Capitulo 01-02-2015-1(2)

Mecánica de Materiales 2015-1
Capítulo 1 y 2
Tema:
Esfuerzo y Deformación

2
Sumario
 Introducción
 Equilibrio de un cuerpo deformable
 Esfuerzo
 Esfuerzo axial y cortante promedio
 Esfuerzo permisible y diseño
 Deformación
 Deformación unitaria
UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS ROMÁN ARCINIEGA

3
Introducción
¿Qué es la mecánica de materiales?
Es la rama de la mecánica aplicada que estudia el
comportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a
cargas externas.
El objetivo principal de esta disciplina es la de
determinar los esfuerzos y deformaciones en las
estructuras y en sus componentes bajo la acción de
cargas.

4
Jean Claude Barré de Saint-
Venant (1797-1886)
Historia
Claude-Louis Navier (1785-1836)
Siméon Denis Poisson (1781-
1840)

5
Gabriel Lamé (1795-1870)
Augustin Louis Cauchy (1789-
1857)

6
Equilibrio de un Cuerpo
Cargas externas
un cuerpo puede estar
sometido a diversos tipos
de cargas externas que se
pueden clasificar como
fuerzas de superficie y
fuerzas de cuerpo.

7
Fuerzas de superficie
Son fuerzas causadas por el contacto directo de un
cuerpo con la superficie de otro.
Estas fuerzas pueden idealizarse como una fuerza
concentrada, como una carga linealmente distribuida
o como una carga por unidad de superficie.
Fuerzas de cuerpo
Esta fuerza se desarrolla cuando un cuerpo ejerce una
fuerza sobre otro sin contacto físico directo entre los
cuerpos. Ejemplos: gravitación, fuerza
electromagnética, etc.

8
Reacciones en los soportes
Las fuerzas de superficie que se desarrollan en los
soportes o puntos de contacto entre cuerpos se
llaman reacciones.
Recordar que: si el soporte impide la traslación en
una dirección dada, entonces debe desarrollarse una
fuerza en el miembro en esa dirección. Igualmente, si
se impide la rotación, debe ejercerse un momento
sobre el cuerpo.

9
Conexiones en miembros bidimensionales

10
Ecuaciones de equilibrio
El equilibrio de un cuerpo requiere el balance de
fuerzas para impedir que el cuerpo se traslade y un
balance de momentos para impedir que el cuerpo gire.
0




F 0
M 0
0
0




zyx
zyx
MMM
FFF
Expandiendo en 3D:

11
Cargas internas resultantes
Para obtener las cargas internas que actúan sobre una
región específica dentro del cuerpo es necesario usar el
método de las secciones. Esto requiere hacer un corte a
través de la región donde van a determinarse las cargas
internas.

12
Cargas internas resultantes en 3D y 2D

13
Problema

14
Problema

15
Esfuerzos
Se considera que el material es continuo, es decir,
consiste en una distribución uniforme de materia que
no contiene huecos (en vez de estar compuesto por un
número finito de moléculas o átomos).

16
Esfuerzo
Es el cociente de un diferencial de fuerza sobre el
diferencial de área. Describe la intensidad de fuerza
interna sobre un plano específico que pasa por un
punto.
El material se considera también cohesivo, es decir,
todas sus partes están unidas entre sí.

17
Esfuerzo normal
La intensidad de fuerza interna que actúa en forma
normal a A se define como el esfuerzo normal, 
(sigma). Como FZ es normal al área, entonces:
0
limz z
z
A
dF F
dA A

 

 

Unidades; 1 N/m2 = 1 Pa

18
Esfuerzo cortante
La intensidad de fuerza interna tangencial actuando
sobre un plano que pasa por un punto se denomina
esfuerzo cortante y se denota por la letra griega .
0
0
lim
lim
x
zx
A
y
zy
A
F
A
F
A


 
 







19
Estado general de esfuerzos
Se caracteriza por tres componentes actuando en cada
una de las caras del elemento. Son nueve componentes
independientes en total.
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
  
  
  
 
 
  
 
 
σ
Tensor de esfuerzos

20
Estado Uniaxial Esfuerzos
( ) ´( ) 0
´
A A 
 
   

Las dos componentes del esfuerzo normal sobre el
elemento deben ser iguales en magnitud pero opuestas
en dirección. A esto se le llama esfuerzo uniaxial.
Aplicamos la ecuación
de equilibrio de
fuerzas:
0zF 

21
Esfuerzo Promedio
Supuestos
El material es homogéneo, es decir, tiene las mismas
propiedades en todos los puntos del cuerpo.
El material es isotrópico, es decir, tiene las mismas
propiedades en todas las direcciones.

22
Esfuerzo normal promedio
z
A
avg
avg
dF dA
P A
P
A






 
Esfuerzo promedio normal en cualquier punto
de la sección transversal
Equilibrio en z:
:avg

23
Problema
Determine el esfuerzo promedio de compresión
actuante en los puntos A y B.
Considere:
3
490st lb pie 

24
Esfuerzo cortante promedio
avg
V
A
 
Esfuerzo cortante promedio
en cualquier punto de la
sección transversal
avg :

25
Propiedad complementaria del cortante (cortante puro)
´ ´zy zy zyz yz       

26
Esfuerzo Permisible y Diseño
Esfuerzo permisible
Para garantizar la seguridad es necesario escoger un
esfuerzo permisible que limite la carga aplicada a un
valor que sea menor al que el miembro pueda soportar
plenamente.
Factor de seguridad (F.S.): es la relación entre el
esfuerzo de falla y el esfuerzo permisible.
falla
perm
F.S.




27
Diseño
Para miembros sujetos a fuerza
normal o cortante:
perm
P
A


perm
P
A



28
Esfuerzos cortantes en pasadores o pernos
A
F
A
P
ave
Cortante simple Cortante doble
A
F
A
P
2
ave 

29
Problema
Determine el espesor
requerido del miembro BC y
el diámetro de los pines A y B
si el esfuerzo permisible
normal de BC es
y el cortante permisible
perm 29ksi 
perm 10ksi 

30
Deformación
Al aplicar fuerzas al cuerpo, éste tiende a cambiar de
forma y tamaño. A estos cambios se les llama
deformación.

31
Deformación normal unitaria
Se define como el cambio de longitud de una fibra por
unidad de longitud.
Deformación unitaria
avg
s s
s

  


lim
B A
s s
s


  



32
En elementos prismáticos
Se define como la relación
entre la elongación y la
longitud inicial. Es decir:
L

 
En forma diferencial:
d
dx

 

33
Deformación cortante unitaria
Se define como el cambio de ángulo entre dos
segmentos de línea inicialmente perpendiculares
entre sí.
lim
2
nt
B A
C A

 


 

34
Componentes cartesianas
Note que las deformaciones normales causan un
cambio de volumen mientras que las cortantes un
cambio de forma.

35
Deformaciones unitarias pequeñas
Sólo se permiten deformaciones pequeñas (casi
infinitesimal). Las deformaciones unitarias son
muy pequeñas en comparación con la unidad.
Entonces:
Ɛ << 1
Este supuesto tiene una amplia aceptación en
ingeniería y es llamado análisis de pequeñas
deformaciones.

36
Problema
La viga rígida ABC es soportada por un pasador en A y
los cables BD y CE. Si la fuerza distribuida causa que el
nodo C se desplace 10mm hacia abajo, determine los
esfuerzos normales desarrollados en los cables BD y CE.

37
Problema

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