formulario de calculo I en swp

1. 1. Calcular los siguientes límites:
(a) lim
n!1
n
p
n2 + 2n = 1
(b) lim
n!1
np
n3+3n
np
2n 3n3
= 1
(c) lim
n!1
(n3
+ 3)n
= 1
2. Calcular los siguientes límites de funciones:
(a) lim
x!0
sin ax
x = a = a
(b) lim
x!0
sin x
2 x
3x = 0
(c) lim
x!1
ln(2x
3x
)
x = ln 3 = 1: 098 6
(d) lim
x! 2
x
tan x = 0
(e) lim
x!0
1
x
tan x
= 1
3. Gra…car las siguientes cónicas. Teniendo en cuenta el tipo de coordenadas
más adecuados.
(a) x2
+ y2
= 9
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
(b) x2
9 + y2
4 = 1
1

2. -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
(c) x2
5
y2
3 = 1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
(d) 2x2
+ 3x 1 y = 0
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
4. Gra…car las siguientes cuádricas, teniendo en cuenta el tipo de coordenadas
más adecuado: (Modi…car convenientemente las propiedades del grá…co
para obtener una visualización adecuada de la …gura)
(a) x2
+ y2
+ z2
= 16
2

3. y -4
-4 -4-2 -2
-2
0
2
z 00 22 44
4
x
(b) x2
5
y2
3 = 2z 2x2
+ 3x z
x
-4
-2
-4
-2
-2
-4
0
0
0
2
2
4
4
2
4
y
z
(c) x2
y2
z2
+ 3y 2z = 1
-4
-2
-4 x
4
y
-2
-2
-4
z 0
0 0
2 2
4
2
4
(d) y2
+ z2
x2
+ 3y + 4z = 1
3

4. 40
-50
-40 xy
-20
0 2050
40
20
-40
z 0
-20
Ejercicio 1. Usando las propiedades básicas de los límites de funciones
calcular los siguientes límites. En cada caso indicar que propiedades se han
empleado:
(a) lim
x!1
x2
+ 3x + 2
p
3x 1 = 6
p
2 = 8: 485 3 (h) lim
x!2
x4
16
x 2 = 32
(b) lim
x!0
ln (x + 1) = 0 (i) lim
h!0
(t+h)2
t2
h = 2t con t 2 R; t …jo
(c) lim
x! 1
e2x+5
x+2 = e3
= 20: 086 (j) lim
x!2
5x2
+9x+2
x2 4 = 11
4
(d) lim
x!3
x2
1
x2 3x+2 = 4 (k) lim
x!b
x3
+b3
x b = unde ned
(e) lim
x! 2
x
x+3
x2
+xp
x2+5
= 1p
x2+5
x2
+ x 2 (l) lim
x!1
x 1p
x 1
= 2
(f) lim
x!0
p
1+x
p
1 xp
4x+1 3
= 0 (m) lim
x!0
q
x+4
x
2p
x
= unde ned
(g) lim
x! 4
sin2
x+tan x
cos(2x
3 )
=
p
3
Ejercicio 2. Calcular los siguientes límites:
(a) lim
x!3
(3x + 5)
1
1 x
= 1
14
p
14 (d) lim
x!0
sin(2x)
x
tan x
3x
= 3
p
2
(b) lim
x!1
3x+1
2x 5
x+1
3x+1
= 1
2 2
2
3
3
p
3 (e) lim
x!+1
p
2x2+1+1
x
x+1
= 1
(c) lim
x!0+
sin(2x)
sin x = 2 (f) lim
x!0+
sin(3x2
)
sin(4x2)
1
x
= 0
Ejercicio 3. Sabiendo que lim
y!0
(1 + y)
1
y = lim
t!1
1 + 1
t
t
= e calcular los
siguientes límites:
(a) lim
x!+1
x 2
x+3
x
= e 5
(e) lim
x!0
ln(1+x)
x = 1
(b) lim
x!+1
1 + a
x
x
; a 2 R …jo (f) lim
x!0
ln(a+h) ln a
h ; a > 0 …jo.
(c) lim
h!0
1 + h
x
1
h
= e
1
x (g) lim
x!0
eh
1
h = 1
h eh
1
(d) lim
x!0+
(1 + sin x)
1
x
= e (h)lim
h!0
ea+h
ea
h ; a 2 R …jo.
4

5. Ejercicio 4. Determinar el conjunto de puntos de discontinuidad (en R)
de las siguientes funciones. Rede…nirlas, si fuera posible, para que resulten
continuas:
(a) f(x) = x 1
x(x2 4) (e) f(x) =
8
<
:
4x2 3
si x > 1
1 si x = 1
x2
3x+2
x2 4x+3 si x < 1
(b) f(x) =
8
<
:
x si x < 0
x2
si 0 x < 2
2 si x 2
(f) f(x) = x2
p
x2+1 1
(c) f(x) = x
2
3
2x
2
3 3x
1
3 2
(g) f(x) =
( p
3x+1
p
x+3
x2 x si x > 1
sin( 2x+2)
x2+x 2 si x < 1
(d) f(x) = (x 1)2
x2 1
Ejercicio 5. En cada uno de los siguientes casos hallar los pares de números
reales a y b para los que la función f resulte continua en todo R:
(a) f(x) =
8
<
:
x si x 2 ( 1; 0]
ax + b si x 2 (0; 2)
x2
si x 2
(b) f(x) =
8
<
:
x3
+ 1 si x 0
ax2
+ b si 0 < x < 2
x2
1 si x 2
Ejercicio 6. Cálculo Integral
5

6. 1.
R dx
2x2+5x+13 =
p
79 2
79 arctan
p
79 4
79 x + 5
79
1
79
2.
R ex
dx
e2x+3ex+10 = 2
31
p
31 arctan 2
31
p
31ex
+ 3
31
p
31 1
31
p
31
3.
R
x 1=2
sinh
p
xdx =
R 1p
x
sinh
p
x dx
4.
R dxp
x2+6x+21
= 1
2 ln 3 + ln 1
6 x + 1
6
p
x2 + 6x + 21 + 1
2
5.
R 2x+3
9x2 12x+18 dx = 1
9 ln x2 4
3 x + 2 13
252
p
14 + 13
126
p
14 arctan
p
14 3
14 x 1
7
6.
R x
p
arctan 2x
1+4x2 dx = 1
8 ln x2
+ 1
4
R p
arctan 2x
4x2+1 dx
7.
R
sin2
ax dx = dx
8.
R
cos2
ax dx = dx
9.
R
sin(9x 1) sin(2x + 5)dx = 1
14 sin (7x 6) 1
22 sin (11x + 4)
10.
R
arcsin 1
x dx = arctanh 1q
1
x2 (x2 1)
+ x arcsin 1
x
11.
R
xe2x
cos 3x dx = dx
12.
R
arcsin x dx = dx
13.
R dx
x2
p
4+x2
= 1
4x
p
x2 + 4
14.
R x2
p
x2 4
dx = 2 ln 2x + 2
p
x2 4 + 1
2 x
p
x2 4
15.
R
sin
p
xdx =
R
sin
p
x dx
16.
R ln 2x
x ln 4x dx = ln x ln (2 ln 2 + ln x) ln 2
17.
R x4
+8x3
x2
+2x+1
(x2+x)(x3+1) dx
18.
R 1
(x+1)(x2+x+1)2dx
19.
R x3
p
1+2x x2
dx
20.
R sec x
sec x+tan x dx = 2
tan 1
2 x+1
21.
R 1
sin x cos2 x dx = 1
2 cos x (ln (2 2 cos x) cos x ln (2 cos x + 2) cos x + 2)
22.
R
tan3
x dx = dx
6