Este documento presenta información sobre las series y transformadas de Fourier y Laplace. Explica que la serie de Fourier representa funciones periódicas en el dominio de la frecuencia y que los coeficientes de Fourier se pueden calcular mediante integrales. También describe las propiedades de la transformada de Fourier, como la linealidad y el efecto del escalado en el ancho del espectro. Finalmente, define la transformada de Laplace y algunas de sus propiedades, como el cambio de escala y los teoremas de traslación.

1. República Bolivariana De VenezuelaMinisterio Del Poder Popular Para La DefensaUniversidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada U N E F ANúcleo Carabobo – Extensión GuácaraSERIE Y TRANSFORMADA DEFOURIER Y LAPLACEIntegrantes: Marbelis OchoaJosé Manuel HernándezSección G-005-NGuácara, Julio del 2009

2. SERIE DE FOURIER. La serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica y constituye una herramienta matemática básica del análisis de Fourier La serie de Fourier tiene la forma:Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t).

3. SERIE DE FOURIERDonde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:Si es un función (o señal) periódica y su período es 2T, la serie de Fourier asociada a es:Podemos definirla como: Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:Los coeficientes ahora serían:

4. SERIE DE FOURIERPropiedades Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones e.

5. Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".

6. Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessely los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.i n x

7. SERIE DE FOURIERUso en la Ingeniería Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuí tal eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.

8. Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.

9. Análisis en el comportamiento armónico de una señal

10. Reforzamiento de señales. TRANSFORMADA DE FOURIER La transformada de Fourier se encarga de transformar una señal en el dominio del tiempo, dominio de la frecuencia donde se puede utilizar su antitransformada y volver al dominio temporal, En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.

11. TRANSFORMADA DE FOURIERDe manera formal su definición seria:La transformada de Fourier de una función continua e integrable de una variable real x se define por Observemos que la transformada de una función real es una función compleja. Es decir, F(u)=R(u)+I(u)i, donde R(u) e I(u) son la parte real e imaginaria de F(u), respectivamente. La variable u recibe el nombre de variable de frecuencia.El módulo de F(u), |F(u)|= (R(u)2+ I(u)2)1/2 recibe el nombre del espectro de Fourier. El cuadrado del espectro se denomina espectro de potencias o densidad espectral de f(x). Su ángulo P (u)=arctg (I (u)/R (u)) recibe el nombre de fase.La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:El signo negativo en el exponente del integrado indica la transpolaciónde complementos ya expuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la varianza para cada función.

12. TRANSFORMADA DE FOURIERPropiedades1. Linealidad

13. TRANSFORMADA DE FOURIERPropiedadesf(t)F(w)wtg(t)G(w)wtF(w) + G(w)f(t) + g(t)wtCombinación lineal de dos funciones.

14. TRANSFORMADA DE FOURIERPropiedades2. Escalado:

15. wtwtwtF(w)f(t)TRANSFORMADA DE FOURIERPropiedadesPulsocortoEfecto de la propiedad de escaladoPulsomedioMientras más corto es el pulso, más ancho es el espectro.PulsolargoEsta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.

16. TRANSFORMADA DE FOURIERPropiedades3. Traslación en el dominio de tiempos

17. TRANSFORMADA DE FOURIERPropiedades4. :5. :

18. Teorema de RayleighTRANSFORMADA DE FOURIERPropiedades5. Identidad de Parseval :En particular: