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Trigonométricas y variacionales
- 1. Paso 3- Profundizar y contextualizar el conocimiento de la Unidad 1. Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica Daniela Martinez Chona Grupo: 27 Pensamiento variacional y trigonométrico. Tutora: Karina Tello
- 2. Pensamiento variacional y trigonométrico Pensamiento variacional: La variación en las matemáticas es saber comprender las variaciones y también desafiarse a realizar ejercicios para modelar el desarrollo. Pensamiento trigonométrico: Es la encargada de establecer relación entre los dalos y los ángulos de un triangulo. Esta tiene unas funciones y teoremas para llevar a cabo los procesos.
- 3. Funciones trigonométricas Seno: 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = 𝑐.𝑜 ℎ , Son utilizadas solo en triángulos rectángulos ya que son con relación a sus catetos e hipotenusa. Las más usadas son También existes Cotangente: c𝑜𝑡 𝐵 = 𝑐.𝑎 𝑐.𝑜 ,Secante: sec 𝐵 = 𝑐.𝑎 𝑐.𝑜 Cosecante: 𝑐𝑠𝑐 𝐵 = ℎ 𝑐.𝑎 Las cuales son reciprocas de seno, coseno, tangente Reciproca de una función es la fracción original invertida: 𝑎 𝑏 Reciproca 𝑏 𝑎 , Coseno: cos 𝐵 = 𝑐.𝑎 ℎ Tangente: t𝑎𝑛 𝐵 = 𝑐.𝑜 𝑐𝑎
- 4. Teoremas trigonométricas En la trigonometría hay 3 teoremas o leyes los cuales son los más utilizados: teorema de los senos (ley de seno), teorema de coseno (ley del coseno) y teorema de tangente (ley de tangente). Estos son los apropiados para describir un triangulo, es decir hallar sus ángulos y sus lados.
- 5. Ley del Seno Este se utiliza en triángulos no rectángulos es decir triángulos oblicuos, este aplica para resolver problemas en los que se conoce dos ángulos y el opuesto del lado o dos lados y un ángulo opuesto. 𝑎 s𝑒𝑛 𝐴 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐶
- 6. Ley del coseno Este se utiliza en dos situaciones: 1. Cuando se conocen dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos. 2. Cuando se conocen los tres lados y se debe hallar un ángulo. 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. cos 𝐴 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐. cos 𝐵 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏. cos 𝐶
- 7. Ley de la tangente No es tan utilizada como la ley del seno y del coseno pero es igual de funcional. Y se utiliza cuando se cuando se conocen dos lados y un ángulo o dos ángulos y un lado. 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = tan 𝐴 + 𝐵 2 tan 𝐴 − 𝐵 2 𝑎 + 𝑐 𝑎 − 𝑐 = tan 𝐴 + 𝐶 2 tan 𝐴 − 𝐶 2 𝑏 + 𝑐 𝑏 − 𝑐 = tan 𝐵 + 𝐶 2 tan 𝐵 − 𝐶 2
- 8. Identidades trigonométricas Las identidades trigonométricas son ecuaciones o igualdades que es valida para todas las variables. Ejemplo: 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥 = 6 2𝑥 = 𝑥 + 𝑥 2 6 = 6 + 6 12 = 12
- 9. Identidades reciprocas Estas son definidas con respecto a las funciones trigonométricas, seno, coseno y tangente de las cuales hay 8 identidades reciprocas. 1. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 1 csc 𝜃 2. cos 𝜃 = 1 sec 𝜃 3. tan 𝜃 = 1 cot 𝜃 4. cot 𝜃 = 1 tan 𝜃 5. sec 𝜃 = 1 cos 𝜃 6. csc 𝜃 = 1 𝑠𝑒𝑛 𝜃 Seno: 𝑠𝑒𝑛 𝐵 Coseno: cos 𝐵 Tangente: t𝑎𝑛 𝐵 Cotangente: c𝑜𝑡 𝐵 Secante: sec 𝐵 cosecante: 𝑐𝑠𝑐 𝐵 Reciproca de una función es la fracción original invertida: 𝑎 𝑏 Reciproca 𝑏 𝑎 Las faltantes son: 7. tan 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 tangentes de 𝜃 es igual a seno 𝜃 dividido en coseno 𝜃 8. cot 𝜃 = co𝑠 𝜃 sen 𝜃 cotangente de 𝜃 es igual a coseno de 𝜃 dividido en seno de 𝜃, ya que tangente es el reciproca de cotangente.
- 10. Demostración de las Identidades reciprocas Se podrá demostrar algunas de las identidades reciprocas para esto debemos tener en cuenta: 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = 𝑐. 𝑜 ℎ cos 𝐵 = 𝑐. 𝑎 ℎ t𝑎𝑛 𝐵 = 𝑐. 𝑜 𝑐𝑎 c𝑜𝑡 𝐵 = 𝑐. 𝑎 𝑐. 𝑜 sec 𝐵 = 𝑐. 𝑎 𝑐. 𝑜 𝑐𝑠𝑐 𝐵 = ℎ 𝑐. 𝑎 Demostrar que 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 1 csc 𝜃 Paso 1: se toma 1 csc 𝜃 y se reemplaza csc 𝜃 por ℎ 𝑐.𝑎 paso 2: realizar la ecuación: 1 csc 𝜃 = 1 1 ℎ 𝑐. 𝑎 = 𝑐. 𝑜 ℎ Y si se observa 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑐.𝑜 ℎ así que 𝑠𝑒𝑛 𝜃 si es igual a 1 csc 𝜃
- 11. Identidades Pitagóricas Son igualdades entre funciones trigonométricas en función a un ángulo. La circunferencia unitaria quiere decir que el radio mide 1, Por ende si se traza un radio el cual forma un ángulo 𝛼 este radio mide 1.
- 12. Identidades Pitagóricas Si trazamos un paralelo al eje y, perpendicular al eje x formando un ángulo de 90°, este seria un triangulo rectángulo, del cual se sacan las identidades pitagóricas ya que en lugar de hipotenusa o catetos estos serán seno del ángulo 𝛼 y coseno del ángulo 𝛼. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼
- 13. Identidades Pitagóricas Las identidades pitagóricas son 7: Recordemos el teorema de Pitágoras 𝒉𝟐 = 𝒄𝟐 + 𝒄𝟐 entonces como se cambiaron hipotenusa por 1, catetos por seno y cosenos se tendría. 1. 1 = 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 de esta se deprenden 2 mas: Primera: 𝑠𝑒𝑛2𝛼 que esta sumando pasa con el 1 a restar. 2. 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 − 1 = 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 Segunda: 𝑐𝑜𝑠2𝛼 que esta sumando pasa con el 1 a restar 3. 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 1 = 𝑠𝑒𝑛2𝛼
- 14. Identidades Pitagóricas Para la cuarta identidad se toma la primera identidad 1 = 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 y se divide por 𝑠𝑒𝑛2𝛼 : 1 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 𝑠𝑒𝑛2𝛼 Para resorberlo debemos recordar las identidades reciprocas: 1 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 = 𝑐𝑠𝑐2 𝛼 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 1 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 𝑐𝑜𝑡2𝛼 El resulta es la cuarta identidad pitagórica: 4. 𝑐𝑠𝑐2𝛼 = 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝛼
- 15. Identidades Pitagóricas La quinta identidad pitagórica se deprende de la cuarta 𝑐𝑠𝑐2 𝛼 = 1 + 𝑐𝑜𝑡2 𝛼 Se pasa 1 que esta sumando a restar con 𝑐𝑠𝑐2𝛼 5. 𝑐𝑠𝑐2 𝛼 − 1 = 𝑐𝑜𝑡2 𝛼 Para la sexta identidad se debe poner la primera identidad y dividir en 𝑐𝑜𝑠2𝛼 1 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 𝑠𝑒𝑛2𝛼 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 6. sec2 𝛼 = tan2 𝛼 + 1 La ultima identidad pitagórica se desprende de la sexta sec2 𝛼 = tan2 𝛼 + 1 se pasa 1 que esta sumando a restar con sec2𝛼 7. sec2 𝛼 = tan2 𝛼 + 1
- 16. Identidades Pitagóricas Resumen de las identidades pitagóricas: 1. 1 = 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 2. 𝑠𝑒𝑛2𝛼 − 1 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼 3. 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 1 = 𝑠𝑒𝑛2𝛼 4. 𝑐𝑠𝑐2 𝛼 = 1 + 𝑐𝑜𝑡2 𝛼 5. 𝑐𝑠𝑐2𝛼 − 1 = 𝑐𝑜𝑡2𝛼 6. sec2 𝛼 = tan2 𝛼 + 1 7. sec2 𝛼 = tan2 𝛼 + 1 Identidades pitagóricas principales.
- 17. Consejos para la verificación de identidades. 1. Tener todas las formulas en memo-fichas o una hoja 1. Para verificar una identidad trigonométrica hay dos opciones: hacer operaciones o hacer cambios 2. Hay identidades trigonométricas que sirven para cualquier exponente y otras no.
- 18. Ahora a jugar mientras aprendemos Links Ordenar Palabras https://es.educaplay.c om/recursos- educativos/13134698- trigonometria.html Froggy Jumps https://es.educaplay.c om/recursos- educativos/13134698- trigonometria.html Ordenar Palabras https://es.educaplay.co m/recursos- educativos/13135020- trigonometria.html