales que existan sobre dichos elementos. Así una
resistencia de valor R presenta una característica corriente-tensión (I-V)
que decimos que es lineal porque si dibujamos una gráfica de la corriente I
que atraviesa R en función de la tensión V que hay entre los extremos de R,
aparece una línea recta de pendiente 1/R (función lineal) en todo el rango
de valores de tensión V que manejamos en Electrónica (sean nV, µV, mV,
voltios, etc). El empleo de elementos lineales en la red β bajo RN da lugar
a que las funciones de transferencia obtenidas (GV, GI, GZ y GY) también
sean funciones lineales o valores constantes independientes tanto de la
amplitud como del signo de las señales que estén manejando.

183. Diseño con Amplificadores Operacionales 183
Sin embargo existen elementos como los diodos, cuya característica
I-V no lineal puede resultar muy interesante si se incluye en la red β de
realimentación negativa de un AO. De este modo se obtienen funciones de
transferencia G que reflejan el comportamiento no-lineal de la red β, siendo
por tanto no-lineales a su vez, y con aplicaciones muy útiles en Electrónica.
En estos casos los conceptos de impedancia y ganancia deben definirse
para un entorno de pequeñas amplitudes de señal centrado en un valor “de
polarización” mucho mayor que la amplitud del entorno considerado. Esto
no es más que “linealizar” el circuito para cierto valor central de señal (el
de polarización) a fin de poder emplear esos conceptos de impedancia y
ganancia con un carácter “diferencial”. Como estas últimas frases pueden
resultar algo oscuras, las explicaremos más tras considerar el circuito de la
Figura 29 y su función como amplificador logarítmico.
Figura 29
La Figura 29 puede verse como un amplificador con AO en CAI, en
el que la resistencia de realimentación se ha sustituido por un diodo, que es
un elemento circuital no lineal cuya característica I-V es una cualquiera de
las fórmulas de la expresión (43) para el rango de corrientes de interés, que
abarca varias décadas, por ejemplo: desde 0.01µA hasta 1mA (5 décadas).
El voltaje térmico VT=kT/q es proporcional a la temperatura absoluta T,
medida en grados Kelvin, cuya correspondencia con la escala centígrada es:
T=273,15+x(ºC) (T=300K≅27ºC), siendo q la carga del electrón.
V  I 
I D ≅ I sat× exp D  ⇔ VD = VT × Ln D  VT ≈ 26mV
V  I  (43)
 T  sat  T = 300 K

184. 184
Para tensiones de entrada positivas la corriente que entra a través de
R hacia la entrada (-) del AO intentará crear cierta tensión positiva en esa
patilla. Debido a la enorme ganancia del AO enseguida aparecerá a su
salida una tensión negativa apreciable que hará conducir al diodo, abriendo
de este modo un camino de RN a través del diodo que generará la ITV(SC)
entre las entradas del AO. En estas condiciones la entrada (-) se convierte
en una masa virtual, siendo su tensión prácticamente nula. Esto hace que la
tensión de entrada vi se convierta en una corriente iD=vi/R que atravesará R
y el diodo, siendo absorbida por la salida del AO. Como esa corriente iD es
la corriente del diodo, la tensión vD entre los extremos del diodo será la que
aparece en la expresión (43), que como vemos, es proporcional al logaritmo
neperiano de la corriente iD. Como la corriente iD es la tensión de entrada vi
dividida por la constante R, la señal de salida del circuito vo=-vD resulta ser
proporcional al logaritmo neperiano de la tensión de entrada vi, con un
cambio de signo. Esa función de transferencia de tipo logarítmico se
representa en la Figura 30 y a efectos de ganancia en tensión sugiere que
las pequeñas amplitudes de vi resultan más amplificadas que las grandes.
Figura 30
También puede verse como que la ganancia en tensión del circuito
decrece a medida que la amplitud de la señal de entrada aumenta y como
consecuencia, una señal senoidal de entrada vi(t) de cierta amplitud dará
una señal de salida distorsionada o achatada por sus extremos. Para quien
esté acostumbrado a etapas amplificadoras lineales, esta distorsión puede
parecer negativa o poco útil, pero veremos que en ciertos casos no es así.
Como posible utilidad de este amplificador cuya ganancia “se comprime”
cuando la señal de entrada se hace grande, podríamos citar la obtención de
amplificadores que deban manejar un amplio rango de amplitudes de señal
de entrada, como puede ser el de un receptor de radar. Según sea el tamaño
y la distancia del blanco que ha producido el eco del radar, la amplitud de

185. Diseño con Amplificadores Operacionales 185
señal recibida variará en varios órdenes de magnitud. Con un amplificador
lineal, el eco de un blanco grande y cercano requerirá una baja ganancia
para no saturarlo. Con esa baja ganancia, el eco de un pequeño y lejano
blanco podría quedar enterrado en el ruido de fondo y no ser detectado.
Con un amplificador cuya ganancia fuese del tipo dibujado en la Figura 30,
ambos blancos darían señales claras y por tanto mejorarían las prestaciones
del sistema radar.
Si se desea manejar tensiones de entrada negativas en el circuito de
la Figura 29, basta con invertir los terminales del diodo para que el circuito
funcione de forma similar, sólo que ahora la tensión de salida será positiva.
Incluso podría pensarse en utilizar dos diodos iguales puestos en paralelo,
pero con polaridades cambiadas, para poder manejar tensiones vi positivas
y negativas con el mismo amplificador logarítmico. Esta “solución” podría
resultar factible si ambos diodos estuvieran fabricados a la vez, en la misma
oblea de semiconductor, de forma que fuesen muy parecidos en cuanto a
características I-V, cosa que no va a ocurrir si empleamos componentes
discretos. En cualquier caso, los amplificadores logarítmicos que existen en
el mercado y sus inversos, los exponenciales, son bastante más sofisticados
que el aquí presentado, aunque su idea básica de funcionamiento es la que
aquí hemos esbozado (realimentaciones no lineales en AO mediante el uso
de uniones tipo diodo, a veces en conexión diferencial).
Para completar el panorama abierto con el circuito de la Figura 29,
vamos a presentar el de la Figura 31, que tiene la resistencia y el diodo
intercambiados respecto al primero, con lo que consigue una ganancia de
tipo exponencial o antilogarítmica. Esta característica permitiría aplanar la
ganancia no constante del amplificador logarítmico si se conectasen uno
detrás de otro los circuitos de las Figuras 29 y 31, pero como veremos, las
posibilidades son muchas más.
Figura 31

186. 186
El funcionamiento básico del circuito de la Figura 31 puede verse
considerando que está formado por un diodo en serie con el convertidor I-V
basado en AO que vimos en el Capítulo III. Como ese convertidor crea una
masa virtual a su entrada debido a la RN a través de la resistencia R, la
tensión del cátodo del diodo es prácticamente nula. Entonces, la tensión de
entrada vi será la tensión que se aplicará al diodo, por lo que la corriente
que circulará por el diodo hacia el convertidor I-V será exponencial según
la expresión (43), haciendo que la tensión de salida vo sea también una
función exponencial de la tensión de entrada vi. La Figura 32 muestra esta
característica exponencial, que podemos ver como una ganancia en tensión
creciente a medida que aumenta la amplitud de la señal de entrada.
Figura 32
Ahora podemos ver una interesante aplicación de estos circuitos no
lineales de cara a la lucha contra el ruido. Es frecuente la situación en la
que un canal de información (por ejemplo un canal telefónico, un sistema
de cinta magnética para grabar música en formato analógico, etc) posee
cierto nivel de ruido propio. Si la señal presente en el canal tiene gran
amplitud, la potencia de ruido propio queda muy por debajo de la de señal
y el ruido apenas afecta. Por el contrario, cuando la amplitud de señal es
baja (pensemos en un pasaje musical suave, casi un silencio) la potencia de
ruido resulta muy perjudicial, ya que puede incluso “enterrar” a la primera.
Pues bien, si predistorsionamos la señal con el amplificador logarítmico
(compresión) antes de meterla en el canal, la potencia de la señal será alta
incluso en los pasajes suaves, con lo que el ruido le afectará menos
mientras esté en el canal. Pero además, al recuperar o extraer la señal del
canal, habrá que deshacer la predistorsión con un amplificador exponencial
(expansión) a fin de no tener distorsiones. Este segundo paso supone que
las bajas amplitudes (que es donde está la señal de ruido) se amplifican
menos que las altas amplitudes (que es hacia donde “fue” la señal debido a

187. Diseño con Amplificadores Operacionales 187
la predistorsión). De esta forma se reduce el ruido de forma notable gracias
al empleo de un sistema “compansor” (compresor-expansor) similar a este
ejemplo básico con amplificadores logarítmicos y exponenciales.
Otras aplicaciones de estos circuitos y de sus versiones comerciales
mejoradas conciernen al tratamiento analógico de señales electrónicas. Si
una tensión analógica vi(t) se procesa con un amplificador logarítmico y la
salida de éste se amplifica por 3 linealmente, la señal resultante puede
hacerse pasar o procesarse con el amplificador exponencial inverso del
primero para obtener la señal analógica vi(t) elevada al cubo en virtud de la
expresión (44).
exp(3× Ln[vi (t )]) = (exp(Ln[vi (t )])) = (vi (t ))
3 3
(44)
Si en vez de la amplificación lineal por 3 hubiésemos atenuado por 2
la señal de salida del logarítmico, lo obtenido a la salida del exponencial
sería la raíz cuadrada de vi(t). Nótese que si deseásemos emplear los
circuitos de las Figuras 29 y 31 para hacer el cálculo anterior, uno de los
diodos de esos circuitos debería invertirse (por ejemplo el de la Figura 31)
para que el signo de la tensión de salida del amplificador logarítmico y el
de la señal de entrada del exponencial fuesen compatibles. Lo anterior da
una idea de las posibles aplicaciones de este tipo de circuitos en cuanto a
cálculo analógico, del que el cálculo de valores eficaces y potencias de
señales sería un buen ejemplo. Remitimos al lector interesado a referencias
como [7, 8, 14 y 21], donde encontrará un buen número de aplicaciones.
Con este tipo de circuitos no lineales, los conceptos de ganancia y de
impedancia no sirven, salvo que se definan en un cierto entorno, debido a la
gran distorsión que producen, lo que genera señales que no estaban en la
señal inicial. Si atacamos el amplificador de la Figura 29 con una señal
senoidal de 100 mV de amplitud por ejemplo, las partes negativas de esa
señal generarían una tensión de salida positiva muy alta (la máxima que
pudiera dar el AO a su salida) y las partes positivas se procesarían como
hemos visto, con una ganancia logarítmica. Esa señal de salida tan extraña
es toda una suma de señales senoidales de frecuencias múltiplos de la de
entrada (Serie de Fourier). Por tanto, además de a la frecuencia de entrada
(fundamental) se han generado señales a otras frecuencias para las que no
podemos definir una “ganancia” porque no se encontraban a la entrada.
Tampoco podríamos definir una impedancia de salida en el circuito de la
Figura 29 porque al atacar su salida con cierta fluctuación senoidal de
corriente i(t), la fluctuación de tensión v(t) que obtendríamos no sería
senoidal y no podríamos aplicar la Ley de Ohm generalizada para señales
senoidales.

188. 188
Lo que sí se puede hacer es atacar el amplificador con una cierta
señal fija de “polarización”, por ejemplo Vi=100 mV y sobre esta parte fija,
superponer una señal alterna senoidal vi(t) de pequeña amplitud, 5mV por
ejemplo. En estas condiciones la parte fija define un punto de trabajo (una
cierta corriente fija IDQ por el diodo entre otras cosas) que permite linealizar
el circuito, sustituyendo el diodo no lineal por su resistencia dinámica de
valor rd=VT/IDQ. Esto nos da el circuito amplificador inversor ya conocido,
pero tiene el significado de que todo lo que obtengamos con este nuevo
circuito (ganancia en tensión, impedancias de entrada y de salida) sólo será
aplicable para el de la Figura 29 en esas condiciones de “polarización”, o
hablando de señales: para un entorno de pequeña señal alrededor de los 100
mV que hemos empleado como “polarización” o punto de trabajo.
Para finalizar este Apartado sobre realimentaciones no lineales en
general, vamos a presentar unas que existen o no en el tiempo según sea la
señal de entrada. No hace falta decir que en estos casos tampoco serán muy
útiles los conceptos de ganancia e impedancias terminales, a menos que sea
posible definirlos en un cierto entorno de señal. Así la Figura 33 muestra
una combinación inteligente de un diodo, un AO y una resistencia para
formar un rectificador de precisión de media onda. En este caso el diodo se
emplea para que, en función de la polaridad de la señal de entrada, exista o
no exista realimentación negativa en el circuito.
Figura 33
Para señales de entrada vi negativas, la salida del AO dará tensiones
negativas apreciables incluso con señales vi de µV. Esto hará que el diodo
quede polarizado en inversa, con lo que no habrá camino de RN hacia la
entrada (-) del AO. Como esta entrada (-) tampoco puede dar corrientes

189. Diseño con Amplificadores Operacionales 189
apreciables sobre la resistencia R, la tensión de salida vo será prácticamente
nula. Por el contrario, para señales de entrada vi positivas la salida del AO
dará tensiones positivas apreciables incluso con señales vi de µV. Esto
polarizará el diodo en directa, haciendo que haya camino de RN hacia la
entrada (-) del AO, lo que creará una ITV(SC) entre las entradas del AO,
por lo que la tensión en la entrada (-) del AO será en todo momento igual a
la de la entrada (+). Para que ello sea así, la salida del AO dará la corriente
necesaria que circulará a través de R generando la tensión de salida vo=v(-)
del circuito. Por tanto, la tensión de salida vo seguirá a la de entrada vi si es
positiva y del orden del µV o mayor, y será nula si vi es negativa. Tenemos
por tanto lo que se denomina un rectificador de precisión (rectifica desde
los microvoltios) y de media onda (la positiva), cosa que con un diodo sin
AO no se consigue.
Si invertimos el diodo tendremos un circuito en el que la tensión de
salida vo seguirá a la tensión vi si es negativa y será nula si vi es positiva
por las razones ya expuestas. Con un circuito como éste y el original de la
Figura 33 obtenemos el circuito que aparece en la Figura 34, que emplea
además el amplificador diferencial básico de la Figura 1 del comienzo del
Capítulo, adaptado convenientemente para formar un sistema rectificador
de precisión y onda completa.
Figura 34
Este sistema sería un buen ejemplo de sistema con varios AO donde
hay realimentaciones negativas cuasi-fijas (las del amplificador diferencial)
y otras ocasionales en el tiempo como las de AO1 y AO2, porque existen o
no según la polaridad de vi. Debido a éstas últimas, el diseño del diferencial

190. 190
de salida ha de hacerse con cierto cuidado. Así cuando vi sea negativa, el
AO1 hará aparecer en el punto A la tensión de entrada negativa que va
siguiendo debido a que tiene RN a través de su diodo, por lo que crea
ITV(SC) entre sus entradas. En estas condiciones el AO2 no tiene RN, por
lo que la resistencia de 5KΩ entre el punto B y masa tendrá en paralelo
hacia masa la alta impedancia que se “vea” hacia la entrada (-) del AO2,
que por otra parte carece de posibilidad de dar o absorber corrientes
apreciables sobre los 5KΩ. Por ello podemos considerar que la tensión en
el punto B es nula y que entre ese punto y masa sólo está la resistencia. En
estas condiciones, el AO3 y sus resistencias asociadas son un amplificador
con AO en CAI de ganancia unitaria para la tensión del punto A, lo que
hace que en la salida vo aparezca la tensión del punto A invertida, es decir:
la tensión negativa de entrada vi cambiada de signo, o para quien prefiera el
proceso analógico de señales, el valor absoluto de vi.
Por otra parte, cuando vi sea positiva, el AO2 hará aparecer en el
punto B la tensión de entrada tal como es, ya que la va siguiendo debido a
que tiene RN a través de su diodo, por lo que crea ITV(SC) entre sus
entradas. Como en estas condiciones el AO1 no tiene RN, la resistencia de
5KΩ entre el punto A y masa tendrá en paralelo la alta impedancia que se
“vea” hacia la entrada (-) del AO1, entrada que no puede dar ni absorber
corrientes apreciables sobre los 5KΩ. Por ello podemos considerar que
entre el punto A y masa sólo está la resistencia de 5KΩ. En estas
condiciones AO3 y sus resistencias asociadas son un amplificador en CANI
de ganancia 5/3: 1+[10K/(10K+5K)] para la tensión de su entrada (+), por
lo que atenuando la tensión del punto B por un factor 3/5, la salida vo será
la tensión del punto B sin invertir, es decir: la tensión positiva de entrada vi
sin cambio de signo, o pensando en el procesado analógico de señales, el
valor absoluto de vi. De esta forma funciona el rectificador de precisión y
onda completa de la Figura 34, al que también se le puede dotar de
ganancia en tensión diseñando adecuadamente el diferencial de salida.
IV.7- Conclusiones
En este Capítulo nos hemos centrado en el diseño de sistemas con
varios AO que emplean realimentación negativa lineal, lo que nos ha
permitido presentar progresivamente la amplificación diferencial partiendo
de la amplificación “referida a masa” y luego el diseño para obtener
prestaciones de bajo ruido en amplificadores basados en AO. Después y sin
entrar en el tema específico de la respuesta en frecuencia de circuitos
realimentados, hemos presentado algunos efectos básicos con la frecuencia
que aparecen a la entrada y salida de sistemas con realimentación negativa
o en la propia red de realimentación. Algunos como las capacidades de
entrada parásitas, resultan perjudiciales porque reducen el ancho de banda

191. Diseño con Amplificadores Operacionales 191
resultante, pero sus efectos pueden ser reducidos mediante el empleo de
técnicas (“bootstrapping”) que suponen añadir una realimentación nueva,
positiva en este caso, que se aparta del tema central del Capítulo, pero que
sirve de preparación para los dos capítulos finales. Otros, como las
capacidades parásitas en la propia red de realimentación, también reducen
el ancho de banda resultante, pero su efecto puede ser disminuido mediante
una modificación juiciosa de dicha red basada en el MRA de circuitos con
RN. Finalmente hay otros que pueden simular capacidades de alto valor
(del orden de Faradios) y pueden tener por tanto alguna utilidad específica.
Tras el manejo de esas realimentaciones negativas lineales se ha
presentado el empleo de realimentaciones no-lineales tanto por el carácter
no-lineal de la característica I-V de los elementos circuitales empleados en
la red de realimentación como por el carácter ocasional de la RN que puede
existir o no en dichos circuitos. Esto abre una amplia perspectiva de cara a
los circuitos procesadores de señales analógicas en su más amplio sentido:
el cálculo analógico con señales analógicas. En estos casos se especifica
claramente cómo y cuando resulta posible emplear conceptos lineales como
ganancia e impedancia en los sistemas resultantes. De esta forma el
Capítulo se cierra con un ejemplo de un sistema que emplea tanto estas
realimentaciones “avanzadas”, como las del principio del Capítulo, más
básicas o lineales, dando una visión donde se muestra que con un poco de
imaginación y empleando AO con RN tanto lineales como no lineales, se
consiguen realizar “operaciones” con señales que justifican plenamente el
nombre de “Operacional” dado a este tipo de amplificador de gran ganancia
y entrada diferencial. Sólo la imaginación del lector puede poner límites a
la gama de aplicaciones que todas estas realimentaciones permiten si se
manejan con criterio y sentido común electrónico.
***

192. 192

193. Diseño con Amplificadores Operacionales 193
Capítulo V.
Diseño de sistemas con AO y
Realimentación Positiva

194. 194

195. Diseño con Amplificadores Operacionales 195
Capítulo V: Diseño de sistemas con AO y
Realimentación Positiva
V.1- Introducción
Como vimos en el Capítulo II al presentar el comparador o “trigger”
de Schmitt, el análisis de circuitos con AO y realimentación positiva (RP)
es totalmente distinto al de aquéllos que tienen realimentación negativa. La
realimentación positiva conlleva la propiedad de generación de señales que
origina la biestabilidad que presentan los circuitos generativos con RP. En
estos circuitos había que considerar el “efecto memoria” producido por esa
realimentación, por lo que el análisis del circuito ante una excitación debía
considerar su estado inicial, que condicionaba su respuesta a esa excitación.
Partiendo de uno de los dos estados posibles del biestable, se veía el efecto
de la excitación, que si era adecuada, podía hacer cambiar de estado al
circuito. De este modo estudiamos la evolución del circuito en el tiempo y
obtuvimos su función de transferencia no-lineal en vez de obtener alguna
ganancia lineal como en los casos de realimentación negativa.
En este capítulo nos vamos a centrar en la evolución temporal de este
tipo de circuitos con realimentación positiva. Como además un biestable da
mucho más juego si se le añaden ciertos circuitos temporizadores (de tipo
R-C los más básicos) donde algún condensador se carga y descarga en el
tiempo, comenzaremos con el estudio de este tipo de circuitos y la ecuación
básica que gobierna su evolución temporal para después incluirlos en una
RN adicional. Con la ayuda de estos simples temporizadores R-C se
obtendrán circuitos capaces de generar pulsos de duración prefijada con
precisión y fiabilidad en respuesta a señales o estímulos de entrada y otros
capaces de generar señales de salida repetitivas sin señal alguna de entrada,
funcionando como osciladores o generadores de señal. Concluiremos el
capítulo con una reflexión sobre el hecho de que para lograr todo lo
anterior habremos utilizado una realimentación positiva dominante junto
con otra realimentación negativa adicional. Esta es necesaria para sacar al
biestable creado por la RP de esa biestabilidad, haciéndolo monoestable o
aestable. Tras ello estaremos en condiciones de abordar el capítulo más
avanzado del libro, sobre sistemas con los dos tipos de realimentación en
los que dominará la negativa.
V.2- Temporizador básico R-C
Vamos a estudiar ahora un aspecto nuevo y unificador de los
circuitos R-C paso-bajo y R-C paso-alto que presentamos en el Capítulo I.
Dicho aspecto es su respuesta en el dominio del tiempo, viendo cómo

196. 196
evoluciona la carga almacenada por el condensador (y por tanto su tensión:
∆v(t)=∆Q(t)/C) tras una variación brusca de las condiciones de excitación.
Estaremos estudiando el caso particular del régimen transitorio del circuito
R-C, una respuesta en el dominio del tiempo íntimamente ligada a su
respuesta en frecuencia, como el lector puede conocer y si no es el caso
consultar, en otros textos [2], [4]. De todos modos, el tratamiento que
haremos aquí no usará el potente método de transformadas de Laplace y
variable compleja s, sino una ecuación temporal básica del circuito R-C
serie o paralelo que permite resolver muchos casos prácticos.
Para empezar con el tema, en la Figura 1 se han dibujado los filtros o
circuitos R-C paso-bajo y paso-alto más simples (de 1er orden) que hemos
mencionado. Como puede verse, la señal de salida en el paso-bajo es la
tensión sobre el condensador, mientras que la señal de salida en el paso-alto
es la que aparece sobre la resistencia. Sin embargo, ambos circuitos tienen
una esencia común que es su evolución temporal a partir de un mismo
estado de carga inicial del condensador. Si de algún modo cargásemos el
condensador de ambos circuitos con la tensión inicial VI=10V por ejemplo,
y anulásemos a continuación la excitación de entrada vi poniendo un
cortocircuito en lugar de ese generador, veríamos que ambos circuitos
evolucionarían de forma similar. Esa evolución sería la descarga de un
condensador C a través de una resistencia R, que iría reduciendo los 10V
iniciales hasta una tensión final de cero voltios (VF=0V).
Figura 1
La forma de onda de la tensión del condensador vC(t) en el caso
anterior es un decaimiento exponencial en el tiempo que comienza en VI y
termina en VF (cero voltios en este caso). La ecuación correspondiente es la
siguiente:
vC (t ) = VF + (VI − VF ) × e ( −t / RC ) (1)

197. Diseño con Amplificadores Operacionales 197
En la ecuación (1) hay dos aspectos importantes que debemos tener
en cuenta. El primero es la existencia de dos términos, uno que permanece
constante en el tiempo y otro que es transitorio, porque dura unas pocas
“constantes de tiempo” (τ=RC) debido a que lleva el término exponencial
amortiguador: e-t/τ. Como vemos, la tensión permanente en nuestro caso es
VF=0V, pero podría ser cualquier otra según el circuito del que se trate. La
amplitud inicial de la tensión transitoria es la diferencia entre las tensiones
inicial y final del condensador (VI-VF=10V en este caso). La evolución de
la tensión vC(t) del condensador a lo largo del tiempo es la superposición o
suma de esos dos términos permanente y transitorio.
El segundo aspecto es la aparición de una unidad “natural” de tiempo
τ=RC que nos da la rapidez con la que el circuito reacciona para adaptarse
a la situación final partiendo desde la situación inicial. Esa unidad natural
es la constante de tiempo τ del circuito y su interés práctico está en que el
término transitorio se considera que “desaparece” en unas 3 constantes de
tiempo. Realmente en este tiempo se atenúa en un factor algo mayor que
20, quedando por debajo del 5% de su amplitud a partir de t=3τ como el
lector puede comprobar calculando e-3τ/τ=e-3. Cuando se trabaja con mayor
precisión, se considera que el transitorio se hace despreciable a partir de 5τ,
donde su amplitud es menos de la centésima parte de su amplitud inicial.
La Figura 2 muestra la forma temporal del decaimiento exponencial
de vC(t) obtenido a partir de la ecuación (1) para el caso de los circuitos de
la Figura 1 evolucionando o respondiendo libremente sin excitación (vi=0)
desde una tensión inicial del condensador VI=10V. Según lo comentado un
condensador de 1µF se descargará a través de una resistencia de 1KΩ en
unas tres milésimas de segundo y a través de una resistencia de 1MΩ en
unos tres segundos.
Figura 2

198. 198
La ecuación (1) sirve tanto para la descarga de un condensador a
través de una resistencia R, como para la carga del mismo a través de dicha
resistencia. Si en el circuito de la Figura 3 con el condensador inicialmente
descargado, cerramos bruscamente el interruptor en t=0, la carga del
condensador se regirá por la ecuación (1) sólo que ahoraVI (tensión inicial)
será cero y VF será de 10V.
Figura 3
La evolución temporal de la tensión en este caso es también un
transitorio exponencial como el de la Figura 2 sólo que empieza en cero
voltios con la máxima pendiente y tiende hacia 10V asintóticamente, con
una pendiente cada vez menor. La ecuación (1) particularizada a este caso
da la siguiente evolución temporal de vC(t):
vC (t ) = 10V × (1 − e ( − t / RC ) ) (2)
mientras que la descarga del condensador desde 10V hasta cero era, según
la ecuación (1):
vC (t ) = 10V × e ( − t / RC ) (3)
Como último caso de aplicación general de la ecuación (1) vamos a
considerar el circuito de la Figura 4 en el que supondremos que la tensión
inicial del condensador es VI=2V. Vamos a mostrar la evolución temporal
de vC(t) desde que en t=0 el interruptor pasa a la posición A y 10 segundos
después pasa a la posición B.

199. Diseño con Amplificadores Operacionales 199
Figura 4
Para aplicar la ecuación (1) hay que tener un circuito R-C como el de
las Figuras 1 ó 3. Sin embargo en la Figura 4, la parte izquierda del circuito
no es aún una resistencia y un generador de tensión en serie, por lo que hay
que obtener su equivalente Thèvenin, lo que da el circuito de la Figura 5,
que ya tiene la forma del circuito R-C serie necesario (Figuras 1 y 3).
Figura 5
En cuanto el interruptor conecta el condensador al punto A en t=0,
comienza la carga del condensador desde su valor inicial de 2V hacia su
valor final de 5V, que en rigor no alcanzará nunca (matemáticamente
hablando) pero que en unas 5 constantes de tiempo podríamos decir que
prácticamente los alcanza (error inferior al 0.7% de la amplitud total del
transitorio). La constante de tiempo τ1=500KΩ×2µF es de 1segundo en este
caso y como el interruptor permanece en la posición A durante 10s (10
veces τ1) podemos decir que la tensión del condensador habrá llegado
prácticamente a +5V tras un transitorio inicial desde 2V hasta 5V que duró
unos 3 segundos a partir de t=0. La Figura 6 ilustra esta evolución y
también muestra lo que sucede a partir de los 10s, momento en el que el
interruptor pasa bruscamente a la posición B.

200. 200
Figura 6
La evolución a partir de t=10s es la descarga primero y la carga, con
signo contrario después, del condensador al tratar de alcanzar una tensión
final VF=-10V partiendo de una tensión inicial VI=5V y todo ello regido
por la constante de tiempo τ2=1MΩ×2µF=2s. Si ahora deseamos algún dato
numérico debemos aplicar a cada tramo de la Figura 6 la ecuación (1).
Para el primer tramo, entre 0 y 10 segundos, tenemos:
vC (t ) = 5V + (2V − 5V ) × e ( − t / 1) (4)
Con la ecuación (4) podemos calcular cualquier cosa que nos interese
de este tramo. Como ejemplo podemos obtener el tiempo t3V en el que la
tensión del condensador pasó por 3V en su evolución hacia 5V. Este
tiempo, t3V=0.4 segundos, se obtiene haciendo vC(t)=3V en la ecuación (4),
lo que da: t3V=τ1×ln(3/2)=0,4s. Otro dato interesante es cómo de cercana a
5V era la tensión del condensador justo cuando empezó el siguiente tramo,
es decir, en t=10 segundos. Directamente: vC(t=10s)=4,9999V según la
ecuación (4). Como vemos hay 4 “nueves” detrás del 4, por lo que a efectos
prácticos la tensión del condensador es de 5V, cosa que ya anticipamos al
decir que el transitorio se habría “producido” en los 3 segundos iniciales
(3τ1) o incluso en los 5 primeros segundos si queremos más precisión y
ahora estamos en un tiempo t=10s que es 10 veces τ1 desde que comenzó
ese transitorio. Por ello, de cara al tramo 2 de la Figura 6 que comienza a
partir de los 10s, podemos considerar VI=5V. Nótese el nuevo origen de
tiempos cada vez que hay un cambio en el circuito, de cara a la aplicación
de la ecuación (1).

201. Diseño con Amplificadores Operacionales 201
Para el segundo tramo, con el nuevo origen de tiempos (t=0) a partir
de los 10 segundos, tendremos:
vC (t ) = −10V + [5V − ( −10V )]× e ( − t / 2 ) (5)
Con la ecuación (5) y considerando el nuevo origen de tiempos
indicado, es fácil ver que el tiempo transcurrido desde que empezó este
nuevo tramo hasta que la tensión en el condensador pasó por cero voltios,
fue de 0,8s: τ2×ln(15/10). Vista la forma de calcular la evolución temporal
de vC(t) en el circuito R-C serie básico, pasamos al estudio del comparador,
báscula o “trigger” de Schmitt que ya vimos en el Capítulo II y al que irá
ligado el empleo práctico de esa evolución del circuito R-C para el diseño
de circuitos monoestables y aestables básicos con AO.
V.3- Biestable básico: Trigger de Schmitt
En la Figura 7 se representa el biestable básico obtenido con un AO
y realimentación positiva que vimos en el Capítulo II. Conviene recordar
que para su análisis había que considerar uno de los dos estados posibles y
a partir de ello razonar su comportamiento en función de la excitación. En
el Capítulo II empleamos la patilla (-) del AO como entrada de control o de
disparo del “trigger” y vimos con qué tensiones podíamos hacerlo bascular.
Para fijar ideas y valores de tensiones vamos a considerar que el AO está
alimentado con ±12 voltios y que debido a su estructura interna, su tensión
de salida máxima es VOMAX=11V y por la misma razón su tensión de salida
mínima va a ser VOMIN=-11V. Por tanto, los dos estados posibles de este
biestable serán: el que llamaremos estado “1” con vo=VOMAX=+11V y el
que será el estado “0”, con una tensión de salida vo=VOMIN=-11V.
Figura 7

202. 202
El disparo mediante la patilla (-) se hacía excitando con una vi que
superase la tensión que el divisor resistivo R1-R2 realimentaba a la patilla
(+). Consideremos para fijar ideas que R2=9R1, con lo que dicho divisor
realimentará a la patilla (+) la décima parte de la tensión de salida, es decir:
v(+)=+1,1V en el estado “1” y v(+)=-1,1V en el estado “0”. Debido a ello,
si el biestable estuviera en el estado “1” y quisiéramos hacerlo bascular
hacia el estado “0” nos bastaría con poner una tensión vi>1,1V. Una vez
cambiado el estado, la tensión vi puede volver a cero voltios o permanecer
en el valor que consiguió disparar al biestable. Lo habitual es tener el
primer caso a consecuencia de un circuito de excitación basado en un R-C
diferenciador o paso-alto en la entrada de disparo. La Figura 8 muestra este
tipo de circuito empleado para disparar el biestable con el flanco de un
pulso producido por un generador.
Figura 8
Considerando despreciable la corriente absorbida por la patilla (-) del
AO (cosa bastante cierta debido a su su tecnología de fabricación, aunque
ahora no hay ITV(SC) que la haga prácticamente nula) la tensión de
disparo vdis apenas se verá influida por esa débil corriente que no circula a
través de R porque va hacia el AO. De este modo, cuando vg efectúe una
brusca transición desde cero voltios hasta 5V por ejemplo, vdis presentará
un pico de 5V de amplitud que luego decaerá exponencialmente con una
constante de tiempo τ=RC. Esto no es más que la consecuencia de la
evolución temporal de la carga del condensador (inicialmente descargado),
regida por la ecuación (1) como vimos antes. En la Figura 9 se representan
estas señales junto con la señal de salida del biestable que suponemos que
estaba en el estado “1” cuando se produjo la transición de vg.

203. Diseño con Amplificadores Operacionales 203
Figura 9
La forma de onda vdis se obtiene al restar a vg la tensión del
condensador en cada instante de tiempo y ésta se obtiene con la ecuación
(1) aplicada en cada cambio brusco de vg. Nótese que debido a ello aparece
un pico positivo en vdis cuando vg cambia de 0V a 5V (transición hacia
arriba) y aparece un pico negativo cuando vg hace la transición hacia abajo
(5V→0V). El valor del producto RC se suele elegir lo suficientemente bajo
como para que la forma de onda de vdis sean esos picos estrechos que
durante un corto intervalo de tiempo hacen que la tensión vdis sea mayor
que el valor necesario para hacer bascular al biestable. Por ello la constante
de tiempo τ=RC suele estar en torno al microsegundo, aunque en función
de las velocidades de conmutación puede variar entre ns y ms.
Con los picos de vdis de la Figura 9 haríamos bascular nuestro
biestable tanto desde el estado “1” hacia el estado “0” (con el pico positivo)
como desde el estado “0” hacia el estado “1” (con el pico negativo). Si no
deseáramos dispararlo con el pico negativo por ejemplo, un simple diodo
en paralelo con R en la Figura 8 y con su ánodo hacia masa, sería suficiente

204. 204
para limitar a unos 0,6V la amplitud negativa de pico de vdis. Estos -0,6V
en vdis son insuficientes para disparar al biestable, porque necesita una
tensión menor que –1.1V (más negativa).
Otra forma de disparar el biestable de la Figura 7 es aplicando señal
a su patilla (+). El circuito de la Figura 10 muestra la forma de hacerlo y en
comparación con la Figura 8, permite ahorrar una resistencia al emplearse
la propia R1 (en rigor la combinación en paralelo de R1 y R2) junto con el
condensador Cd para formar el circuito R-C paso-alto que se necesita para
generar los pulsos estrechos de disparo. El funcionamiento del circuito se
describe a continuación. Estando el biestable en el estado “1”, en su patilla
(+) habrá +1,1V. Si ahora el generador vg hace una transición “hacia abajo”
(por ejemplo desde +5V hasta 0V) el pico negativo de 5V que tiende a
aparecer sobre R1 hará bascular al biestable hacia su estado “0”.
Figura 10
En efecto, la superposición de los +1,1V que hay sobre R1 debido a
que vo=11V (estado “1”) y de los –5V de pico debidos a vg y Cd darán una
tensión neta de –3,9 vóltios en esa patilla (+) del AO y éste basculará a su
estado “0” con vo=-11V. Esto creará casi instantáneamente sobre R1 una
tensión de -1,1V que se sumará a los casi –5V de pico debidos a vg y Cd,
por lo que el circuito seguirá, con mayor motivo si cabe, en ese estado “0”.
Pasado el transitorio de carga de Cd, una transición “hacia arriba” de vg (por
ejemplo de 0V hacia 5V) generará un pico de +5V sobre R1 que sumados a
sus –1,1V debidos al estado “0” del biestable, darán lugar a una tensión en
la patilla (+) de +3,9V que hará bascular al biestable hacia el estado “1”.
Este circuito de la Figura 10 va a ser la base del próximo apartado donde
veremos cómo pasar, del biestable que tenemos hasta ahora, a un circuito
monoestable que sólo tenga un estado estable y no dos. Una última

205. Diseño con Amplificadores Operacionales 205
consideración respecto al caso real con un generador vg que tendrá cierta
resistencia en serie Rg. El valor de Rg se sumará al de R1 en paralelo con R2
dando un valor total de resistencia R que junto con Cd definirá la constante
de tiempo τ=RCd que determinará la anchura de los pulsos de disparo
aplicados a la patilla (+) del AO. Por otra parte, Rg también formará cierto
atenuador con R1R2, de modo que no toda la amplitud del pico de tensión
aparecerá sobre R1R2, sino la fracción: R1R2/(R1R2 +Rg), por lo que
habrá que tenerlo en cuenta para calcular la amplitud necesaria de vg.
V.4- Monoestable con AO
Si tomamos el biestable básico con AO (trigger de Schmitt) y le
añadimos una realimentación negativa selectiva en cuanto a la tensión de
salida o “estado” del del biestable (véanse las realimentaciones negativas
ocasionales del Capítulo anterior), podemos hacer que uno de los dos
estados estables del biestable deje de ser estable en el tiempo. Obtenemos
así un circuito (o un sistema por tener doble realimentación) que podríamos
considerar globalmente dominado por la realimentación positiva, pero que
posee cierta realimentación negativa que le da una interesante propiedad
como veremos enseguida. Esto es lo que hemos hecho en el circuito de la
Figura 11, que como vemos es el de la Figura 10 con una realimentación
negativa ocasional añadida.
Figura 11
Además del circuito de disparo formado por vg y Cd, vemos el del
biestable básico formado por el AO junto con R1 y R2. También vemos un
circuito R-C que produce realimentación negativa a la patilla (-) y hay un

206. 206
diodo recortador o limitador (D) que hace que la realimentación negativa
sea ocasional: grande para uno de los estados del biestable y pequeña o
insuficiente para el otro. Tal y como está conectado el diodo, la RN puede
ser grande para el estado “1”, en el que el condensador C tenderá a cargarse
a través de R hasta tensiones positivas de +11 voltios si no hay algo que lo
impida, porque el diodo D no lo hará al estar en inversa con esas tensiones.
Por tanto, pueden realimentarse tensiones positivas altas a la patilla (-) del
AO, que van a hacer inestable ese estado “1”. Por el contrario, en el estado
“0” la tensión de salida será de –11V y el condensador tenderá a cargarse
con una tensión negativa a través de R. Sin embargo no se cargará mucho,
porque en cuanto alcance –0,6V el diodo entrará en conducción y no dejará
que esa tensión disminuya más. Como en la patilla (+) tendremos –1.1V,
esos -0,6V serán incapaces de hacer bascular al circuito que se encuentra en
su estado “0”. Este será el único estado estable del circuito y de ahí deriva
su nombre de monoestable. En este estado la realimentación global del AO
es positiva, pero vemos que en rigor existen dos tipos de realimentación
Si estando en el estado “0” disparamos el circuito mediante una
transición brusca de vg desde 0V hasta 5V por ejemplo y lo pasamos al
estado “1”, el tiempo que durará en este estado será el necesario para que la
tensión del condensador alcance el valor de vC=1,1V partiendo de una
tensión inicial vi=-0,6V. Esta carga se realiza a través de R y el valor final
al que tiende la tensión del condensador es en nuestro caso de +11V (la
tensión de salida en estado “1”). La Figura 12 muestra el circuito y los
valores de las tensiones para esta carga del condensador, que se va a ser
interrumpida en vC=+1,1V cuando el circuito pase desde su estado inestable
“1” hasta su estado estable “0”.
Figura 12

207. Diseño con Amplificadores Operacionales 207
La evolución de la tensión del condensador aparece en la Figura 12
donde puede verse que en cuanto vC(t) alcanza el valor de +1,1V el circuito
bascula y vuelve al estado “0”. Por tanto, la tensión del condensador parte
ahora de un valor inicial VI=+1,1V y tiende a otro final VF=-11V, pero en
cuanto alcanza vC(t)=-0,6V ahí se queda indefinidamente debido a que el
diodo entra en conducción. El diodo queda conduciendo una corriente ID
constante que absorbe el AO a través de la resistencia R, cuyo valor será:
− 0.6V − (−11V ) 10.4V
ID = =
R R (6)
Según la ecuación (6) si queremos que ID sea de sólo 1 miliamperio
(para no forzar la salida del AO de forma que pueda absorber esa corriente
cómodamente) el valor de R debe ser de unos 10KΩ. Por otra parte, el
tiempo Tpulso que el circuito permanecerá en el estado inestable tras ser
disparado vendrá dado por la siguiente particularización de la ecuación (1):
+ 1.1V = 11V + (− 0.6V − 11V ) × e
( −T pulso / RC )
(7)
Durante el tiempo Tpulso la salida del circuito permanecerá en +11V y
luego volverá al estado “0” de –11V. Por tanto, disparando el monoestable
de la Figura 11 hemos generado un pulso de nivel alto (+11V) de duración
fija dada por la ecuación (7). Esa duración fija de pulso es en nuestro caso:
Tpulso=RC×ln(11,6/9,9)=0,16RC. Para obtener pulsos de 1 milisegundo de
duración cada vez que disparemos el monoestable, el valor de C necesario
será de 625nF habida cuenta del valor R=10KΩ que elegimos al comentar
la ecuación (6). De lo anterior se desprende una posible aplicación de los
monoestables: regenerar pulsos que puedan llegar degradados. Si nos las
ingeniamos para que disparen al monoestable, este dará a su salida pulsos
de amplitud y duración conocidas en respuesta a los de entrada, que pueden
llegar distorsionados en forma, anchura y amplitud.
Una última advertencia sobre el monoestable: necesita un tiempo de
recuperación (Trecup) tras haber estado en el estado inestable a fin de que su
estado estable se alcance plenamente, de modo que ante un nuevo disparo
el pulso de salida sea exactamente como el descrito. Ello requiere que la
tensión del condensador haya vuelto a ser de –0.6V y como puede verse en
la Figura 12, el tiempo Trecup es el que tarda el condensador C en volver a
tener –0,6V partiendo de VI=+1,1V y tendiendo a –11V=VF. La ecuación
(1) particularizada para esta descarga nos da:

208. 208
− 0.6 = −11 + (1.1 − (−11) ) × e
( −Trecup / RC )
(8)
En nuestro caso ese tiempo de recuperación es de: trecup=0,94 ms
(RC×ln(12,1/10,4)=0,15RC) y significa que el monoestable de la Figura 11
puede dar pulsos, todos ellos de 1 ms de duración, si no lo disparamos más
de 500 veces por segundo, porque tras dar un pulso de 1ms con vo=+11V,
necesita recuperarse durante 0,94 ms. Por tanto T=1+0,94=1,94ms y el
inverso del periodo T viene a ser una frecuencia de repetición de 515Hz.
V.5- Aestable con AO
Acabamos de ver los interesantes efectos que produce el añadir una
realimentación negativa ocasional al biestable obtenido al realimentar
positivamente un AO. Vamos a ir más allá haciendo que la realimentación
negativa no tenga límite para ninguno de los estados del biestable. En otras
palabras: vamos a eliminar el diodo D del circuito de la Figura 11 y de paso
el circuito de disparo (generador vg y condensador Cdis) que como veremos,
ya no van a ser necesarios. Así obtenemos el circuito de la Figura 13 que
pasamos a analizar a continuación.
Figura 13

209. Diseño con Amplificadores Operacionales 209
Para aprovechar lo visto en el monoestable seguiremos suponiendo
que el AO, alimentado a ±12V, es capaz de dar a su salida ±11V y además
mantendremos el divisor R1-R2 que atenuaba por 10 la tensión de salida y
la realimentaba a la entrada (+) del AO. Por tanto, con la salida en estado
“1” la patilla (+) del AO tendrá una tensión realimentada de +1,1V y con la
salida en estado “0”, esa tensión realimentada será de –1,1V. Con estas
premisas pasamos a analizar la evolución temporal del circuito, suponiendo
además que inicialmente el condensador está descargado y que nada más
conectar la alimentación de ±12V al AO, éste “elige” el estado “1” por
ejemplo, debido a una tensión de ruido que puede aparecer en R1.
En esa situación el condensador empezará a cargarse desde VI=0V,
tendiendo a alzanzar los +11V de vo en estado “1”. No obstante en cuanto
alcance +1,1V (en rigor en cuanto supere ligeramente +1,1V) el circuito
basculará y pasará al estado “0” con vo=-1,1V. Por ello el condensador
empezará a descargarse desde VI=+1,1V, tendiendo hacia VF=-11V y como
se descarga a través de la resistencia R, deberemos aplicar la ecuación (1)
con estos valores inicial y final para calcular el tiempo tBA en el que el
circuito está en el estado “0”. Ese tiempo será el necesario para alcanzar la
tensión de –1,1V partiendo desde +1,1V y tendiendo hacia -11V.
Tenemos por tanto:
− 1.1 = −11 + (1.1 − (−11) ) × e ( −t BA / RC ) (9)
De donde se deduce que el tiempo que el circuito estará en el estado
“0” es: tBA=RC×ln (12,1/9,9)=0,2RC. De igual modo, el tiempo tAL que el
circuito estará en estado “1” será el necesario para que el condensador, que
acaba de alcanzar vC=-1,1V (en rigor un valor ligeramente más negativo
para provocar el basculamiento de estado “0” a estado “1”), pase a tener
vC=+1,1V mientras va tendiendo hacia VF=+11V cargándose a través de R.
Volviendo a aplicar la ecuación (1) con estas condiciones, tenemos:
+ 1.1 = +11 + (− 1.1 − 11) × e ( −t AL / RC ) (10)
De la ecuación (10) obtenemos que el tiempo en que el circuito está a
nivel alto es: tAL=RC×ln (12,1/9,9)=0,2RC. Es decir: los tiempos tBA y tAL
son iguales y como hemos ido viendo, el circuito es inestable en cualquiera
de los dos estados debido a la realimentación negativa a través del divisor
R-C. Así hemos obtenido un circuito conocido como aestable, que genera
una señal cuadrada de salida sin necesidad de entrada alguna. Tenemos por
tanto un generador de onda cuadrada elemental construido mediante un AO

210. 210
y cuatro componentes pasivos, tres resistencias y un condensador, como
puede verse en la Figura 13. Este circuito sería el aestable más sencillo que
podemos obtener con un AO y es la base conceptual de los osciladores
basados en circuitos generativos, también conocidos como multivibradores,
debido a la señal cuadrada que generan, muy rica en armónicos de
frecuencias múltiplos de la fundamental.
La Figura 14 muestra las formas de onda del condensador vC(t) y de
salida vo(t) correspondientes al aestable de la Figura 13 una vez que ha
arrancado. Como puede verse, el período de la señal es T=tBA+tAL=0,4RC.
Para obtener una señal de 1KHz (T=10-3 segundos) manteniendo el valor de
R=10KΩ para que las corrientes de carga y descarga del condensador no
superen el mA, necesitamos un condensador: C=10-3/(0,4×104)=0,25µF. El
valor del condensador no es demasiado grande por lo que puede ser uno de
poliéster que no tiene polaridad como los electrolíticos. Un electrolítico no
serviría porque en esta aplicación necesita cargarse con las dos polaridades.
Este aspecto hay que tenerlo en cuenta en frecuencias bajas, donde se
requieren grandes constantes RC. Para estos casos hay que emplear valores
de resistencias lo más altos posibles a fin de que el condensador pueda ser
uno sin polaridad. Así un valor de R=10MΩ y el mismo C=0,25µF darían
una frecuencia de 1Hz, pero las corrientes de carga y descarga de C serían
1000 veces más débiles, en torno a 1.1µA. Para que las corrientes Ibias de
polarización del AO no afectasen a los tiempos tBA y tAL, deberían ser
mucho menores que 1.1µA, por lo que sería recomendable un AO con
entrada FET en este caso.
Figura 14

211. Diseño con Amplificadores Operacionales 211
V.6- Sistemas con AO y realimentación positiva
Los tres subsistemas que hemos visto con AO y RP nos han
permitido presentar las ideas básicas sobre biestables, monoestables y
aestables al ir añadiendo realimentación negativa cada vez más amplia. Así
hemos llegado al aestable básico con AO en el que había dos divisores
pasivos realimentando señal desde la salida hacia la entrada. Uno de los
divisores era resistivo puro y realimentaba positivamente al AO y el otro
era un R-C paso-bajo y lo realimentaba negativamente. A causa de esta
doble realimentación, el aestable y el monoestable entrarían en la categoría
de sistemas con AO según la Introducción del Capítulo IV, pero vamos a ir
más allá para considerar sistemas con más de un AO y más de una
realimentación. Tambien hemos visto que estos circuitos se estudian por lo
general en el dominio del tiempo (transitorios de carga y descarga de
condensadores) debido al tipo de señales presentes en los mismos. Esta es
una diferencia clara respecto a aquellos con sólo RN, que generaban una
ITV(SC) entre las entradas del AO y permitían trabajar en pequeña señal
con circuitos equivalentes lineales y el concepto de impedancia para
señales alternas senoidales que vimos en los capítulos anteriores.
Si tratamos de emplear este concepto de impedancia en el biestable
de la Figura 13 para tratar de ver qué realimentación domina, encontramos
la variable frecuencia. Así a bajas frecuencias podríamos decir que el
divisor R-C apenas atenúa la señal de salida y la realimenta a la entrada
casi en su totalidad. Como el divisor R1-R2 atenúa por igual a cualquier
frecuencia, diríamos que en bajas frecuencias domina la realimentación
negativa y en altas frecuencias domina la realimentación positiva (porque
el condensador C apenas deja que aparezca tensión de señal realimentada
en la patilla (-) si la frecuencia de la señal es alta). De la pugna entre estas
dos realimentaciones y el hecho adicional del desfasaje de 90º que
introduce el circuito R-C, surge la oscilación que genera el circuito. Sin
embargo, en este dominio de la frecuencia las cosas no quedan muy claras,
por lo que vamos a ver la cuestión en el dominio del tiempo.
En este dominio las cosas se pueden ver mejor considerando que el
divisor R1-R2 produce una realimentación positiva (RP) constante de valor
R1/(R1+R2) veces vo (factor 0.1 en nuestro caso con R1-9R1). Sin embargo
el divisor R-C produce una realimentacion negativa creciente en el tiempo
a medida que se va cargando C, que tras un intervalo de tiempo suficiente
pasa a dominar durante un breve instante a la positiva y hace bascular al
circuito. Una vez ha basculado, la RP vuelve a dominar hasta que tras otro
intervalo de tiempo vuelva a dominar la negativa durante un breve instante
y se produzca un nuevo basculamiento en sentido contrario, repitiendose el
ciclo indefinidamente. Según esto la mayor parte del tiempo domina la
realimentación positiva y sólo durante un breve tiempo, justo para producir

212. 212
la conmutación, domina la negativa. Por tanto podríamos considerar que el
aestable de la Figura 13 y con más motivo el monoestable y el biestable
que vimos antes, son circuitos con Realimentación Global Positiva (RGP)
teniendo en cuenta que en ellos la RP domina a la RN durante la mayor
parte del tiempo.
Los tres subsistemas con RGP que hemos visto son bastante básicos
y han sido propuestos con la idea de que posibles aspectos secundarios no
oscurezcan las ideas principales. Refinamientos posteriores como circuitos
limitadores de cierta precisión que hagan más exacta y repetitiva la
temporización en el circuito, han sido eliminados a propósito con el
objetivo de no tener “unos árboles que no dejen ver el bosque”. De este
modo las ideas expuestas permiten abordar sin dificultad los sistemas con
RGP que se encuentran en la vida real. Un ejemplo interesante puede ser la
combinación de un “trigger” de Schmitt y un integrador-inversor basado en
AO como el que vimos al final del Capítulo IV, para obtener un generador
de señales cuadradas y triangulares. En este caso el integrador-inversor va a
ser el circuito que realimente negativamente señal hacia la entrada del
biestable basado en AO. Como es inversor, deberá hacerlo a la entrada (+)
del biestable y no a la entrada (-), como lo hacía el divisor R-C (un tipo de
integrador no inversor) en el circuito de la Figura 13. Así llegamos al
circuito de la Figura 15 en el que hay varias realimentaciones.
Figura 15

213. Diseño con Amplificadores Operacionales 213
La primera realimentación que vamos a considerar es la RN local de
AO2 a través del condensador C. Ella genera una ITV(SC) entre sus
entradas (+) y (-) por lo que la tensión de la patilla (-) será cero. Ello hará
que una tensión del AO1 de valor vo=VOMAX, produzca una corriente
constante a través de R de valor VOMAX/R y esta corriente es la que entrará
al condensador C. Para que ello ocurra, la tensión de salida del AO2 debe
decrecer linealmente en el tiempo con un ritmo dado por:
− I CARGA − VOMAX
vT (t ) = × ∆t = × ∆t
C RC (11)
En otras palabras, la tensión vT(t) será una rampa lineal decreciente
de pendiente (VOMAX/RC) cuando el biestable formado por el AO1, R1 y R2
esté en el estado “1” (vo=VOMAX) y será una rampa lineal creciente de
pendiente (VOMIN/RC) cuando ese biestable esté en su estado “0” dando una
tensión de vo=VOMIN.
Ahora la superposición de los efectos debidos a los generadores vo y
vT dará la tensión v(+) de la patilla (+) del AO1. Tendremos:
R1 R2
v(+) = vo (t ) × + vT (t ) ×
R1 + R2 R1 + R2 (12)
Vamos a ver la evolución del circuito de la Figura 15 suponiendo que
nada más conectar la alimentación a los AO, el condensador C se encuentra
descargado y debido a cualquier ruido electrónico el biestable comienza
estando en su estado “1” (vo=VOMAX). En estas condiciones la tensión en la
patilla (+) vendrá dada por la ecuación (12) y nada más empezar sólo
tendrá el primer término que aparece “instantáneamente”. Sin embargo, a
medida que pase el tiempo el segundo término irá restándose del primero
hasta conseguir anularlo. Esto ocurrirá cuando haya transcurrido un tiempo
∆t1 tal que:
R1 V R2
VOMAX × = OMAX × × ∆t1
R1 + R2 RC R1 + R2 (13)
El valor de este intervalo de tiempo es: ∆t1=RC×(R1/R2) y como
vemos no depende del valor VOMAX que pueda dar el AO1 a su salida

214. 214
porque las dos realimentaciones que llegan a la entrada (+) dependen
linealmente de vo y por tanto de VOMAX. Esas dos realimentaciones son: la
positiva mediante R1 y R2 a la patilla (+) del AO1 y la negativa a esa misma
patilla a través del integrador-inversor construido en torno al AO2. En la
ecuación (12) se puede ver cómo se superponen sus efectos.
Volviendo al circuito, una vez transcurrido ∆t1 la tensión en la patilla
(+) del AO1 se habrá anulado y en rigor cuando sea ligerísimamente
negativa, el biestable basculará y pasará a su estado “0”, de modo que vo
pasará a ser el valor más negativo que puede dar el AO2 a su salida que es
VOMIN. Esto generará instantaneamente un primer término negativo en la
ecuación (12) debido a la realimentación positiva mediante R1 y R2 de la
nueva tensión de salida VOMIN que es negativa. Ese nuevo término negativo
se sumará al término negativo debido a la tensión negativa acumulada en
VT, la que el condensador acaba de alcanzar y que acaba de provocar el
basculamiento hacia el estado “0” que estamos estudiando. Ese valor nos
viene dado por la ecuación (13), por lo que el término total negativo inicial
de la ecuación (12) será ahora:
 R1 R1 
VOMAX ×
− + VOMIN × 
 R1 + R2 R1 + R2  (14)

donde hemos puesto un signo “menos” global y por ello hemos usado el
módulo de VOMIN ya que VOMIN es negativa (por ejemplo: –11V para un AO
alimentado a ±12V).
Por otra parte la tensión VOMIN en vo creará una corriente saliente del
integrador a través de la resistencia R que, como atraviesa el condensador
C, hará que la tensión vT empiece a crecer linealmente en el tiempo con un
ritmo dado por:
I CARGA VOMIN
vT (t ) = × ∆t = × ∆t
C RC (15)
Volviendo a utilizar la ecuación (12) con su primer término dado por
la ecuación (14) y con el efecto debido a la tensión creciente en el tiempo
de la ecuación (15), el tiempo ∆t2 que el biestable estará en el estado “0”
será el necesario para que se vuelva a anular la tensión v(+) que empezó
siendo negativa con el valor inicial dado por la ecuación (14). Tendremos
por tanto:

215. Diseño con Amplificadores Operacionales 215
VOMIN
(VOMAX + VOMIN )× R1
= ×
R2
× ∆t2
R1 + R2 RC R1 + R2 (16)
El valor de este intervalo de tiempo es:
R1  VOMAX 
∆t 2 = RC × ×
V + 1

R2  OMIN  (17)
valor que se reduce a: ∆t2=2RC×(R1/R2) si la tensión negativa de saturación
de la salida del AO1 (VOMIN) es igual en módulo a la tensión positiva de
saturación de la salida del mismo AO. No obstante la ecuación (17) puede
ser bastante útil en casos especiales donde la alimentación +Vcc de los AO
sea de +12V y la tensión de alimentación –Vcc de los mismos sea –6V por
ejemplo.
Una vez transcurrido ∆t2, el condensador habrá adquirido una tensión
vTmax que estará anulando exactamente la realimentación positiva de VOMIN
a través de R1 y R2. Esa tensión anulará la ecuación (12), por lo que
tendremos:
R1 R2
VOMIN × = vTmax ×
R1 + R2 R1 + R2 (18)
Cuando ello ocurra se producirá el basculamiento del biestable a su
estado “1”, lo que provocará la aparición instantánea en la patilla (+) del
AO1 de un término debido a esta vTmax y del debido a la realimentación a
través de R1 y R2 de la nueva tensión VOMAX. Ello supone un término
positivo de valor:
 R1 R1 
 VOMIN ×
 + VOMAX × 
 R1 + R2 R1 + R2 
 (19)
La tensión VOMAX en vo creará una corriente entrante hacia el
integrador a través de R que, como también atraviesa el condensador C,

216. 216
hará que la tensión vT empiece a decrecer linealmente en el tiempo con un
ritmo dado por la ecuación (11). Volviendo a emplear la ecuación (12) con
el término inicial dado por la ecuación (19) y el efecto del término
decreciente lineal de vT que acabamos de ver, hará falta un tiempo ∆t3 para
anular v(+) que vendrá dado por:
(V OMIN + VOMAX )×
R1 V
= OMAX ×
R2
× ∆t3
R1 + R2 RC R1 + R2 (20)
El valor de ese intervalo de tiempo es:
R1  VOMIN 
∆t3 = RC × ×
V + 1

R2  OMAX  (21)
valor que se reduce a: ∆t2=2RC×(R1/R2) si ocurre que VOMAX=VOMIN. No
obstante la ecuación (21) puede ser útil en casos especiales donde la
alimentación de los operacionales no sea simétrica como se comentó
respecto a la utilidad de la ecuación (17).
Transcurrido ∆t3 el biestable bascularía de nuevo hacia el estado “0”.
Como las condiciones de carga del condensador C son las mismas que
teníamos al comienzo de ∆t2, volvería a ocurrir lo que ya hemos comentado
y un nuevo intervalo ∆t2 empezaría tras este ∆t3 y así sucesivamente. Por
tanto, el periodo T de la señal de salida será: T=∆t2+∆t3 que se reduce a
T=4RC(R1/R2) para un AO con una alimentación simétrica adecuada de
modo que VOMAX=VOMIN.
En la Figura 16 aparecen las formas de onda de vo(t) (señal cuadrada
que oscila entre VOMAX y VOMIN) y de vT(t), señal triangular cuya amplitud
depende de la relación R1/R2 según la ecuación (18). Una ecuación similar
a la ecuación (18) se obtiene para el mínimo valor de vT, que será un valor
negativo vTmin que anulará en la patilla (+) del AO1 el efecto de vo=VOMAX.
Así tendremos:
R1 R2
VOMAX × = vTmin ×
R1 + R2 R1 + R2 (22)

217. Diseño con Amplificadores Operacionales 217
Por tanto, la señal vT(t) es una señal triangular que oscila entre un
valor mínimo negativo VTMIN=-VOMAX×(R1/R2) y un valor máximo positivo
VTMAX=+VOMIN×(R1/R2). Suponiendo que las tensiones extremas, tanto
positiva como negativa, que puede dar el AO2 a su salida son similares a
VOMAX y aVOMIN del AO1, se necesita que R1 sea menor que R2 para que la
RN a través del integrador llegue a anular a la realimentación positiva a
través de R1 y R2 en el biestable, situación que provoca el basculamiento
del biestable en uno u otro sentido. Para dibujar las señales de la Figura 16
se ha supuesto VOMAX=VOMIN de modo que la señal cuadrada presenta un
nivel alto durante el 50% del periodo y un nivel bajo durante el otro 50%.
Asimismo se ha tomado R2 igual al doble de R1 de modo que la amplitud
pico a pico de VT(t) es la mitad de la amplitud pico a pico de vo(t) como se
deduce de las ecuaciones (18) y (22). También se ha dibujado en la Figura
16 el arranque del sistema con el condensador descargado (intervalo de
tiempo ∆t1) que hemos descrito al principio.
Figura 16
Con la igualdad VOMAX=VOMIN las pendientes positiva y negativa
de la señal vT(t) son iguales, según las ecuaciones (11) y (15). Ello hace
que el ciclo de trabajo de la señal de salida sea del 50% (∆t2=∆t3), pero este
no será el caso general, ya que la tolerancia en la propia alimentación del
AO (±12V nominales pueden ser +11.9V y –12.2V por ejemplo) o debido a
su estructura interna, no sería extraño tener una señal de salida algo menos
simétrica, con un 49% del tiempo en el estado “1” y el 51% restante en el
estado “0”. Ello supondría una pendiente de bajada en vT(t) algo mayor que

218. 218
su pendiente de subida y como la pendiente de bajada es proporcional a
VOMAX, esa situación estaría indicando que la corriente VOMAX/R que entra
en el condensador es algo mayor que la corriente VOMIN/R que sale del
mismo a través de R también.
El razonamiento anterior nos da una idea para corregir cualquier
pequeña asimetría del ciclo de trabajo que consiste en sumar o restar cierta
corriente constante al condensador, aprovechando los cero voltios que la
RN local del AO2 a través de C, crea en su patilla (-). Esta es la misión de
la resistencia RSIM y del potenciómetro PSIM que aparecen en el circuito de
la Figura 17. Si el cursor de PSIM está en su posición central, su tensión será
cero y no circulará corriente extra a través de RSIM hacia el condensador.
Sin embargo, si tal cursor se desplaza hacia el lado de +12V, entrará algo
de corriente al condensador que reforzará la que entra cuando vo(t)=VOMAX,
haciendo más corto ∆t3 y más largo ∆t2, porque esa corriente a través de
RSIM debilitará la que sale del condensador cuando vo(t)=VOMIN. Si por el
contrario el cursor se desplaza hacia los –12V, habrá cierta corriente que
saldrá a través de RSIM y que producirá justo efectos opuestos, haciendo
más largo ∆t3 y más corto ∆t2.
Figura 17
Con lo que hemos visto ya podemos diseñar por completo el sistema
electrónico de la Figura 17 y dar valores a sus componentes con el fin de

219. Diseño con Amplificadores Operacionales 219
cumplir unos cuantos requisitos o especificaciones que pueden ser los
siguientes:
1- Posibilidad de variar el ciclo de trabajo en ±5% para ajustar simetría.
2- Frecuencia de salida nominal de de 10 KHz, ajustable en ±5%.
3- Amplitud de la onda triangular no inferior a 3V de pico.
4- Empleo de un AO con salida de tipo “rail to rail” capaz de entregar a su
salida VOMAX≈+VCC y VOMIN≈-VCC.
Con la alimentación de ±12V de la Figura 17, los requisitos 3 y 4,
junto con la ecuación (22) nos dan un valor mínimo para la relación R2/R1
que es: R2/R1<12/3, lo que supone R2<4R1. Con R2=3R1 tendremos una
amplitud nominal de señal triangular de 4 voltios. Tomando ahora R1+R2
del orden de 10KΩ para que las corrientes a través de R1 y R2 sean del
orden del mA, tendremos R2=7.5KΩ y R1=2.5KΩ. Así cuando en vo haya
+12V y vT(t) sea de –4V (momento en que vo va a conmutar hacia –12V,
véase la Figura 16) la corriente a través de R1 y R2 será de 1.6 mA, valor
que no es excesivo para la salida del AO1 que típicamente puede dar
corrientes del orden de la decena de mA. Esa corriente además debe ser
absorbida por la salida del AO2, que podrá también hacerlo sin problemas
dado su valor razonable. Por motivos similares la resistencia R va a ser de
10 KΩ para que el AO1 sólo deba dar a su salida 1.2 mA para cargar el
condensador cuando vo=VOMAX y sólo deba absorber 1.2 mA por su salida
cuando su tensión de salida sea vo=VOMIN.
Con las ecuaciones (17) y (21) y el requisito (4), el periodo de la
señal de salida será: T=4RC(R1/R2). Los valores ya elegidos de R1, R2 y R
y el requisito (2) que supone T=10-4 segundos, nos definen el valor de C
necesario que es: C=3T/4R=7.5 nF.
En cuanto al circuito de ajuste de simetría de la onda de salida, que
debe permitir la variación de ±5% en los valores de ∆t2 y ∆t3, una primera
aproximación para RSIM es que su valor sea 20 veces mayor que el de R.
Así con el cursor de PSIM en el extremo de +VCC la corriente entrante hacia
el condensador a través de RSIM será 20 veces menor que la que entra a
través de R con vo=VOMAX=+VCC. Sin embargo esto reducirá ∆t3 en un 5%
y aumentará ∆t2 en otro 5%, resultando una variación total del ciclo de
trabajo del 10% (el doble de lo que se pide en el requisito 2). Por tanto RSIM
deberá ser el doble, es decir: 40 veces R (RSIM=400KΩ). Como el cursor de
PSIM tiene como efecto de carga el debido a RSIM, el valor de PSIM deberá ser
bastante más bajo que 400KΩ para que tal efecto de carga no altere mucho
la tensión que habría en el cursor de PSIM en vacío, debido a su posición.
Un valor de PSIM de unos 20 KΩ ya sería adecuado porque la resistencia del
equivalente Thèvenin visto entre el cursor de PSIM y masa con dicho cursor

220. 220
en su posición central es de 10KΩ. Con el cursor en cualquier otra posición
esa resistencia es menor todavía, por lo que parece adecuada para atacar a
RSIM=400KΩ sin que se forme apenas un atenuador que cambie mucho la
tensión seleccionada entre +VCC y –VCC por el cursor de PSIM. En cuanto a
la potencia disipada por PSIM=20KΩ al estar colocado entre +12V y –12V
será de: (24)2/20000=29mW, razonable para un potenciómetro multivuelta
que permita un ajuste preciso de la posición de su cursor.
La Figura 18 ya nos muestra el esquema completo con los valores
que hemos ido obteniendo y donde hemos añadido además una entrada de
señal moduladora vm (de frecuencia menor que 10KHz, típicamente por
debajo del KHz) que producirá una modulación electrónica de anchura de
pulsos (PWM). Ello se basa en el mismo efecto que produce la tensión
seleccionada por PSIM y así, cuando vm es positiva, decrece ∆t3 y aumenta
∆t2, sucediendo lo contrario cuando vm es negativa. Esta entrada PWM se
ha diseñado de modo que una señal vm de 6 voltios de amplitud produzca
una variación del ciclo de trabajo del 20%. El lector debería saber decir por
qué ello es así y por qué la impedancia de entrada de esta entrada de
modulación PWM es de 50KΩ.
Figura 18
Finalmente hay que cumplir el requisito 2, dotando al circuito de una
forma de ajustar la frecuencia en un ±5%. Como variar el condensador C es

221. Diseño con Amplificadores Operacionales 221
más caro en general que variar una resistencia, podíamos elegir entre variar
R, R1 o R2. Variar R es quizá la opción más directa, pero no nos ha
parecido bien porque al hacerlo para cambiar la frecuencia, cambia la
corriente de carga del condensador. Debido a ello, al ajustar la frecuencia,
habría que retocar también algo el ajuste de simetría PSIM y preferimos que
los ajustes de simetría y frecuencia de la onda sean independientes. Por ello
hemos optado por variar un poco R1 (un ±5%) que como sabemos hará
variar un ±5% la amplitud de la onda triangular. No obstante esta variación
no nos hace incumplir el requisito 3, porque fuimos previsores y diseñamos
el sistema para tener 4 voltios de amplitud de pico en la señal triangular
cuando nos pedían un valor mínimo de 3V. El que ahora esa amplitud se
quede en el margen de 4±0,2 voltios como consecuencia del ajuste fino de
la frecuencia, no supone ningún problema de cara a cumplir los requisitos.
Por ello, la resistencia R1 de 2500Ω se ha descompuesto en una resistencia
fija de 2375Ω (2K4 en el esquema) en serie con una resistencia variable
(realmente un potenciómetro configurado como tal) PFRE de 250Ω. Con el
cursor de PFRE en el centro, la combinación serie de esas dos resistencias
será igual a 2500Ω. Variando la posición del cursor podremos obtener
cualquier valor entre 2375Ω y 2625Ω que es equivalente a 2500Ω ±5%.
Podríamos seguir mejorando y refinando el sistema de la Figura 18
desde el punto de vista electrónico (por ejemplo reducir consumo) pero ésa
es una tarea que se deja para el lector interesado en el tema, al que además
recomendamos que vea las diversas soluciones que existen para realizar esa
función u otra que pueda necesitar y que podrá encontrar en la bibliografía,
en direcciones de internet o en notas de aplicación de fabricantes de AO.
La gran variedad de soluciones y circuitos propuestos por sus autores es un
aliciente para quien disfruta con la Electrónica y una fuente de saber y
experiencia de incalculable valor. Lo que hemos pretendido con el sistema
que hemos diseñado con cierto detalle, es dar al lector unas ideas básicas
con las que puede abordar el estudio de este tipo de sistemas. Su interés y
esfuerzo personal en dicho estudio será lo que le irá haciendo cada vez más
experto en el tema y esto a su vez, aumentará su motivación. Nadie debería
desanimarse si en un primer vistazo no intuye el funcionamiento de un
circuito que ve por primera vez. Eso nos ha pasado a todos y quizá es lo
que despierta mayor interés en el autor de este libro: analizar propuestas y
soluciones electrónicas en circuitos y sistemas, que difieren de las que él
propondría para las mismas funciones. El análisis reflexivo de las mismas
resulta muy formativo y a la vez que se aprende algo nuevo, se incrementa
esa experiencia electrónica tan útil en la carrera profesional.

222. 222
V.7- Conclusiones
A modo de resumen recordaremos brevemente la filosofía de diseño
de estos circuitos con RGP basada en su biestabilidad y acompañada de un
análisis en el dominio del tiempo para resolver los temporizadores que
suelen tener en sus circuitos de RN. Estos emplean en general la evolución
temporal de la tensión de un condensador: exponencial en el caso de un
simple circuito R-C excitado por tensión constante y lineal cuando la carga
del condensador se hace a corriente constante. De esta forma se obtienen
sistemas monoestables y aestables a partir de biestables a los que se les
añade alguna realimentación negativa que evoluciona en el tiempo. Por
tanto, además de cierta RN, estos circuitos tienen una realimentación
positiva que domina la mayor parte del tiempo. En los breves instantes
iniciales de la conmutación entre un estado y otro del circuito, podemos
decir que domina la RN, pero rápidamente vuelve a dominar la RP. De ello
surge el nombre de Realimentación Global Positiva (RGP) para la existente
en estos circuitos y sistemas. Su diseño se basa generalmente en controlar
adecuadamente la temporización de la RN añadida.
Por tanto, el manejo de aquellos circuitos con RGP en los que existan
varias realimentaciones (positivas y negativas) se hará mejor en el dominio
del tiempo que en el de la frecuencia, que era adecuado para circuitos y
sistemas con RN y que lo será también para otros circuitos muy parecidos a
los de RGP, en los que existen ambos tipos de realimentación (positiva y
negativa), pero en los que es la negativa la que domina. Nos referimos a los
circuitos con Realimentación Global Negativa, que son el tema del próximo
Capítulo y con los que hay que tener cuidado para evitar que se conviertan
en circuitos con RGP como los que acabamos de ver.
***

223. Diseño con Amplificadores Operacionales 223
Capítulo V.
Sistemas con AO y
Realimentación Global Negativa

224. 224

225. Diseño con Amplificadores Operacionales 225
Capítulo VI: Sistemas con AO y
Realimentación Global Negativa
VI.1- Introducción
Como anticipamos al final del Capítulo anterior, vamos a ver bajo la
óptica de la realimentación algunas propiedades interesantes de circuitos y
sistemas que hacen uso simultáneo de ambos tipos de realimentaciones y en
los que en todo momento domina la realimentación negativa sobre la
positiva. Ello va a permitir que los AO produzcan una igualdad virtual de
tensiones entre sus entradas (+) y (-), lo que dada la impedancia no nula
existente entre ellas por dentro del AO (esencialmente la Ri de éste) va a
conseguir que hacia el AO no entre ni salga corriente de señal apreciable.
Estaremos pues ante una ITV(SC) que vimos en circuitos con RN, pero
ahora van a aparecer algunos comportamientos inesperados que el MRA no
puede predecir.
Esto no debe extrañarnos porque el MRA fue desarrollado para el
caso de circuitos con sólo Realimentación Negativa y no para el caso de
aquellos con realimentaciones simultáneas en los que dominase la negativa,
que son los que denominaremos circuitos y sistemas con Realimentación
Global Negativa (RGN). El que la aproximación ITV(SC) también se
aplique a estos casos de RGN puede hacer pensar, erróneamente, que se
van a comportar exactamente como circuitos y sistemas con RN, por lo que
el objetivo del presente Capítulo es dejar claro este aspecto y presentar a la
vez algunas aplicaciones interesantes de circuitos y sistemas con RGN.
VI.2- Fuente de corriente Howland
Vamos a presentar en este Apartado un circuito con AO que permite
entregar una cierta corriente IL a una carga RL o extraerla de ella, al ser IL
proporcional a una tensión de control vi que puede ser positiva o negativa.
Estamos hablando por tanto de una fuente de corriente bidireccional
controlada por una tensión de entrada y en concreto nos referimos a una de
las fuentes Howland que aparecen en [7] y que como puede verse en la
Figura 1, es un circuito con doble realimentación, por lo que entraría en la
categoría de sistema electrónico con arreglo a lo que dijimos al respecto en
la Introducción del Capítulo IV. En la Figura 1 se indica que si se cumple
la relación R1R4=R2R3 , la corriente que circula por RL es proporcional a vi
mediante el inverso de R2 cambiado de signo. Si se desean corrientes IL en
el rango del mA con señales de control vi en el rango del voltio, R2 será del
orden del KΩ. En cuanto al signo, diremos que IL fluye hacia masa si la
tensión de entrada vi es negativa y en sentido contrario si vi es positiva.

226. 226
Figura 1
Esta forma de presentar la fuente Howland suele ser la que aparece
en los textos de Electrónica Analógica y en concreto la que encontró en su
día el autor. Nos referimos al circuito de la Figura 1 junto con las dos
relaciones que allí aparecen, poniendo como premisa la relación entre las
cuatro resistencias para obtener la corriente de salida en función de la
tensión de control. Por su interés posterior, ambas expresiones se recogen
en las ecuaciones (1) y (2), donde se definen algunos factores adicionales
cuyo significado se verá posteriormente.
R3 R4 R R
R1R4 = R2 R3 ⇒ M = = ,K = 2 = 4 (1)
R1 R2 R1 R3
 −1
I L =   × vi
R  (2)
 2
Siguiendo la referencia [7], se han definido los factores K y M en la
ecuación (1) e igual que allí, al factor K lo llamaremos “Factor de escala”.
Como para el factor M no se da en [7] ningún nombre, vamos a llamarlo
por ahora “Factor de reparto de tensión” y después ya justificaremos ambos
nombres, con una visión más amplia del sistema completo.
Con los factores K y M sin explicar todavía, la presentación de la
fuente Howland no resulta muy atractiva o al menos esa fue la sensación

227. Diseño con Amplificadores Operacionales 227
del autor en su día, al pensar que el circuito resultaba interesante desde el
punto de vista funcional, pero no era evidente una explicación adecuada
que permitiera conocer el por qué de su funcionamiento. El autor tuvo que
conformarse con analizar el circuito empleando la aproximación ITV(SC)
para comprobar que la ecuación (2) era correcta si se cumplía la igualdad
(1), que es lo que vamos a hacer a continuación. Adelantamos al lector que
este análisis resulta algo oscuro, aunque la mecánica es sencilla. También
le animamos a que continúe hasta el final del Capítulo, donde tendrá una
visión mucho más amplia que la que pueda tener durante este análisis.
Para no arrastrar muchas letras y subíndices en el análisis vamos a
tener en cuenta que R2 y RL están conectadas en paralelo, por lo que forman
la resistencia RP=R2RL. La tensión v(+) de la entrada (+) del AO, en
función de la tensión vo de su salida es:
 RP 
R +R 
v(+) = vo ×   (3)
 P 4 
donde hacemos uso de que la entrada (+) no absorbe corriente de señal bajo
ITV(SC).
Por otra parte la tensión de la entrada (-) del AO se deberá a la
superposición de los efectos de dos generadores: el mencionado vo y el de
control de la fuente vi. Como la entrada (-) del AO tampoco va a absorber
corriente de señal bajo ITV(SC), esa superposición nos da:
 R1   R3 

v(−) = vo ×   + vi × 
 R +R 

 R1 + R3 
(4)
 1 3
Aplicando ahora ITV igualamos las ecuaciones (3) y (4), lo que nos
permite obtener la tensión auxiliar vo en función de vi. Tras unas
manipulaciones algebraicas y el empleo de la ecuación (1) para simplificar
el denominador, se obtiene:
− ( RP + R4 ) × ( R2 + RL )
vo = vi × 2 (5)
R2
La ecuación (5) ya indica que si vi es positivo, la tensión de salida
del AO (vo) será negativa, lo que supone cierta corriente yendo desde masa
hacia esa salida del AO a través de R4 y de RP. Por otra parte IL será igual a

228. 228
la tensión v(+) dividida por RL. Sustituyendo la expresión (5) en la (3) y
dividiendo por RL obtenemos la ecuación (2) que buscábamos:
v( +) − ( R2 + RL ) × RP − vi
IL = = vi × =
RL R2 × RL
2
R2 (6)
Por tanto el circuito funciona con arreglo a lo expuesto en torno a la
Figura 1, aunque como ya anticipamos, no se ve muy claramente la razón
última de esa forma de funcionar con las dos realimentaciones (positiva y
negativa) que posee. Esa doble realimentación hace que debamos tener
cierto cuidado con aspectos relacionados con la respuesta en frecuencia del
sistema, en los que no vamos a entrar ahora. Nuestro objetivo va a ser la
obtención de una visión del circuito que nos aporte nueva información
sobre su funcionamiento y sobre sus diferencias con aquellos circuitos que
sólo poseían RN, para los que demostramos la existencia de una ITV(SC)
numéricamente similar a la que acabamos de emplear en el análisis de este
circuito con RGN en lugar de RN.
Una interesante diferencia entre este circuito y los que vimos con RN
surge al obtener su impedancia de entrada Zi (resistencia Ri en este caso) y
mejor aún, al tratar de predecirla. A la vista de la Figura 2, donde ha sido
dibujada la tensión auxiliar vo como la de una salida aunque el circuito no
tiene una “salida” en vo, uno pensaría que la impedancia de entrada que es
R1 en serie con ZRGN, sería: R1+“algo”, es decir: mayor que R1 o quizá muy
parecida a R1 si ZRGN fuese algún valor bajo.
Figura 2

229. Diseño con Amplificadores Operacionales 229
La entrada de la Figura 2 recuerda la del amplificador inversor con
AO, circuito con RN que creaba una “masa virtual” en la entrada (-) del
AO. Si en la Figura 2 sucediese algo parecido, podríamos aceptar sin
mucha dificultad la frase de [7] en la que se dice:
“…a continuación el factor de escala, K, puede emplearse para establecer
R1, la cual determina, esencialmente, la impedancia de entrada.”
Sin embargo merece la pena obtener la expresión de Zi haciendo uso
de la ITV(SC) que ya empleamos antes en este circuito para obtener IL en
función de vi. Empleando la ecuación (6) se obtiene directamente la tensión
v(+) en función de vi, que resulta ser:
R 
v(+) = − L  × vi
R  (7)
 2
La corriente i que entra por R1 como consecuencia de vi es:
vi − v(−)
i= (8)
R1
Aplicando ITV tendremos v(-)=v(+), lo que nos permite sustituir la
ecuación (7) en la (8) y despejar el cociente v/i=Zi. Así obtenemos la
ecuación (9) que ya anticipa un interesante resultado.
 
vi  R   RL 
Zi = =  1
 = R1 × 1 −
 R +R  
i 1+ RL   2 L  (9)
 R2 
Ese resultado es que la impedancia de entrada no es igual a R1 más
“algo”, sino que es: R1 menos “algo” y ese “algo” depende de RL en una
forma peculiar: si RL→∞ (si quitamos la carga RL) la impedancia de
entrada se anula. Este es un primer aviso de que un circuito con RGN no se
comporta como uno con RN. Retomando la ecuación (9) y empleando la
igualdad R1R4=R2R3 obtenemos la siguiente expresión:
vi R ×R R
Zi = = R1 − 1 L = R1 − R3 × P
i R2 + RL R4 (10)

230. 230
Ahora, a la vista de la ecuación (10) y de la Figura 2 podemos decir
que la impedancia ZRGN es negativa y además proporcional a R3 mediante
un factor que es la relación de resistencias que fijan la realimentación
positiva del AO. Esta observación nos lleva a la Figura 3 que vamos a
estudiar detenidamente en el próximo apartado.
VI.3- Circuitos de Impedancia Negativa
Aunque éste es un tema muy amplio que el lector interesado puede
consultar en otros textos [5], [22], vamos a presentar bajo el enfoque de
circuitos realimentados las ideas básicas y los circuitos más elementales
con AO que permiten obtener impedancias denominadas “negativas”. En el
caso de resistencias negativas la corriente que circulará a través de una de
ellas para una tensión dada (continua o alterna), lo hará en sentido opuesto
al que tendría en una resistencia de las vistas hasta ahora. En el caso de
bobinas y condensadores “negativos”, las corrientes que los atraviesan en
régimen permanente senoidal presentarán una inversión de fase de 180º (un
cambio de signo) en relación con las corrientes que circularían por sus
correspondientes bobinas y condensadores “positivos” o habituales. Para la
breve presentación mencionada vamos a empezar considerando la Figura 3
y en concreto la impedancia que presenta entre la entrada (-) del AO y
masa, que como acabamos de ver es:
R 
Z RGN = − p  × R3
R  (11)
 4
Figura 3

231. Diseño con Amplificadores Operacionales 231
Nótese que aunque nos estamos centrando en ZRGN no olvidamos el
equivalente de Thèvenin del circuito de excitación utilizado (vi-R1), que en
rigor debe seguir conectado para que el circuito de la Figura 3 sea el mismo
que el de la Figura 2 para el que se han obtenido las ecuaciones (10) y (11).
El funcionamiento del circuito de la Figura 3, en especial de la
resistencia negativa que se “ve” hacia la derecha de R1, entre la patilla (-)
del AO y masa, se comprende fácilmente bajo la existencia de RGN en el
circuito. Esta RGN resulta esencial para dicho funcionamiento y debe ser
garantizada antes de nada, cosa que resulta sencilla al considerar el circuito
que se obtiene al anular la señal de entrada vi y dibujarlo como aparece en
la Figura 4.
Figura 4
En la Figura 4 se ve que el AO queda realimentado por dos divisores
resistivos R1-R3 y R4-RP. Si en estas condiciones apareciese una señal de
salida vo (ruido por ejemplo), una fracción de esa señal se realimentaría a la
entrada (+) mediante R4-RP y otra fracción se realimentaría a la entrada (-)
mediante R1-R3. Hay que garantizar que la segunda sea mayor que la
primera, para lo que debe cumplirse la siguiente desigualdad:
 RP   R1 
vo × 
R +R 〈vo × 
R +R 
 (12)
 4 P   1 3
Simplificando vo e invirtiendo cada término de la desigualdad se
obtiene:

232. 232
 R3   R4 
 + 1〈 + 1
   (13)
 R1   RP 
Eliminando los unos y volviendo a invertir los términos (y el signo)
de la desigualdad obtenemos:
RP R1
〈 (14)
R4 R3
Por lo tanto, la condición que garantiza que en el circuito existe
Realimentación Global Negativa puede escribirse como:
R3 RP 〈 R1R4 ⇔ RGN (15)
La condición (15) recuerda en cierto modo la igualdad R1R4=R2R3 de
la fuente Howland de la Figura 1 y considerando que la resistencia RP era la
combinación en paralelo de R2 y RL en dicha fuente, vemos enseguida que
la Fuente Howland posee RGN, porque cualquier RL en paralelo con R2 da
algo menor que R2. Si la fuente se diseñó de forma que cumplía la igualdad
R1R4=R2R3, la desigualdad (15) se cumplirá automáticamente al conectar la
carga RL. Por tanto y aunque todavía no se ve muy bien cómo funciona la
fuente Howland, al menos hemos justificado la validez de nuestro análisis
que partía de la hipótesis fundamental de que en el circuito existía RGN. Y
no sólo eso, sino que también vemos que si con dicha fuente pretendemos
atacar resistencias de carga RL altas, o si desconectamos RL para ver “qué
pasa”, podemos encontrarnos con un circuito inestable, dominado por RGP,
debido a la tolerancia en los valores de las resistencias. De ahí la necesidad
de emplear resistencias de precisión y con baja deriva térmica para el
montaje de fuentes Howland, como puede verse en [7].
Volviendo al circuito de la Figura 3, la existencia de RGN en el
mismo nos permite aplicar ITV(SC), con lo que su funcionamiento se ve
enseguida. Si vi es cero, las tensiones vo, v(+) y v(-) serán cero también,
pero si no es así, la excitación vi hará que aparezca alguna tensión v entre el
punto A y masa. Debido a la ITV(SC) la misma tensión v será creada por el
AO entre su entrada (+) y masa. Esto exige que exista una corriente i2 a
través de R4-RP, lo que a su vez exige una tensión vo=(1+R4/RP)×v en la
salida del AO. Por tanto, la caída de tensión sobre R4 y sobre R3 será la
misma y de valor:

233. Diseño con Amplificadores Operacionales 233
 R  R 
vAB = vA − vB = v − 1 + 4  × v = − 4  × v
 R  R  (16)
 P   P
Entonces, si en el punto A apareciese una tensión v positiva respecto
a masa, la corriente i circularía en sentido contrario al dibujado, porque vB
sería mayor que vA, inyectándose hacia el generador de entrada y viceversa:
si la corriente circulase en el sentido dibujado en la Figura 3, la tensión v
que habría aparecido sería negativa respecto a masa. Debido a esta forma
de reacción del circuito, el generador de entrada vi “nota” una impedancia
de entrada menor que R1 como indica la ecuación (10).
Con el sentido dibujado en la Figura 3, la corriente i vale:
vAB R  v
i= = − 4  ×
R  R (17)
R3  P 3
Despejando el cociente v/i de la ecuación (17) obtenemos que la
impedancia (resistencia en este caso) que se “ve” hacia la derecha de R1,
entre la entrada (-) del AO y masa, es la siguiente:
v R 
Z RGN = RRGN = = − 2  × R3
R  (18)
i  P
La ecuación (18) puede entenderse como que la reacción del circuito
de la Figura 3 crea entre la entrada inversora del AO y masa una resistencia
negativa de valor R2/RP veces R3. También puede decirse que el circuito
convierte la resistencia “normal” R3 en otra negativa proporcional a ella, y
debido a ello hay bastante tendencia a considerar sólo la parte derecha del
circuito de la Figura 3, donde “aparece” la resistencia negativa, y olvidarse
del generador de entrada vi y sobre todo de su resistencia asociada R1. Es lo
que se ha dibujado en la Figura 5, pero no hay que olvidar que ello será
cierto siempre que exista RGN y para garantizar su existencia, tenemos la
expresión (15). De ella se obtiene que el valor de la resistencia R1 del
equivalente Thévenin o Norton del circuito que se conecte a la entrada del
de la Figura 5, debe ser como mínimo:
R3
R1 〉 × RP
R4 (19)

234. 234
Figura 5
En otras palabras: el circuito de la Figura 5 se puede emplear como
resistencia negativa siempre que la resistencia del circuito al que se aplique
sea mayor que el valor absoluto de la resistencia negativa que se crea entre
su entrada y masa. Así por ejemplo, el circuito de la Figura 5 tal y como
está, sin un generador que le ataque (todo lo cual equivale a tener R1→∞)
será estable, porque en esta situación la realimentación negativa tiende a
ser unitaria: R1/(R1+R3)→1, la mayor posible con un divisor resistivo y va a
dominar a la positiva. Debido a ello se dice que el circuito de la Figura 5 es
“estable frente a circuito abierto”, aunque resulta más claro decir que un
circuito abierto a la entrada del circuito de la Figura 5 garantiza su RGN.
Con unos valores de R3=1KΩ, RA=10KΩ y RB=5KΩ, el circuito de la
Figura 5 presentará una RRGN= -2KΩ a cualquier circuito que se le conecte
con resistencia mayor de 2KΩ y será inestable al conectarlo a circuitos con
resistencias menores de 2KΩ. Ser inestable significa que se convertirá en
un biestable como los vistos en el Capítulo anterior, dejando de ofrecer esa
resistencia negativa dada por la ecuación (18).
Bajo un principio similar funcionarían los circuitos generadores de
capacidades negativas que podemos encontrar en [22]. El circuito utilizado
para ello es el que se muestra en la Figura 6 y la capacidad negativa
aparece entre la entrada (+) del AO y masa. Como puede verse, también
hay doble realimentación en este caso hacia las entradas del AO y por tanto
habrá que asegurar la existencia de RGN en el sistema para que funcione
con arreglo a lo esperado. Esto puede lograrse conectando a la entrada del
circuito una impedancia capacitiva adecuada C’ de modo que el divisor
capacitivo C-C’ realimente a la entrada (+) una señal menor que la que el
divisor resistivo R-R realimenta a la entrada (-). Supondremos que éste es

235. Diseño con Amplificadores Operacionales 235
el caso por lo que la RGN estaría garantizada, aunque luego daremos más
detalles sobre el valor de esa capacidad C’.
Figura 6
La explicación básica del circuito de la Figura 6 es sencilla si se
asume que existe RGN, por lo que el circuito tendrá algo más conectado a
su entrada que garantice esa RGN, como veremos más adelante en relación
con una de sus aplicaciones. En estas condiciones habrá una ITV(SC) entre
las entradas del AO, por lo que si aparece una tensión de señal alterna v
entre la entrada (+) y masa, el AO hará aparecer esa misma tensión entre la
entrada(-) y masa. Para conseguirlo deberá poner a su salida justo el doble
de esa tensión (2v) debido al factor de atenuación del divisor resistivo de la
rama de realimentación negativa.
Ahora la realimentación positiva es a través de la condensador C, que
notará una tensión neta de: 2v-v=v voltios, pero con la polaridad indicada
en la Figura 6. Por ello absorberá la misma corriente que una capacidad C
sometida a una tensión alterna v, pero esa corriente entrará por el punto B
conectado a la salida del AO y saldrá por el punto A, yendo hacia la
entrada del circuito donde apareció la tensión v inicialmente (con sentido
contrario al de i). De esta forma, la impedancia ZRGN del circuito de la
Figura 6 es como la de un condensador de valor negativo –C. Aplicando la
Ley de Ohm generalizada tenemos:
V ( jω )
I ( jω ) = = − jωC ×V ( jω )
1 (20)
jω (−C )

236. 236
La ecuación (20) indica que el circuito de la Figura 6 devuelve hacia
el punto de tensión v(t) la corriente ic(t) que absorbería un condensador C al
ser excitado por esa tensión v(t). La Figura 7 muestra las formas de onda
correspondientes en régimen permanente senoidal.
Figura 7
Así, mientras que la corriente ic(t) que absorbería un condensador C
“normal” presentaría, en régimen permanente senoidal, un adelanto de fase
de +90º (o un retraso de fase de –270º si se prefiere) respecto a la tensión
senoidal v(t), la corriente i(t) del circuito de la Figura 6 presentará, en el
mismo régimen, un retraso de fase de 90º, por lo que cabe preguntarse si
ese circuito equivale o se comporta como una inductancia. La respuesta es
que sí, sólo que a cada frecuencia equivale a una inductancia de diferente
valor. Empleando la Ley de Ohm generalizada para una inductancia y la
ecuación (20) obtenemos:
V ( jω ) 1
I ( jω ) = = jω (−C )V ( jω ) ⇒ L(ω ) = 2 (21)
jωL ωC
La ecuación (21) da la inductancia L(ω) distinta para cada frecuencia
a la que equivale la entrada del circuito. Como vemos L(ω) decrece con el
cuadrado de la frecuencia (ω=2πf), por lo que en vez de hablar de una
inductancia que decrece con la frecuencia, es mejor hablar de una

237. Diseño con Amplificadores Operacionales 237
capacidad constante con la frecuencia, pero negativa. Esto además sugiere
una posible aplicación del circuito, que es la de compensar capacidades
parásitas que deseemos eliminar o reducir, pero antes de comentar algo más
sobre este tema, veamos qué se necesita para garantizar la existencia de
RGN en el circuito de la Figura 6. Empleando el circuito de la Figura 4 o su
adaptación para impedancias en lugar de resistencias, podemos decir que el
circuito de la Figura 6 tendrá RGN y será por tanto estable, siempre que a
su entrada conectemos una impedancia capacitiva menor que la que ofrece
el condensador C. Este sería el caso para una capacidad Cin mayor que C,
porque se formaría un divisor de tensiones C-Cin que realimentaría menos
del 50% de vo a la entrada (+), mientras que las dos resistencias de valor R
realimentan el 50% de vo a la entrada (-). De esta forma la realimentación
negativa siempre dominaría, incluso en el caso de que la capacidad Cin
llevase conectada en paralelo alguna resistencia Rg, porque la combinación
en paralelo de Cin con esa posible resistencia daría una impedancia
resultante cuyo módulo sería menor que el de la impedancia capacitiva de
Cin. Por tanto, una baja impedancia conectada a la entrada del circuito de la
Figura 6 tiende a hacer el circuito estable porque debilita la realimentación
positiva. De ahí que en la referencia [22] se diga que los circuitos que allí
se presentan (basados en el de la Figura 6), para obtener capacidades
negativas, son “estables en cortocircuito”.
Tras lo que acabamos de comentar sobre una capacidad Cin con algo
en paralelo de tipo resistivo, una aplicación de la capacidad negativa que
hemos visto sería la cancelación de parte de la capacidad debida al cable
apantallado que conectase un sensor de alta impedancia a un amplificador
cuya entrada no permitiese el empleo de técnicas tipo “bootstrap” como las
que vimos en el Capítulo IV (Figura 18). La resistencia de salida del sensor
suele formar con esa capacidad un filtro paso-bajo cuya frecuencia de corte
es inversamente proporcional a dicha capacidad, por lo que su reducción
desde Cin=200pF hasta el valor de 20pF para un sensor con Rg=1MΩ,
permitiría tener un ancho de banda de 8KHz en lugar de los 800Hz debidos
al filtro R-C paso-bajo formado por Rg y Cin. El circuito de la Figura 6 con
R=5KΩ y C=180pF, conectado en paralelo a la entrada del amplificador o a
la salida del sensor con el cable conectado (cuya capacidad de 200 pF
garantizará la existencia de RGN), lograría este efecto.
Por simple cuestión de dualidad tras la obtención de capacidades
negativas mediante el circuito de la Figura 6, surge la pregunta siguiente:
¿Será posible obtener inductancias negativas mediante el mismo circuito,
cambiando el condensador C por una bobina L?. La respuesta es que en
principio parece que sí, pero el circuito así formado va a ser bastante difícil
de manejar y seguramente inestable, porque para señales de muy baja
frecuencia y con más razón en continua (dc), la impedancia de la bobina
tiende a ser cero. Ello haría que la realimentación positiva dominase en el

238. 238
circuito, dejando de existir la ITV(SC) y perdiendo su utilidad al no tener
RGN sino RGP. Para la finalidad propuesta, el circuito de la Figura 5
también nos daría esa inductancia negativa cambiando R3 por la bobina L,
siendo estable de cara a bajas frecuencias y a dc. Sin embargo habría que
tener cuidado con las altas frecuencias para las que la impedancia de la
bobina aumentaría, debilitando por tanto la realimentación negativa. Esto
haría que el circuito pasase a tener RGP, volviéndose inestable y perdiendo
su utilidad. Como en general se prefiere evitar el empleo de bobinas por su
volumen y características circuitales, peores que las de los condensadores,
dejaremos el tema de inductancias negativas y nos quedaremos con las
simples ideas presentadas sobre circuitos estables frente a cortocircuito y
frente a circuito abierto que permiten obtener resistencias y capacidades
negativas. Para el lector interesado en este tema de impedancias negativas
obtenidas mediante AO y condensadores, la referencia [22] ofrece ejemplos
de circuitos que usan resistencias negativas dependientes de la frecuencia y
que aparecen como FDNR (Frequency Dependent Negative Resistances).
VI.4- Sistemas con ambas realimentaciones equilibradas
Cuando analizamos la fuente de corriente Howland y obtuvimos las
ecuaciones que regían su comportamiento, no vimos su funcionamiento de
una forma clara o intutiva. Sin embargo hicimos algún avance importante,
especialmente al emplear el circuito de la Figura 4 para ver si existía RGN
en estos circuitos con AO y realimentaciones dobles. Vamos a considerar
ahora la fuente Howland de la Figura 1, sólo que sin la resistencia RL, tal y
como aparece en la Figura 8. Recordamos que las cuatro resistencias que
rodean al AO cumplen la relación: R1R4=R2R3 y ello significa que, para
cualquier tensión vo que haya en la salida, las fracciones de esa señal que
los divisores resistivos R1-R3 y R2-R4 realimentan a las entradas (-) y (+)
del AO son iguales. Considerando infinita la ganancia Ad del AO podemos
tener esas dos tensiones iguales en las entradas (+) y (-) con una tensión de
salida vo cualquiera no nula. La ganancia finita, por ejemplo Ad=106, de un
AO real, requerirá que si a la salida hay una tensión vo de 3 voltios, la señal
de la patilla (+) sea 3 microvoltios mayor que la de la patilla (-) del AO. Sin
embargo, esa pequeña diferencia de 3µV entre las dos tensiones puede
considerarse nula a efectos prácticos, por lo menos en lo que respecta a los
valores de las cuatro resistencias ligados por la relación R1R4=R2R3. Piense
el lector en un caso práctico en el que cada uno de los divisores resistivos
R1-R3 y R2-R4, atenúe por 3 la señal vo. La tensión vo de 3 voltios dará lugar
a una tensión realimentada de 1 voltio en cada entrada del AO. El que esa
tensión sea 1 voltio exactamente o difiera de este valor en 3 µV es algo que
queda más allá de la precisión que podemos tener en los valores de las
resistencias aunque las tomemos con el 0.1 por mil de precisión. Por tanto

239. Diseño con Amplificadores Operacionales 239
el circuito de la Figura 8 puede verse como un circuito que no tiene RGP ni
RGN, porque tiene las realimentaciones positiva y negativa equilibradas
debido a la relación R1R4=R2R3. Así su realimentación global es nula, lo
que hace que dicho circuito resulte muy interesante.
Figura 8
Su interés está en que puede tener cualquier tensión vo(t) a su salida,
por lo que las corrientes i1 e i2 podrán ser de cualquier valor acorde con
vo(t) siendo i1=vo/(R1+R3) e i2=vo/(R2+R4). Como las tensiones en las
entradas (+) y (-) del AO son iguales (realimentaciones equilibradas) no
entrará (ni saldrá) corriente hacia (o desde) las entradas del AO, por lo que
las corrientes i1 e i2 son las indicadas. Por tanto, si vo(t) hace una oscilación
senoidal en el tiempo, seguida de una triangular y luego se queda constante
en el valor de 3 voltios, las tensiones en las entradas (+) y (-) del AO harán
exactamente el mismo tipo de evolución temporal, sólo que con menor
amplitud debido al factor de atenuación de cada divisor resistivo que es el
mismo. Con un factor de atenuación 3 (R3=2R1) la evolución las tensiones
de las entradas (+) y (-) del AO ante la variación de vo mencionada, sería
una oscilación senoidal seguida de una triangular con amplitud tres veces
menor, quedando al final en el valor constante de 1V. En otras palabras:
con las realimentaciones equilibradas el circuito es “compatible” o puede
tener cualquier tensión vo(t) sea constante o variable en el tiempo.
Veamos ahora cuál será el efecto de añadir en paralelo con R2 cierta
resistencia RL, que al combinarse con R2 dará lugar a la resistencia Rp de la
Figura 4, siempre menor que R2. El nuevo circuito así obtenido aparece
ahora en la Figura 9. Esta acción debilitará algo la realimentación positiva,
por lo que el circuito pasará a tener RGN en cuanto se le conecte RL. En

240. 240
estas nuevas condiciones, si existía una tensión vo no nula antes de conectar
RL (por ejemplo los 3V que hemos mencionado) desaparecerá o decaerá
hasta anularse debido a la acción de la RGN que ha aparecido al conectar
RL. Con ello se harán nulas también las tensiones de las entradas (+) y (-)
del AO que son simples muestras o fracciones de la de salida vo.
Figura 9
El circuito de la Figura 9 se convierte en la fuente Howland de la
Figura 1 si insertamos un generador de tensión vi en serie con R1, y no por
ello perderá su RGN (incluso la aumentaría algo debido a la resistencia no
nula Rg de un generador real de tensión vi). Esto es lo que aparece dibujado
en la Figura 10, considerando Rg nula (o mejor aún: ya incluída en R1).
Figura 10

241. Diseño con Amplificadores Operacionales 241
Aunque podríamos aplicar ITV(SC) al circuito de la Figura 10 y
obtener IL en función de vi rápidamente, el funcionamiento de esta fuente
Howland se ve directamente si convertimos el circuito serie (R1-vi) en su
equivalente paralelo como se muestra en la Figura 11.
Figura 11
Ello nos permite ver un generador de corriente vi/R1 que inyecta esa
corriente hacia R1, y la resistencia de carga RL que permitirá que se inyecte
corriente IL hacia R2 o que se absorba IL desde R2 según lo requiera el
circuito. Pensando por un momento que R3 y R4 pueden ser muy altas, la
corriente vi/R1 se inyectará esencialmente sobre R1, creando una tensión en
la patilla (-) del AO cercana a vi. Como hay RGN en el sistema, la misma
tensión deberá aparecer sobre R2 debido a la corriente IL, lo que exige una
IL que entre desde RL hacia R2 y de valor vi/R2, para que exista ITV(SC).
Con ello llegamos de forma casi gráfica (un equivalente Norton sin apenas
cálculos) a la expresión IL=-vi/R2 de la fuente Howland de la Figura 1 y
tenemos además cierta idea sobre cómo funciona para dar o extraer la
corriente IL según el signo de la tensión de entrada vi, cosa que no se veía al
analizar el circuito mediante ITV(SC) al comienzo del Capítulo.
Así podemos ver la fuente Howland como un sistema con doble
realimentación equilibrada en ausencia de RL, que pasa a tener RGN al
añadir la carga RL y que convierte tensión vi en corriente IL necesaria para
mantener la ITV(SC) que el AO genera entre sus entradas en cuanto pasa a
tener Realimentación Global Negativa. El suponer R3 y R4 muy altas nos
ayudó a ver enseguida el valor y el signo de IL, pero no se necesita hacer
esa suposición. Debido a que la proporcionalidad existente entre R1 y R3 es

242. 242
la misma que entre R2 y R4, basta considerar que la corriente vi/R1 de la
Figura 11 se inyecta sobre R1R3 que es la misma fracción de R1 que
R2R4 lo es de R2. Esta es la situación que obtenemos al anular vo en la
Figura 11 para superponer los efectos de vi y de IL por separado, de donde
se obtiene la relación IL=-vi/R2 al aplicar ITV(SC).
A la vista del circuito de la Figura 11 resulta fácil entender la otra
versión de la fuente Howland presentada en [7] en la que el generador vi se
conecta entre R2 y masa en lugar de estar entre R1 y masa como en la
Figura 10. Al convertir a su equivalente paralelo el generador vi (ahora en
serie con R2) aparece directamente que la corriente IL saliente hacia la carga
RL debe ser IL=vi/R2 para que exista la ITV(SC) que genera la RGN. Es lo
que se muestra en la Figura 12 y de esta forma la corriente a través de RL
con el sentido dibujado en la Figura 1 resulta ser: IL=+vi/R2 si el generador
de control vi de la Figura 1 se sitúa entre R2 masa, conectando a masa la
patilla de R1 a la que antes iba conectado. Esta versión “no-inversora” de la
fuente Howland presenta ciertas diferencias en cuanto a su impedancia de
entrada respecto a la versión “inversora” que hemos visto. La diferencia es
que dicha impedancia de entrada (resistencia en este caso) puede ser
negativa, cosa que sucede cuando la resistencia de carga RL es mayor que
R2 [23]. La Figura 12 permite ver este efecto de forma rápida porque ante
una tensión de control vi aplicada debajo de R2, la tensión encima de R2, es
decir: la de la entrada (+) del AO será: vi×RL/R2.
Figura 12

243. Diseño con Amplificadores Operacionales 243
Por tanto, si RL es mayor que R2, la aplicación de vi debajo de R2
haría que la tensión encima de R2 fuese mayor que la propia vi. De este
modo R2 tendría una diferencia neta de tensión de: vi×(RL/R2-1) voltios que
haría circular corriente hacia el propio generador vi que estaría bajo R2
(entre R2 y masa), cuyo equivalente Norton (vi/R2) aparece en la Figura 12.
Esto supondría que ese generador se vería forzado a absorber una corriente
de vi×(RL/R2-1)/R2 amperios al excitar con vi voltios al circuito. En otras
palabras: el generador vi “vería” una resistencia negativa de: –R2/(RL/R2-1)
ohmios y este hecho hay que tenerlo en cuenta si la tensión de control vi se
toma de la salida de un AO con RN (típica etapa separadora). Como ya
dijimos en su momento, para el diseño con RN (el de la etapa separadora en
este caso) hay que considerar lo que viene detrás, que en este caso sería la
resistencia negativa de la fuente Howland no-inversora. Si la combinación
de esta resistencia negativa con la resistencia de salida de la red A’ de la
etapa separadora no fuese un valor global de resistencia positivo, habría
problemas.
Esos problemas aparecerían porque la pretendida RN de la etapa
separadora pasaría a ser RP debido a la resistencia global negativa causada
por el efecto de carga de la fuente Howland no-inversora. Si el lector
empieza a aplicar el MRA a alguna de las etapas que vimos con RN,
suponiendo que la red A’ tiene resistencia de salida negativa en paralelo
con el generador Norton correspondiente, verá que la ganancia A’ cambia
de signo. Con ello A’ y β dejarán de tener el mismo signo, indicando que
ya no hay RN, por lo que es inútil continuar con el MRA. En cuanto a la
forma de combinar resistencias negativas y positivas, las leyes son las ya
conocidas: suma para combinar en serie y el producto dividido por la suma
de resistencias para combinarlas en paralelo. Así RA=4KΩ y RB= -2KΩ
combinadas en serie dan una resistencia positiva de +2KΩ y combinadas en
paralelo dan una negativa de –4KΩ.
Volviendo a la fuente Howland, ahora estamos en condiciones de
entender mejor el nombre de “Factor de escala” dado al cociente K=R2/R1
al comienzo del Apartado II. Ese factor da la relación entre las corrientes i1
e i2 que circulan por las ramas del sistema equilibrado de la Figura 8, que es
el núcleo de la fuente Howland. Con K=1 las corrientes por ambas ramas
son iguales y con K=0.1 las corrientes por la rama de R4 son 10 veces
mayores que por la rama de R3 que es donde estaba el generador de control
vi. De esta forma podemos dimensionar correctamente las resistencias en
función de la corriente de salida IL y el órden de magnitud de las corrientes
que pueda dar o aceptar nuestro generador de control vi. El factor K es pues
un factor de escala entre las corrientes de las ramas del puente resistivo
formado por las cuatro resistencias.
De igual forma podemos justificar el nombre que dimos al factor
M=R3/R1=R4/R2 que era el de Factor de reparto de tensión. Nos referíamos

244. 244
al reparto de la tensión de salida del AO para inyectar o extraer IL a través
de RL. Si el valor de M es bajo, la tensión máxima y mínima que podrá
existir sobre RL en la fuente Howland será bastante próxima a los valores
máximo y mínimo que el AO pueda dar a su salida. Así, para entregar una
corriente máxima de 10 microamperios a una carga RL de 1 MΩ con un AO
alimentado a ±12V, hará falta un factor M bastante bajo (M=0.1 o inferior)
y no será posible con M=0.25 por ejemplo. Cuanto más bajo sea M, mayor
será la excursión de señal de salida sobre la carga RL o menos se repartirá
por el resto de la rama del puente.
Por su analogía estructural con el circuito de la Figura 8 y como otra
aplicación de lo visto en ese circuito con las realimentaciones equilibradas,
vamos a estudiar un circuito muy interesante para el diseño de osciladores
senoidales con AO. El circuito al que nos referimos es el núcleo de un
Oscilador en Puente de Wien (OPW) que aparece dibujado en la Figura 13.
Figura 13
Como puede verse, este OPW utiliza un AO con una realimentación
negativa a través del divisor resistivo R’-2R’ que realimenta a su entrada
inversora la tercera parte de la señal de salida vo(t), sea cual sea esa señal
(componente continua o alterna de cualquier frecuencia). Diríamos que la
rama de realimentación negativa es independiente de la frecuencia o que la
realimentación negativa del circuito es la misma a cualquier frecuencia.
Por el contrario, la realimentación positiva del AO se hace mediante
un divisor de impedancias cuya función de transferencia v(+)/vo depende
de la frecuencia. Ese divisor de impedancias es el divisor R-C paso-banda

245. Diseño con Amplificadores Operacionales 245
del puente de Wien que vimos en el primer Capítulo. Como sabemos, este
divisor no transfiere bien ni las bajas ni las altas frecuencias y sólo hay una
frecuencia fo=1/2πRC que se transfiere bastante bien: sin desfasaje y sólo
atenuada por un factor 3. Por tanto, para señales senoidales de frecuencia fo
(y sólo para estas señales) el circuito de la Figura 13 posee realimentación
global nula, por lo que puede presentar a su salida tensiones vo(t) oscilantes
senoidalmente con la frecuencia fo, de cualquier amplitud dentro del rango
de valores máximo y mínimo de la salida del AO. En otras palabras, el
circuito de la Figura 13 puede mantener indefinidamente señales senoidales
sólo de frecuencia fo. Cualquier señal distinta a la comentada que pueda
aparecer en vo debida al ruido por ejemplo (sea una señal dc, una señal
variable no senoidal o una señal senoidal de otra frecuencia) será reducida
y anulada por la RGN que existe en el circuito para toda señal que no sea
senoidal y de frecuencia fo.
Debido a lo anterior y considerando que tanto las resistencias del
circuito como las internas del propio AO y sus componentes tendrán ruido
térmico como mínimo y seguramente de algún otro tipo, las pequeñas
componentes de frecuencia fo debidas a esos ruidos serán mantenidas por el
circuito y estarán presentes tanto en su salida vo(t) como en las entradas del
AO (aquí con una amplitud 3 veces menor, pero estarán). Si mirásemos la
salida vo(t) con un osciloscopio suficientemente sensible veríamos unas
pequeñas oscilaciones senoidales de frecuencia fo que aparecerían y
desaparecerían en el tiempo, con amplitudes y fases aleatorias, reflejo del
carácter aleatorio de los ruidos de los que provienen. Sería algo muy
parecido a lo que se observa entre los extremos de un circuito bobina-
condensador (L-C) paralelo de alto factor de calidad Q (poco amortiguado)
donde aparecen y desaparecen oscilaciones aleatorias que se amortiguan
lentamente en el tiempo (Q alto pero finito), de frecuencia: fres=1/2π√LC.
De hecho el circuito de la Figura 13 equivale a un hipotético circuito LC
con factor de calidad Q→∞ (es decir: sin pérdidas o sin amortiguamiento)
con valores de L y C tales que: fo=1/2π√LC.
Con lo que acabamos de ver ya tenemos la forma de diseñar un OPW
que “arranque” automáticamente a partir de alguna de esas señales debidas
al ruido. Sólo hay que buscar el modo de que la realimentación negativa
sea un poco inferior a la positiva cuando en el circuito empiezan a aparecer
las pequeñas oscilaciones aleatorias de ruido que hemos comentado. Así el
circuito tendrá RGP para esas pequeñas señales senoidales de frecuencia fo
debidas al ruido y en cuanto aparezca la primera, la RGP la hará crecer en
el tiempo como vamos a mostrar. Para ello supongamos que cambiamos la
resistencia 2R’ del divisor R’-2R’ de la Figura 13 por una nueva resistencia
algo mayor, en concreto 2,5R’. De esta forma la señal realimentada a la
patilla (-) del AO es vo dividida por 3,5 y la señal de frecuencia fo
realimentada a la patilla (+) sigue siendo vo dividida por 3.

246. 246
En cuanto conectemos al AO su alimentación de ±VCC empezarán a
aparecer esas pequeñas oscilaciones de frecuencia fo debidas al ruido y
vamos a pensar que la primera que aparece en vo es una oscilación de 3 nV
de amplitud. Debido al divisor R-C se realimentará 1nV de los 3nV que
hay en vo a la entrada (+) del AO, pero a la entrada (-) se realimentarán
0.857nV (3nV/3,5). Por tanto entre las entradas (+) y (-) habría 0.143 nV de
tensión diferencial que al multiplicarse por la ganancia Ad del AO (106 V/V
por ejemplo) tendería a hacer mucho mayor la señal de salida vo (143mV) y
esto a su vez tendería a aumentar la tensión diferencial a la entrada y así
sucesivamente. El efecto producido es que la amplitud de oscilación inicial
debida al ruido crece exponencialmente en el tiempo hasta alcanzar valores
de voltios, que harán que la señal de salida vo(t) tenga una forma temporal
repetitiva de onda senoidal recortada o limitada en sus picos debido a que
el AO sólo puede dar a su salida tensiones limitadas, comprendidas entre
±VCC y casi siempre sin alcanzar estos valores extremos.
Esa onda de salida vo(t), a medio camino entre una onda senoidal y
otra cuadrada, se puede ver como una suma o superposición de señales
senoidales (suma de armónicos) de frecuencias fo (fundamental) y sus
múltiplos (2fo, 3fo, etc). Si la amplitud del componente fundamental de vo(t)
fuese en estas condiciones de 10V por ejemplo, la señal diferencial de
componente fundamental que habría entre las entradas del AO sería de
0.476V. Esto supondría que la nueva ganancia del AO en estas condiciones
de salida recortada o limitada, para la señal senoidal de frecuencia fo sería
de 21 (10V/0.476V) y no de 106 como lo era para señales pequeñas que no
llegaban a saturar la salida del AO. Esta situación se mantiene y la señal de
salida vo(t) se repite en el tiempo debido a que ha habido una reducción de
ganancia efectiva del sistema debido al efecto del recorte o limitación que
impone la salida limitada del AO. Por tanto, el oscilador arranca debido a la
RGP inicial y luego ocurre algo que reduce la ganancia del sistema de
modo que la oscilación (distorsionada) ya no crece más y se mantiene en el
circuito.
Con el fin de no tener tanta distorsión, el OPW se diseña de modo
que tenga RGP para señales vo(t) de pequeña amplitud, pero se introduce
algún elemento no-lineal que hace que a medida que la amplitud de vo(t)
aumenta, la realimentación negativa se vaya reforzando hasta que iguala a
la positiva para una amplitud de salida dada VMANT. Con esta amplitud de
señal senoidal de frecuencia fo a la salida, el circuito alcanza la condición
de ambas realimentaciones equilibradas y pasa a mantener la señal senoidal
con esa amplitud. Una de estas estrategias consiste en elegir una resistencia
algo mayor que 2R’ en la rama de realimentación negativa, de modo que
inicialmente el circuito tiene RGP y puede arrancar. Después se coloca en
paralelo con esa resistencia algo como lo que aparece en el circuito de la
Figura 14, que entra en acción cuando vo(t) alcanza amplitudes apreciables.

247. Diseño con Amplificadores Operacionales 247
En dicha Figura se utiliza un circuito resistencia-diodo que se autoconecta
en paralelo con 2R’ cuando la amplitud de la señal es suficiente para hacer
conducir a cada diodo alternativamente en cada semiciclo de señal. Esos
diodos pueden ser diodos emisores de luz roja (LEDs de AlGaAs/GaAs) de
alta eficiencia, que empiezan a conducir de forma apreciable con tensiones
cercanas a 1.8V. De esta forma el brillo de los diodos indicará además que
el circuito está oscilando. La realimentación negativa del AO de la Figura
14 sería del tipo no lineal y ocasional que vimos al final del Capítulo IV y
consigue el efecto de reducción de ganancia necesario para cuando la señal
en el circuito tiene amplitud suficiente.
Figura 14
En el semiciclo positivo de la señal vo se iluminará el diodo D2, cuya
resistencia dinámica (variable con la corriente que lo atraviese) en serie con
39 KΩ quedará en paralelo con los 12KΩ, dando la resistencia promedio de
10KΩ que equilibra las realimentaciones positiva y negativa para señales
senoidales de frecuencia fo y que permite por tanto mantener esas señales y
no otras, porque para esas señales el circuito trabaja como el que vimos en
la Figura 8. En el semiciclo negativo de vo se iluminará el diodo D1, cuya
resistencia dinámica en serie con 39 KΩ quedará en paralelo con los 12KΩ,
dando la resistencia promedio de 10KΩ que equilibra las realimentaciones
(o que equilibra el Puente de Wien que rodea al AO). Este tipo de oscilador
(OPW) funciona bastante bien hasta frecuencias del orden del MHz y
puede dar una calidad de señal senoidal bastante aceptable (una baja
distorsión). Algo de distorsión siempre aparecerá por la presencia de

248. 248
elementos no-lineales como los diodos D1 y D2 empleados para aumentar
la realimentación negativa cuando la señal vo tiene amplitud suficiente.
Podríamos decir por tanto que el OPW tiene RGN para la mayoría de
las señales excepto para las senoidales de frecuencia fo y que mantiene
señales senoidales de frecuencia fo debido a la realimentación global
equilibrada que sólo existe para esas señales. Nótese la diferencia con el
oscilador aestable del capítulo anterior en el que la realimentación era
positiva la mayor parte del tiempo y sólo en los breves instantes de
conmutación era la negativa la que dominaba. El aestable también puede
dar una señal de frecuencia fundamental fo igual a la de un OPW, pero su
señal de salida será cuadrada y contendrá señales senoidales de frecuencias
fo y sus múltiplos o armónicos en vez de ser cuasi-senoidal (senoidal de
frecuencia fo con algo de distorsión) como en el caso del OPW. Estos
comentarios ilustran cómo en el caso de RGN suele ser fácil trabajar en el
dominio de la frecuencia (RGN da lugar a circuitos y sistemas lineales)
mientras que en el caso de RGP, las cosas se ven mejor en el dominio del
tiempo. Ello conduce a una forma distinta de análisis en cada caso: función
de transferencia lineal bajo RGN y evolución temporal bajo RGP.
De todo lo anterior se concluye que en circuitos con realimentaciones
hacia las dos entradas del AO resulta esencial comprobar la existencia de
RGN o RGP a fin de elegir la forma de análisis adecuada. Un buen ejemplo
de lo que decimos aparece al evaluar la siguiente propuesta circuital para el
oscilador en puente de Wien. Si su red selectiva en frecuencia no desfasa y
atenúa por 3 a la frecuencia fo, ¿Podremos utilizar esa misma red con las
ramas R-C intercambiadas para hacer un oscilador senoidal?.
Figura 15

249. Diseño con Amplificadores Operacionales 249
Nos referimos al intercambio de las ramas R-C serie y R-C paralelo
como se muestra en la Figura 15. En esta situación la fracción de señal vo (a
la frecuencia fo) que se realimentaría a la entrada (+) del AO sería 2/3 en
vez de 1/3 y tampoco habría desfasaje. Parece que con intercambiar las
resistencias R’ y 2R’ de la Figura 13 como se muestra en la Figura 15, se
obtendría un sistema con realimentación global equilibrada a la frecuencia
fo, similar al de la figura 13, que dio lugar al OPW de la Figura 14.
La respuesta sin embargo es negativa: no podemos hacer eso y
esperar que el sistema se comporte de forma similar. Basta con ver la red
asintótica para bajas frecuencias (para dc por ejemplo) que tal cambio de
ramas R-C produciría. En ella, la entrada (+) del AO quedaría conectada a
vo a través de R, sin nada entre dicha entrada (+) y masa, porque el
condensador C de la rama serie dejaría abierta esta rama en dc. Debido a
ello, la realimentación en dc a la entrada (+) del AO tendería a ser unitaria:
v(+)≈vo, mientras que a la patilla (-) sería menor: v(+)=2/3vo, con R’ y 2R’
en la posición de la Figura 15, por lo que el circuito pasaría a tener RGP en
dc y bajas frecuencias. También habría RGP en altas frecuencias, como
puede comprobar el lector con la red asintótica correspondiente (haciendo
tender a cero la impedancia de los condensadores). Por tanto el sistema así
obtenido tendría un comportamiento extraño, quizá como el de un biestable
de los que vimos en el Capítulo anterior y ya no sería el oscilador senoidal
en Puente de Wien que hemos presentado.
Como una muestra más de la utilidad y aplicación de lo visto hasta
ahora, la Figura 16 muestra un circuito con AO que hemos visto “resuelto”
en un texto mediante la aplicación poco meditada de la aproximación
ITV(SC) en las entradas de los AO del circuito.
Figura 16

250. 250
Esa aplicación, incorrecta en este caso, de ITV(SC) a las entradas de
los AO, permite obtener la siguiente función de transferencia vo/vg:
vo − R2 × R6  1 R3 + R4 
= × + 
vg R1 + R2  R2 R3 × R5 
 
(22)
que hace pensar que el circuito es lineal y tiene una ganancia inversora de
tensión que depende de los valores de las resistencias que lo forman, como
la que vimos para un AO en CAI. Ese resultado se obtiene fácilmente
considerando que la salida del AO2 es vo=−R6×(i1+i2) debido a la estructura
sumadora de corrientes que se produce en la entrada (-) de dicho AO, cuya
tensión es prácticamente nula (masa virtual). Además, debido a esa tensión
nula, se tiene: a) i1=vg/(R1+R2) y b) i2=v/R5, siendo v la tensión de salida de
AO1. Si ahora se aplica ITV(SC) en las entradas de AO1, se obtiene la
igualdad: c) v×R3/(R3+R4)=i1×R2. Con las expresiones a), b) y c) se obtiene
la ganancia de la expresión (22) que se daba como solución del circuito de
la Figura 16. Según esa “solución”, haciendo todas las resistencias iguales a
5KΩ por ejemplo, ese circuito tendría una ganancia vo/vg=-3/2. Con esa
ganancia pensaríamos que una señal de entrada senoidal vg de 2 voltios de
pico daría una señal de salida senoidal vo, de 3 voltios de pico cambiada de
signo (invertida o con un desfasaje de 180º en régimen permanente).
La realidad sin embargo es muy distinta, porque el AO1 tiene dos
posibles caminos de realimentación, uno hacia su entrada (+) a través del
divisor R3-R4 y otro hacia su entrada (-) a través del divisor R1-R2. Por
tanto, para poder aplicar ITV(SC) a las entradas de AO1 hay que demostrar
antes que existe RGN, o en otras palabras: que la realimentación negativa
del AO1 es mayor que su realimentación positiva. En el caso de AO2 no
hay duda porque sólo tiene un camino de RN a través de R6, de modo que
se le puede aplicar ITV(SC). Por tanto, AO2 hará que la tensión de su
entrada (-) sea nula debido a su RN. De este modo la tensión que muestrea
el divisor divisor R1-R2 será siempre nula e independiente de lo que haga la
salida de AO1. Según esto, no hay Realimentación Negativa para el AO1:
la entrada inversora del AO1 no se entera de lo que pasa en su propia salida
(o de algo proporcional a ella). Sin embargo AO1 tiene RP, por lo que su
comportamiento será como el del biestable que denominamos “trigger”
Schmitt. Tenemos por tanto un circuito o sistema más complejo de lo que
parecía, con AO1 funcionando bajo RP y AO2 bajo RN, cuyo análisis
requiere cierto sentido común que considere los estados del biestable.
Así, suponiendo que los AO están alimentados a ±12V y que pueden
dar a su salida tensiones de ±12V también (AO del tipo “rail to rail”), los
estados del biestable serán dos: el estado “1” con +12V a su salida y el

251. Diseño con Amplificadores Operacionales 251
estado “0” con –12V a su salida. Para el ejemplo propuesto con todas las
resistencias iguales a 5KΩ y una entrada senoidal de 2V de amplitud de
pico, la señal de salida podrá ser de dos tipos debido al biestable. Con el
biestable en el estado “1” la tensión de salida del AO1 será v=+12V. Como,
las resistencias R5 y R6 junto con AO2 forman un amplificador inversor de
ganancia –1 para esta tensión v, la salida vo tendrá una tensión de –12V
sobre la que se superpondrá el efecto debido a vg. Despreciando la corriente
que pueda entrar o salir por la patilla (-) del AO1 (no porque haya ITV, que
no hay, sino por pura construcción del AO: pensemos en uno con entrada
FET por ejemplo) las resistencias R1 en serie con R2 y R6 junto con AO2
formarán un amplificador inversor de ganancia –1/2 para la tensión vg. Si
ésta era de 2V de pico, sus semiciclos positivos tenderían a dar valores de
salida vg negativos (de –1V de amplitud) que se sumarían a los –12V que
ya hay en vo, tratando de que esa tensión fuese aún más negativa. Como el
AO2 no puede dar tensiones menores que –12V debido a su alimentación
de ±12V, los semiciclos positivos de vg no tendrán efecto en la salida, que
se quedará en –12V durante esos semiciclos. Sin embargo, los semiciclos
negativos de vg, por las razones expuestas, tenderán a dar señales de salida
positivas de +1V de pico que se sumarán a los –12V existentes. El efecto
serán semiciclos senoidales entre –12V y –11V en la salida vo, es decir: una
especie de señal senoidal rectificada sobre un nivel de –12V.
Se puede argumentar de forma parecida para el caso del biestable en
su estado “0” con –12V a la salida de AO1. En este caso, la salida vo sería
un nivel de continua de +12V sobre el que se verían semiciclos senoidales
de tensión bajando hasta +11V y volviendo a subir a +12V. Serían debidos
a los semiciclos positivos de vg, como el lector puede comprobar. Vemos
por tanto que la “ganancia” vo/vg o función de transferencia del circuito es
mucho menos simple que lo que el empleo incorrecto de ITV(SC) hacía
suponer y, desde luego, no es lineal. Las cosas pueden incluso complicarse
más si la señal de entrada supera los 6V de pico, porque en tal caso, además
del efecto anterior, vg hará que bascule el biestable de entrada. Se deja
como ejercicio para el lector la obtención de la nueva señal de salida en
este caso, que como comprobará, tampoco tiene nada que ver con la réplica
lineal de vg que la “solución” recogida en la expresión (22) hacía suponer.
¿Qué significa entonces la expresión (22)?. La respuesta es sencilla:
representa el punto de equilibrio inestable que vimos en el Capítulo II al
comentar las Figuras 25 y 26. Es la relación de tensiones vo/vg que satisface
matemáticamente una hipotética ITV(SC) en las entradas de los AO, pero
que nunca tendrá el circuito. El ruido, siempre presente, bastará para que el
circuito, que es un circuito generativo, se aparte de ese punto. Haciendo
iguales a 5KΩ las seis resistencias de la Figura 16, una tensión vg=+2V
estará en equilibrio con otra de salida vo=-3V según la expresión 22. Ello es
coherente con una tensión de +1V en las entradas del AO1, cuya salida por

252. 252
tanto deberá estar a +2V (para que la entrada (+) esté a +1V), cosa posible
por su ganancia matemáticamente infinita. Esta tensión de +2V delante de
R5 y la de +1V delante de R2 harían que la tensión salida del AO2 (que
trabaja como un sumador inversor gobernado por RN) fuese vo=–3V.
Piense ahora el lector hacia dónde evolucionará el circuito de la Figura 16
si debido al ruido, la tensión de la entrada (-) del AO1 supera ligeramente
(en 1nV por ejemplo) a la de la entrada (+) de dicho AO. Si concluye que
vo pasará a valer bruscamente unos 11V positivos (suponiendo que los AO
son del tipo “rail to rail” y están alimentados a ±12V), seguramente habrá
captado lo que significa la realimentación positiva y la casi nula utilidad de
la expresión (22), obtenida al suponer que hay ITV(SC) donde simplemente
no puede haberla.
También es posible que exista un error en el circuito de la Figura 16
que consiste en intercambiar sin querer los signos de las entradas “+” y “–”
del AO1. Este error es bastante frecuente al dibujar varios AO y el lector
debería concluir que en este caso la expresión (22) sería correcta. De
hecho, en el texto del que se tomó este ejemplo hay bastantes errores de
este tipo, casi todos ellos solucionables con ese cambio de signo atribuido a
ese error comprensible, que podría haberse evitado comprobando antes la
existencia de RGN. Aun así parece que algunas de las realimentaciones
dobles se han propuesto sin meditar mucho sobre su significado, a tenor de
otro ejemplo que se muestra en la Figura 17.
Figura 17

253. Diseño con Amplificadores Operacionales 253
Para este circuito con R1=R2=R3=R4=R, se da la siguiente ganancia
Vo/Vg(jω) lineal:
Vo
( jω ) = R × (1 + jωCR)
Vg R + Rg − jωCRRg (23)
Esa “ganancia” debe ser la expresión que se obtendrá al aplicar al
circuito ITV(SC), cosa que no haremos hasta mostrar que existe RN o RGN
en el circuito. No obstante, hay una prueba rápida sobre el origen de esa
expresión, mediante la red asintótica que aparece en altas frecuencias a las
que el condensador ofrecerá una impedancia muy baja, conectando a masa
el punto de unión de las resistencias R2 y R3. En este caso tendríamos un
AO en CAI, que generaría una masa virtual en la patilla (-) del AO y cuya
ganancia para la tensión Rg sería –R4/Rg = –R/Rg, que es la expresión que se
obtiene a partir de la (23) si hacemos suficientemente grande el valor de la
frecuencia del condensador (ω ∞ o bien C ∞). Por tanto, parece que ése
es el origen de la expresión (23), pero esta misma prueba nos va a evitar
trabajo si la hacemos para bajas frecuencias, a las que el condensador
ofrecerá una impedancia muy alta, quedando como un circuito abierto. En
este caso vemos que la entrada (+) del AO queda conectada a su salida a
través de R2 y R3, que podrían meterse en el propio AO como una pequeña
parte añadida a su resistencia de entrada Ri. Con ello vemos que a bajas
frecuencias la realimentación a la entrada (+) es unitaria (βv=vr/vo=1),
mientras que a la entrada (-) es menor que la unidad debido al divisor que
forman R1Rg con R4. Por tanto hay RGP y no RGN, por lo que ni nos
molestamos en tratar de emplear ITV(SC).
Podríamos pensar de nuevo que un error gráfico al intercambiar los
signos (+) y (-) en las entradas del AO, ha podido ser la causa de la
contradicción encontrada. Si cambiamos esos signos entre sí resulta que
ahora es en altas frecuencias donde aparece RGP. Por estos motivos no nos
hemos preocupado de aplicar ITV(SC) al circuito, porque simplemente NO
se puede. En otras palabras: el circuito es uno generativo y no tendrá una
ganancia lineal como la que se propone.
VI.5- Conclusiones
En el diseño y en el análisis de sistemas con AO que empleen doble
realimentación (positiva y negativa) y que deban producir la conocida
ITV(SC) entre las entradas de los AO, habrá que ser muy cuidadosos para
garantizar que en dichos sistemas exista RGN. Ello requiere, entre otras
cosas, que se incluyan todos los elementos circuitales que rodean y van a

254. 254
rodear (según el empleo previsto) al sistema bajo estudio, debido a que es
un sistema realimentado que va a notar tanto lo que se conecte a su entrada
como lo que se conecte a su salida. El no hacerlo puede dar lugar a que un
sistema que aisladamente poseía RGN por ejemplo, pase a tener RGP al
conectarle otro circuito, debido a los efectos de carga siempre presentes en
los circuitos electrónicos.
Debido a ello, el lector siempre debería comprobar la existencia de
RGN en aquellos circuitos con doble realimentación que vaya a analizar
empleando ITV(SC) antes de hacer un análisis sin sentido si resulta que en
el circuito no domina la realimentación negativa. Con más motivo deberían
hacerlo algunos autores antes de proponer circuitos con RGP debida a sus
varias realimentaciones y “resolverlos” mediante el uso de la aproximación
ITV(SC). La buena intención educativa de tales propuestas si buscan que el
alumno adquiera práctica en los cálculos con la aproximación de la
ITV(SC) no justifica el error conceptual que conllevan. Enseñar juntos
tanto el modo de resolver circuitos con AO como el por qué resolverlos de
una forma u otra, además de evitar ese error, resulta mucho más formativo
y enriquecedor. Este aspecto formativo ha sido el objetivo principal del
presente libro y una de las razones por las que no se ha entrado en el tema
del comportamiento con la frecuencia de los sistemas propuestos, a fin de
no complicar ni oscurecer las ideas básicas subyacentes.
El empleo de algunas redes básicas y su aproximación asintótica para
altas o bajas frecuencias, ha permitido presentar el tema del manejo sensato
de los dos tipos de realimentación en sistemas con AO. Este tema, que no
es difícil con el enfoque que hemos dado para dc y baja frecuencia, será de
gran utilidad para dar al lector unas ideas claras que le permitirán abordar
con garantía el estudio del comportamiento de los sistemas con AO en
función de la frecuencia. Para este estudio, que aparece en varias de las
obras recomendadas en la Bibliografía, necesitará saber manejar funciones
de variable compleja, de las que aquí tan sólo se han citado unos pocos
ejemplos, y probablemente empleará programas de simulación de circuitos
que le ayudarán mucho en su análisis y diseño. Esperamos también que las
ideas expuestas en este libro le sirvan de ayuda eficaz para ese estudio tan
interesante y formativo.
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255. Diseño con Amplificadores Operacionales 255
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