Aprendiendo a graficar

Ingeniera Margarita E. Patiño Jaramillo 1

INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO
NÚCLEO DE FUNDAMENTACIÓN EN CIENCIA BÁSICA

APRENDIENDO A GRAFICAR Y ANOTAR MEDIDAS

I. COMPETENCIA

• Representar una tabla de valores mediante un gráfico.
• Ajustar puntos experimentales a una línea recta con ecuación y = ax +b y
determinación de a (su pendiente) y b (su intercepto con el eje y).
• Graficar datos experimentales con ejes lineales, semi-log y log-log.
• Aplicar el método de los mínimos cuadrados.
• Emplear los conceptos de cifras significativas, criterios de aproximación y forma
de expresar el resultado de una medición.

Al terminar la sesión el estudiante:

debe ser capaz de representar gráficamente los datos obtenidos
experimentalmente, usar en forma adecuada el método de rectificación de la curva
para obtener la relación funcional entre las variables y saber aplicar el método
gráfico, de promedios y eventualmente el método de mínimos cuadrados, para la
determinación de la pendiente de la recta y para la ordenada del origen.

II. Introducción

La física en su intento de describir ordenadamente los hechos que acontecen en la
naturaleza, utiliza la matemática como lenguaje. Fundamentalmente la teoría de
funciones es la que da un aporte más rico a las pretensiones de la Física, puesto
que ella es la que contiene la idea de conexión, relación o dependencia entre
elementos de distintos conjuntos.

III. Fundamentos teóricos

FUNCIONES

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Llamaremos "x" a los elementos de A e
"y" a los elementos de B.

DEFINICIÓN

Función de A en B es una regla o ley "f" tal que a cada elemento x (de A) le hace
corresponder un único elemento de y (de B); "y" se llama el valor de la función f en


X. Por este motivo, en adelante, lo designaremos por f(x). También se dice f(x) es
la imagen de x.

A recibe el nombre de dominio o conjunto objeto de la función f. B recibe el
nombre de codominio o conjunto imagen de la función f.

Este concepto se puede dibujar o representar de diversas maneras tales como los
ilustrados en la figura (1), (2), (3) y (4).

En física se usan con frecuencia las formas (3) y (4) pues con frecuencia los datos
de un experimento se presentan tabulados (3) de modo que a cada valor de "x" de
una variable independiente le corresponda un valor "y" de la variable dependiente,
entendiéndose por variable independiente a la que se le atribuye valor arbitrario y
por variable dependiente a aquella cuyo valor depende de la variable
independiente. Los valores de x e y se representan en un “gráfico" el cual será una
forma visual de estudiar una función (4).

La determinación de la función algebraica o relación funcional asociada al gráfico
constituye uno de los objetivos importantes del laboratorio.

IV. INSTRUCCIONES PARA LA CONFECCIÓN DE UN GRÁFICO

Los gráficos se confeccionan sobre un papel especial, puede ser milimetrado,
logarítmico o semilogarítmico. En general es conveniente primero graficar los
datos en papel milimetrado, donde las unidades de ambos ejes están espaciadas
uniformemente. Si el gráfico resulta aproximadamente una línea recta, entonces la
relación entre las variables "x" e "y" es lineal, o sea de la forma:

y= mx+ b


Si la representación de los datos en papel milimetrado es una curva, es posible
intentar cambiar a nuevas variables que estén relacionadas linealmente. Este
proceso se llama “rectificación de los datos”. Existen dos casos en que la solución
es simple.

1) Si se sospecha por la inspección del gráfico en papel milimetrado que la
relación entre las variables es de “exponencial”, es decir de la forma:

y= ae b x
Entonces su gráfico en papel “semilogarítmico”, uniforme en "x" y logarítmico en
base 10 para "y" será una línea recta, puesto que:

Log y = log a + bx

Del gráfico lineal se pueden entonces obtener las constantes a y b.

2) Si se sospecha por la inspección del gráfico en papel milimetrado que la
relación entre las variables es de tipo “potencia”, es decir de la forma:

y =ax b
Entonces su gráfico en papel “log-log”, logarítmico en "x" y logarítmico en base 10
para "y" será una línea recta, puesto que:

Log y = log a + b.log x

Del gráfico lineal se pueden entonces obtener las constantes a y b.

Se deben cumplir además las siguientes indicaciones:

1) El gráfico debe llevar un título que indique el fenómeno que representa y sirva
de guía a quién haga uso de él.

2) Se elige un sistema de coordenadas; muy a menudo usaremos el sistema de
coordenadas ortogonal.

3) Sobre los ejes se indican las magnitudes físicas que en ellos se representan
con sus correspondientes unidades y la escala adecuada.

4) Generalmente la variable independiente se representa en el eje de la abscisa y
la variable dependiente en el eje de la ordenada, aunque pueden intercambiarse.

5) Cuando se selecciona una escala en la representación gráfica (con papel
milimetrado o logarítmico) de cualquier curva se recomienda.


a) Tratar que los puntos experimentales no queden muy juntos. Para una
mejor información los puntos deben estar separados; para lograr esto se
amplían las escalas como se indica en la figura.

b) Hay que evitar que las
escalas elegidas sean
complicadas.

c) No deben unirse los puntos experimentales por medio de segmentos rectos; el
gráfico tiene que construirse con una curva suave y continua que pase lo más
cerca posible de los puntos obtenidos (curva de aproximación).

d) Si es necesario graficar con errores, generalmente el error de la variable
independiente se desprecia y el error de la variable dependiente se puede
representar por una “barra de error”. La curva que se dibuje debe pasar por el
interior de las barras de errores.

En la figura se muestran dos casos para una relación lineal y otra no lineal.


V. Análisis de un gráfico

Analizaremos a continuación como determinar la relación funcional entre variables
experimentales.

Los pasos son los siguientes:
1) Obtener tabla de datos.
2) Graficar los datos. La gráfica puede ser:
a. Una relación lineal (línea recta).
b. Una relación no lineal (línea curva).
3) Para el caso (b), se intenta modificar las variables hasta que su gráfico sea una
línea
4) Se escribe la ecuación de la recta, determinando el valor de las constantes
5) Interpretación física de la relación lineal obtenida.

Una vez lograda la relación lineal entre las originales o nuevas variables se debe
determinar las constantes o parámetros de la recta.

La ley física entre las variables puede expresarse como:

y = f (x, m, b) = mx+ b

y: variable dependiente
x: variable independiente
m y b: constantes por determinar; m pendiente de la
recta y b, ordenada del origen.

AJUSTE LINEAL

De acuerdo a lo recién explicado, si las variables originales o las nuevas variables
que seguiremos llamando x, y, muestran una relación aproximadamente lineal, la
tarea de encontrar una recta que pase por todos los puntos es normalmente una
tarea imposible, puesto que en general se tienen varios puntos (xi, yi), con i =1,
2,3,..n y una recta queda determinada por dos puntos. La tarea que podemos
resolver es la de encontrar la “mejor” recta que ajuste los datos. La ecuación
general de una recta es:

y = mx+ b

Para determinar la pendiente m y la ordenada en el origen b para la recta que se
aproxime a los datos, explicaremos dos métodos:

1. Método Gráfico se utiliza para un conjunto de puntos de moderada precisión.
Simplemente grafique sus puntos de datos, dibuje la mejor recta que usted estime


se aproxima mejor a los puntos. El intercepto con el eje Y nos da el valor de “b” y
la pendiente será:

Δy
m =
Δx

2. Método de promedios

Se define el residuo como la diferencia entre el valor experimental y el valor dado
por la expresión mx + b, esto es

ri = yi - (mxi +b)

Valores que no son nulos porque los puntos no caen exactamente sobre la recta.

Si los datos los dividimos en dos grupos (I) y (II) de parecido tamaño, el método se
basa en que la suma de los residuos en ambos grupos es cero, en otras palabras

y con estas dos ecuaciones se determinan m y b.

Estas se pueden escribir en términos de promedios sobre cada grupo en la forma:


Y de estas ecuaciones se debe despejar m y b.

Método de mínimos cuadrados

El método de los mínimos cuadrados se basa en el siguiente criterio. “La mejor
recta de ajuste de a una serie de datos puntuales es la que hace mínima la suma
de los cuadrados de las desviaciones Di de los puntos con la recta.

La desviación Di es la diferencia entre el valor de la ordenada yi de un punto dato
y el correspondiente valor yc dado por la recta, en otras palabras debe minimizarse

Existe un método de minimización basado en propiedades de las derivaciones
parciales, cuestión que usted aún no conoce. Por ello se seguirá otra estrategia.

Recuerde que una función cuadrática de la forma: au2+ bu+ c tiene un mínimo (o
máximo) justo en el punto medio entre las dos raíces, es decir en el punto

Si desarrollamos S, tenemos una función cuadrática tanto en m como en b. En
efecto se tiene:

Y no podemos olvidar el primer término que depende de m y b.

Entonces usando el criterio para minimizar funciones cuadráticas, obtendremos:

Y

Que pueden ser reordenadas como:


De donde se pueden despejar los valores
de m y b resultando:

n
En estas expresiones ∑ representa ∑ ; no se escribieron los subíndices i
i =1
de x e y.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL r

Si se realiza un ajuste de mínimos cuadrados, una medida de la “calidad” del
ajuste le da el coeficiente de correlación lineal r. Si r tiene un valor absoluto
cercano a 1, el ajuste es “bueno”.

El coeficiente r se calcula según la expresión:

Y usando la notación de promedios <x> se escribe como:

EJEMPLO:


Se tiene un carrito que desliza en un riel de aire horizontal y un dispositivo
conectado a un computador que nos entrega una tabla de valores y el gráfico con
puntos que están a continuación, donde x(t) indica el desplazamiento y t el tiempo
transcurrido.

Se desea encontrar la ecuación itinerario del móvil que ha ocupado las siguientes
posiciones en función del tiempo:

t (s) 1.2 1.7 2.5 3.3 4.4 4.9 5.4 6.2 7.4
x (cm) 12.5 16.2 22.1 28.0 36.2 39.9 44.6 49.5 58.4

MÉTODO GRÁFICO

Se ha dibujado con una regla la mejor recta estimada en el gráfico. Tomamos dos
puntos de fácil lectura (t1, x1), (t2 , x2 ) y calculemos su pendiente m.

Para el valor de b leemos donde la recta corta al eje x.

GRÁFICA, N°1. POSICIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO
60 X (cm) f(x)=7.44775*x+3.54813
Series 1
55

50

45

40

35

30

25
Figura 1
20

15 Así resulta:
10

5
t (s)
0 1 2 3 4 5 6 7 8


-

de manera que la relación funcional es :

x(t) = 3 + 7,5t cm

MÉTODO DE LOS PROMEDIOS

De la tabla de valores se tomaron los cuatro primeros y los cinco últimos para
formar los dos grupos de manera que resulta un sistema de dos ecuaciones:

Y de allí se obtiene la relación lineal:

Ejercicios

En las siguientes tablas de valores realice los gráficos y encuentre la ecuación de
la mejor recta mediante los métodos anteriores.

T (s) V (m/s) a (m/s2) F (N)

0.033 0.90 0.31 2.00
0.067 1.20 0.76 2.30
0.100 1.60 1.16 2.50
0.130 2.00 1.50 2.80
0.160 2.40 1.93 3.00
0.200 2.60 2.35 3.30
0.230 3.00 2.75 3.50
0.260 3.20 3.35 3.80
0.300 3.30 3.54 4.00
0.330 3.80 3.95 4.30
0.380 4.28 4.30 4.50

α (rad s-2) τ ( N m)
1.55 0.011
2,25 0,017
3,19 0,023
4,00 0,028
4,96 0,034
5,85 0,040
6,55 0,045
7,25 0,049


7,93 0,056
8,35 0,060
9,44 0,066

MÉTODOS DE RECTIFICACIÓN

Representados los puntos en papel milimetrado, la curva obtenida podría ser una
función polinomial, exponencial o logarítmica complicada y aún así, presentar
aproximadamente la misma apariencia a
la vista. Con frecuencia puede estimarse la relación funcional entre las variables si
el experimentador tiene idea del tipo de función que representarán los datos,
basándose en consideraciones teóricas y el resultado de experimentos previos
similares.

ALGUNOS MÉTODOS

Para determinar la relación funcional entre dos variables x e y, en algunos casos
se rectifica la curva mediante una adecuada transformación de las variables, tanto
de la variable independiente y/o de la variable dependiente.

Las transformaciones se intentan hasta obtener una relación lineal en las nuevas
variables X e Y, a partir de las cuales se deben calcular los parámetros M y N de
la relación lineal Y = MX + N; luego desde esa última relación se podrá obtener la
relación funcional entre las variables originales y = f(x).

Los siguientes son algunos ejemplos de gráficos de funciones y del respectivo
cambio de variables que conviene efectuar:

a) Potencia y = ax2; Y = y; X = x2; Y = aX

Por ejemplo si la función es

y = 2x2 y = 2x

Entonces, al cambiar variables tenemos que Y = 2X


Sin embargo, para lograr esta transformación es necesario adivinar que la función
es cuadrática en x. Por ello es preferible, suponer que la función es de tipo
potencia y hacer lo que sigue:

• Potencia

De manera que al hacer el cambio de variables

se obtiene una relación lineal entre X e Y

Y los coeficiente pueden obtenerse de

Su representación es conveniente hacerla en papel log - log y no es necesario adivinar el
exponente. Sin embargo, si la representación en papel log-log no resulta lineal entonces
el modelo no es de potencia.

Por ejemplo, si los datos son:

X Y
1.0 1.5
2.0 4.27
3.0 23.38
4.0 48.00
5.0 83.55
6.0 132.27

Su gráfico en papel milimetrado será como se indica en la figura (a).


log Y vs log X
Y vs X

Fig. b

Log x

Log (X)

Fig. a

Para utilizar papel log-log (b), necesitamos papel con dos periodos en el eje y, un
periodo en el eje x.

Esto es el eje x tiene rango de 1 a 10 y el eje y rango de 1 a 1000.

El resultado para los mismos datos es una línea recta, pues es un ejemplo y los
datos corresponden a modelo potencia

Del gráfico se deduce que:


de modo que se obtiene 2,5 y 1.5X2.5

INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN

El número limitado de puntos obtenidos en un experimento no permite dibujar una
curva continua, sin embargo, tratamos de hacerlo como si fuera con lo cual
suponemos que se trata de una función continua, sin variaciones bruscas, entre
los puntos vecinos. Dibujada la curva se puede obtener de ella el valor de una
ordenada correspondiente a una denominada abscisa que aunque no haya sido
determinada por el experimento mismo se encuentra comprendida entre dos
valores experimentales, en tal caso el valor de la ordenada se ha obtenido por
“interpolación”. Cuando este valor se obtiene usando las prolongaciones de la
mejor curva trazada entre los valores experimentales, se dice que se ha hecho
una “extrapolación”.

Cuando este valor se obtiene usando las prolongaciones de la mejor curva trazada
entre los valores experimentales, se dice que se ha hecho una “extrapolación”.
Ambas operaciones suelen estar limitadas por las condiciones de la experiencia.

Algunas aplicaciones

Siempre debe recordar:

Es mas común en física experimental el medir dos o más cantidades físicas que
están relacionadas entre si. Esta relación puede ser desconocida o bien puede ser
obtenida mediante alguna teoría o modelo matemático. Por ejemplo en la segunda
Ley de Newton, F = ma, es interesante ver como al variar la fuerza F aplicada a un
móvil de masa m, cambia su aceleración a. En este caso se harían una serie de
medidas donde se varía F y se mide la aceleración resultante. La tabla de datos
sería a= f(F) = , es decir a (la variable dependiente) como función de F (la
variable independiente). La relación matemática es aquí: (1/m) F = a, es decir que
existe una relación lineal entre a y F, o también se dice que a es proporcional a F y
la constante de proporcionalidad es 1/m. A partir de los resultados experimentales
sería posible encontrar el valor de la masa m.

Sea o no conocida la relación entre la variables, es conveniente representar
visualmente las cantidades físicas que se están midiendo mediante un gráfico. De
esta manera podemos comprobar si el modelo matemático que se asume
relaciona a las cantidades es correcto o, en caso de ser la relación desconocida,
se facilita la escogencia de un modelo matemático que relacione las cantidades


medidas. En el caso de la segunda Ley de Newton, un gráfico de aceleración en
función de la fuerza aplicada (a vs. F) nos daría una línea recta de pendiente 1/m.

En esta práctica nos concentraremos en el caso de gráficos en dos dimensiones,
es decir sólo se representan dos cantidades físicas. Una de ellas será la variable
independiente y la otra la dependiente. Utilizaremos así mismo un sistema de ejes
cartesiano con un eje horizontal y un eje vertical. La variable independiente se
representará en el eje horizontal, también conocido como eje de las abscisas. La
variable dependiente se representará en el eje vertical, o eje de las ordenadas,
como ya se mencionó.

Como ejemplo, vamos a graficar la aceleración en unidades de metros por
segundo al cuadrado (m/s2) en función de la fuerza en unidades de newton (N), de
un experimento para comprobar la segunda Ley de Newton cuyos datos se
muestran en la siguiente tabla:

F (N) A (m/s2)
1.0 ± 0.2 0.42±0.02
2.0 ± 0.2 0.70±0.04
3.0 ± 0.2 1.28±0.06
4.0 ± 0.2 1.80±0.09
5.0 ± 0.2 2.2±0.1
6.0 ± 0.2 2.5±0.1
7.0 ± 0.2 3.0±0.1
8.0 ± 0.2 3.4±0.2
9.0 ± 0.2 3.8±0.2
Tabla I: Resultados de un experimento para comprobar la segunda Ley de Newton. El error relativo en la
medida de la aceleración es de 5% para todos los puntos.

Cada línea de la tabla corresponde a un punto experimental y le corresponderá
una posición en el plano cartesiano definido por nuestros ejes. En esa posición se
coloca un símbolo para representar ese punto experimental, como se observa en
la siguiente figura. Los símbolos pueden ser círculos, cruces, cuadrados,
triángulos, etc., pueden estar vacíos, rellenos o medio rellenos, pueden ser en
colores o en blanco y negro. El uso de varios símbolos es útil cuando se grafican
varias curvas experimentales sobre un mismo gráfico. En nuestro ejemplo cada
punto experimental está representado con un rombo relleno azul.


GRÁFICO PARA COMPROBAR LA SEGUNDA LEY DE NEWTON
Aceleración en m/s2 f (x)=0.429333*x+(-0.0244444)

Series 1
8

6

4

(9,3.8)
(8,3.4)
(7,3)
2 (6,2.5)
(5,2.2)
(4,1.8)
(3,1.28) Fuerza en Newton
(2,0.7)
(1,0.42) 2
-8 -6 -4 -2 4 6 8

-2

-4

-6

-8

Figura 2. Gráfico para comprobar la segunda Ley de Newton. Los símbolos (•) corresponden a los datos
experimentales de la tabla
Como podemos observar en la figura anterior, cada eje viene identificado con la
variable correspondiente. En este caso la variable independiente, la fuerza, se
asocia al eje horizontal y se identifica con su abreviatura acostumbrada, F, y al
lado se coloca entre paréntesis las unidades utilizadas. Análogamente, el eje
vertical de la izquierda con la variable dependiente, en este caso la aceleración
medida para un objeto de masa m al aplicar una fuerza, y se identifica al eje con la
abreviatura acostumbrada, a, señalando las unidades correspondientes.

REGRESIÓN LINEAL. Ajustar una recta a un conjunto de puntos experimentales.

En muchas situaciones la relación entre dos cantidades físicas, por ejemplo F =
f(a) = ma para la segunda ley de Newton. E= f(h) = mgh, para la energía potencial
gravitatoria cerca de la superficie de la tierra que es una función de la altura h, etc.

En estos casos se dice que la variable dependiente es proporcional a la variable
independiente con una constante de proporcionalidad dada. Así entonces, en los
ejemplos antes mencionados, la fuerza es proporcional a la aceleración, y la
constante de proporcionalidad es la masa, la energía potencial es proporcional a la
altura y la constante de proporcionalidad es el producto de la masa por la
aceleración de gravedad, etc.


En muchos casos es posible mediante transformaciones adecuadas “linearizar” la
relación. Esta situación se discutirá con mas detalle en la sección siguiente de
gráficos semi-log y log-log.

Si x es la variable independiente e y la variable dependiente la ecuación de la
recta sería: y = ax + b ( Ecuación 1)

Donde a es la pendiente de la recta y b es el valor de la interceptación del eje Y
con la recta, es decir el valor de y para x = 0. El objetivo en esta sección es
determinar el valor de los parámetros a y b, para el mejor ajuste de unos datos
experimentales. Lo primero que vamos a realizar es graficar los puntos
experimentales con sus correspondientes barras de error y verificar que
efectivamente la relación entre las dos variables es aparentemente lineal.

Tomemos como ejemplo los siguientes datos correspondientes a mediciones de la
longitud l de un resorte colgado verticalmente al que se le cuelga en el extremo de
abajo una masa m para 8 valores distintos de la masa. Con esta información es
posible determinar si la Ley de Hooke,

F = mg = f(l) = k ( l – l0) para la fuerza de un resorte que es función de la
elongación de ese resorte, l, menos el largo del resorte sin masa colgada, l0, se
cumple y de ser así determinar la constante k del resorte:

g
l = m + l0
k
m (Kg) 1 2 3 4 5 6 7 8
∆m (Kg) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
l (m) 0.32 0.40 0.46 0-53 0.61 0.68 0.75 0.82
∆ l (m) 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02

Tabla 2. Resultados de un experimento para comprobar la Ley de Hooke.

Estos puntos están graficados en la figura 3.

El segundo paso es dibujar la mejor recta. Para ello es conveniente utilizar una
regla transparente de manera de ver todos los puntos a la vez. Con la regla
transparente muévala hasta que obtenga la mejor recta que pase lo mas cerca de
todos los puntos experimentales. Una forma de realizar esto es la siguiente:

a) Coloque la regla horizontalmente de manera que pase aproximadamente por el
centro de gravedad de los puntos (este punto puede ser determinado a ojo o
calculándolo).

b) Rote la regla alrededor de ese punto de manera que aproximadamente tenga
igual número de puntos por arriba y por abajo de la recta y que la distancia de la
recta a cada punto sea mínima.


y f(x)=0.0713095*x+0.250357
Series 1
Series 2

0.8

0.6

0.4

0.2

x
-6 -4 -2 2 4 6 8

Figura 3. Elongación de un resorte colgado verticalmente en función de la masa que cuelga de él. Los símbolos (•)
corresponden a los datos experimentales, la línea sólida gruesa corresponde a la mejor recta trazada a ojo. Las líneas
sólidas delgadas corresponden a las rectas de mayor y menor pendiente que se pueden trazar para estos datos
experimentales dentro de los límites de las barras de error.

Una vez dibujada la mejor recta se procede al tercer paso: determinar los valores
de la pendiente y del término independiente, a y b respectivamente en la ecuación
(1). Para ello se toman dos puntos alejados de la recta dibujada que no tienen que
corresponder a puntos experimentales y cuyas coordenadas (x 1, x2) y (y1,y2), se
miden cuidadosamente. Se calcula la pendiente mediante la expresión:

y 2 _ y1
a=
x 2 _ x1

Una vez determinada la pendiente un simple cálculo nos permite hallar el punto de
intersección con el eje Y: b= y2 – ax2= y1 – ax1.

Finalmente se debe estimar de alguna manera el error cometido en la
determinación de la pendiente, a, y en el término independiente, b, que van a
estar relacionados con los errores en x y en y. Para ello se dibujan las rectas de
pendiente máxima y mínima que aún cortan las barras de error. Esto se hace de
manera similar a la determinación de la mejor recta pero esta vez lo importante es
que corte las barras de error y que una de ellas tenga la mayor pendiente posible
y la otra la mínima posible. Las pendientes máximas y mínimas y los
correspondientes términos independientes se determinan de manera similar que


para la mejor recta y si las llamamos amáx y amin, bmáx y bmin, entonces los errores
asociados a los parámetros a y b serán:

a máx _ a min b máx _ b min
Δa = Δb =
2 2

Nótese que bmax es el término independiente asociado a la recta de mayor
pendiente y no es necesariamente mayor que bmin, por lo que se toma el valor
absoluto de la diferencia entre bmax y bmin. Para el caso de nuestro ejemplo del
resorte, la mejor recta y las rectas de pendiente máxima y mínima se muestran en
la figura 3 y los resultados son los siguientes:

a = 0.07 m/kg, b = 0.25 m, = 0.065 m/kg, = 0.275 m , = 0.077 m/kg, = 0.223 m de
donde obtenemos .a = 0.006 m/kg y .b = 0.026 m, por lo que los parámetros de la
recta se pueden escribir, si aplicamos lo que hemos aprendido anteriormente
acerca de cifras significativas y redondeo como: a = (0.070 ± 0.006) m/kg y b =
(0.25 ± 0.03) m. El valor de la constante k del resorte es entonces igual a g/a, es
decir k14010=± N/m. ¿Podría Ud. calcular l0?

El método gráfico para determinar los parámetros de una recta presenta la
singular ventaja de que uno está viendo lo que hace. Uno por simple inspección
se puede dar cuenta si de hecho existe una relación lineal entre las variables, si
existe un punto que obviamente no sigue la tendencia de los otros puntos (por
ejemplo resultado de una mala medida) que se pudiera eliminar del análisis, si uno
necesita mas puntos experimentales en alguna zona, etc., El método de mínimos
cuadrados que discutiremos más adelante es más preciso que el gráfico que
acabamos de describir, pero es un proceso “ciego” que no permite detectar los
problemas mencionados. Por esto, es siempre conveniente graficar los datos
aunque se utilice un cálculo computarizado para determinar los parámetros de la
recta.

GRAFICOS SEMI-LOGARITMICOS Y LOG-LOG.

Como ya se ha indicado, es posible en muchos casos linealizar la relación entre
dos variables físicas aplicando alguna transformación a los datos experimentales.
De esta manera se obtiene una relación lineal en los datos transformados y se
puede aplicar el método de la sección anterior para determinar los parámetros de
esta recta (o también el método analítico que veremos en la siguiente sección).
Por ejemplo si medimos la energía cinética 122 = mvK, en función de la velocidad
v, obtendremos una relación lineal si graficamos K vs. v2, ya que K es
proporcional a v2 con constante de proporcionalidad m/2. De este gráfico se
puede obtener el valor de la pendiente de la recta, es decir m/2.

El caso más común es cuando existe una dependencia exponencial entre las


variables, por ejemplo en el caso del voltaje V de un capacitor durante su
descarga en función del tiempo t que viene dado por la expresión:

_t
V = V0 e τ

Donde V0 es el voltaje inicial y τ es una constante llamada la constante de tiempo.

Supongamos que hemos realizado mediciones de V vs. t para la descarga de un
capacitor y queremos hallar los valores de V0 y de τ. Si tomamos el logaritmo
decimal a ambos lados de la expresión anterior obtendremos:

Log( e )
Log( V ) = _ t + LogV0 = at + b
τ
Donde a = -
log (e)/τ, con
Log ( e ) =
0.434294481... y b = Log (V0)

Vemos como al graficar Log (V) en función de t, se obtendrá una relación lineal. Al
obtener los parámetros de esta recta, obtenemos luego de uno cálculos sencillos los valores
de V y de τ

Para realizar esta operación gráficamente hay dos alternativas: transformar con
una calculadora los valores de V a Log(v) y graficarlos en papel milimetrado
normal, o utilizar un tipo especial de papel conocido como papel semi-Log el cual
permite el uso de una escala lineal en un eje y una escala logarítmica en el otro.

Recordemos que la función logaritmo representa los múltiplos y submúltiplos de 10
a enteros. Es decir lo que sería en escala lineal 0.01, 0.1, 1, 10 y 100 sería en
escala logarítmica –2, -1, 0, 1 y 2. Los números comprendidos entre 10 n y 10 n+1
corresponden a un orden de magnitud o década y son transformados por la
función logaritmo a valores entre n y n +1


Papel semi-log de dos décadas. La escala adicional de la izquierda corresponde al valor del logaritmo decimal de los
valores de la escala logarítmica

La escala logarítmica en el papel semi-Log esta diseñada de manera tal que uno
grafica directamente el valor del punto y en el papel directamente queda graficado
su logaritmo. La figura anterior, muestra como luce y como funciona un papel
semi-Log de 2 décadas. Para entender mejor el papel semi-Log se ha añadido una
escala lineal adicional en la parte izquierda de la gráfica, que corresponde al valor
del logaritmo decimal de los valores de la escala logarítmica. Como se puede
comprobar, un valor de x = 2 corresponde en realidad a graficar el valor 0.30103, y
graficar x = 20 corresponde a graficar 1.30103. En general, al igual que con el
papel milimetrado, el papel semi-Log no trae números como los mostrados en la
figura , y corresponde al estudiante colocar los valores correspondientes de
acuerdo a sus necesidades. Así mismo el estudiante debe determinar cuantas
décadas necesita para cubrir el rango de valores experimentales que desea
graficar. Si la variable que deseamos representar en forma logarítmica varía entre
1 y 10000, se deberá escoger un papel de 4 décadas; si varía entre 0.1 y 10, dos
décadas serán suficientes.

Aun y cuando no se conozca si la relación entre las variables físicas es de tipo
exponencial, si una de ellas cubre varios ordenes de magnitud, es conveniente
graficarlas en papel semi-Log ya que en papel milimetrado sería poco práctico.
Además al graficar los datos en papel semi-Log uno ve directamente si existe esta
relación lineal entre una variable y el logaritmo decimal de la otra.

VENTAJAS DEL APPEL semi-Log


Una de las ventajas del papel semi-Log es que es muy sencillo multiplicar o dividir
la variable por un factor f. Dadas las propiedades de los logaritmos, una
multiplicación o división corresponde a una traslación en el eje semi-logarítmico de
Log (f). Es decir que cambiar la línea de base en papel semi-Log no afecta ni la
forma ni la pendiente (en caso de ser lineal) de la curva graficada. Por otro lado
como el “tamaño” de cada década es igual, como se observa en la figura, es
posible pegando varias hojas de papel semi-Log obtener el número de décadas
que uno quiera a partir del que tengamos disponible. Hay que tener cuidado al
dibujar las barras de error en papel semi-Log para la variable logarítmica. Si el
error es simétrico linealmente, será asimétrico en el papel semi-Log. Un ejemplo
de un gráfico semi-Log lo tenemos en la figura anterior, correspondiente a los
datos de la tabla III, en donde se tabulan las medidas del decaimiento del voltaje
de un capacitor cuando se descarga, en función del tiempo.
t (S)

V
(voltios)

En la tabla 3 se observa que el error en el voltaje depende de la escala del
voltímetro utilizado (se ha exagerado este error para poder observar las barras
de error claramente en el gráfico de la figura 5, ya que cualquier voltímetro
digital moderno daría ± 0.1 cuentas en cada escala). Obsérvese así mismo que
las barras de error en el voltaje son distintas para cada punto experimental y de
hecho se observa claramente la asimetría de las barras de error verticales así
como su disminución en tamaño en cada década a medida que el valor del
voltaje aumenta, esto debido al efecto transformador del papel semi-Log.

t (s) V (voltios) t (s) V (voltios)
0.00 10.0 ± 0.5 0.50 (6.1 ± 0.5) x10-2
0.05 6.1 ± 0.5 0.55 (3.9 ± 0.5) x 10-2
0.10 3.7 ± 0.5 0.60 (2.2 ± 0.5) x 10-2
0.15 2.2 ± 0.5 0.65 (1.5 ± 0.5) x10-2
0.20 1.4 ± 0.5 0.70 (9.1 ± 0.5) x10-3
0.25 (8.2 ± 0.5)x10-1 0.75 (5.5 ± 0.5) x10-3
0.30 (5.0 ± 0.5) x10-1 0.80 (3.4 ± 0.5) x10-3
0.35 (3.0 ± 0.5) x10-1 0.85 (2.0 ± 0.5) x10-3
0.40 (1.8 ± 0.5) x10-1 0.90 (1.2 ± 0.5) x10-3
0.45 (1.1 ± 0.5) x10-1 0.95 (7.5 ± 0.5) x10-4
1.00 (4.5 ± 0.5) x10-4


Tabla 3. Resultados de un experimento de descarga de un capacitor. El error en el tiempo es .t = 0.01 s para todas las
medidas.

La recta dibujada corresponde a la mejor recta calculada por mínimos cuadrados y
que corresponde a:
Log (V) = - 4.36t + 0.994
Log( e )
y comparando esta recta con la ecuación Log( V ) = _ t + LogV0 = at + b
τ

Podemos calcular que V0 = 9.86 V y la constante de tiempo t = 9.96 x 10-2 s

BIBLIOGRAFÍA

Rosas Lucía, Riveros Héctor G., Iniciación al método científico experimental”, Ed.
Trillas, México (1990).

Lichten William “Data and Error Analysis”, , Ed. Prentice Hall (1999).

Bevington Philip R. Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences”,
Ed. McGraw-Hill.

Laredo Estrella, Puma Marcelo, Sánchez Alfredo. Errores, Gráficos y estadística”
Guía del Laboratorio de Física.

Aprendiendo a graficar

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Aprendiendo a graficar

Similar a Aprendiendo a graficar (20)

Más de Margarita Patiño

Más de Margarita Patiño (12)

Último

Último (20)

Aprendiendo a graficar