El documento describe los diferentes tipos de columnas según su longitud y relación de esbeltez, así como las ecuaciones para calcular la carga crítica de pandeo. Explica que para columnas cortas la falla ocurre por cedencia, mientras que para columnas largas la ecuación de Euler predice con precisión la carga crítica. También analiza el efecto de la excentricidad de la carga y proporciona fórmulas alternativas como la de Johnson para columnas de longitud intermedia.

1. Programa:
Ingeniería Mecánica
Área:
Resistencia de los Materiales
Integrantes:
Yosimar Torres
Hevert Torres

2. Es un elemento sometido a compresión, lo suficientemente
delgado respecto de su longitud, para que bajo la acción de una carga
gradualmente creciente, rompa por flexión lateral (pandeo) ante una carga
mucho menor que la necesaria para romperla por aplastamiento.
Mediante ensayos mecánicos realizados en columnas se ha
demostrado que la carga critica señalada por las ecuaciones de Euler y de
la secante puede ser superior a la carga critica real, necesaria para pandear
la columna como muestra el grafico:

3. TIPOS DE COLUMNAS
CORTAS INTERMEDIAS LARGAS
•A este grupo pertenecen
elementos cargados
axialmente a compresión,
con relaciones de esbeltez
muy pequeñas, en la que no
se produce pandeo
(fenómeno de inestabilidad
elástica) y la falla ocurre
cuando:
•Cuando en los elementos
cargados comienza a
presentarse el fenómeno de
pandeo , al estos
experimentar esfuerzos
menores a:
La ecuación de Euler no se
aproxima satisfactoriamente
al comportamiento de la
columna , requiriendo esta
zona de ecuaciones
experimentales complejas
para predecir con cierta
precisión el valor del
esfuerzo critico (con el cual
comienza el pandeo en la
columna).
•Referidas a aquellos
elementos con grades
relaciones de esbeltez. La
ecuación de Euler
describe con precisión
aceptable el
comportamiento de estas
columnas.

4. Con frecuencia las columnas se sujetan de otro modo. Por ejemplo veamos el
caso de una columna empotrada en su base y libre en su extremo superior:
La determinación de la carga de pandeo para esta columna
se apega al mismo procedimiento usado en columnas de extremos
articulados. De acuerdo al diagrama de cuerpo libre, en la figura, el
momento interno en el tramo arbitrario, es:
En consecuencia, la ecuación diferencial de la curva de
flexion es:

5. Esta ecuación no es homogénea, debido al termino del lado derecho distinto a
cero. Lo solución consiste en una solución complementaria y en una solución particular:
Las constantes se determinan con las condiciones en las fronteras, en x=0, v=0,
por lo que C2 = δ, también:
En x=0, dv/dx= 0, entonces C1 = 0. Por consiguiente la curva de la flexión es:
Como la flexión en el extremo superior de la columna es δ, esto es, en x=L, v=δ,
se requiere que:

6. La solución trivial δ=0 indica que no hay pandeo, independientemente de la carga
P. En lugar de ello:
La carga mínima ocurre cuando n=1, por lo que:
Al compararla, se ve que una columna con su base empotrada solo soportara la
cuarta parte de la carga critica que se puede aplicar en una columna con extremos
articulados.

7. FUERZA CRITICA
ESFUERZO CRITICO
RELACION DE ESBELTEZ

8. EMPOTRADO
LIBRE
DOBLE
ARTICULADO
ARTICULADO
EMPOTRADO
DOBLE
EMPOTRADO
=Longitud efectiva

9. La formula de Euler fue deducida suponiendo que la carga P siempre se aplica,
pasando por el centroide del área transversal de la columna, y que la columna es
perfectamente recta. Esto no es realista, ya que las columnas nunca son perfectamente
rectas.
Llamando e a la excentricidad de la carga, es decir, a la distancia que hay entre la
línea de acción de P y el eje de la columna, la carga excéntrica dada se reemplaza por una
fuerza céntrica P y un par de momento MA de momento MA =Pe. Es claro que, sin importar
lo pequeñas que sean la carga P y la excentricidad e, el par MA causará alguna flexión en la
columna.

10. Como se vio en ambos casos, los extremos A y B están soportados de modo que
son libres de girar (están articulados). Se consideraran pendientes y deflexiones pequeñas y
que el comportamiento del material es elástico lineal. De acuerdo con el diagrama de
cuerpo libre de la sección arbitraria, el momento interno de la columna será:
En consecuencia, la ecuación diferencial de la curva de deflexión es:
RELACION EXCENTRICIDAD RELACION DE ESBELTEZ

11. Carga por unidad de área P/A que produce fluencia

12. Una fórmula recomendada para el diseño de máquinas en el intervalo de Lr
menor que C es la fórmula de J. B. Johnson.
Esta es una forma de un conjunto de ecuaciones parabólicas, y concuerda
perfectamente bien con el comportamiento de columnas de acero de maquinaria típica. La
fórmula de Johnson da el mismo resultado que la fórmula de Euler de la carga critica U y la
razón de esbeltez de transición C, Entonces, en el caso de columnas muy cortas, la carga
crítica se aproxima a la pronosticada por la ecuación del esfuerzo de compresión directo, o
= P/A. Por consiguiente, se puede decir que la fórmula de Johnson se aplica mejor a
columnas de longitud intermedia.

13. Durante el último siglo, muchas columnas de acero han sido probadas
aplicándoles una carga axial céntrica e incrementando la carga hasta producir la falla.
Se ha marcado un punto con la ordenada igual al esfuerzo normal de falla y
su abscisa igual al valor correspondiente de la relación efectiva de esbeltez .

14. FALLAS
Largas Intermedias Cortas y bloques a
compresión
•La falla se puede predecir
con precisión con la formula
de Euler, y el valor de:
Depende del modulo de
elasticidad E del acero
utilizado, pero no el limite de
cedencia:
•Comprenden los casos en
donde la falla depende de:
En este rango, la falla de la
columna es un fenómeno
complejo y se han usado
datos de laboratorio para
guiar el desarrollo de
ecuaciones de diseño y
especificaciones
•La falla ocurre
esencialmente como
resultado de la cedencia, y
tenemos :