Variacion De Parametro
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Este documento describe un método para resolver ecuaciones lineales no homogéneas llamado variación de parámetros. El método implica reemplazar la solución desconocida con dos funciones u y v, y luego elegir estas funciones para que se cancelen los términos y simplifiquen la ecuación. Esto conduce a un sistema de ecuaciones algebraicas que se resuelven para u y v, y luego se integran para obtener la solución completa de la ecuación original.
![Variación de Parámetro. ,[object Object], empleando la reducción de orden, se tendría que elegir entre dos soluciones: que corresponden a dos soluciones de la ecuación homogénea relacionada, la cual es una ecuación de Cauchy-Euler. Cada una de las elecciones anteriores debería conducir a una ecuación lineal de primer orden no separable que requiere ser resuelta. Sin embargo, existe una forma más sencilla de resolver la ecuación (1), en la que se combinan las dos sustituciones (2) de la manera siguiente:](https://image.slidesharecdn.com/variaciondeparametro-091014002951-phpapp01/85/variacion-de-parametro-1-320.jpg)
![[object Object], Para la ecuación , en primer lugar, se deben calcular y para sustituir en (1). Según la regla del producto se obtiene: Al calcular la siguiente derivada se requiere aplicar cuatro veces la regla del producto. No obstante, en esta parte se puede aprovechar el hecho de que hemos reemplazado una función desconocida por dos: puede haber algo de flexibilidad en la elección de funciones u y v que satisfagan la ecuación dada. En particular, suponga que buscan soluciones u y v, para las cuales cancelamos algunos de los términos que aparecen en (4) unos con otros. Dicha cancelación simplificará el proceso. El enfoque correcto (esto es, el que sabemos que funciona bien), es el que consiste en buscar u y v, tales que los términos y que aparecen en (4) se cancelen unos con otros:](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 4. En el cual se cancela un número de términos, y sólo nos queda:
- 5. Así, para que u y v satisfagan (1), sus derivadas deben satisfacer (6). Además, se ha supuesto que estas derivadas
- 6. satisfacen la ecuación (5). Así tenemos los dos requisitos:
- 7. que son precisamente dos ecuaciones lineales (algebraicas, no diferenciales) con dos incógnitas y . Resolver el sistema de ecuaciones para y en términos de x es relativamente fácil; luego, u y v se obtienen por integración.