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- 1. Pensamiento Variacional y Trigonométrico Jhon Stiven Tapasco Pulido Licenciatura en matemáticas Unidad 2
- 2. Pensamiento Variacional • El pensamiento variacional es una forma de pensar dinámica, cuyo objetivo es producir de manera mental un sistema cuya relación de variables internas varíen proporcionalmente semejante a los patrones de cantidad de la misma o distintas magnitudes en los subprocesos recordados de la realidad. • Esto surge a partir del estudio de modelación de escenarios de variación partiendo del análisis de contextos de las matemáticas, la ciencia y la vida cotidiana entre los cuales es posible modelar procesos de variación entre variables para desplegar el pensamiento matemático que esta ligado al algebra y las funciones.
- 3. Pensamiento Trigonométrico • Las razones trigonométricas es el proceso aritmético de dividir las longitudes de los lados del triángulo, este método se realiza con el propósito de encontrar valores faltantes de un triángulo. • Las tres razones trigonométricas básicas son: seno, coseno, y tangente. Éstas se abrevian como sen, cos y tan. • Se desarrollan teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras. 𝑠𝑒𝑛 = 𝐶. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝐶𝑜𝑠 = 𝐶. 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑇𝑎𝑛 𝐶. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝐶. 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
- 4. Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas seno, coseno y tangente del ángulo agudo (A) 13,42 cm 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑂𝑝 𝐻 = 𝑆𝑒𝑛 𝐴 13.42 18 𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝐴𝑑𝑦 𝐻 = 𝐶𝑜𝑠 𝐴 12 18 𝑇𝑎𝑛 𝐴 𝑂𝑝 𝐴𝑑𝑦 = 𝑇𝑎𝑛 𝐴 13.42 12
- 5. Ley del Seno La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos. Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado. La formula es: 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑎 = 𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑏 = 𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑐
- 6. Ejemplo: Aplica la ley del seno para comprobar el valor del ángulo (B) B=? 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑎 = 𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑏 = 𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑐
- 7. 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑏 𝑠𝑒𝑛 64.2 70 = 𝑠𝑒𝑛 𝐵 50 50 × 𝑠𝑒𝑛 64.2 70 = 𝑠𝑒𝑛 𝐵 sen−1 50 × 𝑠𝑒𝑛 64.2 70 = sen−1 𝑠𝑒𝑛 𝐵 sen−1 50 × 𝑠𝑒𝑛 64.2 70 = sen−1 𝑠𝑒𝑛 𝐵 sen−1 50 × 𝑠𝑒𝑛 64.2 70 = 𝐵 40.0° = 𝐵
- 8. Ley de Coseno La ley de los cosenos se usa para encontrar las partes faltantes de un triángulo no rectángulo cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluido son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidos. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse. La formula es: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝐴
- 9. Ejemplo: hallar el lado c del triangulo rectángulo c=? 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝐴 Aplicamos ley de coseno:
- 10. Despejamos c: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 𝑐2 = 702 + 502 − 2 70 50 cos 75.8° = 𝑐2 = 702 + 502 − 2(70)(50) cos 75.8° = 𝑐 = 75.4 𝑚
- 11. Identidades trigonométricas Una identidad trigonométrica es una igualdad que vincula dos funciones trigonométricas y es válida en el dominio común o descartando los puntos que anulan alguna función en caso de ser divisor. Las funciones están ligadas por operaciones racionales y por potencias de exponente entero, aunque en algunos casos se recurre a la raíz cuadrada.
- 12. Identidades Reciprocas •𝑆𝑒𝑛𝛼 . 𝑐𝑠𝑐𝛼 = 1 •𝑐𝑜𝑠𝛼 . 𝑠𝑒𝑐𝛼 = 1 •t𝑎𝑛 𝛼 . 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 1
- 13. Identidad Por Cociente •𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 •𝑐𝑜𝑡𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼
- 14. Identidades Pitagóricas •𝑠𝑒𝑛2 α + 𝑐𝑜𝑠2 α = 1 •𝑐𝑠𝑐2 α = 𝑐𝑜𝑡2 α + 1 •𝑠𝑒𝑐2 α = 𝑡𝑎𝑛2 α + 1
- 15. Ejemplo: Usamos las identidades por cociente que definen la tangente y cotangente para desarrollar el lado izquierdo de la ecuación. Usaremos las identidades pitagóricas 𝑠𝑒𝑛2 α + 𝑐𝑜𝑠2 α = 1 para obtener: Y así llegamos a donde deseábamos llegar
- 16. Ecuaciones Trigonométricas Una Ecuación trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es valida solo para determinados valores del ángulo.
- 17. Ejemplo: 2𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑐2 − 2 = 0 2𝑠𝑒𝑛 − 1 2𝑠𝑒𝑛 + 1 = 0 2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0 2𝑠𝑒𝑛 + 1 = 0 2𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 2𝑠𝑒𝑛𝑥 = −1 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 = − 1 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 1 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 − 1 2 𝑥 = 45 𝑥 = −45 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠2 − 2 = 0 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 1 = 2 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 1 = 2(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥) 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 1 = 2 − 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 1 − 2 + 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 0 4𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 1 = 0