7 procesos estocásticos

Francisco A. Sandoval
Análisis Estadístico y
Probabilístico
2013
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AGENDA
CAP. 7: Procesos Estocásticos
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Agenda
CAP. 7: Procesos Estocásticos
• Definición
• Clasificación de los Procesos Estocásticos
• Ejemplos de Procesos Estocásticos
• Especificación de Procesos Estocásticos
• Momentos de Procesos Estocásticos
• Algunos Procesos Estocásticos Usuales
• Estacionariedad de Procesos Estocásticos
• Densidad Espectral de Potencia
• Caracterización Conjunta de Procesos Estocásticos
• Procesos Estocásticos y Sistemas Lineales
• Procesos Estocásticos Gaussianos
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Objetivos
• Introducir las nociones básicas necesarias para el estudio de
procesos estocásticos.
• Presentar ejemplos de carácter práctico.
• Introducir diversas maneras de especificar los procesos y la noción
de momento.
• Presentar ejemplos de procesos estocásticos específicos y el
concepto de estacionariedad.
• Elaborar un concepto de especificación, definiendo la especificación
conjunta de procesos.
• Introducir las nociones de independencia, descorrelación y
ortogonalidad entre procesos.
• Estudiar una clase particular de procesos estocásticos, los Procesos
Gaussianos.
• Analizar el paso de procesos estocásticos a través de sistemas
lineales.
• Definir la densidad espectral de potencia
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Definición
𝜔
Ω
ℝ𝑥
𝜔
Ω
ℝ2𝒙
𝒙(𝜔)
Variable Aleatoria
Vector Aleatorio
Función de
Variables Aleatorias
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Definición
Definición 1: Procesos Estocásticos
Un mapa que asocia a cada punto de muestra 𝜔 ∈ Ω una función
real de un parámetro 𝑡 perteneciente un conjunto Υ (en la mayoría
de los procesos estocásticos, el parámetro 𝑡 está asociado al
tiempo). Se crea de esta manera una familia 𝔽 de funciones de 𝑡,
(𝑡 ∈ Υ).
De este modo se puede decir que un proceso estocástico (P.E.) es un
mapa definido por
𝑥: Ω ⟼ 𝔽
𝜔 ⟼ 𝑥 𝑡, 𝜔 , 𝑡 ∈ Υ
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Definición
• Un P.E. es una función de dos variables, 𝜔 y 𝑡,
cuyos dominios son Ω y Υ ⊂ ℝ, respectivamente.
• Es común denominar cada función perteneciente
a la familia 𝔽 por función-muestra del P.E. y el
conjunto de todas las funciones por ensemble.
• Una interpretación interesante es obtenida al fijar,
por ejemplo, el valor 𝜔𝑖 para 𝜔. En este caso el
P.E. pasa a representar una única función 𝑥(𝑡, 𝜔𝑖)
de 𝑡.
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Definición
• Si el valor 𝑡1 es fijado para el parámetro 𝑡, lo que se
obtiene es una v.a. que asocia a cada punto de muestra
un número real 𝑥(𝑡1, 𝜔).
• De manera análoga, al fijar 𝑛 valores 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑛 del
parámetro 𝑡 se obtiene un vector aleatorio
𝑥(𝑡1, 𝜔)
𝑥(𝑡2, 𝜔)
⋮
𝑥(𝑡 𝑛, 𝜔)
• Finalmente, si los valores de 𝑡 y 𝜔 son ambos fijos, el
P.E. representa apenas un número real.
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Definición
𝑥(𝑡) puede representar cinco situaciones diferentes:
1. Una familia de funciones (𝑡 y 𝜔 variables);
2. Una única función del tiempo (𝑡 variable y 𝜔 fijo);
3. Una v.a. (𝑡 fijo y 𝜔 variable);
4. Un vector aleatorio (𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑛 fijos y 𝜔 variable); y
5. Un único número real (𝑡 y 𝜔 fijos).
La notación, 𝑥(𝑡, 𝜔), usada para representar un P.E. será
simplificada al omitirse la variable 𝜔, siendo utilizada la
representación 𝑥(𝑡).
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CLASIFICACIÓN DE LOS PROCESOS
ESTOCÁSTICOS
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Clasificación de P.E.
• Los P.E. pueden ser clasificados de acuerdo
con los valores que asume o de acuerdo con
los valores que su parámetro puede asumir.fralbe.com

Clasificación de P.E.
de parámetro continuo de parámetro discreto
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EJEMPLOS DE PROCESOS
ESTOCÁSTICOS
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Ejemplo 1: Llamadas Telefónicas llegando a una
central
• Recordando el ejemplo de un determinado
número de usuarios llamando a una central
telefónica, es de interés conocer como varía, a
partir de un instante (tomado como origen), el
número de llamadas que llega a la central. Ese
número 𝑛, función del tiempo, es un proceso
estocástico discreto de parámetro continuo.
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Ejemplo 1: Llamadas Telefónicas llegando a una
central
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Ejemplo 2: Ruido Térmico en los Terminales
de un Resistor
• El movimiento térmico de electrones libres en
un conductor (ej. resistor) da origen a una
tensión de ruido cuya variación a lo largo del
tiempo no es posible representar
determinísticamente.
• Esta tensión constituye un P.E. continuo de
parámetro continuo.
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Ejemplo 2: Ruido Térmico en los Terminales
de un Resistor
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Ejemplo 3: Señal de voz muestreada
• La señal de voz transmitida por un sistema de
comunicaciones es esencialmente no-determinística,
constituyendo claramente un P.E.
• Cuando se trata de transmitir esta señal en forma
digital, el primer paso en el proceso de la señal de voz
consiste en muestrearla a una determinada frecuencia
de muestreo (𝑓0 muestras por segundo, ej.).
• Resulta de esta operación una secuencia de valores de
tensión en puntos aislados del eje del tiempo que,
debido a lo impredecible de su variación, es
adecuadamente modelada por un P.E. Se trata
claramente de un P.E. continuo, de parámetro discreto.
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Ejemplo 3: Señal de voz muestreada
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Ejemplo 4: Señal recibida en una llamada
• El problema de las variaciones impredecibles
de la amplitud de la señal recibida en una
llamada radioeléctrica constituye el fenómeno
de desvanecimiento.
• La imposibilidad de describir estas variaciones
determinísticamente, lleva a modelar la
amplitud de la señal recibida por un P.E.
continuo de parámetro continuo, con función
muestra 𝑠(𝑡, 𝜔).
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Ejemplo 4: Señal recibida en una llamada
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ESPECIFICACIÓN DE PROCESOS
ESTOCÁSTICOS
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Especificación de P.E.
• Al fijar el parámetro 𝑡, (𝑡 ∈ Υ) de un P.E. 𝑥(𝑡),
se obtiene una v.a., representada aquí por 𝑥𝑡.
• Asociada a esta v.a. se tiene una FDP 𝐹𝑥 𝑡
(𝑋) y,
consecuentemente una fdp 𝑝 𝑥 𝑡
𝑋 .
• Para cada valor distinto de 𝑡 ∈ Υ, se obtiene
una v.a. diferente.
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• Las fdp’s 𝑝 𝑥 𝑡
𝑋 , 𝑡 ∈ Υ son denominadas
fdp’s de primer orden del P.E. 𝑥(𝑡).
Definición 2: Especificación de 1° Orden de un P.E.
Se dice que un P.E. está especificado hasta el primer orden cuando
la fdp 𝑝 𝑥 𝑡
(𝑋) es conocida para cualquier valor de 𝑡 ∈ Υ.
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Ejemplo: Especificación de 1° orden
Considere un P.E. 𝑥(𝑡), cuyas funciones muestra son rectas de la
forma
𝑥 𝑡 = 𝑎1 𝑡 + 𝑎2
donde 𝑎1 y 𝑎2 son v.a. conjuntamente gaussianas, o sea, ellas
forman un vector gaussiano 𝒂. Suponga que:
𝒎 𝒂 = 𝟎 =
0
0
y
𝑲 𝒂 =
1
1
2
1
2
1
Determinar la fdp de 1° orden de este P.E.
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La v.a. 𝑥𝑡 es función del vector aleatorio 𝒂. En
particular.
𝑥𝑡 = 𝑎1 𝑡 + 𝑎2
o sea
𝑥𝑡 = 𝑨 𝒂
donde 𝑨 es una matriz de dimensión 1 × 2 dada
por
𝑨 = (𝑡 1)
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Como 𝒂 es un vector gaussiano se tiene que
𝑥𝑡 es una v.a. gaussiana. Además
𝑚 𝑥 𝑡
= 𝑨 𝒎 𝒂 = 0
y
𝜎𝑥 𝑡
2
= 𝑨 𝑲 𝒂 𝑨 𝑇
= 𝑡2
+ 𝑡 + 1
se tiene así:
𝑝 𝑥 𝑡
(𝑋) =
1
2𝜋 𝑡2+𝑡+1
𝑒
−
𝑋2
2 𝑡2+𝑡+1
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• La fdp de 1° orden del P.E. 𝑥(𝑡) puede ser utilizada para
calcular la probabilidad de algunos eventos definidos sobre el
P.E. 𝑥(𝑡).
• Ejemplo: suponga que se desea calcular la probabilidad de
tener una función muestra del procesos que, en el instante
𝑡 = 5, exceda el valor 0.
𝑃 𝑥 5 > 0 = 𝑃 𝑥5 > 0 = 𝑝 𝑥5
𝑋 𝑑𝑋
∞
0
donde 𝑝 𝑥5
(𝑋) es obtenido haciendo 𝑡 = 5 en la fdp 𝑝 𝑥 𝑡
(𝑋).
Finalmente se obtiene
𝑃 𝑥 5 > 0 =
1
2𝜋 31
𝑒−
𝑋2
62 𝑑𝑋 = 𝑄 0 =
1
2
∞
0
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• El conocimiento de la fdp de 1° orden de un
P.E. no siempre es suficiente para determinar
las probabilidades deseadas.
• Existen ejemplos que requieren el
conocimiento de las fdp’s conjunta de dos
v.a.’s, ambas definidas sobre el mismo proceso
𝑥(𝑡).
• Este hecho induce a la definición de
especificación de 2° orden de un P.E.
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Definición 3: Especificación de 2° Orden de un P.E.
Se dice que un P.E. está especificado hasta el segundo orden
cuando la fdp conjunta 𝑝 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2
(𝑋1, 𝑋2) (fdp de segundo orden del
P.E. 𝑥(𝑡)) es conocida para cualquier par de valores de 𝑡1 ∈ Υ, t2 ∈
Υ.
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Considere el P.E. 𝑥(𝑡), definido en el ejemplo anterior. Determine la
fdp de 2° orden de este proceso estocástico.
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Definición 4: Especificación de Orden 𝑚 de un P.E.
Se dice que un P.E. está especificado hasta el orden 𝑚 cuando la fdp
conjunta 𝑝 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2…𝑥 𝑡 𝑚
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑚 (fdp de orden 𝑚 del P.E. 𝑥(𝑡))
es conocida para cualquier conjunto de valores de 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑚 ,
tales que 𝑡1 ∈ Υ, t2 ∈ Υ, … , 𝑡 𝑚 ∈ Υ.
Un P.E. especificado hasta el orden 𝑚, está también especificado hasta cualquier orden
inferior a 𝑚.
Definición 5: Especificación completa de un P.E.
Se dice que un P.E. está especificado completamente se el está
especificado hasta el orden 𝑚, para cualquier valor entero 𝑚.
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MOMENTOS DE PROCESOS
ESTOCÁSTICOS
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Momentos de Procesos Estocásticos
• Los momentos de un proceso estocástico son
los momentos de variables aleatorias definidas
en cualquier instante del proceso.
Definición 6: Media de un Proceso Estocástico
La media de un proceso estocástico 𝑥(𝑡), representada por 𝑚 𝑥(𝑡),
es definida como la media de la variable aleatoria 𝑥(𝑡) (en
notación más compacta, 𝑥𝑡) asociada a un instante cualquiera
𝑡 ∈ Υ, o sea,
𝑚 𝑥 𝑡 = 𝐸 𝑥 𝑡 ; 𝑡 ∈ Υ
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Definición 7: Función Autocorrelación de un Proceso Estocástico
La función Autocorrelación de un procesos estocástico 𝑥(𝑡),
representada por 𝑅 𝑥(𝑡1, 𝑡2), es definida como la correlación entre
las variables aleatorias 𝑥(𝑡1) y 𝑥(𝑡2) (en notación más compacta
𝑥𝑡1
y 𝑥 𝑡2
) asociadas a dos valores cualquiera 𝑡1 ∈ Υ y 𝑡2 ∈ Υ del
parámetro del proceso, o sea,
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2 ; 𝑡1 ∈ Υ , 𝑡2 ∈ Υ
El valor de la función de un P.E. cuando 𝑡1 = 𝑡2 = 𝑡 es denominado
valor medio cuadrático del proceso estocástico, siendo dado por
𝑅 𝑥 𝑡, 𝑡 = 𝐸 𝑥2 𝑡 ; 𝑡 ∈ Υ
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Definición 8: Función Autocovarianza de un P.E.
La función autocovarianza de un P.E. 𝑥(𝑡), representada por
𝐾𝑥 𝑡1, 𝑡2 , es definida como la covarianza entre las variables
aleatorias 𝑥(𝑡1) y 𝑥(𝑡2) asociadas a dos valores cualquiera 𝑡1 ∈ Υ
y 𝑡2 ∈ Υ del parámetro del proceso, o sea,
𝐾𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 − 𝑚 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2 − 𝑚 𝑥 𝑡2 ; 𝑡1 ∈ Υ , 𝑡2 ∈ Υ
Es posible llegar a la relación
𝐾𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 − 𝑚 𝑥 𝑡1 𝑚 𝑥(𝑡2)
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Ejemplo
Considere el P.E. 𝑥(𝑡), definido en el ejemplo anterior. Determine la
media, la función autocorrelación y la función autocovarianza.
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PROCESOS ESTOCÁSTICOS USUALES
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Transmisión Binaria Semi-Aleatoria
• Considere el P.E. 𝑥(𝑡) que caracteriza una transmisión
binaria semi-aleatoria, definida de la siguiente manera:
durante cualquiera de los intervalos
𝐼 𝑛 = 𝑛 − 1 𝑇, 𝑛𝑇 ; 𝑛 entero
el proceso 𝑥 𝑡 puede asumir uno de entre dos valores,
𝐴 y −𝐴.
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• Considerar que el valor del P.E. en un
determinado intervalo es estadísticamente
independiente de su valor en los demás
intervalos. Se supone además que los valores 𝐴 y
− 𝐴 ocurren con probabilidad 𝑝 y (1 − 𝑝),
respectivamente.
• Para un instante genérico cualquiera 𝑡, la fdp de
1° orden del P.E. se expresa
𝑝 𝑥 𝑡
𝑋 = 𝑝𝛿 𝑋 − 𝐴 + 1 − 𝑝 𝛿(𝑋 + 𝐴)
• La media de este proceso estocástico es
𝑚 𝑥 𝑡 = 𝐸 𝑥 𝑡 = 𝑋𝑝 𝑥 𝑡
𝑋 𝑑𝑋 = 𝐴(2𝑝 − 1)
∞
−∞
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• Para calcular la función autocorrelación, considere la
v.a. 𝑦 = 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2 donde 𝑡1 y 𝑡2 son instantes
cualquiera satisfaciendo la condición
𝑡1 ∈ 𝐼 𝑛1
𝑡2 ∈ 𝐼 𝑛2
• Se consideran dos situaciones:
– Los instantes 𝑡1 y 𝑡2, que definen las v.a.’s 𝑥𝑡1
y 𝑥𝑡2
,
pertenecen al mismo intervalo, o sea 𝑛1 = 𝑛2. En este
caso, la v.a. 𝑦 asume siempre el valor 𝐴2.
Consecuentemente:
𝑝 𝑦|𝑛1=𝑛2
𝑌 = 𝛿 𝑌 − 𝐴2
– 𝑛1 ≠ 𝑛2, la v.a. 𝑦 puede asumir los valores 𝐴2 y −𝐴2. Por
tanto
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𝑃 𝑦 = 𝐴2 𝑛1 ≠ 𝑛2
= 𝑃 𝑥 𝑡1
= 𝐴, 𝑥 𝑡2
= 𝐴 𝑛1 ≠ 𝑛2
+ 𝑃 𝑥 𝑡1
= −𝐴, 𝑥 𝑡2
= −𝐴 𝑛1 ≠ 𝑛2
y
𝑃 𝑦 = −𝐴2 𝑛1 ≠ 𝑛2
= 𝑃 𝑥 𝑡1
= 𝐴, 𝑥 𝑡2
= −𝐴 𝑛1 ≠ 𝑛2
+ 𝑃 𝑥 𝑡1
= −𝐴, 𝑥 𝑡2
= 𝐴 𝑛1 ≠ 𝑛2
dado que 𝑛1 ≠ 𝑛2, la v.a. 𝑥(𝑡1) toma valores
independientemente de la v.a. 𝑥(𝑡2), se obtiene
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𝑃 𝑦 = 𝐴2
|𝑛1 ≠ 𝑛2 = 𝑝2
+ 1 − 𝑝 2
= 2𝑝2
− 2𝑝 + 1
y
𝑃 𝑦 = −𝐴2
𝑛1 ≠ 𝑛2 = 2𝑝 1 − 𝑝 = 2𝑝 − 2𝑝2
Consecuentemente
𝑝 𝑦|𝑛1≠𝑛2
𝑌
= 2𝑝2
− 2𝑝 + 1 𝛿 𝑌 − 𝐴2
+ 2𝑝 − 2𝑝2
𝛿 𝑌 + 𝐴2
Como
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2 = 𝐸,𝑦-
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• se obtiene que
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 =
𝐴2
; 𝑛1 = 𝑛2
𝐴2
2𝑝 − 1 2
; 𝑛1 ≠ 𝑛2fralbe.com

Onda Senoidal con Fase Aleatoria
• Considere el P.E. 𝑥(𝑡) definido por una señal sinosoidal
con un ángulo de fase aleatorio, o sea
𝑥 𝑡 = 𝐴 sin 2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜃
donde 𝜃 es una v.a. uniformemente distribuida en el
intervalo, (0, 2𝜋- o sea,
𝑝 𝜃 Θ =
12𝜋 ; Θ ∈ (0, 2𝜋-
0 ; Θ ∉ (0, 2𝜋-
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Onda Senoidal con Fase Aleatoria
• La media de este P.E. es dada por
𝑚 𝑥 𝑡 = 𝐸 𝐴 sin 2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜃
= 𝐴 sin(2𝜋𝑓0 𝑡
∞
−∞
+ 𝜃) 𝑝 𝜃 Θ 𝑑Θ = 𝐴 sin 2𝜋𝑓0 𝑡 + Θ
1
2𝜋
𝑑Θ = 0
2𝜋
0
La Función autocorrelación del P.E. es dada por
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2 = 𝐸 𝐴2
sin 2𝜋𝑓0 𝑡1 + 𝜃 sin 2𝜋𝑓0 𝑡2 + 𝜃
=
𝐴2
2
𝐸 cos 2𝜋𝑓0 𝑡2 − 𝑡1 −
𝐴2
2
𝐸 cos 2𝜋𝑓0 𝑡2 − 𝑡1 + 2𝜃
Finalmente
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 =
𝐴2
2
cos 2𝜋𝑓0 𝑡2 − 𝑡1
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ESTACIONARIEDAD DE LOS P.E.
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Estacionariedad de un P.E.
• Un P.E. puede ser estacionario en diversos
grados de estacionariedad.
Definición 9: Estacionariedad de Orden 𝒎
Un proceso estacionario 𝑥(𝑡) es dicho estacionario de orden 𝑚
cuando su fdp de orden 𝑚 no varia con un desplazamiento en el
tiempo, o sea, cuando
𝑝 𝑥1 𝑥2 𝑥3…𝑥 𝑡 𝑚
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑚 = 𝑝 𝑥 𝑡1+𝑥 𝑡2+𝜏…𝑥 𝑡 𝑚+𝜏
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑚 ; ∀𝜏
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Observaciones:
• Un P.E. 𝑥(𝑡) es dicho estacionario de 1° orden
cuando
𝑝 𝑥 𝑡
𝑋 = 𝑝 𝑥 𝑡+𝜏 𝑋 ; ∀𝜏
• Un P.E. 𝑥 𝑡 es dicho estacionario de 2° orden
cuando
𝑝 𝑥1
𝑝 𝑥2
𝑋1, 𝑋2 = 𝑝 𝑥 𝑡1+𝑥 𝑡2+𝜏 𝑋1, 𝑋2 ; ∀𝜏
• Si 𝑥 𝑡 es un P.E. estacionario de orden 𝑚, el es
también estacionario de orden 𝑘, para cualquier
valor 𝑘 < 𝑚.
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Definición 10: Estacionariedad en el sentido Estricto
Un P.E. es dicho estacionario en el sentido estricto, o estrictamente
estacionario, cuando él es estacionario de orden 𝑚 para cualquier
valor entero de 𝑚.
Definición 11: Estacionariedad en el sentido Amplio
Un P.E. 𝑥(𝑡) es dicho estacionario en sentido amplio, si
𝑚 𝑥 𝑡 = ηx ; ∀𝜏
y
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝑅 𝑥 𝜏 ; 𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1
o sea, cuando su media es constante y su función autocorrelación
depende de la diferencia 𝑡2 − 𝑡1.
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Propiedades de la Función Autocorrelación de
P.E. Estacionarios en el Sentido Amplio.
• En el caso de P.E. en el sentido amplio, por el
hecho de que la función autocorrelación
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 depende apenas de la diferencia
𝑡2 − 𝑡1, es usual representar la función
autocorrelación como función de una única
variable 𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1
𝑅 𝑥 𝜏 = 𝐸 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 + 𝜏
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Propiedades de la Función Autocorrelación de P.E.
Estacionarios en el Sentido Amplio (P.E.E.S.A.)
1. La función autocorrelación de P.E.E.S.A. es par, o sea
𝑅 𝑥 𝜏 = 𝑅 𝑥 −𝜏
2. El valor de la función autocorrelación de P.E.E.S.A. en 𝜏 = 0 es igual al
valor medio cuadrático del proceso, o sea
𝑅 𝑥 0 = 𝐸 𝑥2
𝑡
3. Si un P.E.E.S.A. contiene una componente periódica de periodo 𝑇, o sea,
si
𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑛𝑇 ; 𝑛 entero
entonces, su función autocorrelación posee una componente periódica del
mismo periodo que
𝑅 𝑥 𝜏 = 𝑅 𝑥 𝜏 + 𝑛𝑇 ; 𝑛 entero
4. Si un P.E.E.S.A. no contiene componentes periódicas, entonces
lim
𝜏→∞
𝑅 𝑥 𝜏 = 𝑚 𝑥
2 𝑡 = η 𝑥
2
5. La función autocorrelación de P.E.E.S.A. es máxima para 𝜏 = 0, o sea,
𝑅 𝑥 𝜏 ≤ 𝑅 𝑥 0 ; ∀𝜏 ≠ 0
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DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
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Densidad Espectral de Potencia
• En el análisis o proyección de sistemas, el
conocimiento de la manera por la cual la potencia
se distribuye a lo largo del espectro de frecuencia
es de extrema importancia.
• La Densidad Espectral de Potencia de una señal
es una función de la frecuencia 𝑓 que, cuando se
integra a lo largo de una banda de frecuencias
proporciona el valor de la potencia de la señal
existente en la banda de frecuencias considerada.
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• En el caso de una señal determinística cualquier 𝑥 𝑡 , la
función densidad espectral de potencia a ella asociada es
definida por
𝑆 𝑥 𝑓 = lim
𝑇→∞
𝑋 𝑇 𝑓 2
𝑇
donde
𝑋 𝑇 𝑓 = ℱ 𝑥 𝑇 𝑡
con
𝑥 𝑇 𝑡 =
𝑥(𝑡) ; 𝑡 ≤
𝑇
2
0 ; 𝑡 >
𝑇
2
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• En el caso de P.E.E.S.A., la densidad espectral de
potencia es dada por la transformada de su
función autocorrelación.
𝑆 𝑥 𝑓 = 𝑅 𝑥 𝜏 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝜏
𝑑𝜏 = ℱ 𝑅 𝑥 𝜏
∞
∞
• La potencia media de un proceso 𝑥(𝑡) en una
banda de frecuencias caracterizadas por el
intervalo ,𝑓1, 𝑓2- es dada por
𝑃𝑥 𝑓1,𝑓2
= 𝑆 𝑥 𝑓 𝑑𝑓 + 𝑆 𝑥 𝑓 𝑑𝑓
𝑓1
𝑓2
−𝑓1
−𝑓2
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• La potencia media total del proceso puede ser
obtenida de la ecuación anterior, haciendo
𝑓1 = 0 y 𝑓2 = ∞. Se tiene así
𝑃𝑥 = 𝑆 𝑥 𝑓 𝑑𝑓 + 𝑆 𝑥 𝑓 𝑑𝑓 = 𝑆 𝑥 𝑓 𝑑𝑓
∞
−∞
∞
0
0
−∞
• En el caso de que 𝑥 𝑡 sea un P.E.E.S.A. se
puede escribir
𝑃𝑥 = 𝑅 𝑥 0 = 𝐸 𝑥2
𝑡
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• La función autocorrelación de un proceso de
ruido blanco es
𝑅 𝑥 𝜏 = 𝐶𝛿 𝜏
Definición 12: Ruido Blanco
Un P.E. 𝑥 𝑡 , E.S.A., es dicho un proceso de ruido blanco si su densidad
espectral de potencia es constante a lo largo de todo el espectro de
frecuencias, o sea, si
𝑆 𝑥 𝑓 = 𝐶
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CARACTERIZACIÓN CONJUNTA DE
P.E.
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Especificación Conjunta de dos P.E.
Definición 13: Especificación Conjunta de Orden 𝑚 + 𝑛 de Dos
P.E.’s
Definición 14: Especificación Conjunta Completa de Dos P.E.’s
Se dice que dos P.E. 𝑥 𝑡 y 𝑦(𝑡) están conjunta o completamente
especificados cuando ellos están conjuntamente especificados
hasta el orden 𝑛 + 𝑚 para cualquier valor de 𝑚 + 𝑛.
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Momentos Conjuntos de Dos P.E.’s
Definición 15: Función Correlación Cruzada
La función correlación cruzada 𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 de dos P.E. 𝑥 𝑡 y 𝑦 𝑡 es
definida como la correlación entre las v.a.’s 𝑥(𝑡1) y 𝑦(𝑡2) definidas
sobre cada uno de los procesos, respectivamente. Esto significa que
𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑦 𝑡2
Definición 16: Función Covarianza Cruzada
La función covarianza cruzada 𝐾𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 de dos P.E.’s 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡)
es definida como la covarianza entre las v.a.’s 𝑥(𝑡1) y 𝑦 𝑡2
definidas sobre cada uno de los procesos, respectivamente, o sea,
𝐾𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 − 𝑚 𝑥 𝑡1 𝑦 𝑡2 − 𝑚 𝑦 𝑡2
𝐾𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 − 𝑚 𝑥 𝑡1 𝑚 𝑦(𝑡2)
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Estacionariedad Conjunta de dos P.E.’s
Definición 17: Estacionariedad Conjunta de Orden 𝑚 + 𝑛 de dos
P.E.’s
Definición 18: Estacionariedad Conjunta en el Sentido Estricto de
dos P.E.’s
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Estacionariedad Conjunta de dos P.E.’s
Definición 19: Estacionariedad Conjunta en el Sentido Amplio de
dos P.E.’s
Definición 20: Densidad Espectral Cruzada de Dos P.E.’s
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Independencia, Descorrelación y
Ortogonalidad
Definición 21: P.E.’s Estadísticamente Independientes (e.i.)
Dos P.E.’s 𝑥(𝑦) y 𝑦(𝑡) son dichos e.i. cuando, para cualquiera de los
valores enteros positivos 𝑚 y 𝑛, y para cualquier conjunto de
valores *𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑚, 𝑡1
′
, 𝑡2
′
, … , 𝑡 𝑛
′ +, la fdp conjunta de las v.a.’s
*𝑥 𝑡1 , 𝑥 𝑡2 , … , 𝑥 𝑡 𝑚 , 𝑦 𝑡1
′
, 𝑦 𝑡2
′
, … , 𝑦(𝑡 𝑛
′ )+, puede ser escrita
como el producto de la función densidad de probabilidad conjunta
de las v.a.’s *𝑥 𝑡1 , 𝑥 𝑡2 , … , 𝑥(𝑡 𝑚)+ con la fdp conjunta de las v.a.’s
𝑦 𝑡1
′
, 𝑦 𝑡2
′
, … , 𝑦 𝑡 𝑛
′ , o sea,
𝑝 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2…𝑥 𝑡 𝑚 𝑦 𝑡1
′ 𝑦 𝑡2
′ …𝑦 𝑛
′ 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑚, 𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛
= 𝑝 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2…𝑥 𝑡 𝑚
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑚 𝑝 𝑦 𝑡1
′ 𝑦 𝑡2
′ …𝑦 𝑡 𝑛
′ 𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛 ; ∀𝑛, 𝑚
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Independencia, Descorrelación y
Ortogonalidad
Definición 22: Procesos Estocásticos Descorrelacionados
Dos P.E. 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) son dichos descorrelacionados cuando su
función covarianza cruzada es nula para cualquiera de los valores
de 𝑡1 y 𝑡2, o sea,
𝐾𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 0 ; ∀ 𝑡1, 𝑡2
Una condición equivalente para P.E.’s descorrelacionados es
𝐾𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝑡1 𝑚 𝑦(𝑡2)
Definición 23: Procesos Estocásticos Ortogonales
Dos P.E.’s 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) son dichos ortogonales cuando su función
correlación cruazda es nula para cualquiera de los valores de 𝑡1 y
𝑡2, o sea,
𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 0 ; ∀𝑡1, 𝑡2
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Propiedades de la Función Correlación
Cruzada de P.E. Conjuntamente E.S.A.
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PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y
SISTEMAS LINEALES
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P.E. y Sistemas Lineales
• Las representaciones matemáticas de P.E.’s presentadas
anteriormente pueden ser útiles para caracterizar la
salida de un sistema lineal, cuando éste es excitado por
un proceso estocástico.
• Se considerará únicamente sistemas lineales invariantes
en el tiempo, cuyo comportamiento puede ser
representado alternativamente por su respuesta al
impulso ℎ(𝑡) o su respuesta de frecuencia 𝐻(𝑓),
definida como la transformada de Fourier de su
respuesta al impulso.
• Con conveniencia en la mayoría de los casos las
condiciones iniciales son nulas. Cualquier condición
inicial no nula puede considerarse a partir de los
métodos usuales de análisis de sistemas lineales.
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• La Figura representa un sistema lineal
invariante en el tiempo, en el dominio del
tiempo.
• 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) representan, respectivamente, la
entrada y la salida del sistema lineal y ℎ(𝑡) su
respuesta al impulso.
ℎ(𝑡)
𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡)
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• La salida de un sistema lineal invariante en el tiempo se
relaciona con su entrada a través de la integral de
convolución, o sea,
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 = 𝑥 𝛼 ℎ 𝑡 − 𝛼 𝑑𝛼
∞
−∞
• Los resultados siguientes se restringen al caso de sistemas
físicamente realizables y estables en el sentido BIBO
(bounded input – bounded output). Restricción matemática
que puede expresarse por
ℎ 𝑡 = 0 ; 𝑡 < 0
y
ℎ 𝑡 𝑑𝑡 < +∞
∞
−∞
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• Satisfaciendo la condición anterior, la integral de
convolución se reduce a
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝛼 ℎ 𝑡 − 𝛼 𝑑𝛼
𝑡
−∞
• Equivalente a
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 − 𝛽 ℎ 𝛽 𝑑𝛽
∞
0
realizando una cambio de variables de integración
𝛽 = 𝑡 − 𝛼.
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• Considerar que la entrada 𝑥(𝑡) de un sistema
lineal sea un P.E.E.S.A. Determinar la media y
la función autocorrelación del P.E. 𝑦(𝑡) que
caracteriza la salida del sistema lineal.
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media de 𝑦(𝑡)
𝑚 𝑦 𝑡 = 𝐸 𝑦 𝑡 = 𝐸 𝑥 𝛼 ℎ 𝑡 − 𝛼 𝑑𝛼
∞
∞
o sea
𝑚 𝑦 𝑡 = 𝑚 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡)
considerando que 𝑥(𝑡) es E.S.A. y consecuentemente
𝑚 𝑥 𝑡 = 𝜂 𝑥, se tiene
𝑚 𝑦 𝑡 = 𝜂 𝑥 ℎ 𝑡 − 𝛼 𝑑𝛼
∞
∞
= 𝜂 𝑥 ℎ 𝛽 𝑑𝛽 = 𝜂 𝑥 𝐻 0 = 𝜂 𝑦
∞
−∞
Observar: la media de 𝑦(𝑡) es constante.Y si el sistema lineal
es estable la integral es finita y consecuentemente 𝜂 𝑦 < +∞
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Función autocorrelación de 𝑦(𝑡)
𝑅 𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑦 𝑡1 𝑦 𝑡2
= 𝐸 𝑥 𝛼 𝑥 𝛽 ℎ 𝑡1 − 𝛼 ℎ 𝑡2 − 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽
∞
−∞
∞
−∞
o
𝑅 𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑦 𝑡1 𝑦 𝑡2
= 𝑅 𝑥(𝛼, 𝛽)ℎ 𝑡1 − 𝛼 ℎ 𝑡2 − 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽
∞
−∞
∞
−∞
considerando que 𝑥(𝑡) es E.S.A., se obtiene
𝑅 𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑦 𝑡1 𝑦 𝑡2
= 𝑅 𝑥(𝛼 − 𝛽)ℎ 𝑡1 − 𝛼 ℎ 𝑡2 − 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽
∞
−∞
∞
−∞
esta expresión puede simplificarse al considerar un cambio de las
variables de integración dados por
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Función autocorrelación de 𝑦(𝑡)
𝜆 = 𝑡1 − 𝛼
𝛾 = 𝑡2 − 𝛽
se tiene entonces, con 𝜏 = 𝑡1 − 𝑡2
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑦 𝑡1 𝑦 𝑡2
= 𝑅 𝑥( 𝑡1 − 𝑡2 − 𝜆
∞
−∞
∞
−∞
+ 𝛾)ℎ 𝜆 ℎ 𝛾 𝑑𝜆𝑑𝛾 = 𝑅 𝑦(𝜏)
𝑦(𝑡) es E.S.A.
Luego de algunas manipulaciones algebraicas, es posible
simplificar la expresión
𝑅 𝑦 𝜏 = ℎ −𝜏 ∗ ℎ 𝜏 ∗ 𝑅 𝑥(𝜏)
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Función correlación cruzada
La función correlación cruzada 𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 de los
P.E. 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) pueden ser obtenidas considerando
𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑦 𝑡2
= 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑥 𝛼 ℎ 𝑡2 − 𝛼 𝑑𝛼
∞
−∞
haciendo 𝛽 = 𝑡2 − 𝛼
𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 − 𝛽 ℎ 𝛽 𝑑𝛽
∞
−∞
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Función correlación cruzada
como 𝑥(𝑡) es E.S.A.
𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝑅 𝑥 𝑡2 − 𝛽 − 𝑡1 ℎ 𝛽 𝑑𝛽
∞
−∞
= 𝑅 𝑥𝑦 𝜏 ; 𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1
o en notación más simple
𝑅 𝑥𝑦 𝜏 = 𝑅 𝑥 𝜏 ∗ ℎ(𝜏)
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• Se concluye, que en un sistema lineal invariante
en el tiempo y estable, si la entrada es un
P.E.E.S.A. , entonces los P.E. de entrada y de salida
del sistema lineal son conjuntamente E.S.A.
• La densidad espectral de potencia del P.E. 𝑦(𝑡)
puede ser obtenida aplicando la transformada de
Fourier a ambos lados de la función
autocorrelación.
𝑆 𝑦 𝑓 = 𝐻 𝑓 ∗
𝐻 𝑓 𝑆 𝑥(𝑓)
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o
𝑆 𝑦 𝑓 = 𝐻 𝑓 2
𝑆 𝑥(𝑓)
De manera análoga, la densidad espectral
cruzada de los P.E. 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) puede ser
obtenida aplicando la transformada de Fourier a
ambos lados de la función correlación cruzada
𝑆 𝑥𝑦 𝑓 = 𝐻 𝑓 𝑆 𝑥(𝑓)
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Ejemplo
Considere un P.E. de ruido blanco 𝑥(𝑡) con media nula y densidad
espectral de potencia dada por
𝑆 𝑥 𝑓 =
𝑁0
2
se tiene en este caso
𝑅 𝑥 𝜏 = ℱ−1 𝑆 𝑥 𝑓 =
𝑁0
2
𝛿(𝜏)
Determinar la media, la función autocorrelación y la potencia
media del P.E. 𝑦(𝑡) obtenida por el paso del proceso estocástico
𝑥(𝑡) a través del filtro RC de la figura.
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PROCESOS ESTOCÁSTICOS
GAUSSIANOS
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P.E.’s Gaussianos
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Referencias
• ALBUQUERQUE, J. P.A.; FORTES, J. M.; FINAMORE,W.A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]
• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad,Teoría
de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and
Random Processes For Electrical
Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.
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