Este documento presenta información sobre las series y transformadas de Fourier y Laplace. Explica que la serie de Fourier representa funciones periódicas en el dominio de la frecuencia y que los coeficientes de Fourier se pueden calcular mediante integrales. También describe las propiedades de la transformada de Fourier, como la linealidad y el efecto del escalado en el ancho del espectro. Finalmente, define la transformada de Laplace y algunas de sus propiedades, como el cambio de escala y los teoremas de traslación.

1. República Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Defensa Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada U N E F A Núcleo Carabobo – Extensión Guácara SERIE Y TRANSFORMADA DE FOURIER Y LAPLACE Integrantes: Marbelis Ochoa José Manuel Hernández Sección G-005-N Guácara, Julio del 2009

2. SERIE DE FOURIER . La serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica y constituye una herramienta matemática básica del análisis de Fourier La serie de Fourier tiene la forma: Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t).

3. SERIE DE FOURIER Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores: Si es un función (o señal) periódica y su período es 2T, la serie de Fourier asociada a es: Podemos definirla como: Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja: Los coeficientes ahora serían:

5. Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".

6. Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessely los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.i n x

8. Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.

9. Análisis en el comportamiento armónico de una señal

11. TRANSFORMADA DE FOURIER De manera formal su definición seria: La transformada de Fourier de una función continua e integrable de una variable real x se define por Observemos que la transformada de una función real es una función compleja. Es decir, F(u)=R(u)+I(u)i, donde R(u) e I(u) son la parte real e imaginaria de F(u), respectivamente. La variable u recibe el nombre de variable de frecuencia. El módulo de F(u), |F(u)|= (R(u)2+ I(u)2)1/2 recibe el nombre del espectro de Fourier. El cuadrado del espectro se denomina espectro de potencias o densidad espectral de f(x). Su ángulo P (u)=arctg (I (u)/R (u)) recibe el nombre de fase. La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por: El signo negativo en el exponente del integrado indica la transpolaciónde complementos ya expuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la varianza para cada función.

12. TRANSFORMADA DE FOURIER Propiedades 1. Linealidad

13. TRANSFORMADA DE FOURIER Propiedades f(t) F(w) w t g(t) G(w) w t F(w) + G(w) f(t) + g(t) w t Combinación lineal de dos funciones.

14. TRANSFORMADA DE FOURIER Propiedades 2. Escalado:

15. w t w t w t F(w) f(t) TRANSFORMADA DE FOURIER Propiedades Pulso corto Efecto de la propiedad de escalado Pulso medio Mientras más corto es el pulso, más ancho es el espectro. Pulso largo Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.

16. TRANSFORMADA DE FOURIER Propiedades 3. Traslación en el dominio de tiempos

17. TRANSFORMADA DE FOURIER Propiedades 4. : 5. :

18. Teorema de Rayleigh TRANSFORMADA DE FOURIER Propiedades 5. Identidad de Parseval : En particular:

19. TRANSFORMADA DE FOURIER Propiedades Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):

20. TRANSFORMADA DE FOURIER Propiedades 6. Transformada de la derivada: Y en general: 7. Transformada xf(x): Y en general:

21. TRANSFORMADA DE LAPLACE En cuanto a la transformada de laplace, podemos decir, que es la más conocida y utilizada de las transformadas integrales y está demostrado que su gran utilidad a la hora de resolver multitud problemas de la ciencia y tecnología La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por: La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de Z es al discreto. Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue: La transformada de LaplaceF(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

22. TRANSFORMADA DE LAPLACE Propiedades 1. Cambio de escala Sea una función continua a trozos y de orden exponencial en si entonces: 2. Teoremas de traslación No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular