El documento describe un método para resolver ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden mediante la variación de parámetros. El método implica sustituir la solución general por dos funciones desconocidas u y v y elegirlas de manera que sus derivadas cancelen términos en la ecuación original, lo que simplifica el proceso. Esto conduce a un sistema de ecuaciones que al resolverse permite obtener u y v y, por integración, la solución completa de la ecuación original.

1. Variación de parámetros

2. Si se fuera a resolver la ecuación lineal no homogénea: empleando la reducción de orden, se tendría que elegir entre dos soluciones: o que corresponden a dos soluciones de la ecuación homogénea relacionada, la cual es una ecuación de Cauchy-Euler. Cada una de las elecciones anteriores debería conducir a una ecuación lineal de primer orden no separable que requiere ser resuelta.

3. Sin embargo, existe una forma más sencilla de resolver la ecuación , en la que se combinan las dos sustituciones o de la manera siguiente: Aquí se reemplaza y por dos funciones desconocidas u y v.

4. Para la ecuación , en primer lugar, se deben calcular y para sustituir en . Según la regla del producto se obtiene: Al calcular la siguiente derivada se requiere aplicar cuatro veces la regla del producto. En particular, suponga que buscan soluciones u y v, para las cuales cancelamos algunos de los términos que aparecen en unos con otros. Dicha cancelación simplificará el proceso.

5. El enfoque correcto (esto es, el que sabemos que funciona bien), es el que consiste en buscar u y v, tales que los términos y que aparecen en se cancelen unos con otros: Entonces podemos calcular directamente de El resultado, según la regla del producto, es: Cuando se sustituye este resultado y en la ecuación dada , se llega a:

6. En el cual se cancela un número de términos, y sólo nos queda: Así, para que u y v satisfagan sus derivadas deben satisfacer Además, se ha supuesto que estas derivadas satisfacen la ecuación Estas dos últimos son Ecuaciones Lineales (algebraicas, no diferenciales) con dos incógnitas y . Resolver el sistema de ecuaciones para y en términos de x es relativamente fácil; luego, u y v se obtienen por integración.

7. Si se multiplica la ecuación por x y se suma el resultado a ,tenemos: y entonces: Ahora se puede sustituir el resultado anterior en o bien en para producir . El resultado es y entonces: Omitimos las constantes de integración puesto que sólo se necesita una solución.

8. Por último, volviendo a , tenemos: Y tenemos así una solución de la ecuación . La solución completa de la ecuación es:

9. En cuya expresión se ha sumado la solución de la ecuación homogénea relacionada como es usual. Sin embargo, es posible alguna simplificación. Se pueden combinar dos términos y escribir: Donde se ha reemplazado por la constante arbitraria A más simple.