Este documento describe conceptos básicos de trigonometría. Explica cómo se miden los ángulos en grados y radianes, define las partes de un triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras. Luego introduce las seis razones trigonométricas básicas y recíprocas, y proporciona ejemplos de su cálculo en problemas de ángulos de elevación.

1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DEMETRIO CCESA RAYME

2. MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS
Los ángulos se pueden medir en grados y en radianes. Para esto, se
trabaja con la equivalencia básica:
𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅 = 𝟑𝟔𝟎º
De aquí surgen las siguientes equivalencias:
Grados Radianes
30º 𝝅
6
45º 𝝅
4
60º 𝝅
3
90º 𝝅
2
Grados Radianes
180º 𝝅
225º 5𝝅
4
270º 3𝝅
2
300º 5𝝅
3

3. TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Un triángulo es rectángulo cuando uno de sus ángulos interiores es recto
(es decir, mide 90°). Para este tipo de triángulo, hay elementos básicos
que se deben manejar a la perfección:
Los lados que conforman el
ángulo recto se llaman catetos.
La medida de los ángulos
interiores se representan por
letras griegas: 𝛼 (alfa), 𝛽 (beta).
En la figura, vemos que el cateto
BC es opuesto al ángulo 𝛼 (está
“al frente” de este ángulo”).
El lado que está al frente del ángulo
recto se llama hipotenusa. Es el lado
con mayor longitud en un triángulo
rectángulo.
En la figura, vemos que el cateto
AC es adyacente al ángulo 𝛼 (es
parte de este ángulo”).

4. TEOREMA DE PÍTÁGORAS
Existe una relación entre las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo, que se refleja en el llamado teorema de Pitágoras:
La suma de los cuadrados de los
catetos es igual al cuadrado de la
suma
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
Ejemplo:
Calcula la medida de la hipotenusa si
los catetos miden a = 3 cm y b = 4cm.
𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
32
+ 42
= 𝑐2
9 + 16 = 𝑐2
25 = 𝑐2
25 = 𝑐
𝑐 = 5

5. TEOREMA DE PÍTÁGORAS
La suma de los cuadrados de los
catetos es igual al cuadrado de la
suma
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
Ejemplo:
Considerando los datos de la figura,
calcula la medida del cateto PR.
𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
𝑎2
+ 122
= 132
𝑎2
+ 144 = 169
𝑎2
= 169 − 144
𝑎2
= 25
𝑎 = 25
𝑎 = 5

6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Son razones (cuocientes) entre las medidas de los lados que conforman
un triángulo rectángulo. Existen dos tipos de razones trigonométricas:
Básicas
sen α =
cateto opuesto
hipotenusa
=
a
c
cos α =
cateto adyacente
hipotenusa
=
b
c
tg α =
cateto opuesto
cateto adyacente
=
a
b
cosec α =
hipotenusa
cateto opuesto
=
c
a
sec α =
hipotenusa
cateto adyacente
=
c
b
cotg α =
cateto adyacente
cateto opuesto
=
b
a
Recíprocas

7. PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
Podemos ver que:
cosec α =
1
sen α
sec α =
1
cos α
cotg α =
1
tg α

8. EJEMPLO DE EJERCICIO CON RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
Para el siguiente triángulo rectángulo, determina las seis razones
trigonométricas de α
sen α =
1 − 𝑝2
1
= 1 − 𝑝2
cos α =
𝑝
1
= 𝑝
tg α =
1 − 𝑝2
𝑝
=
cosec α =
1
1 − 𝑝2
sec α =
1
𝑝
cotg α =
𝑝
1 − 𝑝2
Primero debemos calcular la medida
del cateto BC.
𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
𝑝2
+ 𝑏2
= 12
𝑝2
+ 𝑏2
= 1
𝑏2
= 1 − 𝑝2
𝑏 = 1 − 𝑝2

9. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS “NOTABLES”
0º (0) 30º
𝜋
6
45º
𝜋
4
60º
𝜋
3
90º
𝜋
2
Seno 0 1
2
2
2
3
2
1
Coseno 1 3
2
2
2
1
2
0
Tangente 0 3
3
1 3 No existe
Cosecante No existe 2 2 2 3
3
1
Secante 1 2 3
3
2 2 No existe
Cotangente No existe 3 1 3
3
0

10. ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN
Son aquellos formados por la horizontal, considerada a nivel del ojo del
observador y la línea de mira, según que el objeto observado esté sobre
o bajo esta última.
En este tipo de problemas, se debe identificar la razón trigonométrica
correcta en base a los datos entregados (catetos y/o hipotenusa).

11. EJEMPLO DE PROBLEMA CON ÁNGULO DE
ELEVACIÓN
1. Datos:
Vemos que nos dan la hipotenusa (el cable)
y el ángulo que forma el cable con el suelo.
3
La longitud de un cable que tiene sus extremos fijos en un poste y en la
tierra, es de 20 metros. El cable forma un ángulo de 60º con la tierra. ¿A
cuántos metros de la tierra está fijo el cable en el poste (suponiendo que
el cable mantiene una forma recta, no curva)?
2. Razón trigonométrica a usar:
Tenemos la hipotenusa y nos piden calcular
el cateto opuesto al ángulo (la altura del
poste). Entonces, se usará seno.
3. Planteo de la ecuación:
sen 60º =
𝑥
20
3
2
=
𝑥
20
𝑥 =
20 3
2
= 10 3
4. Respuesta:
El cable está fijado a una
altura de 10 3 metros
(aproximadamente 17,3
metros).