Este documento explica la ley de cosenos y la ley de senos, que son teoremas trigonométricos utilizados para resolver triángulos cuando no se conocen todos los ángulos y lados. La ley de cosenos relaciona el cuadrado de un lado de un triángulo con los cuadrados de los otros dos lados y el coseno del ángulo entre ellos. La ley de senos proporciona una relación entre los lados divididos por los senos de los ángulos opuestos. El documento incluye ejemplos de cómo aplic

1. Felipe Valencia
2014

2. La ley de cosenos se puede considerar como una
extensión del teorema de Pitágoras aplicable a todos los
triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de un
triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros
dos lados menos el doble producto de estos dos lados
multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si
aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1
obtenemos tres ecuaciones:

3. Resolver un triángulo significa obtener el valor de la
longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos
internos.
Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza
la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de
los valores conocidos.

4. • Teorema del coseno. En Geometría y más
específicamente en Geometría euclidiana, se trata de un
teorema de la trigonometría que en cada triángulo indica
que el cuadrado de la longitud de cada lado guarda una
relación con los cuadrados de los lados restantes y el
ángulos que estos comprenden. Teorema del coseno
• Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a,
b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos
entonces: c2=a2+b2−2abcosγ

5. • Ejemplo.- Sea el triángulo ABC, del que conocemos a=3,
b=5 y c=6, halla los ángulos A, B y C. Solución.
• Conocemos dos lados y el ángulo comprendido:
Mediante el teorema del coseno calculamos el tercer
lado, y procedemos como en el caso anterior.
• Ejemplo.- Sea b = 7 a = 6 y C = 50º. Halla los demás
elementos. Solución.

6. • El teorema del seno describe una relación de
proporciones entre los lados de un triángulo dado y los
senos de los ángulos respectivamente opuestos.

7. • Este teorema resulta de gran utilidad para la resolución de
triángulos, cuando se dispone como datos de 2 lados y un
ángulo, o bien de 2 ángulos y un lado. De este modo, dados:
a = 25 cm
b = 40 cm
A = 30º
B = ¿?

8. • Solución:
• Se verifica que:
a / sen A = b / sen B
Por lo tanto:
sen B = sen A * b / a
sen B = sen 30º * 40 cm / 25 cm
sen B = 0.5 * 40 cm / 25 cm
sen B = 0.8
B = arcosen 0.8 = 53º 7" 48""

9. • Quedamos claritos (¿?). Ósea utilizando la siguiente
figura con sus elementos queda algo así:
• a2 = b2 + c2 - 2bc cos a
• b2 = a2 + c2 - 2ac cos b
• c2 = a2 + b2 - 2ac cos g

10. • Gracias Por Su Atención