Este documento presenta la resolución de varios ejercicios de vectores tomados del libro de Vallejo Zambrano Unidad 1. Incluye representaciones gráficas y analíticas de vectores dados en coordenadas polares, rectangulares y geográficas. También incluye cálculos de sumas, restas, módulos, proyecciones y áreas de vectores.

1. UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE ARQUITECTURA
FÍSICA
RESOLUCION EJERCICIOS DEL LIBRO VALLEJO
ZAMBRANO UNIDAD 1: VECTORES
PROFESOR:
ING. VICTOR RODRÍGUEZ
INTEGRANTES:
 CARLOS EDUARDO ELIZALDE RAMIRES
 HUGO JOSUE CASTRO
 JUAN CARLOS CARMONA
CURSO:
NIVELACION “C”
2015

2. EJERCICIO Nº 1
4. Representarlassiguientescoordenadaspolaresenel plano:
R. (40cm, 75˚)
S. (20cm, 290˚)

3. T. (30cm, 180˚)
U. (15N, 110˚)
V.(25N, 330˚)

4. W. (10N, 200˚)
X. (35m, 45˚)
Y. (50m, 245˚)

5. Z. (50m, 90˚)

6. EJERCICIO Nº 1
12. En el triánguloMNO,hallar:
a) M entérminosde o,m.
b) N entérminosde o,m.
c) n entérminosde o,m.
d) m entérminosde M, n.
e) o entérminosde N,n.
f) o entérminosde N,m.
a) sin 𝑀 =
𝑚
𝑜
b) cos 𝑁 =
𝑚
𝑜
c) 𝑜2 = 𝑚2 +𝑛2
𝑛2 = 𝑜2 −𝑚2
𝑛 = √ 𝑜2 −𝑚2
𝑑) tan 𝑀 =
𝑚
𝑛
𝑚
𝑛
= tan 𝑀
𝑚 = tan 𝑀 (𝑛)
𝑒) sin 𝑁 =
𝑛
𝑜
𝑛
𝑜
= sin 𝑁 𝑜 =
𝑛
sin 𝑁
f) cos 𝑁 =
𝑚
𝑜
𝑚
𝑜
= cos 𝑁 𝑜 =
𝑚
cos𝑁
M
N
O
o
n
m

7. EJERCICIO Nº 2
7.- Si el ángulodirectorα de un vector 𝐾⃗⃗ es 125˚, ysu componente enel eje Xesde -37 cm;
determinar:
a) La componente enel eje Y.
b) El ángulodirector ß.
c) El módulodel vector 𝐾⃗⃗ .
d) El vectorunitario.
e) El vectorenfunciónde losvectoresbase.
f) El puntoextremodel vector.
SOLUCIÓN:
A)
tan ∅ =
𝑋
𝑌
∅ = 𝛼 − 90°
= 35°
𝑋
𝑌
= tan ∅
𝑌 =
𝑋
tan∅
𝑌 =
−37 𝑐𝑚
tan 35°
𝑌 = −52.84 𝑐𝑚
B)
𝛽 = 270° − 𝛼
𝛽 = 270° − 125°
𝛽 = 145°
C)
𝐾⃗⃗⃗ = √ 𝑋2 + 𝑌2
𝐾⃗⃗⃗ = √−372 + (−52.84)2
𝐾⃗⃗⃗ = √1369 + 2792.1
𝐾⃗⃗⃗ = √4161.1
𝐾⃗⃗⃗ = 64.51 𝑐𝑚

8. D)
𝜇⃗⃗⃗ =
𝐾⃗⃗⃗
| 𝐾⃗⃗⃗ |
𝜇⃗⃗⃗ =
−37 𝑐𝑚 − 52.84 𝑐𝑚
64.51 𝑐𝑚
𝜇⃗⃗⃗ =
−37𝑐𝑚
64.51𝑐𝑚
+
−52.84𝑐𝑚
64.51𝑐𝑚
𝜇⃗⃗⃗ = (−0.57𝑖⃗ − 0.82𝑗⃗⃗ )
E)
𝐾⃗⃗⃗ = 𝐾𝑋𝑖⃗ +𝐾𝑌𝑗⃗⃗
𝐾⃗⃗⃗ = (−37𝑖⃗ − 52.84𝑗⃗⃗ ) 𝑐𝑚
F)
𝐾⃗⃗⃗ = ( −37;−52.84) 𝑐𝑚

9. EJERCICIO Nº 2
13. El módulode unvector 𝐸⃗⃗⃗ es68cm y tiene comoángulosdirectoresα=115˚ y 𝛽= 25˚;
determinar:
a) La dirección.
b) Las componentesrectangularesdel vector.
c) Las coordenadasdel puntoextremodel vector.
d) El vectorenfunciónde losvectoresbase.
e) El vectorunitario.
SOLUCIÓN:

10. EJERCICIO Nº 3
8.- Expresarel vector
𝐿⃗ = 147cm (m𝑖 – n𝑗); Si m= 3n, en:
a) Coordenadasgeográficas.
b) Coordenadaspolares.
c) Coordenadasrectangulares.

11. d) Funciónde losvectoresbase.
SOLUCION:
EJERCICONº 4
5. dados losvectores 𝑀⃗⃗ =(37,25)m y 𝑁⃗⃗ =(41m,213° ), hallar:
a) 𝑀⃗⃗ +𝑁⃗⃗
b) 𝑁⃗⃗ − 𝑀⃗⃗
c) -2𝑁⃗⃗
d) 𝑁⃗⃗ .𝑀⃗⃗

12. e) La proyecciónde 𝑁⃗⃗ sobre𝑀⃗⃗
f) El área del paralelogramoformadoporlosdosvectores
SOLUCIÓN
.𝑀⃗⃗ = (37,25)
.𝑁⃗⃗ = (41m, 213°)
. 𝜃=213°-90°
.𝜃= 33°
Sen33°=
−𝑦
41𝑚
Cos33°=
−𝑥
41𝑚
(sen33°)(41m)=-y (cos33°)(41𝑚)=-x
-22.33=y -34.39m=x
a) 𝑴⃗⃗⃗ + 𝑵⃗⃗
𝑀⃗⃗ = ( 37 + 25) m
𝑁⃗⃗ = (-34.39 – 22.33) m
𝑀⃗⃗ + 𝑁⃗⃗ = (2,61 + 2,67) m
b) 𝑵⃗⃗ − 𝑴⃗⃗⃗
𝑁⃗⃗ = (-34.39 - 22.33) m
−𝑀⃗⃗ = ( -37 - 25) m
𝑁⃗⃗ − 𝑀⃗⃗ = (-71.39 -47.33) m
c) −𝟐𝑵⃗⃗
𝑁⃗⃗ = (-34.39 - 22.33) m
2𝑁⃗⃗ = (-68.78 - 44.66) m
−2𝑁⃗⃗ = (68.78 + 44.66) m
d) 𝑵⃗⃗ . 𝑴⃗⃗⃗
(-34.39𝑖̂ - 22.3𝑗̂) m. (37𝑖̂+25𝑗̂) m
(-1272.43𝑘̂ - 558.3𝑘̂) m
𝑁⃗⃗ . 𝑀⃗⃗ = (-1830.73𝑘̂)m

13. e) 𝑵⃗⃗ 𝑴
𝑈 𝑀=
M
| 𝑀|
𝑀⃗⃗ = √𝑋2 + 𝑌2
𝑈 𝑀=
(37𝑖̂ +25𝑗̂)m
44.65
𝑀⃗⃗ = √(37)2 + (25)2
𝑈 𝑀=
(37𝑖̂ )m
44 .65
+
(25𝑗̂)m
44.65
𝑀⃗⃗ = √1994
𝑈 𝑀= (0.83 𝑖̂ + 0.56𝑗̂) 𝑀⃗⃗ = 44.65
Cos 𝜃=
𝑁⃗⃗ .𝑀⃗⃗
| 𝑁|| 𝑀|
𝑁⃗⃗ 𝑀=
𝑁⃗⃗ .𝑀⃗⃗
| 𝑀|
. 𝜇𝑀⃗⃗
𝜃=cos−1
.
−1830.73
(4)(44.65)
𝑁⃗⃗ 𝑀=
−1830.73
44.65
. (0.83𝑖̂ + 0.56𝑗̂)
𝜃=cos−1 −1830 .73
(1830.73)
𝑁⃗⃗ 𝑀=-41(0.83𝑖̂+ 0.56𝑗̂)
𝜃=cos−1
1 𝑁⃗⃗ 𝑀= -34.05𝑖̂ − 22.96𝑗
𝜃=0°
f) 𝑴⃗⃗⃗ × 𝑵⃗⃗
𝑀⃗⃗ × 𝑁⃗⃗ =|
37 25
−34.39 −22.33
|
𝑀⃗⃗ × 𝑁⃗⃗ =(-826.24)-(-859.75)
𝑀⃗⃗ × 𝑁⃗⃗ =33.54
EJERCICIO Nº5
1. En el reloj de una iglesiael minuteromide1,2y el horero80cm.-Dterminarlaposición
relativadel extremodel horerorespectoal extremodel minutero,enlassiguientes
horas:
a) 10h10 d)8h20 g)2h40
b) 12h35 e)9h10 h)11h05

14. c) 5h40 f)6h50 i)4h00

19. EJERICIO Nº 5
9. La cumbre de la montañaA estáa 3Km del sueloylacumbre de lamontaña B a 2 Km del
suelo.Si lasmontañasse unencomoindicael siguiente gráfico:
Determinar:
A) La posiciónrelativade lacumbre de la montañaB respectoa la cumbre de la montaña
A.
B) La longituddel cable parainstalarunteleféricode lacumbre de lamontañaA a la
cumbre de la montañaB.
SOLUCION:
tan 𝜃 =
𝑌
𝑋
𝑌
𝑋
= tan 𝜃
𝑋 =
𝑌
tan 𝜃
𝑋 =
3 𝐾𝑚
tan 60°
𝑋 =
3 𝐾𝑚
1.73
𝑋 = 1.73 𝐾𝑚
𝐴 = ( −1.73 + 3) 𝐾𝑚
tan 𝜃 =
𝑌
𝑋
𝑌
𝑋
= tan 𝜃
𝑋 =
𝑌
tan 𝜃
𝑋 =
2 𝐾𝑚
tan 40°
𝑋 =
2 𝐾𝑚
𝑂.83
𝑋 = 2.38 𝐾𝑚
𝐵⃗ = ( 2.38 + 2) 𝐾𝑚

20. 𝐴) 𝐵⃗⃗⃗ − 𝐴⃗⃗⃗
𝐵⃗⃗⃗ = (2.38𝑖 + 2𝑗⃗⃗ )
−𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1.73𝑖⃗ − 3𝑗⃗⃗ )
𝐵⃗⃗⃗ − 𝐴⃗⃗⃗ = ( 4.11𝑖⃗ − 1𝑗⃗⃗ )
B) 𝑅⃗⃗⃗ = √𝑋2 + 𝑌2
𝑅⃗⃗⃗ = √4.112 + 12
𝑅⃗⃗⃗ = √16.89 + 1
𝑅⃗⃗⃗ = √17.89
𝑅⃗⃗⃗ = 4.23 𝐾𝑚