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TRIGONOMETRÍA 2 (Resumen)

• Razones de la suma de dos ángulos
sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b
cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b
              tg a + tg b
tg (a + b) =
             1 − tg a tg b

• Razones de la diferencia de dos ángulos
sen (a – b) = sen a cos b – cos a sen b
cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b
              tg a − tg b
tg (a − b) =
             1 + tg a tg b

• Razones del ángulo doble
sen 2a = 2 sen a cos a
cos 2a = cos2 a – sen2 a
         2 tg a
tg 2a =
        1 − tg 2 a

•  Razones del ángulo mitad
   a     1 − cos a
sen = ±
   2         2                   El signo (+ ó –) se decide según el cua-
                                     drante en el que se encuentre a/2.
                                Si se está demostrando una identidad (váli-
   a      1 + cos a
cos   =±                        da para cualquier a) o se está resolviendo
    2         2                  una inecuación, hay que trabajar con am-
  a      1 − cos a                         bos signos a la vez (±).
tg = ±
  2      1 + cos a

•  Transformación de sumas en productos
                      A+ B     A− B
sen A + sen B = 2 sen      cos
                       2        2
                      A+ B     A− B
sen A − sen B = 2 cos      sen
                       2        2
                      A+ B     A− B
cos A + cos B = 2 cos      cos
                       2        2
                       A+ B     A− B
cos A − cos B = −2 sen      sen
                         2        2

• Demostrar identidades
Para demostrar que una igualdad es cierta para cualquier ángulo, hay que utilizar las
fórmulas conocidas y seguir una de las siguientes estrategias:
1) Desarrollar uno de los miembros hasta conseguir llegar al otro. Normalmente se
   hace con el que es más grande.
2) Desarrollar ambos miembros hasta conseguir la misma expresión.



Prof. R. Mohigefer – IES V Centenario (Sevilla)                          Página 1 de 2
3) Cambiar la igualdad por otra equivalente más sencilla o que se sepa, ya, que es cier-
   ta. Se hace despejando o utilizando fórmulas conocidas.

• Resolver ecuaciones trigonométricas
Una ecuación hay que transformarla en otra consistente en una sola expresión trigono-
métrica de un único ángulo igual a un número. De ahí se deduce el valor del ángulo.
Para ello, si hay más de ángulo (x, 2x, 3x, …), hay que utilizar las fórmulas trigonomé-
tricas para conseguir en todas el mismo ángulo; y si hay más de una razón trigonométri-
ca, hay que hacer lo propio para conseguir una única razón.
Habitualmente, tienen infinitas soluciones: todas las que se encuentren en la primera
vuelta a la circunferencia, más o menos vueltas completas (+360ºk ó +2πk, ∀k∈Z,
según trabajemos en grados o radianes).




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Trigonometria 2(resumen)

  • 1. TRIGONOMETRÍA 2 (Resumen) • Razones de la suma de dos ángulos sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b tg a + tg b tg (a + b) = 1 − tg a tg b • Razones de la diferencia de dos ángulos sen (a – b) = sen a cos b – cos a sen b cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b tg a − tg b tg (a − b) = 1 + tg a tg b • Razones del ángulo doble sen 2a = 2 sen a cos a cos 2a = cos2 a – sen2 a 2 tg a tg 2a = 1 − tg 2 a • Razones del ángulo mitad a 1 − cos a sen = ± 2 2 El signo (+ ó –) se decide según el cua- drante en el que se encuentre a/2. Si se está demostrando una identidad (váli- a 1 + cos a cos =± da para cualquier a) o se está resolviendo 2 2 una inecuación, hay que trabajar con am- a 1 − cos a bos signos a la vez (±). tg = ± 2 1 + cos a • Transformación de sumas en productos A+ B A− B sen A + sen B = 2 sen cos 2 2 A+ B A− B sen A − sen B = 2 cos sen 2 2 A+ B A− B cos A + cos B = 2 cos cos 2 2 A+ B A− B cos A − cos B = −2 sen sen 2 2 • Demostrar identidades Para demostrar que una igualdad es cierta para cualquier ángulo, hay que utilizar las fórmulas conocidas y seguir una de las siguientes estrategias: 1) Desarrollar uno de los miembros hasta conseguir llegar al otro. Normalmente se hace con el que es más grande. 2) Desarrollar ambos miembros hasta conseguir la misma expresión. Prof. R. Mohigefer – IES V Centenario (Sevilla) Página 1 de 2
  • 2. 3) Cambiar la igualdad por otra equivalente más sencilla o que se sepa, ya, que es cier- ta. Se hace despejando o utilizando fórmulas conocidas. • Resolver ecuaciones trigonométricas Una ecuación hay que transformarla en otra consistente en una sola expresión trigono- métrica de un único ángulo igual a un número. De ahí se deduce el valor del ángulo. Para ello, si hay más de ángulo (x, 2x, 3x, …), hay que utilizar las fórmulas trigonomé- tricas para conseguir en todas el mismo ángulo; y si hay más de una razón trigonométri- ca, hay que hacer lo propio para conseguir una única razón. Habitualmente, tienen infinitas soluciones: todas las que se encuentren en la primera vuelta a la circunferencia, más o menos vueltas completas (+360ºk ó +2πk, ∀k∈Z, según trabajemos en grados o radianes). Prof. R. Mohigefer – IES V Centenario (Sevilla) Página 2 de 2