Trabajo grupal de la Unidad 2. Materia: Matemática 1 Alumnos: Ceballos y Artigas.

1. PARTE A. CEBALLOS Y ARTIGAS
Elegido el modelo de la guía de estudio: ejemplo 17
En un planourbano,se grafica con flechaslacirculaciónde lascallesensentidoúnico,mientras
que a,b,c,d,e,f representanpuntosimportantesde referenciaenlaciudad.
Gráfico:
Designamoslospuntosde arriba,desde izquierdaaderechacomo a,b,cmientrasque losde abajo
son d,e,f
Por ejemplo.¿Cuántoscaminoshayparallegardel puntoaal puntoe de la ciudad por camino
directoy pasandoporun puntointermedio? Si analizamosel gráficollegamosalaconclusiónde
que se puede llegarpordoscaminos,pasandopor unpuntointermedio.
Camino1: De a hacia b. Desde bhasta e.
Camino2: De a hacia d. De d hasta e.
No haycaminodirectode a haciae.
Ahoranecesitamossaberlalistade caminos directos posiblescompletadesde unpuntohacia
otro. Para ellorealizamoslamatrizde adyacencia:
𝐴 =
[
0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 1 1
0 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0]
Esta es lamatrizpara saberla cantidadde caminosdirectosdesde unpuntohaciaotro del plano
urbano.
De aquí podemosobservarporejemploconlaentradaa42 que hay un caminodirectodesde el
punto“d” al punto“b” o que nohay caminosdirectosposiblesdesdeel punto“f”al “a”,
demostradoporla entradaa61

2. ¿Cómose hace para saberla cantidadde caminospasandoporUN puntointermedio?Se debe
calcularel cuadrado de esta matriz,esdecirA2
Lo calculamoscon Wiris:
La matrizresultante A2
nosbrindalainformaciónsobre lacantidadde caminosposibles,desde un
puntohacia otro pasandoporUN puntointermedio.
Por ejemplo:laentradaa32 de la matrizresultante nosindicaque hayuncaminoposible,pasando
por un puntointermedio,parallegardesde el punto“c”al “b”.
AnalizamoslainformaciónbrindadaporA2
para expresarlainformaciónde lasiguiente manera:
𝐴2
[
1
1
1
1
1
1]
=
[
4
5
6
5
7
3]
Entoncesde aquí sacamos lainformaciónque se necesite.Comoque el punto “e”esel que más
caminos(pasandoporun puntointermedio) tiene parallegarhaciaél;comotambiénse puede ver
que el punto “f” es el que menoscaminosdispone parallegarhaciaél (pasandoporunpunto
intermedio).

3. A partirde aquí,cada potenciaala que se continúe elevandolaprimeramatriz de adyacencia,nos
permitiráaveriguarlacantidadde caminosposiblespasandopordospuntosintermedios(A3
),
cuatro puntosintermedios(A4
) etc….
Ahorahago un paréntesisparaconfrontarresultadosutilizandoOnlineMSchool

4. Vemosque el resultadoparaA2
esel mismoque arrojaWiris(LlamadamatrizC por
OnlineMSchool).Nohace faltamostrartodoel desarrollohechoporel software porque sabemos
cómo se multiplicanmatricesyesalgoque noaporta a lo que se necesitademostrareneste
momento.
Por último,hayunaformade unirestasinformaciones.Sumandolamatrizde adyacenciaconsus
potenciassucesivascomonecesitemos,segúnloque nospidael problema,cadaelementode la
nuevamatrizformada,representaráel númerode caminosdistintosentredospuntosyasea
directoo a losumo,por 1 puntointermedioo n puntosintermedios,segúnse necesite saber.
En particular:
S = A + A2
.Lo calculamosconWiris:
ConfrontamosconOnline MSchool

5. El resultadoes el mismo.
De estamatrizresultante Sse obtiene informaciónporejemploporlaentradas32 de que 2
caminosunenenformadirectay pasandopor un puntointermedio,alospuntos “c” con “b”.
Entoncespara explicitarmejorestosdatoslorepresentamosde lasiguiente manera:
𝑆
[
1
1
1
1
1
1]
=
[
6
7
9
7
10
4 ]

6. De aquí sacaremoslosdatosque necesitemos,yaque nosinformael total de caminosque
incluyenunoodostramos, y salende cada unode los puntos. Porejemplo, que desde el punto“a”
salen6 caminosposibles;desde “b”salen7 caminos,desde “e”salendiezcaminosposibles,etc.
Respondiendoalaparte del enunciado: Analice y responda si las matrices intervinientes
deben ser necesariamente ¿cuadradas? ¿Simétricas? ¿Invertibles? Fundamente.
De aquí mi conclusión es: que se trabaja con potencias y con sumas. Como sabemos,
para que las sumas sean posibles, se tiene que trabajar con matrices cuadradas, y de
igual tamaño entre ellas.
No se pueden sumar matrices de distinto tamaño, deben ser cuadradas; y la
multiplicación no siempre será posible si las matrices no son iguales, podremos
encontrarnos con algún problema en ello.
No hay restricciones en cuanto a si son simétricas o invertibles, eso dependerá de cada
matriz que se trabaje. Pueden serla como no serla.

7. PARTE B
La actividad consiste en recrear el Ejemplo 28 del material de estudio. Para recrearlo:
1) Reemplace la matriz T de la Guía de estudio por otra de la lista siguiente, y observe
la acción que, sobre la letra N realiza el pre multiplicar la matriz D por T.
Nombres identificatorios:
 T= nueva matriz de transformación
 D= matriz de coordenadas.
 TD=H=nueva matriz del transformado por T.
𝑫 = [0 0.5 6
0 0 0
5.5 0.5 0
1.58 6.42 8
5.5 6
8 8
]
Elegimos la matriz número 2 de la lista
T=
A k le doy el valor ½
TD = H = Nueva Matriz
Con Wiris:

8. Obtenemos: 𝐻 = [
0 0.25 3
0 0 0
2.75 0.25 0
1.58 6.42 8
2.75 3
8 8
]
Gráfico concoordenadas originales
Gráfico conlas nuevascoordenadas

9. ¿Qué matriz calcularía y cómo la usaría con la matriz del transformado H, para obtener la
matriz de coordenadas original? Esto es, ¿cómo procedería, operando con matrices, para
obtener las coordenadas de la letra original?
Para este planteo, multiplicaríamos la inversa de la Matriz T, por la matriz H. Algo de la
siguiente forma:
Expresado en Wiris:
Entoncescomo observamos,llegamoscomoresultadoalascoordenadasoriginalesde D
𝑫 = [0 0.5 6
0 0 0
5.5 0.5 0
1.58 6.42 8
5.5 6
8 8
]

10. 2) Seguidamente, seleccione otra matriz de la lista, llámela S, y repita el proceso pero
ahora tomando como matriz de coordenadas a H.
Nuevos nombres identificatorios:
 S= nueva matriz de transformación
 H= nueva matriz de coordenadas.
 SH=J=nueva matriz del transformado por S.
𝐻 = [
0 0.25 3
0 0 0
2.75 0.25 0
1.58 6.42 8
2.75 3
8 8
]
𝑆 = [
𝑘 0
0 1
] 𝑘 ∈ ℝ,𝑘 > 1
Elegimoslamatriznúmero1 del listado.
K esvalor2
SH = J = Nuevamatrizdel transformadoporS.
Wiris:
ObtenemosJ= [
0 0.5 6
0 0 0
5.5 0.5 0
1.58 6.42 8
5.5 6
8 8
]

11. Gráfico con las nuevas coordenadas