El documento describe los teoremas de Kuhn-Tucker y Lagrange para problemas de optimización con restricciones. El teorema de Kuhn-Tucker proporciona condiciones necesarias y suficientes para que una solución sea óptima, mientras que el método de Lagrange reduce el problema restringido a uno sin restricciones mediante la introducción de multiplicadores de Lagrange. El documento también explica cómo se aplican estos métodos en economía y teoría de control.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO
MARIÑO
OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS Y EVALUACIÓN DE
FUNCIONES
PROF. SARA LÓPEZ
Mariana Jaspe C.I: 18.832.069
Ingeniería de Sistemas (47)

2. Historia y Definición
Formulación
Las condiciones necesarias que deben satisfacer
los óptimos de problemas de optimización no lineal
con restricciones de desigualdad fueron publicadas
por primera vez 1939 por William Karush y
posteriormente fue renombrada tras el articulo de
Harold W. Kuhn y Albert W. Tucker.
Para definirlo el teorema podemos decir que son
condiciones necesarias y suficientes para que la
solución de un problema de programación
matemática sea óptima. son generalizaciones del
método de Lagrange para restricciones de
desigualdad.
Teoremas
Condiciones de
Regularidad
Aplicaciones

3. Tomando en cuenta lo anteriormente
considerando el problema de optimización:
mencionado
y
Historia y Definición
Formulación
Teoremas
Sujeto a:
Condiciones de
Regularidad
.
.
.
El método de solución procede de la siguiente manera.
Cambiemos cada restricción de desigualdad
a una
restricción de igualdad introduciendo una variable si de la
siguiente manera:
Aplicaciones

4. Suponga una formulación para un problema de
minimización. Si
es un optimo,
entonces deben existir números reales llamados
multiplicadores
no negativos tales que
es un punto crítico para F. es
decir cumple:
Bloque I
Historia y Definición
Formulación
Teoremas
Condiciones de
Regularidad
Aplicaciones
Bloque II: condición de Holgura Complementaria
Bloque III

5. Suponga una formulación para un problema de
maximización. Si
es un optimo,
entonces deben existir números reales llamados
multiplicadores
no negativos tales que
es un punto crítico para F. es
decir cumple:
Bloque I
Historia y Definición
Formulación
Teoremas
Problema General de
optimización
Condiciones de
Regularidad
Bloque II
Bloque III

6. Historia y Definición
En la condición necesaria anterior, el multiplicador
dual
puede ser igual a cero. Este caso se
denomina degenerado o anormal. La condición necesaria no
tiene en cuenta las propiedades de la función sino la
geometría de las restricciones. Existen una serie de
condiciones de regularidad que aseguran que la solución no
es degenerada. Estas incluyen:
•Cualificación de la restricción de independencia lineal
(CRIL): los gradientes de las restricciones activas de
desigualdad y los gradientes de las restricciones de igualdad
son linealmente independientes.
•Cualificación de la restricción de MangasarianFromowitz (CRMF): los gradientes de las restricciones
activas de desigualdad y los gradientes de las restricciones
de igualdad son linealmente independientes positivos.
Formulación
Teoremas
Condiciones de
Regularidad
Aplicaciones

7. Cualificación de la restricción de rango constante
(CRRC): para cada subconjunto de las restricciones activas
de desigualdad y los gradientes de las restricciones de
igualdad, el rango en el entorno es constante.
Cualificación de la restricción de dependencia lineal
constante positiva (DLCP): para cada subconjunto de
restricciones activas de desigualdad y de gradientes de las
restricciones de igualdad, si es linealmente dependiente
positivo entonces es linealmente dependiente positivo en el
entorno
es
linealmente
dependiente
positivo
si
existe distintos de cero.
Condición de Slater: para un problema únicamente con
restricciones de desigualdad, existe un punto. Puede verse
que CRIL=>CRMF=>DLCP, CRIL=>CRRC=>DLCP, aunque
CRMF no es equivalente a CRRC.
Historia y Definición
Formulación
Teoremas
Condiciones de
Regularidad
Aplicaciones

8. Historia y Definición
Además de servir para utilizar las condiciones de optimización
de segundo orden y para indicar las restricciones que se
encuentran saturadas, tienen una clara interpretación
económica y financiera.
Dado el óptimo de un programa con restricciones de
desigualdad podría plantearse un programa equivalente
eliminando las restricciones no saturadas y expresando en
forma de igualdad las saturadas.
También son aplicados en sistemas eléctricos, en el área de
sistemas, matemática, toma de decisiones entre otras.
Formulación
Teoremas
Condiciones de
Regularidad
Aplicaciones

9. En los problemas de optimización, los multiplicadores de
Lagrange, nombrados así en honor a Joseph Louis
Lagrange, son un método para trabajar con funciones de
varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y
está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el
problema restringido en n variables en uno sin restricciones
de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas.
Este método introduce una nueva variable escalar
desconocida, el multiplicador de Lagrange, para cada
restricción y forma una combinación lineal involucrando los
multiplicadores como coeficientes. Su demostración involucra
derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o
sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es,
usando alguna función implícita, encontrar las condiciones
para que la derivada con respecto a las variables
independientes de una función sea igual a cero
Historia y Definición
Objetivos
Formulación
Péndulo Simple
Método de Newton
Aplicaciones

10. Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de nivel
para distintos valores de la variable z.
•Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y)
sobre la curva correspondiente a la función restricción donde
la función principal tiene extremos.
•Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando
el método de multiplicadores de Lagrange.
•Aproximar las soluciones del problema a partir de la
observación en el simulador, de las curvas de nivel de la
función principal y la curva correspondiente a la función
condicionante.
•Adquirir habilidad en la resolución de problemas de
optimización en un ambiente computacional.
Historia y Definición
Objetivos
Formulación
Péndulo Simple
Método de Newton
Aplicaciones

11. Sea una función continua y derivable de varias variables
f(x,y) (“varias” variables, o sea, dos en este ejemplo).
Sabemos que para encontrar los extremos de la función (es
decir, los puntos (x,y) donde alcanza su máximo o mínimo
valor), debemos resolver las ecuaciones:
Historia y Definición
Objetivos
Formulación
Péndulo Simple
Método de Newton
Aplicaciones
Esto es lo mismo que especificar el punto donde el gradiente
de la función en el plano XY se anula:

12. Historia y Definición
Se denomina péndulo simple a un ente ideal constituido
por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible y
sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin
rozamiento. Al separar la masa de su posición de equilibrio,
oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un
movimiento armónico simple. Naturalmente es imposible la
realización práctica de un péndulo simple, pero si es
accesible a la teoría.
El péndulo simple o matemático se denomina así en
contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos,
únicos que pueden construirse.
Objetivos
Formulación
Péndulo Simple
Método de Newton
Aplicaciones

13. Historia y Definición
Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas
Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco
de circunferencia cuyo radio es la longitud, ell, del hilo. El
movimiento es periódico, pero no se puede asegurar que sea
armónico.
Objetivos
Formulación
Péndulo Simple
Método de Newton
Para determinar la naturaleza de las oscilaciones se debe de
escribir la ecuación del movimiento de la partícula. La
partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la
acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del
hilo (N).
Aplicaciones

14. Economía:
La optimización reprimida desempeña un papel central en
la economía. Por ejemplo, el problema selecto para
un consumidor
se representa como uno de maximizar
una función de utilidad sujeta a una coacción de presupuesto .
El multiplicador Lagrange tiene una interpretación económica
como el precio de la oposición asociado con la coacción, en
este ejemplo la utilidad marginal de ingresos . Otros ejemplos
incluyen la maximización de la ganancia para una firma, junto
con varias aplicaciones macro-económicas.
Teoría de control:
En la teoría de control óptimo , los multiplicadores de
Lagrange se interpretan como constates variables, y los
multiplicadores de Lagrange se formulan de nuevo como la
minimización del hamiltoniano , en el principio mínimo de
Pontryagin.
Historia y Definición
Objetivos
Formulación
Péndulo Simple
Método de Newton
Aplicaciones

15. KUHN- TUCKER
Son condiciones necesarias y
suficientes para que la solución de un
problema de programación
matemática sea óptima.
Aplica condiciones de regularidad
dependiendo de la situación
Busca simplificar la función en una
sola y mas simple de entender.
Posee métodos para la resolución
para problemas de maximización y
minimización
LAGRANGE
Visualiza algunas superficies
cuádricas y curvas de nivel para
distintos valores de la variable z.
Interpreta gráficamente los resultados
obtenidos
Aproxima las soluciones a partir de la
observación del simulador
Resuelve el problema mediante
multiplicadores de la función.

16. REFERENCIAS ELECTRÓNICAS:
La información mostrada fue extraída de las siguientes fuentes
•http://informacionreferentealaoptimizacion.blogspot.com/
•http://informaciondemetodos.blogspot.com/
•http://www.ecured.cu/index.php/M%C3%A9todo_de_Lagrange
•http://www.fis.utfsm.cl/fis140/Lagrange.pdf
•http://optimizacionmetodos.blogspot.com/
•http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/tag/polinomiosde-lagrange/
•http://www.slideserve.com/gafna/el-m-todo-de-kuhn-tucker