Este documento presenta identidades trigonométricas del ángulo doble y mitad. Explica que las identidades relacionan funciones trigonométricas del ángulo doble con funciones del ángulo original, y viceversa para el ángulo mitad. También incluye ejemplos y problemas resueltos para aplicar estas identidades.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Sen 2 x  1  Cos 2 x

Sen 2 x  Cos 2 x  1 ; x  R 
Cos 2 x  1  Sen 2 x


Ciclo 2013-III
2 2
  Sec x  Tan x  1
Sec 2 x  Tan 2 x  1 ; x  R  (2n  1)  ; n  Z 
 2  Tan 2 x  Sec 2 x  1

 2 2
C sc x  Cot x  1
TRIGONOMETRÍA Csc 2 x  Cot 2 x  1 ; x  R  n  ; n  Z 
Cot 2 x  Csc 2 x  1

“Identidades Trigonométricas del Semana Nº 9
ángulo doble y mitad”
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con Identidades trigonométricas.
 Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DEL
ÁNGULO DOBLE Triángulo del Ángulo Doble:
sen2=
sen2 = 2sen cos sen40º =
 sen8=
cos2 =
2 2
1  Tan 2  2 Tan 
cos2 = cos  - sen  cos40º =
 cos4 =
2tan tan2 = __________________ 2 2 Tan 
tan2 = 2
Sen 2 
1 - tan  tan2 = __________________
2
1  Tan 2  1  Tan 2 
 1  Tan  2 Tan 
Así tenemos:
También:
2
Cos 2x  1  2Sen 2x Sen 2 
2 Tan  Cos 2  1  Tan 
 2
1  Tan 2  1  Tan 2 
1  Tan 2  2 Tan 
 Cos 2x  2Cos 2x  1 2
1  Tan Ejemplos:
2
Ejemplos: Cos 2Sen18° = 2Tg9
  1  Tan
2 2
1  Tan 1 Tg2 9
 Sen80° = 2Sen40°Cos40°
2

 2Sen3xCos3x  Tan 
1 = Sen6x
 Cos72° = Cos 36° – Sen236°
2 1  Tg2 4 x
 Cos8x =
 Cos10x = 2Cos25x – 1 1  Tg2 4 x
5x
 Cos5x = 1 – 2Sen2 Fórmulas de Degradación:
2
 
 2Cos2 – 1 = Cos 2 Sen 2 x  1  Cos 2 x 8 Sen 4 x  3  4 Cos 2 x 
8 4
 1 – 2Sen225° = Cos50° 2 4
2Tg15
 2 Cos x  1  Cos 2 x 8 Cos x  3  4 Cos 2 x 

1  Tg215
 Tg30  Cotx  Tanx  2Csc 2x Cotx  Tanx  2Cot 2 x
Cotx  Tanx  2Csc 2 Cotx  Tanx  2Cot 2 x Sec 2 x  Csc 2 x  4 Csc 2 2 x
x
Tan 2 x
Tan 2 xTanx  Sec 2 x  1  Sec 2 x 
 Tanx
1
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2. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
Tan 2 x PROBLEMAS RESUELTOS
x  Sec 2 x  1  Sec 2 x  1
 Tanx
1. Halle “x”
3 1 x
Sen4   Cos4    Cos4
 4 4
5 3
Sen6   Cos6    Cos4  1
8 8 
Ejemplos: 4
A) 17 B) 8
C) 1 D) 4 E) 5
 2Sen43x = 1 – Cos 6x 15 15 15 15 18
RESOLUCIÒN
 2Cos2  = 1 + Cos 
18 9  tg2 
2 tg 
 1 – Cos60° = 2Sen230° 1  tg2 
 1 + Cos74° = 2Cos37° 1
 Cot15° + Tg15° = 2Csc30° 1
2  8
 Cot3x – Tg3x = 2Cot6x tg2  4 tg2  2  tg2 
2 15 15
 Sen415° + Cos415° = 3  1 Cos60° 1
1  16
4 4 4
 Sen  + Cos6  = 5  3 Cos 
6  8 x 1 32 ; x
17
   x 1
8 8 8 8 2 15 4 15 15
RPTA.: A
IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD
2. Si: tg       9
 
4 
 1  cos   1  cos  Halle E = ctg 2 
sen  cos 
D) 11
2 2 2 2
A) - 9 B)  5 C)  1 E) 1
40 18 40 40 25
 1  cos  RESOLUCIÒN
tg    ; x     x
2 1  cos  tg      tg x  9
4 4
4 
    
NOTA: el signo (±) se elige según el M  ctg2  ctg 2   x   M  ctg   2x   tg2x
 4  2 
cuadrante del arco  y de la R.T. a la 2 9
2 tg x 18 18
2 M   M
que afecta. 1  tg2 x 1  92 1  81 80
 M
9 RPTA.: A
AUXILIARES 40
 sen 
tg  csc   ctg   3. Reduce: x x
 2 1  cos  E  ctg    2 cos2   ctg x
2 2
 A) 1 B) cos x C) sen x D) tg xE) ctg x
ctg  csc   ctg  sen  RESOLUCIÒN
2 
 1  cos  x x
E  ctg    2 cos2   ctg x
  2 2
2sen  2  2  2  ... 2 E  csc x  ctg x  1  cos x  ctg x
2n 1   
   
" n " radicales E  csc x  ctg x  ctg x  cos x ctg x
  1 cos x 1  cos2
2 cos  2  2  2  ... 2 E  cos x 
2 n1  
  sen x sen x sen x
" n" radicales
2
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3. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
sen2 x a) K > 0 b) K = Sen2 c) K = Sen4
E
sen x d) K = 0 e) K = Cos2
E  sen x RPTA.: C 3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I
5) Si:   1 m
2
  1 m :
2 entonces
x Tg    ; Ctg   
4. Reduce: tg    ctg x 4 n2 4 n2
M 2
x m4 n 4 es igual a:
ctg x  ctg  
2 n2
a)  b)  c) 
A) 1 B) -1 C) 0 D) ½ E) 1/3 sen  
  Tg  
  Ctg  
 
RESOLUCIÒN 2 2 2
x d)  e) 
ctg x  tg   ctg x   csc x  ctg x  Sec  
  Csc  
 
2 M  2 2
M ctg x   csc x  ctg x 
x
ctg x  ctg   6) Si: Tg2 +ctg2= 66; y   ; entonces, el
2  
4 2
ctg x  csc x  ctg x  csc x
M  valor de Ctg2es:
ctg x  csc x  ctg x  csc x
a) 2 b) 3 c) -3 d) -4 e) 5
M=1 RPTA.: A 2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 - III
7) Si: x = 11º25`; entonces el valor de E, tal que
Problemas DE CLASE x x
E  8.sen . cos . cos x . cos 2x , es
2 2
1) Si tg +Ctg= 40 , entonces el valor de
a) 2 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 2
9 2
sen2, es;
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 - III
a) 9/10 b) 9/20 c) 19/25 d) 11/13 e) 19/20
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2009 - III 8) Si: 2sen2x – 3cos2x = 3 ; calcular el valor de
P  26 csc 2 x  5 sec 2 x; Cosx  0
2) Si: 0     , entonces el máximo valor de: A) -13 B) 39 C) 13 D) -39 E)1
 ; es
E  ctg  ctg  
 
2 9) Si: a = sen  – cos  , b= cos2 ;
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 entonces, se puede afirmar que:
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
A) a  2a  b  0 B) a  3a  b  0
4 2 2 4 2 2
C) a  a  b  0 D) a  a  b  0
4 2 2 4 2 2
3) Del grafico mostrado, Hallar “x”
E) 2a  2a  b  0
4 2 2
10) Si: x ε IIIC tal que Csc 2 2x = 1.75 ,
Calcular Tg7x + Ctg7x
A) 37 7 B) 42 7 C) 63 7 D) 91 7 E) 94 7
11) Si: Senx 
1 ; Calcular  x 
Tg 2   
3  4 2
a) X = 6 b) X = 8 c) x = 10 d) x = 12 e) x = 14
A) ½ B) ¼ C) 1/6 D) 1/9 E) 4/9
4) Si: K  Sen4 .Ctg 2 .Sec2 donde: 3  ; 12) Determinar la variación numérica de:
 
Csc 2 8 2  
se afirma que: E  Ctg .Cos  2Cos .Cos 2 .Ctg
2 2
3
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4. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
A)  1 ; 1  B)  1 ; 1  C)  1 ; 1 
 16 16 
   8 8
   4 4
  19) Calcular el valor de k que satisface la igualdad:
D)  1 ; 1  E)  1;1
 2 2
 
a) 2 b) 4 c) 6
d) 1/2 e) ¼
13) Si:   96 ;
31
Calcular Csc  Csc   Csc   Csc   Csc  20) Si: ( ) ( )
2 4 8 16 Calcular:
A)0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
( )
14) Si: sec2 x  ntgx , n  2 , entonces
a) k b) 1/k c) 2/k
sen x  cos 3 x  es igual a:
3
d) e)
senx  cos x 3
21) Del grafico mostrado , calcular el valor de:
a) n 3 b) n  1 c)
n 1
n 2 n 2 n 2
d) n  3 e) n  2
n 2 n 2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
y
15) Si: tg ) = 2 y tg() = 3, calcular: 2x x
K  7 sen 2  cos 2
a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) -2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
a) 1 b) 2 c) 3
16) Si x  0,  , al reducir: 2 , d) 4 e) 5
8 2  2  2Cos4 x
se obtiene: 22) Si:
a) Senx b) Cosx c) Secx d) Cscx e) Tgx ( )( )( ) ( ) ( )
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I Calcular:
17) Si: x, y ε R+ y x + y = 1, determine el máximo
valor de M si 1  1 1  1   M
   a) 0 b) 1 c) 2
 x 
 y d) 3 e) 4
Sugerencia: utilice identidades del ángulo
doble
A)6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 18
18) Simplificar la expresión:
( )
( )
a) sen2x b) sen4x c) csc2x
d) e) csc4x
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