Este documento presenta identidades trigonométricas del ángulo doble y mitad. Explica que las identidades relacionan funciones trigonométricas del ángulo doble con funciones del ángulo original, y viceversa para el ángulo mitad. También incluye ejemplos y problemas resueltos para aplicar estas identidades.
Molts afirmen que no són masclistes i, fins i tot, es proclamen feministes o “igualitaristes”. És una proclama més fàcil de fer que de portar a la pràctica, ja que el patriarcat arriba a tots els racons i ens para moltes trampes. I, en el cas dels homes, és fàcil caure en algunes, especialment en les actituds acomodatícies que Luís Bonino anomena micromasclismes.
Molts afirmen que no són masclistes i, fins i tot, es proclamen feministes o “igualitaristes”. És una proclama més fàcil de fer que de portar a la pràctica, ja que el patriarcat arriba a tots els racons i ens para moltes trampes. I, en el cas dels homes, és fàcil caure en algunes, especialment en les actituds acomodatícies que Luís Bonino anomena micromasclismes.
Problemas resueltos y planteados de series de Fourier. Varios planteamientos fueron obtenidos del libra de matematicas avanzadas para ingenieros de Erwin Kreyszig
Problemas resueltos y planteados de series de Fourier. Varios planteamientos fueron obtenidos del libra de matematicas avanzadas para ingenieros de Erwin Kreyszig
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Sen 2 x 1 Cos 2 x
Sen 2 x Cos 2 x 1 ; x R
Cos 2 x 1 Sen 2 x
Ciclo 2013-III
2 2
Sec x Tan x 1
Sec 2 x Tan 2 x 1 ; x R (2n 1) ; n Z
2 Tan 2 x Sec 2 x 1
2 2
C sc x Cot x 1
TRIGONOMETRÍA Csc 2 x Cot 2 x 1 ; x R n ; n Z
Cot 2 x Csc 2 x 1
“Identidades Trigonométricas del Semana Nº 9
ángulo doble y mitad”
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con Identidades trigonométricas.
Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DEL
ÁNGULO DOBLE Triángulo del Ángulo Doble:
sen2=
sen2 = 2sen cos sen40º =
sen8=
cos2 =
2 2
1 Tan 2 2 Tan
cos2 = cos - sen cos40º =
cos4 =
2tan tan2 = __________________ 2 2 Tan
tan2 = 2
Sen 2
1 - tan tan2 = __________________
2
1 Tan 2 1 Tan 2
1 Tan 2 Tan
Así tenemos:
También:
2
Cos 2x 1 2Sen 2x Sen 2
2 Tan Cos 2 1 Tan
2
1 Tan 2 1 Tan 2
1 Tan 2 2 Tan
Cos 2x 2Cos 2x 1 2
1 Tan Ejemplos:
2
Ejemplos: Cos 2Sen18° = 2Tg9
1 Tan
2 2
1 Tan 1 Tg2 9
Sen80° = 2Sen40°Cos40°
2
2Sen3xCos3x Tan
1 = Sen6x
Cos72° = Cos 36° – Sen236°
2 1 Tg2 4 x
Cos8x =
Cos10x = 2Cos25x – 1 1 Tg2 4 x
5x
Cos5x = 1 – 2Sen2 Fórmulas de Degradación:
2
2Cos2 – 1 = Cos 2 Sen 2 x 1 Cos 2 x 8 Sen 4 x 3 4 Cos 2 x
8 4
1 – 2Sen225° = Cos50° 2 4
2Tg15
2 Cos x 1 Cos 2 x 8 Cos x 3 4 Cos 2 x
1 Tg215
Tg30 Cotx Tanx 2Csc 2x Cotx Tanx 2Cot 2 x
Cotx Tanx 2Csc 2 Cotx Tanx 2Cot 2 x Sec 2 x Csc 2 x 4 Csc 2 2 x
x
Tan 2 x
Tan 2 xTanx Sec 2 x 1 Sec 2 x
Tanx
1
Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo
2. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
Tan 2 x PROBLEMAS RESUELTOS
x Sec 2 x 1 Sec 2 x 1
Tanx
1. Halle “x”
3 1 x
Sen4 Cos4 Cos4
4 4
5 3
Sen6 Cos6 Cos4 1
8 8
Ejemplos: 4
A) 17 B) 8
C) 1 D) 4 E) 5
2Sen43x = 1 – Cos 6x 15 15 15 15 18
RESOLUCIÒN
2Cos2 = 1 + Cos
18 9 tg2
2 tg
1 – Cos60° = 2Sen230° 1 tg2
1 + Cos74° = 2Cos37° 1
Cot15° + Tg15° = 2Csc30° 1
2 8
Cot3x – Tg3x = 2Cot6x tg2 4 tg2 2 tg2
2 15 15
Sen415° + Cos415° = 3 1 Cos60° 1
1 16
4 4 4
Sen + Cos6 = 5 3 Cos
6 8 x 1 32 ; x
17
x 1
8 8 8 8 2 15 4 15 15
RPTA.: A
IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD
2. Si: tg 9
4
1 cos 1 cos Halle E = ctg 2
sen cos
D) 11
2 2 2 2
A) - 9 B) 5 C) 1 E) 1
40 18 40 40 25
1 cos RESOLUCIÒN
tg ; x x
2 1 cos tg tg x 9
4 4
4
NOTA: el signo (±) se elige según el M ctg2 ctg 2 x M ctg 2x tg2x
4 2
cuadrante del arco y de la R.T. a la 2 9
2 tg x 18 18
2 M M
que afecta. 1 tg2 x 1 92 1 81 80
M
9 RPTA.: A
AUXILIARES 40
sen
tg csc ctg 3. Reduce: x x
2 1 cos E ctg 2 cos2 ctg x
2 2
A) 1 B) cos x C) sen x D) tg xE) ctg x
ctg csc ctg sen RESOLUCIÒN
2
1 cos x x
E ctg 2 cos2 ctg x
2 2
2sen 2 2 2 ... 2 E csc x ctg x 1 cos x ctg x
2n 1
" n " radicales E csc x ctg x ctg x cos x ctg x
1 cos x 1 cos2
2 cos 2 2 2 ... 2 E cos x
2 n1
sen x sen x sen x
" n" radicales
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo
3. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
sen2 x a) K > 0 b) K = Sen2 c) K = Sen4
E
sen x d) K = 0 e) K = Cos2
E sen x RPTA.: C 3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I
5) Si: 1 m
2
1 m :
2 entonces
x Tg ; Ctg
4. Reduce: tg ctg x 4 n2 4 n2
M 2
x m4 n 4 es igual a:
ctg x ctg
2 n2
a) b) c)
A) 1 B) -1 C) 0 D) ½ E) 1/3 sen
Tg
Ctg
RESOLUCIÒN 2 2 2
x d) e)
ctg x tg ctg x csc x ctg x Sec
Csc
2 M 2 2
M ctg x csc x ctg x
x
ctg x ctg 6) Si: Tg2 +ctg2= 66; y ; entonces, el
2
4 2
ctg x csc x ctg x csc x
M valor de Ctg2es:
ctg x csc x ctg x csc x
a) 2 b) 3 c) -3 d) -4 e) 5
M=1 RPTA.: A 2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 - III
7) Si: x = 11º25`; entonces el valor de E, tal que
Problemas DE CLASE x x
E 8.sen . cos . cos x . cos 2x , es
2 2
1) Si tg +Ctg= 40 , entonces el valor de
a) 2 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 2
9 2
sen2, es;
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 - III
a) 9/10 b) 9/20 c) 19/25 d) 11/13 e) 19/20
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2009 - III 8) Si: 2sen2x – 3cos2x = 3 ; calcular el valor de
P 26 csc 2 x 5 sec 2 x; Cosx 0
2) Si: 0 , entonces el máximo valor de: A) -13 B) 39 C) 13 D) -39 E)1
; es
E ctg ctg
2 9) Si: a = sen – cos , b= cos2 ;
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 entonces, se puede afirmar que:
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
A) a 2a b 0 B) a 3a b 0
4 2 2 4 2 2
C) a a b 0 D) a a b 0
4 2 2 4 2 2
3) Del grafico mostrado, Hallar “x”
E) 2a 2a b 0
4 2 2
10) Si: x ε IIIC tal que Csc 2 2x = 1.75 ,
Calcular Tg7x + Ctg7x
A) 37 7 B) 42 7 C) 63 7 D) 91 7 E) 94 7
11) Si: Senx
1 ; Calcular x
Tg 2
3 4 2
a) X = 6 b) X = 8 c) x = 10 d) x = 12 e) x = 14
A) ½ B) ¼ C) 1/6 D) 1/9 E) 4/9
4) Si: K Sen4 .Ctg 2 .Sec2 donde: 3 ; 12) Determinar la variación numérica de:
Csc 2 8 2
se afirma que: E Ctg .Cos 2Cos .Cos 2 .Ctg
2 2
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo
4. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
A) 1 ; 1 B) 1 ; 1 C) 1 ; 1
16 16
8 8
4 4
19) Calcular el valor de k que satisface la igualdad:
D) 1 ; 1 E) 1;1
2 2
a) 2 b) 4 c) 6
d) 1/2 e) ¼
13) Si: 96 ;
31
Calcular Csc Csc Csc Csc Csc 20) Si: ( ) ( )
2 4 8 16 Calcular:
A)0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
( )
14) Si: sec2 x ntgx , n 2 , entonces
a) k b) 1/k c) 2/k
sen x cos 3 x es igual a:
3
d) e)
senx cos x 3
21) Del grafico mostrado , calcular el valor de:
a) n 3 b) n 1 c)
n 1
n 2 n 2 n 2
d) n 3 e) n 2
n 2 n 2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
y
15) Si: tg ) = 2 y tg() = 3, calcular: 2x x
K 7 sen 2 cos 2
a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) -2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
a) 1 b) 2 c) 3
16) Si x 0, , al reducir: 2 , d) 4 e) 5
8 2 2 2Cos4 x
se obtiene: 22) Si:
a) Senx b) Cosx c) Secx d) Cscx e) Tgx ( )( )( ) ( ) ( )
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I Calcular:
17) Si: x, y ε R+ y x + y = 1, determine el máximo
valor de M si 1 1 1 1 M
a) 0 b) 1 c) 2
x
y d) 3 e) 4
Sugerencia: utilice identidades del ángulo
doble
A)6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 18
18) Simplificar la expresión:
( )
( )
a) sen2x b) sen4x c) csc2x
d) e) csc4x
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo