Guía sobre solución de desigualdades lineales

1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA JOSÉ ANTONIO
GALÁN
GUÍA #3 DE APRENDIZAJE
SOLUCIÓN DE INECUACIONES LINEALES
Ing. CLAUDIA PATRICIA RODRÍGUEZ PABÓN
Lic. OMAR FREDY RODRIGUEZ
DERECHO BÁSICO DE APRENDIZAJE: Justifica la validez de las propiedades
de orden de los números reales y las utiliza para resolver problemas analíticos
que se modelen con inecuaciones.
DESIGUALDADES E INECUACIONES
Concepto de desigualdad:
Tener en cuenta que:
Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra.
Los símbolos que emplea la desigualdad son:
𝑥 > 𝑦 𝑆𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑦
𝑥 ≥ 𝑦 𝑆𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦
𝑥 < 𝑦 𝑆𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑦
𝑥 ≤ 𝑦 𝑆𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦
- Una desigualdad consta de un primer miembro que se encuentra a la
izquierda del símbolo de la desigualdad y un segundo miembro que se
ubica a la derecha de dicho símbolo.
- Para poder interpretar el símbolo de la desigualdad hay que tener en
cuenta, que ella abre siempre hacia el miembro mayor y apunta hacia
el miembro menor.
𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 < 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓, 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 > 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓

2. -
Ejemplo
5 + 𝑥 ≥ 3 − 𝑦
INECUACIONES
Ejemplos:
Son ejemplos de Inecuaciones las siguientes desigualdades:
a. 𝟐𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 ≥ 𝒙 + 𝟏 b.
𝒙+𝟑
𝒙−𝟏
< −𝟑 c. 𝟐𝒙 + 𝟏 ≤ 𝒚 + 𝟑
Primer miembro Segundo miembro
Términos Términos
Mayor o igual que
- Los términos de una desigualdad son las cantidades que están contenidas
en los miembros de la desigualdad y que pueden estar separados entre si
por los signos + o -.
Es una desigualdad condicional que contiene una o más incógnitas y
que sólo se satisface para determinados valores de las incógnitas
implicadas
DEFINICIÓN

3. SOLUCIÓN DE INECUACIONES
CON UNA SOLA VARIABLE
Dada una inecuación cualquiera, que contenga una sola variable 𝑥, su solución
es encontrar el conjunto de valores que la satisfagan, si esto ocurre recibe el
nombre de conjunto solución de la desigualdad.
Ejemplo
Verifica cuál de los siguientes elementos del conjunto {−𝟑, 𝟐, 𝟒, 𝟓}, son
soluciones de la desigualdad 𝟑𝒙 − 𝟐 < 𝟖.
Solución:
Se sustituye cada valor en la desigualdad:
Para 𝒙 = −𝟑
𝟑𝒙 − 𝟐 < 𝟖
3(−3) − 2 < 8
−9 − 2 < 8
−11 < 8 Desigualdad es verdadera
Para 𝒙 = 𝟐
𝟑𝒙 − 𝟐 < 𝟖
3(2) − 2 < 8
6 − 2 < 8
4 < 8 Desigualdad es verdadera
Para 𝒙 = 𝟒
𝟑𝒙 − 𝟐 < 𝟖
3(4) − 2 < 8
12 − 2 < 8
10 < 8 Desigualdad falsa

4. Para 𝒙 = 𝟓
𝟑𝒙 − 𝟐 < 𝟖
3(5) − 2 < 8
15 − 2 < 8
13 < 8 Desigualdad es verdadera
En este ejemplo, los valores que hicieron verdadera la desigualdad son
soluciones de la desigualdad. Sin embargo, ella tiene infinitas soluciones y para
encontrarlas tendremos que buscar un método de solución.
Para los fines de este curso, aprenderemos a solucionar desigualdades con una
sola variable y las clasificaremos en desigualdades lineales y desigualdades
no lineales o factorizables.
1. SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES LINEALES CON UNA SOLA
VARIABLE
Una inecuación lineal de una sola variable es una desigualdad de la forma 𝑎𝑥 +
𝑏 > 0. Cuando se utilizan desigualdades o inecuaciones, deben tenerse en cuenta
fundamentalmente las siguientes reglas (aunque las enunciamos sólo con el
símbolo <, se cumplen propiedades análogas con los otros tres símbolos > ≤ y
≥):
Las siguientes tres propiedades son útiles cuando se trata de resolver
desigualdades.
Propiedad 1: 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑦, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 + 𝑧 < 𝑦 + 𝑧
Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un
mismo número se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
Ejemplo: Sea la desigualdad −3 < 5
a. Si le sumamos a ambos miembros de la desigualdad el valor 4
−3 + 4 < 5 + 4
1 < 9
Se obtiene una desigualdad con el mismo sentido
b. Si le sumamos a ambos miembros de la desigualdad el valor -7

5. −3 + (−7) < 5 + (−7)
−11 < −2
Se obtiene una desigualdad con el mismo sentido
Propiedad 2: Si x < y y z > 0, entonces xz < yz
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen
por un número positivo (z > 0), se obtiene otra desigualdad
equivalente a la primera.
Ejemplo: Sea la desigualdad 4 > −8
a. Si multiplicamos cada miembro de la desigualdad por el valor 5
4 . 5 > −8 . 5
20 > −40
Se obtiene una desigualdad con el mismo sentido
b. Si multiplicamos cada miembro de la desigualdad por el valor
2
3
4 .
2
3
> −8 .
2
3
8
3
> −
16
3
Se observa que la desigualdad no cambia de sentido
Propiedad 3: Si x < y y z < 0, entonces xz > yz
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen
por un número negativo (z < 0), la desigualdad cambia de
sentido.
Ejemplo: Sea la desigualdad
3
2
> 1
a. Si multiplicamos cada miembro de la desigualdad por el valor -8

6. 3
2
. (−8 ) < 1 . (−8)
−12 < −8
Se observa que la desigualdad cambia de sentido
b. Si multiplicamos cada miembro de la desigualdad por el valor −
4
3
3
2
. (−
4
3
) < 1 . (−
4
3
)
−2 < −
4
3
Se observa que la desigualdad cambia de sentido
De los anteriores ejemplos podemos concluir entonces que: El sentido de una
desigualdad se conserva al multiplicar (o dividir) sus dos miembros por
un mismo número positivo, y se invierte si dicho número es negativo.
Tenga en cuenta que:
La solución de inecuaciones lineales se fundamenta en las propiedades de las
desigualdades vistas anteriormente, las cuales permiten determinar los valores
de la incógnita que satisfacen la desigualdad. Para determinar el conjunto
solución de una desigualdad, se procede de la misma manera como en una
ecuación lineal: se despeja la variable y se toman en consideración las
propiedades de las desigualdades.
Analicemos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1: Hallar el conjunto solución de la inecuación 3𝑥 − 14 < 7𝑥 − 2
Solución: Aplicando las propiedades de las desigualdades
Una inecuación lineal con una sola variable es una inecuación
de primer grado con una sola variable y se puede expresar de la
forma 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃 > 𝟎

7. 3𝑥 − 14 < 7𝑥 − 2 restar 7x en ambos miembros de la desigualdad
3𝑥 − 7𝑥 − 14 < 7𝑥 − 7𝑥 − 2 simplificando
3𝑥 − 7𝑥 − 14 < 7𝑥 − 7𝑥 − 2 reduciendo términos semejantes
3𝑥 − 7𝑥 − 14 < −2 agrupando términos semejantes
−4𝑥 − 14 < −2 sumando 14 en ambos miembros de la desigualdad
−4𝑥 − 14 + 14 < −2 + 14 simplificando
−4𝑥 < −2 + 14
−4𝑥 < 12 dividiendo ambos miembros de la desigualdad por -4
−
4𝑥
−4
>
12
−4
se debe tener en cuenta que la desigualdad cambia de sentido
𝑥 >
12
−4
dividiendo
𝑥 > −3
De acuerdo a este resultado se tiene que el conjunto solución de la inecuación
son todos los números reales mayores que -3. Este conjunto lo podemos
expresar en notación de intervalo.
Si observamos este ejercicio nos damos cuenta que las propiedades de las
desigualdades nos confirman que al igual que las ecuaciones, las inecuaciones
emplean la transposición de términos, teniendo en cuenta que cuando se pasa
a multiplicar o a dividir por una cantidad negativa la desigualdad cambia de
sentido.
Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución de la inecuación
1
2
𝑥 + 7 <
3
5
𝑥 −
2
3
Solución: Como sugerencia, es conveniente que eliminemos los
denominadores: esto se consigue multiplicando todos los términos de la
desigualdad por un número múltiplo de 2, 3 y 5. Para eso hallamos el
m.c.m entre los denominadores:
2 3 5 2 por lo tanto el m.c.m (2,3,5) = 2 . 3 . 5
1 3 5 3 = 30
1 5 5
1
𝑆𝑜𝑙 = 𝑥 ∈ (−3 , ∞)

8. Así que multiplicamos toda la inecuación por 30 y como multiplicamos por una
cantidad positiva la desigualdad no cambia.
30.
1
2
𝑥 + 30.7 < 30.
3
5
𝑥 − 30.
2
3
30.
1
2
𝑥 + 30.7 < 30.
3
5
𝑥 − 30.
2
3
simplificando
15𝑥 + 210 < 18𝑥 − 20, de esta manera se eliminaron todos los denominadores
Al despejar 𝑥 se agrupan los términos que contengan la variable en uno de sus
miembros, y los términos independientes en el otro, finalmente, se simplifica.
15𝑥 + 210 < 18𝑥 − 20 Se agrupan las 𝑥 al lado izquierdo de la desigualdad
15𝑥 − 18𝑥 < −20 − 210
−3𝑥 < −230 pasamos a dividir el -3 al otro lado de la desigualdad teniendo en
cuenta de cambiar de sentido la desigualdad
𝑥 >
−230
−3
Como ambos números son negativos la fracción se vuelve positiva
𝑥 >
230
3
, por lo tanto, el conjunto solución de la inecuación es el conjunto
formado por todos los números reales mayores que
230
3
𝒙 ∈ (
𝟐𝟑𝟎
𝟑
, ∞)
Existen ecuaciones que contienen dos desigualdades como lo muestra el
siguiente ejemplo:
Ejemplo 3: Solucionar la desigualdad −3𝑥 + 2 ≤ 𝑥 + 5 < 2𝑥 + 1
Solución: Como esta inecuación presenta doble desigualdad, es necesario
separar las desigualdades y así hallar el conjunto solución de cada una de ellas.
−𝟑𝒙 + 𝟐 ≤ 𝒙 + 𝟓 < 𝟐𝒙 + 𝟏
−𝟑𝒙 + 𝟐 ≤ 𝒙 + 𝟓 ∧ 𝒙 + 𝟓 < 𝟐𝒙 + 𝟏
−3𝑥 − 𝑥 ≤ −2 + 5 𝑥 − 2𝑥 < −5 + 1
−4𝑥 ≤ 3 − 𝑥 < −4
𝑥 ≥ −
3
4
𝑥 > 4
𝑺 𝟏: 𝒙 ∈ [−
𝟑
𝟒
, ∞) 𝑺 𝟐: 𝒙 ∈ (𝟒 , ∞)

9. Los intervalos 𝑆1 y 𝑆2 son las soluciones de cada una de las inecuaciones. Para
hallar la solución total de la inecuación se deben intersecar estas dos soluciones.
𝑺 𝑻 = 𝑺 𝟏 ∩ 𝑺 𝟐
Para esto nos ayudaremos de una gráfica.
Se tiene entonces que el conjunto solución de la desigualdad es:
𝑥 ∈ (4 , ∞)
Ejemplo 4: Hallar el conjunto solución de la desigualdad 𝟑 ≤
𝟐𝒙−𝟑
𝟓
< 𝟕
Solución: Se multiplica la desigualdad por 5, para eliminar el denominador
. 𝟓 ≤ 𝟓 .
𝟐𝒙−𝟑
𝟓
< 𝟓 . 𝟕
𝟏𝟓 ≤ 𝟐𝒙 − 𝟑 < 𝟑𝟓 se suma 3 a cada miembro de la desigualdad
𝟏𝟖 ≤ 𝟐𝒙 < 𝟑𝟖 se divide entre 2 todos los miembros de la desigualdad
𝟏𝟖
𝟐
≤
𝟐𝒙
𝟐
<
𝟑𝟖
𝟐
por la propiedad 2 la desigualdad no cambia
𝟗 ≤ 𝒙 < 𝟏𝟗
Por lo tanto, el conjunto solución es:
𝑺𝒐𝒍 = 𝒙 ∈ [ 𝟗 , 𝟏𝟗 )
−
𝟑
𝟒
𝟎 𝟒
[
(
𝑺 𝟏
𝑺 𝟐
𝑺 𝑻 (

10. Ejemplo 5: Relación entre las escalas Fahrenheit y Celsius
Las instrucciones en la caja de un artículo indican que ésta debe almacenarse a
una temperatura entre 5°𝐶 y 30°𝐶. ¿A qué rango en la escala Fahrenheit
corresponden estas temperaturas?
Solución: La relación entre grados Celsius (𝐶) y grados Fahrenheit (𝐹) está
dada por la ecuación 𝐶 =
5
9
(𝐹 − 32). Al expresar el enunciado en la caja en
términos de desigualdades tenemos
5 < 𝐶 < 30
Si expresamos la desigualdad en términos de 𝐹, tenemos
5 <
5
9
(𝐹 − 32) < 30 multiplicando por 9 para eliminar denominadores
9. 5 < 9 .
5
9
(𝐹 − 32) < 9 . 30
45 < 5 . (𝐹 − 32) < 270 aplicando propiedad distributiva
45 < 5𝐹 − 160 < 270 sumando 160 en todos los términos de la desigualdad
45 + 160 < 5𝐹 − 160 + 160 < 270 + 160
205 < 5𝐹 < 430 Dividiendo la desigualdad por 5
205
5
<
5𝐹
5
<
430
5
41 < 𝐹 < 86 , 𝑺𝒐𝒍: 𝑭 ∈ ( 𝟒𝟏 , 𝟖𝟔)
Por lo tanto, el artículo debe almacenarse a una temperatura entre 41°𝐹 y 86°𝐹

11. Resuelva las desigualdades. Exprese la solución en forma de intervalo e
ilustre el conjunto solución en la recta real.
1. 2(7𝑥 − 3) ≤ 12𝑥 + 16
2. 3𝑥 + 11 < 6𝑥 + 8
3. 𝑥 + 3 <
4𝑥
5
4. 1 +
1
2
𝑥 < 𝑥 + 2
5. −5 −
𝑥+4
5
≥ 11 − 3𝑥
6. 2𝑥 − 8𝑥 + 1 >
1
2
(𝑥 − 3)
7.
5−𝑥
2
−
𝑥−17
4
≥
𝑥
3
−
7𝑥−3
12
8.
𝑦−1
2
− 2 ≤
3𝑦−2
5
9.
1
2
> 2𝑥 − 3 ≥
1
8
10. 3𝑥 + 2 ≤ 𝑥 − 1 < 2𝑥 − 5
11. −3 < 2𝑥 + 1 ≤ 𝑥 + 5
12.
𝑥+5
3
≤
2𝑥
4
− 5 <
3𝑥−1
5
13. −5 − 𝑥 ≤ 𝑥 − 3 ≤ 3𝑥 − 1
14. Un camión puede llevar hasta 1000 kg. Si tiene una carga que
pesa 200 kg, ¿cuántas cajas podrá llevar si estas pesan 25 kg
cada una?
15. Se estima que el costo anual de conducir un nuevo auto BMW está
dado por la fórmula
𝐶 = 0.35𝑚 + 2200
Donde 𝑚 representa las millas conducidas por año y 𝐶 el costo en
dólares. Juana ha comprado uno de estos autos y decide gastar
anualmente entre $6400 y $7100. ¿Cuál es el rango en millas que
podrá recorrer?
16.Para determinar el coeficiente intelectual de una personase usa la
fórmula 𝐼 =
100𝑀
𝐶
, Donde 𝐼 es el coeficiente intelectual, 𝑀 es la edad
mental (determinada en un test) y 𝐶 es la edad cronológica. Si la
variación de 𝐼 de un grupo de niños de 11 años está dada por
80 ≤ 𝐼 ≤ 140 , encuentre el intervalo de edad mental de este grupo.
ACTIVIDAD 1 TALLER

12. A continuación, encontrará a una webgrafía que le servirá como fuente de
consulta:
VIDEO 1: https://www.youtube.com/watch?v=CkVXbU-PNRs
VIDEO 2: https://www.youtube.com/watch?v=uwxehcPW1m4
VIDEO 3: https://www.youtube.com/watch?v=An4D6uUc3qk
VIDEO 4: https://www.youtube.com/watch?v=QX6Qh8dQB1I
VIDEO 5: https://www.youtube.com/watch?v=KXAUmR9ew0M
VIDEO 6: https://www.youtube.com/watch?v=ZBSMUEek-2g